О вложении некоторых классов функций переменного приращения и со смешанной нормой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Сулейменов, Кенесары Машимович

• Сулейменов, Кенесары Машимович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Сулейменов, Кенесары Машимович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1 О вложении классов функций в пространства Лоренца

1.1 Вспомогательные утверждения 18

1.2 Оценка сверху невозрастающей неотрицательной функции 19

1.3 О вложении (^ р) 26

1.4 О вложении р L(^, к) (^ = р) 34

2 О вложении анизотропных пространств типа Никольского - Бесова

в смешанной норме

2.1 Вспомогательные утверждения 44

2.2 О вложении н;;.'.....^(л" )с Л'--"" (я") 54

Заключение 66

Список использованных источников 67

2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О вложении некоторых классов функций переменного приращения и со смешанной нормой»

Введение

Теория вложения функциональных пространств дифференцируемых функций возникла в 30 - х годах XX века в работах С.Л. Соболева [1], [2] в связи с решением ряда задач математической физики. В начале 50 - х годов С.М. Никольский [3], [4] методами теории приближения функций построил теорию вложения анизотропных пространств дифференцируемых функций (Е"), показал, что они образуют замкнутую систему относительно теорем

вложения и получил обращение тех теорем вложения, которые касались перехода к многообразиям меньших размерностей без изменения метрики. Далее, спустя почти десятилетие, О.В. Бесов [5], [6] построил теорию пространств (Е"), интересных, в частности, тем, что они, подобно пространствам E (Е"), образуют замкнутую систему относительно теорем

вложения.

Впоследствии эта теория активно развивалась и развивается сейчас (см., напр. в работах [1] - [53]).

В развитой теории вложений классов функций одного и многих переменных, где преимущественно исследовались классы, определяемые значениями числовых параметров, являющихся показателями степенных функций, в том или ином смысле входящих в определения этих классов, в середине 60-х годов XX века П.Л. Ульянов сформулировал (см., напр., [7], [8] и [9]), и в ряде важнейших случаев, на основе разработанных им же тонких методов метрической теории функций, получил решения новых задач, заключающихся в нахождении необходимых и достаточных условий вложения для классов функций, определяемых произвольными модулями непрерывности.

Первая общая теорема вложения, носящая характер необходимых и достаточных условий, выраженных через произвольный модуль непрерывности, состоит в следующем:

Теорема А. Оаны j(j) - .ноОуль м чмсла

1 < < ж. ТоаЭй

ж / 1 А

Е(о,1)^ХJ 1-)<+ж. (0.1)

"=1 \?

Замечание. Достаточная часть критерия (0.1) почти одновременно получена Ж. Петре (1966) [10], П. Гриваром (1966) [11], К.К. Головкиным (1967) [12] и П.Л. Ульяновым (1967), а необходимость - П.Л. Ульяновым [9].

Впоследствии задачи в теории вложений классов функций в стиле постановки П.Л.Ульянова были предметом исследований многих математиков из разных стран:

В.А. Андриенко, Э.А. Стороженко, В.И. Коляда, М.К. Потапов, М.Ф. Тиман, Л. Лейндлер, О.В. Бесов, В.П. Ильин, П. Освальд, Н. Яхонсон, Ю.В. Нетрусов, М.Л. Гольдман, М. Мильман, К.Ж. Наурызбаев, Н. Темиргалиев,

3

Е.С. Смаилов, Г. Акишев, М. Есмаганбетов, М.Б. Сихов, М.А. Жайнибекова, С.С. Кудайбергенов, Е.Ж. Айдосов, Л.К. Панджикидзе, Л.А. Шестернева, Л.В. Матвиюк и другие (обзор полученных результатов см., напр., в статьях В.А. Андриенко [13], Н. Темиргалиева [14], [15], В.И. Коляды [16], [17]).

Тематика данной диссертации лежит в русле вышеуказанных исследований и заключается в следующем: нахождение условий вложения классов функций одного переменного с модулем непрерывности иереленноао ирмра^енмя (1 раздел) и многомерных пространств функций, получающихся при замене степенного модуля гладкости в определении пространства, на иромзаольным модуль гладкости и обычной лебеговской нормы на сле^анную норлу (2 раздел).

Сначала приведем необходимые определения.

Пусть (0,1) (1 < < w) - пространство всех измеримых (здесь и

всюду ниже в смысле Лебега) на [0,1] функций /, для каждой из которых

конечна норма

1

Пусть А", как обычно, л - мерное евклидово пространство точек x = (у,...,) с действительными координатами. Всюду ниже пространство Lw (Л") мы будем понимать как пространство измеримых и ограниченных в

существенном на Л" функций.

Всюду в тексте принято соглашение: при ^ = w у 1

sup] ; <

У

У

X н

- У=0

j] / (и Г — ' = sup / (и ). g И 0<м<У

Пусть дан мультииндекс p = (,...,), где 1 <<w (у = 1,...,").

Через Т(л")= Т^1,...^"(л") обозначают множество всех измеримых функций / (х) = / (х,..., х), для каждой из которых конечна смешанная норма

А"

А"-1

j ...]j /(х1,..., " J^1

А1 \ А1 J

>

При у1 =... = ^" = получаем

А

1

В дальнейшем через С(^,Д...) = С^^ обозначаются положительные

величины, зависящие лишь от входящих параметров <^,^,... и, вообще говоря, разные в различных формулах. Пусть Л и Л - некоторые числовые

4

функции, причем Л неотрицательна. Тогда записи В=0^ (В), В << В

будут означать 1в1 < С (а, ^,...) П. При неотрицательных A и B запись В В означает П << В << П.

а,^,... а,^,...

Пусть A(j) - непрерывная на [0,1] функция, удовлетворяющая

условиям:

0 = ^(0) < A(j) < б)(^) < A(j + ^) < A(j) + ^(^) (о <j<^<j+^< 1). Такие функции называют поОуляпм ненрерыенос^м.

Пусть (/,j) модуль непрерывности функции / в пространстве

L (0,1), т.е.

1

(о <j< 1).

'1-A

(/,j) = sup i f I/(x + A)-/(X)l^ ^х^

0<A<j

Положим

(0.2)

ДА = {/eL"(0,1): A,(/,j)<A(j) (0<j< 1)} , (0.3)

где A (j)-заданный модуль непрерывности.

Пусть 1 < < ^, 0 < а < 1. Пусть / e (0,1), тогда функцию

1

(/,j)= sup if l/(x+Ax")-/(x^ ^x[ 0 <j<1, (0.4)

0<A<j[E:,j J

где E^={x e(0,1) : x + Аха e(0,1)}, называют поОулеп ненрерыенос^м

нерепенноао нрмра^енмя ^унк^мм / 6 (0,1).

Заметим, что Z. Ditzian и V. Totik [18] ввели и изучали общий случай, который получается при замене в определении (0.4) функции ха на непрерывную на [0,1] функцию %>( х).

Ясно, что, при а = 0 имеем ^,(/,j) = ^(/,j).

Разумеется, весь спектр исследований в области теории вложений переносится и на случай модулей непрерывности переменного приращения, что составляет предмет исследований в данной работе.

Пусть 1 << ^, 0< а < 1, j)- заданный модуль непрерывности. Через обозначим класс всех невозрастающих неотрицательных функций / e L (0,1) таких, что

Аа,(/, j) < A( j) (0 < j <1).

Отметим, что при при 0 < а1 < а2 < 1 для всякой невозрастающей неотрицательной функции / e Lp (0,1) имеет место неравенство

Аа,,^ (/,^)^Аа2,^ (/,j) (0 <j< 1) ,

cтaло быть, и вложение

5

Пусть 0<^,. Пространство Лоренца Z(^,r) определяется как множество всех измеримых в смысле Лебега на [0,1] функций /, для каждой из которых конечна величина

Нетрудно убедиться в том, что пространство Лоренца Z(^,r) будет собственным подмножеством Z (1 < < ж) только в следующих случаях

a) ^ > ^,0 < у <ж;

b) ^ = ^,0 < у < .

При данном целом Z > 1 всякую непрерывную неубывающую на [0,1] функцию ^(j) такую, что (С>0-число)

(0) = 0 (у)< cj-^ (j) (0 <j<7<1)

называют ^уик^мем ^миа .поОуля алаОкос^м Z - ао ио^яОка.

Говорят, что функция ^(^) иоч^м убыеае^ на [0,1], если существует число С > 1 такое, что при всех 0 < < 1 выполнено неравенство

^(?2 )< С^(^1) .

Обозначим через Ор, р> 0 класс всех непрерывных строго воз-

растающих на [0,1] функций б7(о) таких, что т?(0) = 0, т?(1) = 1, ^(j)j р почти убывает на [0,1].

Вектор-функция ^(j) = (^ (j),..., (j)) принадлежит (по

определению) классу Ор, где Р = (Д,...,р), если <^.(j)eQ^ при каждом

у е{1,2,...,и}.

Пусть р = (д,...,1),1 <у. <ж, k = (^i,...,1 > 1- целые числа и

/ е Zp (). Положим (у = 1,2,..., и)

^, (0, / )= sup

(0 <О< 1),

(0.5)

^1 <j

где 6. - единичный вектор, направленный вдоль оси и

Функция (0.5) называется сосулап алаОкос^м иоряОка ^уик^мм / е иаи^аелеимм осм .

Пусть p = (^!,...,), 1 <у. <ж, 0<^<ж, k = (Z1,...,), > 1 - целые числа,

задана вектор - функция ^(j) = (^(j),...,^„(j)) такая, что для каждого

6

е{1,2,...,и} (0) = 0, а(1) = 1, a(j) строго возрастает на [0,1] и пусть

/ е Д' (Д" ).

Следуя М.Л. Гольдману [19], определим анмло^роиное ирос^ранс^ео ^миа Нмкольскоао - Лесоеа (Д") е с^е^анном нор^е как пространство всех функций / е Д' (Д"), для каждой из которых конечна величина

7=1

аХ7р(f, /) ^^7 (f)

(f)

1

> ирм 0<^<^,

) 7 X p

(f)

(0.6)

" о^7 (f, /)

11/11в =I/IIp + X suP " иРм ^ = ^.

Отметим, что пространство зависит также от k, хотя это не отражено в обозначении.

Пусть ^(J) = (^i(J),...,^„(j)), где ^7(0) = 0, а(1) =1. a(j)

непрерывны и строго возрастают на [0,1]. При каждом у = 1,2,...,и для функции м = (j) рассмотрим, обратные функций (м) и положим

J = Q 1(м )=^^/(м).

.=1

(0.7)

Функция м = Q(j) - обратная к функции (0.7) называется среднем ^унк^мем системы {а. (J)}\ ^.

Это определение для случая ат(j)eQ1 введено В.И. Колядой (см.,

напр., [16]). В случае ^. > 1, средняя функция м = Q(j) изучалась М.Л.

Гольдманом [19]. Там же показано, что если ^(j)e^^ .,^ , то (f )е^ 1

" 1

XX -

В.И. Коляда [17] дал эквивалентное определение среднего модуля непрерывности:

^(j) = ^(jA...,)^ in^ ^max(j.) (°< j< 1). (0.8)

0< J. <1

Пусть дан мультииндекс г = (г1,..., ги): г7 > 0,7 = 1,..., и. Функцию

-?(z) = ^г„...уи (^1,..., Z")

называют ^елом ^унк^мем эксионен^мальноао ^миа V, если для нее выполняются следующие свойства:

1) она есть целая функция по всем переменным, т.е. разлагается в абсолютно сходящийся для всех z = (z1,..., ии) степенной ряд

7

g )=X Hkzk

k >0

...Z^"

= X н^1,...,^,^1'

^7 >0

2) для всякого ғ > 0 существует положительное число А^ такое, что

для всех у,..., выполняется неравенство

Величину

g (^..., ^"

)<А,еу"

€ Т^А" )

где нижняя грань распространена на все g^

назыеаю^ иолныл

намлуч^мл ирмблм^енмел ^унк^мм У е Lp

(А")

целыми функциями g^,...,^

экспоненциального типа ,..., ^ по переменным у,..., у. Функцию g^,w(. = 1,...,") называют целой функцией экспоненциального типа у по

переменной ху .

Аналогично, величину

Е,., / )p = ,Ц / - g^^,, где нижняя грань распространена на все g^,w е (А")

называют час^ныл

намлуч^мл ирмблм^енмел Уунд^мм у е Тр (А")

целыми функциями g

экспоненциального типа у по переменной .у..

Данная работа относится к теории вложения классов функций одного и функциональных пространств многих переменных.

В постановках различных задач привлекаются разные классы функций.

Прежде, чем переходить к формулировкам соответствующих результатов из теории вложений, условимся пользоваться следующей терминологией.

Пусть и М2 некоторые классы функций. Запись M^ с М^ означает, что множество есть подмножество в теоретико-множественном смысле множества тМ,, при этом будем говорить «тМ вложено в тМ,».

Если М1 и М2 некоторые функциональные пространства с нормами Ц-Ц^ и Ц-Ц^ , то запись М1 с М2 означает, что М1 есть подмножество множества тМ, и для всякой функции у е М^ выполнено неравенство Цу]]^ < СУҺ , где С - положительная величина, не зависящая от функции f.

В первом разделе речь будет идти о вложении классов, а во втором разделе о вложении функциональных пространств.

Первая теорема вложения была получена Е. Титчмаршем [21] в 1927 году, этот результат был сразу же усилен Г. Харди и Д. Литтлвудом [22], доказавшим вложение (1 < р < % < w)

8

Z/р (", р) Z/р (" - (1 р -1 %), %). (0.9)

В свою очередь, неусиляемость в определенном смысле вложения (0.9) была установлена П.Л. Ульяновым [7] в 1967 г.

Утверждение (0.9) фактически означает, что функция, имеющая степенную гладкость в метрике Zp , при переходе к более сильной метрике в степенной же шкале теряет гладкость на величину 1 p -1 %.

Заметим, что эта величина неизменно присутствует в теоремах вложения разных метрик для классов дифференцируемых функций многих переменных-Соболева (0,1)и, Никольского Яр (0,1)и, Бесова вр(0,1)и, равно как и в теоремах вложения Т.И. Аманова для классов функций с доминирующей смешанной производной Увр,^ (0,1)и, где гладкость г теряется соответственно на величины м(1/р-1/^) и (1/p-1/^), а также в теоремах вложения разных метрик для классов функций, определяемых

произвольными модулями непрерывности.

В определенном смысле это свойство переносится и на случай, изученный в работе [24] Н. Темиргалиева, с которой связаны постановки задач и результаты первого раздела данной работы.

Теорема В (К Гелмраалмее /24/). Цус^ь Оаны р(б) - лоОуль неирерыенос^м м чмсла 1 < р < ж, 0 < о < ж, 0 . ГоаОа

еслм р,0 <г<ж, то

(11 у,

җ 0 —1-1 р у

Г1) L и J

Яр б(у,н)^ и

< +w;

(0.10)

И=1

2) еслм ^ = р м 0<о<р, ^о

z(p, у )<+^.

и=10и(1п и) р и

(0.11)

(е случае необхоОмлос^м мреОмолааае^ся р( J) = О^р(б^)}(0 < J < 1) J.

В последующем «логарифмический эффект» из (0.10)-(0.11) в разных видах был получен в работах различных авторов (см., напр., [25]).

Еще одно направление исследований вызвано предложенным Z. Ditzian и V. Totik [18] модулем непрерывности переменного приращения р^^,(У), который нами рассмотрен заменой непрерывной на [0,1] функции %>(х) на

функцию х", т.е. в частном случае дано определение (2).

Известна следующая

Теорема С (У.А ^у /26/). Цус^ь Оаны чмсла 1 < р <җ, 0 <"< 1. ГоаОа Олл любом Уунд^мм / е (0,1) млее^ лес^о нерасенс^ео

"+1+—

/ p

/ '(х )< С (p,a)jj

< х < 1).

9

Для сравнения этого и других результатов из [26] с нашими, сформулируем аналогичные результаты из работы [26] в виде следующей теоремы (нумерация соотношений в [26] здесь сохранена в скобках вида //).

Теорела D ^у /26/). Цус^ь "(j) - лоОуль мемрерыммос^м м Оамы чмсла 1 < р < ^, 0 < а < 1. ТоаОа усломме

„=1 У м J

Оос^а^очмо Оля бло^еммл

Җ, Z" (0,1),

м меобхоОмло мрм мымолмеммм усломмм (лелла 2 м /26/)

/22/

(0.13)

(0.14)

/23/

lim inf

/^0

А1+а

f

0

1 f ,,+1

А1+а *

= О {" (А)} (А 0), /)

/24/

/7Р/

> (А 0).

..' '"4'^ J

/17/

<

7

" (А) Ау

Достаточность условия (0.13) для вложения (0.14) в [26] сформулировано в пункте b) следствия 1 в виде (аргумент при не указан) 7(/*,1 ] <^,

где <д - непрерывная на [0,1] функция.

Здесь, по-видимому, произошла опечатка при конкретизации Ф(/) = б более общего условия вложения

i /т м=1 м

(см. также следствие 2 в [26]).

В данном разделе нами получены следующие результаты.

Теорема 1.1. Цус^ь Оамы чмсла

мемозрас^аю^ем мео^рм^а^ельмом мерамемс^мо

1 < р <^,0 <а< 1. ТоаОа Олл любом Уумк^мм / е Zy (0,1) смрамеОлммо

"

1

/(х)< с(^, у )^J—

7 7 2 7

У ,2 -1 21-а -1

У У 7 7

1+1

/у

4/ У] Д }>

11^ Ну

(о < < 1).

(0.15)

З&мачаныа. При а = 0 неравенство (0.15) совпадает с оценкой

Э.А. Стороженко [27].

Влияние параметра а в определении (0.4) показано в следующем предложении.

10

Утверждение. Дус^ь Эйнм числя 1 <?<w. о<,< 1 м у ^якис, ч^о 0 < , + — -1 < у < —. ТосЭя СООШИОШСИМС

? ?

(0.16)

f,.?(0<<5< 1).

Сравним неравенства (0.12) и (0.15). Отметим, что оценка (0.15) не хуже оценки (0.12) (доказательство дано в замечаний после доказательства предложения 1)

1 fx, ?

f-

7 7 2 )

7 *.2-1 21-x -1

V 7 7

Далее, в силу

0 < ,+--1 < у — )

? ?

f ±,2-1 L X'''

(0 < X < 1).

-L+t J ,+-+1

/? X / ?

(0.16) имеем (1 <?<w. 0<x< 1 и у такие, что

7

2^-1 /

V 7

л

1-,

1+1 /?

(0 < X < 1) ху

(0.17)

ху.') 1

------ —

x+—+1 ху

/ ?

1

1-у f --у)

1-,f? ).

у (о < х < 1).

(0.18)

1 f,.?

f

A

—

x, ?

и

1 f? V х' . )

оценку по

Как это следует из (0.17) оценка (0.15) неулучшаема по порядку в том смысле, что можно указать функцию, а именно функцию /(х) = -1, для

которой обе части (0.15) имеют один и тот же порядок —. Одновременно, х'

при 0<,+ — -1 <у< — из (0.18) следует, что неравенство (0.12) дает ? ?

завышенную на неограниченно растущую степенную функцию сравнению с (0.15).

Теперь сравним качество известной (Ы.Х.Ку) отношению к каждому из параметров 1 < ? < w, fx, ? (х-' ^').

Предложение. Пусть даны числа 1 < ? < w и

функции /(х)= -1 при у = I

х' ?

и новой

0 < ^ < 1,

оценок по

0 < т < 1

0 < x < 1.

Тогда для

- г(1 - ,), 0 < г < 1 модуль непрерывности имеет порядок f,^(x"' ,^) и справедливы следующие утверждения:

1) если 0 <г< 1, 0 < , < 1, то оценка (0.15) точна для всех 1 < ? < —2—г,

г(1 - ,)

x, ?

11

2) если 1 < р < — и 0 < т < 1, то оценка (0.15) точна для всех 1 - — < ^ < 1,

рт

3) если 0 <^< 1 и 1 < р < —, то оценка (0.15) точна для всех 0 < т < —^—г.

р(1 -^)

Таким образом, во всех случаях новая оценка (0.15) точна, известная -(0.12) в указанном выше смысле завышена.

Теперь перейдем к теоремам вложения классов Л^,р в пространства Лоренца .(ч—).

В случае задач вложения классов Л^,р в классы, определяемых через невозрастающие перестановки (в их числе и в пространства Лоренца), в доказательствах можно ограничиться рассмотрением лишь неотрицательных невозрастающих функций из класса Л^,р .

Справедлива

Теорема 1.2. Лус^ь Оаны чмсла 1 <р<^, 0<^< 1 -(1 р-1 ^), 0< —<<-. Лус^ь ^ак^е Оан некоторым лоОуль неирерыенос^м ^(б). ГоаОа Элл ^оао ч^обы млело лес^о ело^енме

Т_7-^

У а,р '

необтобмло м Оос^а^очно, ч^обы

—( - -11-1

1-ау р

с .(^,—),

Г11

у J

Теорема 1.2 в полном объеме означает следующее. Достаточность: существует величина с(р,^,^, ^—)> 0 такая, что для всякого / е .р или, что то же самое, для любой неотрицательной невозрастающей функции / е Л (и тогда / = / *) выполнено неравенство

(1 <р <^<ж, 0<^< 1 -(1/р-1/^), 0< — < —)

1

jj[/ *(л )t л р < с

^=1

< —

(0.19)

(^,—)

Необходимость: требуется при условии У 1 ] = -

^=1 У м )

функцию / = /* е Л^р такую, что

j < I/' (<)]' = +-.

0

Следствие 1. Лус^ь Оаны чмсла 0<^< 1 <р<< —, ^(j) немрерыенос^м. ГоаОа

построить

- лоОуль

с . (0,1)^ у у

=0

1

1-^

1

Г11

у ?

< +—

(0.20)

12

Отметим, что при а=0 условие вложения в (0.20) совпадает с критерием Гривара - Петре - Головкина - Ульянова (теорема А).

~ ю Л 1 Л

с(0,1).

2. При = 0 условие (0.13) также совпадает с условием вложения TJ сА(0,1) (теорема А), при 0<^< 1 достаточные части условий (0.13) и (0.20) различны.

2. При ^ = 0 теорема 1.2 совпадает с первым из приведенных выше критериев Н. Темиргалиева из теоремы В, а при 0

является новым случаем в теории вложений. Содержательность случая 0 показывает следующее

Следствие 2. Цус^ь 1 <,<р<^, 0<^< 1, 0<у<ю, м(А) = А

1

1

1

1

(0 < < 1) и р =

- . Аслм 0, ^о ело^енме

млее^ лес^о ^оаОа м только ^оаОа, коаОа р < 0.

Теорема 1.3. Цус^ь Оаны чмсла 1 <,<ю, 0<^< 1,0<г<ж 0<у<,. Цус^ь ^ак^е Оан лоОуль нем^ерыенос^м м(А). ГоаОа, Олл ^оао ч^обы млело

лес^о ело^енме

J/;,, с г(,,у),

Оос^а^очно, а е случае, коаОа м(б) = о{^(б^ )(0 < А < 1), м необтоОмло, ч^обы мУ[1 )<+ю.

Условие вложения в теореме 1.3 от ст зависит лишь в форме зависимости величины с(р,г,^) в неравенстве (/ - невозрастающая неотрицательная функция из (0,1))

I "=1

У

г 1) 7 ,-

+7 г,

к ")

1

У1к( ,,у) < с(р,у,^)1 —— м

и(1п (" + 2)^^

Во втором разделе данной работы рассматриваются задачи о вложении анизотропного пространства типа Никольского-Бесова (А") с модулями гладкости в смешанной норме.

Начнем со следующей задачи. При каких условиях на числовые параметры ,, ч, б и функцию и имеет место вложение:

(А" )с С (А") ? (0.21)

В случае степенной функций м здесь первые теоремы вложения были получены С.М. Никольским (случай б = ю) и О.В. Бесовым (случай 1 < б < ю),

13

которые в разных вариациях были продолжены в работах многих математиков (более подробно см., напр., Трибель [28]).

Данная задача в обычной несмешанной норме рассматривалась М.Л. Гольдманом [19]. Именно, им доказана следующая

Теорема Е (МЛ. ЛольЭлаи /79// Лус^ь 1 < р < 9 <w (Lw() = С ()), уе{1,...,и}, 0<,<w, Д = (Д1,...,, ю(/)е(^), ү > 1 - иорлЭкм лоЭулем иеирерыеиос^м 6 оиреЭелеимм ирос^раис^еа ) м

9 при 9 < W,

1 при 9 = W.

ж 9 = <

ГоаЭа Элл ^оао ч^обы млело лес^о ело^еиме

В,R")с L9(R"),

иеобтоЭмло м Эос^а^очио, ч^обы

1

л

А,, /f

"Л

/[ < w,

(0.22)

аЭе

w

Л = ] ,9^

ирм ,< 9*,

— ирм,> 9".

_ 9

Здесь, напомним, О(м) - средний модуль непрерывности, т.е. средняя функция системы {ү (м)}, т.е.

/ и ү1

а(м )= ' (м) ,

V у=1 7

здесь (^) означает обратную функцию к <р(/).

Мы рассмотрим вложение (0.21) в предположении, что лебеговские нормы в определении классов смешанные. Именно, пусть p = ( р,..., р„), 1 < л <w (7 = Д ...и). q = (л ., 9и), 1 < .Ру < 9у <w (7 = Д ..,и).

Задача: при каких неулучшаемых соотношениях между числами 0<,< w, 1 <р <9 < w,^,1 <р <9 < w и функциями щ1,...,щи имеет место вложение имеет место вложение разных метрик (и = 1,2,...) (ди \ (ди)?

Л1,...,Ли,^^ / \ /-

Доказательство основной теоремы второго раздела следует схеме рассуждений из статьи [19] М.Л. Гольдмана, с изменениями, соответствующими случаю смешанных норм в леммах 6 и 8.

Нами доказана

14

Теорема 2.4. Лусть Эля ка^Эоао у (у = 1,...,и) Эаны чмсла 1 <р у<<ю (Ью (Яу) = С (Яу)), 0 < Э < ю, 0 < ^ < , строао аозрастаю^ме .ноЭулм алаЭкостм ^(j) норяЭка такме, что ^(о) = 0, ^(1) = 1, ^у(?)-ночтм убыаает на <0,1].

Лусть Q(j) есть среЭнмй .ноЭуль алаЭкостм смсте.ны ^,...,^.

7ак%е нослеЭоаательно уоло^м.н

min д, еслм д < ю нрм некоторое у,

1, еслм ду = ю нрм бсех у = 1,...,и

м

ю нрм 0 <Э< д*,

Я = 1

нрмЭ > д*.

ГоаЭа услоаме

_Э*_

Э-д"

1

J - J - . ^р,д,Э,Ж1,...,Ж" 1 J 0 о(/ )П у=1 1 1 1 1 1 [ -L 1* Lр./ ууJ я 4/ Я > < ю ,

Эостаточно, а а случае, коаЭа min ду = д* = д„, м необтоЭмно Эля ало^енмя

(я" )^ L'1-'^ (я").

Зам^чани^. Лрм р = р1 =... = 1 д = д1 =... = утаер^Эенме теоремы 2.4 соанаЭает с теоремой 7 мл /7Р/. Лрм несоауаЭаю^мг ру млм несоауаЭаю^мх д утаер^Эенме теоремы 2.4 яаляется ноаы.н.

Перейдем к следствиям доказанной теоремы.

Задача: при каких неулучшаемых соотношениях между числами у (у = 1,2,...), 0<Э<ю, р >0,...,р >0, 1 <P1 <д1 <ю,^,1 <<ю

имеет место вложение

дуд э(ду Я ^д*.ду (Ду )?

Ответ на поставленный вопрос дает Следствие1. Лусть у (у = 1,2,..), 0<Э<ю, р >0,...,р >0,

1 <Я1 <41 <ю.-,1 <Яу <4у <ю.

ГоаЭа

7) еслм min д = д* = д <+ю, то

у=1,...у у

в;у'у,'уу, (я" )^ 1у*,''"у" (я")

Г I

о<э<+ю, 1 >УЯ _ р у у

г 1

о <Э< у*, 1 = Х Я —

у=1 ^у

"1

у=1 ^у к Р

А

1

уу 7

2_ )

Я 7'

"1

15

2) еслм =... = = w, ^о

^Ч,..,^,

У1,...,Р,

'и

„(ди )с С (Еи )^<

" 1

о <^<+^,1 >Е—,

7=1 ^7

и 1

о <б< 1, 1=Е—.

[. 7=1 ^7^7

Б час^нос^м /27, 22/

(Еи )с с(Еи )^ 0 <б< 1.

* = < +w, ^о

2) Если =... = =w, 1 <^^+1,...,<w м min = %

7=1,...У

^^.....iT? (-R") с L^,....-,^^!1,...^ (^и) ^ <

" 1

о < б < +w, 1 > Е—

7=1 7-Е

и 1 + Е -

71 17

7=^1 ^7 7 ^7

Г 1

о <б< <Е1 = ^^

7=1 ^7^7 7" ^7 7^7

+ Е1

%7 1

1 1

Е 1

Следствие 2. Лус^ь баны чмсла 1 < < w 1 < < w, 7 > 0, 2 *

любое (7 = 1,...,"). Лус^ь ^а^^е баны 7.(/) = /7 ln 7 (1//), о^сюба

1 21ij1 +...+2„7;,'

^!-1+...+^2 In ^1-*+..^2 (1/f)

Е - 71 --1

7 7 7(1/f) -

м п — 7=1 7%' .

О^сюба

1

7W1) 7

17 77 - "71

^(f) f

—1—Е - 1

f ч-1+...+чГ17=77i7 "7 7

^1-1

21^11 +...+2"7" -—

In

I-' +...+Ч-'

" 7

^(; )П

7=1

1

77-W )) у

17 7 - 7 ]

1

...! г,-1

Г. 1 + ...+ Г" f 1 "

1-Е -7--_ 77 7 ^7

"71

) 71*11 +...+Т"Г"7

In

ч-1+...+ч-'

1-Е -71 1 _ 77 7 ^7 "7 7.

'^(1/f) -

Лолами + "'+2"'"'

1 + - +

д 1

Г1 1

1 -Е------

7=1 Ч7 7 ^7

"7 7J

-[%//(б- "*)]-

Гоеба

. д 1

т'

1) ^^^,.....,д,2^?'...2"(я")сL""..^"(я") (7=I,.., Д7 )

1 >Е------

7=17 7 Е

1 11

,-w<T<+w, 0 <б<+ж,

71 11

" 111 ж

1 = Е —--, - w<T< 1, 0 < 6 < +w, м т< 0, 0 < 6 < ".

7=1 77 7 7

" 1 1

Еслм 1 = Е— —

7=1 77 7 7

Г1 1)

"7 /

м

г > 0, ^о ело^енме 7/ нееолио^но ирм любыл

0 < ^ < +w -

16

2) В'''

^1,...,Р,

....,Г, ,21,...,^

,0

(?1 =..'=?,=ж)

- 1

1 > V---, - ж < т < +ж, 0 < 0 < +ж,

7=1 7Л

(д-)^ С (^-)^J1 = V—,

-ж<т< 1, 0 <0<+Ж,

7=1 7Л

, 1

1 = V—, Т<0, 0<0< 1,

7=1 7Л

- ,^1,...,А,

т > 0,

- ж < т < 1, 0 < 0 < +ж, т<0, 0<0< 1.

Еслм 1 = м

7=1 ^^'^7

ог,,...,г^,2,...Д, )

3) ^^1,...,^, ,3 7,

(^- )^ С (^- )^<

(?1 =...=?, =ж)

ело^енме 2) нееоз^о^но любыл* 0 < 0 < +ж.

С ^+-,...,+-, ?.+!,...,?. (^" )^

min <+ж

+ V -

7 7

+ V - ]"-

7=1+1 ^7

+ V -

1<у* = ]

7=1

1 1 " 1

1 >У— 1

^7

1 1

1=V^-

7=1 ^7

Еслм 1 = V

7=1 7^7

0 < 0 < +Ж.

1 "

7=1+1

7=1+1 ^7

1

1

1 1 )

4,

- ж < т < +ж, 0 < 0 < +ж,

1

*7' 7

1)

. 7 к ^7

1 1 )

7' J

%7

-ж<т< 1, 0 <0<+ж и т< 0,0 <0<

м т > 0, ело^енме 3) нееоз^о^но и^м любыл*

З&м^чдниа Основные резуль^а^ы слеЭс^емя 7 ^еоре^ы 2.4 с соо^бе^с^еую^м^м резуль^а^а^м мз ^77 ^нмам /^б/ м с^а^ьм ^.Л. ЛольЭ^ана /7Р/. ^езуль^а^ы слеЭс^емя 2 ка^е^ся, ябляю^ся

ноеы^м.

17

1 О вложении классов функций

в пространства Лоренца

1.1 Вспомогательные утверждения

Лемма 1 (сж, наир., /4, с^р.276/). ^яя любыл иоло^м^ельныл чмсел у, 3 м иослебоеа^ельнос^м {а^ }"„, > 0 м^ее^ ^ес^о нераеенс^ео:

" /* /

X 2-"[X".

/=0 V,=0

3

«

X 2-'"

t =0

Лемма 2 Ц.Л. Ульянов /Р, с^р. 66Р/). Цус^ь конечная нео^рм^а^ельная ^унк^мя р(г) не еоарас^ае^ на [1;+ж) м уе(-ж,+ж) -некоторое бемс^ем^ельное чмсло. Гоаба

X 2

"=2

"(1-")

^(2' )«X "*'^(" )«X 2"'1-')

" '=3 " '=1

^(2").

Лемма 3 (Л.Л. Ульяное /Р, с^р. 660/). Цус^ь баны чмсла

">0, ге(1 -",1), .^обуль неирерыенос^м ^(J). Гоаба, еслм

хХ 1 ) = +",

и=1 V и 7

^о намбу^ся чмсла Ви (и = 1,2,...) ^акме, ч^о:

7) р, Ф о

ирм

ж м В^

бля есел и;

2) Х В, = . { 1 ])

ирм У +ж;

я t

2) X 2""-' 1; В, - В,-1]" = +".

и=1

Лемма 4 (К Ге^мраалмее /24, с^р.777_/). Цус^ь бано чмсло v > 0 м иус^ь нео^рм^а^ельная иослебоеа^ельнос^ь а = {а^}^ ^акоеа, ч^о ирм неко^оро.^ J0 > 0 сираееблмео 2^° Ф ирм t ж. Гоаба бля любом

нео^рм^а^ельном неубыеаю^ем иослебоеа^ельнос^м 2 = {2^ }^ м^ее^ .^ес^о X"^2"«{"и2и+X(2^+1-2^)"j(и=1,2,-).

Лемма 5 (МФ. Гм^ан, ^.Е. Вубмн^^емн с^. /2Р/). Еслм Ф(^ ^ж) м ирм неко^оро.^ С>0

X^,«СЕ, X1«С(и=0,1,---),

,=0 ,=и В, Ви

^о рябы

XE"^"^ м X^"(^"- ^"+1У

"=0 "=0

18

нрм любо.н 0 < г < ж о.тоЭя^оя млм роо.тоЭя^оя оЭнобре.ненно.

1.2 Оценка сверху невозрастающей неотрицательной функции

Имеет место

Теорема 1.1. Луо^ь Эоны нмоло ненозроо^ою^ем нео^рм^о^ельном неронено^но

1 <р<^,о<о< 1. УозЭо Эля любом функ^мм / е Zp (о,1) онронеЭлмно

л ^2 л

1 ^о, р у ,2-1 21-о -1

у(х)< с(°, р) 1— к к J 1+1 41 у11р

(0 < X < 1).

(1.1)

У е Zp (о,1). Выберем число А. е

^окозо^ельо^но. Пусть

, (1 + о

А > 2max(----, 21.

L1 -о J

Определим последовательность {АА}, следующим образом:

так, что

А - С(°1

А 2А '

(1.2)

2

21-" -1

где С (о) - —-— > 1 и целое А > .

Пусть целое А > А и пусть —4 < х

Тогда имеют место следующие неравенства:

1 о 1

(А+1)о < х <

2 1-0

21-"

о < А < 1,

(1.3)

+ С(о) 1 ,

1,

(1.4)

С(о) о 1

X + . хо .

пА А-!

21-"

(1.5)

19

Действительно, при целом + > +, имеем

2

С(") 21-"-1 1

+ 2+ 2 2+

2

21-"-1 1 ,

----------^ < 1,

2 2+"

тем самым, неравенство (1.3) доказано.

++1

21-"

Далее, при целом + > + и —< х < -^-, справедливо

21-"

1 С(") 1

+

21-"

+

2+

21-"

1 + С(")

2 1-"

+

21-"

1 С(")1 + С(")_

+

21-"

+

21-"

+

21-"

2

2^-1

1 +------

2

+

21-"

1

+

21-"

2

1 + 21-"

2

1

+-----------<

++1-" + 2

2 1-" 21-" 1-"

1

1

11

21-"

1

^0 +1-" + +0-2 < 2+"* 2-"

2 1-" 21 -" 2 1-"

< [ирм

.111

" = 01 < +у=2 <1,

т.е. неравенство (1.4) доказано.

При целом + > + и —< X < -^-, получим

21-"

++1

21-"

1

С(") "

X + \ х" 2+

++1

21-"

С (") 1

+-1

21-"

1 , С(") 1

++1 +-1 + ^ + (^+1)" +-1

21-" 1-" 2 1-" 1-"

2 2 1-"

2

1 1 С(") 1 1 , 21-" -1 1

+-1 2 +-+"++"+"-++1 = +-1 2 + 1+^ = +-1

21-" _ 21-" 2 1-" _ 21-" 21-"

стало быть, неравенство (1.5) доказано.

непрерывности , у)

Теперь перейдем к оценке снизу

модуля

(0 < у < 1). Сначала, докажем, что (см. (0.4) из Введения)

Х+,"

1 1

++1 ' +

(1.6)

Действительно, при —< х

, С(")

и = , имеем

+ 2+

О < х + ^х"

^-L+см-ГУ,

— 2+ '

20

4

1

4

.4

тем самым, (1.6) доказано.

Из соотношения (1.6) имеем

0

[/.-("f]/(^)-/ У+-^

1

4+1

21-"

Так как -^-

21-"

1 _ 1

4+1 4

1

21-"

= О (")-^, то, в силу (1.5), получим

21-"

0". , [/ .-(")-2 (")

1

4

/

2 ,(1-")

у

1

4

L 21-" )

- /

Л

1

4-1

L 21-" )

Отсюда,

/

У

1

4

L 21-" )

- /

/ Л

. 1

4-1

L 21-" )

4

< О (")2 4(1-")0

(1.7)

Покажем, что имеет место неравенство

0".,(/. -(") 1-"У^.

4 -1 О(")) 2 (" 0".,

L/.-2+)«( — -+1

-- V 4

2 1-"

Действительно, в силу монотонности модуля непрерывности, получим

4

2 4(1-")0

(1.8)

далее,

4-1

2 1-"

f

4 -1

2 1-"

f

4

2 1-"

1+1

Г

0".,(/.- (")'-),, ^0

4 -1

2 1-"

f

4

2 1-"

-1 -1

4 ,

-1 -1

/4 =

*4

2 1-"

1

_4-1

2 1-"

4 = 4

2 1-"

4 4-1

2^(1-"^ _2^(1-")

1

1 т

—

4

Таким образом, соотношение (1.8) доказано.

Из (1.7) и (1.8) имеем

/

у

1

4

L 21-" )

- /

1

Л

4-1

L 2"

1

4 -1

21-"

«f

1

4—

21-"

4

= ,2 ,(1-") 1 -

4

» 2

0.., (/. .

1+1

Г

(1.9)

21

Суммируя обе части (1.9), получим

=^0 +1

7 7 г \

. 1

L 21-„ 7

/

1

R -1

21-„

-1

L 21-„ 7

^„, (/. с („г-С

1

Г"

21-„

1+1

с

1

«

" 2

X 1

=^+1

стало быть,

/

L 21-„)

/ 7

L 21-„)

1

^о

21-„

1

1

21-„

Л

1

/

«

^„., (/. с („)<'-„ ^^.

1+1

с

Воспользовавшись оценкой

1 2

= (л)]^ > J[/(л)]^^л > [/(2У 2

0

о

при 2 = -^, получим

21-„

/

Л

L 21-„)

1

1

1

21-„

0„,(/. с(„)с„) ,, ,,

1+1

1

«1

Отсюда, для любого 0 < л < 1, будем иметь

/(л )<<j1

1+1

с

0

1

='1-

л

2

/, 2-1 1 /1-„ 7

1+1

с

(1.10)

(/.с („^^) +1 /1^ j

+ч '.

Тем самым, теорема 1.1 доказана полностью.

При „ = о неравенство (1.1) совпадает с оценкой Стороженко Э.А. [27].

Влияние параметра „ в определении (0.4) показано в следующем предложении.

Утверждение 1. Лус^ь Оаны чмсла 1 <<ж. о<„< 1 м у ^акме, ч^о 0 <„ + — -1 < у < —. ТоаОа млее^ лес^о соо^но^енме

22

^окдзд^лье^ео. Сначала модуль непрерывности функции / (х) = -1 оценим сверху. Имеем (0 < А < J)

j]/(х)-/(х + Ах"^йх = j

0 ох (х + Ах")

"]Р

йХ =

= 1-^

о х

1 р -L С(у)А1-" 1 1

1 йх = [ — 1

(1 + Ах"*' )у 0 х (1 + Ах" Г.

1

1

1 -

р

йх +

+ I -1-

1 хур

С (у)А1-"

1

1-"

> 0.

пр

йХ = (А) + р (А),

/ 1 X

где С(у) = 2у -1

V 7

1

Оценим интеграл (А). При 0 < х < С (у) А1-" получим , 1

х*-" Ах"-1 > 2у -1 ^(1 + Ах"-1 У > 2

2у -1

1 11т 1

0 <---------< - ^ - < 1---------< 1,

(1 + Аг"-' )у 2 2 (1 + Ах"-' )у '

отсюда

1

С(у1-

(А)= I

о х

пр

(1 + Ах"-1 У

С(у -

J

о

---й^

ху

1 С (у) А1-"

х"у р+1

1 -ур

, т^(1-ур) А1-"

1

1

1

. у

0

0

(1+^1 у

1 -

1

0

1

1

1-"

Таким образом,

С, (у, р )А1-"^

1

< /1 (А)< С2 (у, р )А1-"

(1-у)

'

откуда получим также оценку снизу для модуля непрерывности 23

Q (/ г )А

1

(1-у)

< 7, (А)<й,"

1 ь) ' *

V т 7

1

Оценим интеграл (*). При С (/) А1-" < т < 1, получаем

, 1 1

<-^< 1 А<Ат"-' <2у-1 ^(1 + А)у<(1 + Ат"-'У <2,

2у-1 Т

отсюда, учитывая, что 0 < А < 1 и ур < 1, имеем

1 <(1 + Ат"-1 )у < 2,

следовательно,

1 1

— <---------< 1,

2 (1 + Ат"-1 )у ,

тем самым, получим

0 < 1----1----<1.

(1 + Ат"-1 )у 2

Применим к функции

g (у ) =1 -(1 + у)-/

формулу Маклорена при у = Ат"-1. Поскольку 0 < ^ < у g(о) = 0, g'(о) = у , g"(^) = -у(у +1)(1 + ^)-у-2

то

1

0 < 1 = /tr"-1 А^т2--1' < /к"-1.

(1 + Ат"-1) У 2(1 + Л*2 У

Воспользовавшись последним соотношением, для

иметь ((у-" +1)р > 1)

интеграла (А) будем

72 (А)= )

с//1

1

1 (1 + Ат"-1 )у

-р

1

<< Ар J

- С(/)А1-"

1

<< Арт-/-"+1) р+1

, р Z 1"(-У-"+1)Р+1)

<< АрА1-" <<

1

С (у) А1-"

—^(-/р-(1-а) р+1) (-/р+1) ——(1-ур)

<< АрА1-"( ( ' )<< АрА*рА1-"( '<< А1-"( '

24

Таким образом,

1

.' 7

f --'!

7 J,

тем самым, утверждение 1 доказано.

За^^чани^ 7. При 1 <7<w, 0<.< 1 и ' таких, что 0<.+—-1 </< —,

7 7

имеет место соотношение

1 ".

f-

±'2-1

X'

/ A

21-J-1 -

V

1+1

У7

л-

1

.

X'

л

1 -.

JJ

Действительно,

л

1 ".'7

f-

-'2-1

X' '

2 A

21-J-1 -V J

1-.

1+1

У7

— л-

г -7 1

J -+1

1

1

—'

2. Пользуясь утверждением 1, определим порядок функции

1 ".' 7

f

X

при 1 <p<w, 0< . < 1 и /(х)

1

X'

VX—J л-

1 ,

+1

- 7

< .+-1 <'<— .

0

1

1)

7

7 J

Имеем

'''V X'''

1 , .+—+1

У 7

л- —<

.+1 -

У 7

A f --'1

1-jV 7 1

Д_________1

7 X"('-Л^"-'^J

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сулейменов, Кенесары Машимович, 2017 год

Список использованных источников

1. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа// Мат. сборник, 1938, 4(46), 3, С. 471-497.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- М.: Наука, 1988.

3. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Труды МИАН СССР, 1951, 38, С.244-278.

4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977.

5. Бесов О.В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения// Труды МИАН СССР, 1961, 60, С.42-81.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: НАУКА, Физматлит, 1996 - 525 c.

7. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье // Мат. сборник, 1967, 72(114), №2, С.193-224.

8. Ульянов П.Л. О вложении некоторых классов функций // Мат. заметки, 1967, 1, №4, С.405-414.

9. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций // ИАН

СССР, сер. мат., 1968, 32, № 3, С.649-686.

10. Peetre J. Especes d'interpolation et theoreme de Soboleff // Ann. Inst.Fourier., 1966, V.16, №1, P.279-317.

11. Grisvard P. Commutative de deux foncteurs d'interpolation// J. Math.,1966, V.45, №2, P.143-290.

12. Головкин К.К. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевича // Труды МИАН СССР, 1967, 102, С.5-28.

13. Андриенко В.А. О необходимых условиях вложения классов функций Н // Мат. сборник, 1969, 78, № 2, С.280-300.

14. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье// Вестник Евразийского Университета, 1997, №4, С.90-144.

15. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье (продолжение1)// Вестник Евразийского Университета, 2002,№3-4,С.222-272.

16. Коляда В.И. О вложении некоторых классов функций многих переменных // Сибирск. мат. ж. 1973,14, №4, С.766-790.

67

17. В.И. Коляда. Перестановки функций и теоремы вложения// УМН, 1989, 44, №5(269), С.61-95.

18. Ditzian Z. and Totik. V. Moduli of smothness. New York: Springer. 1987.

19. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского - Бесова с модулями непрерывности общего вида // Труды МИАН СССР, 1984, 170, С.86-104.

20. Коляда В.И. О вложении в классы непрерывных функций многих переменных // Мат. сборник, 1976, 99, №3, С.421-432.

21. Titcmarsh E.C. A note on Fourier transforms // J. London Math Soc., 1927, Vol.2, №7, Р.148-150.

22. Hardy J.H., Littlwood J.E., A convergence criterion for Fourier series// Math. Z., 1928, 28, №4, Р.612-634.

23. Темиргалиев Н. О вложении в некоторые пространства Лоренца// Изв. вузов, 1980, 217, №6, С. 83-85.

24. Темиргалиев Н. О вложении классов в пространства Лоренца// Сибирск. мат. ж., 1983, 24, №2, С.160-172.

25. Бекмаганбетов К.А., Нурсултанов Е.Д. Метод многопараметрической интерполяции и теоремы вложения/ZAnalysis math., 1998, V.24, №4, Р.241263.

26. Nguyen Xuan Ky. Some embedding theorems concerning the moduli of Ditzian and Totik //Analysis Math.,1993,V.19, Р.255-265.

27. Стороженко Э.А. Необходимые и достаточные условия для вложения некоторых классов функций // ИАН СССР, сер. мат., 1973, 37, №2, С.386-398.

28. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980.

29. Тиман М.Ф., Рубинштейн А.И. О вложении классов функций, определенных на нульмерных группах// Изв. вузов, математика, 1980, №8, С.66-76.

30. Унинский А.П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени// Материалы Всесоюзного симпозиума по теоремам вложения. Баку, 1966г.

31. Никольский С.М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных// УМН, 1961, 16, №5(101), С.63-114.

32. Бесов О.В. К теории вложения и продолжения классов дифференцируемых функций// Мат. заметки, 1967, 1, №2, С. 235-25о.

33. Бесов О.В., Ильин В.П. Теорема вложения для предельного показателя// Мат. заметки, 1969, 6, №2, С. 129-138.

34. Ильин В.П. К теоремам вложения// Труды МИАН СССР, 1959, 53, С.359386.

68

35. Гольдман М.Л. Метод покрытий для описания общих пространств типа Бесова// Труды МИАН СССР, 1980, 156, С.47-80.

36. Гольдман М.Л. О вложении анизотропных пространств типа Никольского - Бесова в пространства Лоренца // Труды МИАН СССР, 1985, 170, С.86-104.

37. H. Triebel. 7%е Угмс'мге о/Умис'/оил, Birkhauser, Basel, 2001.

38. D.D. Haroske. Envelopes and Sharp Embeddings of function Spaces. Chapman & Hall/CRC Research Notes in Matematics, Vol. 437. Chapman & Hall/CRC, Boca Ration, Fl, 2007.

39. Освальд П О модулях непрерывности равноизмеримых функций в классах <p( Г) // Мат. заметки, 1975, №2, С. 231-244.

40. Андриенко В.А. Вложение некоторых классов функций // ИАН СССР, сер. мат., 1967, 31, № 6, С.1311-1326.

41. Темиргалиев Н. О связи теорем вложения с равномерной сходимостью кратных рядов Фурье// Мат. заметки, 1972, 12, №2, С.139-148.

42. Коляда В.И. О вложении и?// Мат. сборник, 1985, 127, №3,

С.352-385.

43. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Труды МИАН СССР, 1988, 181, С.117-136.

44. Коляда В.И. О вложении в классы <^(ь) // ИАН СССР, сер. мат., 1975, 39, №2, С.418-437.

45. Leinder L. On embedding of classes of // Acta sci math., 1970, Vol.31, №

1-2, Р.13-31.

46. Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. - Алма-Ата: Наука, 1976.

47. Потапов М.К. Теоремы вложения в смешанной метрике // Труды МИАН СССР, 1980, 156, С.143-156.

48. Тиман М.Ф. О вложении ) классов функций // Изв. вузов, математика, 1974, №10, С.61-74.

49. Геронимус Я.Л. О некоторых теоремах вложения // Изв. вузов, математика, 1965, №6, С.53-62.

50. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и наилучшие приближения // ДАН СССР, 1969, 184, № 5, С.1044-1047.

51. Темиргалиев Н. О вложении некоторых классов функций в с([0,2^])" // Изв. вузов. Математика, 1978, №8, С.88-90.

52. Смаилов Е.С. Разностные теоремы вложения для пространств Соболева с весом и их приложения // ДАН СССР, 1983, 270, №1, С.52-55.

53. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

54. Жайнибекова М.А. О соотношениях между модулями непрерывности и наилучшими приближениями в разных метриках и некоторые многомерные

69

теоремы вложения: Дисс... канд. физ.-мат. наук.:01.01.01.-Алма-Ата, 1985.90с.

55. Сихов М.Б. О вложении некоторых классов функций // ИАН Каз ССР. сер. физ. мат., 1988, 3, С.45-47.

56. Сулейменов К., Темиргалиев Н. Критерий вложения в пространства Лоренца// Analysis Math., 2006, №32, С.283-317.

57. Сулейменов К., Темиргалиев Н. О вложении классов функций, определяемых модулями непрерывности переменного приращения // Вестник Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева, 2005, №4 44, С. 48-63.

58. Сулейменов К. Замечание к одной теореме вложения в пространство Лоренца классов функций с модулями непрерывности переменного приращения// Материалы международная конференция «Теория функций и вычислительные методы», посвященная 60-летию со дня рождения проф. Н.Темиргалиева, Астана-Боровое, 5-9 июня 2007 года, стр.195-196.

59. Suleimenov K. About new form of equations in the problem of a solid body

rotatioal motion ,б f91^.// The 4th Congress of the Turkic World

Mathematical Society (TWMS) Baku, Azerbaijan, 1-3 July, 2011.

60. Сулейменов К.М. О вложении анизотропного пространства типа

яДя")

Никольского - Бесова

в смешанной норме.// Вестник ЕНУ им. Л.Н.

Гумилева, 2011, №6, стр. 15-33.

61 . Сулейменов К., Темиргалиев Н. Критерий вложения классов Никольского-Бесова в пространство Лебега со смешанной нормой// «Дифференциалдық теңдеулер, алгебра және анализ проблемалалары» атты VI халықаралық ғылыми конференция материалдары, 14-17 октябрь 2012, Ақтобе, C.287.

62. Suleimenov K., Temirgaliev N. «Criterion descendant class Nicholsky-Besov's in the lebesgue space with mixed norm»// mind reader publications, New Delhi, International Journal of “Contemporary Mathematics”, V3 №1-2 January-December 2012, INDIA, P.75-76.

63. Сулейменов К. О вложениях Я^,,.'..,^",б(я" )<^ L9' '9" (я")// Материалы

международной конференции, посвященной 105 -летию со дня рождения академика С.Л. Соболева 19 - 25 августа 2013 года, Новосибирск.

64. Сулейменов К., Н. Н. Ташатов. О вложении анизотропных пространств типа никольского - бесова в смешанной норме// Сибирский математический журнал, 2014, т.55, вып.№2, стр. 436-453.

70