Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, доктор физико-математических наук Куркин, Андрей Александрович

• Куркин, Андрей Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Куркин, Андрей Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Моделирование волн цунами и их долгосрочный прогноз

1.1. Модифицированный вычислительный комплекс «Цунами» для расчетов 17 длинных волн и оценки рисков, связанных с цунами

1.1.1. Методы оценки цунами риска

1.1.2. Основные уравнения модели

1.1.3. Модифицированный комплекс «ЦУНАМИ»

1.2. Моделирование Виргинского цунами 1867 г. в Карибском море

1.3. Оценка цунами потенциала для Карибского моря

1.3.1. Сильные цунами в Карибском море

1.3.2. Потенциальные источники цунами

1.3.3. Анализ результатов расчета высот волн в Карибском море

1.3.4. Ослабление цунами с расстоянием

1.4. Сравнительная оценка цунамиопасности Япономорского побережья Россия 60 на основе численного моделирования

1.4.1. Исторические данные о цунами в Приморье и западном побережье 60 Сахалина

1.4.2. Численное моделирование исторических и гипотетических цунами

1.5. Цунами в Черном море: анализ натурных данных и численные расчеты

1.5.1. Исторические данные о цунами в Черном море

1.5.2. Моделирование цунами 1966 г. около г. Анапа и сопоставление с из- 76 мерениями в некоторых точках российского побережья

1.5.3. Оценка цунами риска для Российского побережья Черного моря

1.6. Моделирование цунами 1597 г. в реке Волге

1.7. Генерация цунами движущимися источниками

1.7.1. Генерация волн цунами атмосферными возмущениями

1.7.1.1. Линейная генерация длинных волн вариациями атмосферного 91 давления

1.7.1.2. Нелинейная модель генерации цунами атмосферными возму- 94 щениями

1.7.1.3. Численное моделирование генерации длинных волн в океане 99 при прохождении циклона «Лили»

1.7.2. Генерация волн цунами при сходе подводного оползня

1.8. Моделирование распространения катастрофического цунами (26 декабря 108 2004 г.) в Индийском океане

1.9. Выводы

Глава 2. Нелинейная и нестационарная динамика краевых волн в шельфо- 115 * вой зоне

2.1. Распространение и фокусировка краевых волн Стокса

2.2. Дисперсионное сжатие краевых волн над вогнутым экспоненциальным 134 шельфом

2.3. Усиление краевых волн в бассейне с переменной вдоль берега топографией

2.4. Нелинейное уравнение Шредингера для краевых волн Стокса

2.5. Сопоставление эффектов самомодуляции и дисперсионной фокусировки 173 краевых волн Стокса

2.6. Рассеяние солитона над периодическим и шероховатым дном

2.6.1. Линейная теория трансформации импульса

2.6.2. Трансформация солитона над длинным препятствием

2.6.3. Распространение солитона над случайным дном

2.7. Выводы

Глава 3. Нелинейные модели крупномасштабных волновых движений

3.1. Нестационарная динамика волн Россби (в рамках уравнения Обухова - Чар- 204 ни)

3.2. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби в параболоиде

3.2.1. Волны Россби во вращающемся параболоиде в приближении жесткой 215 крышки

3.2.2. Волны Россби в параболическом слое жидкости со свободной по- 220 верхностью

3.2.3. Резонансные взаимодействия баротропных волн Россби внутри вра- 225 щающегося параболоида

3.3. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн во вращаю- 230 щейся жидкости

3.4. Расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфо- 243 вых волн

3.5. Нелинейные топографические волны Россби

3.5.1. Топографические волны Россби в канале с дном в форме ступеньки

3.5.2. Топографические волны Россби в канале с плоским наклонным дном

3.6. Выводы

Глава 4. Динамика нелинейных внутренних волн в стратифицированном 282 океане

4.1. Излучательная неустойчивость волн отрицательной энергии в двухслойной 284 % жидкости

4.2. «Двумерное» уравнение Кортевега - де Вриза для внутренних волн

4.3. Трансформация солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднород- 304 ном океане (с приложением к арктическому бассейну)

4.3.1. Основная модель

4.3.2. Уединенные внутренние волны в модели Гарднера

4.3.3. Трансформация солитона в горизонтально неоднородном океане

4.4. Эволюция солитона в рамках уравнения Гарднера с переменным коэффици- 318 ентом кубической нелинейности

4.4.1. Приближенная теория

4.4.2. Результаты численного моделирования

4.5. Механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды

4.5.1. Основные уравнения

4.5.2. Механизм нелинейно — дисперсионного сжатия

4.5.3. Генерация бризеров и солитонов, как механизм образования ано- 338 мальных волн

4.5.4. Генерация внутренних «волн-убийц» за счет модуляционной неус- 341 тойчивости

4.5.5. Образование внутренних волн большой амплитуды при смене знака 343 квадратичной и кубической нелинейности

4.6. Выводы 349 Заключение 351 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне»

Актуальность темы и цели исследования

Исследование длинноволновых процессов в прибрежной зоне океана необходимо для решения важных геофизических задач прогноза морских природных катастроф (в частности, цунами и, так называемых, волн-убийц), оценки перестройки прибрежного и донного рельефа, объяснения структуры и изменчивости вдольбереговых течений, выбора оптимальных морских путей, расчета динамики загрязняющих веществ. В диссертации основное внимание уделено нестационарной и нелинейной динамики волн цунами, краевых, захваченных и внутренних волн с приложениями к прогнозу морских природных катастроф.

Прогноз цунами невозможен без широкого применения численных методов расчета распространения волн цунами. Они применяются для описания уже прошедших цунами и направлены, в первую очередь, на проверку механизма генерации волн цунами сейсмическими и оползневыми источниками, что очень важно для развития системы оперативного оповещения о цунами (службы цунами), поскольку позволяют оценить опасность цунами сразу по характеристикам только что прошедшего сейсмического события. Многие события удается достаточно хорошо промоделировать, в том числе, практически сразу после события, обладая минимальной информацией о параметрах землетрясения. В качестве примера, можно указать на Шикотанское цунами 5 октября 1994 г., которое были промоделировано непосредственно после землетрясения, и результаты этих расчетов подтвердились затем в ходе экспедиционного обследования [45, 110]. Качественно расчеты последнего разрушительного цунами, случившегося 26 декабря 2004 г. в Индийском океане, выполненные с участием автора [К5], находятся в согласии с наблюдаемыми данными. Тем не менее, проблема сейсмического источника является достаточно трудной, и в последнее время распространенным становится мнение, что землетрясение играет роль триггера, инициирующее оползневые явления на подводном склоне, которые и ответственны за генерацию волн цунами [350]. Другой важной задачей приложения численных методов является определение оптимальных условий расположения датчиков гидрофизической подсистемы оповещения о цунами, развиваемой для Тихоокеанского побережья России [109, 110] и ускорения оперативного прогноза характеристик цунами в различных пунктах побережья с учетом данных уровневых станций [53]. Третьей важной задачей является долгосрочный прогноз цунами, особенно для пунктов, слабо обеспеченных данными наблюдений. Здесь обычно задача сводится к вычислению возможных высот волн в различных пунктах побережья от возможных источников в основной сейсмической зоне [94, 147]. Такой подход оказался эффективным для разработки схемы цунами районирования Тихоокеанского побережья России [23]. К сожалению, для многих морей, включая все российские моря, не удается схематизировать обобщенный очаг цунами, так что расчет любого сценария развития цунами имеет академический характер. Для таких ситуаций сейчас с участием автора активно разрабатывается метод оценки цунами - риска (потенциала) побережья, основанный на статистическом анализе многих сценариев развития цунами.

Наиболее сильное влияние на поведение крупномасштабных поверхностных волн типа цунами в прибрежной зоне океана оказывают захваченные волны. Имеются многочисленные данные наблюдений реальных цунами, например Камчатского цунами 4 октября 1952 г. [242] и цунами 25 апреля 1992 г. с эпицентром около мыса Мендосино (Западное побережье США) [207], интенсивность и поведение которых в прибрежной зоне океана нельзя объяснить без привлечения теории захваченных волн. С их помощью легко объясняется также неравномерность изменения высоты волны цунами вдоль побережья [95, 147]. В целом, примерно до 70% волновой энергии цунами распространяется вдоль Курильских островов в виде захваченных волн [141].

Вблизи берега на захваченные волны приходится 95 - 98% энергии, которая может передаваться вдоль волновода на большие расстояния без существенных потерь. До сих пор остается открытым вопрос о причине гораздо более высокой энергонасыщенности захваченных волн по сравнению с волнами открытого океана, несмотря на то обстоятельство, что область захвата волн, как правило, занимает лишь 5 — 10% площади океана [289]. Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Коротко-масштабные краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как формирование структуры линии берега и его рельефа, процессы, связанные с морфологией дна в прибрежной зоне и др. [69, 112, 150, 162, 166 - 169, 203, 231, 232, 235, 236, 254, 275, 276]. В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих их существование в волновом поле в прибрежной зоне океана (см., например, [167, 173, 237, 238]). Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии [337].

В последнее время пристальное внимание привлекают также другие виды крупномасштабных захваченных волн: волны Кельвина, шельфовые волны, топографические волны Россби и пр., которые доминируют в зоне шельфа - континентального склона в экваториальной зоне, а также вблизи фронтальных разрезов [19, 41, 69, 76, 93, 142]. Наблюдения последних лет показали, что эти волны оказывают существенное влияние на разнообразные процессы в океане. Например, такие разнородные явления, как топографические вихри, меандрирование пограничных течений (Гольфстрима и др.), апвеллинг (подъем на поверхность холодных масс воды вблизи берега), перенос донных материалов, тесно связаны с захваченными волнами [41, 69, 142]. Кроме того, они участвуют в формировании океанской циркуляции, приливов, штормовых нагонов, цунами и даже влияют на погоду и климат морей и океанов (см., например, [41, 112]).

При изучении различных проблем волновой динамики океана необходимо также рассмотреть так называемые планетарные вихри и волны, носящие имя К.Г. Россби, показавшего их фундаментальную роль в процессах глобальной циркуляции атмосферы [322, 323]. Представление о важной роли волн Россби в жизни океана детализировано сравнительно недавно. Выяснилось, что существенная для многих приложений (например, для мореплавания, рыболовства или гидроакустики) конкретная океанографическая «погода» определяется именно волнами Россби и тесно связанными с ними сугубо нелинейными индивидуальными образованиями в виде синоптических вихрей.

Еще одним интересным объектом нелинейных волновых движений в прибрежной зоне океана являются внутренние волны, существующие в океане благодаря его расло-енности по температуре, солености и течению. Такие волны влияют на движение подводных аппаратов, распространение акустических сигналов, размывы грунта под нефтяными и газовыми платформами. Внутренние волны наблюдаются также во многих озерах. Наблюдения внутренних волн суммированы в ряде книг [56, 74, 77, 123, 241]. Внутренние волны хорошо воспроизводятся в лабораторных условиях (см., например, [5, 12, 50, 75, 78, 134, 136]). Нелинейные внутренние волны, в частности солитоны большой амплитуды, активно обсуждаются в литературе [220, 221, 229, 272, 281, 302].

Из всего выше сказанного становится ясной актуальность развития гидродинамической теории для описания нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне.

Линейная теория длинных волн представляет собой достаточно хорошо разработанный и устоявшийся раздел теории волн в океане [41, 69, 74, 77, 95, 112, 123, 142], однако, нелинейные аспекты теории, особенно захваченных волн, изучены еще недостаточно. Имеющиеся трудности связаны с тем, что при изучении данного класса волн, океан проявляет себя как существенно неоднородная, а с учетом вращения Земли, и неизотропная среда. Сейчас считается, что короткомасштабные краевые волны генерируются случайными ветровыми волнами из-за сильной нелинейности поля ветровых волн - механизм параметрической генерации и/или нелинейного детектирования [153, 165, 199, 222, 284]. В работе [202] подчеркнуто, что до настоящего времени нет никаких количественных моделей, описывающих эволюцию берега под действием краевых волн. Следует также отметить, что большинство теоретических работ, посвященных изучению краевых волн, рассматривают бассейны с цилиндрической геометрией дна, т.е. случай, когда глубина жидкости является только функцией поперечной к берегу координаты. Реальная же ситуация более сложная, так как нужно учитывать двумерную изменчивость глубины жидкости и этому посвящено только несколько работ. Например, в работе [331] изучается захват и рассеяние топографических волн устьями рек и мысами, а, недавно, в работе [160] были рассмотрены рассеяние краевых волн проницаемыми прибрежными структурами, которые расположены перпендикулярно к береговой линии. Кроме того, в работах [176, 177] изучено резонансное рассеяние прогрессивных краевых волн вдольбереговой периодической топографией. При изучении нелинейных внутренних волн в настоящее время используется несколько направлений. Первое из них использует уравнение Корте-вега — де Вриза [164], которое, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости. Затем, была учтена трехмерность волновых движений [70] и сила Кориолиса, обусловленная вращением Земли [88, 211]. В это же время было получено обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины [103, 193]. В последние десять лет активизировались работы по получению расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной и/или многослойной стратификацией [97, 139, 213, 228, 229, 257].

Исходя из всего выше сказанного, основной целью диссертации выбрано изучение нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне с приложениями к прогнозу морских природных катастроф. В качестве первой цели выбрана разработка метода оценки цунами — риска (потенциала) побережья, основанного на статистическом анализе многих сценариев развития цунами. Второй целью диссертации является исследование нелинейной и нестационарной динамики захваченных волн, волн Россби и внутренних волн, приводящей к формированию аномально больших волн типа волн-убийц, хорошо известных для ветровых волн.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Разработан модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI» для оценки рисков, связанных с цу8 нами. Во-первых, удалось значительно уменьшить время счета за счет распараллеливания вычислений. Во-вторых, разработан новый интерфейс программы, позволяющей рассчитать характеристики цунами, обработать полученные данные и подготовить данные к презентации.

2. Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамиi ф ческом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет исследовать сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для выделения зон с разным уровнем цунами риска в Японском, Черном и Карибском морях.

3. Развита теория генерации волн цунами движущимися источниками. Получен ряд аналитических решений линейной теории мелкой воды и нелинейно-дисперсионной теории, демонстрирующие роль нелинейности, дисперсии и резонанса в генерацию волн на воде. Показано, в частности, что для волн цунами возможен эффект «волн-убийц», связанный с дисперсионной фокусировкой волновых пакетов. Выполнены численные расчеты генерации длинных волн при прохождении циклона «Лили» в Карибском море в 2002 г.

4. Выполнено численное моделирование ряда исторических цунами в Карибском и Черном морях, в том числе катастрофического цунами в Индийском океане, возникшего после сильнейшего землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия). Рассчитаны диаграмма направленности волн цунами и распределение высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов сопоставлены с данными наблюдений.

5. Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых типов подводного рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды — «краевых волн-убийц». Исследован процесс перестройки краевых волн при условии медленной вдольбереговой изменчивости подводного рельефа в рамках асимптотического подхода.

6. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Показано, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), которая находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде при произвольной высоте неровностей. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа. Показана возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова — Чарни аналитически и численно. Показано, что дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, приводящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби.

Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболоидном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн. Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью га-мильтонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее. Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега - де Вриза и уравнению Гарднера. Впервые показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится исчезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.

12. Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега — де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна при постоянном параметре Кориолиса.

13. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега - де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры.

14. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

15. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия, генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения, модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде. Ранее второй и четвертый механизмы не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

Практическая значимость результатов работы

Результаты диссертационной работы использовались в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:

• «Нелинейные взаимодействия захваченных волн во вращающемся океане произвольного рельефа дна» (РФФИ № 00-05-64922), 2000 - 2002 гг.

• «Нелинейная динамика захваченных волн в прибрежной зоне» (Минобразование России № АОЗ-2.13-401), 2003 г.

• «Нестационарная динамика краевых волн в океане переменной глубины» (Минобразование России № А04-2.13-388), 2004 г.

• «Extreme waves» (INTAS 99-1637), 2000 - 2002 гг. а также в следующем проекте, выполняемом в настоящее время

• «Нелинейная эволюция захваченных волн в шельфовой зоне океана» (РФФИ № 0305-64975), 2003-2005 гг.

Их практическая значимость заключается в следующем:

• разработанный модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI», позволяет не только уменьшить время счета, но и существенно упростить процесс обработки полученной в результате этого информации о моделируемом цунами;

• предложенный метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря, может быть использован при изучении сравнительной защищенности различных участков побережья. Сделанные оценки для Японского и Черного морей могут быть использованы в экспертной системе оценки риска цунами, разрабатываемых для этих регионов;

• полученные теоретические результаты, показывающие возможность образования аномально больших краевых волн могут быть использованы для прогнозирования появления сильных краевых волн, которые могут интенсифицировать процессы перераспределения наносов в прибрежной зоне, а также приводить к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне.

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [К1 - К41] и докладывались на следующих международных конференциях: Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1999; Ницца, Франция, 2000 -2004; Вена, Австрия, 2005); Международной конференции «Потоки и структуры в жидкости» (Санкт Петербург, Россия, 1999, 2003; Москва, Россия, 2001, 2005); Двенадцатой зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, Россия, 1999; Международной конференции ПРОТЭК'99, Москва, Россия, 1999; Международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности», Москва, Россия, 2000; Международных летних школах «Современные проблемы механики», Санкт Петербург, Россия, 2000 — 2005; Международной конференции «Взаимодействие структур жидкости», Халкидики, Греция, 2001; Международном симпозиуме по длинным волнам, Тессалоники, Греция, 2003; Международной конференции IUGG, Саппоро, Япония, 2003; Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Н. Новгород, Россия, 2003; Международном симпозиуме по наукам об океане, Портланд, США, 2004; Совместной ассамблеи геофизических обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н. Новгород, Россия, 2004, 2005; Двадцать первом международном конгрессе по теоретической и прикладной акустике (ICTAM04), Варшава, Польша, 2004; Шестом международном симпозиуме по прибрежной механике, Владивосток, Россия, 2004; Второй межведомственной конференции «Проявление глубинных процессов на морской поверхности», Н. Новгород, Россия, 2005.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного университета, Института прикладной физики РАН, Нижегородского государственного технического университета, Института океанологии РАН, научных школ академика РАН В.И. Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина.

Автор выражает благодарность, прежде всего, научному консультанту профессору, лауреату Государственной премии России Ефиму Наумовичу Пелиновскому за большую помощь и безграничное терпение, проявленные им при обсуждении настоящей диссертации. Также автор выражает благодарность своим соавторам: к.ф.-м.н. А.В. Слюняеву, к.ф.-м.н. О.Е. Полухиной, А.И. Зайцеву, В.А. Дубининой, А.С. Козелкову, Н.М. Самариной, Н.В. Полухину, без которых не были бы написаны многие работы.

Также автор благодарит коллектив кафедры «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета, д.ф.-м.н. Н.С. Петрухина, д.ф.м.н. С.Н. Митякова, д.т.н. Ю.М. Максимова, д.ф.-м.н. А.И. Потапова, Е.Ф. Листопада за создание благожелательной, творческой атмосферы на кафедре, позволившей автору закончить диссертацию.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Куркин, Андрей Александрович

4.6. Выводы

В заключение сформулируем основные результаты исследований динамики нелинейных внутренних волн в стратифицированном океане, полученных в этой главе:

1. Показано, что внутренние волны в двухслойном потоке излучательно неустойчивы, и рассчитан инкремент такой неустойчивости. Дано описание нелинейной стадии неустойчивости в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с добавлением слагаемых, отвечающих за неустойчивость и диссипацию. Показано, что в результате эволюции солитоны огибающих приходят к равновесному стационарному состоянию. Приведены оценки, свидетельствующие о возможности проявления излуча-тельной неустойчивости в океанских условиях.

2. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега — де Вриза для решения практических задач.

3. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры.

4. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

5. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия, генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения, модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде, причем второй и четвертый механизмы ранее вообще не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

В диссертации представлены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI» для оценки рисков, связанных с цунами. Во-первых, удалось значительно уменьшить время счета за счет распараллеливания вычислений. Во-вторых, разработан новый интерфейс программы, позволяющей рассчитать характеристики цунами, обработать полученные данные и подготовить данные к презентации. Этот пакет использован для моделирования распространения волн цунами в Японском, Черном и Карибском морях. С его помощью выполнено моделирование ряда исторических цунами, хорошо обеспеченных данными наблюдений. В частности, исследованы волны цунами, вызванные землетрясениями на Виргинских островах в 1867 г. и в Черном море (вблизи г. Анапа) в 1966 г.; вулканическим извержением на острове Монтсеррат (Карибское море) в 2003 г. Обсуждается также цунами 1597 г. в реке Волга (в районе г. Нижнего Новгорода), вызванное сходом оползня с высокого берега. Выполнено также численное моделирование крупнейшего цунами в Индийском океане, возникшего после землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия). Рассчитаны диаграммы направленности волн цунами и распределения высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов находятся в хорошем согласии с имеющимися данными наблюдений.

2. Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет сопоставить сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для оценки цунами потенциала российского побережья Японского и Черного морей, а также побережья Карибского моря.

3. Развита теория генерации волн цунами движущимися источниками. Получен ряд аналитических решений линейной теории мелкой воды и нелинейно-дисперсионной теории, демонстрирующие роль нелинейности, дисперсии и резонанса в генерацию волн на воде. Показано, в частности, что для волн цунами возможен эффект «волн-убийц», связанный с дисперсионной фокусировкой волновых пакетов. Выполнены численные расчеты генерации длинных волн при прохождении циклона «Лили» в Карибском море в 2002 г.

4. Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых типов подводного рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды — «краевых волн-убийц». Этот процесс реализуется для произвольного цилиндрического рельефа дна и любого номера моды. Установлено также, что слабая вдольбереговая изменчивость подводного рельефа ведет к изменению амплитуды и длины краевой волны. Этот процесс рассчитан в рамках асимптотического подхода для нескольких типов подводного рельефа. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Получено, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми, и нелинейная поправка к частоте положительна. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они чаще появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), которая находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

5. Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа.

6. Продемонстрирована возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова - Чарни аналитически и численно. Показано, что дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, приводящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби.

7. Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболоидном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн.

8. Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью гамиль-тонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее.

9. Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега — де Вриза и уравнению Гарднера. Показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится исчезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.

10. Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега — де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна.

11. Показано, что внутренние волны в двухслойном потоке излучательно неустойчивы и рассчитан инкремент такой неустойчивости. Дано описание нелинейной стадии неустойчивости в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с добавлением слагаемых, отвечающих за неустойчивость и диссипацию. Показано, что в результате эволюции солитоны огибающих приходят к равновесному стационарному состоянию. Приведены оценки, свидетельствующие о возможности проявления излуча-тельной неустойчивости в океанских условиях.

12. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае — трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега — де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

13. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия; генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения; модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде. Ранее второй и четвертый механизмы не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Куркин, Андрей Александрович, 2005 год

1. Абузяров З.К. Морское волнение и его прогнозирование. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 166 с.

2. Антипов С.В., Незлин М.В., Родионов В.К., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Солитоны Россби: устойчивость, столкновения, асимметрия и генерация течениями со сдвигом скорости //ЖЭТФ. 1983. Т. 84. Вып. 4. С. 1357 1371.

3. Антипов С.В., Незлин М.В., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Солитоны Россби в лаборатории // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 1. С. 145 159.

4. Антипов С.В., Незлин М.В., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Автосолитон Россби и лабораторная модель Большого Красного пятна Юпитера // ЖЭТФ. 1985. Т. 9. Вып. 6. С. 1905-1920.

5. Атлас единой глубоководной системы европейской части РСФСР. Минренфлот РСФСР, т. 5. Река Волга, 1981. 78 с.

6. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972. 456 с.

7. Бабков В.Ф., Безрук В.М. Основы грунтоведения и механики грунтов. — М.: Высшая школа, 1986. 239 с.

8. Бенилов Е.С., Пелиновский Е.Н. К теории распространения волн в нелинейных флуктуирующих средах без дисперсии // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 1. С. 175 185.

9. Берестов А.Л. Уединенные волны Россби // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15. № 6. С. 648 654.

10. И. Берестов А.Л., Монин А.С. Уединенные волны Россби // Успехи механики. 1980. Т. 3. С. 3-34.