О солитонных асимптотиках решений некоторых гиперболических уравнений с нелинейными конечномерными возмущениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Имайкин, Валерий Марсович

• Имайкин, Валерий Марсович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Имайкин, Валерий Марсович

Содержание

1. Введение

1.1. Актуальность темы

1.2. Обозначения и определения

1.3. Основные результаты

1.4. О методах исследования

1.5. Известные результаты

2. Существование динамики. Солитоны

2.1. Существование динамики для систем, описывающих взаимодействие

поля с частицей

2.1.1. Изучаемые системы

2.2. Существование динамики

2.3. Солитоны

3. Случай малой функции взаимодействия (слабое взаимодействие поля с частицей)

3.1. Формулировка результатов

3.2. Вывод солитонных асимптотик в случае слабого взаимодействия

3.2.1. Волновое уравнение

3.2.2. Уравнение Клейна-Гордона

3.2.3. Уравнение Максвелла

3.2.4. Уравнение Максвелла с вращающейся частицей

4. Использование гамильтоновой структуры и винеровского условия

4.1. Гамильтонов вид систем и орбитальная устойчивость солитонов

4.1.1. Гамильтонов вид систем

4.1.2. Орбитальная устойчивость солитонов

4.2. Винеровское условие и солитонная асимптотика

4.2.1. Модификация решения. Свойства модифицированного решения

4.2.2. Комбинирование с орбитальной устойчивостью

91

5. Метод симплектической проекции при винеровском условии: описа-

ние метода и формулировка результатов

5.1. Дополнительные условия и вид асимптотик

5.2. Теория рассеяния Буслаева-Перельман

5.3. Формулировка основных теорем

6. Симплектическая проекция и линеаризация на

солитонном многообразии

6.1. Симплектическая структура и симплектическая проекция

на солитонное многообразие

6.1.1. Симплектическая форма

6.1.2. Невырожденность симплектической формы. Симплектическая проекция

6.2. Линеаризация на солитонном многообразии

6.3. Свойства линеаризованного уравнения

7. Симплектическое разложение динамики, убывание трансверсальной компоненты и вывод солитонных асимптотик

7.1. Симплектическое разложение динамики

7.1.1. Динамика вдоль солитонного многообразия: модуляционные уравнения

7.2. Убывание трансверсальной компоненты

7.2.1. "Замораживание" трансверсальной динамики

7.2.2. Интегральное неравенство

7.2.3. Симплектическая ортогональность

7.2.4. Вывод убывания трансверсальной компоненты

7.3. Вывод солитонной асимптотики

7.3.1. Асимптотики для векторных компонент

7.3.2. Асимптотики для полей

8. Убывание для линеаризованной динамики

8.1. Описание метода

8.2. Построение резольвенты

8.3. Аналитичность в правой полуплоскости

8.4. Регулярность на мнимой оси

8.5. Особые точки спектра

8.5.1. Уравнение Клейна-Гордона

8.5.2. Случай волнового уравнения и уравнения Максвелла

8.6. Временное убывание векторных компонент

8.6.1. Случай уравнения Клейна-Гордона

8.6.2. Случай волнового уравнения и уравнения Максвелла

8.7. Временное убывание полей

8.7.1. Уравнение Клейна-Гордона

8.7.2. Случай волнового уравнения и уравнения Максвелла

9. Приложения

9.1. Приложение 1: вычисление симплектической формы

9.2. Приложение 2: Вывод оценки (8.80)

9.3. Приложение 3: Структура матрицы M-1{1ш)

Резюме. Работа посвящена выводу асимптотик солитонного типа для решений ряда систем дифференциальных уравнений специального вида. Система состоит из гиперболического уравнения с источником, нелинейно зависящим от конечномерной траектории, и из обыкновенного дифференциального уравнения для этой траектории; правая часть обыкновенного уравнения зависит от решения гиперболического уравнения. Такие системы можно интерпретировать как описывающие взаимодействие некоторого поля с заряженной частицей.

Рассматриваются три системы такого типа: скалярное поле — Клейна-Гордона или волновое, — взаимодействующее с частицей, а также система Максвелла-Лоренца, описывающая заряженную частицу в электромагнитном поле. Рассматриваются три типа условий на функцию взаимодействия и на начальные данные задачи Коши, при которых удается получить соли-тонные асимптотики решений. Во-первых, в случае слабого взаимодействия поля с частицей (формально это означает достаточную малость функции взаимодействия р(х) в пространстве Ь2 (К3)) удается получить асимптотики методом интегрального неравенства. Во-вторых, при вине-ровском условии р(к) = 0 Ук Е К3 можно доказать стремление к нулю ускорения частицы, а также орбитальную устойчивость солитонных решений; комбинируя эти два факта, мы выводим солитонную асимптотику. Наконец, при винеровском условии и для решений с начальными данными, достаточно близкими к инвариантным солитонным многообразиям в подходящих весовых пространствах Соболева, мы получаем солитонные асимптотики методом симплектической проекции, используя гамильтоно-ву структуру систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О солитонных асимптотиках решений некоторых гиперболических уравнений с нелинейными конечномерными возмущениями»

1. Введение

1.1. Актуальность темы

Настоящая диссертация содержит ряд результатов в традиционной и принципиально важной области — исследовании долговременной асимптотики решений нелинейных уравнений с частными производными. Выбранное направление имеет тесную связь с теоретической физикой.

Более подробно, изучаемые в диссертации системы состоят из двух частей: гиперболического уравнения (волнового, Клейна-Гордона или Максвелла) с источником, нелинейно зависящим от конечномерной траектории, и обыкновенного уравнения для этой траектории, правая часть которого зависит от решения гиперболического уравнения.

Таким образом, эти системы можно интерпретировать как описывающие взаимодействие частицы с полем.

Уравнение движения заряженной частицы в электрическом поле было введено Лоренцем в 1895 году, см. [46,47], хотя впервые оно было написано Максвеллом в одной из работ 1865 г., см. [48]. С другой стороны, формулы для поля движущегося заряда были найдены Льенаром в 1898 г. и Вихертом в 1900 г., [64]. Таким образом, возникла проблема взаимодействия заряда с создаваемым им самим полем, т.е. проблема "самодействия" заряженной частицы.

Этот вопрос приобрел особенную остроту в связи с проблемой бесконечной массы и энергии точечного заряда, поставленной Абрагамом [10] в 1905 г. Для преодоления этой трудности Абрагам ввел понятие "размазанного" электрона.

Формулы Льенара-Вихерта наводят на мысль, что создаваемое ускоренно движущимся зарядом поле уносит энергию, в результате чего ускорение должно стремиться к нулю, как написано в учебниках электродинамики, см., например [8]. Однако строго доказать это удалось впервые лишь сто лет спустя для модели Абрагама. На основе этого результата, а также при помощи развития методов симплектической проекции, введенных ранее Буслаевым и Перельман для исследования асимптотики нелинейно-

го уравнения Шредингера, оказалось возможным получить асимптотики солитонного типа для указанных систем.

1.2. Обозначения и определения

В работе изучаются системы, в которых гиперболическое уравнение следующее:

1. Волновое уравнение.

2. Уравнение Клейна-Гордона.

3. Уравнение Максвелла (тогда система в целом представляет собой систему Максвелла-Лоренца, описывающую взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем).

4. Уравнение Максвелла, причем взаимодействующая с полем частица вращается.

Замечание 1.1. а • Ь обозначает скалярное произведение векторов а € К3, Ь € К3, однако ниже для упрощения обозначений мы будем обычно опускать точку в записи скалярных произведений: рр2 := р • р, ьк := V • к, Qk := Ц • к и т.п.

1. Рассмотрим скалярное вещественное волновое поле ф(х,г), х € к3, г е К, взаимодействующее с релятивистской заряженной частицей. Пусть д(г) € К3, р(г) € К3 — координаты и импульс частицы в момент времени г соответственно, тогда система имеет вид:

ф(х,г) = п(х,г), п(х,г) = Аф(х,г) — р(х — д(г)), х € к3, г € к,

(1.1)

д(г) = рСО/лД +рС02, рСО = - J Щ(х, г) р(х - д(г)) Ах

2. В случае поля Клейна-Гордона система записывается аналогично:

Ф(х, г) = п(х, г), тг(х, г) = Аф(х, г) — т2 ф(х, г) — р(х — д(г)),

(1.2)

д(г) = р^)/л/ТТрЩ, р(г) = - Щ(х, г) р{х - д(г)) ¿х, х е и3, г е и,

где т > 0. Система для волнового уравнения (1.1) имеет вид (1.2) с т = 0. Случаи волнового уравнения и уравнения Клейна-Гордона требуют отдельного рассмотрения в связи с разным поведением функций Грина для решения задачи Коши (в частности, для волнового уравнения выполняется строгий принцип Гюйгенса, а для уравнения Клейна-Гордона — нет), а также в связи с более слабым пространственным убыванием солитонов волнового уравнения по сравнению с уравнением Клейна-Гордона.

3. В случае поля Максвелла система имеет вид (Л обозначает векторное произведение):

Е(х,г) = V лв(х,г) - р(х - д(г))д_(г), в(х,г) = -V л е(х,г), (1.3)

т=р^)/л/т+ш, (1-4)

р(Ь) = J (Е(х,Ь) + 4(Ь) Л в(х,г)) р(х - д(г)) (1х, (1.5)

кроме того, налагаются условия трансверсальности

V • е(х, г) = р(х - д(г)), V • в(х, г) = о. (1.6)

Здесь Е(х,г),В(х,г) — соответственно электрическое и магнитное поля.

4. Обозначим угловую скорость заряженной частицы через ш(г) Е К3. В отличие от первых трех систем, в этом случае мы рассматриваем нерелятивистскую частицу, скорость которой априори не ограничена, и не вводим импульс р. Уравнения Максвелла имеют вид

Е(х,г) = vлв(x,t)-(4(г)+ш(г)л(х-¡(г)))р(х-¡(г)), в(х,г) = -VлЕ(х,г), (1.7)

здесь вращение частицы вносит вклад в ток; наложены обычные условия трансверсальности

V • Е(х, г) = р(х - д(г)), V • в(х, г) = 0. (1.8)

Ускорение под действием поля на частицу определяется уравнением с силой Лоренца в правой части:

¡¡(г) = J [Е(х, г) + (^(г) + ш(г) л (х - ¡(г))) л в(х, г)]р(х - ¡(г)) <1х, (1.9)

наконец, эволюция угловой скорости определяется уравнением с вращающим моментом Лоренца в правой части:

1ш(г) = у (х - д(г)) л [Е(хл) + (4(г) + ш(г) л (х - ¡(г))) л в(х,г)]р(х - ¡(г)) <1х, (1.10)

где

2 Г 2

I = - х р{х) ¿х (1-И)

— момент инерции частицы, см. [58].

Во всех системах механическую массу частицы, а также скорость распространения волны мы считаем равными 1. Функцию взаимодействия р, связывающую гиперболическую и конечномерную части системы, будем интерпретировать как плотность заряда частицы.

Будем записывать системы (1.1), (1.2), а также (1.3)—(1.6), (1.7)—(1.10) в виде

У(г) = в (У (г)), г е К, (1.12)

где У (г) := (ф(х,г),п(х,г),д(г),р(г)) для волнового уравнения и уравнения Клейна-Гордона, У (г) := (Е (х,г),в(х,г),д(г),р(г)) для уравнения Максвелла, У (г) := (Е (х,г),в(х,г),д(г),ш(г)) для уравнения Максвелла с вращающейся частицей; О — нелинейный оператор, определяемый правой частью соответствующей системы. Все производные понимаются в смысле обобщенных функций. Рассмотрим задачу Коши для (1.12) с начальным условием

У (0) = Уо. (1.13)

Для формулировки утверждений о существовании динамики введем фазовое пространство для каждой из систем.

Рассмотрим пространство Н1 — пополнение вещественного пространства 60°(К3) по норме | Vф(х) |, где | • | — норма в Ь2 := Ь2(1Н,3). Фазовым пространством для волновой системы (1.1) является пространство Е — вещественное гильбертово пространство Н1 Ф Ь2 ф К3 ф К3 с конечной нормой

II УН£ = №Ф| + |п| + | д| + | р\, где У = (ф,п,д,р).

Далее, пусть Н1 — пространство Соболева Н1 = {ф € Ь2 : | Vф| € Ь2} с нормой \\Ф\\н1 = Vф| + |ф |. Фазовое пространство £ уравнения (1.2) при т > 0 — вещественное гильбертово пространство Н1 ф Ь2 ф К3 ф К3 состояний У = (ф, п, д,р) с конечной нормой

\\У\\е = \\ф\\н 1 + п 1 + | д I + 1р I.

Теперь введем фазовое пространство для системы (1.3)-(1.6). Положим Ь2 := Ь2(]^3,К3). Определим пространство

С = Ь2 ф Ь2 ф 1К3 ф К3, \\У\\с = \Е\ + \Б| + I дI + 1рI, где У = (Е,В,д,р).

Фазовое пространство М — подпространство С, состоящее из таких У = (Е, Б, д,р), что выполнены условия V• Е = р(х — д), V• Б = 0. Заметим, что М — метрическое, но не линейное подпространство С, метрика индуцирована вложением М С С.

Для вращающейся частицы мы в настоящем исследовании рассматриваем упрощенный случай "вращающейся частицы в покое", т.е. частица остается неподвижной, д(г) = 0 при всех значениях времени. Этого можно достичь, наложив условия симметрии и антисимметрии:

Е(—х, 0) = —Е(х, 0), Б(—х, 0) = Б(х, 0) (1.14)

на начальные поля. Тогда эта симметрия (антисимметрия) сохраняется при всех значениях времени. Уравнение с силой Лоренца (1.9) выполняется автоматически, уравнения Максвелла упрощаются к виду

Е(х,г) = V А Б(х, г) — (ш(г) л х)р(х), Б(х,г) = —V а Е(х,г), (1.15)

условия трансверсальности принимают вид

V • Е(х, г) = р(х), V • Б(х, г) = 0. (1.16)

уравнение с вращающим моментом Лоренца (1.10) приводится к виду

1й(г)= х л [Е(х,г) + (и(г) л х) л Б(х.г)]р(х) йх. (1.17)

Далее мы изучаем именно эту систему (1.14)—(1.17) вместо системы (1.7)—(1.10). Введем гильбертовы пространства Т = Ь2 фЬ2 и С = 3, с конечными нормами

Ц(Е,в)У =\Е | + |в |, ||У ||£ = |Е | + |в | + | ^ | , У =(Е,в,ш) ЕС. (1.18)

Поскольку для системы удовлетворяются связи (1.8), фазовое пространство является нелинейным подмногообразием линейного пространства С: фазовое пространство Мв — метрическое пространство состояний (Е,в,ш) Е С, удовлетворяющих условиям симметрии/антисимметрии (1.14) и связям

V•E(х) = р(х), V•B(х) = 0, х Е К3. (1.19)

Метрика на М3 индуцируется вложением М3 С С.

Мы накладываем следующие условия регулярности и убывания на функцию взаимодействия: р — вещественная функция, принадлежащая пространству Соболева Н 1(]^3), с компактным носителем, т.е.

р, Vр Е Ь2(]Е3), р(х) = 0 при | х | >ЯР > 0. (С)

Справедливо следующее утверждение о существовании динамики для рассматриваемых систем.

Предложение 1.2. [39,42,26,28] Пусть выполнены условия (С). Тогда 1) задача Коши (1.12), (1.13) имеет и притом

единственное решение У (г) Е С (К, ЕЕ) для любого У0 Е Е в случае волнового уравнения;

единственное решение У (г) Е С (К, Е) для любого У0 Е Е в случае уравнения Клейна-Гордона;

единственное решение У (г) Е С (К, М) для любого У0 Е М в случае уравнения Максвелла;

единственное решение У (г) Е С (К, М3) для любого У0 Е Мв в случае уравнения Максвелла с вращающейся частицей.

2) Для любого t Е IR отображение Y0 м- Y(t) непрерывно на E (соответственно на E, на M, на Ms)■

3) Выполняется оценка скорости частицы

Ш\ <Чр,Уо) < 1, VteH.

Определение 1.3. Пусть v Е V := {v Е IR3 : | v| < 1}.

1) Солитонными решениями систем (1.1) и (1.2), т.е. в случае волнового уравнения и уравнения Клейна-Гордона, называются решения вида

Ya,v(t) = (ipv(x — vt — a), ttv(x — vt — a), vt + a,pv), pv = v/y/l — v2 (1-20)

2) Солитонными решениями системы (1.3) - (1.6), т.е. в случае уравнения Максвелла, называются решения вида

Ya,v(t) = (Ev(x - vt - a),Bv(x - vt - a),vt + a,pv), pv = v/V 1 - v2. (1-21)

В случае уравнения Максвелла с вращающейся частицей мы накладываем на плотность заряда р(х) дополнительное условие инвариантности относительно вращений в IR3:

р(х) = Pi( I х I). (1.22)

При этом система (1.14)—(1.17) также становится инвариантной относительно вращений в IR3.

Определение 1.4. Солитонными решениями вращения для системы (1.14)-(1.17) называются решения вида (Еш(х),Бш(х),ш), ш = const Е IR3.

Замечание 1.5. В математической литературе широко распространенным термином "солитон" обозначают различные, иногда существенно отличающиеся друг от друга объектыl В настоящей диссертации этот термин используется только в смысле Определений 1.3 и 1.4. В частности, солитонные решения, определенные в 1.3, соответствуют тому, что в англоязычной литературе называют "travelling waves".

Солитонные решения (для краткости часто будем их называть просто солитонами) существуют:

Подстановка в исходные системы (1.1), (1.2), (1.3)-(1.6) приводит к стационарным уравнениям для солитонных полей, которые решаются явно при помощи преобразования Фурье. В итоге солитоны имеют следующий вид:

Для волнового уравнения:

ФЛх) = [ —{-^^-г-г, = -г; • Ъф^х). (1.23)

4п Л | 1(У - х)|| + (У - х)±|

Здесь 7 = 1/лД ~ V2 и х = х\\ + х±, где х\\ ||г> и х±±.у для х € И3.

Для уравнения Клейна-Гордона:

их) = / —--Р[У)У ъ(х) = -V ■ Щ^х). (1-24)

4^ | 1(У - х)|| + (У - х)±|

Для уравнения Максвелла:

Еь(х) = ^фу(х)+ V ^ Лу(х), (х) = V^Av(х); (1.25)

ФЛх) = ^ / п-^^-г-г, Мх) = ъф-Лх). (1.26)

4п ./ | 1 (У - х)ц + (У - х)±|

В Фурье-представлении солитонные поля имеют вид, см. [58]:

Еш{к) = -г ^ , Вш(к) =--—2-. (1.27)

Заметим, что солитонные поля непрерывно зависят от параметра V Е V (ш Е К3 в случае вращающейся частицы).

Основная цель нашего исследования — получить долговременные солитонные асимптотики решений систем (1.1), (1.2), (1.3)-(1.6), (1.14)-(1.17), т.е. доказать, что при г ^ решения в определенном смысле сходятся к соответствующим солито-нам, а также построить начала теории рассеяния.

1.3. Основные результаты

Опишем основные результаты исследования.

Случай слабого взаимодействия поля с частицей. Первая группа результатов относится к случаю слабого взаимодействия поля с частицей, см. работы [23]—[28]. Слабое взаимодействие формализуется условием малости функции взаимодействия р в пространстве Ь2(]К,3):

5Р := |р| < 1. (1.28)

Введем пространства начальных условий, достаточно быстро убывающих на бесконечности.

Для волнового уравнения:

£а при 0 < а < 1 — пространство состояний (ф(х),п(х),д,р) € £, для которых

У (^ф(х)^ + Щх)^ + |п(х)|2) йх = С(Я-2-2а) при Я (1.29)

{Я<\х\}

Для уравнения Клейна-Гордона:

Пусть 0 < а < 1/2, а = (1 — 2а)/3. Множество £а — пространство состояний (ф,п,д,р) € £, для которых

У (я^фх^2 + ^ф(х)^) йх = а(я-(4+2а)) (1.30)

Я<\х\

и

У (Щх^2 + П(х)12) йх = а(я-(4+2а)) (1.31)

Яа<\х\

при Я ^ +ю.

Для уравнения Максвелла:

Пусть 0 < а < 1. Ма — пространство состояний (Е(х),Б(х),д,р) € М, для которых

У (^Е(х)!2 + Е(х)|2 + ^бх^2 + Вх^2)йх = а(я-2-2а) при я (1.32)

{Я<\х\}

Для уравнения Максвелла с вращающейся частицей:

М%, 0 < а < 1 — пространство состояний (Е(х) ,Б(х), и) € М5, для которых VE(х)^Б(х) принадлежат пространству Ь^с при |х| > Я с некоторым Я = Я(У) > 0

и

| Е(х) | + |в(х) | + |х| ( | VE(x) | + |Vв(х) | ) < С| х |-1-* при | х | > К. (1.33)

Если величина 5Р достаточно мала и начальные условия принадлежат указанным пространствам, то для первых трех систем мы получаем следующую солитонную асимптотику:

1) Ускорение частицы стремится к нулю:

^(^<^(1 + г)--.

2) Скорость частицы стабилизируется: существуют такие v± = 0_(г), < 1, что

т - v±| < с (1 + г)-*. (1.34)

3) Поля в окрестности частицы сходятся к солитонным полям:

ЦГ(х + д(г),г) - г± (х)||д < Ся(1 + г)-*, УК > 0. (1.35)

Здесь Г — полевая часть решения: Г = (ф,п) в случае уравнений волнового и Клейна-Гордона; Г = (Е, в) в случае уравнения Максвелла. Соответственно Гу = (фу, ) или Гу = (Еу ,ву) — солитонные поля. || • | — локальная полунорма в шаре радиуса К в соответствующем пространстве полей.

4) Имеет место рассеяние в глобальной энергетической норме: существуют такие Г±, что

цг(х,г) - Гу±(х - д(г)) - и(г)г±ц < с(1 + г)-*. (1.36)

Здесь и (г) — группа свободного уравнения: волнового, Клейна-Гордона или Максвелла; норма берется в соответствующем пространстве полей.

Замечание 1.6. Краткая запись асимптотик (1.34), (1-35), (1.36) понимается 'так. при г > 0 справедливы асимптотики с предельными значениями, помеченными индексом "плюс", а при г < 0 — индексом "минус". То же относится к следующим ниже асимптотикам (1-37), (1-38), (1.39).

Для уравнения Максвелла с вращающейся частицей в покое:

1) Угловая скорость стабилизируется: существуют = и(г), причем

и(г) — и±I < с (1 + г)-0. (1.37)

2) Поля Г(х,г) = (Е(х,г),Б(х,г)) сходятся к солитонным полям Гш(х) = (Еш(х),Бш(х)) в локальных энергетических полунормах:

\Г(х,г) — Гш±(х)\\д < ся(1 + г)-0, УЯ > 0. (1.38)

3) Имеет место рассеяние в глобальной энергетической норме: существуют такие Г±, что

\Г(х,г) — гш±(х) — и(г)г±\\ < с(1 + г)-0. (1.39)

Использование гамильтоновой структуры и винеровского условия.

Система (1.1) в случае волнового уравнения и система (1.2) в случае уравнения Клейна Гордона (т > 0) имеют гамильтонову форму

( П 1 п п \

У = ЮН (У), 7

0 1 0 0

— 1 0 0 0

0 0 0 Е

0 0 — Е3 0

'1.40)

у 0 0 —Е3 0 у

где У = (ф, п,д,р), V — производная Фреше, Е3 — единичная матрица размера 3 х 3. Для волновой системы (1.1) гамильтониан равен

Щф,7т,д,р) = ^ У (|тг(ж)|2 + \Уф(х)\2^(1х + У ф(х)р(х - д)(1х + л/1+р2. (1.41) Для системы Клейна-Гордона (1.2) гамильтониан имеет вид

Пт{ф,п,д,р) = ^ У (\тг(х)\2+ \Уф(х)\2+ т2\ф(х)\2^(1х + ^ ф(х)р(х - д)(1х + л/1 + р2.

(1.42)

Система Максвелла-Лоренца преобразуется к гамильтоновой форме при помощи следующей замены переменных:

Е3(х,г) = Е(х,г) + Vpp(x — д(г)), где Vpp € Ь2(Ш3), А^р(х) = —р(х), (1.43)

3

B(x,t) = V Л A(x, t), V-A(x,t) = 0, (1.44)

p <t):= m + jp(x - «тмdx- a-45)

В переменных (Es, A, q, P) система Максвелла-Лоренца приобретает вид

V • Es(x, t) = 0, V • A(x, t) = 0, (1.46)

Es(x,t) = -AA(x,t) - ns[p(x - q(t))v(t)], A(x,t) = -Es(x,t), (1.47)

v(t):=m = -

[1 + (P(t)-{f,(x-g(t)),A(x,t))n"2

3

P(t) = J] Vk (t)(VAk (x,t),p(x - q(t))), (1.49)

k=l

-2^тс>3\

где угловые скобки обозначают скалярное произведение в Ь2 (К ), П — проектор на пространство соленоидальных (бездивергентных) полей. Эта система уравнений имеет гамильтонову форму, аналогичную (1.40), с гамильтонианом

Н.(Еа,А, q,P) = - j (|ад|2 + \VA(x)\2)dx + [l + (Р - (р(х - q),A(x)})2]1/2.

(1.50)

Обозначим H1 — замыкание пространства C°(IR3, IR3) по норме |VA|. норму в

этом пространстве обозначим || • ||1. Введем подпространства L^. H^. образованные соленоидальными векторными полями. а именно. замыкания в L2, H1 соответственно векторных полей из C^ с нулевой дивергенцией. Фазовое пространство для системы Максвелла-Лоренца в гамильтоновых переменных имеет вид

Mham = L2oi0Hloi0IR30IR3, IIYHMham = |E| + ||A|i + I q| + | P| , где Y =(E,A,q,P), Введем соответствующее пространство только для полей:

Fham = L20i 0 Hl0i, h(E,A)hf = |E| + ||A||i.

Из Предложения 1.2 ввиду формул замены переменных следует существование динамики для системы Максвелла-Лоренца в гамильтоновых переменных.

Используя гамильтонову структуру. в частности. закон сохранения энергии. мы сначала получаем результат по орбитальной устойчивости солитонов:

Утверждение (доказано ниже в Главе 4). Пусть выполнено условие (С) и пусть Y(t) = (E(-,t), B(-,t), q(t),p(t)) E C(IR, M) — решение системы (1.3)-(1.6) с начальным условием Y(0) = Y0 = (E0,B0,q0,p0) E M. Зафиксируем некоторое v E IR3 с \ v \ < 1 и положим

5 = \Eo(-) - Ev(• - qo) | + |Bo(-) - Bv(• - qo)| + |po - Pv \1. (1.51)

Тогда для любого е > 0 существует такое 5(е) > 0; что

\E(q(t) + •,t) - Ev(-)\ + \B(q(t) + •) - Bv(-)| + \p(t) - pv\ <е, Vt E IR (1.52)

при 5 < 5(е).

Если плотность р удовлетворяет дополнительному условию Винера

p(k) = J eikxр(х) dx = 0, V k E IR3, (W)

то известно (без предположения малости р, см. [39,42], что ускорение частицы стремится к нулю:

q ^ 0 при t (1.53)

Комбинируя убывание ускорения и орбитальную устойчивость солитонов, мы получаем существование предельных скоростей и солитонную асимптотику решения в локальных энергетических полунормах:

Утверждение (доказано ниже в Главе 4). Рассмотрим решение Y(t) E C(IR, M) системы (1.3)-(1.6) с начальным условием Y0 = (E0,B0,q0,p0) E Ma, с некоторым а > 1/2. Тогда существуют предельные значения скоростей

v± = lim qL(t) (1.54)

и для любого R > 0

lim (|E (q(t) + •,t) - Ev± (-)U + \B(q(t) + •,t) - Bv± (-)|ß) = 0. (1.55)

Заметим, что pv \v=o = 0, вообще говоря, не совпадает с начальным импульсом po

Здесь | |к — норма в Ь2(вк; К3), где вк := {х е К3 : х < К}.

Метод симплектической проекции. Этим методом мы получаем асимптотики, для первых трех систем, в глобальных энергетических нормах при условии, что начальные условия близки к солитонному многообразию в соответствующей норме Соболева с весом, см. работы [5], [30]—[33].

Мы требуем несколько более сильных свойств регулярности и симметрии от функции взаимодействия р:

р, Vр, VVр е Ь2(К3), р(х) = 0 при ^УКр, р(х) = р^х). (1.56)

Кроме того, в случае волнового уравнения и уравнения Максвелла мы накладываем дополнительные условия равенства нулю первых четырех моментов плотности р, т.а

!х*р{х) Лх(и57)

Эти условия обеспечивают достаточно быстрое пространственное убывание солито-

нов. Иначе, например, в случае волнового уравнения |фу\ = то, если не наложено никаких дополнительных условий.

В терминах преобразования Фурье условия (1.56) имеют вид: р(к) = 0 при к = 0, но при к = 0 функция р(к) имеет ноль пятого порядка. Физический смысл условий при ц = 0 — электрическая нейтральность атома, которая обеспечивает его устойчивость. Такие плотности существуют: например, если р1 удовлетворяет условиям (W), то применив к ней достаточное число раз оператор Лапласа, получим функцию р, удовлетворяющую (1.57).

Определение 1.7. Солитонным состоянием называется Б(а) := (фу(х - Ь),пу(х -Ь), Ь,ру) для уравнений Клейна-Гордона и волнового, а также Б(а) := (Еу (х-Ъ), Ау (х-Ъ), Ь, Ру) для уравнения Максвелла, где а := (Ь, V) с Ь е К3 и V е V := {х е К3 : |х| < 1}.

Солитонное решение имеет вид 5(а(г)), где а(г) = (Ь(г)^(г)) = V + а, V).

Определение 1.8. Солитонное .многообразие — это множество 5 := {5(а) : а € Е}, где Е := К3 х V.

Для формулировки основных результатов введем ряд соболевских пространств с весом.

1. Уравнение Клейна-Гордона.

Введем пространства Соболева с весом На, в = 0,1, а € 1И., с нормами

\\ф\и,а := \\(1 + | х I)аф\\н-. Определение 1.9. 1) Еа — пространство Н ф Н0 ф К3 ф 1И3 с нормой

\\У\\а = \\ У\к = \\ф\\1,а + \М\о,а + | д I + р I, У = (ф,П,д,р). (1.58) 2) — пространство ф Н с нормой

\\ Г\\а = \\ Г= \\ф\\1>а + \\п\\о,а, Г = (ф,п). (1.59)

2. Волновое уравнение. Рассмотрим пространство с нормой

\\ф\\а = |(1 + ЫТVф\, а € К.

Определение 1.10. 1) Еа — пространство Н ф Н°+1 ф К3 ф 1И3 с нормой

\\У\\а = \\ Ук = \\ф\\а + \\ П \\ 0, а+1 + | д I + \р | . (1.60)

2) ?а — пространство ф Н0+1 с нормой

\\ Г\\а = \\ Г= \\ф\\а + \\п\о,а+1 (1.61)

3. Уравнение Максвелла.

Пусть 112зо1а, Н 1Ыа — подпространства пространств Ь^, соответственно Н1Ы, состоящие из всех полей Е, соответственно А, с конечными нормами

\\Е\\оа = |(1 + |х|)аЕ|, \\А\\1>а =|(1+ |х|)аVA|.

Поскольку, в силу соответствующей теоремы вложения Соболева, Н 1о1 С Ь6(^3, К3), имеем Н 1о1 С Ь^ а, а < -1. Положим

Ма = 12ог,а+1 ФНЦа ФК3 ФК3, ||У ||а = Е ||о,а+1 + ||А||1,а + Ы + РI У = (Еа,А,д,р). Введем пространство полей

?а = ф Н 1sol,a, ||(Es ,А)^а = ЦЕз ¡0,а+1 + ||А|1,а.

Основными результатами по асимптотической устойчивости солитонов являются следующие теоремы.

Для уравнения Клейна-Гордона с т > 0:

Теорема (доказана ниже в Главах 5-8). Пусть выполнены условия (1.56) и (№'). Пусть в > 3/2, а У (Ь) — решение задачи Коши (1.12)-(1.13) с начальными данными У0 е Ер, достаточно близкими к солитонному многообразию:

Уо = Б(ао) + Zо, ¿в := ||Шо||р < 1. (1.62)

Тогда справедлива следующая асимптотика при Ь ^ ±с»:

т = V* + а(Щ-3/2), Ы (Ь) = v±t + а± + а(Щ-1у, (1.63)

(ф(х, Ь),п(х, Ь)) = (фу± (х - v±t - а±),пу± (х - v±t - а±)) + и(Ь)Г± + г±(х, Ь), (1.64) где

Цт± (-Мъ = 0(Щ-1/2). (1.65)

Для волнового уравнения с т = 0:

Теорема (доказана ниже в главах 5-8). Пусть выполнены условия (1.56), (1.57) и винеровское условие (№'). Пусть 0 < 5 < 1/2, положим в := 4 + 5. Рассмотрим решение У (Ь) задачи Коши (1.12)-(1.13) с начальным условием У0 е Ер, достаточно близким к солитонному многообразию:

Уо = Б(ао) + Zо, (1р := ||Шо||р < 1. (1.66)

Тогда справедлива следующая асимптотика при Ь ^ ±с»:

д(Ь) = + С(Щ-1-6), д(Ь) = Ь + а± + 0(Щ-26), (1.67)

(ф(х, Ь),п(х, Ь)) = (фу± (х — ь±Ь — а±),ж.и± (х — ь±Ь — а±)) + и(Ь)Г± + г±(х, Ь), (1.68) где

\\Т±(;Ь)У0 = 0(Щ-). (1.69)

Для уравнения Максвелла:

Теорема (доказана ниже в главах 5-8). Пусть выполнены условие (1.56), вине-ровское условие (№'), а также условие (1.57), пусть в = 4 + 5, 0 < 5 < 1/2. Предположим, что У0 €Мв и что У0 достаточно близко к солитонному многообразию:

Уо = Б(ао) + Zо, ¿в := Ш\р < 1. (1.70)

Пусть У(Ь) € С(1И,, М) — решение задачи Коши (1.12)-(1.13). Тогда выполняется следующая асимптотика при Ь ^ ±с»:

д(Ь) = + 0(Щ-1-6), д(Ь) = У± Ь + а± + 0(Щ-26), (1.71)

(Е(х,Ь),А(х,Ь)) = (Е± (х — у±Ь — а±),Аь± (х — ь±Ь — а±)) + и(Ь)Г± + т±(х,Ь), (1.72)

где

\\т±(-,Ь)\\То = 0(Щ-). (1.73)

1.4. О методах исследования

I. В случае слабого взаимодействия поля с частицей мы применяем метод интегрального неравенства. Доказательство можно разбить на несколько шагов, которые по существу будут одинаковыми для первых трех рассматриваемых систем, отличаясь лишь техническими подробностями. Кратко опишем эти шаги на примере волнового уравнения. В случае уравнения Максвелла с вращающейся частицей эти шаги несколько модифицируются, см. ниже.

Шаг 1.

а) Введение сопутствующего солитона.

Рассмотрим решение У(Ь) системы (1.1). Введем сопутствующий солитон (х - ы(Ь)), где v(t) := Ы(Ь). Центр сопутствующего солитона находится в месте расположения частицы, а его параметр скорости равен скорости частицы в данной точке в данный момент времени.

б) Вывод уравнения для разности решения и сопутствующего солитона. Рассмотрим разность

Ш(х,Ь) = Е(х,Ь) - (х - д(Ь)), (1.74)

Положим А(ф, п) = (п, Аф). Для Ш(х,Ь) выводится уравнение

Ш(х, Ь) = АШ(х, Ь) - р(Ь) • Ч^) (х - д(Ь)). (1.75)

Здесь ЧрЕу = ЧуЕу р), где ^(р) — дифференциал отображения р м- v(p) = р/у/1 +Р2-

в) Формулировка оценки нормы разности.

Пусть выполнены условия (С), (1.28) и начальные данные принадлежат пространству Eа. Тогда при любом Я > 0 выполняется оценка:

ЦШ(• + Ы(Ь),Ь)ЦЯ < Ов(1 + \Ь\)-1-°, (1.76)

где || • Цп — локальные энергетические полунормы в шаре {\х\ < Я}, точное определение которых дано ниже в (2.20).

Для вывода оценки (1.76) воспользуемся интегральным представлением решения уравнения (1.75)

Ш(Ь) = и(Ь)Ш(0) - [ и(Ь - в)[р(в) • ЧрЕу(3)(• - д(в))] ¿в, (1.77)

о

где и (Ь) — группа свободного волнового уравнения в Н1 Ф Ь2. Чтобы вывести оценку (1.76), надо получить следующие три оценки:

1) оценку импульса р(в);

2) оценку выражения и(Ь — з)[р(з) • (• — д^))], т.е. оценку убывания группы свободного волнового уравнения на производной солитона по скоростям;

3) оценку и(Ь)Х(0), т.е. оценку убывания группы свободного волнового уравнения, примененной к убывающим по пространственной переменной начальным данным.

Шаг 2. Оценка импульса.

Для импульса выводится оценка

\'Р(Ь)\<С ^ (• + д(Ь),Ь)\\я\р\. (1.78)

Шаг 3. Оценка действия группы волнового уравнения на солитоне.

Используя явные формулы для решения волнового уравнения, с учетом строгого принципа Гюйгенса и закона сохранения энергии получаем оценку

в) • ЩЬ - - д(8))]\\я < С\р\ (1'79)

Шаг 4. Оценка действия группы на начальных данных.

Теперь оценим \\[и(Ь)Х(0)](- + д(Ь),Ь)\\я, где X(0) € Еа:

\\[итт(. + д{1)Мп < (1+^1)1-^- С1-80)

Шаг 5. Метод интегрального неравенства.

Комбинируя оценки (1.77), (1.79) и (1.80) с Я = Яр, введенным в условии (С), получаем при Ь > 0:

\\г{- + дЦ)МКр<—(1 + [ф1+(7 +^рс4(у,яр) ^—1 + С1-81)

Положим М(Ь) := шахо<5<*(1 + \ 5 \)1+а\\Х(• + д(з),з)\\Д(Э, тогда

мц) < с0(г(о),д°,у,яр) + б2рс(у,яр)1ам(г),

где

г* (1 + |5|)-1-^

1а = 8ПР(1 + Щ)1+а / \ 1 " ... ¿8 < ос при а е (0,1] . *>о ]о (1 + \Ь — 5 \2)

Остается выбрать 8р настолько малым, чтобы выполнялось неравенство $2С(гУ, Кр)1а < 1, тогда выполняется оценка (1.76) с Я = Яр. Из оценки (1.76) с Я = Яр выводится оценка (1.76) с любым Я > 0.

Шаг 6. Вывод (1.36) из оценки нормы разности (метод Кука теории рассеяния).

Из оценок (1.76) и (1.78) следует

\р(Ь)\ < С(1 + \Ь\)-— ^ Iт\ < С1 (1 + \Ь\)-—. (1.82)

Теперь докажем, что ЦШ(х,Ь) - и(Ь)Е±|| < С(1 + \Ь\)-а. Это равносильно

ци(-Ь)Ш(х,Ь) - Е±Ц < С(1 + \Ь\)-\

норма берется в пространстве полей. Применим и(-Ь) к интегральному уравнению (1.77) и получим

и(-Ь)Ш(Ь) = Ш(0) - Г и(-в)[р(в) • ЧрГу(^ - д(в))] ¿в. Ло

Из (1.79) следует сходимость интеграла с указанной скоростью сходимости. В итоге мы предварительно получили

ЦЕ(х,Ь) - Еуф - д(Ь)) - и(Ь)Е±|| < С(1 + \Ь\)-°.

Отсюда, из оценки (1.34) и непрерывной зависимости солитонов от параметра V получаем (1.36).

Для случая полной системы Максвелла с вращающейся частицей (1.7)—(1.10) известно [58], что солитонные решения вида

д(Ь) = д + vt, ш(Ь) = ш, Е(х, Ь) = Еу>ш(х - VI), В(х, Ь) = Ву,ш(х - VI), (1.83)

при ш = 0 существуют только при ш11V или ш^. Это не позволяет естественным образом ввести сопутствующий солитон. Именно поэтому мы рассматриваем упрощенную систему с вращающейся частицей в покое (1.14)—(1.17), для которой сопутствующий

солитон определяется естественно: Fu(t) (x), где Fu = (Eu ,Би) — "полевая" часть со-литона. Обозначим

Z(x,t) = F(x,t) - Fw{t) (x), (1.84)

где F = (E,B). Положим p(x) = (p(x), 0) и A(E,B) = (V А В,-V A £), тогда F удовлетворяет уравнению

F(x, t) = АР(ж, t) - (ш(Ь) А ж)р(ж). (1.85)

Поэтому для Z выполняется уравнение

Z(x,t) = AZ(x,t) - u(t) • VuFu{t) (x). (1.86)

Для начальных условий Z(x, 0), принадлежащих пространству MS, для любого R > 0 выполняется следующая оценка:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Имайкин, Валерий Марсович, 2016 год

Литература

[1] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики, Динамические системы-3. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 3. - М.: ВИНИТИ, 1985. - С. 5-290.

[2] Буслаев В.С., Перельман Г.С. Нелинейное рассеяние: состояния, близкие к соли-тону / В.С. Буслаев, Г.С. Перельман // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций, 24, Зап. научн. сем. ПОМИ, 200. - СПб.: Наука, 1992. - С. 38-50.

[3] Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.

- М.: МГУ, 1982.

[4] Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. - М.: Наука, 1964.

[5] Имайкин В.М. Солитонные асимптотики для систем типа "поле-частица" / В.М. Имайкин // УМН. - 2013. - 68:2(410). - С. 33-90. Английский перевод: Soliton asymptotics for systems of "field-particle" type, Russ. Math. Surv., 68, N. 2, 33-90.

[6] Имайкин В.М. Солитонные асимптотики решений гиперболических уравнений с конечномерными нелинейными возмущениями / В.М. Имайкин // Труды МФТИ.

- 2016. - 8:4. - С. 35-70.

[7] Комеч А.И. Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, в: Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам направления, 1988, том 31, с. 127-261.

[8] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. Механика. Электродинамика. - М.: Наука, 1969.

[9] Рудин У. Функциональный анализ, - М.: Мир, 1975.

[10] Abraham M. Theorie der Elektrizität, Band 2: Elektromagnetische Theorie der Strahlung. - Leipzig: Teubner, 1905.

[11] Agmon S. Spectral properties of Schrödinger operators and scattering theory / S. Agmon // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. Ser. 2. - 1975. - IV. - P. 151218.

[12] Bambusi D., Galgani L. Some rigorous results on the Pauli-Fierz model of classical electrodynamics / D. Bambusi, L. Galgani // Ann. Inst. H. Poincre, Phys. Theor. -1993. - 58. - P. 155-171.

[13] Beresticky H., Lions P.L. Nonlinear scalar field equations, I existence of a ground state / H. Beresticky, P.L. Lions // Arch. Rat. Mech. and Anal. - 1983. - 82:4. - P. 313-345.

[14] Burlak G., Imaykin V., Merzon A. Long-time decay for the linearized system of a charged particle in the Klein-Gordon field / G. Burlak, V. Imaykin, A. Merzon // Comm. Math. Anal. - 2012. - V.14, N.2. - P. 13-24.

[15] Buslaev V., Perelman G. On nonlinear scattering of states which are close to a soliton / V. Buslaev, G. Perelman // Methodes Semi-Classiques, Vol.2 Colloque International, Nantes, juin (1991). - Asterisque. - 1992. - 208. - P. 49-63.

[16] Buslaev V., Perelman G. Scattering for the nonlinear Schrodinger equation: states close to a soliton / V. Buslaev, G. Perelman // St. Petersburg Math. J. - 1993. - N.

4. - P. 1111-1142.

[17] Buslaev V., Perelman G. On the stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations / V. Buslaev, G. Perelman // Trans. Amer. Math. Soc. - 1995. - 164. - P. 75-98.

[18] Buslaev V., Sulem C. On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations / V. Buslaev, C. Sulem // Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire. - 2003. - 20:3. - P. 419-475.

[19] Cuccagna S. Stabilization of solutions to nonlinear Schrodinger equations /

5. Cuccagna // Commun. Pure Appl. Math. - 2001. - 54:9. - P. 1110-1145.

[20] Cuccagna S. On asymptotic stability of ground states of NLS / S. Cuccagna // Rev. Math. Phys. - 2003. - 15:8. - P. 877-903.

[21] Esteban M., Georgiev V., Sere E. Stationary solutions of the Maxwell-Dirac and the Klein-Gordon-Dirac equations / M. Esteban, V. Georgiev, E. Sere // Calc. Var. Partial Differ. Equ. - 1996. - 4:3. - P. 265-281.

[22] Grillakis M., Shatah J., Strauss W.A. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry I, II / M. Grillakis, J. Shatah, W.A. Strauss // Func. Anal. - 1987. -74. - P. 160-197; 1990. - 94. - P. 308-348.

[23] Imaikin V., Komech A., Spohn H. Soliton-like asymptotics and scattering for coupled Maxwell-Lorenz equations / V. Imaikin, A. Komech, H. Spohn // Bermuder A et al (eds) "Math. and Num. aspects of waves propagation". - Philadelfia, PA: SIAM, 2000.

- P. 329-333.

[24] V. Imaikin et al. Long-time asymptotic behavior and attractors of wave processes / V. Imaikin et al. // Transactions of French-Russian A.M. Lyapunov Institute, MSU.

- 2001. - 2. - P. 105-112.

[25] Imaikin V., Komech A., Spohn H. Soliton-like asymptotics and scattering for a particle coupled to Maxwell field / V. Imaikin, A. Komech, H. Spohn // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2002. - 9:4. - P. 428-436.

[26] Imaikin V., Komech A., Markowich P. Scattering of solitons of the Klein-Gordon equation coupled to a classical particle / V. Imaikin, A. Komech, P. Markowich // Journal of Mathematical Physics. - 2003. - 44:3. - P. 1202-1217.

[27] Imaikin V., Komech A., Spohn H. Scattering theory for a particle coupled to a scalar field / V. Imaikin, A. Komech, H. Spohn // Journal of Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2003. - 10:1/2. - P. 387-396.

[28] Imaikin V., Komech A., Spohn H. Rotating charge coupled to the Maxwell field: scattering theory and adiabatic limit / V. Imaikin, A. Komech, H. Spohn // Monatshefte fur Mathematik. - 2004. - V. 142, N. 1-2. - P. 143-156.

[29] Imaikin V., Komech A., Mauser N. Soliton-type asymptotics for the coupled Maxwell-Lorentz equations / V. Imaikin, A. Komech, N. Mauser // Ann. Inst. Poincare, Phys. Theor. - 2004. - 5. - P. 1117-1135.

[30] Imaikin V., Komech A., Vainberg B. On scattering of solitons for the Klein-Gordon equation coupled to a particle / V. Imaikin, A. Komech, B. Vainberg // Comm. Math. Phys. - 2006. - 268. - P. 321-367.

[31] Imaikin V., Komech A., Vainberg B. On scattering of solitons for wave equation coupled to a particle / V. Imaikin, A. Komech, B. Vainberg // CRM Proceedings and Lecture Notes. - 2007. - 42.

[32] Imaykin V., Komech A., Spohn H. Scattering asymptotics for a charged particle coupled to the Maxwell field / V. Imaikin, A. Komech, H. Spohn //J. Math. Phys. - 2011. - 52:4. - P. 042701-042701-33.

[33] Imaykin V., Komech A., Vainberg B. Scattering of solitons for coupled wave-particle equations / V. Imaikin, A. Komech, B. Vainberg //J. Math. Anal. Appl. - 2012. -389:2. - 713-740.

[34] Jensen A., Kato T. Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave functions / A. Jensen, T. Kato // Duke Math. Journal. - 1979. - 46. - P. 583-611.

[35] Komech A. Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients, in: Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations. - Berlin: Springer, 1999. - P. 127-260.

[36] Komech A., Kopylova E. Weighted energy decay for 3D Klein-Gordon equation / A. Komech A., E. Kopylova //J. Diff. Eqs. - 2010. - 248:3. - P. 501-520.

[37] Komech A., Kopylova E., Stuart D. On asymptotic stability of solitary waves for Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator, II / A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart // Comm. Pure Appl. Anal. - 2012. - 202:3. - P. 1063-1079.

[38] Komech A., Kopylova E., Spohn H. Scattering of solitons for Dirac equation coupled to a particle / A. Komech, E. Kopylova, H. Spohn //J. Math. Analysis and Appl. -2011. - 383:2. - P. 265-290.

[39] Komech A., Kunze M., Spohn H. Long-time asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field / A. Komech, M. Kunze, H. Spohn // Comm. Partial Differential Equations. - 1997. - 22. - P. 307-335.

[40] Komech A., Spohn H. Soliton-like asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field / A. Komech, H. Spohn// Nonlin. Analysis. - 1998. - 33. - P. 13-24.

[41] Komech A., Kunze M., Spohn H., Effective dynamics for a mechanical particle coupled to a wave field / A. Komech, M. Kunze, H. Spohn // Comm. Math. Phys. - 1999. -203. - P. 1-19.

[42] Komech A., Spohn H. Long time asymptotics for the coupled Maxwell-Lorentz equations / A. Komech, H. Spohn // Comm. Partial Diff. Equs. - 2000. - 25:3/4.

- P. 559-584.

[43] Kopylova E. Weighted energy decay for 3D wave equation / E. Kopylova // Asymptotic Anal. - 2009. - 65. - 1-16.

[44] Kunze M., Spohn H. Adiabatic limit for the Maxwell-Lorentz equations / M. Kunze, H. Spohn // Ann. Inst. H. Poincare, Phys. Theor. - 2000. - 1:4. - P. 625-653.

[45] Lions J.L. Problemes aux Limites dans les Equations aux Derivees Partielles. -Montreal: Presses de l'Univ. de Montreal, 1962.

[46] Lorentz H. Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. - Leiden: E.J. Brill, 1895.

[47] Lorentz H. Theory of Electrons, 2nd edition 1915. - New York: reprinted by Dover, 1952.

[48] Maxwell J. A dynamical theory of the electromagnetic field / J. Maxwell // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1865. - 155. - P. 459-512.

[49] Miller J., Weinstein M. Asymptotic stability of solitary waves for the regularized longwave equation / J. Miller, M. Weinstein // Comm. Pure Appl. Math. - 1996. - 49:4.

- P. 399-441.

[50] Pego R., Weinstein M. On asymptotic stability of solitary waves / R. Pego, M. Weinstein // Phys. Lett. A. - 1992. - 162. - P. 263-268.

[51] Pego R., Weinstein M. Asymptotic stability of solitary waves / R. Pego, M. Weinstein // Commun. Math. Phys. - 1994. - 164. - P. 305-349.

[52] Soffer A., Weinstein M. Multichannel nonlinear scattering for nonintegrable systems // Proceedings of Conference on an Integrable and Nonintegrable Systems, June (1988), Oleron, France, Integrable Systems and Applications. - Springer, Lecture Notes in Physics. - V. 342.

[53] Soffer A., Weinstein M. Multichannel nonlinear scattering in nonintegrable systems / A. Soffer, M. Weinstein // Commun. Math. Phys. - 1990. - 133. - P. 119-146.

[54] Soffer A., Weinstein M. Multichannel nonlinear scattering and stability II. The case of Anisotropic and potential and data / A. Soffer, M. Weinstein //J. Differential Equations. - 1992. - 98. - P. 376-390.

[55] Soffer A., Weinstein M. Resonances, radiation damping and instability / A. Soffer, M. Weinstein // Hamiltonian nonlinear wave equations, Invent. Math. - 1999. - 136:1.

- P. 9-74.

[56] Soffer A., Weinstein M. Selection of the ground state for nonlinear Schrodinger equations / A. Soffer, M. Weinstein // Reviews in Mathematical Physics. - 2004.

- 16:8. - P. 977-1071.

[57] Soffer A., Weinstein M. Theory of nonlinear dispersive waves and selection of the ground state / A. Soffer, M. Weinstein // Phys. Rev. Lett. - 2005. - 95:213905.

[58] Spohn H. Dynamics of Charged Particles and Their Radiation Field. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

[59] Vainberg B. Behavior of the solution of the Cauchy problem for a hyperbolic equation as t —y to / B. Vainberg // Math. of the USSR - Sbornik. - 1969. - 7:4. - P. 533-568.

[60] Vainberg B. On the short wave asymptotic behavior of solutions of stationary problems and the asymptotic behavior as t — to of solutions of non-stationary problems / B. Vainberg // Russ. Math. Surv. - 1975. - 30:2. - P. 1-58.

[61] Vainberg B. Asymptotic methods in equations of mathematical physics. - New-York-London: Gordon and Breach Publishers, 1989.

[62] Weinstein M. Modulational stability of ground states of nonlinear Schrodinger equations / M. Weinstein // SIAM J. Math. Anal. - 1985. - 16:3. - P. 472-491.

[63] Whittaker E., Watson G. A course of modern analysis. - Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

[64] Wiechert E. Arch. neerl., livre jubilaire dedie a H.A. Lorentz. - 1900.