О сходимости к равновесию для статистических решений уравнений с частными производными и разностных уравнений. Двух-температурная задача с перемешиванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Дудникова, Татьяна Владимировна

• Дудникова, Татьяна Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дудникова, Татьяна Владимировна

0.1. Введение.

0.1.1. Актуальность темы.

0.1.2. Обозначения и определения.

0.1.3. Основные результаты.

0.1.4. О методах исследования.

0.1.5. Известные результаты.

I Гиперболические уравнения

1. Волновое уравнение

1.1. Введение.

1.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию

1.1.2. Условие перемешивания.

1.2. Главные результаты.

1.2.1. Основная теорема.

1.2.2. Примеры.

1.3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О сходимости к равновесию для статистических решений уравнений с частными производными и разностных уравнений. Двух-температурная задача с перемешиванием»

2.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию . . 86

2.1.2. Условие перемешивания.87

2.1.3. Статистические условия и основной результат . 88

2.2. Уравнения с постоянными коэффициентами.91

2.3. Приложение к случаю гиббсовских мер.92

2.3.1. Гиббсовские меры. 93

2.3.2. Предельный поток энергии для сглаженных полей . . 94

2.4. Оценки для начальной ковариации. 95

2.4.1. Перемешивание в терминах спектральной плотности 95

2.4.2. Разложение начальной ковариации. 97

2.5. Равномерные оценки и сходимость ковариации. 99

2.6. Компактность семейства мер.106

2.7. Метод Бернштейна для уравнения Клейна - Гордона . 110

2.8. Сходимость характеристических функционалов.113

2.9. Переменные коэффициенты: Теория рассеяния для решений бесконечной энергии.117

2.10. Эргодичность и перемешивание для предельных мер . 122

2.11. Дополнения.124

2.11.1. Дополнение A3. Преобразование Фурье.124

2.11.2. Дополнение А4. Сингулярные осциллирующие интегралы .125

II Разностные уравнения 129

3. Гармонический кристалл 130

3.1. Введение.130

3.1.1. Динамика.133

3.1.2. Сходимость к статистическому равновесию.136

3.1.3. Условие перемешивания.137

3.1.4. Статистические условия и результаты.137

3.1.5. Примеры.141

3.2. Приложение ко Второму закону.143

3.2.1. Поток энергии.144

3.2.2. Гиббсовские меры.146

3.3. Оценки для начальной ковариации.149

3.4. Компакность семейства мер.150

3.5. "Вырезание" критического спектра.151

3.5.1. Равномерная непрерывность ковариации.151

3.5.2. Равномерная непрерывность характеристических функционалов .153

3.6. Сходимость корреляционных функций для некритического спектра.153

3.6.1. Сходимость Ql(x,y).154

3.6.2. Сходимость Qt{x,y).156

3.6.3. Сходимость Ql(x,y) .160

3.7. Техника Бернштейна.163

3.7.1. Осциллирующие интегралы и метод стационарной фазы.163

3.7.2. Разбиение на "комнаты - коридоры".165

3.8. Условие Линдеберга.170

3.9. Эргодичность и перемешивание для предельных мер . . . .173

3.10. Дополнения.175

3.10.1. Дополнение А5. Динамика и ковариация в преобразовании Фурье.175

3.10.2. Дополнение А6. Об ослаблении условия перемешивания .177

4. Литература 185

Резюме. Работа посвящена доказательству слабой сходимости мер для непрерывных и дискретных систем, описываемых гамильтоновыми уравнениями в частных производных и разностными уравнениями.

Рассматриваются гиперболические уравнения в IR", п > 1, с постоянными или переменными коэффициентами, а также, разностные уравнения в Z", п > 1. Предполагается, что начальная случайная функция удовлетворяет условию перемешивания и близка при хп —±оо к двум различным трансляционно-инвариантным процессам с распределениями /х±. Изучается распределение fit случайного решения в момент времени t Е IR • Основной результат - доказательство слабой сходимости мер jit к гауссовой мере при t —> со, что означает центральную предельную теорему для рассматриваемых уравнений. В работе дается приложение к случаю гиббсовских мер ji± = д± с двумя различными температурами.

0.1. Введение

0.1.1. Актуальность темы

Изучение слабой сходимости мер для уравнений в частных производных и для разностных уравнений является одной из интересных и актуальных задач современной теории вероятностей. Это связано как с теоретической важностью изучения поведения статистических решений, так и с исследованием математических проблем статистических физики непрерывных и дискретных систем.

Проблема математического обоснования статистической физики возникла в 19 веке, когда Максвелл, Больцман и Гиббс применили равновесные (гиббсовские) статистические распределения для вычисления средних значений физических величин: средних энергий и скоростей молекул газа, величины свободного пробега и т.п. (см. книгу [30]). Это привело к хорошим результатам для теплоемкости газов и твердых тел, электропроводимости металлов и т.д. Такой подход оказался удивительно успешным в классической и еще более в квантовой физике, но математическое обоснование роли равновесных мер до сих пор является открытой проблемой.

Эргодическая теория Биркгофа и фон Неймана была одной из первых попыток такого обоснования (см. [7, 72, 73]). Однако эргодичность реальных физических систем (газов, жидкостей, электронов в металлах и пр.) до сих пор не доказана. Далее эргодическая теория получила бурное развитие для гладких конечномерных динамических систем, начиная с 1939 г. в работах Хопфа (об эргодичности геодезического потока на многообразиях (постоянной) отрицательной кривизны [87]) и Аносова и Синая (1967) (об эргодичности У-систем, [3, 82]), подробнее см. в обзорной статье [4].

В 50-х годах появляются работы, в которых впервые изучаются бесконечномерные системы, отвечающие движению бесконечного числа невзаимодействующих частиц (см. статью Добру шина [33]). Первые достижения на этом пути - результат Волковысского и Синая (1971) для идеального газа [25] и Синая (1972) для одномерных твердых шариков [83]. Эр-годические свойства системы твердых стержней были также исследованы в работе Айзенмана, Голдстейна и Лейбовица [1, 2], а для газа Лоренца -в работе Бунимовича и Синая [20]. Для решетчатых систем эргодичность и перемешивание впервые доказаны Лэнфордом и Лейбовицем в 1975 г. в статье [69] для начальных мер, которые являются абсолютно непрерывными относительно канонической гауссовой меры. В 1977 г. Лейбовиц и Шпон [84] доказали сходимость к равновесию для одномерной цепочки гармонических осцилляторов в случае двух-температурных начальных мер, т.е. начальная случайная функция "далеко слева" (при х < —N) и "далеко справа" (при х > N) совпадает с двумя различными однородными случайными процессами, которые имеют гиббсовские распределения с температурами /З^1 ф /Зд1. Эта работа является продолжением исследований Лейбовица и др. (см., например, [71, 80]), где изучаются стационарные состояния конечного гармонического кристалла, т.е. одномерной цепочки N гармонических осцилляторов, которые на правом и левом концах связаны с двумя тепловыми резервуарами с температурами /311 и

В 1977 г. в своем докладе на заседании Московского математического общества (см.[35]) Добрушин высказал новую идею обоснования равновесных распределений, отличную от эргодичности: равновесная мера должна появиться как предельная теорема, вытекающая из условий перемешивания на начальные распределения. Эти условия перемешивания были введены Добрушиным и Суховым [35, 37] при исследовании сходимости к равновесным мерам для свободного движения в системах бесконечного числа частиц или одномерных твердых стержней. Затем аналогичные результаты в этом направлении были получены Болдригини, Пеллегри-нотти и Триоло в статье [8] для одномерных решетчатых систем.

В многомерном случае результаты для решетчатых систем не были известны. Исследование многомерных задач имеет важное значение для теории теплопроводности твердого тела. В работах Наказавы [71] и Рай-дера, Лейбовица, Лиеба [80] предложен метод построения равновесных мер в двух-температурной задаче. Однако сходимость при t оо не рассматривалась.

В недавних работах Экмана и других [57]-[59] исследовалась сходимость к равновесной мере для одномерной конечной цепочки ангармонических осцилляторов, связанных с двумя тепловыми резервуарами. Для многомерных задач подобная сходимость является открытой проблемой. В работах Экмана и других доказательство сходимости сводится к исследованию стохастического конечномерного уравнения. Заметим, что в исследуемых нами задачах сведение к конечномерной системе невозможно.

В 80-х годах Комеч, Копылова и Ратанов впервые начали изучать эргодические свойства динамических систем, описываемых гиперболическими уравнениями в частных производных (см. [66, 67, 75, 76]). Они доказали сходимость к равновесным мерам при условии, что начальная мера является трансляционно-инвариантной и удовлетворяет условиям перемешивания типа Ибрагимова [63] или Розенблатта [81]. Однако, для неоднородных начальных мер результатов не было. Это и дало импульс к настоящему исследованию.

В работе рассматриваются уравнения в частных производных и разностные уравнения. Для всех уравнений предполагается, что начальные данные - случайная функция, удовлетворяющая условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова. Через /2< обозначается распределение решения в момент времени t £ IR. Основная задача исследования -доказать слабую сходимость мер й А*эс при t со, (0.1.1) где //ос - гауссова мера. В главах 1, 2 и 3 рассматриваются, соответственно, уравнения акустики, Клейна - Гордона и упругой п -мерной решетки, состоящей из гармонических осцилляторов. Эти системы имеют существенные различия и требуют соответствующей модификации методов, которые и излагаются в каждой главе диссертации.

Отметим, что хотя постановка проблемы связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, исследование основано на методах теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории случайных процессов: теоремах вложения Соболева, формулах Кирхгофа и Герглотца - Петровского, энергетических оценках, методе стационарной фазы для осциллирующих интегралов, теории рассеяния, критерии компактности Прохорова, методе комнат - коридоров Бернштей-на, предельных теоремах в условиях слабой зависимости и т.д. (Подробнее см. в разделе 0.1.4).

0.1.2. Обозначения и определения

Рассматриваются три вида уравнений:

I. Волновое уравнение в IRn (п > 3 и нечетно) с постоянными или переменными коэффициентами вида й(х, t) = £ dj(ajk{x)dku(x, t)) - а0(ж)гг(ж, t), х G IRn, t G IR. (0.1.2) где dj = ——, u(x,i) € IR. Предполагается, что (i) коэффициенты уравJ нения достаточно гладкие, причем при \х\ > Rq уравнение (0.1.2) имеет вид й(х, t) = Аи(х, £); ii) ао(ж) > 0, и матрица (а^(ж)) положительно определена при всех ж G IR". Наконец, требуется выполнение так называемого условия нело-вушечности (см. условие D на стр.234 в [22]), заключающегося в уходе на бесконечность при t-ь оо всех лучей уравнения (0.1.2).

II. Уравнение Клейна - Гордона в IR" (п > 2) с постоянными или переменными коэффициентами вида й(х, t) = jr(dj - iA3(x)fu(x,t) - m2u(x,t), x G ПГ. (0.1.3)

Здесь m > 0, {A\{x),., An(x)) - потенциал магнитного поля, u(x,t) G (D . Предполагается, что коэффициенты А}{х) - гладкие, вещественные функции, причем А3{х) = 0 при |ж| > Rq. В случае п = 2 дополнительно предполагается, что dAi дМ дх2 дх\'

Для уравнений (0.1.2) и (0.1.3) предполагается, что (u(-,t),u(-,t)) G C(IR,'H), где U = Я^(Ш,П) 0 tf,°oc(IRn) - пространство Фреше пар Y = (u(x),v(x)) действительных функций и{х), v(x) с локальными энергетическими полунормами

Y\\r= j (1Ф)Р + |Vu(a:)|2 + \v(x)\2)dx < оо, УЯ > 0. М<л

III. Разностное уравнение в Zn (тг > 1) вида u{x,t) = - £ V(x-y)u(y,t), хежп. (0.1.4) ye Z"

Здесь u(x,t) = (ui(x,t),.,ufi(x,t)) £ IRJ, d > 1; V(x) = {Vki(x))dkl=l - действительная матрица взаимодействия (или сила). На матрицу V накладываются условия Е1-ЕЗ (см. с.133), из которых вытекает, что ее А преобразование Фурье (V(6)) есть действительно-аналическая эрмитовая и неотрицательно определенная матрица для каждого в £ Т", где Тп -n-мерный тор IRn/27rZn. Это означает, что уравнение (0.1.4) - гиперболическое, подобно волновым и Клейна - Гордона уравнениям.

Для уравнения (0.1.4) предполагается, что (u(-,t),u(-,t)) £ С(Ш,,Яи), где На - гильбертово пространство пар У = (и(ж),*;(ж)) Ш^-значных функций от ж £ Жп с нормой

W\\l= Е (1Ф)|2 + 1Ф)|2)(1 + И2)"<оо.

Для уравнений (0.1.2), (0.1.3) и (0.1.4) изучается задача Коши с начальными данными и(х, t)\t=o = и0(х), й(х, г)|<=0 = (0.1.5)

Обозначим Y(t) = (Yt](t),Yl(t)) = (u(-,t),u(;t)), У0 = MU/) = К «о). Тогда задачи (0.1.2), (0.1.5); (0.1.3), (0.1.5); и (0.1.4), (0.1.5) имеют вид

Y(t) = F(Y(t)), teM, У(0) = У0. (0.1.6)

Предполагается, что начальные данные Уо принадлежат фазовому пространству которое в случае уравнений (0.1.2) и (0.1.3) совпадает с пространством Н, а в случае уравнения (0.1.4) - с пространством а £ IR.

Следующее предложение для уравнений (0.1.2) и (0.1.3) вытекает из [70, теоремы V.3.1, V.3.2] в силу конечности скорости распространения, а для уравнения (0.1.4) будет доказано в третьей главе (см. предложение 3.1.4).

Предложение 0.1.1. (г) Для любого Yq £ S существует единственное решение Y(t) £ C(IR,£) задачи Коши (0.1.6). ii) Для любого t £ IR оператор U(t) : У0 н» Y(t) непрерывен на £.

Предполагается, что начальные данные Уо - случайная функция с распределением /хо на пространстве £, причем мера обладает нулевым средним, и начальная корреляционная матрица (Qq (ж, 2/))г,7==о,1 »

Ql'(s,y) := /Yl(x)Y^(y)ii0(dY), г, j = 0,1, имеет вид qll(x-y), хп,уп<-а,

Эо(з>2/) =

0.1.7)

Здесь <7±(ж — у) - корреляционные функции некоторых трансляционно-инвариантных мер с нулевым средним значением, х = (х\, Х2,., жп), у = (У1,У2, • • • ,^/п) j и а > 0. Мера /лц не является трансляционно-инва-риантной, если qll ф q+. Далее предполагается, что начальная мера /^о обладает конечной средней плотностью энергии. В частности,

V)l2 + in1(®)l2] = QH®,®) + Qo^®,®)<«>. (0.1.8)

Наконец предполагается, что начальная мера //о удовлетворяет условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова, которое означает, грубо говоря, что

Y[)(x) и Yo(y) являются асимптотически независимыми (0.1.9) при \х — у\ —> оо.

В параграфе 1.2.2 построены общие примеры начальных мер , удовлетворяющих всем наложенным условиям.

Через fit(dY), t £ IR, обозначается мера на пространстве £, которая является распределением случайного решения Y(t) задачи (0.1.6).

Для борелевской вероятностной меры \х обозначим через (l её характеристический функционал (преобразование Фурье)

Д(Ф) = / ехр(г(У,Ф>М</У), Ф £ V.

Через V обозначается пространство [C^°(IRn)]2 в случае гиперболических уравнений (0.1.2), (0.1.3) и пространство [Co(2Zn) х Ш/*]2 - в случае разностных уравнений (0.1.4). Вероятностная мера fi называется гауссов-ской (с нулевым математическим ожиданием), если ее характеристический функционал имеет вид где Q - действительная неотрицательная квадратичная форма на V. Мера fi называется трансляционно-инвариантной, если ц(ТкВ) = ц(В), V5 €£(£), где TkY{x) = Y(x-h).

Изучается распределение jj,t случайного решения в момент времени t € IR. Основная цель диссертации - доказать слабую сходимость мер (0.1.1) к равновесной мере которая является гауссовской мерой. По определению это означает сходимость f(Y)fit{dY) / /(Y^idY) при t-> оо (0.1.10) для любого ограниченного непрерывного функционала f(Y) на соответствующем пространстве.

Аналогичная сходимость имеет место при t —> —оо, так как рассматриваемые системы обратимы по времени.

0.1.3. Основные результаты

Перейдем к описанию результатов. I. Волновое уравнение

В первой главе изучается волновое уравнение (0.1.2). Чтобы сформулировать основной результат для этого уравнения введем сначала корреляционную матрицу предельной меры в случае постоянных коэффициентов. Определим для почти всех х, у G IRn матричнозначную функцию

Qcc&y) = </)),,=0,1 = - 1 , (0.1.11) где дх(х) = д^(х) + <?" (х). В преобразовании Фурье функции д* определяются следующими формулами:

Й(А) = М0+(*), (0.1.12) g~(k) = (0.1.13) где \{4+(k) + C(k)q+(k)&(k)), (0.1.14)

Mo (к) := l-(C(k)q(k)-q(k)&(k)). (0.1.15)

1 1

Здесь q+ := ~(q+ + <?), q := ~(q+ - , функции q± введены в формуле

0.1.7), и с ш{к) = . В координатном пространстве функции qQ(x) задаются формулами (1.2.7) - (1.2.9).

Пусть S - произвольное положительное число.

Определение 0.1.2. Hs - гильбертово пространство функций У = (u,v) G 7i с конечной нормой

ГII! = /е-^К*)!» + |7ф)|» + |ф)р) dx < со.

Обозначим через (2ос(Ф, Ф) действительную квадратичную форму на пространстве V = [Co°(IRn)]2, определенную следующим образом

2ос(Ф,Ф)= £ / QU^y)n^J(y)dxdy.

I, Г=0,1 R»XR"

Заметим, что форма Qнепрерывна на пространстве H's в силу следствия 1.5.3.

Обозначим через Н{ос(IRn), s G 1R, локальные пространства Соболева (определение пространств #f0C(IRn) см. на с.ЗО) и w = н£'(тг) е я^пг), * g JR.

Используя стандартные методы псевдодифференциальных операторов и теоремы вложения Соболева (см., например, [61]), можно доказать, что = Н С Ti~e для каждого е > 0, и это вложение - компактно.

Основной результат первой главы - доказательство слабой сходимости мер Hi в пространствах Фреше 71~£ с любым е > 0, fit —г Нос при £ со, (0.1.17) где предельная мера - борелевская гауссовская мера на пространстве

H, и ее характеристический функционал имеет вид

Здесь W : V Щ - линейный непрерывный оператор для достаточно малых £ > 0, и W = /, если = 0, ао(ж) = 0. В параграфе

I.15 доказывается, что группа U(t) обладает свойством перемешивания относительно предельной меры /i^.

II. Уравнение Клейна - Гордона

Прежде, чем сформулировать основной результат для уравнения Клейна - Гордона (0.1.3), определим корреляционную матрицу предельной меры /^ос в случае постоянных коэффициентов. Введем матричнозначную функцию

Qoc&y) = (Q4(x,v))lJ=0li = Ш* - У))г,=0,1» Х>У € (0.1.18) где дг£(х) = и определяются формулами (0.1.12) - (0.1.16) с ш{к) = у/\к\2 + т2.

Обозначим через Qoc(^? Ф) действительную квадратичную форму на пространстве Я = L2(IRn) ф Н1(Шп), определенную следующим образом

2ос(Ф,Ф)= £ / (QZ(x,v),nx)®V(v))dxdy, t,j=0,1 ninxR" где функции Ql£.(x,y) определены формулами (0.1.18) и (0.1.12) - (0.1.16), а через (♦, •) обозначается действительное скалярное произведение в Ш2 х Щ2 = IR4. Заметим, что форма Qoc непрерывна на пространстве Я в силу следствия 2.4.3.

Основной результат второй главы - доказательство сходимости (0.1.17) для любого е > 0. При этом предельная мера jix является гауссовской равновесной мерой на пространстве Ti, и ее характеристический функционал имеет вид

Аос(ф) = ехр^д^Ф, ЖФ)}, ф е V.

Здесь W : V Я - линейный непрерывный оператор, и W — I, если А,(х) = 0.

Приложение. Результаты первой части применяются в случае гиб-бсовских мер fi± = д± с двумя различными температурами Т+ ф TL. Формально, g±(du0,dv0) = — е ^ J X

0.1.19) где m > 0, (3± = Т±1 и Т± > 0 - соответствующие абсолютные температуры. Определение гиббсовских мер д± уточняется в параграфах 1.4.1 и 2.3.1. Гиббсовские меры имеют сингулярные корреляционные функции и не удовлетворяют условию (0.1.8). Поэтому вводятся гауссовские случайные процессы Y±, соответствующие мерам д±, и определяются "сглаженные" меры дв± как распределения сверток Y± * в, где в 6 D = Co°(IRn). Меры дв± удовлетворяют всем наложенным предположениям, и сходимость д\ —г двх при t -> оо вытекает из сходимости (0.1.17). Отсюда следует слабая сходимость мер gt —г д<х,, t —)• оо, в силу произвольности функции в. В работе доказано, что предельный поток энергии для дх равен (формально) ос = -оо.(0,.,0 ,Т+-Т).

Эта бесконечность связана с "ультрафиолетовой расходимостью". Поток энергии имеет конечное значение в случае сглаженных мер ди равен

3t = -<V(o,.,o,T+-T), если функция в{х) осесимметрична относительно Охп\ Сд > 0, если 0(ж) ^ 0. Это соответствует Второму Закону термодинамики.

III. Гармонический кристалл

В третьей главе диссертации изучается уравнение (0.1.4). Обозначим через V{9) преобразование Фурье матрицы взаимодействия V(x) и определим эрмитову неотрицательно определенную матрицу

П(0) := (F(6>))1/2 > 0 с собственными значениями uji(6) = . = curi(9), u)ri+\(0) = . = wr2(0), ., wrfI+i = . = шг>(в), где rs = d.

Введем корреляционную матрицу предельной меры . Она трансля-ционно-инвариантна, т.е.

2ос(ж, у) = = - У))г,3=0,1 > (°Л-2°) и в преобразовании Фурье имеет вид

Ш = &(в) + яЖ (°л-21) где

W ••= En,WM0+MII,W, (0.1.22)

7=1 т=1 OVn

Здесь - спектральная проекция, соответствующая собственному значению шг<г(0) (см. лемму 3.1.2 (гЧ/)), q+ := q~ := -(q+-q), матрицы M,f задаются формулами (0.1.14) и (0.1.15) с

Пусть Ф = (Ф^Ф1) G S := \S{7ln) ® IRd]2, где S(7ln) - пространство действительных последовательностей, убывающих на бесконечности быстрее любой степени. Обозначим через Q00 квадратичную форму с матричным ядром (Q&(®,y)),,j=o,i,

Зос(Ф,Ф)= £ £ (0.1.25) t,j=o,i s.yez"

Основной результат третьей главы - доказательство сходимости \ it —7 ^ос при £ —> со, (0.1.26) для а < —п/2. При этом предельная мера /х^ - гауссовская трансляци-онно-инвариантная мера на пространстве На с а < —п/2, и ее характеристический функционал имеет вид

Аос(Ф) = ехр{-Ь<200(Ф,Ф)}, Фе5, где Qoc - квадратичная форма, определенная в (0.1.25).

Полученные результаты применяются в случае гиббсовских мер fi± = д± с двумя различными температурами Т±. В разделе 3.2.2 выводится формула для предельной средней плотности потока энергии (см. формулу (3.2.12)). В замечании 3.2.2 показано, что при некоторых дополнительных условиях на матрицу V предельная средняя плотность потока энергии равна ос = -С(0,.,0,Т+-Т), (0.1.27) с некоторой положительной константой С > 0. Формула (0.1.27) показывает, что поток энергии (тепла) внутри системы постоянен и направлен от более высокой температуры к более низкой.

0.1.4. О методах исследования I. Волновое уравнение

Объясним сначала результат в случае постоянных коэффициентов и п = 3. В этом случае задача (0.1.2), (0.1.5) имеет вид: u(x,t) = Au(x,t), zeIR3,

0.1.28)

4=о= 4=о= Мх)

Доказательство сходимости (0.1.17) в случае постоянных коэффициентов разбивается на три этапа, используя методику [45, 76].

I. Семейство мер fit, t > 0, является слабо компактным в подходящем пространстве Фреше.

II. Корреляционные функции сходятся к пределу: для i,j = 0,1,

Q?(*>V) = /Yl(x)Y3(y)iit(dY) Q£(a,y), t -> оо. (0.1.29)

III. Характеристические функционалы сходятся к гауссовскому:

Ф) = /ехр(г(У, ty))jit(dY) -> ехр{-^бв0(Ф, Ф)}, t -> оо, (0.1.30) где Ф G V, и Qoc - квадратичная форма с интегральным ядром (QdL(®,2/))i,j=u,i 5 через (У, Ф) обозначается скалярное произведение в действительном гильбертовом пространстве L2(IRn) ® .

Свойство I выводится из критерия Прохорова о компактности вероятностных мер с использованием методов М.И. Вишика и А.В. Фурсикова, разработанных ими для задач статистической гидромеханики в [23]. Сначала доказывается равномерная оценка для средней локальной энергии по мере jit, а именно,

Из оценки (0.1.31) и теоремы вложения Соболева вытекает выполнение условий теоремы Прохорова. В свою очередь, эта оценка выводится из явного выражения для корреляционных матриц Q\3{x,y). В частности, из формулы Кирхгофа для волнового уравнения (0.1.28) вытекает, что решение в случае щ{х) = 0 и п = 3 имеет вид где dS(x') - лебегова мера на сфере St(x) := {х' : \х' — х\ = t). Тогда корреляционная функция Q^i](x,y) имеет вид:

Условие перемешивания (0.1.9) позволяет оценить корреляционные функции Q\)(xх") (i,j = 0,1) через коэффициент перемешивания, достаточно быстрое убывание которого приводит к оценке (0.1.31).

Свойство II также вытекает из явных формул для Qг/ (х, у) (см. формулу (0.1.33)). В пределе при t -» оо сферы становятся плоскостями. Соответственно, предельные корреляционные функции Ql^(x, у) выражаются через преобразования Радона начальных корреляционных функций Qo(x,y). В дополнении А1 эти выражения сводятся к некоторым сверткам и приводят к формулам (1.2.7) - (1.2.9).

Замечания (i) Условие перемешивания для волнового уравнения (см. раздел 1.1.2 ниже) более слабое, чем для трансляционно-инвариантных мер (см. [45, с.1227]), а также по сравнению с условием перемешивания для уравнения Клейна - Гордона (см. раздел 2.1.2). Это связано с желанием применить результаты к случаю гиббсовских мер fi± = д± (см. формулу (0.1.19)). Действительно, убывание фундаментального решения

0.1.31)

0.1.32)

S(x) оператора (—Д + m2) в случае т = 0 слабое, £(х) ~ \х\~п+2. Поэтому для гиббсовских мер С${х,у) ~ \х — у\~п+2, \х — у\ -> оо. В случае волнового уравнения вводятся различные коэффициенты перемешивания для частных производных случайного решения при t = 0: предполагается, что убывание коэффициентов перемешивания зависит от порядка производных. Поэтому доказательства в случае волнового и Клейна - Гордона уравнений различны. ii) В случае нечетных п > 5 вместо формулы Кирхгофа применяются формулы Герглотца - Петровского, которые также позволяют выразить корреляционные функции Qt(x,y) через интегралы по сферам радиуса t.

Для доказательства свойства III используется метод Бернштейна "комнат - коридоров" (см. [5]) и структура формулы Кирхгофа (0.1.32): грубо говоря, решение (0.1.32) - это "сумма" слабо зависящих случайных величин, деленная на корень из их "числа".

Действительно, разобьем сферу St(x) на "комнаты" Я* и "коридоры" к = 1,., N. (Более точно вариант метода "комнат - коридоров" описан в параграфе 1.8. Такой метод часто применяется при доказательстве различных предельных теорем для зависимых случайных величин и полей, см., например, [16], [19], [26], [63, глава 18]).

Пусть комнаты R\ имеют фиксированную ширину d 1, а коридоры Ct - ширину р <С d. Тогда площадь комнаты ~ d2, а число комнат порядка N rsj t2. Случайные величины г\, т\:= JvQ(x')dS(x'), слабо зависимы в силу условия перемешивания (0.1.9), а из формулы Кирхгофа (0.1.32) вытекает, что n

Erf

Это позволяет свести доказательство (0.1.30) к центральной предельной теореме Линдеберга.

Все три шага I—III доказательства основаны на условии перемешивания. Простые примеры показывают, что сходимость к гауссовской мере отсутствует, когда нет условия перемешивания (см. [45, с. 1223]).

Наконец, сходимость (0.1.17) обобщается на уравнения с переменными коэффициентами, которые являются постоянными вне конечной области. Это обобщение вытекает из результата для постоянных коэффициентов с использованием теории рассеяния для решений с бесконечной энергией.

II. Уравнение Клейна - Гордона

Для уравнения Клейна - Гордона доказательство сходимости (0.1.17) сначала проводится в случае постоянных коэффициентов, т.е. для задачи й(х, t) = Аи(х, t) — т2и(х, t), х Е Ип,

0.1.34)

4=о= Мж)> 4=0=

При этом доказательство разбивается на те же три этапа, что и для волнового уравнения. Но уравнение Клейна - Гордона и волновое уравнение имеют серьезные отличия. В частности, решение задачи Коши для уравнения Клейна - Гордона в отличие от волнового уравнения выражается через интеграл по шару {х £ IRn : |ж| < t}. Поэтому метод доказательства главы 1, который состоял в замене сфер St при t —> оо плоскостями, для уравнения Клейна - Гордона уже не работает.

Доказательства свойств I и II для задачи (0.1.34) проводятся в пространстве Фурье. Решение задачи (0.1.34) (в частном случае, когда w0 = 0) имеет вид u(z,t) = (2ТГ)-" / e-^^^voWdk, где а}(к) = \f\k\2 + ш2. Тогда корреляционная функция Qf\x,y) меры jit переписывается в виде

Qj°(s,y) = (2тг)-2" / ^^^Я'ЛКк')dkdk'. (0.1.35) и2" ^ ' * '

Свойство I выводится из равномерной оценки (0.1.31). В свою очередь, чтобы оценить интеграл (0.1.35), Qu{k,k') выражается через корреляционные функции q±(k) (см. формулу (0.1.7)). Для этого начальные корреляционные матрицы выбираются в виде

Qofay) = q-(x ~ уК-(хпК-(уп) + ч+(х - у)(+(хпК+(уп), (ол.зб) где х = (®i,., хп), у = (у\,.,уп) £ lRn, - корреляционные функции некоторых трансляционно-инвариантных мер fi±. Здесь (± Е C,0C(IR) и

С (Л / ПРИ ±s> а> \ 0, при ±5 < -а.

Заметим, что корреляционная матрица вида (0.1.36) соответствует начальной функции вида

Уо(ж) = C-(®n)V-(®) + С+(®п)У+(®), где У± - независимые случайные функции с нулевым средним и распределениями /1± . Такой выбор корреляционной матрицы Qu(x,y) позволяет избежать некоторых дополнительных технических предположений на начальную корреляционную функцию (ср. с условием S2 из главы 1). Заметим, что преобразования Фурье функций допускают следующие представления к) = ж8(к) ± iPV(i)a±(Jfc), к Е 1R, к А где а± Е C^IR). Поэтому преобразование Фурье Qo(k,k') начальной корреляционной функции выражается формулами (2.4.9) - (2.4.12). Следовательно, функция к') содержит, в частности, интегралы вида

СЕ f e-^^H^WJi^yn.fc)^. (0.1.37) и- w W

Здесь через J± обозначается интеграл вида

Mt,Vn,k) := PV ^^^y + f'de, (0.1.38)

-ic ? w(k,A:n + f) где к = (к,к„), к = Поэтому доказательство оценки

0.1.31) опирается на равномерные оценки сингулярных осциллирующих интегралов в смысле главного значения по Коши (см. предложение 2.5.5). В случае трансляционно-инвариантных начальных мер оценки для корреляционных функций мер fit были получены в работе [44], однако в этом случае соответствующие осциллирующие интегралы менее сингулярны, так как они не содержат главного значения по Коши. Отметим, что интегралы типа и

J{t,a) = Jel1u(r)f{x,a)dx, t > 0, (0.1.39) о где а - параметр, были рассмотрены в [12], когда ш{х) имеет при х = О невырожденную критическую точку, а /(ж, а) - голоморфна в окрестности нуля и имеет полюс, близкий к х = 0 при малых а. Асимптотика интегралов типа (0.1.39) при t —> оо была изучена в статье [8] (см. предложение А.4 в [8, с.152]). Отметим, что это предложение является обобщением результатов М.В. Федорюка (см. теоремы 1.8 и 1.10 в [86]). Однако непосредственно к интегралам (0.1.38) эти результаты не применимы из-за вырожденности фазовой функции и{к) на бесконечности.

Свойство II выводится из анализа осциллирующих интегралов типа (0.1.38), возникающих в преобразовании Фурье. Важную роль при этом играет предложение 2.4.1, выражающее свойства корреляционных функций в преобразовании Фурье, вытекающие из условия перемешивания S3. В частности, из условий S1-S3 следует, что q± Е L^IR").

Наконец, свойство III доказывается в параграфе 2.8 с использованием варианта метода "комнат - коридоров" С.Н. Бернштейна также, как и в первой главе.

В заключение сходимость (0.1.17) распространяется на уравнения с переменными коэффициентами, которые являются постоянными вне конечной области. Это обобщение вытекает из результата для постоянных коэффициентов с использованием теории рассеяния для решений с бесконечной энергией.

III. Гармонический кристалл

Доказательство сходимости (0.1.26) для уравнения (0.1.4) разбивается на те же три этапа I - III (см. с. 17).

Доказательство шагов I и II проводится в пространстве Фурье (как и для уравнения Клейна - Гордона). С одной стороны, для гармонического кристалла пространство Фурье - это тор Т", который является компактным (в отличие от уравнения Клейна - Гордона, где пространство Фурье - Ш"). С другой стороны, в случае гармонического кристалла, вообще говоря, могут быть точки в Е Т", в которых фазовые функции а^(0) ( & = 1,.,с/) - негладкие, или равны нулю, или в которых гессиан обращается в нуль, т.е. д2ык{б)\п det двгдб, , , 0.

Множество таких точек С С Тп назовем критическим (см. определение 3.5.2). Из условий Е1-Е4 (см. с. 133), наложенных на матрицу V, вытекает, что лебегова мера множества С равна нулю.

Свойство I выводится из непрерывности квадратичной формы (2о(Ф> Ф) = [Q{)(x, у), Ф(ж)® Ф(у)) в пространстве £2. В свою очередь, непрерывность вытекает из леммы Шура и пространственного убывания корреляционных функций Qq(x,у), которое следует из условия перемешивания (0.1.9).

Для доказательства свойств II и III развивается вырезающая стратегия, которая комбинируется с некоторой техникой из [8] (где сходимость (0.1.26) доказана в случае d = п = 1). Для того, чтобы доказать свойство II, функции Q\3{x,y) раскладываются на четную и нечетную компоненты и остаточный член (см. формулу (3.6.5)) также, как в [8]. Четная компонента соответствует трансляционно-инвариантной начальной мере и анализируется методом из [47]. С другой стороны, нечетная компонента требует новых средств, так как ее преобразование Фурье содержит интеграл типа главного значения по Коши (ср. с (0.1.37) и (0.1.38)), который более сингулярный, чем меры, соответствущие четной компоненте. Эта особенность изучалась в [8] для случая d = п = 1. Заметим, что в [8] предполагаются более сильные условия на матрицу V, чем условия ЕЗ и Е4, а именно, что iv(6) > 0, и множество б[-7г,тг]: и/'(в) = и/"(в) = 0} пусто. При этих условиях в [8] доказана равномерная асимптотика функции Грина: sup \Qt(x)\ < С( 1 + И)"1/3. xezn

Эта оценка играет ключевую роль в доказательстве [8]. Однако подобный детальный анализ в случае n,d > 1 кажется невозможным из-за наличия критического множества С.

В данной работе предлагается следующий метод. Сходимость (0.1.29) переписывается в эквивалентной форме

Ф) <2ос(Ф, ф), t 00, (0.1.40) где Фе5. Сначала сходимость (0.1.40) доказывается для Фе£°. Доопределению, <S° - множество таких функций Ф 6<S, преобразование Фурье которых равно нулю в окрестности критического множества С С Т".

Вырезание критического множества С возможно благодаря двум ключевым наблюдениям: (i) mesC = 0, и (ii) квадратичная форма Ф) непрерывна в I2 в силу условия перемешивания (0.1.9). Последний факт позволяет расширить утверждение (0.1.40) от Ф G <S° на все функции Ф Е S в силу условия Е6.

Аналогично доказывается свойство III: сначала для Ф Е <S°, а затем и для всех функций Ф Е S. В случае Ф Е «5° используется техника Берн-штейна "комнат - коридоров", которая уже применялась в предыдущих главах в случае волновых уравнений и уравнений Клейна - Гордона. А именно, сначала левую часть (0.1.30) представим в виде ftt(Ф) = Еехр (i(Y(t), Ф)), где Ф Е <S°. Затем перепишем скалярное произведение у(0,*> = <у(0),ф(.,0>, где функция Ф(ж,£) может быть представлена как осциллирующий интеграл. Для функции Ф(ж,£) выводятся равномерные оценки (3.7.6) и (3.7.7). Эти оценки вытекают из метода стационарной фазы, так как п А

Ф(ж,0) = Ф(ж) Е S , и следовательно, Ф(0) = 0 во всех точках 0 Е С с вырожденным гессианом фазовой функции. Оценки, грубо говоря, подразумевают следующее представление: уо(у)

Y(;t), t -> оо, (0.1.41) где через Bt обозначается шар {у £ Жп : \у\ < ct}, и \Bt\ - его объем. Теперь сходимость (0.1.30) вытекает из (0.1.41) в силу центральной предельной теоремы Линдеберга, так как Yf)(yi) и Уо(у2) - почти независимы при \у\ — оо в силу условия перемешивания (0.1.9).

0.1.5. Известные результаты Гиперболические уравнения

Сходимость к статистическому равновесию для динамических систем, описываемых уравнениями в частных производных, была доказана i) Ратановым для волнового уравнения в [75, 76]; ii) Копыловой для уравнения Клейна - Гордона в [67]; iii) совместно с Комечем, Копыловой, Ратановым и Суховым для гиперболических уравнений в [44, 45] (в этих статьях приведены другие доказательства, по сравнению с [67, 75, 76], во-первых, для более общего класса начальных мер, и во-вторых, применимые к более широкому классу линейных гиперболических уравнений); iv) Ратановым, Суховым и Шуховым для параболических уравнений в [77]; v) совместно с Комечем и Маузером для уравнения Дирака в [49].

Во всех перечисленных работах результаты получены только в случае трансляционно-инвариантных начальных мер /2ц. Это соответствует результатам диссертации в частном случае, когда // = //+.

Сходимость к равновесию для систем, описываемых уравнениями в частных производных, в случае не трансляционно-инвариантных мер, а также формулы для предельной средней плотности потока энергии впервые изучаются в данной диссертации.

Разностные уравнения

Для решетчатых систем, описываемых уравнением (0.1.4), сходимость к статистическому равновесию (0.1.26) была доказана i) Лэнфордом и Лейбовицем в работе [69] в случае п > 1 при условии, что начальные меры являются абсолютно непрерывными относительно канонической гауссовской меры; ii) Шпоном и Лейбовицем в [84] и Болдригини, Пеллегринотти и Три-оло в [8] в одномерном случае для двух-температурных начальных мер. В статье [8] используются условия перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова для начальных мер.

Для одномерной цепочки нелинейных осцилляторов сходимость к равновесию была доказана в статьях Яксича, Пилле, Экманна и других [57, 58, 65] для двух-температурной начальной меры.

Для многомерных гармонических кристаллов сходимость (0.1.26) впервые была доказана совместно с Комечем и Шпоном в [48] в случае трансляционно-инвариантных начальных мер. В статье [51] сходимость к статистическому равновесию была доказана совместно с Комечем для гармонического кристалла, взаимодействующего со скалярным полем.

В данной диссертации сходимость (0.1.26) для решетчатых систем доказывается для более общего класса начальных мер, а именно, предполагается, что начальные меры - двух-температурные, удовлетворяющие условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова.

Кроме того, для многомерных кристаллов, описываемых уравнением (0.1.4), выводится Второй Закон: энергетический ток направлен от высокой температуры к низкой (см. формулу (0.1.27)). Подобные формулы в одномерном случае были изучены в [8, 71, 80, 84]. Показано, что предельный поток энергии не равен нулю и порядка Т+ — TL . Это соответствует сверхпроводимости для гармонических кристаллов (см. [10]).

Автор выражает глубокую благодарность профессору JI.P. Волевичу за внимание к работе, профессорам А.И. Комечу и Г. Шпону за плодотворное сотрудничество и профессору А.В. Булинскому за обсуждение результатов.

Часть I Гиперболические уравнения

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дудникова, Татьяна Владимировна, 2005 год

1. Bochner S. Vorlesungen iiber Fouriersche Integrate. Leipzig. 1932. (Пер. на рус. яз.: Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. - М.: Физматгиз. 1962. 360 с.)

2. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973. 342 с.

3. Bradley R.C. Basic properties of strong mixing conditions// Dependence in Propability and Statistics (E. Eberlein and M.S. Taqqu, eds.), Birkhauser, Boston. 1986. P. 165-192.

4. Bradley R.C. Some examples of mixing random fields// Rocky Mountain J. Math. 1993. V. 23. P. 495-519.

5. Bradley R.C. Basic properties of strong mixing conditions. A survey and some open questions// Probability Surveys. 2005. V. 2. P. 107-144.

6. Булинский А.В., Журбенко И.Г. Центральная предельная теорема для аддитивных случайных функций// Теория вероятностей и ее применения. 1976. Т. 21. N 4. С. 707-717.

7. Булинский А.В. Центральная предельная теорема для случайных полей с сильной и слабой зависимостью// Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. N 1. С. 17-19.

8. Булинский А.В. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для случайных полей// Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. N 1. С. 22-25.

9. Булинский А.В. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости. М.: Изд-во МГУ. 1989. 135 с.

10. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Statistical properties of Lorentz gas with a periodic configuration of scatterers// Commun. Math. Phys. 1981. V. 78. N 4. P. 479-497.

11. Вайнберг Б.P. Поведение при больших временах решений уравнения Клейна Гордона// Труды ММО. 1974. Т. 30. С. 139-158.

12. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во Московского ун-та. 1982. 296 с.

13. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука. 1980. 442 с.

14. Волевич JI.P., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения// УМН. 1965. Т. 20, вып. 1. С. 3-74.

15. Волковысский K.JI., Синай Я.Г. Эргодические свойства идеального газа с бесконечным числом степеней свободы// Функц. анализ и его приложения. 1971. Т. 5, вып. 3. С. 19-21.

16. Волконский В.А., Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, I// Теория вероятностей и ее применения. 1959. Т. IV. N 2. С. 186-307.

17. Волконский В.А., Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, II// Теория вероятностей и ее применения. 1961. Т. VI. N 2. С. 202-245.

18. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз. 1958. 440 с.

19. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: Физматгиз. 1961. 472 с.

20. Gibbs J. Elementary Principles in Statistical Mechanics.- New Haven, Yale University Press. 1902. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1932. V.18. P. 7082. (Пер. на рус. яз.: Гиббс Дж. Основные принципы статистической механики.- М.: Гостехтеориздат, 1946.)

21. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Наука. 1971. 664 с.

22. Dedecker J. A central limit theorem for stationary random fields// Probab. Th. Rel. Fields. 1998. V. 110. P. 397-426.

23. Добрушин P.JI. О законе Пуассона для распределения частиц в пространстве// Укр. мат. ж. 1956. Т. 8. N 2. С. 127-134.

24. Добрушин P.JI. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности// Теория вероятностей и ее применения. 1968. Т. 13. N 2. С. 210-229.

25. Добрушин p.ji. Проблема математического обоснования статистической механики// УМН. 1977. Т. 32. С. 164-165.

26. Dobrushin R.L., Suhov Yu.M. On the problem of the mathematical foundation of the Gibbs postulate in classical statistical mechanics// Mathematical Problems in Theoretical Physics. Lecture Notes in Physics. Springer, Berlin. 1978. V. 80. P. 325-340.

27. Добрушин p.ji., Сухов Ю.М. Временная асимптотика для некоторых вырожденных моделей временной эволюции систем с бесконечным числом частиц// Современные проблемы математики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. 1979. Т. 14. С. 147-254.

28. Добрушин Р.Л., Синай Я.Г., Сухов Ю.М. Динамические системы статистической механики// Современные проблемы математики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Т. 2. 1985. С. 235-284.

29. Doob J. Stochastic Processes. Chichester-New York-Brisbane-Toronto, Willey. 1953. 654 с. (Пер. на рус. яз.: Дуб Дж. Вероятностные процессы. - М.: ИЛ. 1956. 602 с.)

30. Дудникова Т.В. Эргодические свойства уравнения Клейна Гордона с переменными коэффициентами // Теоретические и прикладные аспекты математических исследований (под ред. О.Б. Лупанова), М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994. С. 75-77.

31. Дудникова Т.В. Эргодичность фазового потока волнового уравнения с перемешиванием// Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1995. N 1. С. 17-22.

32. Дудникова Т.В., Комеч А.И. Эргодические свойства гиперболических уравнений с перемешиванием// Теория вер. и ее применения. 1996. Т. 41. N 3. С. 505-519.

33. Dudnikova T.V. Stabilization of space-time statistical solutions of the Klein Gordon equation// Russian J. Math. Physics. 1997. V. 5. N 2. C. 179-188.

34. Dudnikova T.V., Komech A.I., Kopylova E.A., Suhov Yu.M. On convergence to equilibrium distribution, I. The Klein Gordon equation with mixing// Commun. Math. Phys. 2002. V. 225. N 1. P. 1-32.

35. Dudnikova T.V., Komech A.I., Ratanov N.E., Suhov Yu.M. On convergence to equilibrium distribution, II. The wave equation in odd dimensions, with mixing// J. Stat. Phys. 2002. V. 108. N 5/6. P. 1219-1253.

36. Dudnikova T.V., Komech A.I., Spohn H. On a two-temperature problem for wave equation// Markov Processes and Related Fields. 2002. V. 8. P. 43-80.

37. Dudnikova Т., Komech A., Spohn H. On the convergence to statistical equilibrium for harmonic crystals// J. Math. Phys. 2003. V. 44. N 6. P. 2596-2620.

38. Dudnikova Т., Komech A., Mauser N. On two-temperature problem for harmonic crystals// J. Stat. Phys. 2004. V. 114. N 3/4. P. 1035-1083.

39. Dudnikova Т., Komech A., Mauser N. On the convergence to a statistical equilibrium for the Dirac equation// Russian J. Math. Physics. 2003. V. 10. N 4. P. 399-410.

40. Дудникова T.B., Комеч А.И. О двухтемпературной задаче для уравнения Клейна Гордона// Теория вероятностей и ее применения. 2005. Т. 50. N 4. С. 675-710.

41. Dudnikova Т., Komech A. On the convergence to a statistical equilibrium in the crystal coupled to a scalar field// Russian J. Math. Physics. 2005. V. 12. N 3. P. 301-325.

42. Дудникова Т.В. О сходимости к равновесию для волновых уравнений в IRn с нечетным п > 3. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2005. N 77. 32 с.

43. Дудникова Т.В. Стабилизация статистических решений волнового уравнения в четномерном пространстве. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2005. N 80. 31 с.

44. Дудникова Т.В. О сходимости к равновесию для волновых уравнений в IR" с нечетным п > 3 // Успехи матем. наук. 2006. Т. 61, вып. 1. С. 177-178.

45. Dudnikova T.V. On ergodic properties for harmonic crystals// Russian J. Math. Physics. 2006. V. 13. N 2. C. 123-130.

46. Doukhan P. Mixing: properties and examples// Lecture Notes in Statistics. V. 85. Springer Verlag, New York. 1994.

47. Eckmann J.-P., Pillet C.-A., Rey-Bellet L. Non-equilibrium statistical mechanics of anharmonic chains coupled to two heat baths at different temperatures// Commun. Math. Phys. 1999. V. 201. P. 657-697.

48. Eckmann J.-P., Pillet C.-A., Rey-Bellet L. Entropy production in nonlinear, thermally driven Hamiltonian systems// J. Stat. Phys. 1999. V. 95. N 1/2. P. 305-331.

49. Eckmann J.P., Hairer M. Non-equilibrium statistical mechanics of strongly anharmonic chains of oscillators// Commun. Math. Phys. 2000. V. 212. P. 105-164.

50. Егоров Ю.В., Комеч А.И., Шубин M.A. Дифференциальные уравнения с частными производными-2. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 31. (Итоги науки и техн., ВИНИТИ АН СССР). Москва. 1988. 268 с.

51. Hormander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer-Verlag. 1985.

52. И.А. Ибрагимов. Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов// Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. N 4. С. 711-714.

53. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука. 1965. 524 с.

54. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ИЛ, 1958. 160 с.

55. Jaksic V., Pillet C.-A. Ergodic properties of classical dissipative systems. I// Acta Math. 1998. V. 181. P. 245-282.

56. Komech A.I. Stabilisation of statistics in wave and Klein Gordon equations with mixing. Scattering theory for solutions of infinite energy// Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1995. V. 65. P. 9-22.

57. Копылова Е.А. Стабилизация статистических решений уравнения Клейна Гордона// Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1986. N 2. С. 92-95.

58. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука. 1980. 384 с.

59. Lanford III О.Е., Lebowitz J.L. Time Evolution and Ergodic Properties of Harmonic Systems// Dynamical Systems, Theory and Applications. Lecture Notes in Physics. 1975. V. 38. Springer-Verlag, Berlin. P. 144— 177.

60. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983. 424 с.

61. Nakazawa Н. On the lattice thermal conduction// Supplement of the Progress of Theor. Phys. 1970. V. 45. P. 231-262.

62. Neumann J.v. Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik// Ann. Math. (2). 1932. V. 33. P. 587-642.

63. Neumann J.v. Proof of the quasiergodic hypothesis// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1932. V. 18. P. 70-82.

64. Petrov V.V. Limit Theorems of Probability Theory. Sequences of Independent Random Variables. Oxford: Clarendon Press. 1995. 292 c.

65. Ратанов H.E. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка// Успехи матем. наук. 1984. Т. 39. N 1. С. 151-152.

66. Ратанов Н.Е. Асимптотическая нормальность статистических решений волнового уравнения// Вестник Московского ун-та, сер. I. Математика. Механика. 1985. N 4. С. 73-75.

67. Ratanov N.E., Shuhov A.G., Suhov Yu.M. Stabilisation of the statistical solution of the parabolic equation// Acta Appl. Math. 1991. V. 22. N 1. P. 103-115.

68. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. И. М.: Мир. 1978. 394 с.

69. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. III. М.: Мир. 1983. 443 с.

70. Rieder Z., Lebowitz J.L., Lieb Е. Properties of a harmonic crystal in a stationary nonequilibrium state// J. Math. Phys. 1967. V. 8. N 5. P. 10731078.

71. Rosenblatt M.A. A central limit theorem and a strong mixing condition// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1956. V. 42. N 1. P. 43-47.

72. Синай Я.Г. Классические динамические системы со счетно-кратным лебеговским спектром. II// Изв. АН СССР. Сер. математика. 1966. Т. 30, вып.1. С. 15-68.

73. Синай Я.Г. Эргодические свойства газа одномерных твердых шариков с бесконечным числом степеней свободы// Функц. анализ и его приложения. 1972. Т. 6, вып.1. С. 41-50.

74. Spohn Н., Lebowitz J. Stationary non-equilibrium states of infinite harmonic systems// Comm. Math. Phys. 1977. V. 54. N 2. P. 97-120.

75. Тихомиров A.H. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т. 25. N 4. С. 800-818.

76. Федорюк М.В. Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные операторы// УМН. 1971. Т. 26, вып.1. С. 67-112.

77. Эйдус Д.М. Принцип предельной амплитуды// УМН. 1969. Т. 24, вып.З. С. 91-156.