О некоторых задачах в теории дифференциальных включений дробного порядка в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Афанасова Мария Сергеевна

• Афанасова Мария Сергеевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Афанасова Мария Сергеевна

2.1 Задача Коши

2.2 Пример системы, описываемой уравнением дробной диффузии

3 Краевая задача для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным условием

3.1 Краевая задача

3.2 Пример: антипериодическое краевое условие

4 Краевая задача для управляемого вырожденного дифференциального включения дробного порядка

4.1 Краевая задача

4.2 Нелокальная задача Коши

4.3 Периодическая краевая задача

4.4 Пример существования оптимального периодического решения для дробной вырожденной управляемой системы диффузионного типа

5 Краевые задачи для дифференциальных включений дробного порядка с неплотно определенными операторами

5.1 Краевые задачи

5.2 Нелокальная задача Коши

5.3 Периодическая краевая задача

6 Задача управляемости для системы, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых задачах в теории дифференциальных включений дробного порядка в банаховых пространствах»

Введение

Дробный анализ восходит к именам Г. В. Лейбница и Л. Эйлера, но приобрел значительную актуальность сравнительно недавно, главным образом благодаря продемонстрированным применениям во многих областях науки и техники. В частности, он предоставляет эффективные методы для исследования различных задач, связанных с описанием систем с последействием. В настоящее время приложения дробного исчисления используют при изучении динамических процессов в пористых структурах, диффузионных переносов, а также в электрических сетях, в теории управления динамическими системами, в теории вязкоупругости, в химической физике, в оптике и других важных областях современного естествознания.

Начиная с 50-х годов ХХ века топологические методы нелинейного и многозначного анализа продемонстрировали свою высокую эффективность при исследовании различных задач теории дифференциальных включений. Развитие данной теории связано с тем, что она является удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками и других объектов, изучаемых в теории оптимального управления, в математической физике, в математической экономике и др. Многие задачи теории дифференциальных включений были решены с помощью методов нелинейного и многозначного анализа в работах Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмана, А. Д. Мышкиса, В. В. Обуховского, М. И. Каменского, А. И. Поволоцкого, Ю. Е. Гликлиха, В. Г. Звягина, В. Г. Задорожнего, А. И. Булгакова, А. В. Арутюнова, Е. С. Жуковского, Е. Л. Тонкова, А. А. Толстоногова, А. Ф. Филиппова, Л. Р. АиЬт'а, А. СеШпа, К. БетН^'а, Ь. Согшеш^'а, W. Кгу^ешвИ, N. Б. Рара§еог§юи, Р. Zecca и других.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении, указанные в ней методы применяются при изучении новых задач для различных классов дифференциальных и функционально-дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве.

Диссертация состоит из введения, шести глав, каждая из которых разбита на пункты, и заключения. Объем работы составляет 133 страницы. Библиография содержит 101 наименование.

Введем некоторые обозначения. Пусть Е - сепарабельное банахово пространство; символами К(Е) и Ку(Е) обозначаются соответственно совокупности всех непустых компактных и непустых выпуклых компактных подмножеств Е. Символами Ъ и С соответственно обозначаются пространства непрерывных функций С([-К; а]; Е) и С([-К;0]; Е), К > 0. Для х Е Ъ и I Е [0, а] определена функция хг Е С, хг(в) = х(Ь + в), в Е [-К;0].

Пусть Е - банахово пространство. Будем говорить, что многозначное отображение (мультиотображение) Е: [0,а] х Е ^ Ку (Е) является мультиотображением типа Каратеодори, если

(Е1) для всех х Е Е мультифункция Е(-,х) : [0,а] —> Ку (Е) допускает измеримое сечение;

(Е2) для почти всех £ Е [0,а] мультиотображение Е(Ь, •) : Е —> Ку (Е) полунепрерывно сверху (далее п. н. св.);

(Е3) (условие подлинейного роста) существует функция а Е Ь^([0,а]) такая, что для любого х Е Е выполнено (Ь,х)\\Е = вируЕр(¿,ж)1М1 < а(Ь)(1 + ||ж||Е) для почти всех Ь Е [0,а];

(Е4) (условие регулярности) существует функция д Е Ьто([0, а]) такая, что для любого ограниченного множества О, С Е выполнено: хе(^(1,0)) < (О) для почти всех £ Е [0,а], где х - мера некомпактности Хаусдорфа в Е, ¡3 - некоторая мера некомпактности в Е.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования и описывается краткое содержание работы.

В первой главе диссертации приводятся требуемые для дальнейшего изложения основные сведения из теории дифференциальных уравнений и включений, теории многозначных отображений, функционального анализа и теории дробного математического анализа.

Во второй главе рассматривается нелокальная задача Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с нелинейным краевым условием в Е следующего вида:

сочх(г) е Ах(г) + ^(г,х(г),хг), г е [0,а], (2.1)

х(в) + д(х)(в) = ^(в), в е [-к, 0], (2.2)

где сБ4 - дробная производная Герасимова - Капуто порядка 0 < я < 1; Е : [0,а] х Е х С ^ Ку(Е ) - мультиотображение типа Каратеодори; А : И (А) С Е ^ Е - линейный замкнутый оператор в Е, порождающий ограниченную сильно непрерывную полугруппу {Т0 ; д : Ъ ^ С - вполне непрерывное ограниченное отображение; $ е С.

Определение 2.1 Интегральным решением задачи Коши (2.1)-(2.2) на промежутке [-к, а] называется функция х е Ъ вида

х(Ъ) =

Щ - д(х)(г), г е [-к,0],

$(1) (0(0) - д(х)(0)) + - - 8)ф(з)й8, г е [0, а];

где

г 00 г 00

3(0 = & (0)Т (V 0)М, 7(г) = я (в)Т (V 0)М, Jo

&(0) = 10-1-1 Фд(е-1/1), Фд(в) = Iт::=1(-1)п-1о-чп-1Г^+1 Мпщ),е е м+, и ф(в) е Е(в, х(в), х3), в е [0,а],ф(з) - Ьто-интегрируемое сечение.

Теорема 2.1 При выполнении указанных выше условий множество решений задачи (2.1)-(2.2) на [-к, а] непусто и компактно.

В пункте 2.2 в качестве приложения рассмотрена задача оптимизации для системы, описываемой уравнением дробной диффузии следующего вида:

5 2

X(1,у) = ^2 -5-2г(1,у) + к(у,г(1,у),у(1,у)), г е [0, а}; °Ук

с

^ * (ЧУ) =

к=1

г(I, •)1дс = 0, г е [0, а],

где С С - область с гладкой границей дС, при условии, что траектория системы х(Ъ) = х(Ъ, •) е Ь2(С; К) удовлетворяет краевому условию типа (2.2), а

управление подчинено условию обратной связи с запаздыванием типа у(Ъ, •) Е и(£,ж(£),ж*), г Е [0, а].

В третьей главе изучается нелокальная краевая задача для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка 0 < д < 1 следующего вида

сВ4х(г) Е Ах(Ь) + ^(г,Хг), г Е [0,а]; (3.1)

Цх Е Бх. (3.2)

Предполагается, что Q : Ъ ^ С - линейный ограниченный оператор, а муль-тиотображение Б : Ъ ^ Ку(С) является вполне п. н. св. Обозначим через Ъ0 подпространство Ъ, состоящее из функций х, имеющих на отрезке [0,а] вид х(Ь) = 3(^(0), и обозначим сужение на Ъ0. Основное предположение заключается в том, что существует линейный ограниченный оператор Л : С ^ Ъ0 такой, что (I—QoЛ)(y—QGf) = 0 для всех х Е Ъ, у Е §(ж) и / - Ьто-интегрируемых сечений мультифункции Е(£, ж^). Рассмотрены примеры выполнения данного условия.

Для линейного оператора А предполагаются выполненными условия предыдущей главы, а Е: [0,а] х С ^ Ку (Е) - мультиотображение типа Каратеодори.

Теорема 3.1. При выполнении указанных выше, а также некоторых дополнительных условий, множество решений задачи (3.1)-(3.2) на [—Н,а] непусто и компактно.

В пункте 3.2 третьей главы в качестве примера рассматривается частный случай задачи (3.1)-(3.2) для антипериодического краевого условия вида хо ха.

Четвертая глава посвящена нелокальной краевой задаче для управляемой системы с обратной связью, описываемой вырожденным полулинейным дифференциальным включением дробного порядка 0 < д < 1 в пространстве Е.

Пусть М : И (М) С Е ^ Е - ограниченный линейный оператор, Ь : И (V) С Е ^ Е - замкнутый линейный оператор, удовлетворяющие условию

(МЬ) В (Ь) С в (М) и М (В Щ) С я (М). Обозначим Е0 = М(В(Ь)).

Рассматривается следующая управляемая система:

си9(Му (г)) е Ьу(г) + ^(г,му(г)) + Ви(г), г е [0,а], (4.1)

удовлетворяющая условию обратной связи:

и е Ф(Му), (4.2)

где Е : [0,а] х Е ^ Ку(Е) - мультиотображение типа Каратеодори, Ф : С ([0, а]; Е0) ^ К (С ([0, а]; Е')) - мультиотображение обратной связи, Е' - банахово пространство управлений и В : Е' ^ Е - ограниченный линейный оператор.

Изучается задача существования траекторий системы, удовлетворяющих следующему общему краевому условию:

□ (Му) е § (Му), (4.3)

где □ : С([0, а]; Е0) ^ Е0 - ограниченный линейный оператор, § : С([0,а]; Е0) ^ К(Е0) - вполне п. н. св. мультиоператор, являющийся квази-Я$, то есть может быть представлен как композиция мультиотображения с Я$-значениями и непрерывного однозначного отображения.

Предполагается, что многозначный линейный оператор А = ЬМудовлетворяет следующему условию Хилле - Иосиды:

(А2) существуют постоянные С > 0 и 7 е К такие, что С7 = {^ е С : Яец > 7 }С р (Л) и || Я (Х,А)п ЦцЕ) < , п = 1, 2,... ,Х е С7, где Я (Х,А) -

резольвента А

и порождает вырожденную сильно непрерывную ограниченную полугруппу. Относительно мультиотображения обратной связи Ф предполагается, что естественно определенное мультиотображение В Ф : С ([0,а]; Е0) ^ К (С ([0,а]; Е) вполне п. н. св. квази-Д^.

Данное условие выполняется, в частности, если управляющая функция и(Ъ) задается параметризованным дифференциальным включением в пространстве Е'.

Предполагается, что мультиотображение F: [0, а] х Е ^ Kv(E) удовлетворяет условиям типа Каратеодори.

Вводится и изучается многозначный оператор О в пространстве С([0,а]; Е0), неподвижные точки которого определяют решения задачи (4.1)-(4.3). Исследуются условия, при которых этот мультиоператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в данном функциональном пространстве. На этой основе доказывается общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля: если deg(i — О, П) = 0, где Q С С([0,а]; Е0) - открытое ограниченное множество, то множество интегральных решений задачи (4.1)-(4.3) непусто (Теорема 4.3). В качестве конкретного примера реализации данного принципа приводится следующая теорема:

Теорема 4.4 Если существует последовательность функций ип Е Lp+ (0; Т), п = 1, 2,... такая, что liminf -\\шп\\р = 0 и sup \\F (t,x)\\ < шп (t) для почти всех t Е

П \\х\\<п

(0; Т), а также liminf Щ^Д = liminf W^f^W = 0, то множество интегральных решений задачи (4.1)-(4.3) непусто.

В случае глобальной ограниченности мультиотображений F, S и ВФ доказано существование оптимального решения задачи (4.1)-(4.3), минимизирующего заданный полунепрерывный сверху функционал качества (Теорема 4.5).

В пунктах 4.2 и 4.3 представлены важные частные случаи изучаемой задачи: нелокальная задача Коши и периодическая краевая задача.

Пункт 4.4 посвящен приложению абстрактного результата к задаче существования оптимального периодического решения для дробной вырожденной управляемой системы диффузионного типа. Пусть R+ = {(£ь£2) : > 0}, R++ = {(£ъ£2) : > 0,^2 > 0}, m: R++ ^ R - характеристическая функция подобласти

R++.

Рассматривается система:

аD$ (m(£)v(t, С)) = (А — c)v(t, С) + ^ mv(t, С)) + Bu(t), (4.21)

i=i

9

у(г, £) = 0, (г, £) е [0, а] х Ж+, (4.22)

о Я2 л2

где (Ъ, £) е [0, а] х , Д = + щ - оператор Лапласа и с > 0.

Управление в системе характеризуется к источниками внешних воздействий, свойства которых зависят от состояния системы. Их плотности описываются функциями : х К ^ К, г = 1, ...,к, и интенсивности регулируются управлениями : [0,а] ^ К, г = 1,...,к - измеримыми функциями, удовлетворяющими условию обратной связи

V (I) = (иг(1),...,ик (I)) е W (ту (I, •)), г е [0,а],

где W - п. н. св. мультиотображение из Ь2(К++) в с выпуклыми компактными значениями.

Для данной системы рассматривается существование решения V), удовлетворяющего краевому условию периодичности т(£)у(0,^) = т(£)у(а,£), £ е и минимизирующего некоторый функционал качества.

Пятая глава посвящена рассмотрению краевой задачи для полулинейного дифференциального включения в пространстве Е дробного порядка 0 < д < 1 при условии, что линейная часть включения не является оператором, плотно определенным на Е, то есть, изучается задача существования интегральных решений включения

св9х (г) е Ах (г) + ^ (г,х (г)), г е [0, а], (5.1)

удовлетворяющих следующему общему нелокальному краевому условию:

□ (х) е § (х). (5.2)

Предполагается, что выполнены следующие условия:

(А1) А : В (А) С Е ^ Е - оператор Хилле - Иосиды, порождающий локально липшицеву интегрированную полугруппу {Т(£)}г>0;

(А2) производная полугруппа {Т'(£)}г>0 равномерно ограничена, то есть яиР£>0 \\Т'(£)|| < В для некоторого В > 0.

Мультиотображение Е : [0,а] х Е ^ Ку(Е) удовлетворяет условиям типа Каратеодори.

Определение 5.1. Интегральным решением включения (5.1) с начальным условием х(0) = х0 Е Е0 := О(А) называется функция х Е С([0,а]; Е) такая, что:

(г) - в^х^) ¿з Е И (А) для г Е [0, а];

(п) Ж(I) = ^0 + г1) А - 8У-1Х(8) ¿8 + г!) - 8Г1/(8) ¿8, где / Е (%).

В терминах отличия от нуля топологической степени поля, соответствующего многозначному интегральному оператору в, формулируется общее условие разрешимости задачи: если 4ед(ъ - в, П) = 0, то множество интегральных решений задачи (5.1)-(5.2) непусто (Теорема 5.2). Рассматривается случай конкретного применения этого общего принципа (Теорема 5.3).

В пункте 5.2 рассматривается дифференциальное включение (5.1) с краевым условием вида обобщенной задачи Коши х(0) Е х0 + &(х), где х0 Е Е0 и в : С([0,а];Е0) ^ К(Е0) - вполне п. н. св. квази-Л^-мультиоператор.

В пункте 5.3 изучается периодическая краевая задача для дифференциального включения (5.1) с краевым условием ж(0) = х(а).

Шестая глава посвящена рассмотрению задачи управляемости для системы, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка в пространстве Е следующего вида:

№(£) ЕАх(г) + Е(г,х(г),хг) +Ви(г), гЕ [0,а], (6.1)

ф) = $(«?), 5Е [-к, 0], к> 0, (6.2)

где А : О (А) С Е ^ Е - линейный замкнутый оператор, порождающий ограниченную сильно непрерывную полугруппу; Е : [0,а] х Е х С ^ Ку(Е) - муль-тиотображение типа Каратеодори; и( ) - функция управления, рассматриваемая в пространстве Ьто([0, а]; и), где и - банахово пространство управлений; В : и ^ Е - ограниченный линейный оператор и $ Е С - начальная функция.

Определение 6.1. Интегральным решением задачи (6.1)-(6.2) на интервале

[-к, а] называется функция х е Ъ, имеющая следующий вид:

Щ, г е [-к,0],

х(1) = <

5(Ш0) + - 8)9-17(г - з)ф(з)йз +

, + 1о(г - з)ч-1Т(г - з)Ви(зЦв, г е [0,а], где ф(Ъ) е Е(1,х(^),хг), £ е [0,а],ф(Ъ) - Ь^-интегрируемое сечение, и е Ь™([0,а]; и).

Задача управляемости может быть сформулирована следующим образом: для заданной начальной функции $(•) е С и заданного ух е Е рассматривается существование решения х е Ъ и управления и е ([0,а]; и) таких, что х(г) = е [-к,0] и

х(а) = ух. (6.3)

Будем полагать, что соответствующая линейная задача управляемости разрешима, точнее говоря, линейный оператор управляемости W : Ьж([0,а]; и) ^ Е вида

па

Ши = (а - з)я-17(а - з)Ви(з)ё,з 0

имеет обратный ограниченный оператор W-1 : Е ^ Ьто([0,а]; и), который удовлетворяет условию регулярности:

(W) Существует функция 7 е Ьто([0, а]) такая, что для каждого ограниченного множества О С Е выполнено: хи -1(О)(^ < 7(Ъ)хе(О) для почти всех Ь е [0,а].

При этих условиях строится многозначный интегральный оператор, неподвижные точки которого порождают решения задачи управляемости (6.1) - (6.3). Изучаются свойства этого оператора и, в частности, приводятся условия, при которых этот оператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в функциональном пространстве. Это позволяет сформулировать общий принцип разрешимости задачи управляемости в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего уплотняющего многозначного векторного поля (Теорема 6.1). Приведен ряд конкретных реализаций этого общего принципа (Теорема 6.2) и (Теорема 6.3).

В заключении приводятся основные выводы и положения работы, выносимые на защиту, указываются перспективы исследования.

Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что с помощью методов нелинейного функционального анализа получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве с нелинейным краевым условием. В качестве примера рассмотрена задача оптимизации для системы, описываемой уравнением дробной диффузии.

2. Для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве исследована разрешимость и компактность множества решений общей нелокальной краевой задачи, описываемой линейным оператором и нелинейным многозначным оператором. В качестве примера рассмотрена разрешимость и компактность множества решений для задачи с антипериодическим краевым условием.

3. Исследована разрешимость общей нелокальной краевой задачи для управляемого вырожденного дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве; приведены условия существования оптимальной траектории системы и рассмотрены некоторые частные случаи. Рассмотрен пример существования оптимального периодического решения для дробной вырожденной управляемой системы диффузионного типа.

4. Сформулирована и доказана теорема о существовании решения общей нелокальной краевой задачи для дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве с неплотно определенными операторами типа Хилле -Иосиды. В качестве примера исследованы нелокальная задача Коши и периодическая краевая задача для дифференциальных включений дробного порядка с неплотно определенными операторами.

5. Изучена задача управляемости для системы, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка в банаховом

пространстве; сформулирован общий принцип разрешимости данной задачи и приведен ряд его конкретных реализаций.

Результаты диссертационной работы были представлены на международной открытой конференции «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях» (Воронеж, 2014 г.); на международных молодежных симпозиумах «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения» (Воронеж, 2014, 2015, 2017 гг.); на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2015, 2018 гг.); на международных научно-методических конференциях кафедры высшей математики Воронежского государственного педагогического университета (Воронеж, 2015, 2016 гг.); на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 2016 г.); на молодежной международной научной конференции «Методы современного математического анализа и геометрии и их приложения» (Воронеж, 2016 г.); на международной конференции «XXVIII Крымская осенняя математическая школа - симпозиум по спектральным эволюционным задачам» (Республика Крым, Батилиман,

2017 г.); на международных молодежных научных школах «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы» (Воронеж, 2017, 2018 гг.); на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2019 г.).

Исследования, включенные в диссертацию, поддержаны грантами Минобрнау-ки России № 1.3464.2017/4.6 и M4.Z50.31.0037.

Результаты диссертации опубликованы в работах [84] - [101]. Работы [84] -[89] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства науки и высшего образования РФ.

Основные обозначения

Символами X, У будем обозначать метрические пространства.

Пусть 2 - подмножество нормированного пространства Е. Обозначим тогда:

Р ^) - совокупность всех непустых подмножеств в 2;

К ^) - совокупность всех непустых компактных подмножеств в 2;

Су^) - совокупность всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в 2;

Ку^) - совокупность непустых выпуклых компактных подмножеств в 2.

Е* - пространство, двойственное к Е.

Буквами А, В, М, Ь будем обозначать линейные операторы. В ( А) - область определения оператора А; 1тА - область значения оператора А; КегА - ядро оператора А;

А-1 - оператор (однозначный или многозначный) обратный к оператору А. Символами Е, Ф,С будем обозначать многозначные отображения. Г_р - график многозначного отображения.

Аббревиатуры «п. н. св.», «п. в.» и «МЛО» обозначают «полунепрервное сверху», «почти всюду» и «многозначный линейный оператор» соответственно.

1 Предварительные сведения

1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа

Пусть X - метрическое пространство с метрикой рх.

Определение 1.1. Множество и С X называется относительно компактным, если любая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлежат и, то множество называется компактным.

Определение 1.2. Множество А С X называется е-сетью (е > 0) для множества и С X, если для любой точки х Е и найдется хотя бы одна точка а Е А, такая, что рх(х,а) < е.

Определение 1.3. Множество и С X называется выпуклым, если оно содержит, наряду с любыми двумя точками х,у Е и, их линейную комбинацию Хх + (1 — Х)у при любом X Е (0,1).

Множество со и всевозможных конечных линейных комбинаций £где XI ^ 0, £™=1 XI = 1 и каждое принадлежит и, является наименьшим выпуклым множеством, содержащим и и называется выпуклой оболочкой множества и.

Множество со и = со и называется выпуклым замыканием множества и.

Лемма 1.1. Лемма Мазура (см. [2], стр. 84). Пусть {хп- последовательность элементов нормированного пространства, слабо сходящаяся к х. Тогда

1 г д 00 00

найдется двойная последовательность неотрицательных чисел {Хц~}{=1 к=1 та-

кая, что:

\СО

(а) £=» Xik = 1 для всех г = 1, 2,...;

(б) для каждого г = 1, 2,... найдется номер к0 = к0(г) такой, что Хц~ = 0 для всех к > ко;

(в) последовательность выпуклых комбинаций

то

1 , х{ ^ ^ Х1кхк

к=г

сходится к х по норме.

Определение 1.4. Точка х Е X называется неподвижной точкой отображения f : X ^ X, если х = f (х).

Множество всех неподвижных точек отображения f обозначается Fix f. Пусть E - банахово пространство.

Определение 1.5. (см. [4], стр. 237). Отображение g : X ^ E называется компактным, если оно каждое ограниченное подмножество X переводит в относительно компактное подмножество E.

Определение 1.6. (см. [4], стр. 486). Отображение f : X ^ E называется ограниченным, если для всякого ограниченного множества М С X множество f (М) ограничено в E.

Лемма 1.2. (см. [14], Теорема 38). Пусть I - компактное множество на числовой прямой R. Если последовательность функций {fn} С LP(I; E) сходится по норме пространства LP(I, E) к функции f, то существует последовательность {fni} , которая будет сходится к f почти всюду на I.

Пусть К - компакт, С (К, E) - пространство непрерывных функций f : К ^ E с метрикой р.

Определение 1.7. Семейство М функций f Е С (К, E) называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная с, что \f (х)\ < с для всех f Е М при любом х Е К.

Определение 1.8. Семейство М функций f Е С (К, E) называется равностепенно непрерывным, если для любого е > 0 существует 5 > 0, зависящее от е, такое, что для всех f Е М соотношение \f (х) — f (у)\ < е справедливо при р(х,у) < 5.

Теорема 1.1. Теорема Арцела - Асколи (см. [2]). Для того чтобы семейство непрерывных функций М С С (К, E) было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равностепенно непрерывным и множество М(х) := {f (x)\f Е М} было относительно компактно в E для любого х Е К .

Нам понадобятся следующие утверждения, представляющие собой варианты лемм Гронуолла и Беллмана - Гронуолла.

Лемма 1.3. (см. [44]). Пусть и, ад : [0, а] ^ [0, непрерывные функции, причем ы( ) неубывающая, и имеются константы Ъ и 0 < ^ < 1 такие, что выполнено:

и(Ъ) <-ы(1) + Ь ( , и(в\ (1в,

< Л (* — Ф

тогда существует константа д = (7(7) такая, что для любого Ь Е [0,а] выполняется:

/ ч 7 ^

и(г) <и() + Ь(1 у — £ (1з.

Лемма 1.4. (см. [74]). Пусть к(Ь), д(£) и у(Ь) - неотрицательные, интегрируемые на [ а, ] функции, удовлетворяющие неравенству:

у(г) < ?(*)+/ к8)у(,з)(18, 1Е [ а, Ь],

о а

тогда выполняется следующее неравенство:

< q(t) + J ехр|У к(0)(Ю| Н(.^ф)^, гЕ [а, Ь].

Определение 1.9. (см. [1], стр. 15) Пусть (А, >) - некоторое частично упорядоченное множество. Функция [5 : Р(Е) ^ А называется мерой некомпактности (МНК) в Е, если для любого П Е Р(Е) выполняется:

[ (ебП) = [ (П),

где ебП обозначает замыкание выпуклой оболочки П.

Мера некомпактности [ называется:

1) Монотонной, если для любых П0, П Е Р(Е), из П0 С П следует, что 5(По) < 5(П1).

2) Несингулярной, если для любого а Е Е и любого П Е Р(Е) выполнено [5({а}и П) = [ (П).

3) Инвариантной относительно добавления компактного множества, если для любого компактного множества К С Е и любого О е Р(Е), Р({К}иО) = Р(О).

Если А - конус в банаховом пространстве, то ¡3 называется:

4) Алгебраически полуаддитивной, если для любых О0, Ох е Р(Е),

Р(Оо + Ох) < Р(Оо) + Р(Ох).

5) Правильной, если для любого относительно компактного множества О е Р(Е), Р(О) = 0.

6) Вещественной, если А - множество вещественных чисел К с естественным упорядочением.

Примером вещественной меры некомпактности, обладающей всеми выше перечисленными свойствами, является мера некомпактности Хаусдорфа х(О):

х(О) = т£{е > 0, при которых О имеет конечную £-сеть в Е }.

Отметим, что мера некомпактности Хаусдорфа удовлетворяет условию полуоднородности, то есть:

х(ХО) = |А|х(О), для любого Л е К и любого О е Р(Е).

Лемма 1.5. Пусть Ь : Е ^ Е - ограниченный линейный оператор, тогда х~ норма Ь определяется как

ЩЫ = х(Ь(В)), где В С Е - единичный шар Е, нетрудно видеть, что

Определение 1.10. (см. [12], стр. 41). Дробной первообразной порядка а е (0,1) от функции д е Ь1([0,а]; Е) называется функция 10}д следующего вида:

1 Г1

1о9® = ГГ) & - 8)а~1д(8) ¿8,

ГИ Л

где Г - гамма-функция Эйлера

Г(а) = ха-1е-х(1х.

Л

Определение 1.11. (см. [12], стр. 43). Дробной производной Римана-Лиувилля порядка а е (0,1) от функции д е Ь1([0,а];Е) называется функция И^д следующего вида:

1 й Г*

Определение 1.12. (см. [73], стр. 79). Дробной производной Герасимова - Ка-путо порядка а е ^ - 1,^] от функции д е См([0,а];Е) называется функция следующего вида:

1 Г*

Для определенных выше дробной первообразной и дробной производной имеют место следующие соотношения:

и(г) = и(г), М -1и(п)(а)

(п

ча) = и(г) - £ ^-р-(г - а)п

п=0 П-

1.2 Обозначения и некоторые сведения из многозначного анализа

Приведем необходимые сведения из многозначного анализа (детали могут быть найдены в [2], [49]).

Пусть X, У - произвольные множества.

Определение 1.13. Многозначным отображением (мультиотображением) С множества X в множество У называется соответствие, которое сопоставляет каждой точке х Е X непустое подмножество С(х) С У, называемое образом х. Это соответствие записывается в виде С : X ^ Р(У) или С : X ^ У.

Класс мультиотображений включает в себя и обычные однозначные отображения; для них каждый образ состоит из единственной точки. Всюду в дальнейшем многозначные отображения обозначаются прописными буквами, а однозначные -строчными.

Определение 1.14. Образом множества А С X при мультиотображении С называется множество С (А) = и^^С(^).

Определение 1.15. Множество Г с в декартовом произведении X х У :

Гс = {(х, у)1(х, у) Е X хУ, у Е С(х)} называется графиком мультиотображения С.

Определение 1.16. Малым прообразом множества И С У называется множество

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Афанасова Мария Сергеевна, 2020 год

Список литературы

[1] Ахмеров Р. Р. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Р. Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапов, А. Е. Родкина, Б. Н. Садовский.

- Новосибирск : Наука, 1986. - 266 с.

[2] Борисович Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. - Москва : Книжный дом «Либроком», 2011. - 224 с.

[3] Борисович Ю. Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мыш-кис, В. В. Обуховский // Успехи мат. наук. - 1980. - Т. 35, № 1. - С. 59-126.

[4] Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - Москва : Наука, 1976. - 544 с.

[5] Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. - Москва : Физматгиз, 1963. - 248 с.

[6] Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.

A. Красносельский, П. П. Забрейко. - Москва : Наука, 1975. - 322 с.

[7] Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. - Москва : Наука, 1966. - 499 с.

[8] Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М. А. Красносельский. - Москва : Гостехиздат, 1956.

- 392 с.

[9] Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник,

B. И. Соболев. - Москва : Наука, 1965. - 520 с.

[10] Обуховский В. В. О некоторых принципах неподвижной точки для многозначных уплотняющих операторов / В. В. Обуховский // Тр. мат. фак. Воронеж. ун-та. - Воронеж. - 1971. - Вып. 4. - С. 70-79.

[11] Петросян Г. Г. Об одной теореме о слабой замкнутости суперпозиционного мультиоператора / Г. Г. Петросян // Вестник Тамбовского университета. Серия: "Естественные и технические науки". - 2015. - Т. 20, Вып. 5. - С. 1355-1358.

[12] Самко С. Г. Интегралы и прозводные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. - Минск : Наука и техника, 1987. - 688 с.

[13] Функциональный анализ / под редакцией С. Г. Крейна. - Москва : Наука, 1972. - 544 с.

[14] Шварц Л. Анализ. В 2 томах. Том 1./ Л. Шварц. - Москва : Мир, 1972. -826 с.

[15] Abbas S. Topics in Fractional Differential Equations / S. Abbas, M. Benchohra and G. M. N'Guerekata. - New York : Developments in Mathematics Springer, 2012. - 396 p.

[16] Adimy M. Existence for a class of partial functional differential equations with infinite delay / M.Adimy, H.Bouzahir, K. Ezzinbi // Nonlinear Analysis. - 2001. - Ser. A, № 1. - P.91-112.

[17] Agarwal R. P. A survey on fuzzy fractional differential and optimal control nonlocal evolution equations / R. P. Agarwal, D. Baleanu, J. J. Nieto, D. F. M. Torres, Y. J. Zhou // Comput. Appl. Math,2018. - P. 3-29.

[18] Ahmad B. A coupled system of Caputo-type sequential fractional differential equations with coupled (periodic/anti-periodic type) boundary conditions /

B.Ahmad, J.J.Nieto, A.Alsaedi, M.H. Aqlan // Mediterr. J. Math. - 2017. -P. 1-15.

[19] Anh C. T. On nonlocal problems for retarded fractional differential equations in Banach spaces / C. T. Anh, T. D.Ke // Fixed Point Theory. - 2014. - Vol. 15, №2. - P. 373-392.

[20] Arendt W. Resolvent positive operators / W. Arendt // Proc. London Math. Soc. - 1987. - 54,№ 2. - P. 321-349.

[21] Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems / W.Arendt // Israel J. Math. - 1987. - 59, № 3. - P. 327-352.

[22] Arendt W. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems: monographs in Mathematics / W. Arendt, C. J. K. Batty, M. Hieber, F. Neubrander. - Birkhauser Verlag: Basel, 2001. - 96 p.

[23] Arutyunov A.V. Convex and Set-Valued Analysis:monographs / A. V. Arutyunov, V. V. Obukhovskii. - Berlin: De Gruyter, 2016. - 210 p.

[24] Balachandran K. Controllability of Nonlinear Systems in Banach Spaces: a Survey / K. Balachandran, J. P. Dauer // J. Optim. Theory Appl. - 2002. - P. 7-28.

[25] Baleanu D. Baleanu D. Fractional Calculus Models and Numerical Methods / D. Baleanu, K. Diethelm, E. Scalas, J. J. Trujillo. - World Scientific Publishing: New York. - 2012. - 400 p.

[26] Baskakov A. Multivalued linear operators and differential inclusions in Banach spaces / A.Baskakov, V.Obukhovskii, P.Zecca // Discuss. Math. Differ. Incl. Control Optim. - 2003, 23. - P. 53-74.

[27] Baskakov A. On solutions of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obukhovskii, P.Zecca // Math. Anal. - 2006. -Vol.324, № 2. - P. 1310-1323.

[28] Benchohra M. Controllability Results for Semilinear Evolution Inclusions with Nonlocal Conditions / M. Benchohra, E. Gatsori, S. Ntouyas // Journal of Optim. Theory and Applic. - Vol. 118, № 3. - 2003. - P. 493-513.

[29] Benchohra M. Impulsive Differential Equations and Inclusions / M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas // Contemporary Mathematics and Its Applications, 2, Hindawi Publishing Corporation: New York, 2006. - 370 p.

[30] Benedetti I. Controllability for Impulsive Semilinear Functional Differential Inclusions with a Non-compact Evolution Operator / I. Benedetti, V. Obukhovskii, P. Zecca // Discussiones Mathematicae, Differential Inclusions, Control and Optimization. - 2011. - P. 39-69.

[31] Benedetti I. On noncompact fractional order differential inclusions with generalized boundary condition and impulses in a Banach space / I. Benedetti, V. Obukhovskii, V. Taddei // Function Spaces. - 2015. - P.1-10.

[32] Cardinali T. Nonlocal Cauchy Problems and Their Controllability for Semilinear Differential Inclusions with Lower Scorza-Dragoni Nonlinearities / T. Cardinali, F. Portigiani // Czechoslovak Mathematical Journal/ - Vol. 61, № 136.

- 2011. - P. 225-245.

[33] Cross R. Multivalued Linear Operators: monographs and textbooks in Pure and Applied Mathematics / R. Cross.-New York: Marcel Dekker,1998. - 352 p.

[34] Da Prato G. Differential operators with nondense domain / G.Da Prato, E. Sinestrari // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. - 1988. - Vol.14, № 2. -P.285-344.

[35] Diestel J. Weak Compactness in L1(p,X) / J. Diestel, W.M. Ruess, W. Schachermayer // Proc. Amer. Math. Soc. 118. - 1993. - P. 447-453.

[36] Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations / K. Diethelm.

- Springer-Verlag, Berlin, 2010. - 252 p.

[37] Ding Z. Nonresonance problems for differential inclusions in separable Banach spaces / Z.Ding, A.G. Kartsatos // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - Vol. 124, № 8. - P. 2357-2365.

[38] Engel K.-J. A Short Course on Operator Semigroups / K.-J. Engel, R. Nagel.

- Berlin: Springer , 2006. - 250 p.

[39] Engel K.-J. A Short Course on Operator Semigroups / K.-J. Engel, R. Nagel.

- New York: Springer, 2006. - 247 p.

[40] Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics / A. Favini, A. Yagi. - New York: Marcel Dekker, 1999. - 316 p.

[41] Gorniewicz, L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings: monographs /L. Gorniewicz.- Dordrecht: Springer, 2006. - 553 p.

[42] Hale J. K. Phase Space for Retarded Equations with Infinite Delay / J. K. Hale, J. Kato // Funkcial. Ekvac. - Vol.21, № 1. - 1978. - P. 11-41.

[43] Hanyga A. Multidimensional solutions of space-fractional diffusion equations / A. Hanyga // R.Soc.Lond. Proc.Ser, A Math Phys.Eng.Sci. - 2001. - Vol. 457. -P.2993-3005.

[44] Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations / D. Henry // Lecture Notes in Math., 840,Berlin - New York: Springer-Verlag, 1981. - 348 p.

[45] Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics / R. Hilfer.- World Scientific, Singapore, 2000. - 429 p.

[46] Hino Y. Functional Differential Equations with Infiniti Delay / Y. Hino, S. Murakami, T. Naito.- Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1473, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1991. - 329 p.

[47] Hyman D. H. On decreasing sequences of compact absolute retracts / D. H. Hyman // Fund Math. - 1969. - №64. - P. 91-97.

[48] Kamenskii M. On Some Topological Methods in Theory of Neutral Type Operator Differential Inclusions with Applications to Control Systems / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, J.-C. Yao // Discuss. Math. Differ. Incl. Control Optim. - 2013. - Vol. 33. - P. 193-204.

[49] Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M.Kamenskii, V.Obukhovskii, P.Zecca. - Berlin -New York:De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 2001. - 239 p.

[50] Kamenskii M.Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space / M.Kamenskii, V.Obukhovskii, G.Petrosyan, J.-C. Yao // Applicable Analysis. - 2017. - Vol.97,№ 4. - P. 571-591.

[51] Kamenskii M. On semilinear fractional order differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, G. Petrosyan, J.-C.Yao // Fixed Point Theory. - 2017. - Vol.18, №1. - P. 269-291.

[52] Ke T. D. On a class of fractional order differential inclusions with infinite delays./ T. D. Ke, V. Obukhovskii, N.-C. Wong, J.-C. Yao // Applicable Analysis.

- 2013. - Vol. 92, № 1. - P. 115-137.

[53] Kellerman H. Integrated semigroups / H. Kellerman, M. Hieber // Functional Analysis. - 1989. -Vol. 84, № 1. - P. 160-180.

[54] Kilbas A. A. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J.J. Trujillo. - North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier Science B. V., Amsterdam, 2006.- 540 p.

[55] Kravvaritis D. A boundary value problem for a class of evolution inclusions / D. Kravvaritis, N.S. Papageorgiou //San. Paul: Comment. Math. Univ. - 1991.

- Vol.40. - P. 29-37.

[56] Lakshmikantham V. Basic Theory of Fractional Differential Equations / V. Lakshmikantham, A. S. Vatsala // Nonlinear Analysis. - Vol. 69, № 8. - 2008. -P. 2677-2682.

[57] Lakshmikantham V. Theory of Fractional Functional Differential Equations / V. Lakshmikantham // Nonlinear Analysis. - Vol. 69, № 10. - 2008. - P. 33373343.

[58] Lakshmikantham V. Theory of Impulsive Differential Equations / V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P.S. Simeonov. - Series in Modern Applied Mathematics, 6, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1989. - 273 p.

[59] Mainardi F. On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation / F.Mainardi, S. Rionero, T. Ruggeri // Waves and Stability in Continuous Media, World Scientific. Singapore. - 1994. - P. 246-251.

[60] Marino G. Nonlinear boundary value problems for multivalued differential equations in Banach spaces. Nonlinear Analysis. - 1990. - 14. - P. 545-558.

[61] Mel'nikova I. V. Integrated semigroups and C-semigroups. Well-posedness and regularization of operator-differential problems / I. V. Mel'nikova, A. I. Filinkov // Uspekhi Mat. Nauk. - 1994. - Vol. 49, № 6. -P. 111-150.

[62] Miller K. S. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations / K. S. Miller, B. Ross. - John Wiley, Inc., New York. - 1993. - 384 p.

[63] Neubrander F. Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem / F. Neubrander // Pacific J. Math. - 1988. - Vol. 135. - P. 111-155.

[64] Nigmatullin R. R.The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry / R. R. Nigmatullin // Phys. Sta. Sol. - 1986. -Vol. 133. - P. 425-430.

[65] Obukhovskii V. Controllability for Systems Gaverned by Semilinear Differential Inclusions in a Banach Space with a Non-compact Semigroup / V. Obukhovskii, P. Zecca // Nonlinear Analysis, 70. - 2009. - P. 3424-3436.

[66] Obukhovskii V. Some Existence Results for Fractional Functional Differential Equations / V. Obukhovskii, J.-C. Yao // Fixed Point Theory, 11, No.1. - 2010.

- P. 85-96.

[67] Obukhovskii V. On semilinear differential inclusions in Banach spaces with nondensely defined operators / V. Obukhovskii, P. Zecca // Fixed Point Theory.

- 2011. - Vol.9, № 1. - P. 85-100.

[68] Obukhovskii V. On boundary value problems for degenerate differential inclusions in Banach spaces/ V. Obukhovskii, P. Zecca // Abstract and Application Analysis. - 2003. - Vol.13. - P. 769-784.

[69] Obukhovskii V. V. Semilinear functional-differential inclusions in a Banach space and controlled parabolic systems / V. V. Obukhovskii // Automat. Inform. Sci. - 1991. - Vol. 24. - P. 71-79.

[70] Papageorgiou N. S. Boundary value problems and periodic solutions for semilinear evolution inclusions / N. S. Papageorgiou // Comment. Math. Univ. Carolin. - 1994. - Vol.35. - P. 325-336.

[71] Papageorgiou N. S. Boundary value problems for evolution inclusions/ Papageorgiou N. S. // Comment. Math. Univ. Carolin. - 1988. - Vol. 29. - P. 355-363.

[72] Perestyuk N. A. Differential Equations with Impulse Effects / N. A. Perestyuk, V. A. Plotnikov, A. M. Samoilenko, N. A. Skripnik. - Multivalued Right-Hand

Sides With Discontinuities. de Gruyter Studies in Mathematics, 40. Walter de Gruyter Co., Berlin, 2011. - 307 p.

[73] Podlubny I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. - Academic Press, San Diego, 1999. - 340 p.

[74] Qin Y. Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systems and Their Attractors / Y. Qin.- Operator Theory: Advances and Applications, 184. Advances in Partial Differential Equations (Basel). Birkhauser Verlag, Basel, 2008. - 480 p.

[75] Showalter R. E. Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations:Math. Surveys and Monographs / R. E. Showalter, 1997. - 283 p.

[76] Tarasov V. E. Fractional Dynamics. Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media / V. E. Tarasov. - Nonlinear Physical Science, Springer, Heidelberg; Higher Education Press, Beijing, 2010. - 504 p.

[77] Thieme H. R. Integrated semigroups and integrated solutions to abstract Cauchy problems / H. R. Thieme //J. Math. Anal. Appl. - 1990. - Vol. 152,№ 2. - P. 416-447.

[78] Titchmarsh E. C. Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations / E. C. Titchmarsh. - Oxford at the Clarendon Press, 1958. -212 p.

[79] Zecca P. Nonlinear boundary value problems in Banach space for multivalue differential equations on noncompact intervals / P.Zecca, P.L. Zezza // Nonlinear Analysis. - 1979. - vol.3. - P.347-352.

[80] Zhang Z. Existence results on nondensely defined fractional evolution differential inclusions / Z.Zhang, B.Liu // J. Appl. Math. - 2012. - P.1-19.

[81] Zhang Z. Existence of mild solutions for fractional evolution equations / Z. Zhang, B. Liu // Fixed Point Theory. - 2014. - vol.15, № 1. - P.325-334.

[82] Zhou Y. Fractional Evolution Equations and Inclusions: Analysis and Contro / Y. Zhou. - London : Elsevier Academic Press, 2016. - 257 p.

[83] Zhou Y. Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations / Y. Zhou, F. Jiao // Comput. Math. Appl. - 2010. - Vol. 59, № 3. - P. 1063-1077.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

[84] Афанасова М. С. О некоторых свойствах интегрального оператора типа Коши / М. С. Афанасова // Вестник Тамбовского университета. Серия: «Естественные и технические науки». - 2015. — Т. 20, Вып.5. - С. 1021-1023.

[85] Афанасова М. С. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка с нелинейным граничным условием / Г. Г. Петросян,

М. С. Афанасова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: «Физика. Математика». — 2017. — Вып. 1. — С. 135-151.

[86] Афанасова М. С. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным условием в банаховом пространстве / М. С. Афанасова // Вестник Тамбовского университета. Серия: «Естественные и технические науки». - 2018. - Т. 23, №122. - С. 180-186.

[87] Afanasova M. S. On some boundary value problems for fractional feedback control systems / V. V. Obukhovskii, P. Zecca, M. S. Afanasova // Differential Equations and Dynamical Systems. — 2018. —- Vol.12. - P.1-24.

[88] Афанасова М. С. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным условием в банаховом пространстве / М. С. Афанасова, Г. Г. Петросян // Известия высших учебных заведений. Серия: «Математика». — 2019. №9. — С.3-15.

[89] Afanasova M. S On controllability for a system governed by a fractional-order semilinear functional differential inclusion in a banach space / M. S. Afanasova,

Y.-C. Liou, V. V. Obukhovskii , G. G. Petrosyan // Nonlinear and Convex Analysis. — 2019. — Vol. 20, №9. — P. 1919-1935.

Прочие публикации

[90] Афанасова М. С. О некоторых теоремах существования для функционально-дифференциальных включений / М. С. Афанасова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования : материалы международной научно-методической конференции студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики / Воронежский государственный педагогический университет. — Воронеж, 2014. — С. 5-7.

[91] Афанасова М. С. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве / М. С. Афанасова // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика : материалы международной заочной научно-практической конференции / Воронежская государственная лесотехническая академия. — Воронеж, 2014. — С. 17-19.

[92] Афанасова М. С. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения с запаздыванием / М. С. Афанасова // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика : материалы международной заочной научно-практической конференции / Воронежская государственная лесотехническая академия. — Воронеж, 2014. - С. 441-444.

[93] Афанасова М. С. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения с запаздыванием /М. С. Афанасова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования: материалы международной научно-методической конференции студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики / Воронежский государственный педагогический университет. -- Воронеж, 2015. - С. 16-18.

[94] Афанасова М. С. Об уплотняющем мультиотображении для дифференциального включения дробного порядка / М. С. Афанасова // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: материалы международной заочной научно-практической конференции / Воронежская государственная лесотехническая академия. -- Воронеж, 2015. - С. 13-15.

[95] Афанасова М. С. Об управляемости системой, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка / М. С. Афанасова, Г. Г. Петросян // Теория управления и математическое моделирование : тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование» / Удмуртский государственный университет. -- Ижевск, 2015. — С. 111-113.

[96] Афанасова М. С. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка, заданного в неявном виде / М. С. Афанасова, Г. Г. Пет-росян // Современные методы теории краевых задач : материалы международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтря-гинские чтения -- XXVII / Воронежский государственный университет. — Воронеж, 2016. -- С. 208-209.

[97] Афанасова М. С. Изучение систем управления с последствием: дополнительные материалы к курсу теории дифференциальных включений / М. С. Афанасова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования : материалы международной научно-методической конференции студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики / Воронежский государственный педагогический университет. -Воронеж, 2016. - С. 19-20.

[98] Афанасова М. С. Краевая задача для функционально-дифференциальных включений дробного порядка с конечным запаздыванием / М. С. Афанасова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования : материалы международной научно-методической конференции

студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики / Воронежский государственный педагогический университет. — Воронеж, 2016. - С. 34-36.

[99] Афанасова М. С. О некоторых свойствах дифференциальных включений первого и дробного порядков. / М. С. Афанасова // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика : материалы международной заочной научно-практической конференции / Воронежская государственная лесотехническая академия. -- Воронеж, 2017. - № 7, ч. 1. - С. 15-20.

[100] Афанасова М. С. Об одной краевой задаче для функционально-дифференциального включения дробного порядка с конечным запаздыванием / М. С. Афанасова // Сборник материалов международной конференции «XXVIII Крымская осенняя математическая школа - симпозиум по спектральным эволюционным задачам», Секция 1. - Симферополь, 2017. — С. 55-57.

[101] Afanasova M. S. On boundary value problems for fractional-order differential inclusions with Hille-Yosida operators / V. V. Obukhovskii, P. Zecca, M. S. Afanasova // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования: материалы международной научно-методической конференции студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики / Воронежский государственный педагогический университет. — Воронеж, 2018. - С. 16-17.