Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза в теории нелинейных внутренних волн в стратифицированных потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Полухина, Оксана Евгеньевна

• Полухина, Оксана Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полухина, Оксана Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА

ПОЛУЧЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ПОТОКАХ С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА.

§1.1. Введение.

§ 1.2. Исходные уравнения в полу-лагранжевой форме.

§ 1.3. Вывод нелинейного эволюционного уравнения.

§ 1.4. Внутренние волны в океане: приближения Буссинеска и твердой крышки

§ 1.5. Уравнение Кортевега - де Вриза второго порядка и его асимптотическая интегрируемость.

§ 1.6. Воздействие интенсивных внутренних волн на динамику примесей в приповерхностном слое жидкости.

§ 1.7. Генерация нелинейных импульсов при взаимодействии встречных волн.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза в теории нелинейных внутренних волн в стратифицированных потоках»

§ 2.2. Решение линейной краевой задачи.66

§ 2.3. Коэффициенты эволюционного уравнения для двухслойного потока.69

§ 2.4. Поверхностная мода в двухслойном потоке.75

§ 2.5. Внутренняя мода в "почти" двухслойном потоке.80

§ 2.6. Внутренние волны в трехслойном потоке.82

§ 2.7. Внутренние волны в жидкости с непрерывной стратификацией.86

§ 2.8. Заключение.88

ГЛАВА 3

ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА В СЛУЧАЕ, КОГДА КВАДРАТИЧНАЯ И КУБИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТИ ОКАЗЫВАЮТСЯ ОДНОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЕ ГАРДНЕРА) .109

§ 3.1. Введение.109

§ 3.2. Модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза и уравнение Гарднера первого порядка.111

§ 3.3. Уравнение Гарднера второго порядка.115

§ 3.4. Волновая динамика в рамках уравнения Гарднера второго порядка.120

§ 3.4.1 Уединенные волны.121

§ 3.4.2 Эволюция импульсного возмущения.124

§ 3.4.3 Взаимодействие уединенных волн.126

§ 3.5. Заключение.129

Введение

Динамика потоков в стратифицированных средах в последние десятилетия вызывает особый интерес и внимание со стороны специалистов в прикладных областях. Такие потоки играют важную роль во многих физических процессах: как природных (реки, течения в озерах, водохранилищах, морях и океанах, паводковые потоки, ветры в атмосфере), так и связанных с деятельностью человека (охлаждение в реакторах, стоки промышленных предприятий, выбросы при авариях и т.п.).

Очевидным приложением теории волн в стратифицированных потоках является описание внутренних гравитационных волн, которые повсеместно распространены в озерах, океанах и атмосфере и играют большую роль в их динамике. Своим существованием они обязаны вертикальной неоднородности воздушной и водной сред. Перепады плотностей внутри жидкости могут быть незначительными (несколько процентов), но этого уже достаточно, чтобы начали работать силы Архимеда. В состоянии равновесия частицы находятся на глубине, соответствующей их плотности. Если их вывести из этого состояния, частицы совершат колебательное движение, которое при определенных условиях распространяется в виде волн. В случае произвольного устойчивого распределения плотности с глубиной приходится иметь дело с наиболее сложной в теоретическом отношении системой. Основная трудность здесь связана с тем, что в общем случае течение не является потенциальным, а волновое движение жидкости оказывается многомодовым.

Формы внутренних волн в Мировом океане весьма разнообразны. Относительно длинные и низкочастотные внутренние волны могут иметь квазисинусоидальный характер. Короткопериодные внутренние волны часто имеют форму, существенно отличающуюся от синусоидальной (с уплощенными гребнями и обостренными ложбинами) и преимущественно распространяются группами. Амплитуда таких волн может оказаться очень большой (порядка 100 метров) вследствие обычно малых изменений плотности, так как в этом случае перемещение частиц между слоями не требует больших затрат энергии. На рис. 0.1 приведены характерные записи внутренних волн на шельфе Малин, Северная Атлантика [Small, Sawyer, Scott, 1999]. Видно, что амплитуда колебаний изотерм достигает 30-ти метров и уменьшается с приближением к поверхности.

Параметры внутренних волн, регистрируемых в океане, меняются в весьма широких пределах. Низкочастотные внутренние волны с периодами, близкими к приливным (12-24 часа), могут иметь длины в десятки и сотни километров, а скорости распространения до нескольких метров в секунду; их амплитуды, как отмечалось выше, могут достигать 100 метров. Волны с периодами от 5-10 минут до 2-5 часов имеют длины от сотен метров до километров и скорости распространения порядка нескольких десятков сантиметров в секунду. Несмотря на значительность амплитуд внутренних волн, они вызывают почти незаметные колебания поверхности океана, пропорциональные перепаду плотности, то есть несколько сантиметров. Такие смещения регистрируются только в арктических бассейнах, где они приводят к вертикальным колебаниям ледовых полей [Богородский, Гаврило, Смирнов, 1982]. В открытом океане смещения океана, вызываемые внутренними волнами, маскируются на фоне ветрового волнения. Однако внутренние волны вызывают в приповерхностном слое индуцированные течения со скоростями до 20-30 см/сек, которые сопоставимы со скоростями распространения ветровой ряби и влияют на ее характеристики [Басович, Баханов, Таланов, 1982, Ермаков, Пелиновский, Талипова, 1982]. Изменение шероховатости морской поверхности регистрируется с летательных аппаратов, в том числе из космоса [Дикинис и др. 1999]. На рис. 0.2 приведен снимок морской поверхности с космического аппарата, ясно показывающий следы внутренних волн [http://daac.gsfc.nasa.gov/CAMPAIGNDOCS/CDST/shuttleoceanographyweb/oss70.htm !]•

Внутренние волновые явления характерны также для рек, озер и водохранилищ [Horn, Imberger, Ivey, 2001], плотностная стратификация которых обусловлена изменениями температуры с глубиной, а сдвиговые течения - силами гравитации. Они в значительной мере определяют ход процессов распространения естественных и техногенных примесей в этих пресноводных природных бассейнах и влияют на качество воды в них. Их исследования важны для решения многих прикладных, особенно экологических задач. Например, для водоснабжения населенных пунктов, промышленных предприятий, тепловых и атомных электростанций в ряде случаев необходимо обеспечить селективный водозабор, то есть забор воды из определенного (наиболее чистого) слоя водоема - источника водоснабжения. При этом необходимо предотвратить попадание воды из других слоев в окна водозаборного сооружения, для чего требуются гидродинамические расчеты по определению положения поверхностей

раздела слоев, при котором не происходит захвата воды из других слоев [Музаев и Туаева, 2000].

Наряду с натурными наблюдениями нелинейных внутренних волн [Osborne & Burch, 1980; Sandstrom & Elliot, 1984; Apel et al., 1985; Pingree & Murdell, 1985; Наговицын и Пелиновский, 1988; Rees, Anderson, King, 1998; New & Pingree, 2000; Jeans & Sherwin, 2001] в настоящее время имеется обширный экспериментальный материал по изучению внутренних волн в лабораторных условиях [Коор & Butler, 1981; Michallet & Barthelemy, 1998; Grue et al, 1999, 2000; Vlasenko & Hvitter, 2001], в том числе в сдвиговых потоках [Scotti & Corcos, 1969; Thorpe, 1969, 1971]. Лабораторные эксперименты позволяют воспроизводить различные стратификации и волновые режимы и открывают широкие возможности для проверки применимости различных теоретических моделей.

История исследования внутренних волн, если считать со времени их первого описания Бенджамином Франклином, наблюдавшим волны на границе раздела воды и масла в корабельном фонаре, насчитывает свыше 200 лет. Один из наиболее впечатляющих динамических эффектов, связанных с внутренними гравитационными волнами, - эффект "мертвой воды", заключающийся в резком увеличении сопротивления движению судов, движущихся в слое пресной воды, покрывающем слой соленой морской воды, был исследован около 100 лет назад. Ряд натурных наблюдений этого интересного эффекта сделал знаменитый полярный исследователь Ф.Нансен. Сопротивление движению корабля в «мертвой воде» возникает благодаря генерации внутренних волн на поверхности раздела между соленой и пресной водой, на что затрачивается значительная часть энергии силовой установки. Волновое сопротивление может в несколько раз превышать сопротивление движению в «нормальной» (нестратифицированной) воде. Кроме того, оно возрастает с приближением толщины пресного слоя к осадке корабля и с увеличением разности плотностей соленой и пресной воды. Исследование генерации внутренних волн различными источниками проведено группой Ю.Д.Чашечкина [Кистович и Чашечкин, 1990, 1997, 1999а,б; Миткин, Прохоров, Чашечкин, 1998; Байдулов, Кистович, Чашечкин, 2002].

Для описания генерации и распространения внутренних волн создан ряд моделей, которые могут применяться к результатам лабораторных экспериментов и к реальным природным условиям. В основу одного класса моделей положено прямое численное интегрирование полных, как правило, двумерных по пространству нелинейных систем уравнений Навье - Стокса (Эйлера) [Lamb & Yan, 1996; Lamb, 1998,

2002; Michallet & Barthelemy, 1998; Grue et al. 1999, 2000; Vlasenko, Brandt, Rubino, 2000; Vlasenko & Hutter, 2001, 2002]. Однако эти модели требуют больших вычислительных затрат, а учет в них дополнительных внешних факторов, таких как поле течений и горизонтальная изменчивость гидрологических полей, затруднителен, поскольку ведет к необходимости учета третьей пространственной координаты.

Другой класс моделей внутренних волн в стратифицированных потоках основан на применении слабонелинейной теории длинных волн. При этом эволюция и трансформация длинных (по сравнению с глубиной жидкости) внутренних волн описывается с помощью известного уравнения Кортевега - де Вриза [Веппеу, 1966; Lee & Beardsley, 1974; Пелиновский, Шаврацкий, Раевский, 1977; Миропольский, 1981; Gear & Grimshaw, 1983; Пелиновский, Степанянц, Талипова, 1994]. Его коэффициенты определяются вертикальным распределением плотности и горизонтального сдвигового течения. Уравнение Кортевега - де Вриза и его обобщения уже применялись для анализа трансформации внутренних волн на многих океанических шельфах и показали свою эффективность [Osborne & Burch, 1980; Liu, Holbrock, Apel, 1985; Наговицын и Пелиновский, 1988; Pierni, 1989; Ostrovsky & Stepanyants, 1989; Серебряный, 1993; Горячкин, Иванов, Пелиновский, 1991; Small, Sawyer, Scott, 1999; New & Pingree, 2000; Jeans & Sherwin, 2001].

Сравнение этих двух классов моделей между собой и одновременно с результатами лабораторных экспериментов проводилось, например, в работах [Michallet & Barthelemy, 1998; Grue et al. 1999, 2000]. Полные нелинейные модели обладают очень высокой точностью и показывают строгое согласие с экспериментальными данными для бассейнов с неизменной стратификацией. Для расчетов в рамках теории Кортевега -де Вриза отличие от эксперимента было наиболее заметно для волн большой амплитуды, а для волн умеренных амплитуд результаты хорошо соответствуют лабораторным данным. При этом второй класс моделей намного проще, так как эти модели основаны на одномерном в пространстве эволюционном уравнении (вдоль горизонтальной координаты), а вертикальная структура волнового поля определяется решением линейных краевых задач. К их преимуществам относится и то, что модели типа Кортевега - де Вриза, в отличие от полных нелинейных моделей, легко обобщаются для горизонтально неоднородной жидкости (когда плотностная стратификация и профиль скорости сдвигового течения изменяются в пространстве), приводя к уравнению того же вида, но с переменными вдоль горизонтальной координаты коэффициентами [Пелиновский, Шаврацкий, Раевский, 1977; Zhou &

Grimshaw, 1989; Пелиновский, Степанянц, Талипова, 1994]. Возможно также использование моделей, основанных на уравнении Кортевега - де Вриза, в сочетании с лучевой теорией для внутренних волн, когда эволюционное уравнение записывается вдоль лучевой координаты [Zhou & Grimshaw, 1989], и, таким образом, можно получить трехмерную картину волнового поля.

Интегральные выражения для коэффициентов уравнения Кортевега - де Вриза впервые были получены в работе [Веппеу, 1966] для внутренних волн в жидкости с произвольной стратификацией плотности и течения. Классическое уравнение Кортевега - де Вриза выводится в рамках первого порядка теории возмущений, но такое приближение может оказаться недостаточным для описания волн большой амплитуды, и следует уточнять модель, основанную на нелинейном эволюционном уравнении. Один из способов уточнения таких моделей - учет поправок следующих порядков малости в эволюционном уравнении. Первый шаг в этом направлении был сделан в работе [Lee & Beardsley, 1974], где было предложено использовать асимптотическую процедуру, основанную на введении двух малых параметров, характеризующих нелинейность и дисперсию, для вывода уравнений высших порядков типа Кортевега -де Вриза. Такое уравнение, включающее члены следующего по сравнению с классическим Кортевега - де Вриза, второго, порядка было получено для внутренних волн в двухслойной жидкости в работе [Коор & Butler, 1981], при этом решения полученного уравнения сравнивались с результатами лабораторных экспериментов по моделированию внутренних волн. Более детальный теоретический анализ свойств уединенных волн в жидкости с произвольным вертикальным распределением плотности и течения приведен в статье [Gear & Grimshaw, 1983], в которой вычислены поправки к форме и скорости уединенных волн для различных моделей стратификации жидкости. Общие интегральные выражения для коэффициентов расширенного уравнения Кортевега - де Вриза для внутренних волн в жидкости с произвольной стратификацией плотности (в приближении Буссинеска и твердой крышки) получены сравнительно недавно [Lamb & Yan, 1996].

Вообще говоря, интегральные выражения для коэффициентов высших приближений слишком громоздки, чтобы "чувствовать" их знаки и величины, поэтому для приближенных оценок обычно использовались упрощенные модели стратификации, такие как двухслойная модель жидкости, а также, например, симметричная трехслойная модель или трехслойная модель жидкости с постоянным значением частоты плавучести в каждом слое [Grimshaw, Pelinovsky, Talipova, 1997].

Нахождение коэффициентов эволюционного уравнения при членах высшего порядка - трудоемкая задача, так как они имеют сложный вид, и еще более усложняются с увеличением порядка приближений. Однако их получение необходимо, поскольку при некоторых соотношениях параметров модели вклад нелинейности, дисперсии и нелинейной дисперсии высших порядков может быть значительным. Например, как известно, в случае внутренних волн в двухслойной жидкости без фонового течения, коэффициент при квадратичном нелинейном члене обращается в ноль, когда толщина слоев одинакова, и тогда главным источником нелинейности становится кубический член; когда толщина слоев отличается незначительно, "квадратичный" и "кубический" коэффициенты становятся сравнимыми по величине [Kakutani & Yamasaki, 1978; Miles, 1979; Koop & Butler, 1981; Gear & Grimshaw, 1983; Funakoshi & Oikawa, 1986]. Подобное обобщение уравнения Кортевега - де Вриза, в которое добавляется слагаемое кубической нелинейности, часто называют уравнением Гарднера. Это уравнение явилось предметом исследований многих авторов [Kakutani & Yamasaki, 1978; Benney & Ко, 1978; Miles, 1979, 1981] и продемонстрировало сильно нелинейные эффекты, не описываемые классическим уравнением Кортевега - де Вриза [Grimshaw, Pelinovsky, Talipova 1999; Слюняев и Пелиновский, 1999; Слюняев, 2001; Grimshaw et al, 2002]. Расчеты в рамках уравнения Гарднера успешно использовались для описания результатов лабораторных экспериментов с внутренними волнами [Michallet & Barthelemy, 1998], а также данных наблюдений внутренних волн на океанских шельфах [Талипова, Пелиновский, Холловэй, 1999; Holloway, Pelinovsky, Talipova, 1999].

Важным результатом последних лет является асимптотическая интегрируемость расширенного уравнения Кортевега - де Вриза второго порядка. [Fokas & Liu, 1996; Marchant & Smyth, 1996; Чжи и Сигбатуллин, 1997]. Все поправочные слагаемые к решениям уравнения Кортевега - де Вриза оказываются заключенными в асимптотическом преобразовании волнового поля и не содержатся более в эволюционном уравнении. Учет квадратичной и кубической нелинейностей как слагаемых одного порядка нарушает классическую иерархию малых членов асимптотического разложения и тем самым делает неприменимыми в этом случае уравнение уравнение Кортевега - де Вриза и результаты его асимптотической интегрируемости. Между тем вопрос о важности поправок, связанных с опущенными членами высших порядков малости, представляется существенным для уравнения Гарднера, аналогично классическому случаю уравнения Кортевега - де Вриза.

Актуальность проблемы.

Исследования внутренних гравитационных волн в природных (водохранилища, озера, моря, атмосфера) и техногенных (очистные потоки, выбросы при авариях, охлаждение реакторов) условиях проводятся весьма активно в последние годы. Особый интерес в динамике стратифицированных потоков вызывают внутренние волны большой амплитуды, влияющие на процессы теплообмена, перемешивания, перераспределение различных примесей, распространение радиоволн и акустических сигналов, размывы донного грунта. Поэтому исследование внутренних волн большой амплитуды представляется актуальным и практически значимым.

Настоящая диссертация посвящена разработке теоретических моделей длинных нелинейных внутренних волн в невязкой несжимаемой жидкости, произвольным образом (устойчиво) стратифицированной по плотности и течению.

Цели диссертационной работы:

1. Разработать универсальную асимптотическую процедуру получения нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза для длинных волн из исходной Эйлеровой системы уравнений гидродинамики невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости со сдвигом скорости.

2. Рассмотреть ряд модельных стратификации плотности и течения и вычислить коэффициенты расширенного уравнения Кортевега - Вриза, исследовать влияние сдвигового течения и величины изменения плотности на параметры уединенных волн.

3. Вывести обобщения уравнения Кортевега - де Вриза высшего порядка для важных в практическом отношении случаев, когда коэффициент квадратичной нелинейности мал.

4. Оценить применимость различных моделей для описания волн большой амплитуды, изучить вклад слагаемых высших порядков на структуру уединенных волн и динамику внутренних волн.

5. Исследовать влияние внутренних волн большой амплитуды на динамику примесей в приповерхностном слое и построить адекватную численную модель.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1. Предложена асимптотическая процедура получения обобщений высших порядков уравнения Кортевега - де Вриза с использованием эйлерово-лагранжева подхода для длинных волн в стратифицированном потоке невязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Процедура автоматизирована с использованием пакета символьной математики.

2. Коэффициенты обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза рассчитаны аналитически для двух- и трехслойного сдвигового потока. Проанализирована их зависимость от параметров модели: относительной скорости сдвигового течения, перепада плотности и соотношения толщин слоев. Для "почти" двухслойного потока и для жидкости с непрерывной стратификацией плотности с выраженной областью скачка параметры внутренних волн в рамках обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза рассчитывались численно. Исследована зависимость параметров волн от ширины пикноклина.

3. С помощью модифицированной асимптотической схемы получено обобщенное уравнение Гарднера, которое описывает динамику длинных внутренних волн в случаях, когда коэффициент квадратичной нелинейности мал. Найдено асимптотическое преобразование, сводящее это уравнение к более простому уравнению.

4. Проведено исследование нелинейной динамики волн в рамках развитых моделей и изучено влияние эффектов высших порядков. Показано, что эффект высших порядков в рамках модели Гарднера ведет к неупругому взаимодействию солитонов.

5. Построена численная модель воздействия внутренних волн на динамику примесей в приповерхностном слое с учетом процессов диффузии и релаксации и выполнены расчеты изменения концентрации примеси под действием импульсных возмущений.

Научная и практическая ценность работы

Построена эффективная процедура вывода обобщенного уравнения Кортевега де Вриза для волн в стратифицированных потоках и исследовано поведение его коэффициентов при заданных стратификациях и течениях. Частные случаи двух- и трехслойного потоков являются важным этапом понимания поведения внутренних волн и их качественной оценки для реальных стратификаций в океане. Для ряда таких модельных стратификаций впервые рассчитаны параметры внутренних волн и проанализировано влияние скорости сдвигового течения, величины скачка плотности и соотношения толщин слоев на поведение коэффициентов обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза. Подробно рассмотрен важный в практическом отношении случай почти симметричной стратификации, когда в уравнении Кортевега - да Вриза квадратичная нелинейность становится малой и сопоставимой с отброшенными при его выводе слагаемыми, а потому для корректного описания нелинейных эффектов требуется учет высших приближений (члена кубической нелинейности). Получено обобщенное уравнение Гарднера с учетом членов второго порядка малости для описания волн в среде с почти симметричной стратификацией. Предложенные в работе модели длинных нелинейных волн в стратифицированных потоках позволяют более точно описывать волновые поля с помощью нелинейных эволюционных уравнений и могут применяться для описания природных и технологических процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. В частности, в диссертации рассмотрена динамика примесей в приповерхностном слое при прохождении внутренних волн большой амплитуды.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на конференции Австралийского математического общества (Мельбурн, 1999), II международной конференции "Производство, технология, экология - образование в технических университетах на пороге XXI века" (Москва, 1999), международном семинаре "Jonsmod/Medmod 2000" (Тулон, 2000), международной конференции "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, 2001), международном симпозиуме "Underwater Ground Failtures on Tsunami Generation, Modeling, Risk and Mitigation" (Стамбул, 2001), на VIII Всероссийском семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Москва, 2002), международной конференции "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (Москва, 2002), докладывались на семинарах НГТУ и ИПФ РАН и опубликованы в журналах "Океанология", "Nonlinear Processes in Geophysics", "Известия Академии инженерных наук РФ".

Отдельные этапы работ были поддержаны РФФИ (01-05-06208, 02-05-06043),

ИНТАС (99-1068, 01-0330, 01-0025), РАН (349 - 6-ой конкурс-экспертиза 1999г.), программой Минауки и РАН «Нелинейная динамика», международной программой

ТЕМПУС JEP-10460-98.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 18 работ.

Статьи в журналах:

1. Е.Н. Пелиновский, О.Е. Полухина, К. Лэмб Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению. // Океанология, 2000, том 40, № 6, с.805-815.

2. Е.Н. Пелиновский, О.Е. Полухина Уравнения Кортевега-де Вриза высшего порядка для внутренних волн в стратифицированных сдвиговых потоках. // Известия Академии инженерных наук РФ, 2000, Т.1, с. 117-133.

3. Н.В. Полухин, О.Е. Полухина, В. Рей Транспорт донных наносов под воздействием поверхностных волн. // Известия Академии инженерных наук РФ, 2000, Т.1, с. 181193.

4. О.Е. Полухина Поверхностные волны в стратифицированном океане со сдвигом скорости. // Известия Академии инженерных наук РФ, 2001, Т.2, с. 126-138.

5. R. Grimshaw, Е. Pelinovsky, О. Poloukhina Higher order Korteweg - de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface. // Nonlinear Processes in Geophysics, 2002, V.9, p.221-235.

6. О.Е. Полухина, Т.Г. Талипова Численное моделирование динамики пленок поверхностно-активных веществ в поле нестационарных неоднородных течений и волн // Известия Академии инженерных наук РФ, Т.З, 2002 (в печати).

Препринты:

7. R. Grimshaw, Е. Pelinovsky, О. Poloukhina Higher order Korteweg - de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface // Preprint 01-11, Loughborough University, UK, 2001, 26 p.

8. О.Е. Полухина, Е.Н. Пелиновский, A.B. Слюняев Обобщенное уравнение Гарднера для внутренних волн в стратифицированной жидкости // Препринт ИПФ РАН №606, 2002.28 с.

Труды конференций:

9. О. Poloukhina, N. Poloukhin, Т. Talipova, E. Pelinovsky, R. Grimshaw, K. Lamb, S. Muyakshin Modelling of large-amplitude internal waves in the ocean. // Proceedings of international conference "Progress in Nonlinear Science", 2001, V.2, p.252-257.

Тезисы конференций:

10. R. Grimshaw, E. Pelinovsky, O. Poloukhina, A. Slunyaev, T. Talipova Dynamics of large-amplitude solitary waves in stratified fluids. // Abstracts of Australian Mathematical Society, 43rd Annual Conference, 11-16 July 1999, Melbourne, Australia.

11. E. Pelinovsky, N. Polukhin, O. Polukhina, A. Slunyaev, T. Talipova Nonlinear models of stratified flows. // Книга резюме 2-ой Международной конференции "Производство, технология, экология - образование в технических университетах на пороге XXI века", с. 30. М. Изд-во СТАНКИН, 1999.

12. Е. Pelinovsky, Т. Talipova, A. Slunyaev, N. Poloukhin, О. Poloukhina. Modeling of the nonlinear - dispersive internal wave field. // Abstracts of Workshop " Jonsmod/Medmod 2000" (Toulon, France, 8-14 July 2000).

13. T. Talipova, O. Poloukhina The generalized Korteweg - de Vries model of surface and internal tsunami waves. // Book of Abstracts of NATO advanced research workshop "Underwater Ground Failtures on Tsunami Generation, Modeling, Risk and Mitigation", 2001, p. 116-120.

14. А.Б. Езерский, O.E. Полухина Генерация солитонов в стоячих поверхностных волнах // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", МГУ, Москва, 2002, с.18-19.

15. А.В. Кокорина, О.Е. Полухина Эффекты высших порядков в расширенном уравнении Кортевега - де Вриза. // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", МГУ, Москва, 2002, с.20-21.

16. Т. Talipova, Е. Pelinovsky, N. Poloukhin, О. Poloukhina, S. Muyakshin Nonlinear internal waves on shelves of the Arctic Ocean // Geophysical Research Abstracts, 2002, vol. 4.

17. E.H. Пелиновский, Т.Г. Талипова, A.A. Куркин, А.В. Слюняев, О.Е. Полухина, Н.В. Полухин, А.В. Кокорина Поверхностные и внутренние волны большой амплитуды в океане. // Тезисы Юбилейной Всероссийской научной конференции «Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы», МГУ, Москва, 2002.

18. A.B. Ezersky, О.Е. Polukhina, I. Mutabazi Excitation of surface wave solitons in shallow water resonator: experiment and theory // Abstracts of Int. Workshop "Solitons, collapses and turbulence: achievements, developments and perspectives", (Черноголовка), 2002, p. 10.

Личный вклад автора.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, препринтах и трудах конференций [1-9], а также тезисах [10-18]. Автору принадлежит вывод нелинейных эволюционных уравнений, вычисление их коэффициентов и проведение численных экспериментов. Постановка задачи в совместных работах [1, 2, 5, 7-9] сделана научным руководителем Е.Н. Пелиновским. Идея использования эйлерово-лагранжева подхода в работах [1, 5, 7, 9] принадлежит соавторам профессорам К. Лэмбу (К. Lamb) и Р. Гримшоу (R. Grimshaw). В работе [8] соавтор А.В. Слюняев выполнил аналитическое исследование решений обобщенного уравнения Гарднера. Обсуждение полученных результатов в совместных работах, цитированных выше, производилось совместно. В работе [6] к.ф.м.н. Т.Г. Талиповой принадлежит анализ внутренних волн, использованный при расчетах динамики примесей. В работе [3] эксперимент выполнялся Н.В. Полухиным и профессором В. Рэем, автору принадлежит обработка экспериментальных данных. Работы [14, 18] выполнены в соавторстве с профессором А.Б. Езерским, которому принадлежат постановка задачи и результаты лабораторных экспериментов. Работа [4] опубликована без соавторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Из исходных Эйлеровых уравнений невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости со сдвиговым течением и свободной поверхностью с использованием эйлерово-лагранжева подхода с помощью асимптотической процедуры получено обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза для длинных нелинейных волн. Такое уравнение включает нелинейности и дисперсии высших порядков, а также слагаемые нелинейной дисперсии. Применение пакета символьной математики позволило автоматизировать процесс получения высших приближений и повысило надежность получаемых весьма громоздких выражений. Все коэффициенты уравнения находятся в форме интегралов от модальной структуры и нелинейных и дисперсионных поправок к ней.

2. Получены различные модификации этого уравнения: в жидкости с учетом и без учета приближения Буссинеска, а также для различных типов граничных условий на поверхности жидкости: твердая крышка и свободная поверхность. Все описанные приближения сказываются на виде коэффициентов эволюционного уравнения, но не на его форме.

3. Для модели с твердой крышкой рассмотрены аналитические примеры двух- и трехслойной жидкости с одним движущимся слоем, и аналитически вычислены параметры нелинейности, дисперсии и нелинейной дисперсии внутренних волн в рамках уравнения Кортевега - де Вриза второго порядка. В качестве примеров для модели со свободной поверхностью рассмотрены поверхностные и внутренние волны в двухслойном потоке (верхний слой движется с постоянной скоростью), и внутренние волны в трехслойном потоке с тонким средним промежуточным слоем. Для этих случаев все коэффициенты уравнения Кортевега - де Вриза второго порядка приведены в явной форме как функции толщины слоев, величины скачка плотности и скорости сдвигового течения, и определены условия, когда эти коэффициенты меняют знаки, что кардинально влияет на динамику нелинейных волн.

4. Развита асимптотическая процедура сведения обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза к классическому уравнению Кортевега - де Вриза, что позволило использовать известные аналитические и численные решения для нахождения волнового поля с учетом членов второго порядка малости.

5. Для внутренних волн в жидкости с почти симметричной стратификацией, когда квадратичная и кубическая нелинейность оказывается одного порядка, из обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза четвертого порядка получено обобщение уравнения Гарднера с учетом членов следующего порядка малости по нелинейности и дисперсии. Предлагается асимптотическое преобразование, сводящее обобщенное уравнение Гарднера к уравнению Гарднера с двумя дополнительными нелинейными слагаемыми четвертой и пятой степени.

6. Исследована нелинейная динамика внутренних волн на границе раздела в двухслойной жидкости в рамках уравнения Гарднера второго порядка. Изучена структура стационарных решений этого уравнения, а также эволюция импульсного начального возмущения. Дополнительные нелинейные слагаемые приводят к неупругости взаимодействия солитонов.

7. Построена численная модель воздействия внутренних волн на динамику примесей в приповерхностном слое с учетом процессов диффузии и релаксации и выполнены расчеты изменения концентрации примеси под действием импульсных возмущений.

Приведем краткое содержание глав и параграфов диссертации.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Полухина, Оксана Евгеньевна

Заключение

В данной работе представлена теоретическая модель для описания длинных нелинейных волн в устойчиво стратифицированных потоках с произвольным вертикальным распределением плотности и скорости. Получены следующие результаты:

1. Из исходных Эйлеровых уравнений невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости со сдвиговым течением и свободной поверхностью с использованием эйлерово-лагранжева подхода с помощью асимптотической процедуры получено обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза для длинных нелинейных волн. Такое уравнение включает нелинейности и дисперсии высших порядков, а также слагаемые нелинейной дисперсии. Применение пакета символьной математики позволило автоматизировать процесс получения высших приближений и повысило надежность получаемых весьма громоздких выражений. Все коэффициенты уравнения находятся в форме интегралов от модальной структуры и нелинейных и дисперсионных поправок к ней.

2. Получены различные модификации этого уравнения: в жидкости с учетом и без учета приближения Буссинеска, а также для различных типов граничных условий на поверхности жидкости: твердая крышка и свободная поверхность. Все описанные приближения сказываются на виде коэффициентов эволюционного уравнения, но не на его форме.

3. Для модели с твердой крышкой рассмотрены аналитические примеры двух- и трехслойной жидкости с одним движущимся слоем, и аналитически вычислены параметры нелинейности, дисперсии и нелинейной дисперсии внутренних волн в рамках уравнения Кортевега - де Вриза второго порядка. В качестве примеров для модели со свободной поверхностью рассмотрены поверхностные и внутренние волны в двухслойном потоке (верхний слой движется с постоянной скоростью), и внутренние волны в трехслойном потоке с тонким средним промежуточным слоем. Для этих случаев все коэффициенты уравнения Кортевега - де Вриза второго порядка приведены в явной форме как функции толщины слоев, величины скачка плотности и скорости сдвигового течения, и определены условия, когда эти коэффициенты меняют знаки, что кардинально влияет на динамику нелинейных волн.

4. Развита асимптотическая процедура сведения обобщенного уравнения Кортевега -де Вриза к классическому уравнению Кортевега - де Вриза, что позволило

145 использовать известные аналитические и численные решения для нахождения волнового поля с учетом членов второго порядка малости.

5. Для внутренних волн в жидкости с почти симметричной стратификацией, когда квадратичная и кубическая нелинейность оказывается одного порядка, из обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза четвертого порядка получено обобщение уравнения Гарднера с учетом членов следующего порядка малости по нелинейности и дисперсии. Предлагается асимптотическое преобразование, сводящее обобщенное уравнение Гарднера к уравнению Гарднера с двумя дополнительными нелинейными слагаемыми четвертой и пятой степени.

6. Исследована нелинейная динамика внутренних волн на границе раздела в двухслойной жидкости в рамках уравнения Гарднера второго порядка. Изучена структура стационарных решений этого уравнения, а также эволюция импульсного начального возмущения. Дополнительные нелинейные слагаемые приводят к неупругости взаимодействия солитонов.

7. Построена численная модель воздействия внутренних волн на динамику примесей в приповерхностном слое с учетом процессов диффузии и релаксации и выполнены расчеты изменения концентрации примеси под действием импульсных возмущений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полухина, Оксана Евгеньевна, 2002 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, 480 с.

2. Байдулов В.Г., Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Свойства точных решений волнового типа в теории стратифицированных течений // ПММ, 2002, Т.66, № 1, с.69-74.

3. Бахолдин И.Б. Скачок с излучением в моделях, описываемых обобщенным уравнением Кортевега де Вриза// ПММ, 2001, Т.65, № 1, с.59-68.

4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. // М.:Наука, 1979,383 с.

5. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Параметрическое усиление и генерация импульсов в нелинейных распределнных системах // Изв. вузов. Радиофизика, 1973, Т. XVI, №8, с.1195-1204.

6. Горячкин Ю.Н., Иванов В.А., Пелиновский Е.Н. Трансформация внутренних приливных волн на шельфе Гвинеи // МГЖ. 1991, № 4, с.53-59.

7. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере // М.:Мир, 1978, 532 с.

8. Ю.Дикинис А.В., Иванов А.Ю., Карлин JI.H. и др. Атлас аннотированных радиолокационных изображений морской поверхности, полученных космическим аппаратом «АЛМАЗ-1». // Под ред. Карлина Л. Н. М.: ГЕОС, 1999, 118с.

9. Езерский А.Б., Полухина О.Е. Генерация солитонов в стоячих поверхностных волнах // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", 2002, с. 18-19.

10. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов // М.:Наука. 1980, 319 с.

11. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация, распространение и нелинейное взаимодействие внутренних волн // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.:ВИНИТИ. 1990, Т.24, с.77-144.

12. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Задача генерации монохроматических внутренних волн: точное решение и модель световых источников // Докл. РАН, 1997, Т.365, № 1, с.54-57.

13. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация монохроматических внутренних волн в вязкой жидкости // ПМТФ, 1999а, Т.40, №6.

14. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Нелинейная генерация периодических внутренних волн пограничным течением на вращающемся осесимметричном теле // Докл. РАН, 19996, Т.367, № 5, с.636-639.

15. Козлов С.И., Пелиновский Е.Н., Талипова Т.Г. Динамика пленок поверхносно-активных веществ в поле неоднородных течений // Метеорология и гидрология, 1987а, №1,с.84-89.

16. Козлов С.И., Пелиновский Е.Н., Талипова Т.Г. Динамика пленок ПАВ на морской поверхности при прохождении внутренних волн // Морской гидрофизический журнал, 19876, №4, с.3-8.

17. Кокорина А.В., Полухина О.Е. Эффекты высших порядков в расширенном уравнении Кортевега де Вриза. // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", 2002, с.20-21.

18. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // ПММ, 2001, Т.65, № 5, с. 884-894.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика// М.: Наука, 1986, 733 с.

20. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. //Т. 1, 2, М.:Мир, 1981.

21. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов //М.:Мир. 1983, 294 с.

22. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. // Ленинград: Гидрометеоиздат, 1981, 302 с.

23. Миткин В.В., Прохоров В.Е., Чашечкин Ю.Д. Исследование изменчивости структуры стратифицированного спутного течения за горизонтальным цилиндром оптическим и акустическим методами // Механика жидкости и газа, 1998, № 3, с.5.

24. Музаев И.Д., Туаева Ж.Д. Математическое моделирование внутренних гравитационных волн в стратифицированном водоеме при селективном водозаборе // Владикавказский математический журнал, 2000, Т.2, № 1, с.24-29.

25. Наговицын А.П., Пелиновский Е.Н. Наблюдения уединенных внутренних волн в прибрежной зоне Охотского моря// Метеорология и гидрология. 1988, № 4, с. 124126.

26. Нелинейные волны. Под редакцией С.Лейбовича и А.Сибасса // М.: Мир, 1977, 319 с.

27. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике // М.:Мир, 1989.

28. Океанология. Физика океана Т. 1 Гидрофизика океана. Под ред. В.М.Каменковича,

29. A.С.Монина. М: Наука, 1978, 455 с.

30. Океанология. Физика океана Т.2 Гидродинамика океана. Под ред.

31. B.М.Каменковича, А.С.Монина. М: Наука, 1978, 455 с.

32. Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е., Лэмб К. Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению. // Океанология, 2000, Т. 40, №6, с.805-815.

33. Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Уравнения Кортевега-де Вриза высшего порядка для внутренних волн в стратифицированных сдвиговых потоках. // Известия Академии инженерных наук, 2000, Т. 1, с. 117-133.

34. Пелиновский Е.Н., Степанянц Ю.А., Талипова Т.Г. Моделирование распространения нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородном океане// Изв РАН ФАО, 1994, Т. 30, № 1, 79-85.

35. Пелиновский Е.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин, Валгус, 1984, 154 с.

36. Пелиновский Е.Н., Шаврацкий С.Х., Раевский М.А. Уравнение Кортевега де Вриза для нестационарных внутренних волн в неоднородном океане// Изв АН СССР ФАО. 1977, Т.13, №. 3, с.325-328.

37. Полухин Н.В., Полухина О.Е., Рей В. Транспорт донных наносов под воздействием поверхностных волн. // Известия Академии инженерных наук РФ, 2000, Т.1, с. 181-193.

38. Полухина О.Е. Поверхностные волны в стратифицированном океане со сдвигом скорости. // Известия Академии инженерных наук, 2001, Т. 2, с. 126-138.

39. Полухина О.Е., Талипова Т.Г. Численное моделирование динамики пленок поверхностно-активных веществ в поле нестационарных неоднородных течений и волн // Известия Академии инженерных наук РФ, Т.З, 2002.

40. Полухина О.Е., Пелиновский Е.Н., Слюняев А.В. Обобщенное уравнение Гарднера для внутренних волн в стратифицированной жидкости // Препринт ИПФ РАН № 606, 2002. 28 с.

41. Сазонов И.А. Влияние сглаживания профиля скорости ветра на дисперсию собственных и квазисобственных мод в трехслойной модели атмосферы. // Изв. РАН ФАО. 2000, Т.36, № 6, с. 768-777.

42. Серебряный А.Н. Проявление свойств солитонов во внутренних волнах на шельфе //Изв. РАН ФАО. 1993. Т.29. С.244-252.

43. Слюняев А.В., Пелиновский Е.Н. Динамика солитонов большой амплитуды: // ЖЭТФ, 1999, Т.116. с.318-335.

44. Слюняев А.В. Динамика локализованных волн большой амплитуды в слабодиспергирующей среде с квадратичной и положительной кубической нелинейностью. // ЖЭТФ, 2001, Т.119, с.606-612.

45. Соболева С.В. Решение краевых задач методом разложения по полной системе ортогональных функций в теории внутренних волн // Дипломная работа. Нижегородский государственный технический университет, 2001.

46. Степанянц Ю.А., Фабрикант A.JI. Распространение волн в сдвиговых потоках // М.: Наука, 1996, 240 с.

47. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Гримшоу Р. Трансформация солитона в точке нулевой нелинейности // Письма в ЖЭТФ, 1997, Т. 65, с. 113-118.

48. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Холловэй П.Е. Нелинейные модели трансформации внутренних приливов на шельфе. // Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование. 1999, Т. 1, 154-172.

49. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Ламб К., Гримшоу Р., Холловэй П. Эффекты кубической нелинейности при распространении интенсивных внутренних волн. // ДАН, 1999, Т. 364, № 6, 824 827.

50. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны // М.:Мир, 1977, 622 с.

51. Хабахпашев Г.А. Распространение внутренних и поверхностных двумерных нелинейных волн в океане со скачком плотности и пологим дном // Изв. РАН ФАО,2001, Т.37, № 3, с.397-406.

52. Чжи Л., Сигбатуллин Н.Р. Уточненная теория длинных волн на поверхности воды // ПММ, 1997, Т.61, № 2, с.184-189.

53. Чурилов С.М., Шухман И.Г. Кинетические и гидродинамические аспекты неустойчивости сдвиговых течений // Изв. РАН ФАО, 2001, Т.37, № 1, с.121-130.

54. Ablowitz M.J., Clarkson Р.А. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering // Cambridge Univ. Press, 1991, 516 p.

55. Apel J.R., Holbrock J.R., Liu A.K., Tsai J.J. The Sulu sea internal soliton experiment // J.Phys.Oceanogr. 1985, V.15, p. 1625-1651.

56. Benney D.J. Long nonlinear waves in fluid flows. // J.Math. Phys. 1966, V. 45, p.52-63.

57. Benney D.J., Ко D.R.S. The propagation of long large amplitude internal waves. // Stud. Appl. Math., 1978, V. 59, 187 199.

58. Brandt P., Rubino A., Alpers W., Backhaus J. O. Internal waves in the Strait of Messina studied by a numerical model and synthetic aperture radar images from the ERS 1/2 satellites // J. Phys. Oceanogr. 1997, V.27, p.648-663.

59. Chester W., Bones J.A. // Proc. Roy. Soc. 1968, V.A.306, p.23.

60. Clarke S., Grimshaw R., Miller P., Pelinovsky E., Talipova T. On the generation of solitons and breathers in the modified Korteweg de Vries equation // Chaos, 2000, V.10, No.2, p.383-392.

61. Coffey M. Rational solution of a general fifth-order shallow water-wave model // Phys.Lett. A, 2002, V.295, p.35-38.

62. Drazin P.G., Johnson R.S. Solitons: an Introduction // Cambridge Univ. Press, 1996, 226 p.

63. Fokas A.S. On a class of physically important integrable equations. // Physica D, 1995, V.87, p.145-150.

64. Fokas A.S., Liu Q.M. Asymptotic integrability of water waves. // Phys. Rev. Lett. 1996, Y.77, p.2347-2351.

65. Fornberg B. A practical guide to pseudospectral methods // Cambridge University Press 1998, 231 p.

66. Funakoshi M. Long internal waves in a two-layer fluid. // J. Phys. Soc. Japan, 1985, V.54, No.7, p.2470-2476.

67. Funakoshi M., Oikawa M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid. //J. Phys. Soc. Japan, 1986, V.55, No.l, p. 128-144.

68. Gear J., Grimshaw R. A second order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. Y.26, p. 14-29.

69. Grimshaw R., Malowed В., Benilov E. Solitary waves with damped oscillatory tails: an analysis of the fifth-order Korteweg-de Vries equation // Physica D, 1994, Y.77, p.473-485.

70. Grimsaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., Sluniaev A. The generation of large-amplitude solitons from an initial disturbance in the extended Korteweg de Vries equation // Chaos, 2002, в печати.

71. Grimshaw R., Pelinovsky E., Poloukhina O. Higher order Korteweg de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface. // Preprint 01-11, Loughborough University, UK, 2001, 26 p.

72. Grimshaw R., Pelinovsky. E., Poloukhina O. Higher-order Korteweg-de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with free surface. // Nonlinear Processes in Geophysics, 2002, V.9, p.221-235.

73. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. The modified Korteweg-de Vries equation in the theory of the large-amplitude internal waves. // Nonlinear Processes in Geophysics, 1997, V.4, p.237-250.

74. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Solitary wave transformation in a medium with sign-variable quadratic nonlinearity and cubic nonlinearity. // Physica D, 1999, V.132, 40-62.

75. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Solitary wave transformations due to a change in polarity// Stud. Appl. Math. 1998. V. 101, p.357-388.

76. Grue J., Jensen A., Rusaas P.-O., Sveen J.K. Properties of large amplitude internal waves // J. Fluid Mech. 1999, V.380, p.257-278.

77. Grue J., Jensen A., Rusaas P.-O., Sveen J.K. Breaking and broadening of internal solitary waves // J. Fluid Mech. 2000, V.413, p.181-217.

78. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova Т., Barnes B. A nonlinear model of internal tide transformation on the Australian North West Shelf. // J. Phys. Ocean. 1997, V.27, No.6, p.871-896.

79. Holloway P., Talipova Т., Pelinovsky E. A generalised Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone. // J. Geophys. Research, 1999, v. 104, c.8, 18333-18350.

80. Horn D.A., Imberger J., Ivey G.N. The degeneration of large-scale interfacial gravity waves in lakes // J. Fluid Mech. 2001, V.434, p.181-207.

81. Imteaz M.A., Imamura F. Analytical solution and numerical model for the interface in a stratified long wave system // Science of Tsunami Hazards, 2001, V.19, No.l, p.39-54.

82. Jeans D.R.G., Sherwin T.J. The variability of strongly non-linear solitary internal waves observed during an upwelling season on the Portuguese shelf // Continental Shelf Research. 2001, V. 21, p.l855-1878.

83. Kakutani Т., Yamasaki N. Solitary waves in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45, p.674-679.

84. Kichenassamy S., Olver P.J. Existence and nonexistence of solitary wave solutions to higher-order model evolution equations // SIAM J.Math.Anal. 1992, V.23, p.l 141.

85. Knickerbocker C., Newell A. Internal solitary waves near a turning point // Phys. Lett. 1980, V.75, p.326-330.

86. Koop C.G., Butler G. An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system. //J. Fluid Mech., 1981, V. 112, P. 225-251.

87. Lakshmanan M., Kaliappan P. Lie transformations, nonlinear evolution equations, and Painleve forms // J. Math. Phys. 1983, V.24, p.795-806.

88. Lamb K. Theoretical descriptions of shallow-water solitary internal waves: comparisons with fully nonlinear waves // The 1998 WHOI/IOS/ONR Internal Solitary Wave Workshop: Contributed papers / Ed. Duda T.F., Farmer D.M. WHOI-99-07.

89. Lamb K.G. Conjugate flows for a three-layer fluid // Phys. Fluids, 2000, V.12, p.2169.

90. Lamb K. A numerical investigation of solitary internal waves with trapped cores formed via shoaling // J.Fluid Mech. 2002, V.451, p. 109-144.

91. Lamb K., Yan L. The evolution of internal wave undular bores: comparisons of a fully nonlinear numerical model with weakly nonlinear theory// J. Phys. Ocean. 1996. V.26, p.2712-2734.

92. Lee C, Beardsley R.C. The generation of long nonlinear internal waves in a weakly stratified shear flow. // J. Geophys. Res. 1974, V.79, p.453-462.

93. Liu A.K., Holbrock J.R., Apel J.R. Nonlinear internal wave evolution in the Sulu Sea // J. Phys. Ocean. 1985. V. 15, p. 1613-1624.

94. Liu A.K. Analysis of nonlinear internal waves in the New York Bight ii J. Geophys. Res. 1988, V.93, p. 12317-12329.

95. Long R.R. Solitary waves in one- and two- fluids systems. // Tellus, 1956, V.8, p.460-471.

96. Marchant T.R., Smyth N.F. Soliton interaction for the extended Korteweg de Vries equation. // J. Appl. Math. 1996, V.56, p.157 - 176.

97. Michallet H., Barthelemy E. Experimental study of interfacial solitary waves // J. Fluid Mech. 1998, V. 366, p. 159-177.

98. Miles J.W. On the stability of geterogeneous shear flows // J. Fluid Mech. 1961, V.10, p.496-509.

99. Miles J.W. On internal solitary waves. //Tellus, 1979, V.31, p.456^162.

100. Miles J.W. On internal solitary waves. // Tellus, 1981a, Y.33, p.397-401.

101. Miles J.W. The Korteweg de Vries equation: a historical essay. // J.Fluid Mech. 19816, V.106,p.l31-147.

102. Mirie R.M., Pennell S.A. Internal solitary waves in a two-fluid system // Phys. Fluids 1989, V.A1, p.986-991.

103. Miyata M. Long internal waves of large amplitude. // In Nonlinear Water Waves (ed. K. Horikawa and H. Maruo), Springer, 1988, p.399-406.

104. Miyata M. A note on broad and narrow solitary waves. // IPRC Report 00-01 SOEST 00-05, Honolulu, Hawaii, 2000.

105. New A.L., Pingree R.D. An intercomparison of internal solitary waves in the Bay of Biscay and resulting from the Korteweg-de Vries-type theory // Progress in Oceanography. 2000. V. 45, p.1-38.

106. Osborne A.R., Burch T.L. Internal solitons in the Andaman Sea // Science, 1980. V.208,p.451-460.

107. Osborne A.R., Onorato M., Serio M., Bergamasco L. Soliton creation and destruction, resonant interactions, and inelastic collisions in shallow water waves. // Phys. Rev. Lett. 1998, V. 81, p.3559-3562.

108. Ostrovsky L., Stepanyants Yu. Do internal solitons exist in the ocean? // Review Geophysics, 1989, V.27, p.293 310.

109. Ouahsine A., Bois P.A. Mathematical modelling of long ocean waves with a discontinuous density gradient// J. of Engineering Mathematics, 2001, Y.40, p. 141-158.

110. Pelinovsky D.E., Grimshaw R.H. An asymptotic approach to solitary wave instability and critical collapse in long-wave KdV-type evolution equations // Physica D, 1996, V.98, p.139-155.

111. Pelinovsky E., Talipova Т., Small J. Numerical Modelling of the Evolution of Internal Bores and Generation of Internal Solitons at the Malin Shelf // Internal Solitary Wave Symposium, Sidney, Canada, October, 1998.

112. Pierni S. A model for the Alboran sea internal solitary waves// J. Phys. Ocean. 1989, V.19, p.755-772.

113. Pingree R.D., Mardell G.T. Solitary internal waves in the Celtic sea // Prog. Oceanog. 1985, V. 14, p.431-441.

114. Pomeau Y., Ramani A., Grammaticos B. Structural stability of the Korteweg-de Vries solitons under perturbation// PhysicaD, 1988, V.3, p.127-134.

115. Press W.H. et al. Numerical recipes in Fortran. 1992,963p.

116. Redekopp L.G. Elements of instability theory for environmental flows // in Environmental stratified flows. Edited by Grimshaw R. Kluwer Akademic Publishers, 2001.

117. Rees J.M., Anderson P.S., King J.C. Observations of solitary waves in the stable atmospheric boundary layer // Boundary Layer Meteorology, 1998, V.86, p.47-61.

118. Rusas P.-O., Grue J. Solitary waves and conjugate flows in a three-layer fluid // European J. Mech. B/Fluids, 2002, V.21, p. 185-206.

119. Sandstrom H., Elliot J.A. Internal tide and solitons on the Scotian Shelf: a nutrient pump at work // J. Geophys. Res. 1984, Y.89, No.C4, p.6415-6426.

120. Scotti R.S., Corcos G.M. Measurements of the growth of small disturbances in a stratified shear layer// Radio Sci., 1969, V.4, p.1309-1313.

121. Small J., Hallock Z., Pavey G., Scott J.C. Observations of large amplitude internal waves at the Malin Shelf edge during SESAME 1995 // Cont. Shelf Res. 1999, V.19, p.1389-1436.

122. Small J., Sawyer N.C., Scott J.C. The evolution of an internal bore at the Malin shelf break //Ann. Geophysicae. 1999. V.17, p.547-565.160

123. Thorpe S.A. Experiments on the instability of stratified shear flows: immiscible fluids // J. Fluid Mech. 1969, V.39, p.25-48.

124. Thorpe S.A. Experiments on the instability of stratified shear flows: miscible fluids //J. Fluid Mech. 1971, V.46, p.299-319.

125. Vlasenko V., Brandt P., Rubino A. Structure of large-amplitude internal solitary waves//J. Phys. Ocean. 2000. Vol. 30, p.2172-2185.

126. Vlasenko V.I., Hutter K. Generation of second mode solitary waves by the interaction of a first mode soliton with a sill //Nonlinear Processes in Geophysics. 2001, V.8, p.223-239.

127. Vlasenko V.I., Hutter K. Numerical experiments on the breaking of solitary internal waves over a slope-shelf topography// J. Phys. Ocean. 2002, V.32, No 6, p. 1779-1793.

128. Watson G., Robinson I. A numerical model of internal wave refraction in the strait of Gibraltar. //J. Phys. Oceanogr. 1991, V.21, p.185-204.

129. Zhou X., Grimshaw R. The effect of variable currents on internal solitary waves // Dynamics of Atmospheres and Oceans, 1989, V.14, p. 17-3 9.