Об аттракторах волнового уравнения, связанного с нелинейными осцилляторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Егоров, Юрий Евгеньевич

• Егоров, Юрий Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егоров, Юрий Евгеньевич

Введение

1 Взаимодействие струны с одним осциллятором.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором ненулевой массы.

1.3 Разрешимость задачи Коши для струны с осциллятором нулевой массы.

1.4 Точечный аттрактор.

1.5 Достаточное условие сходимости каждой траектории к точке.

1.6 Необходимое условие сходимости каждой траектории к точке.

2 Взаимодействие струны с двумя осцилляторами.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Разрешимость задачи Коши. Свойства траекторий системы (2.1), (2.2).

2.3 Оценки функций yi(t). Локальная стабилизация осцилляторов.

2.4 Стационарные решения. Сходимость траекторий к множеству стационарных точек.

2.5 Сходимость траекторий к стационарным точкам.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об аттракторах волнового уравнения, связанного с нелинейными осцилляторами»

Работа посвящена развитию теории аттракторов бесконечномерных гамильтоновых систем. Впервые теория аттракторов для бесконечномерных динамических систем возникла в рамках теории диссипа-тивных уравнений в частных производных: нелинейных параболических уравнений типа реакции-диффузии, системы Навье-Стокса и волновых уравнений с трением. Существование и свойства аттрактора для таких систем были подробно изучены в работах Р. Темама [13], А.В. Бабина и М.И. Вишика [1] и других работах. Для недиссипа-тивных волновых уравнений первые результаты по долговременной асимптотике были получены в линейной и нелинейной теории рассеяния. П. Лаке, Р. Филлипс [6], С. Моравец, В. Штраусе [12, 11] и другие доказали убывание локальной энергии при соответствующих условиях (выпуклость границы, неловушечность и т.д.). Эти результаты означают сходимость всех решений конечной энергии к нулевому решению в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Иными словами, аттрактор этих систем состоит только из одной точки 0 фазового пространства.

Для уравнений без диссипации существование нетривиальных аттракторов впервые было обнаружено в работах А.И. Комеча [3] - [5] для нелинейных систем Ламба. По-видимому, уравнения, рассмотренные в этих работах, появились в статье Г. Ламба [10] при изучении следующей механической системы. Бесконечная струна с постоянной линейной плотностью fj, и натяжением Т соединена с материальной точкой (осциллятором) массы m (рис. 1). На осциллятор действует сила F(y), перпендикулярная струне. Здесь у обозначает смещение осциллятора. Колебания струны происходят в одной плоскости, которой параллельна сила F{y). Т рис. 1

Малые колебания системы струна-осциллятор математически описываются двумя уравнениями: волновым уравнением для струны и уравнением Ньютона для осциллятора. В своей работе Г. Ламб рассмотрел линейный закон Гука F(y) = —ку. В этом случае всякое решение, обладающее конечной энергией, на каждом ограниченном интервале сходится равномерно к нулевому решению, которое является единственным равновесным состоянием системы.

А.И. Комеч [3,4] исследовал долговременную асимптотику решений системы Ламба для общей нелинейной функции F(y), а также системы типа Ламба для произвольного конечного числа осцилляторов нулевой массы [8, 9] (рис 2). Эти системы являются гамильтоновыми, поэтому сходимости решений к стационарным состояниям в энергетической норме всего пространства нет. Соответственно, сходимость рассматривается в более слабой топологии локальных энергетических полунорм. Роль трения здесь играет излучение энергии в бесконечность. А.И. Ко-мечем при достаточно общих предположениях относительно силовых полей Fi установлена сходимость всех решений, обладающих конечной энергией, к множеству стационарных состояний относительно локальных энергетических полунорм. При этом множество стационарных решений может быть бесконечным (и даже континуальным).

Способ исследования системы Ламба для одного осциллятора, предложенный А.И. Комечем, заключается в следующем. Разложение решения в сумму двух волн по методу Даламбера позволяет получить приведенное уравнение осциллятора. Существенным здесь является и

F, рис. 2 то, что "приходящие" к осциллятору волны явно выражаются через начальные данные. Из исследования уравнения осциллятора вытекает конечность интеграла рассеяния /0+°° У2(т) dr, что является основным аналитическим средством для доказательства сходимости решений к стационарным состояниям.

В упомянутых работах в основном расматривались осцилляторы нулевой массы со скалярными значениями. Система Ламба для конечномерных осцилляторов размерности d > 1 ранее не изучалась. В настоящей диссертации дано обобщение и развитие результатов А.И. Ко-меча на нелинейные осцилляторы с ненулевой массой и векторными значениями произвольной конечной размерности.

В Главе I диссертации рассмотрено взаимодействие струны с одним многомерным нелинейным осциллятором размерности d > 1. Математической моделью такого взаимодействия является система дифференциальных уравнений дии{х, t) = Тдххи(х, t), (х, t)e(R\ {0}) х R, (0.1) my(t) = F(y(t)) + Т[дхи(0+, t) - дхи(0-, t)]. (0.2)

Решения системы (0.1), (0.2) ищутся в классе непрерывных функций и{х, t), обладающих первыми (обобщенными) производными по а; и t класса L/2oc(M2). Множество таких решений обозначается £. Предполагается, что начальные данные обладают конечной энергией, т.е. dxu(',0),dtu(-,0) G 1/г(М). Силовое поле F предполагается потенциальным: F(y) = -VV(у), V(-) € C2(Rrf; R), причем потенциал V(y) ограничен снизу.

При наложенных выше ограничениях доказаны существование и единственность решения системы (0.1), (0.2) класса £. Кроме того, выполняется закон сохранения энергии оо

W) ^ / fiv2(x,t) ^ Г(ЭХМ))21 -—--1--—dx + V(y(t)) + = const

-оо здесь и далее v{x, i) = dtu(x,t) — скорость точек струны). Асимптотическое поведение решений исследуется при дополнительном ограничении: V{y) —>• оо при \у\ оо. При сделанных предположениях у рассматриваемой системы есть стационарные решения, которые соответствуют критическим точкам функции V. Из закона сохранения энергии следует, что в глобальной энергетической норме сходимость решений к стационарным решениям, вообще говоря, отсутствует. В фазовом пространстве вводится топология сходимости относительно локальных энергетических полунорм. Доказана сходимость всех траекторий к множеству стационарных точек в этой топологии (Теорема 5). При этом в зависимости от структуры множества стационарных точек траектории способны блуждать вблизи этого множества, не стремясь к определенному стационарному положению. Пример такого поведения траекторий является частью доказательства Теоремы 8. Поэтому следующий поставленный в диссертации вопрос — выяснить условия на поле F, которые гарантируют сходимость каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае необходимым и достаточным условием для такого поведения траекторий является то, что множество нулей функции F нигде не плотно (см. [15]). Однако в векторном случае при d > 1 это условие уже не является достаточным и должно быть усилено. В настоящей диссертации найдены новые необходимое (Теорема 8) и достаточное (Теорема 6) условия сходимости каждой траектории к одной из неподвижных точек. В скалярном случае при d = 1 каждое из этих условий эквивалентно условию [15], что множество нулей функции F нигде не плотно (Теорема 7).

В Главе II диссертации рассмотрена система типа Ламба fidttu(x,t) = Tdxxu(x,t), х ф xi (0.3) miViit) = ЪЫ*)) + T[dxu(xi + 0, t) - dxu{xi - 0, <)], i = 1,2, (0.4) с двумя нелинейными осцилляторами ненулевой массы (rrii > 0). Такая система с одномерными осцилляторами изучалась в работе [16]. В настоящей диссертации рассмотрены осцилляторы произвольной размерности d > 1. Рассматриваются решения с начальными данными из пространства Е2. Требуется, грубо говоря, чтобы в момент времени t = 0 первые производные по х и t решения и(х, t) были функциями класса Н1(М) (более точное определение фазового пространства Е2 системы (0.3), (0.4) дано на стр. 46). На систему накладываются следующие требования: F{(z) = —V Vi(z), потенциалы V{(•) принадлежат классу C2(Rd,M), ограничены снизу и max(Vi(z), V2(z)) —> оо при \z\ —> +оо. Для начальных данных из множества Е2 доказана теорема существования и единственности решений системы (0.3), (0.4) и сохранение энергии вдоль ее траекторий: оо fj,v2{x,t) T{dxu{x,t))21

Hit) = /

-с»

2 г ,2

Vi(yi(t)) + 2 myf(t) dx + const г=1

Теорема 9). Далее в диссертации изучается вопрос о сходимости траекторий к множеству стационарных состояний «52 и к отдельным стационарным точкам. В Лемме 10 дано описание множества стационарных состояний и доказано, что при наложенных на систему ограничениях оно непусто. Стационарными являются те траектории системы, которые отвечают критическим точкам потенциальной энергии. Как и в случае одного осциллятора, в глобальной энергетической норме сходимости траекторий к множеству <S2, вообще говоря, нет. Чтобы изучить асимптотическое поведение траекторий в локальных энергетических полунормах, привлекается понятие локальной стабилизации, введенное А.И.Комечем в работе [8]. Центральным местом в исследовании является доказательство конечности интеграла рассеяния

Леммы 8 и 9). Из полученной оценки интеграла рассеяния вытекает локальная Н1 - стабилизация осцилляторов. С учетом ограниченности траекторий это позволяет найти в фазовом пространстве конечномерное притягивающее множество, содержащее множество S2. Основным результатом Главы II является Теорема 11, утверждающая, что каждая траектория системы (0.3), (0.4) стремится при f ±оо к множеству неподвижных точек относительно локальных энергетических полунорм.

Вопрос о сходимости каждой траектории системы к одной из стационарных точек рассмотрен для случая размерности d = 1. В этом случае доказано, что сходимость к отдельным стационарным точкам имеет место, если силовые поля Fi осцилляторов — вещественно-аналитические функции.

Таким образом, для случаев одного и двух осцилляторов в диссертации найден точечный аттрактор всех решений конечной энергии. Исследование системы типа Ламба с п нелинейными осцилляторами ненулевой массы остается открытой проблемой при п > 3.

Системы типа Ламба допускают эффективное исследование для широкого класса нелинейных функций F(y). Это позволяет обнаружить ряд новых интересных закономерностей в теории аттракторов нелинейных волновых уравнений, что и делает актуальным их исследование.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Егоров, Юрий Евгеньевич, 2005 год

1. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М., Наука, 1989.

2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.

3. Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с осциллятором // Успехи матем. наук. 1991. 46, N6. 166-167.

4. Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с нелинейным осциллятором // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 1991, N 6, 35 -41.

5. Комеч А.И. О переходах к стационарным состояниям в некоторых бесконечномерных гамильтоновых системах // ДАН, 347, N3, 1996, 309 311.

6. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М., Мир, 1975.

7. Dranishnikov A.N., Repovs D., Shchepin E.V. Dimensions of products with continua, Topology Proc., 18:57-73, 1993.

8. Komech A.I. On Stabilization of String-Nonlinear Oscillator Interaction, Journal of Math. Analysis and Applications 196, 384-409(1995).

9. Komech A.I. On the stabilization of String-Oscillator Interaction, Russian Journal of Math Phys., 1995, 3, no.2, 227-248.

10. Lamb H. On a peculiarity of the wave-system due to the free vibrations of a nucleus in an extended medium, Proc. London Math. Soc. 32(1900), 208-211.

11. Morawetz C.S., Strauss W.A., Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation //Comm. Pure and Appl. Math. 1972, N25, 1-31.

12. Strauss W.A. Decay and Asymptotics for Du = F(u) //J.Funct. Anal. 1968, N2, 409-457.

13. Temam R. Infinite dimentional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematical Sciences, 1988, vol. 68, Springer, 500.

14. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Стабилизация взаимодействия струны с осциллятором // Успехи мат. наук, 50(1995), N2 4, с. 808.

15. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Об аттракторах и асимптотике решений в нелинейной задаче Ламба // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 1996, N5, 80 88.

16. Егоров Ю.Е., Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с двумя нелинейными осцилляторами // Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ. 2001, N3, 3 10.