Ползучесть и пластическое течение материалов в задачах со сферической симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Галимзянова Ксения Наилевна

• Галимзянова Ксения Наилевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Галимзянова Ксения Наилевна

1.1 Кинематика больших деформаций

1.2 Определяющие законы

1.3 Возможные конкретизации определяющих зависимостей

Глава 2 Деформирование вязкоупругопластического сферического слоя в условиях всестороннего гидростатического сжатия

2.1 Постановка и решение задачи до пластического течения

2.2 Пластическое течение

2.3 Пластическое течение при постоянном давлении и разгрузка среды

2.4 Повторное пластическое течение при разгрузке

Глава 3 Ползучесть, вязкопластическое течение и разгрузка материала сферического слоя под действием изменяющегося со временем давления

3.1 Постановка и решение задачи до возникновения вязкопластического течения

3.2 Вязкопластическое течение

3.3 Разгрузка среды

Глава 4 Большие деформации полого шара, находящегося под действием изменяющегося со временем давления

4.1 Постановка и решение задачи до начала вязкопластического течения

4.2 Вязкопластическое течение

4.3 Разгрузка среды

Заключение

Список литературы

Введение

Упругость, вязкость, пластичность - основные свойства деформируемых тел, задающие процессы их деформирования в изотермических условиях. Упругие свойства определяют консервативный механизм, а вязкие и пластические диссипативный механизм процесса деформирования материалов, из которых изготовлены тела, подвергнутые механическим воздействиям. Только с целью упрощения математического аппарата одним или двумя из перечисленных свойств пренебрегают. На таком пути следуют классические теории упругости [83, 93], пластичности [27, 42, 53, 56], ползучести [3, 55, 111, 115], вязкоупругости [52, 71, 87], вязкопластичности [88, 90, 95] и др. Комбинируя именно эти свойства деформируемых материалов, добиваются соответствия теоретических результатов опытным данным и на таких основаниях получают теоретическую возможность прогнозирования результатов технологических операций обработки материалов давлением. В этом состоит существо промышленных технологий производства деталей, элементов конструкций и сборок из них вплоть до функциональных изделий. Постоянно повышающиеся требования к прочности и износостойкости конструкционных элементов и деталей механизмов заставляют уточнять в свою очередь и основополагающие теоретические допущения. Таким способом с необходимостью создаются новые математические модели деформирования, сочетающие в себе новые комбинации тех же свойств (упругость, вязкость, пластичность) деформируемых (часто новых) материалов.

Иногда оказывается невозможным пренебречь ни одним из перечисленных свойств [19, 110]. Так, например, ряд технологических операций обработки металлов давлением (прокатка, волочение, штамповка) основаны на расчетах в рамках идеального жесткопластического анализа [41, 65, 85, 104, 123], когда обратимыми (упругими) деформациями из-за их малости в сравнении с необратимыми (пластическими) пренебрегают. Это допущение позволяет рассчитывать значительное формоизменение материалов, но не позволяет указать итоговое (остаточное) распределение напряжений в готовом изделии и его

итоговую геометрию [13, 74, 97, 133, 137]. Современные технологии формовки и обтяжки обязаны учитывать упругий отклик при разгрузке и снятии оснастки [19, 74] как раз с целью добиться высокой геометрической точности готовых изделий [2, 96, 126]. Теория малых упругопластических процессов (деформационная теория пластичности [126]) приводит часто к вполне удовлетворительным для практики результатам, но ограничена предположением о малости деформаций. Имеются многочисленные попытки обобщения таких подходов на случай больших деформаций [86, 102, 103]. Далее на способе расчетов больших деформаций при значительных изменениях в форме деформируемых материалов в условиях их механической обработки остановимся более подробно.

Основной трудностью при разработке математической модели больших деформаций, включающих в себя как обратимые (упругие), так и необратимые (пластические) деформации, оказалось само определение необратимых деформаций. Теория пластичности и ползучести, учитывающая конечность необратимых деформаций в присутствии обратимых, требует разделения опытно измеряемых полных деформаций в теле на обратимую и необратимую составляющие. Эти составляющие не могут измеряться в экспериментах и поэтому оказываются произволом конструктора математической модели. Требуется только соблюдать геометрическую корректность в таком разделении, что оказалось не простой задачей. После нескольких первых неудачных попыток впервые геометрически непротиворечивая кинематика упругопластических деформаций была построена [164] полвека назад на основании так называемого мультипликативного разделения полных деформаций на обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) составляющие. Если полные деформации опытно измеримы, то для их составляющих, как отмечалось, это невозможно. Необходимость в разделении диктуется только потребностью в построениях математической модели, основанной на теории пластического течения. Предложенная в [164] кинематика предполагает однозначное соответствие каждому текущему состоянию упругопластического тела единственного состояния полной разгрузки, когда в теле совершенно отсутствуют обратимые деформации.

Добиться состояния полной разгрузки можно только предельным измельчением деформируемого тела и снятием усилий с каждым таким способом полученной «материальной точки». Следовательно, введение такого состояния тела является гипотетическим. При этом, как правило, не обсуждается единственность данного состояния полной разгрузки при изменениях в пути разгрузки в пространстве напряжений. Более того, требуется еще одно гипотетическое предложение об определении скоростей пластических деформаций. В [78] соответствующий параграф так и озаглавлен «проблема выбора объективной производной по времени...». Таким образом тензор скоростей необратимых деформаций просто назначается посредством «выбора» некоторой объективной производной по времени от тензора необратимых деформаций. И все же геометрическая корректность подобных построений оказалась настолько привлекательной, что во многом определила дальнейшее развитие теории больших упругопластических деформаций. Впоследствии было предложено значительное число математических моделей, основанных именно на таком мультипликативном подходе в построении кинематических соотношений. С ними можно ознакомиться в обзоре [170], где обсуждается состояние проблемы на конец прошлого века. Поскольку в обзоре [170] нет достаточного упоминания о работах отечественных авторов, укажем работы [1, 4, 17, 67, 70, 89, 103, 140]. Современное состояние в данном направлении фундаментальной механики представлено в [7, 8, 19, 29, 34, 39; 64, 60, 94, 118, 127, 131, 162, 175, 178, 179, 180, 187, 193].

Отдельно следует отметить математическую модель больших деформаций упругопластических материалов, которая будет использоваться в настоящей работе. В работе В.П. Мясникова [91] отмечено, что согласно формализму термодинамики, при объявлении составляющих полных деформаций термодинамическими параметрами состояния упругопластического тела следует сформулировать для них соответствующие дифференциальные уравнения их изменения (переноса). Именно в этих уравнениях необходимо определить и источники данных переменных состояния, и потоковые слагаемые, отражающие их взаимодействие в процессе деформирования. В [91] была намечена

соответствующая схема формирования уравнений переноса. Возможная конкретизация таких дифференциальных уравнений в простейшем случае была предложена в [91] и позднее подробно описана в [19]. Важно заметить, что построенная на таком пути математическая модель больших деформаций упругопластических и упруговязкопластических деформаций является геометрически и термодинамически корректной и не содержит в себе произвола «выбора» объективной производной по времени от тензора необратимых деформаций. Такая производная оказывается единственно возможной при формулировании уравнения изменения (переноса) тензора необратимых деформаций. Перспективность такого подхода подтверждена решением в его рамках целого ряда краевых задач соответствующей теории больших деформаций. Часть таких решений, включая аналитические, помещена в [19]. Отметим здесь также решения [20-24, 27, 59, 60, 63], не вошедшие в [19], и решения [25, 33, 121], полученные в последнее время. На основе модели, также геометрически непротиворечивой, но основанной на мультипликативном разделении полных деформаций на составляющие, служащей, по существу, определениями обратимых и необратимых деформаций, получить подобные решения практически не удалось

[4].

В таком случае прибегают к построению приближенных численных решений [132, 154, 163, 191]. Однако разработка методик численных расчетов оказалась также не беспроблемной. В основном имеющиеся алгоритмы расчетов состояний упругопластических тел, способных накапливать большие деформации, базируется на системе уравнений, записанных в скоростях деформаций. При этом считается, что тензор скоростей полных деформаций Эйлера представим суммой скоростей обратимых и необратимых деформаций. Но тогда необходимо связать тензор скоростей обратимых деформаций с тензором напряжений. С этой целью его приходится дифференцировать по времени. Снова возникает проблема «выбора» для объективной производной по времени теперь от тензора напряжений. Так в [154, 163, 169, 188] в качестве такой производной выбирается производная Зарембы-Яумана-Нолла, в [159, 177] - производная Грина-Нагди, в [185]

производная Ли. Сравнения приближенных численных решений, полученных с использованием различных обобщенных производных по времени, проводились в [184, 191] и результаты оказывались сопоставимы только при малых обратимых деформациях. В случае роста обратимых деформаций в окрестности упругопластических границ наблюдались [171, 190] недопустимые осцилляции в результатах расчетов. Таким образом, создание численных методов для изучения производства больших деформаций в упругопластических средах остается до настоящего времени одной из насущных фундаментальных задач механики деформирования. Хочется надеяться, что прогресс здесь возможен также с использованием подхода [19].

Большие необратимые деформации в материалах могут производиться не только в быстрых по времени процессах пластического течения при напряжениях, близких или превышающих пределы текучести таких материалов, но и при напряжениях значительно меньших данного предела в медленных процессах ползучести. Зачастую добиться значительного формоизменения материалов именно за счет их деформирования в режиме ползучести оказывается необходимым технологическим требованием. Ряд конструкционных материалов в условиях их интенсивного и высокоскоростного деформирования как раз при пластическом течении за счет неконтролируемых структурных изменений в них теряют свой прочностной ресурс. Формоизменение таких материалов (высокопрочные алюминиевые сплавы) за счет медленного процесса ползучести при пониженном относительно предела текучести уровне нагружающих усилий является [30, 36, 37, 38, 72, 73, 97] единственно приемлемым.

Теория ползучести является, по существу, теорией вязкоупругости, но исключительная важность данной существенно нелинейной теории для задач длительной и усталостной прочности, технологических задач производства металлоизделий [3, 14, 81, 84, 85, 92, 111, 113, 125] выделяет ее в общепризнанную самостоятельную теорию. Определяющим в построениях данной теории является постулирование зависимости скоростей необратимого деформирования (скоростей ползучести) от уровня и распределения в теле напряжений. Наиболее известной и

применимой в расчетах такой зависимостью является двухпараметрический степенной закон Нортона [174]. Ранее в теории и приложениях использовался закон Шестерикова [144], но построение универсальных зависимостей невозможно из-за существенно различного деформационного отклика разных материалов на одинаковое воздействие. При этом этот отклик сильно изменяется с изменением температуры. Следовательно, в каждом конкретном случае оказываются необходимыми собственные испытания на ползучесть. В [134] представлен программный комплекс, способный по опытным данным устанавливать с заданной точностью как раз оговоренные зависимости. При этом законы Нортона и Шестерикова оказываются одними из возможных, но не всегда оптимальными для разных материалов и различных условий испытания.

В технологических задачах формоизменения материалов за счет медленного процесса их ползучести возникает еще одна проблема фундаментального характера. В операциях формовки [16, 97] или обтяжки [74] за счет ползучести с необходимостью возникают локальные пластические области. Чаще всего в местах воздействия оснасткой на формуемые элементы, которые выступают в качестве концентраторов напряжений. Наличие таких областей существенно влияет на уровень и распределение напряжений в формуемом конструкционном элементе и, следовательно, вносит существенные изменения в процесс формовки (или обтяжки) в целом. Следовательно, при математическом моделировании операций высокоточной формовки [2, 15] данное обстоятельство необходимо учитывать. То есть наряду с упругими и вязкими (ползучесть) свойствами материалов приходится учитывать и их пластические свойства. Следует заметить, что в [2, 15, 16, 97] рассматривалась формовка тонких панелей, где, несмотря на большие перемещения и повороты, удается все же оставаться в рамках малых деформаций. При обтяжке [74] или формовке элементов усиления конструкций планера летательных аппаратов [72] с необходимостью приходится обращаться к теории больших деформаций. Каким способом следует сопрягать на упругопластических границах области ползучести и пластичности? Ведь на продвигающейся границе пластической области уже присутствуют необратимые деформации ползучести, а

далее они же в форме пластических должны расти уже в условиях пластического течения? Это основные вопросы, встающие при появлении и развитии пластических областей в условиях общего деформирования за счет процесса ползучести, причем не только в случае, когда необратимые деформации ползучести оказываются большими [155, 186].

Отчасти ответ на подобные «вызовы» со стороны технологической практики к фундаментальной механике деформирования дается публикацией [12]. Деформации ползучести и пластического течения в [12] считаются неразличимыми, также как и в [186]. Это одни и те же необратимые деформации, только произведены они в разных диссипативных процессах ползучести и пластического течения. Для них справедливо одно и то же кинетическое дифференциальное уравнение переноса. И только для источника в таком уравнении выбираются различные законы: закон ползучести при напряжениях, не достигающих поверхности нагружения, или ассоциированный с данной поверхностью закон пластического течения при напряженных состояниях, удовлетворяющих условиям пластичности. Таким образом, упругопластическая граница оказывается поверхностью, где скачкообразно меняется механизм производства необратимых деформаций с ползучести на пластичность и при разгрузке наоборот. Накопленные необратимые деформации ползучести в активном процессе становятся начальными для последующего их роста в условиях пластического течения. При разгрузке на соответствующей упругопластической границе данные деформации меняются местами. В недавних работах [6, 9, 11, 149, 150, 176] на примере наиболее простых задач теории больших деформаций предметно изучается именно данное согласование в начальных условиях. В [176] решается задача о прямолинейном движении, в [9, 11, 149] о вискозиметрическом деформировании материала. В качестве условия пластического течения используется соответствующее обобщение кусочно-линейного условия Треска -Сен-Венана. В настоящей работе рассмотрим сферически симметричную задачу с использованием условия пластичности Мизеса.

Таким образом, целью работы является постановка и решение краевых задач в случаях, когда необратимые деформации последовательно накапливаются в условиях ползучести и пластического течения, с последующей разгрузкой, расчетом сформированных таким способом остаточных напряжений и изучением их релаксации после полной разгрузки. Классом рассматриваемых задач является деформирование сферического слоя при его всестороннем сжатии.

Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач.

1. Постановка и решение краевой задачи о нагрузке и разгрузке сферического упругопластического слоя в условиях всестороннего гидростатического сжатия. Исследование возникновения и развития пластического течения в материале с накопленными деформациями ползучести, определение продвигающейся упругопластической границы при нагрузке. Изучение торможения течения при разгрузке в условиях уменьшающегося давления, вычисление деформаций, перемещений, напряжений на всех этапах процесса деформирования, включая релаксацию напряжений после полного снятия нагрузки.

2. Постановка и решение задачи о нагрузке и разгрузке сферического слоя в случае, когда вязкие свойства материала проявляются как в процессах, предваряющих пластическое течение, так и при пластическом течении (вязкопластичность). Определение закономерностей продвижения упругопластической границы при нагрузке и разгрузке, вычисление деформаций, перемещений, напряжений, исследование релаксации напряжений после полного снятия нагрузки.

3. Постановка и решение краевой задачи теории больших деформаций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами о динамике границы микропоры в условиях всестороннего гидростатического сжатия.

4. Разработка алгоритмов и программ расчетов напряжённо-деформированных состояний материалов в указанных случаях.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, обусловлена постановками и решениями новых краевых задач теории и малых, и больших

деформаций материалов в рамках нового подхода к описанию накопления деформаций ползучести и пластичности с предложенными методами их решения.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании классических подходов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред. Используемая математическая модель больших упруговязкопластических деформаций может считаться достаточно апробированной; из нее в частном случае при переходе к малым деформациям следуют соотношения классической модели типа Прандтля - Рейса. При решении конкретных краевых задач дополнительные гипотезы не использовались, применяемые численноаналитические процедуры являются общепризнанными.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ползучесть и пластическое течение материалов в задачах со сферической симметрией»

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях:

- IX Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2016);

- Региональная научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам (Владивосток, 2016, 2017);

- 3rd fefu sns students, master's degree students and postgraduate students scientific-practical conference in english (Vladivostok, 2016);

- XX Юбилейная Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам.(Алушта, 2017);

- II Дальневосточная школа-семинар «Фундаментальная механика в качестве основы совершенствования промышленных технологий, технических устройств и конструкций». Комсомольск-на-Амуре, 2017);

- Международная научно-техническая конференция. (Воронеж, 2017).

Диссертация в целом докладывалась на научном семинаре в Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН (г. Комсомольск-на-Амуре) и объединённом научном семинаре отдела механики сплошных сред в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (г. Владивосток).

По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, 3 из которых изданы в ведущих рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК (в том числе 1 статья в издании, входящем в международную систему цитирования Web of Science), 11 в сборниках трудов и материалах конференций регионального, всероссийского и международного уровня.

Личный вклад автора. Все основные результаты, составившие диссертацию, получены автором лично. В работах, написанных в соавторсттве, автор участвовала в постановке задач, разработке алгоритмов решения и выполняла все необходимые вычисления.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (наименований). Общий объем работы - 94 страницы, в том числе 50 рисунков, включенных в текст.

Глава 1 Основные соотношения модели больших упругопластических

деформаций

1.1 Кинематика больших деформаций

Рассмотрим кинематику деформируемой среды, считая, что её деформации могут быть как обратимыми, так и необратимыми. Полагаем, что независимыми переменными являются пространственные координаты х. (/ = 1,2,3) точек среды.В прямоугольной декартовой системе координат используем Эйлеров способ задания закона движения среды:

а = а , х2, х3, ?) (1.1)

Здесь а - материальные координаты точки деформируемой среды (координаты Лагранжа), ? - время. В качестве аг принимаем координаты точек среды в её свободном состоянии при ? = 0.

Для компонент тензора дисторсии а . = да11дх} имеем уравнения их

изменения (переноса):

da

+ =0; ^ , , (1.2)

dщ ди,

=— = — + УтЩт; ик = хк - ак • dt д?

Соотношениями (1.2) вводятся в рассмотрение координаты и ., ук векторов

перемещений и скоростей точек среды соответственно. Для компонент тензора дисторсии и метрического тензора ^ введем представление

ду- У

ёу = = (д - )(дкт - 2Ркт )(дщ - У

Здесь ду - компоненты единичного тензора (символы Кронекера). Для тензора р из (1.3) следует:

Ру =1(ду - ?т,г У

Таким образом, введенный в (1.3) тензор с компонентами р является

симметричным р = р. Но тензор с компонентами ег)., в общем случае

представленный в (1.3), может и не быть симметричным; первое равенство из (1.3) не является полярным разложением тензора дисторсии. Исходя из (1.2) и (1.3), можно записать уравнения изменения для введенных в (1.3) тензоров

Ше^

-Г = У,,1~Ьу-еаУк, ] + Ь1кек],

Ш (1.4)

-Р„ 1 , dY,

-p- = -2(Ь„ + bß)-pA,+ bup„, bj = -y; -k

Чтобы тензор с компонентами e;). был симметричным,необходимо выполнение условия, следующего из (1.4)

bkm (^mj ^mj) (^km ekm m)bmj (^km ekm "У^ш, j Vm,k (^mj emj(1'5)

Таким образом для симметрии e = eß тензора в (1.2) требуется выполнение условия (1.5). Иначе, тензор с компонентами bkm не может быть произвольным, а удовлетворять зависимостям (1.5), и только в этом случае ey. = ^. Тензорное равенство (1.5) в таком случае следует рассматривать в качестве уравнения для bkm . Решением данного уравнения является [19]:

b = Гу + (sik-eik )tkj. (L6)

В решении (1.6) t^ - компоненты произвольного, но симметричного тензора: t = t . Тензор с компонентами r является кососимметричным r = r и для него r = w.. + A_1[B2(s, e,. -e., s, ) + B(s, e, e -e.,e, s ) +

ij ij L \ ik kj ik kj / \ ik km mj ik km mj /

+ e, s, e e - e.,e, s e ],

ik km mn nj ik km mn nj J?

v = — (v + v ) - — (v - v. ) = s + w.., (17)

i ,j 2 i,j j , 2 i, j j, y (17)

1 , 1

A = 8 - 8E + 3E2 -E2 - - El + - E3, B = 2- Ex, E1 = ejj , E2 = eij eji , El = eij ejk eki ■ Зависимости (1.6) и (1.7) дают возможность переписать уравнения (1.4) изменения компонент e. и ptj в форме

del

= Су - ? у - Гу + М у - егк (Ск, + Мку - ?ку ) + (Гк + ? к )ек, - е я?ткек

7 " у у у у ¡к \ ку ку к]) V 1к гк ) к] гт тк ку ?

л Ш (1.8)

dp у _ 1

(егк?ку + ?гкеку ) + (Ггк - ?гк )рку - ргк (Гку + ?ку ) + Ргкект?ту + ?шеткРку •

Положим в (1.6) компоненты произвольного симметричного тензора ^

равными нулю. Тогда уравнения переноса (1.8) упрощаются de 1 1

= Су + ™гкеку - егк™ку (елСЦ + Сг^ку ) + ~ (2гкеку + егк2ку X

Ф у _

^ МгкРку Ргкмку 1 ^гкРку Ргк^ку ■

МгкРк, - РгкМк, + ^ гк Рку - Ргк2Ь , (1.9)

2у = Гу - Му •

Согласно второму уравнению (1.9) для случая ?у = 0 получаем

°Ру ^ у л п тт

-¡у = —у - ГгкРку + РгЛу = 0 . (1.10)

V? dt

Если среда не деформируется (еу = 0), тосогласно (1.7) ^ =0. Тогда объективная производная (1.10) совпадает с производной Яумана( гу = м у). То есть в рассматриваемом случае компоненты тензора Р изменяются также, как

если бы среда двигалась как жесткое целое.

В отличие от производной Яумана в (1.10) вместо тензора вращений с компонентами м используется другой кососимметричный тензор ( г = ),

компоненты Г которого в своей главной линейной части совпадают с м . Согласно

(1.10) изменяются компоненты Рр при неизменном в целом данном тензоре. Это

обстоятельство предоставляет возможность отождествить компоненты Р с

необратимыми деформациями, а случай с ?у = 0 считать процессом обратимого

деформирования. При этом необратимые деформации в среде могут присутствовать, но изменяться в соответствии с (1.10), то есть так, как если бы среда двигалась как жесткое целое, не изменяя тензор необратимых деформаций. Наличие двух последних слагаемых во втором равенстве из (1.9) связано с геометрической корректностью в выборе объективной производной [7] с тем,

чтобы тензор необратимых деформаций с компонентами pl} не менялся в случае

обратимого деформирования Ц = 0. Заметим, что обратимое деформирование

таким образом полностью кинематически определено, поскольку оно продолжается в течение такого промежутка времени, когда неизвестный до сих пор тензор остается нулевым (ttJ = 0). Тогда же, когда необратимые деформации

накапливаются, компоненты произвольного симметричного тензора t обязаны

быть определены из других условий. Заметим, наконец, что компоненты d полных

деформаций Альманси, следуя (1.2), (1.3), вычисляются через зависимостями:

dj =\(Sv-gj]) = \(uuj + uj i — uk,iuk, j ) =

2 1 2 (1.11)

= ej + pj — ~^eikekj — eikpkj — pikekj + eikpkmemj •

Согласно (1.11) при признании ptj необратимыми деформациями, в качестве обратимых деформаций следует считать sp = etJ — 0.5etkekJ.

1.2 Определяющие законы

Рассмотрим первоначальный случай, когда необратимые деформации в среде не накапливаются, то есть в случае обратимого деформирования. Исходим из закона сохранения энергии, который запишем в форме:

de

pjt+qjj=j • (12)

Здесь р - плотность среды, e - плотность распределения внутренней энергии, qi - компоненты вектора потока тепла, av - компоненты тензора напряжений.

Рассматривая медленные процессы, в качестве термодинамического потенциала будем использовать свободную энергию, для плотности распределения W которой имеем:

WiejT ) = ej) — sT;

dW de ^ (1.13)

-= — s; — = T •

dT ds

где Т - температура, я - плотность распределения энтропии. В (1.13) принимается гипотеза о том, что термодинамические потенциалы деформирования задаются лишь консервативным механизмом деформирования, а диссипативный механизм полностью ответственен за производство энтропии. Иными словами полагаем, что Ф не зависит от необратимых деформаций.

Подстановка (1.13) в (1.12) приводит к соотношению:

дФ Ж/ --- + Т —

де„

Р(~--/ + Тл-) + =0. (1.14)

у

Исключив из (1.14) производные деформаций с помощью первого равенства из (1.9), его можно переписать в виде:

с ( Р

дФ дФ дФ дФ

ек/ + А В (е,к-~-ещ ектет/ ) +

-л -л к/ \ -л т/ -л

V Кде// де к дект де ,к

А_1о, дФ дФ А в(е,е, -е--е е е ) +

V /к кт ~ п/ ^ кт тп п/ /

детп де,к

(1.15)

- Ф _ дФ_ ^ Л

+ А (е/кект ~ емеу е/к р, етпемеу)

детп дект ) )

( дФ дФ ч „сЕ + РГ (е/к-2--Т— ек/) + РТ-г: + Я/, / = 0.

дек, дек ^

Отсюда в силу независимости процессов, задаваемых е , Г и Т, учитывая

симметрию тензора напряжений, получаем:

дФ

(дк/ - ек// Л

/к (1.16)

°У = Р^Т (8к/ - ^/)'

РТи+Я, / =°.

Первое соотношение из (1.16) представляет собой аналог известной в нелинейной теории упругости [83] формулы Мурнагана, второе - уравнение баланса энтропии в условиях обратимого деформирования. В областях, где необратимые деформации отсутствуют (рг] = 0), формула Мурнагана принимает

следующий вид:

дТ

а = р-(£, -2Ш, ),

(1.17)

Ш = е —е.^е,. .

у у 2 ¿У

Таким образом, напряжения через деформации вычисляются либо зависимостью (1.17) при отсутствии необратимых деформаций, либо первым соотношением из (1.16), когда необратимые деформации в среде присутствуют. При этом конкретные деформационные свойства среды обязаны определять задание конкретной функции Т = Т(еу, Т) или в случае отсутствия необратимых

деформаций, функции Т = Т(Ш1}, Т). Данные функции обязаны совпадать при р.,

стремящемся к нулю. Важно подчеркнуть, что формула Мурнагана задает напряжения в среде в зависимости только от обратимых деформаций, и это справедливо также и тогда, когда необратимые деформации изменяются.

Такое положение вполне аналогично классическому случаю упругопластической среды в математических моделях типа Прандтля-Рейса [3, 54]. В нашем случае задание напряжений уровнем и распределением обратимых деформаций является следствием гипотезы о независимости термодинамических потенциалов (свободная энергия, внутренняя энергия) от необратимых деформаций. Пусть теперь ^ Ф 0 в процессе деформирования. В таком случае в

среде могут накапливаться необратимые деформации. Теперь вместо первой зависимости (1.9) в уравнение (1.14) следует подставить первую же зависимость из (1.8). Результат такой подстановки запишем в виде:

(Р^~ (8у- е¿у ) - )еу +РТ~Г + Яу,/ = V]'

дел ш (1.18)

дТ дТ ( . )

= Р—- 2e¿] + ^тещ ) = Р—- Чу). де ¿ де ¿

Как и следовало ожидать, из (1.18) следует формула Мурнагана (1.16) и уравнение баланса энтропии с источником. Перепишем последнее уравнение в канонической форме уравнения баланса:

В (1.19) первое слагаемое правой части представляет собой полный поток энтропии, а два последующих задают производство энтропии за счет необратимых процессов теплопроводности и необратимого деформирования соответственно. Ограничимся далее изотермическим процессом деформирования. Обобщение на неизотермический случай, по-видимому, не встретит дополнительных сложностей, как это было в случае, где приобретение необратимых деформаций связывалось только с идеальным пластическим течением [32, 192]. В изотермическом случае производство энтропии осуществляется только за счет необратимого процесса деформирования, то есть за счет пластического течения, либо за счет вязкого сопротивления деформированию, либо процесса ползучести, что также связано с учетом вязких свойств среды. Производство энтропии за счет пластичности и вязкости происходит по-разному, но его можно обобщенно представить одним соотношением:

D = j (1.20)

Действительно, если среда не обладает пластическими свойствами, а только вязкими, или пластические свойства не проявляются в процессах, предваряющих течение или при разгрузке, то имеем классическое представление для источника энтропии [40]:

D = (jjS* (1.21)

В случае же идеальной пластичности для производства энтропии (его часто называют диссипативной функцией) также имеем классическое представление [46]:

D = CTjSp (1.22)

В (1.21) и (1.22) и sp соответственно скорости деформации ползучести и пластичности. Следовательно у = sV в областях, где не происходит пластическое

течение и у = sp при пластическом течении. Более сложное представление для у

остается для областей течения, когда такое течение невозможно считать идеальным. Вязкие свойства среды могут тормозить течение, что часто

моделируется добавлением соответствующих слагаемых в пластический потенциал (поверхность нагружения). Однако представление (1.20) будет справедливо и в этом случае; для у1} только следует находить более точное

определение. Согласно (1.19), (1.20) в самом общем случае изотермического деформирования получаем:

ЧГ, = т-'ч,,• (I-23)

Вместе с (1.16) и (1.18) последнее соотношение позволяет записать:

т = Та, (5, -е,.),

у гк Кк, , Л (1.24)

7у = * гк (3ку-еку )•

Последняя зависимость (1.24) связывает до настоящего времени неизвестный симметричный тензор с компонентами ^ с компонентами у1} тензора скоростей

необратимых деформаций р. . Исключая данный неизвестный тензор при помощи

второй зависимости из (1.24), будем иметь:

Бе- 1 ( \ \

у " £у - 7у - х 1<Лк - 7к + 2к )еку +}+ ек (7к, - 8ку - 2к,)ь

Г* у ,1] 2 Гр

у " 7у - Р 1к7к, -7,кРкР (1-25)

ГН Гп dn

—- =-- - + П,Г, •

Г* dt гк к гк к Согласно его механическому смыслу тензор с компонентами 7 следует

называть тензором скоростей необратимых деформаций.

Последним равенством из (1.25) введена объективная производная, записанная для компонент некоторого произвольного тензора ц. Именно с её

помощью обратимые и необратимые деформации оказываются связанными в процессе деформирования с тем, чтобы выполняя условия геометрической корректности, добиться неизменности тензора необратимых деформаций в тех случаях, когда их источник 7 тождественен нулю. Обратим еще раз внимание на

то обстоятельство, что при равенстве нулю нелинейной части тензора вращений г (^ = 0) введенная объективная производная совпадает с производной Яумана.

1.3 Возможные конкретизации определяющих зависимостей

Конкретизация общих зависимостей предыдущих параграфов связана с конкретизацией консервативного (упругого) и диссипативного (вязкопластического) механизмов деформирования. Консервативный механизм задается в рассматриваемом приближении изотермического деформирования заданием функции термодинамического потенциала Ф(еу ) (свободная энергия) в

зависимости от обратимых (упругих) деформаций. Данный механизм может существовать независимо от диссипативного механизма деформирования, определяющего накопление необратимых деформаций. Диссипативный механизм определяется пластическими и реологическими свойствами среды, для его конкретизации следует определить скорости у роста необратимых деформаций в

зависимости от напряжений в среде. Отметим еще раз принятые гипотезы при математическом моделировании общих соотношений предыдущего параграфа. К ним относятся принимаемые изначально положения о:

- присутствии в среде обратимых и необратимых деформаций;

- возможности существования чисто консервативного процесса деформирования, когда источник у в уравнениях изменения необратимых деформаций равен нулю

(У = 0) и необратимые деформации изменяются при консервативном (упругом)

процессе деформирования также, как если бы среда перемещалась как жесткое целое;

- том, что напряжения в среде определяются только уровнем и распределением обратимых деформаций или, что то же, свободная энергия является функцией только обратимых деформаций Ф = Ф(еу). В этом случае

Ж = Ро¥(ец ),

где Ж - упругий потенциал, Р0 - плотность материала в недеформированном состоянии (Л/ = 0).

Принятие данных положений заставило в целях геометрической и

термодинамической корректности модели принять соответствующий выбор (1.25) объективной производной по времени.

В целях конкретизации консервативного механизма деформирования зададим, например, термодинамический потенциал в форме его разложения в ряд по инвариантам тензора деформаций:

Л

Ж (А,/ 2,/ з) = ЛI2 + / 2 + 1/1/2 + + п1ъ + ... (126)

/1 = 5'}} ; /2 = ; /3 = 5 у5 •

Зависимость (1.26) предполагает изотропию среды и присутствие в ней необратимых деформаций, изменяющихся или неизменяющихся, то есть (1.26) предполагает ру Ф 0. Когда ру = 0, то вместо (1.26) следует использовать

разложение:

Л

Ж(/1,/2, J3) = ^/1 + //2 + Ц1J2 + т/1 + п/3 + ... ^ 27)

31= ; 32 = й .; Jз = d ^ .

Очевидно, что зависимость (1.26) переходит в (1.27) при ру = 0. В них Л, и - параметры Ламе, I, т, п - модули третьего порядка, значения которых опытно измерены для широкого класса материалов [83].

Для несжимаемой среды {бкк = 0) в формуле (1.16) необходимо добавить неопределеннное слагаемое

дЖ ( \

=~Р81] + — К - ), (1.28)

' ' двгк ' '

Здесь Р - добавочное гидростатическое давление. Условие несжимаемости

2 4 3 8

1 - 2/1 + 212 - 212 - 413 + 4/1/2 - ^ /з = 1

позволяет считать независимыми только /, /2. В этом случае напряжения могут присутствовать и в недеформированной среде, поэтому в разложении функции Ж{/\, /2) в ряд Тейлора могут присутствовать и линейные по деформациям слагаемые

Ж = (а-Ж + а!г + Ы2Х -к^-£3 +... ¡1 = яуу'; ¡2 = ЯгуЯуг

В (1.29) л - модуль сдвига, а, Ь,К,£ - упругие модули, которые могут быть определены экспериментально [83].

Когда р = 0, то вместо (1.28) следует использовать разложение:

Ж = (а- иЫл + аЫ + ЬЫ? - кЫЫ - Ы +...

У ' 1 2 1 1 2 1 (1.30)

Ы1= ^; Ы2= d гуdуг

Зависимость (1.29) переходит в (1.30) при р = 0.

Если пластические свойства деформируемой среды проявляются при достижении поверхности нагружения, то вязкие присущи всем этапам процесса деформирования. Только пренебрегая свойством вязкости материала деформируемой среды, её принимают в качестве упругой. Но свойство вязкости может оказаться определяющим для процесса деформирования причем, как в быстрых, так и в медленных таких процессах. В первом случае это влияние на процесс заметно проявляется в эффектах наклепа и эффекте Баушингера. Во втором данное свойство задает ползучесть материала и его усталостную прочность. Все такие свойства, определяемые вязкостью среды, могут задаваться различным их модельным учетом. Рассмотренные представления оставляют для этого соответствующий простор.

Далее будем считать, что необратимые деформации р. могут быть и

деформациями ползучести, и пластическими деформациями и необратимые деформации накапливаются в материале непосредственно с начала процесса деформирования. Таким образом, в уравнениях переноса необратимые деформации Р не разделяются на свои составляющие. Их различие связано с разными

механизмами накопления. В областях, где напряженное состояние еще не достигло поверхности текучести или, где пластическое течение происходило, но

V

прекратилось уу = £р.

Соответствующий диссипативный механизм деформирования зададим, введя

потенциал V (ау) в форме степенного закона получести Нортона [81, 174] V(а у) = Б2п(а1,а2,а3), 2 = Л((с - а)2 + (а2 - а)2 + (а3 - а)2)Ш,

1 ь У2 ч 2 дV (131)

а = -с =-(а1 +а2 + С3), У у = =

3 11 \ 1 2 3 II1 11 <*\

3 дсу

Здесь постоянные Б и п являются параметрами ползучести материала.

Когда напряженное состояние в материале достигает поверхности нагружения, диссипативный механизм деформирования меняется, появляется

область пластического течения. В таком случае у = £р.

Не разделяя необратимые деформации на составляющие, считаем, что накопленные к моменту начала пластического течения необратимые деформации ползучести (1.29), являются начальными значениями для накапливающихся далее в области течения пластических деформаций. Такой подход в случае учета вязких свойств среды при пластическом течении требует и совпадения скоростей необратимых деформаций при изменении механизма деформирования с вязкого на пластический.

В области пластического течения связь скоростей необратимых деформаций с напряжениями согласно принципу максимума Мизеса устанавливается ассоциированным законом пластического течения

где £*0 - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести в момент начала

пластического течения.

С целью учета вязких свойств среды при пластическом течении в качестве пластического потенциала можно использовать, например, условие пластичности Мизеса [27]

/ (ау) = Х^)-8 к \ = с-обу,

где к, г - постоянные материала (предел текучести и вязкость соответственно). Для упругопластической среды условие (1.30) принимает вид

/{*„) = уу-8 к2. (1.34)

Заметим, что вместо зависимостей (1.29) и (1.31) могут использоваться любые другие зависимости. Когда вязкими свойствами среды пренебрегается также при деформировании, предваряющем течение и в условиях разгрузки, то получаем математическую модель идеальной упругопластической среды, допускающей большие деформации [18, 19]. Дальнейшее обобщение (1.31) можно связать с включением в него слагаемых, ответственных за упрочнение. Если бы требовалось учесть эффект необратимой сжимаемости в условиях пластического течения, то поверхность нагружения следовало бы принять в форме конуса Мизеса-Шлейхера или пирамиды Кулона-Мора. Таким образом в теории больших деформаций возможно использование всех математических моделей, зарекомендовавших себя так или иначе при использовании предположения о малости деформаций. При этом оставляется свобода для построения новых моделей, полагая, например 7у = £р +еу, и задавая в области течения £р и £* самостоятельными зависимостями.

Глава 2 Деформирование вязкоупругопластического сферического слоя в условиях всестороннего гидростатического сжатия

Рассмотрим одномерную задачу о нагрузке и разгрузке вязкоупругопластического материала, расположенного в слое между двумя сферическими поверхностями и нагружаемого давлением на его внешней поверхности. Будем считать деформации малыми.

2.1 Постановка и решение задачи до пластического течения

В математической модели малых деформаций полные деформации dу складываются из обратимой ву и необратимой ру составляющих

фу = ву + Ру (ии у + и у - ) и- у = . (2.1)

2 оху

Напряжения в среде определяются только обратимыми деформациями через закон Гука

(У-у = ЛвкЛу + 2лву, (2.2)

Полагаем, что необратимые деформации накапливаются в материале непосредственно с начала процесса деформирования и могут быть как деформациями ползучести, так и пластическими деформациями.

Диссипативный механизм деформирования свяжем только с вязкими и пластическими свойствами материалов. В областях, где напряженное состояние еще не достигло поверхности текучести, диссипативный механизм деформирования зададим в форме закона ползучести Нортона (1.31).

При достижении напряженным состоянием поверхности текучести диссипативный механизм меняется: начинается пластическое течение. В качестве такой поверхности будем использовать условие пластичности Мизеса (1.34).

Пусть слой материала, ограниченный сферическими поверхностями г = г0 и г = Я (г0 < Я), находится в условиях всестороннего гидростатического сжатия

Crr \r=R = -p(t), Crr \r =r0=0. (2.3)

В соотношениях (2.3) p(t) - известная возрастающая со временем функция, crr - радиальная компонента тензора напряжений в сферической системе координат r ,6, p.

Для отличных от нуля компонент тензора деформаций в рассматриваемом случае согласно соотношениям (2.1) имеем

_ _ Ou _ _ _u

drr err + prr "Т 5 dee dppp eppp + pqxp . (2.4)

or r

В зависимостях (2.4) u = ur - единственная не равная нулю компонента вектора перемещений.

Из закона Гука (2.2) найдем напряжения в сферическом слое:

CTrr = (Л + 2ju)err + 2Лвчхр, авв = Cp = Ae„ + 2(Л + ju^p. (2.5) Следуя квазистатического подходу, запишем уравнение равновесия для рассматриваемого случая

C + 2Crr -Cppp =0. (2.6) Or r

Сначала рассмотрим случай, когда в материале необратимые деформации накапливаются за счет его ползучести (до выхода напряженного состояния на поверхность нагружения).

Формула (1.31) в сферической системе координат принимает форму

V ((¡J) = 2-П'2 B((rr -Cqxpf + (Crr - Увв) + (Cpp - Увв) ^ (2.7) Учитывая, что в рассматриваемом случае сферической симметрии cw = авв, из (1.31) и (2.7) получим соотношения для скоростей деформаций ползучести

v = °prL =-2 v =-2 Oppp = Bn(C -C )n-i &rr ^ 2&ppp 2 c)t Bnyrr C ppp > 5 (2 8)

rv + 2rv =0 n + 2 n =0

C-rr ~ °ppp yrr ' 2Hppp •

Из зависимостей (2.4) следуют два уравнения

Ou u _ 3 Ou u _

— err eppp + ~ prr5 "T +2 err + 2eppp. (2.9)

or r 2 or r

Обратимые деформации вычисляются через напряжения согласно

соотношениям (2.5)

(Л + ))сгг — Лс,

РР

)(3Л + 2))

ерр

(Л + 2))срр — Лс 2)(3Л + 2))

(2.10)

Исключая обратимые деформации с помощью соотношений (2.10) из уравнений (2.9) и затем интегрируя их, получим

и =

ТСгг 3г г рг

+

3 | ^^ и = 1 \г2 (сгг + 2срр)йг- (2.11)

4) 2 ' г г (3Л + 2)}'

Вычисляя неопределенные интегралы в выражениях (2.11) с использованием (2.6), получим окончательные зависимости

и = —

гсгг 3г г р

+

I

Рг

4) 2 J г Л + 2)

и =

гс„

0(1)

3Л + 2) г 2(3Л + 2))

)(3Л + 2))

(<Сгг — срр)— 3

2о(г)

(2.12)

г 3(3Л + 2))

Используя закон ползучести (2.8) и третье соотношение (2.12), получим интегродифференциальное уравнение для компоненты необратимых деформаций

Ргг (г, г) = —2 р,

рр

Фл = вп дг

)

Л + 2)

(3Л + 2))ргг + 2о(г) г

\\

п—1

(2.13)

а так же, учитывая граничные условия (2.3), найдем компоненты тензора напряжений сгг (г, г) и с, (г, г)

г

^ _ 2)(3Л + 2) г 4Мг)

'1 1л

Л + 2)

с РР сгг +

г0

)

3(Л + 2))

3 3

V го г /

о(г) = —

3 „3

3го3 Л

(3Л + 2))ргг +

Л + 2) г у

^^р(г) + (3Л + 2))К\ ^йг

2) I г

(2.14)

Решение интегродифференциального уравнения (2.13) при начальном условии ргг(г,о)=о было получено методом конечных разностей первого порядка по времени с использованием составной формулы трапеций [31] для приближенного вычисления входящего в уравнение интеграла.

В области деформирования на пространственно-временную область г0 < г < Я, 0 < t < t0, где У0 - момент начала пластического течения, наносится конечно-разностная сетка

Ют = [г = ¡И + го, I = 0, ^ = ]к2, у = 1, N2} (2.15)

с пространственным шагом к1 =(Я~Г0)/Щ и шагом по времени И2 = .

На сетке (2.15) вводим сеточные функции рг/г ис], значения которых известны и обозначают компоненту необратимых деформаций ргг и значение функции с(У) на временном шаге ]. Для нахождения значений этих функций ргг]+1 и С+1 на шаге ] +1 в уравнении (2.13) заменим дифференциальный оператор отношением конечных разностей [120], а в последнем выражении (2.14) заменим интеграл составной формулой трапеций [31]. Таким образом, получим следующие

соотношения:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Галимзянова Ксения Наилевна, 2019 год

Список литературы

1. Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Допустимые формы упругих законов деформирования в определяющих соотношениях упругопластичности // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 21-34.

2. Аннин Б.Д., Олейников А.И., Бормотин К.С. Моделирование процессов формообразования панелей крыла самолета SSJ-100 // ПМТФ. 2010. Т. 51, № 4. С. 155-165.

3. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача // Новосибирск.: Наука, 1983. -- 240 с.

4. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел.

- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. - 336 с.

5. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение цилиндрического стержня при конечных деформациях // Прикл. матем. и механика, 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1014-1022.

6. Астапов В.Ф. Математическое моделирование экспериментов по конечному деформированию // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 8-й Научной межвузовской конференции. - Самара: Изд-во СамГТУ.

- 1998. - С. 3-4.

7. Бахмутов В.П., Паршев С.Н., Дудкина Н.Г., Захаров И.Н., Савкин А.Н., Денисевич Д.С. Электромеханическое упрочнение металлов и сплавов. Волгоград: Изд-во: ВолГТУ. 2016. 460 с.

8. Бахмутов В.П., Денисевич Д.С., Захаров И.Н., Иванников А.Ю. Об учете нелинейных и связанных эффектов тепловой задачи и фазовых переходов при моделировании технологий контактного термосилового поверхностного упрочнения металлических сплавов // Вестник ПНИПУ. Серия: Механика.2017. № 1. С. 233 - 250.

9. Бегун, А.С., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Большие необратимые деформации в условиях изменяющихся механизмов их производства и

проблема задания пластических потенциалов // Доклады академии наук. -2016. - Т. 470. - № 3. - С. 275-278.

10. Бегун А.С., Ковтанюк Л.В., Лемза А.О. Ползучесть и релаксация напряжений в материале цилиндрического слоя при его ротационном движении // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: механика предельного состояния. 2016. Т. 30, № 4. С. 3-11.

11. Бегун А.С., Ковтанюк Л.В., Лемза А.О. Смена механизмов накопления необратимых деформаций материалов на примере их вискозиметрического деформирования // Известия РАН. МТТ. 2018. № 1. С. 103-112.

12. Белых С.В., Бормотин К.С., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Прокудин А.Н. О больших изотермических деформациях материала с упругими, вязкими и пластическими свойствами // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: механика предельного состояния. 2014. Т. 22, № 4. С. 144-156.

13. Белых С.В., Станкевич А.В., Кривенок А.А., Перевалов А.А. Контроль геометрии и доработка программ для ЧПУ в целях повышения точности изготовления длинномерных деталей из профилей // Авиационная промышленность. 2009. № 2. С. 47-50.

14. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир. 1986. 360 с.

15. Бормотин К.С. Интерактивный метод решения геометрически нелинейных обратных задач формообразования элементов конструкций в режиме ползучести // ЖВМ и МФ. 2013. Т. 53, № 12. С. 145-153.

16. Бормотин К.С. Итерационные численные методы компьютерного моделирования оптимальной формовки и клепки тонкостенных панелей. Диссерт. на соискание ученой степени доктора физ-мат. наук. Комсомольск-на-Амуре. 2014. 282 с.

17. Бровко Г.Л. Об использовании различных мер напряжений, деформаций и скоростей их изменения в технологических задачах пластичности // В сб. Вопросы теории пластичности в современной технологии. И.: Изд-во МГУ. 1985. С. 17-18.

18. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // ДАН. 1996. Т. 347, № 2. С. 199-201.

19. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Большие необратимые деформации и упругое последействие. Владивосток: Дальнаука. 2013. 312 с.

20. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. К возможности установления упругопластического процесса по итоговому разгрузочному состоянию // Известия РАН. МТТ. 2006. № 3. С. 130-134.

21. Буренин, А. А., Ковтанюк Л.В. О точных решениях в теории больших упруговязкопластических деформаций // Динамика сплошной среды, институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск -2007. -- Вып. 125 -- С. 28-31.

22. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Об одном аналитическом решении в теории больших упруговязкопластических деформаций // Известия РАН. МТТ. 2007. № 4. С. 72-77.

23. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Лушпей А.В. Переходный процесс торможения прямолинейного вязкопластического течения при мгновенном снятии нагружающих усилий // ПММ. 2009. Т. 73, № 3. С. 494-500.

24. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мазелис А.Л. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // ПММ. 2006. Т. 70, № 3. С. 481-489.

25. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. Деформирование и разогрев упруговязкопластического слоя при его движении за счет изменяющегося перепада давления // Известия РАН. МТТ. 2018. № 1. С. 6-18.

26. Буренин, А. А., Ковтанюк Л. В., Полоник М. В. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды // ПММ. -- 2003. -- Т. 64. -- Вып. 2 -- С. 316-325.

27. Буренин А. А., Устинова А. С. Развитие и торможение винтового вязкопластического течения с расчетом упругого отклика после остановки

течения и разгрузки // Успехи механики сплошных сред. К 70-летию В.А. Левина. Владивосток: Дальнаука -- 2009. -- С. 91-102.

28. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

29. Быковцев Г.И., Шитиков А.В. Конечные деформации упругопластических сред // ДАН. 1990. Т. 11, № 1. С. 59-62.

30. Вдовин С.И. Пружинение заготовок при изгибе с одновременным растяжением. М.: Машиностроение. 1988. 160 с.

31. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. -М.: Высш. шк., 2001. -- 382 с.

32. Галин, Л. А. Упругопластические задачи / Л. А. Галин. -- М. : Наука, 1984. -- 232 с.

33. Герасименко Е.А., Ковтанюк Л.В., Буренин А.А. Одномерное взаимодействие цилиндрической волны разгрузки с упругопластической границей // ПМТФ. 2018. Т. 59, № 2. С. 149-159.

34. Голованов А.И., Султанов Л.У. Численные исследования больших упругопластических деформаций трехмерных тел деформаций // Прикладная механика. Киев. 2005. Т. 41, № 6. С. 36-43.

35. Горев Б.В., Раевская Г.А., Соснин О.В. К вопросу использования ползучести в технологии формирования изделий // Сб.: Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР 1977. Т. 38, вып. 30. С. 141-145.

36. Горев, Б. В., Клопотов И. Д., Раевская Г. А., Соснин О. В. К вопросу обработки материалов давлением в режиме ползучести // ПМТФ. -- 1980. -№5 -- С.185-191.

37. Горелов В.И. Исследование влияния высоких давлений на механические характеристики алюминиевых сплавов // ПМТФ. 1984. № 5. С. 157-158.

38. Горелов В.И., Зорихин В.Н. Технология упрочнения контейнеров для прессования металлов // Технология двигателестроения. 1984. № 11 -12. С. 40-43.

39. Грешнов В.М., Шайхутдинов Р.И., Пучкова И.В. Кинетическая физико-феноменологическая модель длительной прочности металлов // ПМТФ. 2017. Т.58. № 1. С. 189 - 198.

40. Де Грост, С. Неравновесная термодинамика / С. де Грост, П. Мазур -- М. : Мир, 1964. -- 456 с.

41. Дель Г.Д. Технологическая механика. М.: Машиностроение. 1978. 174 с.

42. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука. 1978. 352 с.

43. Ивлев Д.Д. К определению перемещений в задаче Л.А. Галина // Прикл. математика и механика. - 1957. - Т. XXIII, вып. 5.

44. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в задаче Л.А. Галина // Прикл. математика и механика. 1957. - Т. XXI, вып. 5.

45. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в упругопластических задачах теории идеальной пластичности // В кн. Успехи механики деформируемых сред (к 100-летию со дня рождения академика Б.Г. Галеркина). - Москва. -1975. - С. 236-240.

46. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука. - 1966. - 232 с.

47. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука. - 1971. - 232 с.

48. Ильюшин А.А. О постулате пластичности // Прикл. математика и механика. - 1961. - Т. 25, вып. 3. - С. 503-507.

49. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН УССР. - 1961. - С. 3- 29.

50. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Изд-во АН СССР. - 1963. - 272 с. 155.

51. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.; Л.: ГИТТЛ. - 1948. - 376 с.

52. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. - М.: Наука. - 1970. - 280 с.

53. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит. 2001. 704 с.

54. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука. - 1969. - 420 с. 41.

55. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз.1960. 455 с.

56. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Изд-во МГУ.

- 1979. - 208 с. 42.

57. Клюшников В.Д. Новые представления в пластичности и деформационная теория // Прикл. математика и механика. - 1959. - Т. 23, № 4. - С. 722-731. 43.

58. Клюшников В.Д. О допустимых формах соотношений пластичности // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 225, № 1. - С. 57-59.

59. Ковтанюк Л.В. О конечном продвижении упруговязкопластической пробки поцилиндрической трубы // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, серия: механика предельного состояния. 2006. № 1. С. 68-75.

60. Ковтанюк Л. В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический журнал. -2004. -- Т. 5. -- №. 1. -- С. 104-117.

61. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала через жесткую круговую цилиндрическую матрицу // ДАН. 2005. Т. 400, № 6. С. 764-767.

62. Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В. Формирование полей остаточных напряжений у одиночных сферических включений в идеальной упругопластической среде // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2009.

- № 1. - С. 94-104.

63. Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В., Роговой А.А. О динамике микропоры в несжимаемой вязкоупругопластической среде в условиях активного нагружения и последующей разгрузке // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6, № 2. С.176-186.

64. Ковтанюк Л.В., Шитиков А.В. О теории больших упругопластических деформаций материалов при учете температурных и реологических эффектов // Вестник ДВО РАН. - 2006. - № 4. - С. 87-93.

65. Ковтанюк Л.В., Матвеенко В.П., Буренин А.А. Течение упруговязкопластической среды по трубе в условиях изменяющегося

перепада давления // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2013. № 1(15). C.69-80.

66. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Машиностроение. 1986. 688 с.

67. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // ПМТФ. 1982. № 1. С. 128-133.

68. Кондауров В. И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // ПМТФ. 1982. № 4. С. 133-139.

69. Копыский Б.Д. Применение явления ползучести при обработке давлением // Вестник машиностроения. 1997. № 9. С. 76-78.

70. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000. 262 с.

71. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир. 1974. 338 с.

72. Крупский Р.Ф., Кривенок А.А. Использование эффекта ползучести материала в технологии изготовления элементов шпангоутов // Материалы III-го всероссийского конкурса молодых ученых: Итоги диссертационных исследований. Том 1. М.: Наука. 2011. С. 56-63.

73. Крупский Р.Ф., Кривенок А.А. Перспективная технология изготовления деталей силового набора летательных аппаратов с использованием эффекта ползучести материала // В сб. Перспективные технологии самолетостроения в России и мире. Новосибирск: Изд-во СибНИА. 2011. С. 82-85.

74. Крупский Р.Ф., Кривенок А.А., Станкевич А.В., Феоктистов С.И., Белых С.В. Формообразование профильных заготовок с помощью листового обтяжного пресса // Ученые записки КнАГТУ. 2013. № 2. С. 9-15.

75. Левитас В.И. К теории больших упругопластических деформаций // Докл. АН УССР. - Сер. А. - 1983. - № 11. - С. 48-53.

76. Левитас В.И. О методе построения теории пластичности // Проблемы прочности. - 1980. - № 4. - С. 85-90. 68.

77. Левитас В.И. Определяющие уравнения в скоростях для изотропных и анизотропных упругопластических материалов при конечных деформациях // Докл. Ан УССР. - Сер. А. - 1986. - № 6. - С. 35-38.

78. Левитас, В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении / В. И. Левитас -- Киев. : Наукова Думка, 1987. -- 232 с.

79. Ленский В.С. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Сер. Механика и машиностроение. - 1962. - № 5. - С. 154-158.

80. Ленский В.С. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах // Упругость и неупругость. - 1978. -Вып. 5. - С. 65-96.

81. Локощенко А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов. М.: Изд-во МГУ. 2007. 264 с.

82. Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов. М.: Физматлит. 2016. 489 с.

83. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.

84. Малинин Н.А. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение. 1986. 216 с.

85. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение. 1975. 278 с.

86. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. 2002. № 6. С. 5-13.

87. Москвитин В.В. Циклическиенагружения элементов конструкций. М.: Наука. 1981. 344 с.

88. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ. 1971. 163 с.

89. Мулюков В.В., Трусов П.В. Постановка задачи геометрически нелинейной теории пластичности в терминах отсчетной конфигурации // Известия РАН. МТТ. 1997. № 1. С. 71-78.

90. Мясников В.П. Некоторые точные решения для прямолинейных движений вязкопластической среды // ПМТФ. 1961. № 2. С. 79-86.

91. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях // Вестник ДВО РАН Владивосток: Дальнаука. 1996. № 4. С. 8-13.

92. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: Изд-во НГАСУ. 1997. 278 с.

93. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с.

94. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Известия РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 77-95.

95. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязко-пластических сред. М.: Изд-во МГУ. 1970. 415 с.

96. Олейников А.И., Коробейников С.Н., Бормотин К.С. Влияние липа конечно-элементного представления при моделировании панелей из упругопластического материала // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 2. С. 63-73.

97. Олейников А. И., Пекарш А. И. Интегрированное проектирование процессов изготовления монолитных панелей / А. И. Олейников,. - М.: Эком, 2009. - 109 с.

98. Остапенко В.А. Варианты теории больших деформаций // Придншр. наук.вюн. - 1996. - № 4. - С. 21.

99. Пальмов В.А., Штайн Е. Разложение конечной упругопластической деформации на упругую и пластическую составляющие // Мат. Моделиров. систем и процессов. - 2001. - № 9. - С. 109-126.

100. Панченко Г.Л., Ковтанюк Л.В. Развитие прямолинейного неизотермического вязкопластического течения. Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы региональной научно-практической конференции, Владивосток, апрель - июль 2010, Издательство ДВГТУ,

2010. - Часть 2. - Секция 6: Фундаментальные механико-математические науки и их приложения. - С. 11 -16.

101. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях // Прочность и пластичность. - М.: Наука. - 1971. - С. 129-135.

102. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. - М.: Наука. - 1982. - 112 с.

103. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука. 1986. 232 с.

104. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение. 1977. 278 с.

105. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Изд-во иностр. лит. -1963. - 312 с.

106. Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология/ под ред. Эйриха. - М. Изд-во иностр. лит. - 1962. - С. 86-126.

107. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. - М.: Изд-во иностр. лит. - 398 с.

108. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. - М.: Мир. - 1968. - 176 с.

109. Пэжина П., Савчук А. Проблемы термопластичности // Проблемы теории пластичности и ползучести. - М.: Мир. - 1979. - С. 94-202.

110. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1979. 744 с.

111. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.

112. Работягов Д.Д. Механика материалов при больших деформациях. -Кишинев: Штиинца. - 1975. - 168 с.

113. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. М.: Машиностроение. 2005. 226 с.

114. Рейнер М. Реология. - М.: Наука, 1965. - 224 с.

115. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат. 1968. 416 с.

116. Роговой А.А. Кинематика и термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // «Физико-химическая кинетика в газовой динамике», 2008, № 7. - С. 20-28.

117. Роговой А.А. Кинематика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Прикл. мех.итехн. физ. - 2008. - Т. 49, №1. - С. 165- 172.

118. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упругонеупругих деформаций // Прикл. мех.итехн. физ. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 138-149.

119. Роговой А.А. Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Прикл. мех.итехн. физ. - 2007. - Т. 48, № 4. - С. 144-152.

120. Самарский А.А. Теория разностных схем. - 3-е изд., испр. - М.: Наука. -1989. - 616 с.

121. Севастьянов Г.М., Буренин А.А. О больших деформациях при кручении несжимаемого упругопластического цилиндра // ДАН. 2018. Т. 482, № 3. С. 287-289.

122. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. - М.: Физматгиз. - 1962. - 284 с.

123. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высш. шк. - 1969. - 608 с.

124. Соснин О.В., Горев Б.В., Любашевская И.В. Высокотемпературная ползучесть и сверхпластичность материалов // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 2. С. 140-145.

125. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1986. 95 с.

126. Станкевич А.В., Феоктистов С.И., Белых С.В., Кривенок А.А., Перевалов А.А. Аппроксимация геометрии контура дугами при контроле точности изготовления деталей летательных аппаратов // Ученые записка КнАГТУ. 2010. № 1. С. 11-19.

127. Султанов А.У. Исследование конечных упругопластических деформаций. Кинематика среды и определяющие соотношения // Ученые записки КГУ. Серия физ.-мат. науки. 2015. Т. 157, кн. 4. - С. 158-165.

128. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. - М.: высш. шк. - 1979. - 318 с.

129. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании // Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии: тез.докл. -Киев. - 1984. -Ч. 2. - С. 57-58.

130. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. - М.: Мир, 1964. - 308 с.

131. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физическаямезомеханика. 2016. Т. 19. № 2. С. 47-65.

132. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // В сб. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. С. 212-263.

133. Феоктистов С.И. Автоматизация проектирования технологических процессов и оснастки заготовительно-штамповочного производства авиационной промышленности. Владивосток: Дальнаука. 184 с.

134. Фофанов Ю.В. Построение аппроксимаций экспериментальных данных для ползучести металлов // В сб.: Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: Изд-во ДВО РАН. 1991. С. 59-66.

135. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. - М.: Изд-во иностр. лит. - 1962. - 432 с.

136. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. - М.: Изд-во иностр. лит. - 1948. -С. 41-56.

137. Хенкин М.А., Локшин И.Х. Размерная стабильность металлов и сплавов в точном машиностроении и приборостроении. М.: Машиностроение. 1974. 256 с.

138. Хилл Р. Математическая теория пластичности. - М.: Мир. - 1956. - 407 с.

139. Чернышов А.Д. Модель термопластического тела при конечных деформациях // Изв. АН СССР. - Механика твердого тела. - 1980. - № 1. -С. 110-115.

140. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2000. -№ 1. - С. 120-128.

141. Шевченко Ю.Н. Об определяющих уравнениях теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1978. - Вып. 18. - С. 17-23.

142. Шевченко Ю.Н., Белевцова Н.Л., Савченко В.Г., Сахацкая И. К. Численные методы и ЭВМ в решении проблем термовязкопластичности. В кн.: Ш Республ.конф."Вычислительная математика в современном научнотехническом прогрессе", Киев, 1982, 1с.

143. Шестериков С.А. К построению теории идеально пластического тела // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т. 24, вып. 3. - С. 412-415.

144. Шестериков С.А., Юмашева М.А. Конкретизация уравнения состояния в теории ползучести // Известия АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 86-91.

145. Шитиков А.В. О вариационном принципе построения уравнений упругопластичности при конечных деформациях // Прикл. математика и механика. - 1995. - Т. 59, № 1. - С. 158-161.

146. Шрамм Г. Основы практической реологии и реометрии / Пер. с англ. И.А. Лавыгина. - М.: КолосС, 2003. - 321 с.

147. Эглит М.Э. О тензорных характеристиках конечных деформаций // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, вып. 5. - С. 947-950.

148. Alturi N. On constitutive relations at the finite strain: hypoelasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening // Comput. Mech. and Eng. - 1984. - 43, № 2. - P. 137-171.

149. Begun A.S., Kovtanyuk L.V., Lemza A.O. On modeling of creep and plasticity in a problem of viscosimetric flow of a material // Key Engin. Materials. 2016. V. 685. P. 230-234.

150. Belykh S.V., Burenin A.A., Kovtanyuk L.B., Prokudin A.N. On account of viscous properties of materials in the theory of lagre elastoplastic strains // Chebyshevskii Sbornik. 2017. V. 18, N 3. P. 109-130.

151. Bergander H. Finite plastic constitutive laws for finite deformations // Acta mech. - 1995. - 109, № 1-4. - P. 79-99.

152. Bertram A. Intrinsische Beachreibung finiter plastischer Deformationen // Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1994. - № 33. - P. 2.

153. Burenin A.A., Kovtanyuk L.V. To the Construction of the Elastic-Plastic Medium Model under Finite deformations // Mathematical Modelling and Cryptography. Pacific international conference. Vladivostok. 1995. P. 25.

154. Cheng J.H., Kikucgi N. An analysis of metal fornig processes uning large deformation elastic-plastic formulations // Computer Methods in Appl. Mech. and Engin. 1985. V. 49. P. 71-108.

155. Freed A.D., Walker K.P. Viscoplasticity with and plasticity bounds // Int. J. of Plasticity. 1993. V. 9, N 2. P. 213-242.

156. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory at an elastic-plastic continuum // Arch. Ration Mech. and Anal. - 1965. - 18, № 4. - P. 251-281.

157. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain // Int. J. Eng. Sci. - 1971. - 9, № 12. - P. 1219-1229.

158. Guo Z., Watanabe O. Effects of hypoelastic model and plastic hardening jn numerical simulation. (Shear deformation of 2-dimensional plane block) // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. - 1993. - 59, № 562. - P. 1458-1466.

159. Har J. A unified stress update algorithm for explicit transient shell dynamics with combined isotropic-kinematic hardening in Eulerian rate-type phenomenological finite elasto-plasticity models // Computer Methods in Appl. Mech. and Engin. 2007. V. 196. P. 3248-3275.

160. Heng Xiao, Bruhns O.T., Meyers A. Elastoplasticity beyond small deformations // ActaMechanica. 2006. 182. P. 31 - 111.

161. Heng Xiao, Bruhns O.T., Meyers A. Termodynamic laws and consistent Eulerian formulation of finite elastoplastisity with thermal effects // J. Mech. Phys. of solids. 2007. 55. P. 338 - 365.

162. Ibrahimbegovic A., ChorfiLotfi. Covariant principal axis formulation of associated coupled thermoplasticity at finite strains its numerical implementation // Int. J. Sol. and Struct. 2002. V. 39, № 2. P. 499-528.

163. Jin H., Mattiasson K., Runesson A. On the use of the boundary dement for elastic-plastic large deformation problem // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. 1988. V. 25. P. 165-176.

164. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. T. 36, № 1. P. 1-6.

165. Lee E.H., Mallett R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite deformation plasticity // Trans. ASME: J. Appl. Mech. - 1983. - 50, № 3. - P. 554-560.

166. Lee E.H., McMeeking R.M. Concerning elastic and plastic components of deformation // Int. J. Solids and Struct. - 1980. - 16, № 8. - P. 715-721.

167. Levitas V.I. On the theory of large elastoplastic deformations // Mitt. Inst. Mech. Ruhr.-Univ., Bochum, 1994. - № 93. - P. 34-37.

168. Lions J.L., StamPacchia G. Variational inequalities // Comm. Pure Appl. Math. -1967. - V.20. - P. 493-519.

169. Messonnier F.T., Busso E.P., Down N.P. Finite element implementation of a generalized non-local rate-dependent crystallographic formulation for finite strains // Int. J. of Plasticity. 2001. V. 17. P. 601-640.

170. Naghdi P.M. A critical review of the state of finite plasticity // J. Appl. Phys. 1990. V. 41. P. 315-394.

171. Neale K.W., Shrivastava S.C. Analytical solutions for circular bars subjected to large strain plastic torsion // J. Appl. Mech. 1990. V. 57, № 2. P. 298-306.

172. Nemat-Nasser S. Micromechanicaly Based Finite Plasticity // Plasticity Today: Modeling, Methods and Applications: London. - 1985. - P. 85-95.

173. Nemat-Nasser S. On finite deformation elasto-plasticity // Int. J. Solids and struct. - 1982. - 18, № 10. - P. 857-872.

174. Norton, F.H. The creep steel of high temperature / F.H. Norton. - Y.: Mc Gpaw Hill, 1929. - 110 p.

175. Ponthot J.P. Unified stress update algorithms for numerical simulation of large deformation elasto-plastic and elasto-viscoplastic processes // Int. J. of Plasticity. 2002. V. 18. - P. 91-126.

176. Prokudin A.N., Firsov S.V. Antiplane strain of hardening elastoviscoplastic medium // J. of Siberian Federal University. Math.Phus. 2018. V. 11, N 4. P. 299410.

177. Shen L.-J. Constitutive relations for isotropic or kinematic hardening at finite elastic-plastic deformations // Int. J. Solids and Struct. 2006. V. 43. P. 5613-5627.

178. Shutov A.V., Ihlemann J. // Analysis of some basic approacher to finite strain elasto-plasticity in view of reference change // Int. J. of Plasticity.2014. Vro 63. P. 183-197.

179. Shutov A.V., Panhans S., Kreibig. R. A. phenomenological model of finite strain viscoplasticity with distortional hardening // ZAMM. 2011. V. 91, N° 8. - P. 653680.

180. ShutovA.V., LarichkinA.Yu., ShutovV.A. Modelling of cyclic creep in the finite strain range using a nested split of the deformation gradient // ZAMM. 2017. V. 97, № 9. O. 1083-1099.

181. Sidoroff F. Incremental constitutive equation for large strain elasto-plasticity // Int. J. Eng. Sci. - 1982. - 20, № 1. - P. 19-26.

182. Sidoroff F. The geometrical concept of intermediate configuration and elasticplastic finite strain // Arch. Mech. Stosow. - 1973. - 25, № 2. - P. 299308.

183. Sidoroff F., Dogui A. Some issues about anisotropic elastic-plastic models at finite strain // Int. J. Solids and Struct. - 2001. - 38, № 52. - P. 9569-9578.

184. Simo J.S., Pister K.S. Remarks on rate constitutive equations for finite deformation problems: computational implications // Computer Methods in Appl. Mech. and Engin. 1984. V. 46. P. 201-215.

185. Stein E., Sagar G. Theory and finite element computation of cyclic martensitic phase transformation at finite strain // Int. J. for Numerical Method in Engin. 2007. V. 74. P. 1-31.

186. Stickforth J. O stress relaxation, creep and plastic flow // Int. J. of Plasticity. 1986. V. 2, N 4. P. 347-357.

187. Sultanov L.U. Analysis of finite elasto-plastic strains: integration algorithm and numerical examples //Lobachevskii J. of Math. 2018. V. 39, № 9. P. 1396-1401.

188. Tham C.L., Zhang Z., Masuel A. An elasto-plastic model cast in a co-rotational kinematic framework for lagre deformation analysis // Computer Methods in Appl. Mech. and Engin. 2005. V. 194. P. 2641-2660.

189. Trusov P., Nyashin Y. On the constitutive Ilushin s theory relations for the case of large deformations. Pt.I. // J. Theor. and Appl. Mech. - 1992. - 23, № 3. - P. 65-74.

190. Wu P.D., Van der Gissen E. Analysis of elastic-plastic torsion of circular bars at lagre strains // Arch. Appl. Mech. 1991. V. 61. P. 89-103.

191. Xia Z., Ellyin F. A stress rate measure for finite elastic plastic deformation //Acta Mech. 1993. V. 98 - P. 1-14.

192. Xia Z., Ellain F. A finite elasticplastic constitutive formulation with new co-rotational stress-rate and strain-hardning rule //Trans ASME: J. Appl. Mech. -1995. -- №3 - P. 733-739.

193. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Elastiplasticity beyond small deformation //Acta Mech. 2006. V. 182, № 1. P. 31-111.