О стабилизации решений задачи Коши для систем законов сохранения с релаксацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Духновский Сергей Анатольевич

• Духновский Сергей Анатольевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Духновский Сергей Анатольевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Локальное равновесие для системы уравнений Карле-

мана

1.1 Фурье–решение для системы уравнений Карлемана

1.2 Уравнение нулевой моды

1.3 Конечная аппроксимация

1.4 Нелинейное уравнение в банаховом

(m)

пространстве L2,γ (R+ ; Hσ )

1.5 Оценки линеаризованного оператора

1.6 Оценки правой части нелинейного уравнения

1.7 Локальное равновесие

1.8 Условие секулярности

Глава 2. Существование глобального решения задачи Коши для

возмущенной системы уравнений Карлемана

2.1 Существование решения нелинейного уравнения

2.2 Ограниченность последовательности итераций

2.3 Фундаментальность последовательности итераций

2.4 Теорема существования решения

2.5 Единственность решения

2.6 Существование решения нелинейного уравнения с оператором воз-

мущения

2.7 Апроксимационное решение возмущенной системы уравнений Кар-

лемана

Глава 3. О стабилизации решений задачи Коши для системы урав-

нений Годунова–Султангазина

3.1 Фурье–решение для системы уравнений Годунова–Сул-тангазина

3.2 Комплексификация

3.3 Уравнение нулевой моды

3.4 Конечная аппроксимация

3.5 Проверка условий секулярности

3.6 Оценки членов в правой части нелинейного уравнения

3.7 Оценки линеаризованного оператора

2

3.8 Локальное равновесие

Глава 4. Существование глобального решения задачи Коши для

возмущенной системы уравнений Годунова–Султангазина116

4.1 Существование решения нелинейного уравнения

4.2 Теоремы ограниченности, фундаментальности и существования

решения последовательности итераций

4.3 Уравнение для нулевой моды (уравнение Риккати)

4.4 Оценка правой части для уравнения Риккати в L2,γ (R+ )

4.5 Теорема о ограниченности последовательности итераций для урав-

нения Риккати в L∞,γ (R+ )

4.6 Фундаментальность последовательности итераций

4.7 Теорема существования решения

4.8 Единственность решения уравнения Риккати

4.9 Разрешимость нелинейного уравнения без оператора возмущения

Tadd и нелинейного уравнения Риккати

4.10 Доказательства теоремы существования при наличии возмуще-

ния Tadd

4.11 Фундаментальность последовательности итераций с оператором

возмущения

4.12 Апроксимационное решение для возмущенной системы уравне-

ний Годунова–Султангазина

Заключение

Список литературы

3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О стабилизации решений задачи Коши для систем законов сохранения с релаксацией»

 Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Диссертация посвящена исследованию стабилизации решений двух систем

нелинейных гиперболических уравнений в частных производных: системы дис-

кретных кинетических уравнений Карлемана и системы Годунова–Султангазина

(двух дискретных скоростных моделей).

Исследование нелинейных гиперболических уравнений в частных про-

изводных на больших временах относится к активно развивающемуся в по-

следнее время направлению математики. Основным уравнением динамики раз-

режённого газа является уравнение Больцмана [3,5,16]. Данное уравнение пред-

ставляет собой интегро–дифференциальное уравнение в частных производных,

что затрудняет исследование данного уравнения. Для упрощения уравнения

Больцмана было предложено несколько нелинейных моделей, среди которых

дискретные скоростные модели, где неизвестными функциями являются плот-

ности частиц заданного типа в заданной точке пространства–времени. Дан-

ные модели имеют интересные концептуальные и математические особенно-

сти [17,56,57]. При построении дискретных кинетических моделей, прибегают к

переходу от интегрирования к суммированию (приближение уравнения Больц-

мана) с помощью метода дискретных скоростей. Получают дискретные кинети-

ческие уравнения, облегчающие изучение кинетического уравнения Больцмана.

В общем случае дискретные кинетические уравнения имеют вид

∂ni X ij

+ (~ci , ∇ni ) = σkl (nk nl − ni nj ), i = 1, N, (1)

∂t

k,l,j

где предполагается, что выполняется закон детального равновесия

ij

σkl = σijkl ,

который обычно имеет место для реальных систем. Здесь правая часть пред-

ij

ставляет собой интеграл столкновений в дискретном случае, постоянные σkl

пропорциональны вероятности того, что в результате столкновения двух моле-

кул со скоростями ~ci , ~cj данные частицы приобретают скорости ~ck , ~cl . Урав-

нение (1) служит для получения кинетических уравнений с конечном числом

различных групп частиц. В случае отсутствия столкновений между частица-

ми, правая часть обращается в нуль. В итоге получаем уравнение свободного

движения

∂ni

+ (~ci , ∇ni ) = 0.

∂t

4

 Теория асимптотической устойчивости для нелинейных уравнений Шре-

дингера возникла в работах А. Соффера и М. Вайнштейна [87], В. С. Буслаева,

Г. С. Перельман и К. Сулем [52, 53]. Обобщение на уравнение Клейна–Гордона

приведено А. И. Комечем и Е. А. Копыловой в 2010 году [77, 78].

Основной вклад в развитие кинетической теории газов внесли классики

19–20 века : Л. Больцман [4], Т. Карлеман [35], Д. К. Максвелл [39], Дж. Е.

Бродуэлл [56, 57]. В дальнейшем уравнение Больцмана изучалось на протяже-

нии более полувека, например, в работах А.В. Бобылева [5], А.Я. Повзнера [42],

У.М. Султангазина [49], Р. Монако [81] и другими. Системы дискретных кине-

тических уравнений рассматривались в работах C.З. Аджиева [1], О.А. Васи-

льевой [8–10,92], В.В. Веденяпина [16,18,19], С.К. Годунова [22], Т. Платковско-

го [85], Р. Иллнера [69–72], Е.В. Радкевича [44–48]. Наравне с уравнением (1)

в [16, 19] изучаются дискретные квантовые кинетические системы (уравнения

Юлинга–Уленбека), отличающиеся от (1) правой частью

X ij  

Fi = σkl nk nl (1 + θni )(1 + θnj ) − ni nj (1 + θnk )(1 + θnl ) .

k,l,j

Отметим, что при θ = 0 последнее уравнение переходит в уравнение (1); при

θ > 0 уравнение имеет место для бозонов, а при θ < 0 для фермионов. В этой

же работе [19] приводится аналитическое решение 6 – скоростной модели в виде

бегущей волны.

Перейдем к рассмотрению моделей дискретных кинетических уравнений,

исследуемых в этой диссертации. Одной из них является система уравнений

Карлемана [8, 10–12, 16, 23]:

1

∂t u + ∂x u = − (u2 − w2 ), x ∈ R, t > 0, (2)

ε

1

∂t w − ∂x w = (u2 − w2 ), 0 < ε < 1,

ε

u|t=0 = u0 , w|t=0 = w0 (3)

с периодическими начальными данными. Данная система уравнений представ-

ляет собой систему из двух нелинейных дифференциальных уравнений в част-

ных производных. Она описывает одноатомный разреженный газ, состоящий

из двух групп частиц. Данные группы частиц двигаются вдоль прямой, в про-

тивоположных направлениях с единичной скоростью. Взаимодействие частиц

происходит внутри одной группы, т.е. сами с собой. В результате частицы об-

мениваются скоростями [10, 16]. Для этой модели не сохраняются импульс и

энергия.

В работе Ж.–Л. Лионса [38] приводится доказательство Р. Темама тео-

ремы существования и единственности системы Карлемана в классах Соболева

W21 . В публикации О.В. Ильина [33] по дискретным кинетическим уравнениям в

2007 году была доказана теорема существования решения уравнения Карлема-

на с помощью топологической степени Лере–Шаудера в пространстве Соболева

5

W21 . Отметим, что в более поздних работах [72,74,80] данный метод не использо-

вался. В проведенном доказательстве [33] существования глобального решения,

не установлена скорость стабилизации и структура решения на больших време-

нах t → ∞.

Другой более сложной моделью, исследуемой в третьей главе, является

кинетическая система уравнений Годунова–Султангазина [9, 22, 47, 48]:

1

∂t u + ∂x u = (v 2 − uw), x ∈ R, t > 0 (4)

ε

2

∂t v = − (v 2 − uw),

ε

1

∂t w − ∂x w = (v 2 − uw), 0 < ε < 1,

ε

u|t=0 = u , v|t=0 = v 0 , w|t=0 = w0 .

0

(5)

Здесь ε малый параметр, соответствующий числу Кнудсена в кинетической тео-

рии. В отличие от модели Карлемана, данная модель описывает газ, состоя-

щий из трех групп частиц, движущихся вдоль прямой. Одна группа состоит

из частиц, находящихся в состоянии покоя, имеющих нулевую скорость. Две

другие группы, аналогично системе Карлемана, состоят из частиц, движущих-

ся с единичной скоростью в противоположных направлениях. Доказательство

глобального существования решения около состояния равновесия для системы

Годунова–Султангазина приведено в работах T. Nishida и M. Mimura [84], S.

Kawashima [73].

Цель диссертации

Доказательство асимптотической устойчивости положительных состоя-

ний равновесия для дискретных кинетических уравнений Карлемана и Годунова–

Султангазина, определения скоростей стабилизации к состоянию равновесия и

выделение структуры решения на больших временах.

Основные задачи диссертационного исследования

Задачи диссертационного исследования следующие:

1. Исследование стабилизации решений задачи Коши для кинетических си-

стем Карлемана и Годунова–Султангазина.

2. Доказательство существование глобального Фурье–решения задачи Коши

с периодическими начальными данными для кинетических систем Карле-

мана и Годунова–Султангазина.

3. Построение глобальных аппроксимационных решений задачи Коши с пе-

риодическими начальными данными для кинетических систем Карлемана

и Годунова–Султангазина (задачи периодического возмущения состояния

равновесия).

6

 4. Доказательство сходимости в весовых пространствах глобальных аппрок-

симационных решений к классическому решению задачи Коши для возму-

щения состояния равновесия для кинетических систем уравнений Карле-

мана и Годунова–Султангазина с периодическими начальными данными.

Объект исследования

Объектом исследования диссертационной работы является дискретное ки-

нетическое уравнение Больцмана. В качестве основных моделей, рассматри-

ваются одномерные кинетические системы уравнений Карлемана и Годунова–

Султангазина.

Предмет исследования

Доказательство теоремы существования и единственности глобального

решения задачи Коши для возмущений положительных состояний равнове-

сия с периодическими начальными данными для кинетических систем уравне-

ний Карлемана и Годунова–Султангазина, а также стабилизация решений при

t → ∞.

Результаты, выносимые к защите

1. Доказано существование и единственность глобального Фурье–решения

задачи Коши для возмущения положительных состояний равновесия с пе-

риодическими начальными данными для кинетических систем уравнений

Карлемана и Годунова–Султангазина.

2. Построены глобальные аппроксимационные решения задачи Коши для

возмущения положительных состояний равновесия с периодическими на-

чальными данными для кинетических систем уравнений Карлемана и

Годунова–Султангазина.

3. Доказана сходимость в весовых пространствах глобальных аппроксимаци-

онных решений к классическому решению задачи Коши для возмущения

положительных состояний равновесия для кинетических систем уравне-

ний Карлемана и Годунова–Султангазина с периодическими начальными

данными.

4. Доказана асимптотическая устойчивость положительных состояний рав-

новесия для кинетических систем уравнений Карлемана и Годунова–Султа-

нгазина.

Научная новизна

Впервые для кинетических систем Карлемана и Годунова–Султангазина

доказана асимптотическая устойчивость положительных состояний равновесия.

Теоретическая и практическая ценность работы

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут приме-

няться для математического моделирования динамических процессов в различ-

ных областях науки и техники: кинетической теории газов, газовой динамики,

7

химии автокатализа. Также они могут быть использованы специалистами, ис-

следующими нелинейные уравнения в частных производных и поведение ре-

шений при t → ∞. Изложенный метод изучения локального равновесия систем

Карлемана и Годунова–Султангазина позволяет исследовать более сложные ма-

тематические модели, такие как модели типа Бродуэлла для 4 или 6 групп

частиц.

Методология и методы исследования

При получении результатов автором были использованы следующие ма-

тематические методы: общей теории уравнений в частных производных, метод

Фурье, функционального анализа, а также утверждения теории пространств

Харди (теорема Пэли–Винера).

Степень достоверности результатов исследования

Основные результаты исследования четко сформулированы и математи-

чески доказаны.

Апробация результатов диссертационного исследования

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих кон-

ференциях и семинарах:

1. Научный семинар кафедры Высшей математики (г. Москва, НИУ МГСУ,

2015 и 2016 г.).

2. XII всероссийская научно–практическая и учебно-методическая конфе-

ренция «Фундаментальные науки в современном строительстве», посвя-

щенная десятилетию образования ИФО МГСУ(г. Москва, НИУ МГСУ,

2015 г.).

3. XXIII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образо-

вание» (г. Дубна, 25–30 января 2016 г.).

4. XXIV Международная конференция «Математика. Экономика. Образо-

вание». IX международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения».

Международная конференция по стохастическим методам (г. Новорос-

сийск, 27 мая–03 июня 2016 г.).

5. Научный семинар кафедры Прикладной математики (г. Москва, НИУ

МГСУ, 2017 г.).

6. XIV Международная научно–практическая конференция «Развитие фун-

даментальных основ науки и образования в строительстве» (г. Москва,

НИУ МГСУ, 18 мая 2017 г.).

7. Ежегодная Международная конференция «Shilnikov Workshop 2017» (г.

Нижний Новгород, Нижегородский государственный университет им. Н.

И. Лобачевского, 15–16 декабря 2017 г.).

8

 8. Научный семинар «Дифференциальные и функционально–дифференциаль-

ные уравнения» под руководством профессора Скубачевского А.Л. (г. Мос-

ква, РУДН, 22 мая, 18 сентября 2018 г.).

9. Научный семинар «Спектральная теория дифференциальных операторов

и актуальные вопросы математической физики» под руководством ака-

демика РАН Моисеева Е.И. и профессора Ломова И.С. (г. Москва, ВМК

МГУ, 22 октября 2018 г.).

10. Научный семинар по нелинейным задачам уравнений в частных производ-

ных и математической физики под руководством профессора Шишкова

А.Е. (г. Москва, РУДН, 30 октября, 6 ноября 2018 г.).

11. Научный семинар под руководством профессора Буренкова В.И. (г. Москва,

РУДН, 13 ноября 2018 г.).

12. V Международная конференция «Функциональные пространства. Диф-

ференциальные операторы. Проблемы математического образования», по-

священная 95-летию со дня рождения члена–корреспондента РАН, акаде-

мика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, РУДН,

26–29 ноября 2018 г.).

13. Межвузовский научный семинар по качественной теории дифференциаль-

ных уравнений под руководством профессора Асташовой И.В. и профес-

сора Филиновского А.В. (г. Москва, РЭУ им. Г.В.Плеханова, 24 ноября

2018 г.).

14. Научный семинар по дифференциальным уравнениям и математическому

моделированию под руководством профессора Дубинского Ю.А. и про-

фессора Амосова А.А. (г. Москва, МЭИ, 28 ноября 2018 г.).

15. Научный семинар кафедры Вычислительной математики под руковод-

ством профессора Кобелькова Г.М. (г. Москва, механико–математический

факультет МГУ, 14 декабря 2018 г.).

Личный вклад

Постановка задачи принадлежит профессору Е. В. Радкевичу. Основные

результаты диссертационного исследования получены автором самостоятельно.

Публикации

Все результаты, представленные в данной диссертации, опубликованы в

работах автора [12–14,23–31,66]. Публикации [13,14,23,31] опубликованы в изда-

ниях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых науч-

ных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные резуль-

таты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В совместной

с руководителем публикации [12] доля авторского участия составляет 50%. В

9

публикациях [13, 14], написанных в соавторстве, доля авторского участия со-

ставляет 60%.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка ли-

тературы, содержащего 92 наименования. Объем диссертации составляет 159

страниц.

10

 Глава 1

Локальное равновесие для системы уравнений Карлемана

В этой главе исследуется задача Коши одномерной системы уравнений

для дискретной модели газа – системы уравнений Карлемана:

1

∂t u + ∂x u = − (u2 − w2 ), x ∈ R, t > 0, (1.1)

ε

1

∂t w − ∂x w = (u2 − w2 ), 0 < ε < 1,

ε

u|t=0 = u0 , w|t=0 = w0 , (1.2)

где u0 (x) = u0 (x + 2π), w0 (x) = w0 (x + 2π) – периодические начальные данные.

1.1 Фурье–решение для системы уравнений Карлемана

Мы исследуем задачу Коши (1.1), (1.2) для малых возмущений состояния

равновесия we2 = u2e , ue = we > 0. Положим

u = ue + we1/2 ε2 u

b, w = we + we1/2 ε2 w.

b (1.3)

Тогда

1

∂t u b − 2we (w

b + ∂x u b−u b) = −εwe1/2 (b b u − w),

u + w)(b b x ∈ R, t > 0, (1.4)

ε

1

b − ∂x w

∂t w b + 2we (w b−u b) = εwe1/2 (b b u − w),

u + w)(b b

ε

b0 , w|

b|t=0 = u

u b t=0 = wb0 . (1.5)

Для периодических возмущений с нулевыми средними

X X

ikx

u

b(t, x) = u0 (t) + uk (t)e , w(t,

b x) = w0 (t) + wk (t)eikx ,

k∈Z0 k∈Z0

Z0 = {k ∈ Z, k 6= 0}

введем весовое пространство W2,γ

1

(R+ ; Hσ ):

∂

||b

u||W2,γ

1 (R ;H ) = ||

+ σ

b||L2,γ (R+ ;Hσ ) + ||b

u u||L2,γ (R+ ;Hσ ) ,

∂t

11

где Z ∞

u||2L2,γ (R+ ;Hσ )

||b = e2γt |u0 (t)|2 dt+

0

Z ∞ X X

2γt 2σ 2

+ e |k| |uk (t)| dt < ∞, u|t=0 |||2Hσ

|||b = |u00 |2 + |k|2σ |u0k |2 .

0 k∈Z0 k∈Z0

В [14], [23] получена система для коэффициентов Фурье {u0 , w0 , uk , wk , k ∈

Z0 } :

Z t

uk = −wk + (u0k + wk0 )e−ikt + 2ik eik(s−t) wk ds, u0 = −w0 , (1.6)

0

1

wk = wk0 e(ik−4we ε )t + yk , k ∈ Z0 .

Предполагаем, что средние

Z 2π Z 2π

0 1 0 0 1

u0 = u

b (x)dx = w0 = b0 (x)dx = 0.

w

2π 0 2π 0

Доказывается, что для yk имеет место бесконечная система обыкновенных диф-

ференциальных уравнений(ОДУ)

1 t ik(s−t)

Z

d 1

yk − ikyk + 4we yk − 4ikwe e yk ds = (1.7)

dt ε ε 0

1 1

= we1/2 Dk e−ikt + fk (t)e−4we ε t +

 ε 

1/2

+εwe 2Lk (y) + 4Bk (y, y) − εwe1/2 Tkadd (y),

yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 = {k ∈ Z, k 6= 0}.

Здесь Tkadd (y) – оператор возмущения базовой системы

1 t ik(s−t)

Z

d 1

yk − ikyk + 4we yk − 4ikwe e yk ds = (1.8)

dt ε ε 0

1/2 1

 

−ikt −4we 1ε t 1/2

= we Dk e + fk (t)e + εwe 2Lk (y) + 4Bk (y, y) ,

ε

yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 = {k ∈ Z, k 6= 0}.

Здесь Dk , fk (t), Lk (y), Bk (y, y), Tkadd (y) определены в [13, 14].

1.2 Уравнение нулевой моды

Уравнение нулевой моды при k = 0 после сведения к однородным усло-

виям имеет вид

Z t  

4we 1ε (s−t) −4we 1ε t

w0 = εwe1/2

e D0 + 2L0 (y) + 4B0 (y, y) + f0 (t)e ds, (1.9)

0

12

где L0 (y) = l0 (y) + 2l0B (y), f0 (t) = 2f0L (t) + 4f0B (t),

X  2we 1ε  2we 1ε 

D0 = u0k1 − w 0 0

u−k1 + w 0

,

k1 ∈Z0

(ik1 − 2we 1ε ) k1 (ik1 + 2we 1ε ) −k1

X n Z t

0 0 −ik1 t

l0 (y) = (uk1 + wk1 )e ik2 eik2 (s−t) yk2 ds+

k1 +k2 =0, k1 ,k2 6=0 0

 Z t  o

ik1 (s−t) 0 0 −ik2 t

+ ik1 e yk1 ds − yk1 )(uk2 + wk2 )e ,

0

X n 1 ik2

f0L (t) = (u0k1 + wk01 )e−ik1 t 0 ik2 t

1 wk 2 e +

2 (ik2 − 2we ε )

k1 +k2 =0, k1 ,k2 6=0

1 ik1  o

0 0 ik1 t 0 0 −ik2 t

+ w − wk1 e (uk2 + wk2 )e ,

2 (ik1 − 2we 1ε ) k1

X n Z t  Z t o

ik2 (s−t) ik1 (s−t)

B0 (y, y) = ik2 e yk2 ds ik1 e yk1 ds − yk1 ,

k1 +k2 =0, k1 ,k2 6=0 0 0

n1 ik2 (ik2 −4we 1ε )t

X

l0B (y) = 1 w 0

k (e − e−ik2 t )×

2 (ik2 − 2we ε ) 2

k1 +k2 =0, k1 ,k2 6=0

 Z t 

ik1 (s−t)

× ik1 e yk1 ds − yk1 +

0

Z t 1

ik2 (s−t) ik1 0 (ik1 −4we 1ε )t −ik1 t 0 (ik1 −4we 1ε )t

o

+ik2 e yk2 ds w (e −e ) − wk 1 e ,

0 2 (ik1 − 2we 1ε ) k1

X n1 ik2

B 0 ik2 t

f0 (t) = 1 wk2 e ×

2 (ik2 − 2we ε )

k +k =0, k ,k 6=0

1 2 1 2

1 ik1 

0 (ik1 −4we 1ε )t −ik1 t 0 (ik1 −4we 1ε )t

× w (e −e ) − wk 1 e −

2 (ik1 − 2we 1ε ) k1

1 ik2 0 −ik2 t ik1 t 1

 ik1 0 0

o

− w e e w − wk1 .

2 (ik2 − 2we 1ε ) k2 2 (ik1 − 2we 1ε ) k1

13

1.3 Конечная аппроксимация

Для построения аппроксимационного решения задачи Коши (1.4), (1.5)

в [13] вводится конечная аппроксимация бесконечной системы (1.8) :

1 t ik(s−t) (m)

Z

(m) (m) d (m) (m) 1 (m)

Tk (yk ) ≡ yk − ikyk + 4we yk − 4ikwe e yk ds = (1.10)

dt ε ε 0

1 (m) (m) 1

= we1/2 Dk e−ikt + fk (t)e−4we ε t +

 ε 

(m) (m)

+εwe1/2 2Lk (y (m) ) + 4Bk (y (m) , y (m) ) ,

(m)

yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 , |k| ≤ m.

Из классических результатов следует теорема.

Теорема 1.1. Пусть σ > 2, u|t=0 , w|t=0 ∈ Hσ и средние значения u00 = w00 = 0.

Пусть m ∈ N фиксировано. Тогда существует T ∗ > 0, возможно зависящее

от m, такое что усеченная система (1.10): имеет единственное решение на

интервале [0, T ∗ ].

Ниже мы докажем, что при T ∗ = ∞ и определяемом Фурье решение –

решение задачи Коши экспоненциально быстро стремиться к состоянию рав-

1/2

новесия. В правой части (1.10) появляются секулярные члены we 1ε Dk e−ikt , не

(m)

принадлежащие L2,γ (R+ ). Введем векторное пространство Q(m) ∈ Hσ , Q(m) =

(m)

(Qk , |k| ≤ m, k 6= 0) с нормой

(m)

X

|||Q(m) |||2H(m) = |k|2σ |Qk |2 .

σ

k, |k|≤m,k6=0

Решение системы (1.10) будем искать в виде

(m) (m) (m) (m)

yk = Qk Tk−1 (e−ikt ) + Tk−1 (zk ), zk |t=0 = 0,

Q(m) ∈ Hσ(m) , Z (m) ∈ W2,γ

1

(R+ ; Hσ(m) ),

(m)

где Z (m) = (zk , |k| ≤ m, k 6= 0). В [13] доказано существование γ = O(ε) > 0

такого, что для любого k ∈ Z0 существует единственное решение задачи Коши

Tk (xk ) = e−ikt , xk |t=0 = 0, (1.11)

принадлежащее xk (t) ∈ W2,γ

1

(R+ ). Такое решение будем обозначать через xk (t) =

Tk (e ). Так же, единственное решение задачи Коши

−1 −ikt

Tk (xk ) = zk , xk |t=0 = 0, zk (t) ∈ L2,γ (R+ ), (1.12)

14

 1

xk (t) ∈ W2,γ (R+ ), будем обозначать через xk (t) = Tk−1 (zk ).

(m) (m)

В переменных (zk , Qk )(см. [13]) система (1.10), при выполнении усло-

вия секулярности

1 (m) (m) (m)

we1/2 Dk − Qk + εwe1/2 Sk (Q(m) ) = 0, |k| = 1, . . . , m, (1.13)

ε

где

(m)

X n 2we 1ε ε (m)

Sk (Q )=− (u0k1 − w 0

k ) Q +

(ik1 − 2we 1ε ) 1 2we k2

k1 +k2 =k, |k1 |,|k2 |=1,...,m

ε (m) 0 2we 1ε 0 ε (m) ε (m) o

+ Q (u − w )− Q Q ,

2we k1 k2 (ik2 − 2we 1ε ) k2 2we k2 2we k1

запишется в виде:

(m) (m) 1

zk = (fk (t) + εwe1/2 gkL (t))e−4we ε t + εwe1/2 (2(HkL (t) + 4HkB (t))+ (1.14)



−1 (m)

1/2

+εwe 4LB k (T (Z (m) )) + 4Bk (T −1 (Z (m) ), T −1 (Z (m) ))+



(m) −1 (m)

+2Lk (T (Z )) .

(m)

Получаем систему в гильбертовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ). Для нулевой

моды имеем

Z t 

(m) 1 1

w0 = εwe1/2

e4we ε (s−t) 2hl0 (s) + (4f0B,l (s) + f0 (s))e−4we ε s + (1.15)

0

+4(hB,l B

0 (s) + h0 (s))+



+2L0 (Tk−1 (Z (m) )) + 4B0 (T −1

(Z (m)

), T −1

(Z (m)

)) ds,

где

L0 (y (m) ) = l0 (y (m) ) + 2l0B (y (m) ) + 2B0 (y (m) , T −1 (D(m) )) + 2B0 (T −1 (D(m) ), y (m) ),

n o

−1 (m) (m) (m)

T (D ) = Tk Dk , k ∈ Z0 , |k| ≤ m , Dk = Qk e−ikt ,

−1 (m)

X n ε (m)

l

h0 (t) = (u0k1 + wk01 )e−ik1 t Q ×

4we k2

k1 +k2 =0,|k1 |≤m,|k2 |≤m

d 1 −1 −ik2 t 

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Духновский Сергей Анатольевич, 2019 год

 Список литературы

[1] Аджиев, С. З. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана для

смесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной мате-

матики и математической физики. — 2007. — Т. 47, — №6. — C. 1045–1054.

[2] Аристов, В. В. Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсе-

на / В. В. Аристов // Журнал вычислительной математики и математи-

ческой физики. — 2004. — Т. 44, – №6. — С. 1127–1140.

[3] Больцман, Л. Лекции по теории газов/ Л. Больцман — М.: Гостехиздат,

1953. — 554 с.

[4] Больцман, Л. Избранные труды / Л. Больцман // — М.: Наука, 1984. —

590 с.

[5] Бобылев, А. В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и тео-

рия релаксации максвелловского газа / А. В. Бобылев // Теоретическая

и математическая физика. — 1984. — Т. 60, — №2. — C. 280–310.

[6] Бобылев, А. В. О некоторых свойствах уравнения Больцмана для макс-

велловских молекул/ А. В. Бобылев // Препринт №51. — М.: ИПМ АН

СССР, 1975.

[7] Буслаев, В. С. Рассеяние для нелинейного уравнения Шредингера: состо-

яния, близкие к солитону/ В. С. Буслаев, Г. С. Перельман// Алгебра и

анализ. — 1992. — Т. 4, №6. — С. 63–102.

[8] Васильева, О. А. Численное исследование системы уравнений Карлемана

/ О. А. Васильева // Вестник МГСУ. — 2015. — №6. — С. 7–15.

[9] Васильева, О. А. Численное исследование системы уравнений Годунова

– Султангазина. Периодический случай / О. А. Васильева // Вестник

МГСУ. — 2016. — №4. — С. 27–35.

[10] Васильева, О. А. Численное исследование краевой задачи для системы

уравнений Карлемана / О. А. Васильева // Вестник МГСУ. — 2016. —

№12. — С. 23–33.

151

[11] Васильева, О. А. Численное исследование дискретных кинетических урав-

нений/ О. А. Васильева // Математика. Компьютер. Образование: тру-

ды ХХIII международной конференции ( Дубна, 25–30 января 2016 г.).

Ижевск. — 2016. Вып. 23. — С. 192.

[12] Васильева, О. А. Условие секулярности кинетической системы Карлемана

/ О. А. Васильева, С. А. Духновский // Вестник МГСУ. — 2015. — №7.

— С. 33–40.

[13] Васильева, О. А. О локальном равновесии уравнения Карлемана / О. А.

Васильева, С. А. Духновский, Е. В. Радкевич // Проблемы математиче-

ского анализа. — 2015. — Т.78. — С. 165–190.( Англ. перевод: Radkevich,

E. V. Local equilibrium of the Carleman equation / E. V Radkevich, O. A

Vasil'eva. , S. A. Dukhnovskii // Journal of Mathematical Sciences. — 2015.

— Vol. 207, No. 2. — P. 296–323.)

[14] Васильева, О. А. О природе локального равновесия уравнений Карлемана

и Годунова–Султангазина / О. А. Васильева, С. А. Духновский, Е. В.

Радкевич // Современная математика. Фундаментальные направления. —

2016. — Т. 60. — С. 23–81. (Англ. перевод: Vasil'eva, O. A. On the nature of

local equilibrium in the Carleman and Godunov–Sultangazin equations/ O. A.

Vasil'eva, S. A. Dukhnovskii, and E. V Radkevich // Journal of Mathematical

Sciences. — 2018. — Vol. 235, No. 4. — P. 393–453.)

[15] Вайнберг, Б. Р. Поведение при больших временах решений уравнения

Клейна–Гордона / Б. Р. Вайнберг // Труды Московского математиче-

ского общества. — М.: Издательство Московского университета. — 1974.

— Т. 30. — С. 139–158.

[16] Веденяпин, В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова / В. В.

Веденяпин // — М.:Физматлит, 2001. — 112 с.

[17] Веденяпин, В. В. О разрешимости в целом задачи Коши для некоторых

дискретных моделей уравнения Больцмана / В. В. Веденяпин // Докл.

АН СССР. — 1974. — Т. 215, №1. — C. 21–23.

[18] Веденяпин, В. В. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей /

В. В. Веденяпин, С. А. Амосов, Л. Тоскано // Математическое моделиро-

вание. — 2000. — Т. 12, №7. — C. 18–22.

[19] Веденяпин, В. В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана

/ В. В. Веденяпин, И.В. Мингалев , О.В. Мингалев // Математический

сборник. — 1993. — Т. 184, №11. — С. 21–38.

152

[20] Владимиров, В. C. Уравнения математической физики / В.С. Владими-

ров, В.В. Жаринов // — 2-е издание, стереотипное. — М.:Наука, 2004. —

400 c.

[21] Годунов, С. К. Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных

уравнений и в газовой динамике / С. К. Годунов // Успехи математиче-

ских наук. — 1962. — Т.17, №3. — С. 147–158.

[22] Годунов, С. К. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцма-

на / С. К. Годунов, У. М. Султангазин // Успехи математических наук.

— 1971. — Т.26, №3. — С. 3–51.

[23] Духновский, С. А. О скорости стабилизации решений задачи Коши для

уравнения Карлемана с периодическими начальными данными / С. А.

Духновский // Вестник Самарского государственного технического уни-

верситета. Серия: Физико–математические науки. — 2017. — Т. 21, №1. —

C. 7–41.

[24] Духновский, С. А. Об оценках линеаризованного оператора кинетической

системы Карлемана / С. А. Духновский // Вестник МГСУ. — 2016. — №9.

— С. 7–14.

[25] Духновский, С. А. Система уравнений Карлемана. Условие секулярности

/ С. А. Духновский // Двадцать третья Международная конференция:

"Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 25-30 января 2016 г.):

Материалы конференции. — Москва–Ижевск.: Межрегиональная Обще-

ственная Организация "Женщины в науке и образовании". — 2016, Вып.

23. — С. 197.

[26] Духновский, С. А. Аппроксимационное решение кинетической системы

Карлемана/ С. А. Духновский // Строительство: наука и образование.

– 2017. – Т. 7, вып. 3 (24). — С. 10–18.

[27] Духновский, С. А. О локальном равновесии уравнения Карлемана/ С. А.

Духновский// Двадцать четвертая Международная конференция: "Мате-

матика. Экономика. Образование". Девятый международный симпозиум

"Ряды Фурье и их приложения". Международная конференция по стоха-

стическим методам (Новороссийск, 27 мая–03 июня 2016 г.): Тезисы до-

кладов. — Ростов–на–Дону.: Фонд науки и образования. — 2016. — С. 85.

[28] Духновский, С. А. Теорема существования решения кинетической системы

Карлемана с периодическими начальными данными / С. А. Духновский

// Развитие фундаментальных основ науки и образования в строитель-

стве: Четырнадцатая Международная научно–практическая конференция

(Москва, 18 мая 2017 г.): Тезисы докладов. — М.: НИУ МГСУ. — 2017. —

С. 34–35.

153

[29] Духновский, С. А. Уравнение Карлемана. Теорема существования реше-

ния / С. А. Духновский // Двадцать четвертая Международная конфе-

ренция "Математика. Экономика. Образование". Девятый международ-

ный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Международная конфе-

ренция по стохастическим методам: Статья в сборнике трудов конферен-

ции. — Ростов-на-Дону.: Фонд науки и образования. — 2016. — С. 53–56.

[30] Духновский, С. А. Теорема существования решения кинетической си-

стемы Годунова–Султангазина с периодическими начальными данны-

ми/ С. А. Духновский // Функциональные пространства. Дифферен-

циальные операторы. Проблемы математического образования: Пятая

Международная конференция, посвященная 95–летию со дня рожде-

ния члена–корреспондента РАН, академика Европейской академии наук

Л.Д.Кудрявцева (Москва, 26–29 ноября 2018 г.): Тезисы докладов. — М.:

РУДН. — 2018. — С. 194–195.

[31] Духновский, С. А. Экспоненциальная устойчивость решений кинетиче-

ской системы уравнений Годунова–Султангазина // Научно–технический

вестник Поволжья. — 2019. — №3. — С. 9–11.

[32] Ильин, О. В. Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла

/ О. В. Ильин // Теоретическая и математическая физика. — 2012. —

Т.170, №3. — С. 481–488.

[33] Ильин, О. В. Изучение существования решений и устойчивости кинети-

ческой системы Карлемана / О. В. Ильин // Журнал вычислительной

математики и математической физики. — 2007. — Т.47, №12. — С. 2076–

2087.

[34] Иосида, К. Функциональный анализ / K. Иосида // Функциональный ана-

лиз. — М.: Мир, 1967. — 616 с.

[35] Карлеман, Т. Математические задачи кинетической теории газов / Т. Кар-

леман // —М.:Иностранной литературы, 1960. — 118 с.

[36] Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант // —

М.:Мир, 1964. — 830 с.

[37] Лионс, Ж. Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Л.

Лионс, Э. Мадженес // — М.:Мир, 1971. — 342 с.

[38] Лионс, Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач /

Ж. Л. Лионс // — М.:Мир, 1972. — 587 с.

[39] Максвелл, Дж. К. Труды по кинетической теории / Дж. К. Максвелл //

— М.:Бином, 2015. — 409 с.

154

[40] Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах (от диссипатив-

ных структур к упорядоченности через флуктуации) / Г. Николис , И.

Пригожин // — М.: Мир, 1979. — 512 с.

[41] Нурлыбаев, Н. А. Метод дискретных скоростей для решения уравнения

Больцмана / Н. А. Нурлыбаев // Журнал вычислительной математики и

математической физики. — 1992. — Т. 32, №11. — С. 1829–1834.

[42] Повзнер, А. Я. Об уравнении Больцмана кинетической теории газов / А.Я.

Повзнер // Математический сборник. — 1962. — Т. 58, №1. — C. 65–86.

[43] Радкевич, Е. В. О существовании глобальных решений задачи Коши для

дискретных кинетических уравнений / Е. В. Радкевич // Проблемы ма-

тематического анализа. — 2011. вып. 62. — C. 109–152.

[44] Радкевич, Е. В. О поведении на больших временах решений задачи Коши

для двумерного кинетического уравнения / Е. В. Радкевич // Современ-

ная математика. Фундаментальные направления. — 2013. — Т. 47, — C.

108–139.

[45] Радкевич, Е. В. Математические вопросы неравновесных процессов / Е.

В. Радкевич // — Новосибирск: Тамара Рожковская, 2007. — 300 с.

[46] Радкевич, Е. В. О дискретных кинетических уравнениях / Е. В. Радкевич

// Доклады Академии наук. — 2012. — Т. 447, №4. — С. 369–373.

[47] Радкевич, Е. В. Об осцилляциях, порождаемых оператором взаимодей-

ствия в дискретных кинетических уравнениях / Е. В. Радкевич // На-

учные ведомости Белгородского государственного университета. Серия:

Математика. Физика. — 2012. — Т. 26, №5. — С. 145–206.

[48] Радкевич, Е. В. К проблеме несуществования диссипативной оценки для

дискретных кинетических уравнений / Е. В. Радкевич // Вестник Са-

марского государственного технического университета. Серия: Физико-

математические науки. — 2013. — Т. 30, №1. — С. 106–143.

[49] Султангазин, У. М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана

/ У.М. Султангазин // — Алма–Ата: Наука, 1985. — 189 с.

[50] Черемисин, Ф. Г. Численные методы прямого решения кинетического

уравнения Больцмана / Ф. Г. Черемисин // Журнал вычислительной ма-

тематики и математической физики. — 1985. — Т. 25, — №12. — С.1840–

1855.

[51] Aristov, V. Kinetic model of the spatio-temporal turbulence / V. Aristov , O.

Ilyin // Physics Letters A. — 2010. — Vol. 374. — P. 4381–4384.

155

[52] Buslaev, V. S. Scattering for the nonlinear Schrödinger equation: states that

are close to a soliton / V. S. Buslaev, G. S. Pelerman // St. Petersburg Math.

J. — 1993. — Vol. 4, No. 6. — P. 1111–1142.

[53] Buslaev, V. S. On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear

Schrodinger equations / V. S. Buslaev, C. Sulem // Ann. Inst. Henri Poincare,

Analyse non–linéaire. — 2003. — Vol. 20, issue 3. — P. 419–475.

[54] Buslaev, V. S. On asymptotic stability of solitary waves in nonlinear

Schrödinger equation / V. S. Buslaev, A. Komech , E. A. Kopylova , D.

Stuart // Communications in Partial Differential Equations. — 2008. — Vol.

33, issue 4. — P. 669–705.

[55] Bobylev, A. Exact eternal solutions of the Boltzmann equation / A. Bobylev,

C. Cercignani // Journal of Statistical Physics. — 2002. — Vol. 106, issue 5–6.

— P. 1019–1038.

[56] Broadwell, J. E. Study of rarified shear flow by the discrete velocity method /

T. E. Broadwell // Journal of Fluid Mechanics. — 1971. — Vol. 19, issue 3. —

P. 401–414.

[57] Broadwell, J. E. Shock structure in a simple discrete velocity gas / T. E.

Broadwell // Physics of Fluids. — 1964. — Vol.7, No. 8. — P. 1243–1247.

[58] Cabannes, H. Couette flow for a gaz with a discrete velocity distribution / H.

Cabannes // Journal of Fluid Mechanics. — 1976. — Vol. 76, issue 2. — P.

273–287.

[59] Cabannes, H. Solution globale du problème de Cauchy en théorie cinétique

discrète / H. Cabannes // J. de Mécan. — 1978. — Vol. 17. — P. 1–22.

[60] Cercignani, C. A boundary value problem for the two dimensional Broadwell

model / C. Cercignani, R. Illner, M. Shinbrot // Communications in

Mathematical Physics. — 1988. — Vol. 114, issue 4. — P. 687–698.

[61] Chapman, S. Mathematical theory of non–uniform gases / S. Chapman, T. G.

Cowling // — Cambridge University Press, 1970. — 423 p.

[62] Chen, G. Q. Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and

entropy / G. Q. Chen, C. D. Levermore, and T.P. Lui // Communications

on Pure and Applied Mathematics. — 1994. — Vol. 47, No. 6. — P. 787–830.

[63] D'Almeida, A. Existence des solutions d'un problème aux limites dans le demi–

espace / A. D'Almeida // Journal de la Recherche Scientifique de l'université

de Lomé. — 2001. — Vol. 5. — P. 167–174.

156

[64] D'Almeida, A. Boundary conditions for discrete models of gases and

applications to Couette flows / A. D'Almeida, R. Gatignol // Computational

Fluid Dynamics. — 1995. — P. 115–130.

[65] D'Almeida, A. The half space problem in discrete kinetic theory / A.

D'Almeida, R. Gatignol // Mathematical Models and Methods in Applied

Sciences. — 2003. — Vol. 13, No. 1. — P. 99–119.

[66] Dukhnovskiy, S. A. On the local equilibrium of equations system of

Godunov–Sultangazin/ S. A. Dukhnovskiy // International conference

on Dynamical Systems "Shilnikov WorkShop 2017"(Nizhny Novgorod,

Russia, December 15–16, 2017). Book of abstracts. — P. 15–16. URL:

http://www.shilnikov.unn.ru/doc/allabstractsShW17-final.pdf

[67] Fitzgibbon, W. E. Initial boundary value problems for the Carleman equation

/ W. E.Fitzgibbon // Computers and Mathematics with Applications. — 1983.

— Vol. 9, No. 3. — P. 519–525.

[68] Gatignol, R. Kinetic theory boundary conditions for discrete velocity gases /

R. Gatignol // Physics of Fluids. — 1977. — Vol. 20, issue 20. — P. 2022–2030.

[69] Illner, R. A boundary value problem for discrete–velocity models / R. Illner,

M. Shinbrot, C. Cercignani // Duke Mathematical Journal. — 1987. — Vol.

55, No. 4. — P. 889–900.

[70] Illner, R. Decay the equilibrium for the Carleman model in a box / R. Illner,

M.C. Reed // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1984. — Vol. 44, No.

6. — P. 1067–1075.

[71] Illner, R. The decay of solutions of the Carleman model / R. Illner, M.C. Reed,

H. Neunzert // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 1981. —

Vol. 3, No. 1. — P. 121–127.

[72] Illner, R. Global existence for two velocity model of the Boltzman equation /

R. Illner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 1979. — Vol.

1, No. 2. — P. 187–193.

[73] Kawashima, S. The asymptotic equivalence of the Broarwell model equation

and its Navier–Stokes model equation / S. Kawashima // Japan. J. Math. —

1981. — Vol. 7, No. 1. — P. 1–43.

[74] Koledner, I. On Carleman’s model for the Boltzman equation and its

generalizations / I. Koledner // Annali di Matematica Pura ed Applicata.

— 1963. — Vol. 63. — P. 11–32.

157

[75] Komech, A. On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrödinger

equation / A. Komech, E. A. Kopylova // Communications on Pure and

Applied Analysis. — 2012. — Vol. 11, No. 3. —P. 1063–1079.

[76] Komech, A. On attraction to solitons in relativistic nonlinear wave equations /

A. Komech, N.J. Mauser, A. Vinnichenko // Russian Journal of Mathematical

Physics. — 2004. — Vol. 11, No. 3. — P. 289–307.

[77] Komech, A. Long time decay for 2D Klein–Gordon equation / A.

Komech, E. A. Kopylova. // J. Func. Anal. — 2010. — Vol. 259, No. 2. —

P. 477–502.

[78] Kopylova, E. A. On long-time decay for magnetic Schrödinger and Klein–

Gordon equations / E. A. Kopylova. // Proceedings of the Steklov Institute

of Mathematics. — 2012. — Vol. 278, issue 1. — P. 121–129.

[79] Krook, M. Exact solution of Boltzmann equations for multicomponent Systems

/ M. Krook, Tai Tsun Wu // Physical Review Letters. — 1977. — Vol. 38, issue.

18. — P. 991–993.

[80] Martin, R. H. Nonlinear operators and differential equations in Banach spaces

/ R. H. Martin // Wiley, New York (1976).

[81] Monaco, R. Fluid dynamic applications of the discrete Boltzmann equation

/ R. Monaco, L. Preziosi // Series on Advances in Mathematics for Applied

Sciences. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1991. — Vol.

3. — 288 pp.

[82] Morawetz, C. S. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic

wave equation / C. S. Morawetz, W. A. Strauss // Communications on Pure

and Applied Mathematics. — 1972. — Vol. 25. — P. 1–31.

[83] Nikkuni, Y. Solutions to the discrete Boltzmann equation with general

boundary conditions / Y. Nikkuni, R. Sakamoto // Journal of the

Mathematical Society of Japan. — 1999. — Vol. 51, No. 3. — P. 757–779.

[84] Nishida, T. On the Broadwell’s model for simple discrete velocity gas / T.

Nishida, M. Mimura // Proceedings of the Japan Academy. — 1974. — Vol.

50, No. 10. — P. 812–817.

[85] Platkowski, T. Discrete velocity models of the Boltzmann equation: a survey

on the mathematical aspects of the theory / T. Platkowski, R. Illner // SIAM

Review. — 1988. — Vol. 30, issue 2. — P. 213–255.

[86] Radkevich, E. V. Generation of chaotic dynamics and local equilibrium for

the Carleman equation / E. V. Radkevich, O. A. Vasil'eva // Journal of

Mathematical Sciences. — 2017. — Vol. 224, No. 5. — P. 763–795.

158

[87] Soffer, A. Selection of the ground states for nonlinear Schrödinger equations

/ A. Soffer, M. I. Weinstein// Rev. Math. Phys. — 2004. — Vol. 16, No. 8. —

P. 977–1071.

[88] Tartar, L. Solutions oscillantes des équations de Carleman / L. Tartar //

Séminaire équations aux dérivées partielles (Polytechnique). — (1980-1981).

— No. 12. — P. 1–15.

[89] Temam, R. Sur la résolution exacte et approchée d'un problème hyperbolique

non – linéaire de T. Carleman / R. Temam // Archive for Rational Mechanics

and Analysis. — 1969. — Vol. 35. — P. 351–362.

[90] Tinfili, N. Existence of solution of the ten discrete velocity model of C 1 / N.

Tinfili, K. Agosseme, A. D'Almeida // Journal de la Recherche Scientifique

de l'université de Lomé. — 2017. — Vol. 5. — P. 1–13.

[91] Toscani, G. Recent results on the fractional step method in discrete kinetic

theory / G. Toscani, W. Walus // Proceedings of Discrete Models of Fluid

Dynamics. — 1991. — Vol. 2. — P. 123–130.

[92] Vasil'eva, O. A. Numerical investigation of the Godunov–Sultangazin system

/ O. A. Vasil'eva // Procedia Engineering. — 2016. — Vol. 153. — P. 824–827.

159