Обобщенный принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Полякова, Лусине Азатовна

• Полякова, Лусине Азатовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полякова, Лусине Азатовна

Введение

§1. Обобщенный принцип сжимающих отображений

1.1. Метрические пространства.

1.2. Принцип сжимающих отображений для полных метрических пространств.

1.3. Принцип сжимающих отображений для компактных метрических пространств.

1.4. Обобщенные метрические пространства

1.5. Обобщенный принцип сжимающих отображений для полных обобщенных метрических пространств.

1.6. Обобщенный принцип сжимающих отображений для компактных обобщенных метрических пространств

1.7. а - матрицы и b - матрицы

1.8. Свойства а - матриц и Ъ - матриц

1.9. Оценка спектрального радиуса а - матрицы.

1.10. Об одной теореме.

1.11. Комментарии.

§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений 36 2.1. Постановка задачи

2.2. Периодическая функция Грина.

2.3. С - теория.

2.4. L2 - теория.

2.5. Комментарии

3. Периодические решения нелинейных дифференциально

- разностных уравнений

3.1. Введение.

3.2. Основные предположения и постановка задачи

3.3. Нерезонансное условие.

3.4. С - регулярные дифференциальные операторы.

3.5. Периодическая функция Грина.

3.6. С - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера.

3.7. 1/2 - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера.

3.8. Пример, теорема Хейса.

4. Периодические решения теории автоматического регулирования

4.1. Введение.

4.2. Основные предположения и постановка задачи.

4.3. Теорема Красносельского и ряд ее уточнений.

4.4. Доказательство теоремы Красносельского и ряда ее уточненийШ

4.5. Z/2 - теория: обобщенный принцип сжимающих отображений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенный принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений»

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний одно из первых мест (если не первое место!) занимает исследование установившихся процессов, как-то: стационарных (то есть не меняющихся со временем), периодических, условно периодических, почти периодических и т.п. Диссертация посвящена периодическим решениям (вынужденным колебаниям) следующих нелинейных уравнений - обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциально - разностных уравнений и уравнений теории автоматического регулирования. Подчеркнем, что речь идет о периодических решениях с заранее известным периодом (периодом правой части).

Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть подвергнуты изучению с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова, и метод интегральных уравнений, метод направляющих функций Красносельского и Перова и вариационные методы и т.д. Диссертация всецело посвящена применению метода интегральных уравнений для исследования периодических решений указанных выше типов нелинейных дифференциальных уравнений.

Метод интегральных уравнений обстоятельно изучен в монографии Е.Н. Розенвассера "Колебания нелинейных систем"[51], имеющих подзаголовок "Метод интегральных уравнений". Интересно отметить, что ме~ тод интегральных уравнений с успехом был применен к изучению почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, что было продемонстрировано в монографии М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова "Нелинейные почти периодические колебания"[14]. Для того, чтобы свести исследуемую проблему к системе нелинейных интегральных уравнений систематически используется периодическая функция Грина, которая в случае уравнений теории автоматического регулирования принимает облик амплитудно- частотной характеристики (АЧХ). После того, как исходная задача сведена к изучению системы нелинейных интегральных уравнений, к ней для установления условий существования и его единственности (или только существования) применяется обобщенный принцип сжимающих отображений (или принцип Шауде-ра).

Обобщенный принцип сжимающих отображений ведет свое начало с работы А.И. Перова [34], опубликованный в 1964 году, в которой впервые появились условия, названные в данной диссертации критерием Мецлера - Котелянского. Этот принцип дает необходимое и достаточные условия того, что спектральный радиус матрицы с неотрицательными элементами меньше единицы. Этот критерий внешне весьма напоминает классический критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы и критерий Рауса - Гурвица асимптотической устойчивости алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами.

Диссертация разбита на четыре параграфа и снабжена списком цитируемой литературы. Изложим вкратце основное содержание каждого параграфа.

§1. Обобщеный принцип сжимающих отображений.

В диссертации обобщенный принцип сжимающих отображений излагается как для полных (обобщенных) метрических пространств - аналог классического принципа Банаха - Каччиополли, так и для компактных (обобщенных) метрических пространств. В первом случае в формулировке теоремы участвуют а - матрицы (то есть матрицы, удовлетворяющие критерию Мецлера - Котелянского), а во втором случае b - матрицы, определение которых в общем случае выглядит достаточно громоздко (оно полностью приведено в тексте диссертации), В первом параграфе приводится с полными доказательствами как упомянутые выше варианты обобщенного принципа сжимающих отображений, так и различные свойства а - матриц и b - матриц.

§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Во втором параграфе приведены различные достаточные условия существования и единственности (или только существования) вместе с оценкой периодических решений и их производных, а также оценками сходимости метода последовательных приближений. Для оценок использованы метрики двух функциональных пространств - пространства Чебыше-ва С[0,и/], и пространства Лебега Ь2[0,и>]. В этом параграфе приведены теоремы, доказываемые с помощью b - матриц.

§3. Периодические решения нелинейных дифференциально - разностных уравнений.

В этом параграфе построена функция Грина задачи о периодических решениях для линейных дифференциально - разностных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента, на знак которых не налагается никаких ограничений. Указываются необходимое и достаточное условия существования и единственности периодической функции Грина и изучаются в пространствах С{0, о;] и -Zv2[0,oj] нормы и спектральные радиусы линейных интегральных операторов, связанных с периодической функцией Грина. Формулируются и с помощью метода интегральных уравнений доказываются различные признаки существования и единственности (или только существования) периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют или условию Липшица, или условию типа Липшица.

При написании этого параграфа были использованы основополагающие работы А.Д. Мышкиса [23], Л.Э. Эльцгольца и С.Б. Норкина [60], В.П. Рубаника [52], В.Г. Курбатова [63], а также Э. Пинни [38] и Р. Белл-мана и К. Кука [4].

Отметим, что определенный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли воронежские математики: М.А. Красносельский, Ю.Г. Борисович, Б.Н. Садовский. В.В. Стрыгин и др.

§4. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений теории автоматического регулирования.

В этом параграфе на основе обобщенного принципа сжимающих отображений уточняется и обобщается теорема существования вынужденных периодических колебаний некоторых нелинейных систем автоматического регулирования, предложенная A.M. Красносельским [13]. Обобщение состоит в том, что нелинейностям разрешается зависить не только от самих искомых функций, но и от их производных.

В диссертации приняты следующие обозначения. Вектор - строка и вектор - столбец с компонентами ai,., ап обозначаются соответственно (ai,.,an) и со1(ах,. ап). Операция * означает транспонирование; например, если Q = (qij). то Q* — (qji). Спектральный радиус матрицы Q обозначается spr Q. Единичная матрица любого порядка записывается как I. Для п - мерных векторов а и b мы пишем а < b или а < b в зависимости от того di < bi или щ < bj при всех г = 1,. п. Аналогично для матриц. Если Q - неотрицательная квадратная матрица и Qh = ph., где h > 0 и р — spr Q, то h называется перроновым собственным вектором, а р - перроновым собственным значением. Начало и конец доказательства обозначаются значками □ и ■ соответственно.

Пусть А — (aij) - произвольная пхп~ матрица с комплексными элементами Ai,. Хп - полный набор ее собственных значений. Максимальный из модулей собственных значений называется спектральным радиусом матрицы А и обозначается spr А. Максимальная из вещественных частей собственных значений называется спектральной абсциссой матрицы А и обозначается spa А. Таким образом,

Минор матрицы А, построенный по срокам с номерами ii,.,ip и столбцам с номерами ji, .,jp обозначается spr А — max |A;|, spaA = max Re A^.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полякова, Лусине Азатовна, 2006 год

1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально - дифференциальных уравнений/ Н.В. Азбелев. В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматулина. - М. Наука, 1991. - 277с.

2. Андронов А.А. Теория колебаний/ А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. М.:Гос изд-во Физ.-мат. лит-ры, 19-59. - 915с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц /Р. Беллман. М.:Наука, 1969. - 368с.

4. Беллман Р. Дифференциально разносные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548с.

5. Боровских А.В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.В. Боровских, А.И. Перов . М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика: Институт компьютерных исследований, 2004 . - 540 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер .- 3-е изд. М.: Наука, 1967 .- 576 с.

7. Канторович JI.B. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959 .- 684 с.

8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1968 .- 496 с.

9. Колатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика / Л. Колатц. М.: Мир, 1969. - 448с.

10. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969455 с.

11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966 331 с.

12. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифщиц, А.В. Соболев,- М.: Наука, 1985. 256 с.

13. Красносельский М.А. Нелинейные почти-периодические колебания / М.А. Красносельский. В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов,- М. : Наука, 1970. -352 с.

14. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский .- М.: Наука, 1966 .- 499 с.

15. Векторные поля на плоскости / М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко .- М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит, 1963 .- 245 с.

16. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский .- М.: Физматиз, 1959. 212 с.

17. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах /P.M. Кроновер .- М.: Постмаркет, 2000.- 352 с.

18. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально разностные уравнения / В.Г. Курбатов .- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.- 168 с.

19. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер М.: Наука, 1969. -280 с.

20. Лика Д.К. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний / Д.К. Лика, Ю. А. Рябов. -Кишинев: Изд-во "Штиинца", 1974. 291 с.

21. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев М.: "Высшая школа", 1982 .- 271 с.

22. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А,Д. Мышкис. М.: Наука, 1972. - 352 с.

23. Никитин О.И. К вопросу о приближенном нахождении периодических решений дифференциальных уравнений / О.И. Никитин, А.И. Перов // Дифференцильные уравнения. 1983. - 19,№11. - С. 20012004.

24. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. - 560с.

25. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее приложения / М. Пароди. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. -172с.

26. Перов А.И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А.И. Перов, А.В. Кибенко // Изв. АН СССР, сер. Математика, -1966. 30,№2. - С.249-264.

27. Перов А.И. Периодические решения нелинейных дифференциально разностных уравнений / А.И. Перов, Л.А. Полякова,: Воронеж. ун-т.-Воронеж, 2006. - 47с.: - Библиогр. 18 назв. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 23.05.2006, № 688-И 2006.

28. Перов А.И. Теорема Йорка и неравенство Вертингера / А.И. Перов // Математические заметки. 2001. - т.70, Вып. 2. - С.237-245.

29. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов .- Воронеж: Изд.-во Воронежского университета, 1981. 196 с.

30. Перов А.И. Вынужденные периодические колебания в нелинейных системах автоматического регулирования / А.И. Перов, ЛА. Полякова // Вестник ВГУ.Серия Физика, Математика. 2006. - № 1. - С.176-181.

31. Перов А.И. О задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов //В кн.: Приближенные методы-решения дифференциальных уравнений, вып. 2. Киев: Наукова думка, 1964. - С. 115-134.

32. Перов А.И. Обобщенный принцип сжимающих отображений / А.И. Перов // Вестник ВГУ, Серия Физика,Математика. -- 2005. №1. -С.190-201.

33. Перов А.И. Периодические, почти-периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х — f(t, х) / А.И. Перов// ДАН СССР. 1960. - т.4, №1-2, - С.199-213.

34. Перов А.И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебани: учебное пособие / А.И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - 63 с.

35. Пинни Э. Обыкновенные диффернциально разностные уравнения / Э. Пинни. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. - 248 с.

36. Полякова JI.А. Вынужденные колебания нелинейной следящей системы / Л А. Полякова А. А. Жукова / / Труды молодых ученых ВГУ. 2006. - Вып. 1. - С. 14 - 18.

37. Полякова Л,А. К вопросу об оценке спектрального радиуса неотрицательных матриц / Л.А. Полякова // "Современные методы теории кравевых задач"Международная Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVII". Воронеж, 2006.- С. 141-143.

38. Полякова Л.А. К теории обобщенного принципа сжимающих отображений / Л.А. Полякова // Труды молодых ученых ВГУ. 2005.- Вып. 1-2. С. 36-39.

39. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-ого порядка (.^-теория) / Л.А. Полякова // Вестник факультета ПММ. 2006. - №5. - С. 153-166.

40. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений n-ого порядка (С-теория) / Л.А. Полякова // Вестник факультета ПММ. 2006. - №5. - С. 142-152.

41. Полякова JI.A. Признаки существования и устойчивости периодических решений нелинейных разностных уравнений / Л.А. Полякова // Материалы Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XVII". - Воронеж,2006. - С. 139-141.

42. Полякова Л.А. Периодические решения дифференциально разностных уравнений / Л.А. Полякова // Известия РАЕН, Дифференциальные уравнения. - 2006. - № И. - С. 179-182.

43. Пуанкаре А. О кривых, определенными дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. М,- Ленинград: Гостехидат, 1947. - 392с.

44. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. Метод интегральных уравнений/ Е.Н. Розенвассер. М.: Наука, 1969. - 576 с.

45. Рубаник В.П. Колебаний квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник. М.: Наука, 1969. - 288 с.

46. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1953. -256 с.

47. Треногин В.А, Функцианальный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980. - 496 с.

48. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.- Ленинград: Физматиз, 1972. - 352 с.

49. Халанай А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. М.: Мир, 1971. - 312 с.

50. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. М.: Мир, 1969. - 232 с.

51. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филиппе. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 832 с.

52. Чезари Л. Асимптотическиое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифеернциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964. - 480 с.

53. Эльцгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с откланяющимся аргументом / Л.Э. Эльцгольц, С.Б. Норкин. -М.: Наука, 1971. 296 с.

54. Bernfeld S.R. An Introduction to Nonlinear Boundary Value Problems / S.R. Bernfeld, V. Lakshmikantham //Mathematics in Seince and Engineering. Academic Precc, 1974. - Vol. 109. - 386 p.

55. Kamenskii M. Am averaging method for singulary perturbed system of semilinear differetial inclusions with Cq semigroups/ M. Kamenskii, P. Nistri // Set.-Valued Analysis. - 2003. - Vol.11, N.4. - pp. 345-357.

56. Kurepa J. Tablecux ramifies d'ensembles, Espaces pseudodistancies / J. Kurepa // C.R. 1934 - 198. - P.1563-1565.

57. Zabrejko P.P. К metric and К - normed linear spaspases:survey/ P.P. Zabrejko // Collect. Math. - 1997. - vol. 48, 4-6. - P.825-859.