Обратные функциональные неравенства и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Павленко, Алексей Николаевич

• Павленко, Алексей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павленко, Алексей Николаевич

Введение. Общая характеристика работы

Глава 1. Обратные неравенства в пространствах с конусом.

§1. Линейные операторы в пространствах с конусом

§2. Обратные неравенства и уравнение Гаммерштейна.

§3. Положительные решения уравнения Гаммерштейна.

Глава 2. Обратные неравенства для функций одной переменной и их приложения к нелинейным краевым задачам.

§4. Пространства функций одной переменной и линейные дифференциальные операторы.

§5. Обратные неравенства для функций одной переменной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные функциональные неравенства и их приложения»

Актуальность темы. Диссертация посвящена обратным функциональным неравенствам и их приложениям к граничным задачам. Теория прямых и обратных функциональных неравенств является одной из интенсивно развивающихся областей математического анализа. Типичным примером прямых неравенств могут служить теоремы вложения, существенную часть которых составляют оценки норм функций через нормы производных этих функций. Первые исследования в данном направлении проводились еще Пуанкаре и Гильбертом на рубеже 19 и 20 столетий. Эти исследования были связаны с вариационными методами математической физики. Как научное направление теория вложения оформилась в работах С. Л. Соболева; о дальнейшем развитии этой теории и плодотворности ее приложений можно судить по публикациям [1,4,9,1115,18,20,22,25,28,45,53,59,61,71,87,88,94,95].

Обратные функциональные неравенства дают оценки норм старших производных функций через нормы их младших производных. Такого рода оценки справедливы лишь для функций, удовлетворяющих дополнительным условиям. В качестве примера можно рассмотреть оценки С. Н. Бернштейна вида || х;С21| < <У (I х ; С II) решений дифференциального неравенства х"|

Цх^МЫп II х;С I, (0.2) верную для тригонометрических многочленов степени, не превосходящей числа п. Неравенство (0.1) связано с классическим Ь-условием Бернштейна, играющим первостепенную роль в теории нелинейных краевых задач. Обсуждение Ь-условия и его многочисленных модификаций можно найти в [3,9,12,25,2735,44,54,56,57,62,65,67,68,70,81,95]. Оценка (0.2) играет важную роль в конструктивной теории функций [12]. Кроме того, обобщения этой оценки нашли важные приложения в теории вложения [11], [61]. Естественно возникает задача, связанная с обобщением и усилением линейных и нелинейных обратных неравенств.

Значительная часть диссертации посвящена обратным неравенствам для функций, принадлежащих конусам в пространствах Банаха. Наиболее тесно связаны с диссертацией теоремы М. А. Красносельского об операторах с монотонными минорантами и операторах, растягивающих конус, а также о различных специальных классах конусов и действующих в них линейных и нелинейных операторах.

Цели работы. Вывод, обобщение и усиление линейных и нелинейных обратных неравенств вида II и ; Е1 II < У( II и ; Е2 II), где Еь Е2 - банаховы пространства, Е1 компактно вложено в Е2, иеКсЕь V: -возрастающая непрерывная функция. Рассмотрение некоторых приложений полученных неравенств к нелинейным краевым задачам.

Методика исследования. В работе широко используется теория конусов, разработанная М.Г. Крейном в 30-х годах и нашедшая отражение в обзорной статье [51]. В дальнейшем теория конусов интенсивно развивалась в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина, их последователей и учеников [5-8, 16,4050, 62-64,80-86,89-91,97-99]. Кроме того, используется теория вполне непрерывных векторных полей, которой было положено начало в 30-е годы Ж.Лере и Ю. Шаудером. Дальнейшее развитие понятие вращения получило в работах целого ряда авторов ([16,17,40-42,44,70,81,95,99] и приведенная там литература).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Усилены и обобщены линейные и нелинейные обратные неравенства для скалярных и векторных функций одной переменной, с помощью которых устанавливается существование нетривиальных решений краевых задач с сильными нелинейно-стями. Полученные результаты были обобщены для случая банаховых пространств функций многих переменных. Следует отметить, что использование пространств Марцинкевича-Соболева вместо традиционно используемых пространств Соболева позволило усилить ряд обратных неравенств. В диссертации рассмотрены приложения полученных результатов к нелинейным эллиптическим краевым задачам.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего уточнения и усиления обратных неравенств, в теории нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к нелинейным эллиптическим краевым задачам.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых "Проблемы современной науки" (Орловский ГПУ, апрель 1996 г.), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронежский ГУ, май 1997 г.), на Воронежской математической школе "Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронежский ГУ, апрель 1998 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [101-105].

Структура диссертации. Диссертация содержит 119 страниц и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 105 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Павленко, Алексей Николаевич

Заключение.

Рассмотрим перспективы дальнейшего развития результатов, полученных в диссертации. Наиболее важным представляется вопрос неулучшаемости обратных неравенств. Например, желательно для обратного неравенства вида щЕх\

С данным вопросом связана проблема оптимальности показателей р1 в нелинейных неравенствах (5.27) и (9.18). Хотя есть примеры, показывающие, что при /?■, превышающих предельные значения, указанные в теоремах 5.4, 9.4, оценки (5.29), (9.19) не имеют места, с должной полнотой эта проблема не изучена.

По аналогии с внутренними оценками решений эллиптических уравнений [1, 13, 54, 58] можно предполагать справедливость обратных неравенств для функций, неудовлетворяющих каким-либо краевым условиям. Например, для выпуклых на отрезке I = [0,1] функций и е Е2(Г) имеет место оценка и"-М1х)\

Х(А) = \и е Ех (/), Аи > о] для весьма широкого класса операторов А.

Результаты главы 3 можно распространить на вектор-функции многих переменных. Следует заметить, что аналоги предложения 8.3 известны для эллиптических по Петровскому систем эллиптических уравнений [72].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павленко, Алексей Николаевич, 1998 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы.-М.: ИЛ, 1962.-208 с.

2. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида.-УМН, 1964, т. 19, №3, с. 53-161.

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991,- 277 с.

4. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи. УМН, 1996, т. 51, №6, с. 90-124.

5. Бахтин И. А. Конусы в пространствах Банаха. Часть первая. Учебное пособие. Воронеж, 1975.-183 с.

6. Бахтин И. А. О существовании и о количестве решений уравнений с положительными операторами. СМЖ, 7: 3 (1966), с. 512-522.

7. Бахтин И. А. О существовании полусобственных векторов и о критическом режиме реактора. СМЖ, 6: 5 (1965), с. 949-957.

8. Бахтин И.А. Конусы линейных положительных операторов. Часть первая. Учебное пособие для спецкурса. Воронеж, 1978.-88 с.

9. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.-М: Мир, 1965.-276 с.

10. Ю.Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев. Издательство «Наукова думка», 1965.-798 с.

11. Берколайко М. 3., Овчинников В. И. Неравенства для целых функций экспотенциального типа в симметричных пространствах. Труды Мат. Института им. Стеклова, т. 161.-М.: Наука, 1983 г.

12. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т. I, М., Изд-во АН СССР, 1952, 1-581, т. II, М„ Изд-во АН СССР, 1954, 1-628, т. IV, М., Изд-во АН СССР, 1964, 1-577.

13. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнение с частными производными. -М: Мир, 1966 351 с.

14. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М: Наука, 1975,- 480 с.

15. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Кудрявцев Л.Д., Лизоркин П.И. Теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных. В кн.: Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1970. с. 38-63.

16. Борисович Ю.Г. Об относительном вращении компактных векторных полей в линейных пространствах. Воронеж. Тр. сем. по функц. анализу, вып 12, 1969, с.3-27.

17. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений. // УМН,- 1980.-Т. 35, вып I. с.59-126.

18. Буренков В.И. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных на всём пространстве. -Итоги науки, «Математический анализ», М. : ВИНИТИ, 1966, с. 71-155.

19. Вейнберг М.М., Треночкин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. -М.: Наука, 1972. -415 с.

20. Вольперт А. И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. -М.: Наука, 1975. -394 с.

21. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядочных пространств. М. Физматгиз. 1961. 407 с.

22. Гальярдо Э. Свойства некоторых классов функций многих переменных. -Математика. Сборник переводов, т.5, №4, 1961, с. 87-116.

23. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. -УМН, 1959, т. 14, №2, с. 87-158.

24. Забрейко П.П. Нелинейные интегральные операторы. -Труды семинара по функц. анализу. Воронеж, 1966, №8, с. 3-148.

25. Канторович JI.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1977. -741 с.

26. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядочных пространствах. М. -Л. Гостехиздат, 1950.

27. Климов B.C. Непрерывные ветви собственных функций квазилинейных эллиптических задач. -Диф. ур., 1973, т. 9, №10, с. 1845-1850.

28. Климов B.C. Нетривиальные решения вариационных и краевых задач. Дис. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук, Киев, 1990.

29. Климов B.C. Нетривиальные решения краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений. -Изв. Ан СССР, сер. матем., 1971, т, 35, №2, с. 428-439.

30. Климов B.C. О краевых задачах с чётным числом решений. -Диф. ур. 1994, т. 30, №4, с. 630-636.

31. Климов B.C. О ненулевых решениях краевых задач. -Диф. ур., 1971, т. 7, №5, с. 629-638.

32. Климов B.C. О неотрицательных решениях краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка. СМЖ, 1971, №4, с.718-726.

33. Климов B.C. Об одном классе краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений. -Диф. ур., 1970, т. 6, №10, с.1818-1823.

34. Климов B.C. Однородные краевые задачи с двумя решениями // Качественные и приближённые методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1978, Вып. 3. с.90-111.

35. Клоков Ю. А. Краевые задачи с условием на бесконечности для уравнений математической физики. Рига, 1963.

36. Колесов Ю.С., Левин А.Ю. О знаке функции Грина некоторых периодических краевых задач. В сб. «Проблемы матем. анализа сложных систем», 1, Воронеж (1976), с.40-43.

37. Кондратьев В.А. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвёртого порядка. М. Тр. матем об-ва, 8 (1959), 259-281.

38. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравненийу(п) +у(х)у = 0. М. Тр. матем об-ва, 10 (1961), с.419-436.

39. Кондратьев В.А. Эйдельман С.Д. Положительные решения линейных уравнений с частными производными. М., Тр. матем.об-ва, 31 (1974), с.85-146.

40. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1966. -331 с.

41. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений М. : Физматгиз, 1962. -394 с.

42. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. -392 с.

43. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближённое решение операторных уравнений М. : Наука, 1969. -455 с.

44. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. -510с.

45. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е. И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966 -499 с.

46. Красносельский М.А., Колесов Ю.С., Бурд В.Ш. Нелинейные почти периодические колебания. -М.: Наука, 1970.

47. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный Ю.И., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость нелинейных уравнений. -ДАН Тадж. СССР, 1974, т.17, №1, с.12-15.

48. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы. М.: Наука, 1985.-255 с.

49. Красносельский М.А., Покорный Ю.И., О ненулевых решениях уравнений с сильными нелинейностями. Матем. заметки 5(21), 1969, с.253-260.

50. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. -М.: Физматгиз, 1958. -271 с.

51. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. -УМН, 1948 т. 3, №1, с.3-95.

52. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.-104 с.

53. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов. -М.: Наука, 1978. -406 с.

54. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973. -576 с.

55. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х(п) + p{(t)x{nA) +. +pn(t)x = 0. УМН. т. 24, вып. 2 (1969), 43-96.

56. Лепин А.Я. Теоремы существования и априорные оценки решений нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: Дисс,- д-ра физ.-мат. наук. -Рига, 1986. -224 с.

57. Лепин А.Я., Мышкис А.Д. Об одном подходе к нелинейным краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифф. уравнения. -1967.-Т. 3, №11, с.1184-1188.

58. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971. -371 с.

59. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. -Ленинград. Изд-во Ленинградского гос. ун-та, 1985. -415 с.

60. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969. -528 с.

61. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. -455 с.

62. Покорный Ю.В. Некоторые условия разрешимости двухточечной задачи Валле-Пуссена. Тр. МИХМ, 1975. Вып. 69, с. 15-21.

63. Покорный Ю.В. О вторых решениях многоточечных краевых задач с выпуклыми нелинейными. -Диф. ур-я. 1975. Т. 11, №10, с.1801-1810.

64. Покорный Ю.В. О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи // Матем. заметки, т. 4, №5, 1968, с.533-540.

65. Похожаев С.И. О нелинейных операторах, имеющих слабо замкнутую область значений и квазилинейных эллиптических уравнениях. -Матем. сб., 1969, т. 78, №2, с.236-258.

66. Похожаев С.И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка. // Мат. сб., -1982, -т. 117, №2, -с.251-265.

67. Похожаев С.И. О разрешимости некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. // Диф. ур-я. -1982, -т. 18, №1, с.100-109.

68. Похожаев С.И. Об априорных оценках решений квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка. // Диф. ур-я. -1983, -т. 19, №1, с.101-110.

69. Ройтберг Я.Г. Шефтель З.Г. Граничные задачи с параметром в Lдля эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем. УМЖ, 1967, т. 19, №1, с.115-120.

70. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. -442 с.

71. Соболев СЛ. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974-808с.

72. Солонников В.А. О матрицах Грина для эллиптических краевых задач. -Тр. МИАМ СССР, 1971, т. 126, с.161-216.

73. Степанов Г.Д. Эффективные критерии знакорегулярности и осцилляционности функций Грина двухточечных краевых задач. Матем. сб., т. 188, №11, 1997, с.121-159.

74. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. Редакторы Дж. Б. Келлер и С. Атман. -М.: Мир, 1974, -254с.

75. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977. -216 с.

76. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970 -720с.

77. Шехтер М. Общие граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных. -Математика, сб. переводов, 1960, т.4, №5, с.89-122.

78. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. -М.: Наука, 1972 -718с.

79. Agmon S. On Eigenfunctions and the Eigenvalues of General Elliptic Boundary Value Problems. -Com. Pure and Apple. Math., 1962, v. 15, N2, p. 119147.

80. Amann H. A uniqneness theorem for non linear elliptic boundary value problems. Arch. Rational Math. Anal. 44 (1972), p.178-181.

81. Amann H. Fixed Point Equations and Nonlinear Eigenvalue Problems in Ordered Banach Spaces. // Siam. Review, v. 18, N4, 1976, p. 620-709.

82. Amann H. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems. Indiana Univ. Math. J, 21 (1971), pp. 125-146.

83. Amann H. On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Banach spaces. J. Functional Analysis, 11, (1972), pp.346-384.

84. Bonsall F. Linear operators in complete positive cones. Proc. London Math. Soc. 1958, v. 3, N8, p. 53-75.

85. Cohen D.S., Laetsch T.W. Nonlinear boundary value problems suggested in chemical reactor theory. J. Differential Equations, 7 (1970), pp.217-226.

86. Crandall M.G., Rabinowitz P.H. Some continuation and varational methods for positive solutions of nonlinear elliptic eigm value problems. Arch. Rational Math. Anal. 58 (1975), p.207-218.

87. Gagliardo E. Ulteriori proprieta di alaini classi di funzioni in piu variabili. Ricerche di Math. 1959, v. 8, p.24-51.

88. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. 2nd., repr. Cambridge e. a.: Cambridge Univ. Press, 1988. XII, 324 pp.

89. Jameson G. Ordered Linear Spaces, Lecture Note. v. 141, Spinger Verlag, New York, 1970

90. Karlin S. Positive operators. J. Math. Mech. 8 (1959), p.907-937.

91. Keller H.B., Cohen D.S. Some positone problems suggested nonlinear heat generations // J. Math. Mech. 19 (1967), pp.1361-1376.

92. Keller J.P., Keller H.B. Positive solutions of convex nonlinear eigen value problems. J. Differential Equations, 16 (1974), pp. 103-125.

93. Kufner A., John O., Fucik S. Function Spaces. Praze, 1977. -389 p.

94. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1959. v.13. p.l 15-162.

95. Norenberg L. Topics in Nonlinear Functional Analysis. Courant Institute, New York, 1974.

96. Nusslaum R. Positive solutions of some nonlinear boundary value problems. J. Math. Anal. Appl. 51 (1975), p.461-482.

97. Rabinowitz P.H. Pairs of positive solutions of nonlinear elliptic partial differential equations. Indiana Univ. Math. J, 23 (1973), pp. 173-186.

98. Schaffer H.H. Topological Vector Spaces. Spinger Verlag, New York,1971.

99. Schwartz J.T. Nonlinear functional Analysis. Gordon and Breach. New York, 1968.

100. Smale S. An infinite dimensional version of Sard's theorem. -Amer. Joura. Math., 1965, v. 87, p. 861-866.

101. Климов B.C. Павленко А.Н. Нетривиальные решения краевых задач с сильными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1997. т. 33, №12. с.1676-1682.

102. Павленко А.Н. Нелинейные граничные задачи и обратные функциональные неравенства. Понтрягинские чтения -VIII. Тезисы докладов. -Воронеж, ВГУ, 1997. с. 108.

103. Павленко А.Н. Об одном классе обратимых функциональных неравенств. Проблемы современной науки. Материалы областной межвузовской конференции молодых учёных. Апрель 1996 года. -Орёл, 1996. с.62-63.

104. Павленко А.Н. Обратные функциональные неравенства для функций многих переменных и их приложения к нелинейным эллиптическим краевым задачам. Современные проблемы механики и математики. Тезисы докладов. -Воронеж, ВГУ, 1998. с. 208.

105. Павленко А.Н. Обратные функциональные неравенства и их приложения к нелинейным граничным задачам. /Орловский гос. ун-т. -Орёл, 1997. -20с. -Деп. в ВИНИТИ 29.05.97, №1751 В97.