Неустановившиеся температурные напряжения в условиях зависимости предела текучести от температуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Дац, Евгений Павлович

• Дац, Евгений Павлович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Дац, Евгений Павлович

Содержание

Введение

Глава 1. Основные соотношения теории температурных напряжений в упругопластических телах

1.1. Кинематика упругопластической среды. Законы сохранения

1.2. Определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластического материала при тепловом воздействии

1.3. Выводы

Глава 2. Температурные напряжения упруго-пластического материала в условиях сферической симметрии

2.1. Необратимое деформирование сплошного шара при быстром нагреве поверхности

2.2. Вычисление необратимых деформаций полого шара при нестационарном тепловом воздействии на внешней поверхности

2.3. Выводы

Глава 3. Температурные напряжения упруго-пластического материала в условиях плоского напряженного состояния

3.1. Расчет напряженно-деформированного состояния упругопласти-ческого диска при температурном воздействии в центре

3.2. Пластическое течение бесконечной тонкой пластины, нагреваемой по круглому контуру

3.3. Учет пластических свойств материала в задаче горячей посадки колец

3.4. Расчет остаточных напряжений в прямоугольной упругопластической пластине, подверженной нестационарному температурному влиянию

3.5. Выводы

93

Глава 4. Температурные напряжения упруго-пластического материала в условиях цилиндрической симметрии в случае плос-

кого деформированного состояния

4.1. Расчет температурных напряжений длинного полого цилиндра в рамках условия пластичности Треска

4.2. Расчет температурных напряжений длинного полого цилиндра в рамках условия пластичности Ишлинского-Ивлева

4.3. Численное решение для температурных напряжений длинного полого цилиндра при условии пластичности Мизеса. Сравнение результатов при различных условиях пластичности

4.4. Расчет температурных напряжений в задаче горячей посадки длинных полых цилиндров

4.5. Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неустановившиеся температурные напряжения в условиях зависимости предела текучести от температуры»

Введение

Актуальность темы исследования. Возникновение и развитие температурных напряжений в телах связано с ограничениями на свободное изменение объема тела, вызванное температурным полем. В одних случаях рост напряжений является результатом увеличения равномерной температуры в условиях фиксированных размеров тела, в других случаях температурные напряжения возникают в свободном от внешних ограничений материале благодаря наличию температурного градиента, т.е. когда существуют области с разным тепловым расширением. Очевидно, что рост напряжений в материале, а также влияние температуры на его характеристики могут приводить к появлению процессов необратимого деформирования.

Температурные напряжения сопровождают большинство технологических операций обработки металлов давлением и изготовления изделий из них. В ряду таких операций следует выделить такие, где температурные напряжения задают существо процесса (сварка, высокотемпературная штамповка, сборка посадкой и др.). Насущная потребность инженерной практики по расчету подобных операций с необходимостью требует разработки соответствующих математических моделей и в рамках таких моделей методов расчета, способных прогнозировать результаты таких операций. Поэтому в прошлом столетии сформировалось научное направление, называемое термопластичностью. Одним из основных разделов такого направления оказалась теория температурных напряжений. Были выполнены блестящие работы, положившие начало основанию теории и ее развитию , предложены приемы интегрирования систем уравнений в частных производных для целого ряда модельных задач как в случае связанной теории, так и несвязанной (теории температурных напряжений). Дальнейшее развитие теории сдерживалось вычислительными возможностями математического аппарата. Такие возможности были предоставлены к концу столетия развитием вычислительной технологии. Именно развитию теории температурных напря-

жений с 90-х годов прошлого столетия задаётся новый импульс. И все же в тех случаях, когда процесс определяется существенными изменениями в температуре, из-за существенной нестационарности температурных полей, разработанных комплексов программ, основанных на подходах метода конечных элементов и метода конечных разностей оказалось недостаточно. Тем более, что деформирование в условиях изменяющихся термомеханических воздействий несет в себе специфические качественные особенности, связанные с возникновением и исчезновением областей пластического течения, движением упругопластических границ, которые в квазистационарных случаях не наблюдаются. Более того, при повышенных температурах предел текучести материала существенно снижается и потому данное обстоятельство необходимо учитывать. Следовательно, задача оценить качественные особенности эволюции температурных напряжений и формируемое таким способом поле остаточных напряжений оказывается актуальной задачей. Этой задаче посвящается настоящая работа.

Степень разработанности темы исследования.

Развитие теории термопластичности и теории температурных напряжений в частности диктуется настоятельными запросами технологической практики. Но в тоже время развитие данной теории задается логикой развития фундаментальной механики деформирования. Поэтому это направление механики всегда оставалось в центре внимания исследователей. Свои работы теории термопластичности посвятили выдающиеся механики прошлого столетия: А. А. Ильюшин, Ю. Н. Работнов, Ю. Н. Шевченко, И. А. Биргер, Р. Хилл, В. Прагер, Д. Бленд, Г. Паркус и многие другие [1-14]. Возможности используемого ими математического аппарата заставили остановиться только на решении простейших одномерных задач. Первые расчеты неустановившихся температурных напряжений с учетом пластических свойств материала были связаны с использованием точных решений для температурного поля в соотношениях для напряжений и перемещений [15-20]. Было показано, что мгновенное тепловое воздействие приводит к развитию областей пластического течения и разгрузки. При этом

границы данных областей определялись независимо друг от друга по известному точному решению уравнения теплопроводности.

В рамках использования кусочно-линейного условия пластичности Треска [21-25] получили широкое распространение решения одномерных задач об определении температурных напряжений в условиях плоского напряженного состояния [26-36]. Пластины и диски являются одним из ключевых технических компонентов многих конструкций и механизмов. Разогрев дисков прежде всего может быть связан с силами трения, оказывающими влияние при вращении, например, в тормозных системах [26, 30, 31]. Учет интенсивного теплового воздействия необходим для прогнозирования напряженно-деформированного состояния материала в таких технологических процессах, как сварка[34, 36, 37]. В [38-43] решается задача расчета температурных напряжений в материале деталей, собранных способом горячей посадки [44-46]. Отметим, что в большинстве рассмотренных работ температурное поле имеет стационарное распределение, т.е. в каждой точке среды величина температурного градиента всегда увеличивается или остается постоянной. В таком случае отсутствует необходимость определять границу разгрузки, предполагается что при остывании материал переходит в разгрузочное состояние одновременно в каждой точке среды. Высокий уровень нагрева как правило приводит к изменению физических свойств материала. Известно, что разогрев металлов повышает их пластичность, т.е. изменяет величину предела текучести [47, 48]. Учет зависимости предела текучести от температуры позволяет более точно прогнозировать уровень остаточных напряжений и деформаций, формирующихся в результате теплового воздействия. Как правило используется линейная зависимость предела текучести от температуры [28, 42]. Уменьшение предела текучести приводит к увеличению уровня необратимых деформаций и областей необратимого деформирования. Следствием этого является возможность появления повторного пластического течения при остывании материала [49, 50].

В ряде работ в рамках кусочно-линейного критерия пластичности Трес-

ка исследовалось формирование температурных напряжений в условиях плоского деформированного состоянии [49, 51-56]. Расчет напряженно-деформированного состояния материала в условиях цилиндрической симметрии обусловлен прежде всего необходимостью прогнозирования остаточных напряжений и деформаций в трубах, валах, муфтах и других цилиндрических изделиях, подверженных интенсивному тепловому воздействию. Главной особенностью в решении таких задач является наличие областей пластического течения, разделенных на подобласти, в каждой из которых напряженное состояние удовлетворяет различным граням и ребрам призмы Треска. Учет температурной зависимости предела текучести в данных задачах позволяет выявить новые закономерности зарождения и развития областей наобратимого деформирования, последовательность появления которых во многих случаях определяет уровень остаточных деформаций и напряжений [57-60].

Развитие численных методов в теории термопластичности, учитывающих связанность деформационных и тепловых процессов, а также возможность фазовых превращений, рассматривается в работах [61-73].

Цель и задачи диссертационной работы: Цель предпринимаемого диссертационного исследования заключается в развитии теории температурных напряжений в упругопластических телах путем постановки и решения ряда новых модельных задач теории и в обеспечении на такой основе расчетного прогнозирования изменений температурных напряжений в зависимости от особенностей эволюции областей пластического течения в условиях меняющихся термомеханических воздействий. Для обозначенной цели необходимо решить следующие задачи:

• осуществить постановки ряда краевых задач теории температурных напряжений с учетом зависимости предела текучести от температуры: о нестационарном нагреве сплошного и полого шара, о локальном нагреве бесконечной и ограниченной круглой пластины, о сборке конструкции

"кольцо в кольце"способом горячей посадки, о неравномерном нагреве полого цилиндра, о сборке двухслойной трубы способом горячей посадки, об остывании прямоугольной в плане пластины;

• указать краевые условия на продвигающихся упругопластических границах как нагружающих, так и разгружающих; на продвигающихся границах в области пластического течения, разделяющих эту область на части, в которых течение подчинено разным системам уравнений в зависимости от принадлежности напряженных состояний различным участкам кусочно-линейных поверхностей нагружения;

• разработать алгоритм расчетов неустановившихся температурных напряжений, способный отслеживать места и моменты времени возникновения границ, меняющих характер деформирования в областях тел и конструкций, позволяющий прогнозировать распределения остаточных напряжений.

• провести сравнение результатов расчетов, проведенных с использованием разных условий текучести (Условие Треска-Сан-Венана, Условие Ишлин-ского-Ивлева, Условие Губера-Мизеса);

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:

• впервые получены решения, включая точные, ряда краевых задач теории температурных напряжений в упругопластических телах с учетом существенной зависимости предела текучести от температуры;

• указаны особенности формирования решений ряда модельных краевых задач, связанные с эволюцией обратимого деформирования и пластического течения в условиях неустановившихся температурных полей; при использовании кусочно-линейных условий пластичности продемонстрирована возможность разделения областей течения на части, в которых тече-

ние подчинено разным системам уравнений в зависимости от принадлежности напряжений различным граням или ребрам условий пластичности;

• в решениях некоторых задач теории температурных напряжений в упру-гопластических телах обнаружен эффект возникновения повторного пластического течения, обусловленный существенной зависимостью предела текучести от температуры;

• предложены алгоритмы расчетов полей температурных напряжений в упру-гопластических телах и сборках из них при нестационарных температурных воздействиях, предоставляющие возможность учесть появление, развитие и затухание различных областей пластического течения, включая прогнозирование итогового распределения остаточных напряжений.

• показано, что в некоторых случаях классические решения, полученные при постоянном пределе текучести, не могут быть обобщены на случай зависимости предела текучести от температуры.

Теоретическая и практическая значимость. Ряд результатов диссертации носит фундаментальных характер и служит развитию теории температурных напряжений в упругопластических телах в части качественных выводов об эволюции областей пластического течения. Они могут предсказать ряд постановочных аспектов задач теории в других геометрически более сложных случаях.

Результаты работы могут непосредственно использоваться в расчетном прогнозировании ряда технологических операций: сборка конструкций способом горячей посадки, сварка, высокотемпературная штамповка порошковых материалов, локальная закалка конструкций и др.

Положения, выносимые на защиту: На защиту выносится :

• новые решения, включая точные, ряда краевых задач теории температурных напряжений в упругопластических телах;

• разработанные алгоритмы расчетов, позволяющие отслеживать возникновение, развитие и исчезновение областей пластического течения, появляющиеся при выполнении разных условий пластичности;

• результаты сравнения решений, различающихся выбором кусочно-линейных условий пластичности и (в отдельных случаях) их сравнение с решением, полученных в условиях выполнения гладкого условия пластичности Мизеса;

• сопоставление результатов некоторых из полученных решений с результатами решений тех же задач при постоянном пределе текучести;

• рекомендации, полученные в процессе решениям выбранного набора модельных краевых задач, к методике расчетного прогнозирования технологических операций, существо которых задается выраженной нестационарностью в тепловых процессах.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов диссертации базируется на использовании классической математической модели упругопластического деформирования типа Прандтля-Рейса и корректном использовании соответствующего математического аппарата. Программы расчетов по предлагаемым алгоритмам основаны на выверенных процедурах вычисления и не содержат в себе недостаточно оттестированные модули. Неоднократные сравнения с известными решениями, полученными в условиях постоянства предела текучести и стационарности температурных полей, позволяют не сомневаться в правильности результатов расчетов.

Полученные в процессе работы над диссертацией результаты прошли апробацию на региональных, всероссийских и международных конференциях: Всероссийская конференция «Школа по фундаментальным основам моделирования обработки материалов» (Комсомольск-на-Амуре, 2010); Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток,

2010, 2012); Международная конференция, посвященная 100-летию Л. А. Галина (Москва, 2012); 1ХВсероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи»(Самара, 2013); Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2013); Международная конференция, приуроченная к 75-летию академика В.А. Левина «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2014); XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015); IUTAM Symposium on Growing solids (2015, Москва); World Congress on Engineering (2015, 2016, Лондон); IX Всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела (2016, Воронеж).

Кроме того, результаты работы докладывались на семинарах отдела механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28 печатных работах, из них 9 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК [36, 59, 60, 7479], 18 публикаций в сборниках трудов конференций [35, 57, 58, 80-86, 86-94], 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [95].

Личный вклад автора. Все основные результаты, составившие диссертацию, получены автором лично. Соавторы научных публикаций А.А. Буренин и Е.В. Мурашкин участвовали в постановке задач и обсуждении результатов, а все вычисления проведены автором. Соавтором публикаций А.В. Ткачевой были проведены соответствующие расчеты в задачах, поставленных автором в условиях совместного обсуждения выбираемой методики расчетов и оценки их результатов. Большинство подобных результатов расчетов не включалось в основной текст диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, 4 главы основного текста, заключение и список литературы из 101 наименования. Работа изложена на 150 страницах, содержит 48 рисунков.

Глава 1

Основные соотношения теории температурных напряжений в упругопластических телах

1.1. Кинематика упругопластической среды. Законы сохранения.

В качестве закона движения сплошной среды принимаем зависимость

хг = хг(а1,а,2,аз,г). (1.1)

Здесь - начальные координаты точки среды, которые для каждой точки среды являются постоянными, - ее пространственные координаты. Первые из этих координат называют Лагранжевыми координатами, вторые - координатами Эйлера. Принятие гипотезы сплошности среды позволяет получить зависимость, обратную (1.1)

аг = аг(х1,х2,хз,г). (1.2)

В соответствии с механикой материальной точки для компонент вектора скорости VI будем иметь

VI = — = —. (1.3)

(И

В (1.3) - компоненты вектора перемещений: щ = — щ. Когда закон движения сплошной среды задан в форме Лагранжа (1.1), то щ = и{(а1,а2 когда в форме Эйлера (1.2), то щ = и,1(х1,х2,хз3,1). В последнем случае из (1.3) следует

йщ ди1 ди1

Уг = ~Ж = ~Ж + Уз Чз' Чз = Щ'

dvi

^г = —Г = --+ V* V; а , = -—

г &г дъ 3 ,3 ,3 дх

3 (1.4)

Для механики деформируемых сред одним из основных является кинематическое понятие, называемое деформацией. Если в абсолютно твердом те-

ле расстояния между любыми его точками неизменно, то деформируемое тело только тем и отлично от абсолютно твердого, что в нем эти расстояния могут меняться. Рассмотрим две бесконечно близкие точки М0{а\, а2,а3} и N0{ai + dai}a2 + da2, a3 + da3} деформируемого тела. Полагаем, что в текущий момент времени t они занимают положение М{xi,x2, x3} и N{xi+dxi,x2+dx2, x3+dx3}. Векторы их соединяющие, имеют компоненты :

М-0 = ds0 = \dai,dа2, da3}, MN = ds = \dxi,dx2, dx3\,

__(1.5)

ds о = \Jdajdai, (ds) = dxidxi.

В качестве меры изменения расстояния между точками тела принимаем соотношение

=

(6з )2 — (6з0 )2 dxjdxj — daidai dxjdxj —

^в)2 )2 (6з)2

= (&зк — а,{,зО-{,к) ^ ^ = , (1-6)

г = 2а]к1]1к, = 1( 6» — аг,аьк), Ц = ^.

Тензор с компонентами а^к называется тензором деформаций Альманси. Его механический смысл состоит в том, чтобы указать степень изменчивости расстояний из выбираемой точки М(х%,х2,х3) по любому из направлений, указываемому вектором 1{ 1\, 12, /з}. Компоненты а^к и называют деформациями, при этом а¿к = ащ . Через компоненты вектора перемещений тензор деформации предстает в форме

= ^(иг,з + Ujj - ик,гuk,j). (1.7)

Очевидно, что если тело не деформируется, то все шесть компонент тензора деформаций обращаются в ноль.

Деформации в твердом деформируемом теле чаще всего оказываются малыми (доли процента). Следовательно, третье слагаемое в правой части (1.7) еще более высокий порядок малости, поэтому имеет смысл в большинстве теорий деформирования его не учитывать. Тензор с компонентами когда в (1.7)

принимается такое допущение, называется тензором малых деформаций

dtJ = (1.8)

Для тензора малых деформаций примем аддитивное разложение на обратимые е^ (упругие) и необратимые (пластические) составляющие:

= еУ + Рч ■ (1-9)

Локальным (в каждой точке) следствием законов сохранения являются дифференциальные уравнения. Они следуют в условиях, когда функции, задающие деформации, скорости, напряжения, плотность во всем деформируемом твердом теле являются непрерывными. Это выполняется не всегда, но в случае медленного (квазистатического) процесса деформирования это так. Следствием закона сохранения массы является уравнение неразрывности

% + (т Ь = о. ало)

Здесь р = р(х\,х2,х3, Ь) - плотность деформируемой среды. Можно показать [50], что первым интегралом (1.10) является зависимость

- = \1 - 2J\, +2j* - 2J2 + 4JiJ2 -

ро V 3 3 (1.11)

Ji = ®kk, J2 = J3 = ttijttjk®ki-

р0 - плотность среды в свободном состоянии. В случае, если деформации являются малыми (о^- = dij), из (1.11) следует зависимость

р =1 (1.12)

о

Таким образом, в условиях малых деформаций следует для среды можно принять р = р0 = cons t.

Закон сохранения импульса приводит к уравнению движения

д 2u'

°г3,3 + PXi = Р• (U3)

Здесь - компоненты тензора напряжений Эйлера-Коши, - компоненты вектора плотности распределения массовых сил. Согласно закону сохранения момента импульса компоненты тензора напряжений обладают важным свойством: = а^.

Следствие закона сохранения энергии запишем в форме баланса внутренней энергии:

+ =°гз£гз, (1.14)

где е - плотность распределения внутренней энергии, qj - компоненты вектора теплового потока, £ ^ - компоненты тензора скоростей деформации Эйлера, для которых

= 1^^ + 4^= 4 + 4 • (1.15)

4 и £ - компоненты тензоров скорости пластических и упругих деформаций.

В качестве термодинамического потенциала будем использовать свободную энергию, плотность распределения которой имеет вид

ф(<1ц,Т) = е(<1ц, 5) — зТ,

(1.16)

дф де _ — = — о _ = Т

дТ дз

Здесь - плотность распределения энтропии, Т - абсолютная температура. В (1.16) принимается важное положение о независимости свободной энергии от необратимых деформаций : ф(,Т) = ф(е^,Т). Подстановка (1.16) в (1.14) позволяет записать:

дф „ дф 6т 6з дф 6т „ „

РЩ£» + "дТл + рТл — рдТл + = {£ « +е«(1.17)

Преобразуя соотношение (1.17), получим:

(дф—£Ь+РТ^+^ = . (1.18)

Осуществимость процесса обратимого изотермического деформирования заставляет считать, что

дф

-ац = 0 (1.19)

и

рТ% + <ш = ■ (1.20)

В правой части уравнения баланса энтропии (1.20) расположен источник, задающий производство энтропии за счет необратимого деформирования.

Так как термодинамический потенциал ф в условиях изотропии свойств среды должен сохранять свое значение при преобразовании координат, его зависимость через компоненты обратимых деформации задается при помощи набора инвариантных величин ф = ф(). Для построения простейшей теории достаточно положить ф квадратичной функцией [50]:

(1.21)

ф( 1Ъ 12, в) = а^ + а2к + азЬв + аАв2,

г г я Т-То

* 1 = е кк, * 2 = е ^е^, и = ———.

То

Для коэффициентов в (1.21) примем следующие зависимости

Л » /ол , о лаТо ХТо (л 00х

а1 = , а2 = -, аз = -(3Л + 2»)-, а4 = --—, (1.22)

2р р р 2кр

где Л, » - параметры Ламе материала, а - коэффициент линейного теплового расширения, Т0 - начальная температура, х - коэффициент теплопроводности , к - коэффициент температуропроводности. Подставив (1.21), (1.22) в (1.19), получим:

а, = (Лекк -а (3Л + 2») (Т - То)) 5ц + 2»ег], (1.23)

Зависимости (1.23), устанавливающие связь между компонентами тензора напряжений, обратимых деформаций и температуры, называются соотношениями Дюамеля-Неймана [96] (аналог закона Гука для случая неизотермического деформирования).

Для записи уравнения теплопроводности следует постулировать закон теплопроводности, например, в форме Фурье [97]:

щ = —хТ,. (1.24)

Подставив (1.24) в уравнение (1.20) получим:

дТ _ „ , ^(еЬ, 4 ,Т)

^ — 44 + ,

дЬ м X (1.25)

У = — а(3Х + 2М)Тс(4, + еркк).

Когда происходит только обратимое деформирование (= 0), то совокупность соотношений (1.8) - (1.25) составляет замкнутую систему уравнений теории термоупругости (16 уравнений относительно 16 неизвестных Т, щ , е^). Определенный уровень возникающих в материале напряжений способен вызывать процессы необратимого деформирования. Принцип максимума Мизеса [21, 98] гласит, что при фиксированных параметрах р^ для любого значения

компонент скоростей пластических деформаций £р^ имеет место неравенство * р . р

< а^Ег-, где а^- - действительные значения компонент тензора напря-

р

жений, соответствующие данному значению е-, - компоненты возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения. Иными словами, из всех возможных процессов пластического деформирования осуществляется тот, в котором мощность диссипации механической энергии максимальна (производство энтропии максимально (1.20)). В таком случае поверхность f(<7ij) = 0 (определенная комбинация значений ) оказывается пластическим потенциалом и следует ассоциированный закон пластического течения

(рг] = > 0, (1.26)

где dpij - приращение пластической деформации, - величина, называемая неопределенным множителем. Значение обязано быть положительным в области пластического течения [99].

В (1.26) учитывается, что поверхность f(oгj) является неизменной в пространстве напряжений, т.е. не зависит от истории деформирования и скорости

деформирования. Данные условия задают пластическое течение, которое называется идеальным пластическим течением. Если поверхность нагружения имеет особую линию, образуемую пересечением поверхностей

) = 0,

Ji{ ^ (1.27)

/2К-) = 0,

то ассоциированный закон пластического течения следует записать в форме

d^j =d^i + 6 . (1.28) datJ ouij

В простейшем случае в качестве поверхности нагружения можно принять одно из следующих условий пластичности:

условие максимального приведенного напряжения (призма Треска):

max — aj| = 2к(Т); (1.29)

условие максимального приведенного касательного напряжения (призма Ивлева-Ишлинского):

4

max |a — a| = 3ЦТ); (1.30)

условие максимального октаэдрического напряжения (цилиндр Мизеса):

о

тцтц = 3к2 (Т). (1.31)

В условиях (1.29), (1.29), (1.29) a,b - главные напряжения, a = -(ai + a2 + 1 3

a3), Tij = aij — -akk^ij, к(Т) - предел текучести материала, значение которого 3

может существенно зависеть от уровня температуры.

1.2. Определение напряженно-деформированного состояния упруго-пластического материала при тепловом воздействии

Используя соотношения (1.8) - (1.25), рассмотрим в общем виде задачу определения напряженно-деформированного состояния тел, подверженных влиянию температурного градиента.

Будем полагать, что материал деформируется в условиях медленного изменения внешних температурных условий. Скорости деформаций, возникающие при деформировании материала считаются малыми, что позволяет пренебречь функцией источника в уравнении теплопроводности (1.25) и записать его в более простой форме:

Решение уравнения (1.32) с необходимыми начальными и граничными условиями позволяет определять поле температур независимо от напряженно-деформированного состояния материала. Таким образом решение задачи находится в рамках теории температурных напряжений [96].

Следуя условию малости скоростей деформаций, в уравнении движения (1.13) будем пренебрегать инерционными слагаемыми. При отсутствии массовых сил из (1.13) получим уравнение равновесия

В качестве поверхности нагружения выберем условие пластичности Ми-зеса (1.31). Соотношения для приращений пластических деформаций (1.26) в таком случае примут вид:

д Т

д1 = кТ>гг

(1.32)

(1.33)

Фу = ^ (3аг] - акк5г])

(1.34)

Из (1.34) следует условие пластической несжимаемости материала

(1р гг = 0. 19

(1.35)

Приращение пластической деформации представим в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дац, Евгений Павлович, 2017 год

Литература

1. Биргер, И. А. Остаточные напряжения / И. А. Биргер. — Москва: Машгиз,

1963.

2. Биргер, И. А. Расчет на прочность деталей машин / И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, Г. Б. Иосилевич. — Москва: Машиностроение, 1993.

3. Биргер, И. А. Теория пластического течения при неизотермическом нагру-жении / И. А. Биргер // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. —

1964. —№ 1. —С. 193-196.

4. Биргер, И. А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности / И. А. Биргер // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. — 1963. — № 1. — С. 47-56.

5. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. — Москва: Мир, 1956. —С. 407.

6. Ильюшин, А. А. Пластичность, часть 1: Упруго-пластические деформации / А. А. Ильюшин. —Москва: ГИТТЛ, 1948.

7. Ильюшин, А. А. Упругопластические деформации полых цилиндров / А. А. Ильюшин, П. М Огибалов. — Москва: Издательство МГУ, 1960.

8. Прагер, В. Проблемы теории пластичности / В. Прагер. — Москва: Физ-матлит, 1958.

9. Прагер, В. Теория идеально пластических тел / В. Прагер, Ф. Ходж. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1956.

10. Поздеев, А. А. Остаточные напряжения: теория и приложения / А. А. Поз-деев, Ю. И. Няшин, П. В. Трусов. — Москва: Наука, 1982.

11. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работ-нов. — Москва: Наука, 1979.

12. Работнов, Ю. Н. Модель упругопластической среды с запаздыванием текучести / Ю. Н. Работнов // Прикладная механика и техническая физика. — 1968. —№ 3. —С. 24-43.

13. Шорр, Б. Ф. Циклическая ползучесть неравномерно нагретых цилиидров / Б. Ф. Шорр // Тепловые напряжения в элементах конструкции. — 1964. — № 4. —С. 256-265.

14. Шорр, Б. Ф. К расчету неравномерно нагретых цилиндров в упругопластической области / Б. Ф. Шорр // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. — 1960. — № 6. — С. 57-62.

15. Паркус, Г. Неустановившиеся температурные напряжения / Г. Паркус. — Москва: Физматлит, 1963. —С. 252.

16. Parkus, H. Spannungen beim abkuhlen einer kugel / H. Parkus // Ingeneur-Archiv. — 1959. — Vol. 28. — P. 251-254.

17. Parkus, H. Stress in a centrally heated disk / H. Parkus // Proc. Second U.S. Nat. Congr. Appl. Mech. — 1954.— Vol. 32. —P. 307-311.

18. Gamer, U. On the elastic-plastic deformation of a sphere subjected to a spherically symmetrical temperature field / U. Gamer // Journal of Thermal Stresses. —1988. —Vol. 13. —P. 159-173.

19. Raniecki, B. Stresses in an elastic-plastic hollow sphere subjected to a variable temperature field / B. Raniecki // Rozpr. Inz. — 1966.—Vol. 14.— P. 479.

20. Ломакин, В. А. Одномерная задача о температурных напряжениях в упру-гопластической среде / В. А. Ломакин // Инженерный сборник. —1959. — Т. 25. —С. 9-11.

21. Быковцев, Г. И. Теория пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. — Владивосток: Дальнаука, 1998.

22. Altenbach, H. Yield criteria of hexagonal symmetry in the ^-plane / H. Altenbach, V. Kolupaev, M. Yu // Acta Mechanica. — 2013.— Vol. 224.— P. 1527-1540.

23. Altenbach, H. Yield criteria for incompressible materials in the shear stress space / H. Altenbach, V. Kolupaev, A. Bolchoun // Experimental and Numerical Investigation of Advanced Materials and Structures. — 2013. — P. 107-119.

24. Артемов, М. А. Альтернативные формы записи кусочно-линейных условий пластичности и их обобщения / М. А. Артемов, Е. С Барановский, А. П. Якубенко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. — 2015. — № 1. —С. 71-82.

25. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — Москва: Наука, 1969.

26. Александров, С. Е. Упругопластическое напряженно-деформированное состояние в пластине с запресованным включением под действием температурного поля / С. Е. Александров, Н. Н. Чиканова // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2000. — Т. 4. — С. 149-158.

27. Александров, С. Е. Решение темоупругопластической задачи для тонкого диска из пластически сжимаемого материала, подверженного термическому нагружению / С. Е. Александров, Е. В. Ломакин, Й. Р. Дзенг // Доклады Академии Наук. — 2012. — Т. 443. —С. 310-312.

28. Александров, С. Е. Влияние зависимости предела текучести от температуры на напряженное состояние в тонком полом диске / С. Е. Александров, Е. А. Лямина, О. В. Новожилова // Проблемы машиностроения и надежности машин. —2013. —Т. 3. —С. 43-48.

29. Odeno, H. Transient thermal stresses in discs with a temperature dependent yield stress / H. Odeno // Acta Polytech. Scand. Phys. Incl. Nucleon. Series. — 1969. — Vol. 66. — P. 243-257.

30. Odeno, H. Transient thermal stresses in elasto-plastic discs / H. Odeno // Journal Mechnical Engineering Science. — 1969. — Vol. 2. — P. 384-391.

31. Gamer, U. Elastic-plastic deformation of a centrally heated disk / U. Gamer // Journal of Thermal Stresses. — 1985. — Vol. 8. — P. 41-51.

32. Guven, U. Linear hardening solid disk with rigid casing subjected to a uniform heat source / U. Guven, O. Altay // Mechanics Research Communications. — 1998. — Vol. 25. — P. 679-684.

33. Guven, U. Elastic-plastic solid disk with nonuniform heat source subjected to external pressure / U. Guven, O. Altay // International Journal of Mechanical Sciences. — 2000. — Vol. 42. — P. 831-842.

34. Gamer, U. Ein radialsymmetrischer warmespannungszustand in der idealplastischen scheibe / U. Gamer // Ingenleur-Archiv. — 1967. — Vol. 32.— P. 174-191.

35. Dats, E. On unsteady heat effect in center of the elastic-plastic disk / E. Dats, E. Murashkin // Lecture Notes in Engineering and Computer Science. — 2016. —Vol. 2223. —P. 69-72.

36. Буренин, А. А. Формирование поля остаточных напряжений в условиях локального телпового воздействия / А. А. Буренин, Е. П. Дац, Е. В. Му-

рашкин // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2014. — № 2. — С. 124-131.

37. Сальманов, И. Д. Остаточные напряжения и деформации при сварке / И. Д. Сальманов, М. Ю. Барановский, В. А. Тарасов // Строительство уникальных зданий и сооружений. — 2014. — Т. 4. — С. 64-75.

38. Mack, W. Thermal assembly of an elastic-plastic hub and a solid shaft / W. Mack // Arch. Appl. Mech. — 1993.— Vol. 63. —P. 42-50.

39. Kovacs, A. Hardening effects on the stress distribution in a shrink fit under cyclic thermal loading / A. Kovacs // Periodica Polytechnica Ser.: Mech. Eng. —1991. —Vol. 35. —P. 49-64.

40. Kovacs, A. Residual stresses in thermally loaded shrink fits / A. Kovacs // Periodica Polytechnica. Ser.: Mech. Eng. — 1996.— Vol. 40. —P. 103-112.

41. Kovacs, A. Thermal stresses in a shrink fit due to an inhomogeneous temperature distribution / A. Kovacs // Acta Mechanica. — 1994. — Vol. 105.— P. 173-187.

42. Bengeri, M. The influence of the temperature dependence of the yield stress on the stress distribution in a thermally assembled elastic-plastic shrink fit / M. Bengeri, W. Mack // Acta Mechanica. — 1994. — Vol. 103. —P. 243257.

43. Orcan, Y. On the expansion of plastic regions in the annular parts of a shrink fit during assemblage / Y. Orcan, U. Gamer // Z. Angew. Math. Mech. — 1994. —Vol. 74. —P. 25-35.

44. Берникер, Е. И. Посадка с натягом в машиностроении / Е. И. Берникер. — Ленинград: Машиностроение, 1966.

45. Допуски и посадки: Справочник / В. Д. Мягков, М. А. Полей, А. Б. Романов, В. А. Горагинский.—Ленинград: Машиностроение. Ленинградское отделение, 1982.

46. Белкин, И. М. Допуски и посадки / И. М. Белкин. — Москва: Машиностроение, 1992.

47. Лозинский, М. Г. Строение и свойства материалов и сплавов при высоких температурах / М. Г. Лозинский. — Москва: Металлургия, 1963.

48. Белов, А. Ф. Строение и свойства авиационных материалов / А. Ф. Белов. — Москва: Металлургия, 1989.

49. Orcan, Y. Residual stresses and secondary plastic flow in a heat generating elastic-plastic cylinder with free ends / Y. Orcan // International Journal of Mechanical Sciences. — 1995.— Vol. 33. —P. 1689-1698.

50. Буренин, А. А. Большие необратимые деформации и упругое последействие / А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк. — Владивосток: Дальнаука, 2013.

51. Bland, D. Elasto-plastic thick-walled tubes of work-hardening subject to internal and external pressures and to temperature gradients / D. Bland // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1956. — Vol. 4. — P. 209229.

52. Orcan, Y. Elastic-plastic deformation of a centrally heated cylinder / Y. Orcan, U. Gamer // Acta Mechanica. — 1991.— Vol. 90. —P. 61-80.

53. Eraslan, A. Computation of transient thermal stresses in elastic-plastic tubes: Effect of coupling and temperature dependent physical properties / A. Eraslan, Y. Orcan // Journal of Thermal Stresses. — 2002. — Vol. 25.— P. 559-572.

54. Gulgec, M. On the elastic-plastic deformation of a centrally heated cylinder exhibiting linear hardening / M. Gulgec, Y. Orcan // Journal of Applied Mathematics and Mechanics (ZAMM). — 1999.— Vol. 79. —P. 493-498.

55. Eraslan, A. Thermal stresses in elastic-plastic tubes with temperature-dependent mechanical and thermal properties / A. Eraslan, Y. Orcan // Journal of Thermal Stresses.— 2001.— Vol. 24. —P. 1097-1113.

56. Eraslan, A. Thermoplastic response of a linearly hardening cylinder subjected to nonuniform heat source and convective boundary condition / A. Eraslan, Y. Orcan // Mechanics Based Design of Structures and Machines: An International Journal. — 2004. — Vol. 32. — P. 133-164.

57. Дац, Е. П. Исследование необратимых деформаций в материале биметаллической трубы, полученной в результате горячей посадки / Е. П. Дац, А. В. Ткачева // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам. — Алушта: МАИ, 2015. —С. 251-253.

58. Дац, Е. П. Исследование остаточных напряжений в материале цилиндрических соединений, полученных в результате горячей посадки / Е. П. Дац, А. В. ткачева //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сборник докладов. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. —С. 1140-1142.

59. Дац, Е. П. Технологические температурные напряжения в процессах горячей посадки цилиндрических тел при учете пластических течений / Е. П. Дац, А. В. Ткачева // Прикладная механика и техническая физика. — 2016. — Т. 57, № 3. — С. 208-216.

60. Дац, Е. П. Кусочно-линейные пластические потенциалы в задачах теории температурных напряжений о сборке горячей посадкой / Е. П. Дац,

М. Р. Петров, А. В. Ткачева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2015. — № 4. — С. 250-264.

61. Шевченко, Ю. Н. Физические уравнения термовязкопластичности / Ю. Н. Шевченко, Р. Г. Терехов. — Киев: Наукова думка, 1982.

62. Шевченко, Ю. Н. Термопластичность при переменных нагружениях / Ю. Н. Шевченко. — Киев: Наукова думка, 1970.

63. Шевченко, Ю. Н. Численные методы в нестационарных задачах теории термопластичности / Ю. Н. Шевченко, П. А. Стеблянко, А. Д. Петров // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. — 2014. — Vol. 22. —P. 250-264.

64. Проверка гипотезы малых упругопластических деформаций при неизотермических процессах нагружения / Ю. Н. Шевченко, Р. Г. Терехов, В. Я. Баш, С. М. Захаров // Тепловые напряжения в элементах конструкций. — 1977. — Т. 17. —С. 25-29.

65. Шевченко, Ю. Н. Вычислительные методы в стационарных и нестационарных задачах теории термопластичности / Ю. Н. Шевченко, П. А. Стеблянко // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. — 2012. —Т. 18. —С. 211-226.

66. Шевченко, Ю. Н. Термоупругопластическое состояние тел вращения с учетом истории нагружения / Ю. Н. Шевченко, В. Г. Савченко, В. В. Пискун // Нелинейные задачи строительной механики. Оптимизация конструкций. — 1978. — С. 3-7.

67. Теория пластических оболочек при неизотермических процессах нагружения / Ю. Н. Шевченко, М. Е. Бабешко, В. В. Пискун, В. Г. Савченко. — Киев: Наукова думка, 1980.

68. Шевченко, Ю. Н. Теория пластических оболочек при неизотермических процессах нагружения / Ю. Н. Шевченко, И. В. Прохоренко. — Киев: Наукова думка, 1981.

69. Шевченко, Ю. Н. Об определяющих уравнениях теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения / Ю. Н. Шевченко // Тепловые напряжения в элементах конструкций. — 1987. — Т. 18.— С. 17-23.

70. Шевченко, Ю. Н. Приближенные методы решения задач термопластичности при повторном нагружении / Ю. Н. Шевченко // Прочность и пластичность. — 1981. — С. 383-391.

71. Бабешко, М. Е. Термоупругопластическое деформирование составной оболочки в процессах осесимметричного нагружения с учетом третьего инварианта девиатора напряжений / М. Е. Бабешко, Ю. Н. Шевченко // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46. — С. 34-41.

72. Галанин, М. П. Разработка и реализация вычислительного алгоритма для расчета температурных напряжений, возникающих при нагреве металла с учетом фазовых переходов / М. П. Галанин, М. А. Гузев, Т. В. Низкая // Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.— 2005. —Т. 139. —С. 19.

73. Галанин, М. П. Численное решение задачи термопластичности с дополнительными параметрами состояния / М. П. Галанин, М. А. Гузев, Т. В. Низкая // Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. —2007. —Т. 8. —С. 20.

74. Буренин, А. А. К моделированию технологии горячей посадки / А. А. Буренин, Е. П. Дац, А. В. Ткачева // Сибирский журнал индустриальной математики. —2014. —Т. 17, №3. —С. 40-47.

75. Дац, Е. П. Вычисление необратимых деформаций в полом упругопласти-ческом шаре в условиях нестационарного температурного воздействия / Е. П. Дац, Е. В. Мурашкин, Р. Велмуруган // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2015. — № 3. — С. 168-175.

76. Горшков, С. А. Расчет плоского поля температурных напряжений в условиях пластического течения и разгрузки / С. А. Горшков, Е. П. Дац, Е. В. Мурашкин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2015. — № 3. — С. 169-175.

77. Дац, Е. П. Сборка конструкции кольцо в кольце способом горячей посадки / Е. П. Дац, А. В. Ткачева, Р. В. Шпорт // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2014. — № 4. — С. 225-235.

78. Пластическое течение и разгрузка полого цилиндра в процессе «нагрева-охлаждения» / А. А. Буренин, Е. П. Дац, С.Н. Мокрин, Е. В. Мурашкин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2013. — № 2. — С. 22-28.

79. Дац, Е. П. Расчет накопленной остаточной деформации в процессе «нагрева-охлаждения» упругопластического шара / Е. П. Дац, С. Н. Мокрин, Е. В. Мурашкин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2012. — № 4. — С. 250-264.

80. Дац, Е. П. Нестационарное поле плоских температурных напряжений в условиях локального нагрева / Е. П. Дац, Е. В. Мурашкин // Сборник

тезисов докладов XXXIV Дальневосточной математической школы-семинара имени академика Е. В. Золотова. — Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2008. —С. 197-198.

81. Дац, Е. П. Возможность пластического течения в присутствии нестационарного поля температур / Е. П. Дац, Е. В. Мурашкин // Сборник тезисов докладов XXXV Дальневосточной математической школы-семинара имени академика Е. В. Золотова. — Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. — С. 512-517.

82. Дац, Е. П. О повторном нагреве сплошного упругопластического шара / Е. П. Дац, С. Н. Мокрин // Сборник тезисов докладов XXXVI Дальневосточной математической школы-семинара имени академика Е. В. Золотова. — Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2012. —С. 106-109.

83. Дац, Е. П. Формирование полей остаточных напряжений в условиях нестационарного нагрева / Е. П. Дац, Е. В. Мурашкин // Материалы Всероссийской конференции «Школа по фундаментальным основам моделирования обработки материалов» и научно-технической конференции «Математическое, вычислительное и информационное обеспечение технологических процессов и систем». — Комсомольск-на-Амуре: КнаГТУ, 2010. —С. 44-45.

84. Бурени, А. А. Формирование поля остаточных напряжений в упругопла-стических телах за счет локального теплового воздействия / А. А. Бурени, Е. П. Дац, С. Н. Мокрин // Международная конференция «Современные проблемы механики», посвященная 100-летию А. А. Галина. Тезисы докладов.—Москва: ИПМех РАН, 2012. —С. 20.

85. Дац, Е. П. Возникновение и развитие зон необратимого деформирования в процессе нагревания и охлаждения / Е. П. Дац // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные технологии в

машиностроении. Сборник статей. №4. — Комсомольск-на-Амуре: ИМиМ ДВО РАН, 2013. —С. 16-26.

86. Dats, E. Generating residual stresses of a quill cylinder made of thermoplastic material / E. Dats, S. Mokrin, E. Murashkin // Advanced Problems in Mechanics: book of abstracts of International Summer School-Conference. — Saint-Petersburg: Polytechnical Univercity Publishing House, 2013. — P. 43.

87. Дац, Е. П. Расчет остаточных напряжений полого цилиндра из термоупур-гопластического материала / Е. П. Дац, С. Н. Мокрин, Е. В. Мурашкин // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам. — Алушта: МАИ, 2013. — С. 18-22.

88. Дац, Е. П. Упругопластическое состояние полого цилиндра при его неравномерном нагреве / Е. П. Дац, С. Н. Мокрин, Е. В. Мурашкин // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды IX Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. — Самара: СамГТУ, 2013. —С. 98-100.

89. Дац, Е. П. Формирование полей остаточных напряжений полого цилиндра из термоупругопластического материала / Е. П. Дац, С. Н. Мокрин, Е. В. Мурашкин // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. — Пермь: ИМСС УрО РАН, 2013. —С. 18-22.

90. Горшков, С. Н. Расчет напряженно-деформированного состояния тонкой прямоугольной пластины в условиях нестационарного теплового воздействия / С. Н. Горшков, Е. П. Дац, Е. В. Мурашкин // Успехи механики сплошных сред. Международная конференция, приуроченная к 75-летию академика В.А. Левина. — Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2014. —С. 152-155.

91. Дац, Е. П. Математическая модель процесса горячей посадки цилиндрических деталей / Е. П. Дац, А. В. Ткачева // Материалы VIII Всероссийской конференции по механике деформируемого твёрдого тела. — Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2014. —С. 198-200.

92. Дац, Е. П. Численное исследование темпратурных напряжений, вызванных процессом горячей посадки цилиндрических деталей / Е. П. Дац, А. В. Ткачева // Успехи механики сплошных сред. Международная конференция, приуроченная к 75-летию академика В.А. Левина. — Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2014. —С. 481-484.

93. Dats, E. Calculation of the residual stresses of hollow cylinder under unsteady thermal action / E. Dats, S. Mokrin, E. Murashkin // Lecture Notes in Engineering and Computer Science. — 2015.— Vol. 2218.— P. 1043-1046.

94. Dats, E. Calculation of the residual stress field of the thin circular plate under unsteady thermal action / E. Dats, S. Mokrin, E. Murashkin // Key Engineering Materials. —2016. —Vol. 685. —P. 37-41.

95. Дац, Е. П. Свидетельство о государственной регистрации программы для эвм. «математическое моделирование температурных и деформационных процессов, сопровождающих технологию горячей посадки в сборке металлоконструкций» / Е. П. Дац, А. В. Ткачева. — №2015617259; Заявл. 18.05.2015; Зарегистр. 03.07.2015.

96. Боли, Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. — Москва: Мир, 1964.

97. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. — Москва: Наука, 1964. —С. 488.

98. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлин-ский, Д. Д. Ивлев. — Москва: Физматлит, 2001.

99. Радаев, Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности (кинематические соотношения, определяющие течение на грани и ребре призмы кулона-треска) / Ю. Н. Радаев // Известия Саратовского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2008. — № 2. —С. 34-76.

100. Пэжина, П. Проблемы термопластичности / П. Пэжина, А. Савчук // Проблемы теории пластичности и ползучести. — 1979. — Т. 18. — С. 94-202.

101. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — Москва: Наука, 1989. —С. 426.