Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений n-го порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Коструб, Ирина Дмитриевна

• Коструб, Ирина Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коструб, Ирина Дмитриевна

Введение

Предисловие к первой главе.

Первая

глава

Основные понятия и используемые результаты

§ 1. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п -го порядка с постоянными коэффициентами.

§ 2. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п -го порядка с переменными коэффициентами

§ 3. Ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Теорема существования и единственности. Принцип сжимающих отображений.

§ 4. Ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Теорема существования. Принцип Тихонова.

§ 5. Локальные теоремы.

Предисловие ко второй главе.

Вторая

глава

Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка

§ 6. Ограниченные решения линейные дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Таблицы интегральных и частотных постоянных

§ 7. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

§ 8. Ограниченные решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Предисловие к третьей главе.

Третья

глава

Ограниченные решения векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка

§ 9. Ограниченные решения линейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п -го порядка с постоянными коэффициентами

§ 10. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка в конечномерном нормированном пространстве (ае-теория)

§ 11. Ограниченные решения линейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п -го порядка.

§ 12. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка в конечномерном евклидовом пространстве (а-теория).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений n-го порядка»

Настоящая диссертация посвящена достаточно традиционным вопросам - существованию и единственности (или только существованию) периодических, почти периодических и ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также их устойчивости.

Но если тематика диссертационной работы и представляется достаточно традиционной, то используемые в ней методы уже не являются таковыми. Отметим также, что рассмотрение ведётся сразу для уравнений высших порядков.

В диссертации систематически используется обобщённый принцип сжимающих отображений являющийся обобщением классического принципа сжимающих отображений Банаха-Каччиополли. При доказательстве существования ограниченных решений нашёл применение принцип неподвижной точки Тихонова в линейных локально выпуклых топологических пространствах. В развитии частотных методов основополагающее место занимает один результат А. Г. Баскакова. При изучении вопросов устойчивости важную роль играет "принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости"М. А. Красносельского и А. В. Покровского.

Бегло остановимся на содержании диссертации по главам.

В первой главе рассматриваются скалярные нелинейные дифференциальные уравнения п-го порядка. В ней вводятся играющие исключительно важную роль в диссертации интегральные и частотные постоянные.

Вторая глава посвящена нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Здесь приведены таблицы интегральных и частотных постоянных, а также новые результаты, относящиеся к играющему важную роль в теории нелинейных колебаний уравнению Рэлея.

Глава третья рассматривает указанные выше вопросы для векторно-матричных дифференциальных уравнений высших порядков. Она содержит с доказательствами все важные результаты как эе-теории, так и и-теории.

Все основные результаты диссертации своевременно опубликованы в 8 работах, из которых три в журнале рекомендованном ВАКом.

Предисловие к первой главе

В первой главе приводятся основные понятия и используемые во второй главе результаты. Она имеет дело со скалярными дифференциальными уравнениями п-го порядка. В § 1 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с постоянными коэффициентами. Здесь же вводятся и изучаются интегральные и частотные постоянные (первые являются нормами некоторых интегральных операторов, а вторые - их спектральными радиусами). Интегральные постоянные обозначаются ае7- и поэтому соответствующая теория называется ае-теорией, а частотные постоянные обозначаются и соответствующая теория называется а -теорией. В § 2 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными переменными коэффициентами (в частности с почти периодическими коэффициентами) .

Следующие параграфы посвящены нелинейным дифференциальным уравнениям. Основной метод исследования - метод интегральных уравнений в сочетании с методом положительных операторов. Возможности метода интегральных уравнений великолепно проиллюстрированы в монографиях Е. Н. Розенвассера [78] и М. А. Красносельского, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова [38]. Относительно метода положительных операторов, то мы ограничимся указанием на книги М. А. Красносельского, написанные вместе со своими сотрудниками и учениками [37], [38], [39], [44].

Нелинейные ае и о -теории излагаются соответственно в § 3 и § 4. В них изучаются ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Сформулированы теоремы существования и единственности (или только существования), доказанные или с помощью принципа сжимающих отображений или с помощью принципа неподвижной точки Тихонова.

В § 5 излагаются локальные теоремы, основанные на сведении к теоремам, изложенным в предыдущих параграфах.

Полные формулировки теорем (вместе с частичными доказательствами) приведены не только для их непосредственного использования во второй главе, но и как прототипы тех рассуждений, которые будут проведены при изучении векторно-матричных дифференциальных уравнений в третьей главе. Уже здесь - в первой главе появляются четыре теоремы (точнее восемь), которые с теми или иными вариациями проходят лейтмотивом по всей диссертации.

Помимо этого, утверждения, данные в цитируемых (в тексте) статьях, но не сопровождавшиеся доказательствами, здесь даны с полными доказательствами. Более того, в этой главе есть и новый материал (лемма о возмущённом нерезонансном многочлене, нашедшая логическое завершение в третьей главе; использование банаховой алгебры почти периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье и т. п.).

Частично материал первой главы опубликован в статьях [67] и [71], а полное изложение дано в препринте [106] - это по ае-теории. Частотная <т -теория, ей предшествовала статья [70], а полное изложение опять-таки нашло место в препринте [107].

Отметим следующие особенности. Если построение и развитие эе-теории происходит вполне стандартным путём - единственное здесь новшество - это применение принципа неподвижной точки А. Н. Тихонова [85], то создание а -теории потребовало привлечения совершенно нетривиальных результатов А. Г. Баскакова [7] и М. А. Красносельского и А. В. Покровского [40], [41].

Если в ае -теории (0 < < 1) получение оценок ограниченного решения и его производных в линейном пространстве С не представляет никакого труда, то основная задача в а -теории (O<<7<7<I) - это уже серьёзная математическая задача, по которой получены пока лишь первые достаточно грубые результаты. В связи с этим процитируем соответствующее место из книги С. Улама [87, с. 10-11]: ". нерешённые задачи есть самая суть математики. . Само существование математики может быть оправданно постольку, поскольку она позволяет просто и кратко изложить факты, доказательство которых значительно сложнее самих утверждений".

Теоретические построения первой главы могут быть с успехом развиты и для изучения ограниченных решений дифференциально-разностных уравнений [88]. Представляется заманчивой и перспектива создания их дискретного аналога [92].

Первая глава Основные понятия и используемые результаты

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коструб, Ирина Дмитриевна, 2011 год

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Физматгиз, 1959. - 916 с.

2. Антоневич А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 352 с.

3. Варбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. -М.: Наука, 1967. 224 с.

4. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ / А. Г. Баскаков // Сибирский математический журнал. 1997. - Т. 38, N1.-0. 14-28.

5. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А. Г. Баскаков // Математические заметки. 2000. - Т. 67, N 6. - С. 816-827.

6. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Доклады РАН. -2002. Т. 383, N 5.- 0. 583-585.

7. Баскаков А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 2003. Т. 39, N3.-0. 413-415.

8. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН, серия математическая. 2009. - Т. 73, N 2. - С. 1-72.

9. Борисович Ю. Г. Введение в топологию / Ю. Г. Борисович, Н. М. Близ-няков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980.- 296 с.

10. Боровских А. В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. В. Боровских, А. И. Перов. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. - 540 с.

11. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. М.: Наука, 1968.- 560 с.

12. Важевский T. (Waiewski T.) Une méthode topologique de l'examen du phénomène asymptotique relativement aux équations différentielles ordinaires / T. Важевский // Rent. Accad. Lincei. 1947. - N 3. - C. 210-215.

13. Гантмахер Ф. P. Теория матриц / Ф. P. Гантмахер. M.: Наука, 1967.- 576 с.

14. Гельман А. Е. Один признак существования определённых классов решений нелинейного дифференциального уравнения и некоторые оценки в методе малого параметра / А. Е. Гельман // ДАН СССР. 1958. -Т. 118, N6.-С. 1063-1065.

15. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца / И. М. Гель-фанд, Д. А. Райнов, Г. Е. Шилов. Москва: Физматгиз, 1960. - 316 с.

16. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. М.: Наука, 1971. - 272 с.

17. Гохберг И. Ц. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

18. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1970. - 536 с.

19. Данфорд Н. Линейные операторы. T. I / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962. 896 с.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

21. Дьедонне Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. М.: Мир, 1964. - 432 с.

22. Евченко В. К. О некоторых признаках существования периодических, рекуррентных и ограниченных решений / В. К. Евченко, И. Д. Кос-труб, А. И. Перов // Вестник факультета ПММ, Воронеж. 2004. -Вып. 5. - С. 191-202.

23. Жукова А. А. Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (вопросы существования периодических решений и их устойчивости) / А. А. Жукова // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2009. - 106 с.

24. Зубов В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. М.: Высшая школа, 1979. - 400 с.

25. Иохвидов И. С. Ганкелевы и тёплицевы матрицы и формы / И. С. Иох-видов. М.: Наука, 1974. - 264 с. ,

26. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре / X. Д. Икрамов. М.: Наука, 1975. - 320 с.

27. Йокк А. О сходимости разностных методов для нелинейных уравнений второго порядка / А. Йокк // Известия АН Эст. ССР, физ.-мат. 1974.- Т. 23, N1.-0. 86-88.

28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Физматгиз, 1976. - 704 с.

29. Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Физматгиз, 1959.- 684 с.

30. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале / А. Н. Колмогоров // Учёные записи МГУ. 1939. - N 30. -С. 3-16.

31. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

32. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1958. - Т. 123, N 2. - С. 235-238.

33. Красносельский М. А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1959. - Т. 126, N 1. - С. 15-18.

34. Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.

35. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

36. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. М.: Наука, 1970. - 352 с.

37. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

38. Красносельский М. А. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // ДАН СССР. 1977. - Т. 233, N 3.- 0. 293-296.

39. Красносельский М. А. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. В кн.: Устойчивость движения, аналитическая механика, управление движением. М.: Наука, 1981. - С. 156-169.

40. Красносельский А. М. Частотные критерии в задаче о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования / А. М. Красносельский. // Автоматика и телемеханика. 1979. - N 1. - С. 23-30.

41. Красносельский М. А. Об абсолютной устойчивости систем с дискретным временем / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // Автоматика и телемеханика. 1978. - N 2. - С. 42-52.

42. Красносельский М. А. Позитивные линейные системы / М. А. Красносельский, Е. А. Лившиц, А. В. Соболев. М.: Наука, 1985. - 256 с.

43. Крейн М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные идополненные Ю. JI. Далецким) / М. Г. Крейн. Киев: Институт математики АН УССР, 1964. - 188 с.

44. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

45. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М.: ГИТТЛ, 1955.- 380 с.

46. Левитан Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953. - 396 с.

47. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Лю-стерник, В. И. Соболев. М.: Высшая школа, 1982. - 272 с.

48. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

49. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: ГИТТЛ, 1956. - 492 с.

50. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М.: Физматгиз, 1964. - 530 с.

51. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. М.Ленинград: ГИТТЛ, 1948. - 424 с.

52. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М.: Физматлит, 2001. - 384 с.

53. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. M-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 552 с.

54. Никитин О. И. К вопросу о приближённом нахождении периодических решений дифференциальных уравнений / О. И. Никитин, А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, N И. - С. 2001-2004.

55. Окунев Л. Я. Высшая алгебра / Л. Я. Окунев. М.: Учпедгиз, 1958.- 336 с.

56. Перов А. И. Периодические, почти периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х = f(t,x) / А. И. Перов // Доклады АН СССР. 1960. - Т. 132, N 3. - С. 531-534.

57. Перов А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А. И. Перов // Приближённые решения дифференциальных уравнений. 1964. - Вып. 2. - С. 115-134.

58. Перов А. И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А. И. Перов, А. В. Кибенко // Известия АН СССР, серия математика. 1966. - Т. 30, N 2.- 0. 249-264.

59. Перов А. И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. -1967. Т. 3, N 3. - С. 524-528.

60. Перов А. И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1981. - 196 с.

61. Коструб И. Д. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти периодических колебаниях / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2002. - N 1. - С. 163-171.

62. Перов А. И. Об одной теореме существования ограниченных, почти периодических и периодических решений / А. И. Перов, С. А. Дунаев, И. Д. Коструб // Вестник ф-та ПММ, Воронеж. 2002. - Вып. 3. - С. 160-170.

63. Перов А. И. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса / А. И. Перов, И. Д. Коструб. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. - 37 с.

64. Перов А. И. Уравнение Дуффинга, странные аттракторы и рекуррентные решения / А. И. Перов // Сборник "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах", Воронеж, ВГУ. 2003. - С. 329-338.

65. Перов А. И. Об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / А. И. Перов, С. А. Барамзин, М. Ф. Григорова, М. М. Кириллова, А. А. Шерстобитова // Труды молодых учёных ВГУ. 2004. - Вып. 2. - С. 14-21.

66. Перов А. И. Обобщённый принцип сжимающих отображений / А. И. Перов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2005. - N 1. - С. 196-207.

67. Перов А. И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - 64 с.

68. Перов А. И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43, N 7.- 0. 896-904.

69. Перов А. И. Об ограниченных решениях обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т. 46, N 9.- 0. 1228-1244.

70. Перов А. И. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций / А. И. Перов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2010. - N 1. - С. 159-161.

71. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс.- М.-Л.: Наука, 1964. 368 с.

72. Полякова Л. А. Обобщённый принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений / Л. А. Полякова // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2006. - 128 с.

73. Портнов М. М. Об одном методе приближённого нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений / М. М. Портнов // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2005. - 137 с.

74. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. М.: Наука, 1964. - 272 с.

75. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Дж. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974.- 320 с.

76. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем / Е. Н. Розенвассер.- М.: Наука, 1969. 576 с.

77. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление / Я. Н. Ройтенберг. -М.: Наука, 1971. 396 с.

78. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости / М. Розо. -М.: Наука, 1971. 288 с.

79. Самойленко А. М. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач / А. М. Самойленко, Н. И. Ронто. Киев: Наукова думка, 1986. - 224 с.

80. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М.: ИЛ, 1952. - 264 с.

81. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний / С. П. Стрелков. М.: Наука, 1964. - 440 с.

82. Стрижак Т. Г. Метод усреднения в задачах механики / Т. Г. Стрижак.- Киев-Донецк: Вища школа, 1982. 256 с.

83. Тихонов А. Н. Ein Fixpunktsatz / А. Н. Тихонов // Math. Ann. 1935.- N 111. С. 767-776.

84. Трубников Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-нейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. Минск: Наука и техника, 1986. - 200 с.

85. Улам С. Нерешённые математические задачи / С. Улам. М.: Наука, 1964. - 168 с.

86. Фетисов Р. Б. Ограниченные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений / Р. Б. Фетисов // Известия Российской Академии естественных наук. 2006. - N 1. - С. 1-4.

87. Халмош П. Конечномерные векторные пространства / П. Халмош. -М.: Физматгиз, 1963. 264 с.

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М.: Мир, 1970. - 720 с.

89. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. М.: ИЛ, 1962. - 832 с.

90. Цыпкин Я. 3. Теория импульсных систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Физматгиз, 1958. - 724 с.

91. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. -М.: Мир, 1964.- 480 с.

92. Четаев Н. Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев. М.: ГИТТЛ, 1955. - 208 с.

93. Шилов Г. Е. Математический анализ / Г. Е. Шилов. М.: Физматгиз, 1961. - 436 с.

94. Щеголеватых Р. И. Формула С. Г. Семёнова для оператора Лурье в гильбертовом пространстве / Р. И. Щеголеватых // Труды молодых учёных ВГУ. 2000. - Вып. 2. - С. 14-18.

95. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

96. Esclangon Е. Sur les inte'grales borne'es d'une equation diffe'rentielle line'aire / E. Esclangon // C. R. Ac. de sei., Paris 160. 1915. - C. 475-478.

97. Юнг (Joung W. H.) Eine Ausdehnunq des Parsevalsehen Satzes über Fourierreihen / W. H. Joung // Math. Zeitschs. 1923. - 16. - C. 163169.

98. Якубович В. A. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. М.: Наука, 1972. - 720 с.

99. Коструб И. Д. Ограниченные решения векторно-операторных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка в банаховом пространстве / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. 2010. - Вып. 8. - С. 221-233.

100. Коструб И. Д. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций и теорема Эсклангона для нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. -2010. Вып. 8. - С. 233-243.

101. Коструб И. Д. Частотные признаки существования, единственности и устойчивости ограниченных решений нелинейных дифференциальных уранений второго порядка / И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2011. - N 2. - С. 141-147.

102. Коструб И. Д. Многомерная версия принципа обобщённого сжатия М. А. Красносельского / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2010. - N 2. - С. 131-138.

103. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка (ае-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 36. 2011. - 50 с.

104. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка (а-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 37. 2011. - 62 с.