Методы нелинейного анализа в построении приближенных решений задач управления и оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Исмаилов, Илхам Гусейнкулу оглы

• Исмаилов, Илхам Гусейнкулу оглы
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Исмаилов, Илхам Гусейнкулу оглы

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Метод продолжения в проблеме приближенного решения бесконечномерных оптимизационных задач

1.1 Основные понятия

1.2 Общая характеристика деформационных методов

1.3 Деформационный принцип

1.4 Конечномерные леммы

1.5 Свойства Я-правильных функционалов

1.6 Деформационная теорема

1.7 Следствия, дополнительные замечания

1.8 Деформационно-ньютоновская процедура

1.9 Деформационно-градиентная процедура

1.9.1 Постановка задачи

1.9.2 Основные результаты

2 Приложения деформационно-итерационных процедур

2.1 Задачи оптимального управления

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Вспомогательные утверждения

2.1.3 Деформационные теоремы

2.2 Задачи вариационного исчисления

2.2.1 Одномерные задачи

2.2.2 Многомерные интегральные функционалы

2.2.3 Деформационная теорема

2.3 Итерационные процедуры и метод малого параметра

2.4 Дополнительные замечания

2.4.1 Деформации бесконечномерных задач

математического программирования

2.4.2 Деформации многокритериальных задач

2.4.3 Многокритериальные задачи с ограничениями

2.4.4 Деформационный принцип минимума

для функционалов на метрических пространствах

2.4.5 Нормальные деформации

3 Итерационные процедуры в задачах управления и оптимизации

3.1 Градиентные процедуры приближенного построения решений оптимизационных задач

3.1.1 Общие сведения

3.1.2 Градиентный метод для (Р, 5)-правильных функционалов

3.1.3 Градиентные процедуры в задачах с континуумами экстремалей

3.1.4 Функционалы классического вариационного исчисления

3.1.5 Многомерные вариационные задачи

3.1.6 Задачи оптимального управления системами

с распределенными параметрами

3.1.7 Градиентные процедуры в задаче приближенного построения решений уравнений Гинзбурга-Ландау

3.1.8 Один пример функционала с континуумом экстремалей

3.1.9 Градиентные процедуры в задачах о слабом минимуме

3.2 Нелинейные интегральные уравнения

3.2.1 Основной результат

3.2.2 Нелинейное уравнение Пуассона

3.3 Проекционно-итерационные процедуры приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах

3.3.1 Введение

3.3.2 Постановка задачи

3.3.3 Основные результаты

3.3.4 Колебания в системах автоматического регулирования

3.3.5 Дополнительные замечания

3.4 Итерационный алгоритм приближенного построения циклов многоконтурных систем автоматического регулирования

3.4.1 Дифференцируемые уравнения динамики

систем автоматического регулирования

3.4.2 Задача о приближенном построении циклов

в автономных системах

3.4.3 Основная теорема

3.4.4 Оценки параметров алгоритма

3.5 Проксимационный метод решения невыпуклых оптимизационных задач

3.5.1 Введение

3.5.2 Основные теоремы

3.5.3 Дополнительные замечания

Непрерывные алгоритмы построения решений бесконечномерных задач и устойчивость бесконечномерных систем

4.1 Общие сведения

4.1.1 Введение

4.1.2 Функционал Ляпунова и явный метод Эйлера

4.1.3 Функционалы Ляпунова на банаховых пространствах

4.2 Новые достаточные условия устойчивости

4.2.1 .Е-правильные функционалы Ляпунова

4.2.2 Теоремы об устойчивости

4.2.3 Счетные системы дифференциальных уравнений

4.2.4 Интегро-дифференциальные уравнения

5 Прикладные задачи

5.1 Итерационный алгоритм решения задачи оптимизации

сетевых систем

5.1.1 Нелинейные системы. Управление входными потоками

5.1.2 Интегральные ограничения типа неравенств на компоненты внешнего потока

5.1.3 Интегральное ограничение типа неравенства

на суммарный внешний поток

5.1.4 Интегральные ограничения типа равенств

на компоненты внешнего потока

5.1.5 Интегральное ограничение типа равенства

на суммарный внешний поток

5.1.6 Вычислительные алгоритмы

5.2 Теоремы о глобальном гомеоморфизме

и задачи построения сеток

5.2.1 Введение

5.2.2 Некоторые задачи построения сеток

5.2.3 Отображения в конечномерных пространствах

5.2.4 Отображения в банаховых пространствах

Выводы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы нелинейного анализа в построении приближенных решений задач управления и оптимизации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Оптимизация систем с бесконечным числом степеней свободы — важнейшая задача современной теории управления. На сегодняшний день имеется множество как частных результатов решения задач, так и общих методов. Последние, чаще всего, требуют ограничительных предположений о минимизируемом функционале (повышенная гладкость, информация о близости начального приближения к отыскиваемому решению, хорошая обусловленность и т.д.), которые на практике, как правило, не выполнены. В связи с этим возникает потребность разработки достаточно общих методов, эффективных и простых в численной реализации.

Изучаемые в диссертации методы продолжения по параметру восходят к А. Пуанкаре и С. Н. Бернштейну. Метод продолжения в задачах приближенного решения нелинейных уравнений впервые был применен, по-видимому, Лаэем [224,225] (см., также [158]).

На основе метода продолжения Н. А. Бобылев разработал деформационный принцип минимума. Он состоит в том, что если в процессе специальной, так называемой невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Как показал Н. А. Бобылев, деформационный принцип обобщается на случай невырожденных деформаций гладких функционалов на гильбертовых пространствах, нормальных деформаций, гомотопий в задаче о слабом минимуме и т. д. Деформационный метод находит эффективное применение в задачах вариационного исчисления, оптимального управления, многокритериальной оптимизации, задачах нелинейного программирования и других прикладных вопросах. Конечномерная теория изложена в работе [13]. Понятие ./^-правильного функционала введено в [15]. Деформационный принцип минимума для гладких функционалов на гильбертовых пространствах, градиенты которых являются локально липшицевыми, обоснован в статье [16]. Его обобщениям на случай, ко-

гда градиенты функционалов могут не удовлетворять условию Липшица (основной вспомогательный результат первой главы 1.3.1) посвящены работы [28,29]. Обобщение теоремы 1.3.1 на случай функционалов, определенных на рефлексивных банаховых пространствах, изложено в работах [8,9,28]. Деформационный принцип для глобального минимума можно найти в работе [14]. Деформации систем в асимптотически устойчивые рассматриваются Н. А. Бобылевым и М. А. Красносельским в работе [35].

Развитию деформационного принципа, его обобщениям на липшицевы функционалы, определенные на бесконечномерных пространствах, а также на задачи с ограничениями, посвящены работы [19,20,30,31,89,189-194,208,235]. В теории краевых задач метод продолжения использовался в работах [17,82].

Метод продолжения в задаче доказательства разрешимости операторных уравнений в банаховых пространствах использовался М. К. Гавуриным [57] (см., также, [132,215,223,226,230,236]).

Данный метод развивался в работах Фрейденстейна и Рота [217], Н. А. Шид-ловской [203], Д. Ф. Давиденко [69-73], Робертса и Шипмэна [228], Босаржа [211]. Более подробную библиографию смотрите в [158,201]. В работах А. М. Дементьевой [77], [78] метод продолжения развит для исследования общих задач, сводящихся к операторным уравнениям.

Имеющиеся на сегодняшний день результаты по данной тематике обладают рядом недостатков: в них либо предполагается глобальная разрешимость дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, что требует дополнительной гладкости, либо формулируются утверждения о сходимости метода без каких-либо оценок скорости сходимости.

Предлагаемая в диссертации деформационно-ньютоновская процедура позволяет получить приближение к решению операторного уравнения с заданной точностью е за конечное количество шагов Аг(с), при этом N(8) выписывается явно. Альтернативная деформационно-градиентная процедура дает возможность избавиться от требования гладкости. Эти процедуры не требуют близости

начального приближения к экстремали. Для разработанных методов рассматриваются приложения к классическим задачам оптимального управления и вариационного исчисления. Указанные процедуры описаны в работах [28,29,106].

Анализу приближенных процедур типа градиентного спуска локализации оптимального решения (точки минимума функционала качества) посвящено большое количество публикаций как в российских, так и в зарубежных научных изданиях. Мы отметим здесь монографии и статьи [3-5,18,52-56,60,99, 101,105,106,119,157,166,169,176,219,229]. Сходимость градиентного метода в проблеме построения экстремалей задач классического вариационного исчисления установлена в [99]. Градиентные процедуры для многомерных вариационных задач изучались в [33], а в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами — в работах [52,53]. Задачам с континуумами экстремалей посвящены работы [26,27,101,210].

Наиболее полно градиентные процедуры исследованы в случае, когда изучаемый функционал удовлетворяет какому-либо условию выпуклости (строгая выпуклость, сильная выпуклость, монотонность градиента и т. д.). В ряде важных вопросов (например, в задачах оптимального управления с функционалами качества общего вида, в задачах классического вариационного исчисления) изучаемые функционалы невыпуклы. В таких случаях локальная сходимость градиентного метода установлена в предположении невырожденности точки минимума. Позднее Н. А. Бобылевым был введен класс функционалов (Н-правильные функционалы), для которых удалось доказать сходимость градиентных процедур (метод наискорейшего спуска, метод простых итераций) в предположении лишь изолированности отыскиваемой точки минимума — [18]. Затем эти результаты были обобщены Н. А. Бобылевым, С. К. Коровиным и А. А. Кутузовым [33] для так называемых (Р, 5)-правильных функционалов. В то же время во многих задачах бесконечномерной оптимизации критические точки не изолированы.

В настоящей работе доказывается сходимость градиентного метода для

(Р, ¿^-правильных функционалов в случае континуума критических точек без предположений о выпуклости или невырожденности. Соответствующие публикации — [26,27].

Этот результат позволил доказать теорему о сходимости метода типа спуска для системы уравнений Гинзбурга - Ландау, описывающих поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле. Данная теорема изложена в отдельном пункте третьей главы; [100, 101, 219] — соответствующие публикации. Существование решений этой системы доказано Н. А. Бобылевым [22] и В. С. Климовым [123].

Далее в диссертации рассмотрена проблема сходимости проекционно-итера-ционных процедур. Последние, начиная с метода Галеркина и его модификаций — Бубнова-Галеркина, Галеркина-Петрова, Фаэдо-Галеркина и др. широко распространены и применяются как для доказательства разрешимости уравнений математической физики (Лионе Ж.-Л.), так и для фактического поиска решений. Проекционным процедурам в нелинейных задачах посвящена обширная литература. Мы упомянем здесь работы [11,12,24,48-50,117,125,131,140, 159,161-165,183,186,195,209,213,232,234]. Методу гармонического баланса, являющегося одной из модификаций метода Галеркина, посвящены монографии и работы [21,24,36,37,39,43,48-50,58,106,126,173,174,180,182,200,209].

На сегодняшний день известны общие теоремы о сходимости метода гармонического баланса. Например, доказана сходимость приближений к циклу, если его топологический индекс отличен от нуля и приближающие операторы аппроксимируют исходный. В ряде случаев приводится экспоненциальная оценка сходимости, которая, однако, может оказаться неприемлемой для начальных приближений общего положения. В данной работе предлагается метод выбора начального приближения, основанный на априорной грубой информации относительно искомого решения. Фактически это означает, что чем больше известно о структуре отыскиваемого цикла, тем быстрее сойдется предложенный метод. Этот результат опубликован в работе [24].

Важным вопросом является вопрос о приближенном построении циклов в автономных системах. Если отыскиваемый цикл асимптотически устойчив и достаточно хорошо локализован, то посредством какого-либо метода численного интегрирования можно получить сколь угодно точное приближение. Однако во многих важных ситуациях (например, в задаче хаотической динамики) отыскиваемые циклы, как правило, неустойчивы. Это существенно усложняет задачу. Один из приемов приближенного построения неустойчивых циклов (Н. А. Бобылев, М. А. Красносельский) автономных систем базируется на комбинации метода функционализации апараметра и какого-либо метода Галеркина (метод гармонического баланса, метод механических квадратур, метод коллока-ции) [34]. Однако такой поход весьма трудоемок в вычислительном отношении и требует дополнительной информации об отличии от нуля топологического индекса решения. В диссертации предлагается новый итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем, эффективный в вырожденных ситуациях. Ему посвящены публикации [25,106-108,220,221,231].

Отдельный параграф описывает обобщение так называемого проксимацион-ного метода (или ргох-метода). Понятие проксимационного отображения введено Моро, ргох-метод является частным случаем метода регуляризации для некорректных задач, предложенного А. Н. Тихоновым и используется в задачах с вырожденными и плохо обусловленными функционалами. К настоящему времени ргох-метод детально разработан и исследован для выпуклых функционалов. Проксимационному методу приближенного решения выпуклых оптимизационных задач посвящены монографии и работы [7,118,155,206,218,227]. Этот метод для невыпуклых задач конечномерной и бесконечномерной оптимизации впервые обоснован в статье [94]. Результаты, относящиеся к невыпуклым задачам, излагаются в третьей главе диссертации.

Наряду с дискретными методами приближенного построения решений рассматривается также и непрерывный. Начиная с классической работы А. М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", методы функций Ляпунова

получили широчайшее распространение как в абстрактном нелинейном анализе, так и в исследовании конкретных задач. Например, А. И. Лурье, В. Н. Постникову, Н. Г. Четаеву принадлежат работы по асимптотической устойчивости в целом для нелинейных систем. Далее направление развивалось в работах ученых М. А. Айзермана, Б. П. Демидовича, Н. Н. Красовского, М. Г. Крейна, Е. С. Пятницкого [1,10,40,75,79,136,137,177].

Основной трудностью использования метода функций Ляпунова является отсутствие общих методов их построения. Одним из путей преодоления этой трудности служит использование векторных функций Ляпунова, предложенное Р. Бэллманом и В. М. Матросовым, и развивавшееся затем Л. Ю. Ана-польским, С. Н. Васильевым [148] и другими. В настоящей работе не предлагается способов построения таких функций, но выделен класс функционалов на банаховых пространствах, для которых упрощается проверка классических условий устойчивости и асимтотической устойчивости по Ляпунову бесконечномерных систем. Это, в свою очередь, приводит к возможности локализации устойчивого решения операторного уравнения сдвигом вдоль траектории системы (М. А. Красносельский [130]), что может быть реализовано классическими численными методами (Эйлера, Рунге-Кутта и т. д. [207]) По этой теме опубликованы работы [102-104].

В качестве основных прикладных задач в диссертации рассматриваются оптимизация сетей связи и построение сеток для разностных уравнений.

Так, градиентный метод используется для приближенного построения оптимального управления в сетях связи. Общая теория таких сетей изучалась различными авторами [62-65]. Однако существующие к настоящему времени методы исследования сетевых систем не носят универсального характера. Это связано с тем обстоятельством, что основное внимание исследований было направлено на анализ статических моделей. В то же время реальные системы связи являются существенно нестационарными объектами. Это вызвано рядом факторов: изменение нагрузки в сети, перемещения абонентов, выход из строя

и восстановление элементов сети и т. п. Следует отметить также, что даже методы исследования статических моделей зачастую носят эвристический характер. Попытка дать строгое математическое описание функционирования нелинейных сетевых систем содержится в работах автора [95-97] и более подробно описана в настоящей диссертации. Нами выведены необходимые условия оптимальности и предложен вычислительный алгоритм.

Несмотря на многообразие теоретических результатов относительно приближенных методов решения различных задач, основным средством решения нелинейных уравнений с частными производными являются разностные методы. Для применения разностных методов в области определения отыскиваемого решения строят некоторую сетку, а затем заменяют производные конечными разностями. Основные понятия, связанные с разностными схемами в задачах построения решений уравнений с частными производными, изложены, например, в монографиях [152,183-185].

Вопрос о построении сетки выделяется как один из основных вопросов реализации разностной схемы. В свою очередь, это приводит к проблеме введения глобальной криволинейной системы координат в заданной области. Например, в работе [60] ставится задача об отыскании двух функций, обеспечивающих гомеоморфное отображение квадрата на заданную двумерную область при заданном отображении границы квадрата в границу области. Такая постановка лежит в основе многочисленных методов построения сеток, которые образуют в настоящее время бурно развивающееся направление вычислительной математики.

Одним из возможных решений проблемы служит результат о переходе к глобальному гомеоморфизму от локального. Соответствующая теорема, доказанная в диссертации (см., также [23]), может быть использована для обоснования корректности построения той или иной разностной сетки в областях сложной формы.

Цель работы состоит в разработке приближенных методов решения нели-

нейных задач управления, оптимизации и автоматического регулирования.

Для этого необходимо:

1. Определить классы функционалов, допускающих обобщение классических приближенных методов на случай бесконечномерных задач и разработку новых приближенных процедур.

2. Исследовать свойства функционалов этих классов.

3. Изучить естественность определенных классов функционалов — как часто встречаются на практике описанные объекты. Найти приложения в теории оптимального управления, вариационном исчислении, оптимизации.

4. Разработать приближенные процедуры, доказать их сходимость, оценить число достаточных шагов (если возможно) или скорость сходимости.

5. Применить разработанные приближенные процедуры в теории автоматического регулирования, управления, математической физике и теории массового обслуживания.

6. Разработать специальные методы поиска цикла динамических систем, возникающих в теории автоматического регулирования.

7. Изучить связь устойчивости по Ляпунову и сходимости приближенных методов. Доказать устойчивость и асимптотическую устойчивость для выделенного класса бесконечномерных задач.

8. Найти приближенные процедуры построения управляющих воздействий в задачах оптимального управления.

9. Разработать методы построения сеток для разностных уравнений на счетных областях сложной формы, исходя из локальной информации о требуемой сетке.

Методы исследования. В работе использованы методы общей теории систем и теории автоматического управления, методы нелинейного функционального анализа, интегральных уравнений, вариационного исчисления, теория итерационных процедур приближенного решения операторных уравнений.

Научная новизна. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Нами предложена единая методика приближенного построения решений задач оптимизации и автоматического регулирования. При построении и исследовании вычислительных алгоритмов решения бесконечномерных оптимизационных задач впервые применен деформационный принцип, использующий свойства инвариантов функционалов качества.

В работе предложены и обоснованы новые приближенные процедуры решения бесконечномерных оптимизационных задач, основанные на деформационном методе (методе продолжения). Эти процедуры (деформационно-ньютоновская и деформационно-градиентная) применены к решению задач вариационного исчисления, механики, управления движением при интегральных ограничениях на управляющие воздействия. С целью обоснования указанных методов установлена деформационная теорема о сохранении минимума функционала качества бесконечномерной системы при невырожденной деформации этого функционала в ситуации, когда его градиент не обладает повышенной гладкостью. Предложен градиентный метод поиска минимума для специальных классов функционалов. Доказана сходимость этого метода к многообразию (множеству) критических точек функционала, реализующему его локальный минимум. Это позволило в качестве приложения решить задачу об итерационном поиске решений системы уравнений Гинзбурга-Ландау. Доказана сходимость разновидности градиентного метода для интегральных функционалов на пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Разработан метод приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах, основанный на методе гармонического баланса. Данный метод применен к исследованию нелинейных систем автоматического регулирования. Разработан

алгоритм приближенного построения циклов многоконтурных автономных систем автоматического регулирования, эффективный в вырожденных ситуациях — метод локализации на гиперплоскости. Данный алгоритм не требует отличия от нуля топологического индекса цикла, или его орбитальной асимптотической устойчивости. Обоснован ргох-метод решения невыпуклых оптимизационных задач и проведены вычисления на ЭВМ, иллюстрирующие скорость его сходимости. Определен класс функционалов Ляпунова на рефлексивных сепара-бельных банаховых пространствах. Это позволило сформулировать достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости бесконечномерной динамической системы, что может служить обоснованием метода приближения к стационарному состоянию (решению операторного уравнения) сдвигом вдоль траекторий этой системы. Получено необходимое условие оптимальности управления сетевыми системами. Дан градиентный метод приближенного построения оптимальных управлений таких систем. Предложен метод глобализации гомеоморфизма в задаче о построении разностных сеток. Он основан на локальной информации и информации о соответствии границ. В качестве приложения, метод позволяет решать задачу об адаптации сетки в счетной области.

Практическая ценность. Полученные результаты могут использоваться для приближенного поиска автоколебаний в системах автоматического регулирования, оптимизации вырожденных функционалов качества, оптимизации сетевых систем, при построении оптимального управления движением с ограничениями по энергетике, для введения разностных сеток сложной конфигурации, приближенного поиска неустойчивых периодических режимов систем автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы и доложены на научных семинарах ИПУ РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, ИСА РАН, Воронежского государственного университета, на Воронежской зимней математической школе, на III Всесоюзном совещании по распределенным автоматизированным системам массового обслуживания (Винница 1990 г.), на

III Интернациональном симпозиуме "Method and Models in Automation and Robotics" (Польша 1996 г.), Международной научно-практической конференции "Управление большими системами" (Москва 1997 г.), на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара 1997 г.), на Международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управления" (Переславль 2002 г.), VII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва 2002 г.), Международная научно-практическая конференция "ТАС-2011" (Москва 2011 г.), Конференция "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012 Санкт-Петербург 2012 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 работы, среди которых 15 статей в ведущих рецензируемых журналах и одна монография.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором самостоятельно.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 22 параграфа, выводов и списка литературы из 236 наименования. Работа содержит 275 страниц печатного текста.

Глава 1.

Метод продолжения в проблеме приближенного решения бесконечномерных оптимизационных задач

1.1 Основные понятия

В диссертации изучаются бесконечномерные оптимизационные задачи на се-парабельном гильбертовом пространстве Н и сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве Е.

Прежде чем формулировать основные результаты, нужно условиться о классах функционалов, для которых развивается теория. Естественно потребовать чтобы для "хороших" отображений из некоторого множества были справедливы некоторые обобщения классических итерационных методов — градиентного и метода Ньютона. Вот несколько наводящих соображений. Известно [171], что скорость сходимости градиентной процедуры вблизи точки минимума х* функции / в конечномерном евклидовом пространстве Еп характеризуется числом обусловленности:

Ц = ЙЫ(зир ||ж - х*||2)/( 1п£ ||х - ж*||2), и = {х- ¡(х) = /(**) + 5}

чем больше ¡1, тем медленнее сходимость метода. Если функция / квадратична: /(ж) = ^¡(Ах,х) — (6,х), А = А* > 0 и 0 < А1 ^ А2 ^ ... ^ Хп — собственные

значения А, то ц, = ¿¿(/) = ^ = ||Л||||Л-1|| — число обусловленности мат-

М

рицы А. Рассмотрим теперь квадратичный функционал на Н, порожденный положительным самосопряженным оператором А £ £(#) : /(ж) = Предположим, что А компактен. Тогда число обусловленности такой оптими-

зационной задачи, записанное формально, равно

/i = lim = +оо

n-too Лп

здесь — собственные значения А. Как легко

показать, то же самое число обусловленности будет иметь любой слабо непрерывный равномерно дифференцируемый функционал д(х), х G Н с локальным минимумом в нуле. Это следует из известных теорем Цитланадзе [199]. Отсюда следует, что слабо непрерывные функционалы, скорее всего, не годятся для наших целей.

Пусть теперь А — I + С, С — С* > О, С — вполне непрерывный оператор. Тогда точка сгущения собственных значений равна 1, число р, конечно и, возможно, даже окажется приемлемым в практических расчетах.

Далее сформулированы основные определения. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (и, v). Ниже через В(р, v) обозначается шар

В(р, v) = {и е Н : ЦгА - v\\ < р}

через dB(p,v) — его граница. Кроме того, используются также обозначения В(р,0) = В(р),В(1,0) = В.

В диссертации используются два множества абстрактных функционалов: Я-правильные и (Р, 5)-правильные.

Определение 1. Заданный на шаре В(р, v) функционал f(u) называют Н-правильным на В(р, v), если f(u) непрерывно дифференцируем по Фреше на В(р, v), а его градиент Vf(u) ограничен на В(р, v) и удовлетворяет следующему условию (S) : если последовательность ип слабо сходится к элементу и* (ип —^ и*) и

lim (V/(wn), ип - и*) ^ 0, (1.1.1)

71—> ОО

то

lim ||ип — it* || = 0.

п—>оо

Условие (S) близко условию (5)+, введенному И. В. Скрыпником [188]. (Здесь и в дальнейшем через —^ обозначается слабая сходимость в H.)

Определение 2. Дифференцируемый по Фреше функционал f : H —> R будем называть (Р, ¿^-правильным, если он удовлетворяет следующему варианту условия Пале-Смейла: для каждого ограниченного замкнутого множества M G H из неравенства

V f(u) 0 (и 6 М) (1.1.2)

вытекает неравенство

inf4|V/(u)||>0. (1.1.3)

ием

Понятие if-правильного функционала введено Н. А. Бобылевым [15]. Отметим, что определение 1 отличается от определения из работы Н. А. Бобылева отсутствием требования локальной липшицевости градиента.

(Р, 5)-правильные функционалы изучались в монографии [22]. Связь между определениями 1 и 2 дает следующая

Теорема 1.1.1. H-правильный функционал будет (Р, S)-правильным.

Доказательство. Пусть К G H произвольное ограниченное замкнутое множество. Пусть inf ||V/(x)|| = 0. Обозначим минимизирующую последователь-

хеК

ность через {а^} С К, V/(хь) —0, к —> оо. Поскольку {хограничена, без ограничения общности можно считать хп —^ ж*, к —> оо. Тогда

lim ( V/(x„), хп - X*) ^ lim I ( У/(жп), хп - ж*) | <

п—>00 71—ЮО

^Ш\\Х7Цхп)\\\\хп-х*\\=0

п—>оо

Отсюда в соответствии с условием (S) хп —ж* сильно и, значит, ж* 6 К, У/(ж*) = 0. Теорема доказана.

Далее рассматриваются связи выделенных функциональных классов с другими подобными классами.

Определение 3. [156] Пусть Е — банахово пространство и U : Е —> М — дифференцируемый по Famo функционал. Будем говорить, что U удовлетворяет условию (С) на подпространстве fü С Е, если для любой последовательности хп, п £ N в Г2, обладающей свойствами

замыкание множества {хп\п £ М} содержит точку х такую, что II'(х) — 0.

Данное условие (С) Пале и Смейла было введено с целью доказательства сходимости минимизирующих последовательностей. Исторически условие (С) было впервые сформулировано для С2 функций на банаховых многообразиях, где оно заменяло требование выпуклости. Затем условия дифференцируемости были ослаблены до С1+ (локально липшицевы производные). В классе функционалов (С) оказалось возможным обоснование бесконечномерной теории Морса, Люстерника-Шнирельмана, были доказаны теоремы о горном перевале, различные результаты о седловых точках и т. д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исмаилов, Илхам Гусейнкулу оглы, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. - М.: Изд-во АН СССР. - 1963.

2. Алексеев И. М., Тихомиров В. М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979.

3. Альбер Я. И. Решение нелинейных операторных уравнений методами типа наискорейшего спуска // Докл. АН ССР. - 1970. - 193. № 2. - С. 225 - 258.

4. Альбер Я. И. Локальные теоремы сходимости градиентных методов в гильбертовом пространстве // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. -1973. - 13. № 4. - С. 829 - 838.

5. Альбер Я. И., Шильман С. В. Метод обобщенного градиента: сходимость, устойчивость и оценки погрешности // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. - 1982. - 22. № 4. - С. 814 - 823.

6. Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Милютин А. А., Чуканов С. В. Необходимое условие в оптимальном управлении. - М.: Наука, 1990.

7. Бакушинский А. Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1985. - Т. 17. №6.

8. Барбакадзе Т. Н. Об инвариантности минимума при деформациях гладких функционалов // Сообщ. АН ГССР. - 1989. - 136. № 2. - С. 281 - 284.

9. Барбакадзе Т. Н., Бобылев Н. А., Кондаков Г. В. Деформационный принцип минимума для функционалов на банаховых пространствах // Сб. тр. ВНИИ систем, исслед. - 1990. № 13. - С. 6 - 15.

10. Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. - 1952. - 86. № 3. - С. 453 - 456.

11. Бобылев Н. А. К теории фактор-методов приближенного решения нелинейных задач // Докл. АН СССР. - 1972. - 199. № 1. - С. 9 - 12.

12. Бобылев Н. А. Метод механических квадратур в задаче о периодических решениях // УМН. - 1972. - XXVII, вып. 4 (166). - С. 203 - 204.

13. Бобылев Н. А. Об одном приеме исследования устойчивости градиентных систем // Автомат, и телемехан. - 1980. № 8. - С. 33 - 35.

14. Бобылев Н. А. О глобальном экстремуме функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы // Сб.: Динамика неоднородных систем. - 1983. - М.: Изд-во ВНИИСИ. - С. 21 - 26.

15. Бобылев Н. А. О деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку // Мат. заметки. - 1983. - 34. № 3. - С. 387 - 398.

16. Бобылев Н. А. О деформационном методе исследования функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы // Автомат, и телемехан. - 1981. № 7. - С. 11 - 18.

17. Бобылев Н. А. Разрешимость краевых задач и признаки минимума интегральных функционалов // Укр. мат. - 1985. - 37. № 4. - С. 418 - 424.

18. Бобылев Н. А. О градиентном методе в задачах бесконечномерной оптимизации // Автомат, и телемехан. - 1985, 12. - С. 34 - 42.

19. Бобылев Н. А. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. I // Автомат, и телемехан. - 1989. № 7. - С. 82 - 90.

20. Бобылев Н. А. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. II // Автомат, и телемехан. - 1989. № 8. - С. 24 - 33.

21. Бобылев Н. А., Бурман Ю. М., Коровин С. К. Оценка погрешности метода гармонического баланса // Автомат, и телемехан. - 1992. № 5. - С. 3 - 12.

22. Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические методы в вариационных задачах. - М.: Магистр, 1998.

23. Бобылев Н. А., Иваненко С. А., Исмаилов И. Г. Несколько замечаний о гомеоморфных отображениях // Мат. заметки. - 1996. - Т. 60. № 4. - С. 593 - 596.

24. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г. Итерационные процедуры в задачах управления и оптимизации // Приборы и системы управления. - 1997. № 2. -С. 15-18.

25. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Коровин С. К. Об одном алгоритме построения предельных циклов в системах автоматического регулирования //IV Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. - 1996. - С. 6.

26. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Коровин С. К. Градиентные процедуры в задачах с неизолированными экстремалями // Докл. РАН. - 1997. - 354, № 1. - С. 11 - 13.

27. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Коровин С. К. Градиентные процедуры в задачах с неизолированными экстремалями // Дифф. уравнения. - 1998. - Т. 34. № 3. - С. 12 - 22.

28. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Пропой А. И. Деформационно-итерационные процедуры приближенного решения экстремальных задач // Препринт. - Институт проблем управления АН СССР. - М., 1990. 48 с.

29. Бобылев Н. А., Исмаилов И. Г., Пропой А. И. Метод продолжения в про-

блеме приближенного построения решений бесконечномерных оптимизационных задач // Докл. АН СССР. - 1990. - 312. № 3. - С. 550 - 554.

30. Бобылев Н. А., Климов В. С. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. - М.: Наука, 1992.

31. Бобылев Н. А., Кондаков Г. В. Деформационный метод исследования негладких оптимизационных задач // Автомат, и телемехан. - 1991. № 5. - С. 45 - 57.

32. Бобылев Н. А., Коровин С. К., Скалыга В. И. О гомотопическом методе исследования многокритериальных задач // Автомат, и телемехан. - 1996. № 10. - С. 168 - 178.

33. Бобылев Н. А., Коровин С. К., Кутузов А. А. Градиентные методы в бесконечномерных задачах // Дифф. уравнения. - 1995. - 31, № 10. - С. 1701 - 1707.

34. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифф. уравнения. -1970. №11.-С. 1946 - 1952.

35. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Деформации систем в асимптотически устойчивые // Автомат, и телемехан. - 1974. № 7. - С. 5 - 8.

36. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. О приближенном построении автоколебаний в системах автоматического регулирования // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 272, № 11. - С. 267 - 271.

37. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. О методе гармонического баланса в задаче об автоколебаниях // Автомат, и телемехан. - 1984. № 9. - С. 44 - 51.

38. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Нормальные деформации вариационных задач // Докл. АН СССР. - 1989. - 307. № 4. - С. 785 - 788.

39. Бобылев Н. А., Красносельский А. М., Красносельский М. А. Устойчивость периодических колебаний и возможность их построения методом гармонического баланса // Автомат, и телемехан. - 1988. № 7. - С. 179 - 181.

40. Бобылева О. Н., Пятницкий Е. С. Кусочно-линейные функции Ляпунова и локализация спектра устойчивых матриц // Автомат, и телемех. - 2001. № 9. - С. 25 - 36.

41. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. - М.: Наука, 1973.

42. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. - М.: Изд-во Российского университета дружбы народов, 1995.

43. Браверман Э. М., Меерков С. М., Пятницкий Е. С. Малый параметр в проблеме обоснования метода гармонического баланса (в случае гипотезы фильтра) // Автомат, и телемехан. - 1975. № 1. - С. 5 - 21; № 2. - С. 5 - 12. - 1976. № 11. - С. 16 - 27.

44. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965.

45. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975.

46. Бутрименко А. В. Разработка и эксплуатация сетей ЭВМ. - М.: Финансы и статистика, 1981.

47. Вайникко Г. М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение операторных уравнений. Изд-во Тартусского ун-та, Тарту, 1970.

48. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов. Изд-во Тартуского ун-та, Тарту, 1976.

49. Вайникко Г. М. О быстроте сходимости метода гармонического баланса.

- М, Институт проблем управления, 1989, Деп. в ВИНИТИ 1.11.89 № 6606-В89.

50. Вайникко Г. М., Мийдла П. X. О сходимости приближенных методов отыскания автоколебаний. Уч. зап. Тартуского ун-та, 1977, 430. - С. 75 - 88.

51. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. - М.: Наука, 1977.

52. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач. - М.: Изд-во МГУ. 1974.

53. Васильев Ф. П., Тятюшкин А. И. К вычислению оптимального программного управления в одной задаче с распределенными параметрами // Журн. выч. матем. и мат. физики. - 1975. - 15. № 4. - С. 1047 - 1053.

54. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.

55. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1988.

56. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. - Минск: Изд-во БГУ, 1981.

57. Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итерационных процессов // Изв. ВУЗов. Матем. - 1958. № 5. - С. 18 - 31.

58. Гарбер У. Д., Розенвассер Е. Н. Об исследовании периодических режимов нелинейных систем на основе гипотезы фильтра. // Автомат, и телемехан.

- 1965. № 2. - С. 277 - 287.

59. Гинзбург В., Ландау Л. // Феноменологическая теория сверхпроводимости // ЖЭФТ. - 1950. - 20. - С. 1064.

60. Годунов С. К., Забродин A.B. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976.

61. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. - М.: Наука, 1975.

62. Гуревич И. М. Методика оценки времени передачи сообщений. Методическое пособие. - Мое. ФАП АСУ, 1980.

63. Гуревич И. М. Многоуровневая модель сети связи. Протоколы и методы коммутации в вычислительных сетях под ред. Самойленко С. И. - М., 1986.

64. Гуревич И. М. Автоматизированные системы управления связью. Автоматизация проектирования. - М.: ИПК МЛСС, 1987.

65. Гуревич И. М. Проектирование специальных систем связи. Динамические модели управления связью. - М., 1989.

66. Гуревич И. М. Определение среднего времени и дисперсии времени передачи информации в сетях связи //В кн.: Модели информационных сетей систем и коммуникационных сетей систем. - 1982. - Москва: "Наука".

67. Гуревич И. М. Расчет характеристик сетей со случайной процедурой выбора маршрута. / Сб. Вопросы кибернетики. Проблемы теории вычислительных сетей. - М.: АН СССР. - 1983.

68. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления: - М.: Наука, 1977.

69. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. - 1953. - 88, № 5. - С. 601 - 602.

70. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. мат. журн. - 1953. № 5. - С. 196 - 206.

71. Давиденко Д. Ф. О приближении метода вариации параметра к теории нелинейных функциональных уравнений // Укр. мат. журн. - 1955. № 7.

- С. 18 - 28.

72. Давиденко Д. Ф. О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. - 1965.

- Т. 162, № 4. - С. 499 - 502.

73. Давиденко Д. Ф. О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения элементов обратной матрицы // Докл. АН СССР. - 1965. - 162, № 6. - С. 743 - 746.

74. Давыдов Г. Б., Рогинский В. Н., Толчан А. Я. Сети электросвязи. - М.: Связь, 1977.

75. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970.

76. Дементьев С. Н., Исмаилов И. Г., Кутузов А. А. Градиентные методы в задачах оптимального управления распределенными системами. Математические задачи химической кинетики. - Тверь, 1995.

77. Дементьева А. М. О разностных схемах построения неявной функции. // Докл. АН СССР. - 1971. - 201, номер 4.

78. Дементьева А. М. Об одном способе построения неявной функции. // Успехи математических наук. - 1972. - 27, выпуск 4.

79. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.

80. Демьянов В. Ф. Негладкие задачи оптимизации и управления. - Л.: Изд-во ЛГУ. - 1982. 324 с.

81. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. - М.: Наука, 1981.

82. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Метод продолжения по параметру при решении краевых задач в оптимальном управлении. // Журнал Дифференциальные Уравнения. - 2001. - 37, номер 4.

83. Дэвис Д., Барбер Д., Прайс Ч., Соломонидес С. Вычислительные сети и сетевые протоколы. - М.: Мир, 1982.

84. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применения в системах оптимизации. - М.: Наука, 1982.

85. Емельянов С. В. Системы автоматического регулирования с переменной структурой. - М.: Наука, 1967.

86. Емельянов С. В. Системы автоматического регулирования с переменной структурой. - М.: Наука, 1978.

87. Емельянов С. В. Бинарные системы автоматического управления. - М.: Изд-во МНИИПУ, 1984.

88. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. - М.: Наука, Физматлит., 1997.

89. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. - М.: Наука, 2001.

90. Жожикашвили В. А., Вишневский В. М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1988.

91. Захаров Г. П. Методы исследования систем передачи данных. - М.: Радио и связь, 1982.

92. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. - М.: Наука, - 1970.

93. Исмаилов И. Г. Алгоритм решения задачи оптимизации сетевых систем.

- М.: Институт проблем управления, 1990. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 16.03.90, №1461-Б90.

94. Исмаилов И. Г. О проксимационном методе решения невыпуклых оптимизационных задач // Автомат, и телемехан. - 1990. № 5. - С. 186 - 189.

95. Исмаилов И. Г. Алгоритмическое обеспечение задачи оптимизации систем связи // Прикладные задачи оптимального управления: модели, методы, алгоритмы. - М.: Институт проблем управления, 1990.

96. Исмаилов И. Г. О приближенном построении оптимальных управлений многоканальными сетевыми системами //VI Всесоюзное совещание "Управление многосвязными системами"// Тезисы докладов. - Суздаль.

- 1990. - С. 67- 68.

97. Исмаилов И. Г. Управление динамической моделью многоканальной сети связи // III Всесоюзное совещание по распределенным автоматизированным системам массового обслуживания // Тезисы докладов. - Винница, 1990.

98. Исмаилов И. Г. Об одной процедуре приближенного решения задач управления и оптимизации // Автомат, и телемехан. - 1997. № 4. - С. 227 - 231.

99. Исмаилов И. Г., Кутузов А. А. Градиентные процедуры для интегральных функционалов // Автомат, и телемехан. - 1997. № 3. - С. 51 - 56.

100. Исмаилов И. Г. Оптимизационные задачи с симметриями // Материалы международной научно-практической конференции "Управление большими системами". - Москва. - 1997. - С. 310.

101. Исмаилов И. Г. Градиентные методы приближенного решения уравнений Гинзбурга-Ландау // Тезисы доклада в Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара. - 1997.

102. Исмаилов И. Г. .Е-правильные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости бесконечномерных систем // Труды Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. - Т. XVII. - 2002. - С. 34 - 48.

103. Исмаилов И. Г. Об устойчивости бесконечномерных систем // Автомат, и телемехан. № 8. - 2002. - С. 24 - 36.

104. Исмаилов И. Г. Об устойчивости бесконечномерных систем // VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" // Тезисы доклада. - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова. - 2002. - С. 84 - 85.

105. Исмаилов И. Г. О приближенном построении экстремалей вариационных задач // Международный симпозиум "Обобщенные решения в задачах управления". - Переславль. - 2002. - С. 24 - 25.

106. Исмаилов И. Г. Приближенные процедуры решения задач управления и оптимизации. - М.: МАКС Пресс, 2002.

107. Исмаилов И. Г. Итерационный алгоритм построения циклов нелинейных автономных систем. 4.1. Сходимость. // Проблемы управления. - 2005. X2 3. - С. 10 - 12.

108. Исмаилов И. Г. Итерационный алгоритм построения циклов нелинейных

автономных систем. 4.2. Оценка параметров. // Проблемы управления. - 2005. № 4. - С. 30 - 32.

109. Исмаилов И. Г. Кузнецов Ю. О. Метод типа минимальных невязок для нелинейных интегральных уравнений. // Проблемы управления. - 2005. № 6.

110. Исмаилов И. Г. Условия оптимальности в задаче управления входными потоками многоканальных сетей связи // Проблемы управления. - 2011. № 6. - С. 2 - 6.

111. Исмаилов И. Г. Оптимальное управление системами связи / Теория активных систем. Сборник трудов Международной научно-практической конференции "ТАС-2011". - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова. - 2011. - Т. 2. - С. 156 - 160.

112. Исмаилов И. Г. Вычислительная процедура построения оптимального управления входными потоками многоканальной сети связи // Проблемы управления. - 2012. № 1. - С. 77 - 79.

113. Исмаилов И. Г. Проекционно-итерационные процедуры приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах // Управление большими системами. - 2012. Выпуск 39. - С. 37 - 52.

114. Исмаилов И. Г. Исследование вынужденных колебаний с помощью проекционно-итерационных процедур и метода гармонического баланса / Конференция "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012). - Санкт-Петербург. - 2012. - С. 136 -139.

115. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.

116. Канторович Jl. В. Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона // Вестник Ленингр. ун-та. - 1957. № 7. - С. 68- 103.

117. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.

118. Каплан А. А. Об итеративной ргох-регуляризации при решении экстремальных задач // Исследования по задачам равномерного приближения и асимптотики траекторий динамических систем. - Новосибирск, - 1987.

- С. 51 - 80.

119. Кардашов В. Р. О сходимости градиентного метода в задачах минимизации нелинейных функционалов //В кн.: Функциональный анализ, теория функций и их приложения. - 1979. - Махачкала: изд-во Дагестанского гос. ун-та. - С. 106 - 111.

120. Кардашов В. Р. Условия дифференцируемости многомерного функционала вариационного исчисления // Вестн. МГУ, матем., механ. - 1971. № 1.

- С. 23-31.

121. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. - М.: Наука, 1988.

122. Клейнрок Л. вычислительные системы с очередями. Пер. с англ. / Под ред. B.C. Цыбакова. - М.: Мир, 1979.

123. Климов В. С. Нетривиальные решения уравнений Гинзбурга-Ландау // Теор. и матем. физ. - 1982. - 50. № 3. - С. 383 - 389.

124. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976.

125. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости.

- М.: Судостроение, 1979.

126. Красносельский А. М. Направленные поправки в методе гармонического баланса // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 294. № 6. - С. 382 - 388.

127. Красносельский М. А. Расщепление линейных операторов, действующих из одного пространства в другое // Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 82. № 3.

128. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. - М.: Гостехиздат. - 1956.

129. Красносельский М. А., Крейн С. Г. Итерационный процесс с минимальными невязками. // Матем. Сб. - 1952. - 31(73).

130. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1966.

131. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука. - 1969.

132. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука. - 1975.

133. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука. - 1966.

134. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. - М.: Наука. - 1985.

135. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. - М.: Физматгиз. - 1963.

136. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959.

137. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы. -М.: Наука, 1968.

138. Кротов В. Ф., Букреев В. 3., Гурман В. И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. - М.: Машиностроение, 1969.

139. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления.

- М.: Наука, 1973.

140. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968.

141. Ландау Л. Д. Собрание трудов. - Т. 2. - М.: Наука, 1969.

142. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. - М.: Мир, 1972.

143. Лисейкин В. Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. - 1996. - 36. № 1. - С. 3 - 41.

144. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. 4. 2. - М.: Наука, 1978.

145. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики.

- М.: Наука, 1975.

146. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука. - 1965.

147. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. - М.: Го-стехиздат. - 1956.

148. Матросов В. М., Анапольский Л. Ю., Васильев С. Н. Методы сравнения в математической теории систем. - Новосибирск: Наука. - 1980.

149. Мартин ДЖ. Системный анализ передачи данных. Проектирование систем передачи данных. - М.: Мир, 1975.

150. Мизин И. А., Богатырёв В. А., Кулешов A. JI. Сети коммутации пакетов. - М.: Радио и связь, 1986.

151. Милютин А. А. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. - М.: Физматлит, 2001.

152. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. - М.: Мир. - 1981.

153. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969.

154. Наумов Б. Н., Цыпкин Я. 3. Частотные критерии абсолютной устойчивости процессов в нелинейных системах автоматического регулирования // Автомат, и телемехан. - 1964. № 6. - С. 852 - 867.

155. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. - М.: Мир, 1988.

156. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. - М.: Мир, 1988.

157. Одех Ф. Задача о бифуркации в теории сверхпроводимости // Сб. "Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения". - М.: Мир. -1974. - С. 63 - 70.

158. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975.

159. Панов Д. Ю. О применении метода Б. Г. Галеркина для решения некоторых задач теории упругости // Прикл. матем. и мех. - 1939. - 3. № 2.

160. Первозванский А. А. Курс теории автоматического регулирования. - М.: Наука. - 1986.

161. Петров Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. - 1940. - 4. № 3. - С. 3 - 12.

162. Польский Н. И. Некоторые обобщения метода Б. Г. Галеркина // ДАН СССР. - 1952. - 86. № 3. - С. 469 - 472.

163. Польский Н. И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа // УМЖ. - 1955. - 7. № 1. - С. 56 - 70.

164. Польский Н. И. Об одной общей схеме применения приближенных методов // ДАН СССР. - 1956. - 111. № 6. - С. 1181 - 1184.

165. Польский Н. И. Проекционные методы в прикладной математике // ДАН СССР. - 1962. - 143. № 4. - С. 787 - 790.

166. Поляк Б. Т. Градиентные методы минимизации функционалов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1963. - 3. № 4. - С. 643 - 653.

167. Поляк Б. Т. Градиентные методы решения уравнений и неравенств // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1964. - 4. № 6. - С. 995 - 1005.

168. Поляк Б. Т. Методы минимизации функций многих переменных: обзор // Эконом, и мат. методы. - 1967. - 3. № 6. - С. 881 - 902.

169. Поляк Б. Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум // Журн. выч. матем. и матем. физики. - 1969. - 9. № 4. - С. 807 - 821.

170. Поляк Б. Т. Минимизация негладких функционалов // Журн. выч. матем. и матем. физики. - 1969. - 9. № 3. - С. 509 - 521.

171. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.

172. Понтрягин JT. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 3-е изд. - М.: Наука. -1976.

173. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. - М.: Наука. - 1973.

174. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. - М.: Физматгиз. - 1960.

175. Пранявичюс Г. И. Модели и методы исследования вычислительных систем.

- Вильнюс: Мокслас, 1982.

176. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. Н. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука. - 1975.

177. Пятницкий Е. С., Рапопорт Л. Б. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем // Автомат, и телемех. - 1991. № 10. - С. 63 - 73.

178. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. - М.: Мир. - 1977.

179. Рисс Ф., Сёкефальфи-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Иностранная литература, 1954.

180. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем. - М.: Наука. - 1969.

181. Розенвассер Е. Н. Периодические нестационарные системы управления.

- М.: Наука. - 1973.

182. Розенвассер Е. Н. Апостериорные оценки применимости метода гармонического баланса // Автомат, и телемех. - 1986. № 3. - С. 44 - 52.

183. Розин JI. А. Метод конечных элементов в теории упругости. - Л.: Изд-во ЛПИ. - 1972.

184. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука. - 1971.

185. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.

- М.: Наука. - 1978.

186. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. - Киев: Вища школа. - 1976.

187. Самойленко С. И. Субоптимальные алгоритмы поиска решений в вычислительных сетях // Сб. Вопросы кибернетики. - 1979. - вып. 57.

188. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка.

- Киев: Наукова думка, 1973.

189. Скалыга В. И. О деформационном методе исследования на условный минимум функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы // Автомат, и телемехан. - 1991. № 6. - С. 47 - 55.

190. Скалыга В. И. Деформационный метод исследования экстремальных задач с ограничениями // Сб. Динамика неоднородных систем. - 1991. - М.: ВНИИСИ. - 14. - С. 59 - 63.

191. Скалыга В. И. Деформационный метод исследования негладких бесконечномерных оптимизационных задач // Автомат, и телемехан. - 1993. № 11.

- С. 66 - 69.

192. Скалыга В. И. Деформационный метод исследования бесконечномерных оптимизационных задач // Матем. заметки. - 1993. - 53. № 2. - С. 175

- 176.

193. Скалыга В. И. О деформациях негладких оптимизационных задач, имеющих изолированную экстремаль // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - 58. № 4. - С. 186 - 193.

194. Скалыга В. И. О гомотопическом методе в многокритериальных бесконечномерных задачах //Изв. РАН. Сер. матем. - 1997. - 61. №4. -С. 137-154.

195. Стрыгин В. В. Применение метода Бубнова-Галеркина к задаче отыскания автоколебаний // Прикл. матем. и мех. - 1973. - 37. № 6. - С. 86 - 94.

196. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука. - 1978.

197. Форд J1. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. - М.: Мир, 1969.

198. Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связь и потоки. Пер. с англ. / Под ред. Д. А. Поспелова. - М.: Связь, 1978.

199. Цитланадзе Э. С. Некоторые задачи вариационного исчисления в функциональных пространствах. Диссертация: МГУ. - 1950.

200. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. - М.: Наука. - 1977.

201. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения по параметру и наилучшая параметризация. - М.: Эдиториал УРСС. - 1999.

202. Шеннон К. Математическая теория связи. Работы по теории информации и кибернетики. - М.: Иностранная литература, 1963.

203. Шидловская H.A. Применение метода дифференцирования по параметру к решению нелинейных уравнений в банаховых пространствах // Уч. зап. ЛГУ - 1958. - 271, сер. матем. № 33. - С. 3 - 17.

204. Шнепс-Шнеппе М. А. Системы распределения информации. Методы расчета. - М.: Связь, 1979.

205. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука.

- 1972.

206. Auslender A., Crouzeix J. P., Fedit P. Penalty-proximal methods in convex programming // J. Optimiz. Theory and Appl. - 1987. - V. 5. № 1. - P. 1 - 21.

207. Babuska I., Prager M., Vitasek V. Numerical processes in differential equations. New York: Interscience. - 1966.

208. Bobylev N. A. Homotopic methods in variational problems // J. of Soviet Math. - 1993. - 67. № 1. - P. 2657 - 2712.

209. Bobylev N. A., Burman Yu., Korovin S. Approximation Procedures in Nonlinear Oscillation Theory. Berlin, New York: Walter de Gruyter. - 1994.

210. Bobylev N. A., Ismailov I. G., Korovin S. K. Gradient methods in problems with extremal continua // ESAIM. Control, Optimization and Calculus of Variations. - 1998. № 5. -P. 134 - 142.

211. Bosarge W. Infinite dimensional iterative mathods and applications // IBM Houston Sci. Center Rept. - 1968. - V. 320. -P. 23 - 47.

212. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. - Cambridge University Press. - 2009.

213. Browder F. E. Nonlinear eigenvalue problems and Galerkin approximations // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - 74. № 4. - P. 651 - 656.

214. Cerami G. Un criterio di esistenza per i punti su varieta illimitate // Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. - 1978. - A 112 - P. 332 - 336.

215. Chow S. N., Mallet-paret J., Yorke J. A. Finding zeroes of maps: Homotopy methods that are constructive with probability one // Math. Comput. - 1978.

- V. 32. - P. 881 - 899.

216. Clarke F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. - A Wiley - Intercience Publication. - 1983.

217. Freudenstein F., Roth B. Numerical solution of systems of nonlinear equations //J. Assoc. Comput. Math. - 1963. - P. 550 - 556.

218. Goldstein A. A., Russak I. B. How good are the proximal point algorithms // Number. Funct. Anal, and Optim. - 1987. - V. 9. № 7. - P. 709 - 724.

219. Ismailov I. G. Gradient method in problems of infinite-dimensional optimization // Third International Symposium on "Method and Models in Automation and Robotics", Poland. - 1996.

220. Ismailov I. G. On the scheme of approximate construction of cycles of nonlinear systems // Fourth International conference on "Control, automation, robotics and vision", Singapore. - 1996.

221. Ismailov I. G. On the approximate construction of cycles in automatic control systems // Fourth International Symposium on "Method and Models in Automation and Robotics", Poland. - 1997.

222. Katriel G. Moutain pass theorems and global homeomorphism theorem // Annales de l'I.H.P - 1994. - V. 11. - N 2. - Sec. C. - P. 189 - 209.

223. Kellogg R. B., Li T. Y., Yorke J. A. A constructive proof of the Brauder fixed point theorem and computational results // SIAM J. Numer. Anal. - 1976. - V. 4. - P. 473 - 483.

224. Lahaye E. Une méthode de résolution d'une catégorie d'équations transcendantes // C. R. - 1934. - P. 1840 - 1842.

225. Lahaye E. Solution of systems of transcendental equation // Acad. Roy. Belg., CI. Sci. - 1948. - 5. - P. 805 - 822.

polynomials // Bull. Institute of Math. Academia Sinica. (Taiwan). - 1983. - 11. - P. 433 - 437.

227. Moreau J. -J. Proximite et dualite dans un espase Hilbertein // Bull. Soc. Math. France. - 1965. - V. 93. - P. 273 - 299.

228. Roberts S., Shipman J. Continuation in shooting methods for two-point boundary value problems.// J- Math. Anal. Appl. - 1967. - 18. - P. 45 - 58.

229. Rosembloom P. The method of steepest descent //6 Symp. Appl. Math., Am. Math. Soc., Providence, Rhode Island. - 1956. - P. 127 - 176.

230. Smale S. A convergent process of price adjustment and global Newton method //J. Math. Economics. - 1976. - V. 3. - P. 1 - 14.

231. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. Springer. New York. - 1982.

232. Stummel F. Discrete canvergence of mappings. Top. Numer. Anal., London New York. - 1973.

233. Teschl G. Mathematical Methods in Quantum Mechanics. URL: http://www.mat.univie.ac.at/ gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf

234. Urabe M. Galerkin's procedure for nonlinear periodic systems // Amer. Rat. Mech. Analysis 20. - 1965. - P. 135 - 149.

235. Wacher H. (ed). Continuation methods. - New York: Academic press. - 1977.

236. Zhan De-Tong A. Homotopy method for a class of two-point boundary value problems // Northeastern Math. J. - 1989. - V. 5.