Конструктивные характеристики и теоремы вложения обобщённых классов Никольского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Исмагилов, Тимур Фаритович

• Исмагилов, Тимур Фаритович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Исмагилов, Тимур Фаритович

Оглавление

Стр.

Введение

Определения и обозначения

Глава 1. Распасовка функций

1.1 Вспомогательные утверждения

1.2 Теорема о распасовке функций

1.3 Приближение углом членов распасовки

1.4 Модули гладкости членов распасовки

Глава 2. Класс функций ЗН(р1,р2,а1,а2,^1,^2)

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Конструктивная характеристика класса БН(р1,р2,а1,а2,^1,^2)

2.3 Теоремы вложения разных метрик

2.4 Следствия теорем вложения разных метрик

2.5 Теоремы о следах функций

2.6 Следствия теорем о следах

Глава 3. Класс функций

3.1 Вспомогательные утверждения

3.2 Конструктивная характеристика класса З^Н^

3.3 Теорема вложения разных метрик

3.4 Теорема о следах функций

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конструктивные характеристики и теоремы вложения обобщённых классов Никольского»

Введение

Настоящая работа посвящена изучению некоторых классов функций нескольких переменных. При этом основное внимание уделяется получению для этих классов конструктивных характеристик и теорем вложения.

Впервые задачу о наилучшем приближении функций поставил в середине прошлого века П.Л. Чебышев [1; 2].

В начале 20 века в работах Лебега [3], Валле-Пуссена [4], Джексона [5] и С.Н. Бернштейна [6] возник вопрос о получении конструктивных характеристик для функций, обладающих теми или иными структурными свойствами (диффе-ренцируемостыо, условием Липшица, и т.п.); то есть возник вопрос о получении для этих функций порядка их наилучшего приближения при помощи тех или иных агрегатов.

В дальнейшем ответу на этот вопрос было посвящено большое число работ. Однако и до настоящего времени в этом направлении имеется целый ряд нерешенных задач.

Хотя получение конструктивных характеристик для тех или иных классов функций представляет самостоятельный интерес, в данной работе они, кроме того, играют существенную роль при доказательстве теорем вложения.

Первая теорема вложения была доказана Харди и Литтлвудом в 1927 гоДУ [7].

Начало общей теории вложения пространств функций многих переменных было положено в 30-х годах С.Л. Соболевым [8], который рассматривал пространства Ж-функций, имеющих ограниченные производные.

Принципиально новый вклад в развитие этой теории был сделан С.М. Никольским [ ], создавшим теорию вложения классов и привлекшим для её исследования конструктивные характеристики рассматриваемых классов.

С этого времени теория вложения начинает быстро развиваться. Вводятся и изучаются новые классы функций, интерес к которым вызван как различными задачами математической физики, так и естественными обобщениями изученных ранее пространств.

В 1963 г. С. М. Никольским [10] и Н. С. Бахваловым [11] были введены в рассмотрение б'Д-классы функций с доминирующим смешанным модулем гладкости. Для этих классов функций уже не удавалось найти конструктив-

ыые характеристики в терминах приближения функций полиномами и поэтому С.М. Никольский предложил новый метод исследования таких функций: он предложил заменить теоремы о конструктивных характеристиках теоремами о представлении функций рядами из тригонометрических полиномов. В дальнейшем этим методом исследовались и некоторые другие классы функций с доминирующим смешанным модулем гладкости.

Однако попытка доказать этим методом теоремы вложения для некоторых классов функций (смешанный модуль гладкости которых удовлетворяет другим условиям) либо не приводит к цели, либо приводит к результатам, которые уже не являются точными. Поэтому встал вопрос об изучении таких классов функций каким-либо другим методом. М.К. Потаповым было предложено изучать такие классы функций при помощи приближения углом [12 18].

Цель работы. При помощи приближения углом получить конструктивные характеристики и с их помощью теоремы вложения разных метрик и измерений для классов функций, представляющих из себя обобщение классов Н и ЗН Никольского.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены оценки приближений углом и модулей гладкости для функций распасовки.

2. При помощи приближений углом получены конструктивные характеристики обобщённых классов Никольского ЗН(р1,р2,а1,а2, Д2) и 3™Нгр.

3. Для указанных классов функций получены теоремы вложения разных метрик.

4. Для указанных классов функций получены теоремы о следах.

Методология и методы исследования. В работе используются различные методы функционального анализа и теории приближений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в функциональном анализе и теории приближений, теории дифференциальных уравнений с частными производными и в теории интегральных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. семинаре механико-математического факультета по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством профессора М. К.

Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко, профессора М. И. Дьяченко (2012 2017 г., неоднократно)

2. XIX международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", 9-13 апреля 2012;

3. XXI международной научной конференции студентов, аспирантов и мо-

,

4. международной научной конференции "Современные проблемы мате-

,

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 в трудах механико-математического факультета, 2 в тезисах докладов. Список работ автора по теме диссертации приведен в конце списка литературы. Работ в соавторстве нет.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 115 страниц, включая 24 рисунка. Список литературы содержит 23 наименования.

Краткое содержание работы. В главах 2 и 3 вводятся в рассмотрение классы функций, обобщающие классы Н и SH Никольского, и для них доказываются конструктивные характеристики и теоремы вложения. Для доказательства этих результатов применяется предложенный С.М. Никольским метод распасовки. Поэтому в главе 1 доказываются теоремы о распасовке.

Приведем краткое описание основных результатов. Основным результатом главы 1 диссертации являются теоремы 1.1 1.3.

Теорема . Если f £ L^, р = {р1,...,рп}) Pi £ [1,<х>], то f можно представить в виде

f = /о + Е.fr + ЕЕ+ ••• + Е Е •••ЕЕ¿w. + ••• +

«3-1 ¿2-1

¿1 = 1

¿2=2 ¿1=1

is=s is-i=s-1 ¿2=2 ¿1=1

П in-1-1 ¿3-1 ¿2-1

+

гп-1=п-1 in-2=n-2 ¿2=2 ¿1=1

где

2к 2к

/с = (¿Г I •••! fdxi ...dxn,

0 с

'1-к 2к

1 N П—1

fh — fi1 (хч) = (¿Г !•••! fdxi2 ...dxin - fc Vfi G (1,...,n),

00

„ 2^ 2k 1 \ n—2

fii,Î2 — fii,Î2 (x4 ,Xi2 )= (27т) / •••/ fdxis ...dXin fo fi! /¿2 ,

00

V(M2) с (1,... ,n),

2 к '2K

fi1,...,is — fi1,...,is (xii,... ,xis) = (1) I• • • f fd%is+1... dxin — fo— (1)

00

s s 32 — 1 S js — 132 — 1

— E f

ji=1 32=2 ji=1 js-i=s — 1 32=2 ji=1

V(ii,...,is) с (1,...,n),

n n %2 —1

f1,...,n — f1,...,n(x1, . . . ,xn) = f — fo — E fil — E E fiii'2 — • • • —

г 1=1 Î2=2 гi=1

n «3 — 1 ¿2 — 1

— E ••• E E fii,...,in-i .

in-i=n—1 12=2 ii = 1

и выполнены, следующие соотношения:

1) Wfi llfr < С1||/|U V(i1,...,ia) ç (1,...,n),

2K

2) ! fiu...,it dx4 = 0, Vj G (1,...,s), 0

где постоянная c1 не зависит, от f.

Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1 для, функций представления, (1) и Vlij G N U {0} справедливы соотношения:

-0 Y~ii,...,in (f )р = Yii,...,in (f1,...,n)pi

< C2Yln ,...,iis (f)fr V (il,... ,is) с ^^^ ,n);

I n

Yiii,...Jis

(f )

P < C3

(h,. (fi,,. \ 3s+i =s+1

3s+2—1

+ Ylii ,..Jis (fii,..,is,ijs + i ,ijs + 2 + +

3s+2 = S+2 ^'s + i = ^ + 1 П js+3 1 js+2 — 1

+ 1 Y^lii ,..Jis (fii,...,is,ijs + i ,..,ijn-i )P + Ylii ,..Jis (f1,...,n

jn-i=n—1 js+2 =S+2 js+i = S + 1

V (Î1,... ,is) с (1,... ,n),

где постоянные c2 и c3 не зависят от f и U.

Теорема 1.3. В условиях теоремы 1.1 для, функций представления (1) и У £ (0,1) справедливы соотношения:

1) икъ..,кп(Ь,...,п, ^^.., 6п)р = икъ..,кп61^.., 5п)р;

2) (/г!,...,г3 ,■■■ А^ )р < С^^ ,...,к^т (/, ^ ,■■■ , )р,

У(л, • • • ,3т) С (1,... ,в), У(ц,... ,18) С (1,...,п) и Уй = 1,...,п — 1;

3) (¿ки ,...,ки (/,$г1,. . . ,^г3 )р < ик^ ,...,ки (/1\,...,г3 ,. . . )р +

+ ^ ^ ,...,кга (/г1,...,г3,г^з+1 ,$г1, . . . ,$г8 )р +

Зэ+1 = Э+1 п Зэ+2 1

+ УЗ ^3 ШкП ,...,к^ (fгl,...,гs,гjs+1 ,гjs+1 ,^г1, . . . )р + ... +

Эз+2=Э+2 js+l=s+1 п ]3+з-1 Зё + 2 1

+ УЗ • ^ ^ УЗ УЗ Шкг1 ,...,кг8 (1г1,...,гв,г^з + 1 ,...,гзп_1 ,^г1 , . . . ^

jn— 1 =п 1 ]3+2=в+2 js+l=s+1

+ икч,...,ки (Ь,...,пА1,... Аа^

У (1^,... ,%8) с (1,... ,п), У й = 1,... ,п — 1,

где постоянная с4 не зависит от / и 6г.

Эти результаты используются при доказательстве основных результатов глав 2 и 3.

Глава посвящена изучению класса БН(р1 ,р2,а1,а2,р1,р2). Этот класс является обобщением хорошо известных классов Никольского Н1,1,гп2 ж 8Н11,гп2.

Р1 ,Р2 Р1,Р2

Будем писать / е БН(р1,р2,а1 ,а2,^1,^2), если 1 < рг < го, аг > 0 А > 0,

кг е N ^ = 1,2 ^ + ^ ^ 1 и выполнены условия:

0) / е ъР1,Р2,

1) шь(1'А)рър2 < У61 е (0,1), к1 > аи

2) Шк2(/А)Р1,Р2 < Сб6%2, У61 е (0,1), к2 > «2,

3) Шк3к4(!АА)Р1 ,р2 < стб^1У5г е (0,1),г = 1,2 кз > ри кА >

где постоянные с5,с6 и с7 не зависят от £1 и 62.

В параграфе §2.2 для функций из этого класса получена конструктивная характеристика.

Теорема . Для того чтобы функция / е БН(р1 ,р2,а1,а2,@1,@2), где 1 < рг < го аг > 0 А > 0 ^ = 1,2, необходимо и достаточно, чтобы У1г е N и {0} выполнялись следующие неравенства:

уи(/)Г11^2 < ,г = 1,2,Ук12(/к ^ < С^- 1 1

^ (1г + 1)а»° ' ' ^ ^^Р2- - (¿1 + 1)Р1 (¿2 + 1)Ъ

где постоянные с8 и сд не зависят от и 12.

В параграфе §2.3 доказываются теоремы вложения разных метрик для функций из этого класса. Далее приведены основные теоремы этого параграфа. Теорема . Пусть / Е БН (р1,р2,а1,а2,р1,р2)^де 1 < р,, < qi < ж,

— - — < рг < аг,{ = 1,2, Рг Ог

тогда / Е БН(д1,д2,а'*,а2,Р1*ф*), где

щ =

«10Ь «2 = ®2$2> Р* = А - - Р* = Р2 - - ¿)

^ = 1-11 и-1) + -1-1

1 V °Л VР1 41 ) V р2 12 $2 = 1 -(1 (1 - ^ + ^^

7

а.2 \Р2 42 ) а2@1 \£>1 (Ц /

Условиям теоремы соответствуют пары чисел (р1,р2), лежащие в области I, изображенной на рисунках 1-3.

Теорема . Пусть / Е БН (р1,р2,а1,а2,Р1,Р2), где 1 < р,, < ^ < ж, i = 1,2;

1 1 1 1

---< а1 < Р1,---< а2 < Р2,

Р1 41 Р2 02

тогда / Е БН (д1,д2,а1*,а*,Р*,Р%), где

( 1 1 ^ ( 1 1 \

а* = ----\,а2 = а2 ----,

V Р\ 0\) V Р2 02)

Р* = А -(- - ,Р* = А -(- - .

\Р1 0\) \Р2 02)

Условиям теоремы соответствуют пары чисел (Р\,Р2), лежащие в области II, изображенной на рисунках 1-3.

Теорема . Пусть / Е БН (р\,р2^1,а2ф\,р2), где 1 < р,, < ^ <ж, i = 1,2;

1 1 1 1

---< Рг < «1,---< а2 < Р2,

Р\ 0\ Р2 02

тогда / Е БН (01,02,а1,а2,Р\,Р2), где

а* = а2 = а2 - (---) ,

\Р2 02)

Р* = А -(- - ,Р* = Р2 -(- - ,

\Р1 0\) \Р2 02)

* = 1 - [1 (1 -1) + ^(1 1

0\) ®1р2 \Р2 02,

III II

I IV ...................

\Pi qi у

Рисунок 1

X

\PI <h )

Рисунок 2

KPi ft J

Рисунок 3

Условиям теоремы соответствуют пары чисел (ßi,ß2)7 лежащие в области III, изображенной на рисунках 1-3.

Теорема . Пусть f G SH (pi,p2,(ii,a2,ßi,ß2), где 1 < рг < qi < ж, г = 1,2,

— - — < «1 < ßl, — - — < ß2 < &2, Pi q\ P2 Ц2

тогда f G SH (qi,q2,a*,a2,ßl,ßl), где

а* = a\ — (---) ,a* = a2r&2,

\P i (h)

«—i1—»—(;—i).

ßl =

P\ qi.

/1/1

1

2 = 1- —---+

\«2 \Р2 02

)

а2 - р2 ( 1

(

1

^2^1 \Р1 41

Условиям теоремы соответствуют пары чисел лежащие в области IV,

изображенной на рисунках 1-3.

В параграфе § для функций из класса БН(р1,р2,а1 ,а2,р1,02) доказаны теоремы о следах на оси Ох1 и Ох2. Далее приведены основные теоремы этого параграфа.

Теорема . Пусть / е БН (р1,р2,а1,а2, ^ ), где 1 < Рг < ж, i = 1,2,

а2 > —, р2 > —, а1 > р1 > 0, Р2 Р2

тогда / имеет на оси Ох1 елед ф(х\) е Нр'1, где а** = а1 — .

Теорема . Пусть / е ЗН (р1,р2,а1,а2, ), где 1 < рг < ж, i = 1,2,

а2 > —, р2 > —, р1 > а1 > 0. Р2 Р2

Тогда, ¡имеет на оси Ох1 еле д <р(х1) е Н^.

Условиям теорем и удовлетворяют пары чисел (^1, (32) лежащие в областях I (рис. 4) и II (рис. 5) соответственно.

М)

Рисунок 4

М)

Рисунок 5

Аналогичные теоремы доказаны и для следов на ось Ох2. В главе 3 рассматривается класс 87^Н1р. Этот класс является обобщением

классов Никольского Щ и БЩ.

Будем писать / Е З^Н^ , есл и 1 < р < ж, г > 0 1 < т < пи выполнены условия:

0) / Е Ьр(п);

1) ^ )Р < С1 о5гч, у ¿1 = 1,...,щ

2) ^кчкг2 (/А А )р < сп5гг16?2, У (н,^2) с (1,...,п);

т) икч ...кгт (/А.. Ат )р < С12бгк ... Ь\т, V ... ;1т) с ^^^ ,n), где к^ > г, Е (0,1) и постоянные с10,с11 и с12 не зависят от д^.

В параграфе §3.2 для функций из этого класса получена конструктивная

характеристика.

Теорема 3.1. Для того, чтобы функция, / Е БтН^, где 1 < р < ж, 1 < т < п, необходимо и достаточно, чтобы У1Ь Е N и {0} выполнялись следующие условия: 0) / Е Ьр(п);

Ч У1п (/)р < спщ+щ;, Уч = 1,...,п;

2) У1ч ^ (/)р < С14 {1 +1у{12+1У, У(Ч,12) с О-^.. ,П);

т) ...Ьт (/)Р < С1Ъ{ 1Ч+1)г 1Л11т+1У, У(*ъ ... ,гт) с О-^.. ,n), эстоянные с13,с14 и с15 не зависят от 5{г

В параграфе §3.3 для функций класса ЗтЩ доказана теорема вложения

разных метрик.

Теорема . Если / Е ^Я^ 1 < р <д < ж, г* = г - т - ^ > 0,

то/ Е БтЩ .

В параграфе §3.4 для класса БтЩ доказана теорема о следах функций

п д

пя.ГЬР 8 яттст кпяггя. &

п р

из этого класса.

Теорема 3.3. Пусть на Яп задана функция, / Е З'тЩ, где 1 < р < ж, 1 < т < п, г > тП^} тогда, на любом подпространстве Як = Як(х^,... ,Хгк), где (11,...,1к) С (1,...,п), 1 < к < п, у функции / существует след ф = ф(х,п,... ,Хгк), такой, что:

к ттг*

1. если, к < т, то ф Е Щ г* Е (0,г -

Р ' \ ' тр

п—к

2. если к>т, тоф Е 5тНгр* ,У г* Е (V - •

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем: получены оценки приближений углом и модулей гладкости для функций распасовки; при помощи приближений углом по-

лучены конструктивные характеристики обобщённых классов Никольского БН(р1,р2,а1,а2, (32) и для указанных классов функций получены тео-

ремы вложения разных метрик; для указанных классов функций получены теоремы о следах.

В дальнейшем для исследуемых классов могут быть получены теоремы о продолжении. Класс 3™Нр может быть обобщён на случай смешанной метрики. Вопрос об обобщении результатов, полученных для класса БН(р1,р2,а1,а2,р1,р2), ш п-мерный случай также открыт.

Автор выражает благодарность и большую признательность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Потапову Михаилу Константиновичу, за постановку интересных задач, неоценимую помощь и постоянное внимание.

Основные определения и обозначения

Будем писать, что / е Ьр(п) = Ь]^(х1,... ,хп) или / е ЬР1,.,Рп, если р = {р1,... ,рп} ,р1 е [1,ж^ / = / (х1,...,хп) - измеримая функция п переменных, 2-к - периодическая по каждому из них и такая, что: ||/\\1р{п) = ||/\\ръ..„рп = ||{|| ... ||{У/||Р1 }|и ... ||рп_1 }|к < Ж гДе

11^Нл = ( I ) 5 если ^ е [1, ж), = вирюгаг еслир, = ж.

' \о / г хе[0,2-к]

'2-к

Будем писать, что / е Ь0(п), есл и / е Ьту(п) и / ]&Х{ = 0 для г = 1,... ,п.

о

Пусть дано в (в е (1,... ,п)) различных индексов 11,...,г137 каждый из которых принимает одно из значений 1, . . . ,п7 тогда набор этих индексов будем записывать в виде (11,... ¿8).

Пусть Ф(хч,... ,х{а) е Ьт,щер(з) = {рч,... ,ргз}, (%1,... ,г3) С (1,... ,п),

тогда

гп

^ ■ р ■

mw(n) = (2ку=>+1 j mLp(s). (2)

Так как в дальнейшем нас не будут интересовать точные постоянные, то, учитывая это равенство, далее под нормой || * Ц^будем обычно понимать нормУ У * hKn)-

В случае, если pi = р2 = ... = рп = р вместо || * будем писать || * Цр Обозначим через ^ ...kis (f,^i1,... ,5is s-мерный (1 < s < n) модуль гладкости функции, f G Lp(n) порядка к,п,... ,kis соответственно по переменным

гу» . ry> . rp

tAj 1 ^ ^ * * * ^ tAJ ^ ^ -L . С .

UkH..Ms (fA.. As)p = sup уд^^ f y,

\hix ,...,\his |<Jis

1 .

где Дh\f = Y1 (-1р-щC£f (xi,... ,х-1,хг + Vihi,xi+i,... ,xn),

г щ=о г

К* • К* • К* • К* • К* •

™гл •••Гьга о \ Гьгл л гьгп...гьг

Пусть функция = (х1,... ,хп) е Ь^ и является тригонометрическим полиномом по переменной порядка Vij е N и 0 Ь е (1,... ,п).

Через (/обозначим наилучшее приближение в-мерным

(з е (1,... ,п)) углом по переменным ,... ,х,1з функции / е в метрике то есть Ущ (/= Ы ||/ — X] Тг

JF rp rp L—/

Vi, \\p-

l\

3=i

Определим пространство Яп следующим образом: Яп = {0 < Х{ < 2-к, 1 < % < п}. Для набора индексов (ц,... ;1к) С (1,... ,п) определим подпространство Як С Яп: Як = Як(хп,... ,х1к) = {0 < хч < 2ж, 1 < ] < к < п}.

Будем писать, что функция / = /(х1,... ,хп) Е Ьр(к) = Ь,^(хг1,... ,Хгк), если для почти всех фиксированных Xij, (к + 1 < ] < п\ функция / как функция к переменных Xij (1 < ] < к) иринадлежит Ьр(к).

Будем говорить, что функция ф(х,п ,...,х^к) есть след функции / = / (х1,... ,хп) на подпространство Як = Як (х^,... ,х^к), если / можно видоизменить на множестве п-й меры нуль так, что после этого будут выполняться следующие свойства:

■0 I , . . . ,0,... ,0) Ф(хн,.. . ,хч )5

2) / Е Ьр-(к) для почти всех фиксированных Xij, (к + 1 < ] < п), таких, что х2к+1 + • • • + х2п < 5, оде 5 достаточно мала;

3) Н/ - Ф(х%1,... ,хгк^ьр<Хч..,Хгк) ^ 0 доя х2к+1 + • • • + х2п ^ 0.

С.М. Никольским [19] показано, что определенный таким образом след является единственным с точностью до эквивалентности в смысле Як-

Глава 1. Распасовка функций

1.1 Вспомогательные утверждения

Для доказательства основных результатов этой главы понадобятся вспомогательные утверждения, приведенные ниже.

Лемма 1.1. Пусть / Е Ь^, р = {р1,... ,рп}, рг Е [1,ж]. Тогда для почт,и всех

X1, . . . , X ^_1 ,Х , ... , Хп

справедливо неравенство

2-к

! и^хг < ъУ\\р,,

о

где постоянная с1 не зависит, от /.

2-к

Доказательство. Рассмотрим 3 = / Ц\dxi-

о

Пусть р,ь Е [1,ж), — + — = 1. Так как 3 = / 1 • I/ 13x1, то, применяя

Рг Чг 0

неравенство Гельдера [ , с. 27], для почти всех х1,... ,х-1,х+1,... ,хп получаем

1

(1 IТ' 1

3 < П \/\4х, I (2к)< с,У\\к,

где постоянная с не зависит от /.

Пусть = ж. Тогда для почти всех х1,... ,Х{-1 ,Х{+1,... ,хп имеем

2-к

3 < / зируга%и\dx.i = зируга%и\ • 2ж < с3\\/\\Pi,

У хЕ0,2и] хе[0,2и] 1

где постоянная с3 не зависит от /. Лемма 1.1 доказана.

Лемма 1.2. Пусть / Е Ь^, р = {р1,... ,рп}, р,, Е [1,ж]. Тогда для, почти, всех х1,..., Х{-1,Х{+1,..., Ху-1,Ху+1,... ,хп справедливы неравенства

2п 2п

а) \\ / \\dxi\\1Н 00 2-к 2к

е) У \}№\л <1 \\/\

\рг

Доказательство, а) Рассмотрим 3 = || / |/^х^р'.

о

Пусть р^ Е [1, ж). Так как

3 =

Р'

j

то, применяя неравенство Минковского [19, с. 27], для почти всех х1,... ,хг-1,хг+1,... ,Xj-l,Xj+l,... ,хп получаем

3 <

2тт

г.

Ц 1Рзdxj I Зхг = у и ир. о о о

2-к

Пусть pj = ж. Так как 3 = зиругаг / |/ 13x1., то для почти всех

Х'Е[0,2и] о

2ж 2ж

XI,... ,хг-1,хг+1,... ... ,Хп имеем 3 < / зирттЦ 1<1хг = / ||/Цр. йхг.

0 ХзЕ[0,2ъ] о

Утверждение а) леммы 1.2 доказано. Утверждение б) леммы 1.2 доказывается аналогично.

Лемма 1.3. Пусть /(х1,... ,хп) Е Ь^, где р = {р1,... ,рп}, рг Е [1,ж]. Пусть

^ (хч,.. .,хга) = / ... $ / {Х1,... ,Хп)Зхч+1 . ..Зхгп .Тогда < ||/ где по-0 о

стоянная с4 не зависит от

Доказательство. Так как

£ -

юа

ТО

1 И^ <

2-к 2-к

|f (Х1,... ,хп)1Зхгга+1... Зхг

0 0

Ри

Рга

где постоянная с5 не зависит от ].

Так как х1 Е (хг1,... ,хга^и х1 Е (хга+1,... ,хгп), и хп Е (хг1,.. или хп Е (хга+1,... ,хгп), то возможны следующие 4 случая:

1. Х1 Е (хга+1,..., хгп) ? хп Е (хг1,..., хга),

2. Х1 Е (хга+1,..., Хгп)? хп Е (хга+1,..., хгг,)5

. ,Х'1а )

1

Ю

з

1

п

3. Х1 Е (Х^1, . . . , Х'18), Хп Е (Х'11,..., ) ,

4. Х1 Е (х^1,..., Х{а), хп Е (Х'18+1,..., Х{п). Рассмотрим случай 1. Тогда

((1хг8+1, . . . , йхгп) = (<1X1, ..., Лхкх ,..., Лхк1_х+1,

{Рц ,...,Рг8} = { рк1+1,...,рк2 ,...,

где 1 < к1 < к2 < ... < к1 < к1+1 = п.

Учитывая эти равенства, имеем

.,йхк1 ),

Рк1+1,...,Рк+ },

3 < с6

2к 2к / 2к

I/\dx\_ I Зх2.. Лхк1. . Лхк,

о о \0

рк1+1

Рп

Применяя лемму 1.1 к выражению в круглых скобках, имеем

3 < с7

2к 2к / 2к

0 0 \0

/\\Р1 Лх2 I Зх3.. Лхк1.. Лхк1

Рк1+1

Рп

Применяя лемму 1.1 еще - 1 раз, получаем

3 < С8

22к 2-к

00

. . .\\f \\_P1 . . . \\pk-t &Хк2 + 1. . .Лхкз . . .Зхк

Рк1+1

/

Рк1 + 2

Применяя лемму 1.2 к выражению в круглых скобках, имеем

3 < С9

(

\

'2-к '2-к

00

\.. .\\f \\р1...\\рй1+1 &Хк2+1.. .Лхкз.. .Зхк1

\

Рк1+2/

Рк1+3

Применяя лемму 1.2 еще к2 - - 1 раз, получаем

3 < сю

2-к 2-к

00

\. . .\\f \\_P1 . . . \\pk2 ^>Хк2 + 1. . .&Хкз . . .Зхк

Рк3+1

Рк4

Рп

Рп

Рп

Далее, применяя к3 - к2 раз лемму 1.1, затем к4 - к3 раз лемму 1.2, затем к1 - к^ 1 раз лемму , затем п - к1 раз лемму , получаем, что

Т < Сц\\. ..\\/\\Р1. . .

РГ ' '\\Pn-

В полученных неравенствах постоянные с6,с7, с8, с9, с10 и с11 не зависят от /.

Случай 2 рассматривается аналогично, но последовательное применение лемм 1.1 и 1.2 заканчивается применением п - к,1 раз леммы 1.1.

Случай 3 рассматривается аналогично, но последовательное применение лемм и начинается с применения к1 раз леммы и заканчивается применением п - к1 раз леммы 1.2.

Случай 4 рассматривается аналогично, но последовательное применение лемм и начинается с применения ^ раз леммы и заканчивается применением п - к1 раз леммы 1.1.

Таким образом, лемма 1.3 доказана.

1.2 Теорема о распасовке функций

Термин распасовка функций был введен С.М. Никольским и П.14. Лизор-киным в работе[20].

Теорема 1.1. Если / Е Ь^, р = {р1,... ,рп}, Р1 Е [1,ж>], то / можно представить в виде

п п %2 — 1 п г3~1 ¿3-1 '12-1

/ = ¡0 + Е к + ЕЕ /н,*2 + ... + Е Е ... ЕЕ + ... +

;Ч=1 г2=2 ;ч=1 га=в гв-1=в-1 г2=2 г 1=1

п Ч'п-1-1 гз-1

+ ЕЕ ... ЕЕ + к.,п, а-!)

г„-1=п-1 гп-2=п-2 г2=2 г1=1

где

2к 2к

fo = (¿Г/ ...J'fdxi ...dxn, о o

1 2 к 2k

/»1 = /»1 = (¿Г~ f ...$fdxn ... dxin - fo, Vil e {l,...,n),

о о

í¿2k 2k

f¿i,i2 = f¿i,i2 (x¿i ,x¿2) = (2ñ) I... f fd%i3... dx¿n — fo - fii - fi2,

оо

V(il,Í2) С (l,...,n),

s2k 2k

fii,...,is = fii,...,is (Xii,... ,x¿s) = [2-) f ... f fdxis+i... dxin — fo- (1-2)

o o

s s J2-1 s j 3-132-1

Xy fiji Xy Xy fiji ij2 . . . . . . fiji,..., ijs-i '

3i=1 32=2 ji=1 js-i=s-1 32=2 ji=1

V(il'...,is) с (1'...'П)'

n n '¿2—1

fl,...,n = fl,...,n(Xi, . . . ,Xn) = f — fo — Xy fil — Ху Xy fili2 — ... —

i 1=1 i2=2 г 1=1

n i3 — 1 Î2 — 1

— X] ... fii,...,in-i.

in-i=n—1 i2=2 4=1

и, выполнены, следующие соотношения:

1) \\fti,..,ts\\р < С-121|fy(i1,...,is) Ç (l,...,n),

2к

2) f fi,...,is dxi. = 0, Vj G (1,...,s), o

где постоянная c12 не зависит от f. Доказательство.

Легко видеть, что функции в формулах (1.2) определены так, чтобы было справедливо представление (1.1).

Докажем справедливость соотношений 1) утверждения теоремы 1.1.

2к 2к

Так как f0 = f ... f fdx1... dxn, то, применяя п раз лемму 1.2 , получим,

к o o

что |/o| < c13\\f где постояниая С13 не зависит от f. Пользуясь формулами 1.2 для f\i, имеем

2к 2к

J1 — Wfii —

(^-^J j ... j fdXi2... dxir oo

+ Wfo\

Применяя лемму и только что доказанную оценку для /0, получим

Л < Ир + * < с1ъ\и

где постоянные с14 и С15 не зависят от /.

Следовательно \\р < с15\Ц\\р, Vг1 Е (1,..., п).

Покажем, что \\1п,..,г к+1 \\р < с1б\Ц\\р, V(il,... ;1к+1) С (1,... ,п), где постоянная с16 не зависит от /, считая истинными аналогичные утверждения для всех функций представления (1.1), зависящих не более, чем от к переменных, где к Е (1,... ,п — 2).

Так как (по предположению) все вычитаемые функции и постоянная /0 в формулах (1.2) удовлетворяют соотношениям 1), то остается проверить, что первый член в соответствующей формуле (1.2) также удовлетворяет этому неравенству.

Рассмотрим

, 1 2п 2п / 1 \ п—к—1

>12 =

Применяя лемму 1.3, получим

I I - I . . . йхч

\2п

о о

<]'.2 < С17\\/\\р,

где с17 не зависит от /.

Таким образом, доказано, что \иги..,¡к+1 \\р < с18\\/Цр^ V(i1,... ;1к+1) С (1,... ,п), V к Е (1,... ,п — 2), где с18 не зависит от /.

Так как / Е Ьр и для всех функции представления ( ), зависящих не более чем от (п — 1) переменных, выполнено соотношение 1), то, пользуясь формулой (1.2) для получаем, что \\/1;...,п\\р < с19\Ц'\\р, где с19 не зависит

от /.

Таким образом, доказана справедливость соотношений 1) утверждения теоремы 1.1.

Докажем справедливость соотношений 2) утверждения теоремы 1.1.

2п

Покажем, что / /¡1= 0, Е (1,... ,п). Применяя определение /¡1:

о 1 1 1

имеем

2п 1 2п 2п

! ¡ч ё,хч = J ... ! 1^X1 ...&Хп — 2ъ]о = 2ъ(/о — ¡0) = 0.

0 0 0

2" 2" Покажем, что / = ... = / иъ..,га+х<1хга+х = О,

0 0 1,...,г5+1) С (1,... ,п), считая, что аналогичное утверждение доказано для

где в Е (1,... ,п — 2).

Сначала проверим, что / /г1,..,га+^хг1 = 0.

0

Пользуясь формулой (1.2)

для /г1,...,га+1-! получим 2" 2" / п_а_ 1 2" 2" ^

J 1гъ..,га+^Хг1 = ^ N ^ ..^ 1^Хга+2 . . . йХг^ — ¡0 — ^ ]гп —

0 0 \ 0 0 ^=1

в+1 j2 — 1 й + 1 jз — 1 j2 — 1

^ V 53 ^ г'1 г'2 . . . . . . ^ ^ 53 ^г'1 ,...,г'а-1

j2 = 2 jl = 1 jа-1=S-1 j2=2 jl = 1

в+1 jз — 1 j2 — 1 \

... г

'1 ,...,г'а I

За = * 32=2 jl = 1 '

(}> X г1.

3 а = $ 32=2 Л = 1

Так как по предположению интегралы по с1хг1 от всех функций правой части, зависящих от хг17 равны 0, то

2" 1 2" 2" 2" 2"

^ 1'г,1,...,га+1 Лхг1 = ^ . ^ ^ ^&%га+2... — ^ fоdxгl—

0 0 0 0 о

I 1 2" . ■ 1 2"к

в+1 р й+1 32 — 1 р

— УЗ /}'г'1^хг1— 53 53 / $г'1 г'2 ^Хгч—...—

31=2 о 32=3 31=2 0

2" 2"

Й + 1 л >- 0 2 п п

53 ^ЕЕ / ^''1 ,...,г'а-1 ^Х'Ч — 1г2,...,га + 1^Хг1 .

3 а —1 = 32=3 31 = 2 0 0

Подставляя вместо /г2,..,га+1 ее явный вид из формул (1.2), получим 2" п_а_1 2" 2" 2" 2"

J / г1,...,га+1 (1хг1 = ^ ... ^ ^ ^(!х'1 йхга+2... ^х'п — ^ /о(^хгЛ —

0 0 0 0 о

3+1 2" 8+1 32 — 1 2" 8+1 зЗ — 1 32 — 1 2"

— Е У — Е^У 41 г^Хг1 — — — Е ... ЕЕУ Ь'1 —

Л=2 о 32 =3 31 = 2 0 3 а —1 = 8 32 = 3 Л=2 0

2" / 2" 2" . . 1 ■ 1

/I / 1 \ п~а Г Г в+1 в+1 32 — 1

К 2^) .. ^Хг^Хга+2 . . . ^гп — ¡0 — Е А'1 — ЕЕ А'1 'З2 —

0 \Х 7 0 0 31=2 32=3 Л=2

+ 1 Зз — 1 32 — 1

в +1 3 3 — 1 32 — 1

Е . . .ЕЕ ^31 ,".,гЗа-1 ) ^Хг1 ■

Зз-1=й 32=3 31=2

Раскрывая скобки, имеем

2я п_ 2я 2я 2я 2я

^ /г1,...,г я+1 dXil = ^ . . . ^ ^ . . . (1Хгп — ^ /0<1Хгл —

0 0 0 0 0

3+1 '21 8+1 32 — 1 2я а+1 33 —132 — 1 2я

Е У ^ — Е^У Ъ Ъ йхг1 — ... — Е ... Е^У

8-1—

п=20 32 =3 31=2 0 Зз-1=э 32=3 31=2 0

( 1\п——1 Г [ [ ,, , , г , , V1 2 * л

V 2к ) .. Хн а + 2 . . . П + ^Х*1 ЛХг1 +

0 0 0 0 ^=2 0 5+1 32 — 1 21 5+1 33 — 1 32 — 1 2я

+ ЕЕУ Ь2 ^1 + ... + Е ... ЕЕУ ,~,Ъ-1 ^1 = 0

32=3 31 =2 0 Зв-1=« 32=3 31=2 0

Рассуждая аналогично, получим, что

2я 2я

J 1%1,...,г8+1 Лхг2 = ... = J /г1,...,г8+1 Зхгь+1 = 0 00 для в Е (1,... ,п — 2).

2я

Проверим, что / /1,...,„Дх1 = 0. Так как 0

2-я 2-я , ■ ,

/Р / п п %2—1

¡1,..,п<1Х1 = I/ — ¡0 — ^ ¡ч — ^ ^ ¡пг 2 — ... —

0 0 ^ г 1=1 г 2=2 г 1=1

п 3—1 2—1 п 3—1 2—1

— Е ."ЕЕ fil,..., г п—2 — Е ."ЕЕ fil,..., %п-1 ) ^х1,

гп-2=п—2 г 2=2 г 1=1 г п-1=п—1 г 2=2 г 1=1 /

то, повторяя только что проведенное рассуждение, считая, что в = п — 1, и

п в 1 2-я 2-я

рассматривая / вместо / ... / ¡(1хгь+2... йхгп, получим требуемое.

я 0 0 8 П Рассуждая аналогично, получим, что

2я 2я

J Ь,..,пЛх2 = ... = J Д...,п^п = 0. 00 Таким образом, доказана справедливость соотношений 2).

1.3 Приближение углом членов распасовки

Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1, дм,я, функций, представления (1.1) и Е N и {0} справедливы соотношения:

-0 У'к,...,1п (/)р = Ук,..,1п (/1,...,п)р1

2) Уц, ...А (,к,.. ,га )р < с20уи. (Лр, V (г ..., г3) С (1,... ,п);

! п

,...,1^ (/)р < С21 I ,...,1г3 (&1,...,г8 )р + У ^к, ,..,к8 ()р +

\ ^8+1 = 5+1

П Зё+2 1

+ У У Уг- I (1'и II- %■ +... +

/ > / > - ... , ьга\'> 4-1... 11з - ''Зв+11 1За+2' Р

Зз+2 = й+2 ]8+1 = в+1

П Зэ+3 — 1 Зв+2-1

+ У ...У У У1 I (Ь г г- г )Р + Уь I (1\ )п

£—/ £—/ £—/ ,..., Ч ,..., »в ,''38 + 1,..., ''Зп—1' р 1г1,.", '"¡■э^'' 1V", п/Р

Зп-1=п-1 Зз+2=й+2 js+l=s+1

V (г 1,... ,г 3) С (1,... ,п),

где постоянные с20 и с21 не зависят от / и\{..

) •

Доказательство. Докажем справедливость соотношения 1). Для данного £ > 0 существуют функции Т* Е Ьр,..., Т* Е Ьр7 каждая из которых является тригонометрическим полиномом соответственно порядка по переменной х,Ь) такие, что

|/- Ет: <у^1,..^ (Лр+^

¡=1

Рассмотрим функции:

П П %2 — 1 П '¡'3-1 '¿'2-1

Т"1 =Ти1 — /о — ^ ^ fil — ^ ^ ^ ^ 1г1,г2 — ... — ^ ^ . . . ^ ^ п-2 —

%1 =2 г2=3 г1=2 гп-2=п—1 г2=3 г1=2

— íc2;з1...1n,

п п '¿з — 1 п 14— —1 '¿з — 1

Т"2 =Т^2 — I1 — ^^ — — ... — . . . ^^ ^1,^2,...,^п—2 —

'¿2 =3 %з=412=3 гп-2=п—1 ¡3=4 г2=3

— / 1,3,4,...,п,

п п $4 — 1

Т*з —Т* — /1,2 — 53 ?1>2>*з — 53 53 &,2,*зА — ... —

«з =4 г4=5 г3 =4 , .

(1.3)

п ¿5 — 1 г 4 — 1

УЗ . . . 53 Ь,2,к,-,гп-2 — I 1,2,4,5,...,п) Ъп-2=п—1 г4=5 ¿3=4

п п %к+1 — 1

Т*к —Т*к — 1\,2,...,к—1 — 53 — ^ ^ 53 .Ь,...,к—1^к,4+1 — . .

¡к =к+1 ¡к+1=к+2 ¡к=к+1 п 4+2 — 1 4+1 — 1

53 . . . ^ V 53 ^1,...,к — 1,'!'к,'''к + 1,...,'''п-2 — 11,...,к — 1,к+1,...,п,

гп-2=п—1 гк+1=к+2 гк=к+1

гр _ГТП* г г

1*п-1 —1*п-1 — ,11,2,...,п—2 — ,Т 1,...,п—2,п,

Т1 ЛТ1* г

*п — Т*п — 11,2,...,п—1.

В равенствах (1.3) для:

— Т*1 - из Т* вычитаются постоянная и все функции представления ( ), не зависящие от х1}

— Т*2- ш Т* вычитаются все функции представления ( ), зависящие от Х1, но не зависящие от х2,

— из Т* вычитаются все функций представления ( ), зависящие от х1 и х2, но не зависящие от х3,

— Т*к - из Т* вычитаются все функций представления ( ), зависящие от х1,... , х&—1, но не зависящие от

— Т*п-1-из Т* вычитаются все функций представления (1.1), зависящие от х1,... , хп—2, но не зависящие от хп—1.

— Т*п - из Т* вычитаются все функций представления ( ), зависящие от х1,... , хп—1, но не зависящие от хп.

Так как постоянная и все функции представления ( ), не зависящие х1 х1

О, то Т*1 является тригонометрическим полином ом порядка и1 по переменной х1

Так как все функции представления ( ), не зависящие от хь, к £ (2,... ,п) и зависящие от х1,... ,хк—1, являются то переменной тригонометрическими полиномами порядка 0, то Т*к является тригонометрическим полиномом порядка щ по перемен ной

п

Рассмотрим Тщ. Подставим вместо Т*. их явный вид из равенств ( ), ¡=1 г г сгруппируем вместе функции одинакового количества переменных, и, учитывая, что в совокупности правых частей равенств (1.3) содержатся постоянная /о и все функции представления (1.1), кроме /1,..,п, получим

п п п п 2 — 1 п

Е — Етщ—л — Е /н+— ЕЕ +Е л* + ьЛ —... —

г=1 г=1 \«1=2 / \«2 =3 г1=2 г2 =3 /

Щ

=1 =1

п — 1 2 — 1

п 4—1 —1

УЗ ^'Ч^.^^-2 + УЗ . . . УЗ УЗ ^^2-1...-1 гп-2

гп-2=п 1 %2=3 г1=2 %п_2=п—1 п =4 г2=3

+ ... + К.,п—2 I —

— (12,...,п + Я,3,...,п + Ь,2,4,...,п + ... + Ь,...,п—1) —

п п п 12 — 1 п ¡3 — 1 12 — 1

ЕТ*— ^ — Е— ЕЕ,г2—...— Е ... ЕЕ

1п-2

{=1

ч=1

г2=2 %1=1

гп-2=п—2 12=2 11=1

п %з — 1 г2 — 1

УЗ ...ЕЕ$ п,...,^-1.

гп — 1=п—1 ¡2=2 г 1=1

Используя представление (1.1), получим, что

п п

ЕТ*— ЕТЩ— $+?1,...,п. =1 =1

По определению приближения п-мерным углом имеем

(1.4)

Ущ...Щп (/1,...,п)р <

/1,...,п УЗ Т*

'1=1

Пользуясь равенством (1.4), получим

п п

У*1...ЩП (/1,...,п)р < / 1,...,п — ^ ^ Тщ + / — /1,...,п — ЕТ*. <

%=1 р '=1 Р

<У*1..ЩП (Лр + е.

Так как это неравенство справедливо для любого £ > 0, то

У^1... ( /1-...-П )р < У^1... 1Уп (/)р. (1.5)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исмагилов, Тимур Фаритович, 2017 год

Список литературы

1. Чебышев П. Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций // ПСС Чебышева. - 1947.

С. 152—236.

2. Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под именем параллелограммов // ПСС Чебышева. - 1947. - С. 23-51.

3. Lebesgue H. Sur la représentation approchée des fonctions // Rend. Circ. Mat. Palermo. — 1908. — No. 26. — Pp. 325-328.

4. Vallée Poussin C. J. d. l. Note sur l'approximation par un polynôme d'une fonction dont la derivee est a variation bornee // Bull. Soc. Math. Belgo. — 1908. — No. 3. — Pp. 403-410.

5. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. — Göttingen : Dieterich, 1911.

6. Бернштейн С. О наилучшемъ приближенш непрерывныхъ функщй по-средствомъ многочленовъ данной степени // Сообщ. Харьков, матем. общ. Вторая сер. - 1912. - С. 49-194.

7. Hardy G. H., Littlewood J. E. A convergence criterion for Fourier series // Math. Z. — 1928. — Vol. 28, no. 4. — Pp. 612-634.

8. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / под ред. О. А. Олей ни к. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1988. - 336 с.

9. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теоремах вложения в смешанной норме // Тр. Матем. ин-та АН СССР. - 1951. - № 38. - С. 191-202.

10. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера // Сиб. матем. журн. — 1963. — ..V« 6. - С. 1342-1364.

11. Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1963. Л" 3. С. 7—16.

12. Потапов М. К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math, balk. - 1972. - С. 183 198.

13. Потапов М. К. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. - 1980. - № 156. - С. 143-156.

14. Потапов М. К. О приближении углом // Proc. Conf. on Constructive Theory of Functions (Approximation Theory). 1969. Budapest: Akad. Kiado. — 1972. - C. 371-399.

15. Потапов M. Симонов Б. В. О соотношениях между модулями гладкости в разных метриках // Вестник московского университета, Серия 1 Матем. Механ. - 2009. - № 3. - С. 36-43.

16. Потапов М. Симонов Б. В.7 Тихонов С. Теоремы вложения классов С.М.Никольского // Современные проблемы анализа и преподавания математики, Материалы Международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М.Никольского. — Изд-во МГУ, 2010. — С. 33—34.

17. Potapov M., Simonov B., Tikhonov S. Mixed Moduli of Smoothness in Lp, 1 < р < то // Surveys in Approximation Theory. — 2013. — No. 8. — Pp. 1-57.

18. Потапов M. Симонов Б. B.7 Тихонов С. Дробные модули гладкости. — Москва : МАКСПресс, 2016. - 338 с.

19. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — Москва : Наука, 1977. — 456 с.

20. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. - 1965. - № 77. - С. 143-167.

21. Унинский А. П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени // Материалы Всесоюзного симпозиума по теоремам вложения. — 1966. — № 77. — С. 143—167.

22. Бесов О. В.7 Ильин В. 77., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — Москва : Наука, 1975. — 480 с.

23. Потапов М. К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения "углом" // Труды МИАН СССР. — 1972. — № 117. — С. 256— 291.

Публикации автора по теме диссертации

1. Исмагилов Т. Ф. Теоремы о следах функций из обобщенных классов Никольского // Труды механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова "Современные проблемы математики и механики". Математика. Выпуск 1. К 60-летию семинара тригонометрические и ортогональные ряды. Т. 10. — 2014. — С. 12—25.

2. Исмагилов Т. Ф. О свойствах распасовки функций из пространства Ьр // Труды механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова "Современные проблемы математики и механики". Математика. Выпуск 2. К столетию лузинского семинара по теории функций. Т. 10. — 2015. — С. 69-92.

3. Исмагилов Т. Ф. Теоремы вложения классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Вестник московского университета, Серия 1 Матем. Механ. — 2013. — № 5. — С. 3—9.

4. Исмагилов Т. Ф. Теоремы вложения разных метрик для классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Вестник московского университета, Серия 1 Матем. Механ. — 2014. — № 6. — С. 59—62.

5. Исмагилов Т. Ф. Теорема вложения разных метрик для обобщенного класса Никольского // Вестник московского университета, Серия 1 Матем. Механ. - 2015. - № 4. - С. 27-31.

6. Исмагилов Т. Ф. О вложении разных метрик обобщенных классов Никольского // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". — Россия, Тула. — 15-19 сентября 2014.

7. Исмагилов Т. Ф. О вложении класса функций с доминирующим смешанным модулем гладкости // Материалы XIX международной молодёжной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов". Россия, Москва, 2012. URL: https://lomonosov-msu.ru/archive/ Lomonosov_2012/1790/41352_7005.pdf.