Регуляризация задач определения источников колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Криворотько, Ольга Игоревна

• Криворотько, Ольга Игоревна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Криворотько, Ольга Игоревна

Содержание

Введение

1 Сингулярное разложение в некорректных задачах

1.1 Понятие г-решения для систем линейных алгебраических уравнений

1.1.1 Регуляризация

1.2 Понятие «-чисел вполне непрерывного и ограниченного операторов

1.2.1 Понятие 5-чисел вполне непрерывного оператора

1.2.2 Понятие ¿¡-чисел ограниченного оператора

1.3 Примеры некорректных задач и построение сингулярных чисел

2 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях на части границы области

2.1 Физическая и математическая модели

2.1.1 Физическая постановка

2.1.2 Математическая постановка прямой и обратных задач

2.1.3 Единственность решения обратной задачи

2.2 Численные алгоритмы решения прямой задачи

2.2.1 Численное интегрирование

2.2.2 Метод Фурье

2.2.3 Конечно-разностные схемы

2.3 Анализ некорректности обратной задачи термоакустики

2.3.1 Представление обратных задач в матричном виде

2.3.2 Анализ сингулярных чисел дискретных операторов обратных задач

2.3.3 Условная устойчивость обратной задачи

2.4 Оптимизационные методы численного решения обратных задач термоакустики

2.4.1 Выражения для градиентов функционалов, используемых в численных расчетах

2.4.2 Численные эксперименты решения обратных задач термоакустики градиентными методами

2.5 Сингулярное разложение и прием С.К. Годунова

2.5.1 Метод усеченного сингулярного разложения. Анализ численных расчетов

2.5.2 Прием С.К. Годунова. Анализ численных расчетов

3 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях в фиксированный момент времени

3.1 Постановка задачи

3.2 Неустойчивость и неединственность задачи Дирихле

3.3 Исследование обратной задачи в случае постоянных коэффициентов

3.3.1 Теорема единственности

3.3.2 Неустойчивость обратной задачи

3.4 Сингулярный анализ обратной задачи

2

! г • Г "У ■ ■гшпшяшт

3.4.1 Сингулярное разложение оператора обратной задачи

3.4.2 Сингулярный анализ дискретного аналога оператора обратной задачи

3.5 Вариационная постановка обратной задачи. Градиент целевого функционала . 73 3.5.1 Формула градиента целевого функционала, используемая в численных

расчетах

3.6 Численные эксперименты

3.6.1 Метод сингулярного разложения

3.6.2 Метод простой итерации

3.6.3 Использование г-решения в качестве начального приближения для метода простой итерации

4 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях в конечном числе точек

44 Краткая история изучения задачи определения начального возмущения для линейных уравнений мелкой воды

4.2 Постановка задачи и ее разрешимость

4.3 Вариационная постановка обратной задачи. Градиент целевого функционала

4.4 Численное решение прямой и сопряженной задач: уровень вычислительной ошибки

4.5 Степень некорректности обратной задачи

4.6 Метод сопряженных градиентов: численные расчеты

4.7 Совмещенная постановка обратной задачи для уравнений мелкой воды в линейном приближении

4.74 Вариационная постановка совмещенной обратной задачи

4.7.2 Результаты численных расчетов

4.7.3 Преимущество совмещенных данных

5 Численный алгоритм определения амплитуды переднего фронта волны

5.1 Уравнение эйконала

5.14 Уравнение эйконала в геометрической оптике. Принцип Ферма

5.1.2 Схема С.К. Годунова

54.3 Метод бихарактеристик

54.4 Метод Рунге-Кутты решения уравнений Эйлера

54.5 Сравнение метода Годунова и метода бихарактеристик

5.2 Алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае линейного источника 117 5.24 О существовании и единственности решения задачи определения амплитуды переднего фронта волны

5.2.2 Сравнение с акустическим фронтом в одномерном случае

5.3 Алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае точечного источника

5.4 Численные эксперименты. Амплитуда переднего фронта волны

Заключение

Список рисунков

Список таблиц

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Монографии

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

Публикации в нерецензируемых изданиях

Груды и тезисы конференций

Литература

А Вывод и основные свойства уравнений мелкой воды

А.1 Свойства уравнений мелкой воды в одномерном случае

A.2 Варианты граничных условий для системы уравнений мелкой воды

В Градиентные методы

B. 1 Метод простой итерации

В.2 Метод сопряженных градиентов

С Формула Эри-Грина (Airy-Green)

D Сингулярное разложение матриц, интегральных и компактных операторов

D. 1 Сингулярное разложение матриц

D4 4 Обзор предшествующих результатов

D4.2 11рименение сингулярного разложения к решению обратных задач

D.1.3 Прием С.К. Годунова решения некорректных задач

D.2 Сингулярное разложение интегральных операторов

D.2.1 Теоремы Фредгольма

D.2.2 Теорема Гильберта-Шмидта для интегрального оператора

D.2.3 Теорема Гильберта-Шмидта для компактного эрмитового оператора

D.3 Сингулярное разложение компактных операторов

Е Свидетельство о регистрации программы в Фонде алгоритмов и программ СО

РАН

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регуляризация задач определения источников колебаний»

Введение

Диссертация посвящена исследованию математических моделей волновых процессов, происходящих в мягких тканях, на 80% состоящих из воды, и на водной поверхности. Волновые процессы возникают вокруг нас непрерывно в Литосфере (тектонические, сейсмические волны), Гидросфере (волны цунами, волны-убийцы, приливные волны, гравитационные волны на воде), Атмосфере (волны акустики, электромагнитные волны, волны Россби). Моделирование волновых процессов начало развиваться с появлением первых вычислительных машин. В настоящее время существуют как коммерческие, так и открытые пакеты программ, позволяющие моделировать волновые процессы в средах различной сложности при заданном источнике колебаний и области моделирования. В основе этих пакетов лежат конечно-разностные схемы, методы конечных объемов, конечных элементов, сглаженных частиц и различные их вариации.

Наиболее важной прикладной задачей является задача определения источника колебаний q по дополнительной информации о поведении волнового поля / из соотношения Aq = f (обратная задача), где А - волновой оператор. В ряде случаев обратная задача Aq = f для волнового уравнения редуцируется к соответствующей обратной задаче для уравнения Гельм-гольца (частотная область), которая исследована в работах соотечественников A.C. Запреева, В.А. Цецохо [1] и их учеников. В настоящей работе исследованы задачи определения источников возмущений волн акустического давления (в задаче термоакустики) и длинных волн на водной поверхности в приближении мелкой воды во временной области. Актуальность выбранной темы обусловлена необходимостью совершенствования методов решения обратных задач, в значительном количестве возникающих в различных областях науки и медицины. В зависимости от дополнительной информации / о решении прямой задачи возможны различные постановки обратных задач. В диссертации рассмотрены четыре такие задачи.

Первая задача (обратная задача термоакустики) заключается в определении коэффициента q(x, у) поглощения энергии электромагнитного излучения по измерениям акустического давления на части границы области (глава 2). Эта задача имеет важное значение в онкологии при диагностике новообразований на ранних стадиях, поскольку при исследовании пораженных тканей обнаружено, что массовая доля воды в них существенно больше, чем в здоровых тканях, а, значит, коэффициенты поглощения энергии электромагнитного излучения пораженных и здоровых клеток существенно отличаются. Верификация математических моделей проводилась, в основном, зарубежными лабораториями под руководством R.A. Kruger [2-4], Е.Т. Quinto и А.К. Louis [5-7], О. Scherzer [8,9], Y. Xu [10,11] и других.

Вторая (глава 3) и третья задачи (глава 4) состоят в восстановлении источника возмущений q(x, у) водной поверхности по двум типам измерений формы свободной поверхности: f(x,y) в фиксированный момент времени и fm(t) в конечном числе точек прибрежной зоны (хт.ут), m = 1.....M, описываемой линейными уравнениями мелкой воды. Приближение мелкой воды (приложение А) достаточно хорошо описывает движение приливных волн или волн цунами. Теоретические подходы к решению проблемы генерации, распространения, трансформации и диссипации цунами развивались в работах E.H. Пелиновского (1982 и 1996 гг., [12, 13]), В.Ю. Ляпидевского и В.М. Тешукова (2000, [14]), В.В. Остапенко (2004, [15]), А.А Куркина и соавторов (2005, [16]). Теоретические предсказания, как правило, подтвер-

ждаются численными экспериментами. Книга Q. Ma (2010, [17]) дает всесторонний обзор основных достижений работ более 50 зарубежных авторов по численному моделированию нелинейных волн в океане, таких как волны, генерируемые оползнями, уединенные волны, цунами, а также по моделированию и взаимодействию с берегом и т.д. Численные модели, развитые E.H. Пелиновским (1988, [18]), Ю.И. Шокиным, Л.Б. Чубаровым, З.И. Федотовой, Г.С. Хакимзяновым и их сотрудниками (1989, 2007-2009, [19-25]), В.К. Гусяковым, Т.А. Ворониной (1972, 2004, 2011, 2014, [26-29]), Ан.Г. Марчуком с соавторами (1983, [30]), И. Ди-денкуловой (2010-2014, [31-33]) легли в основу схемы цунамирайонирования Тихоокеанского побережья России, включающего в себя как оценку вероятности возникновения цунами в данном районе, так и определение зон возможного затопления в зависимости от параметров волны цунами. В работах В.В. Остапенко (2007, [34]; 2008, [35]; 2010, [36]) исследована теория распространения прерывных волн уравнений мелкой воды, доказана их устойчивость и приведен численный алгоритм для расчета волновых течений с прерывными волнами.

Разрушительность события цунами, порожденного подводным землетрясением, поставили вопрос о прогнозировании этого явления. Одним из важных инструментов прогнозирования является уточнение параметров источника цунами. Развитие методов решения обратных задач для уравнений мелкой воды началось сравнительно недавно (начиная с 1972 года [37]) и развилось в работах К. Satake [38,39], С. Pires и Р. Miranda [40], Т.А. Ворониной и В.К. Гуся-кова [27-29,41-43] и других.

Актуальность исследуемых второй и третьей задач заключается в построении базы данных возможных источников цунами по всему миру для составления предварительных карт затоплений по данным f(x, у), которые могут быть получены при помощи спутниковых измерений [44], и данным fm(t), которые могут быть получены с глубоководных станций DART (Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis) [45]. Основным результатом работы (глава 4) является исследование совмещенной обратной задачи, в которой одновременно используются данные второй и третьей обратных задач. Актуальность совмещения данных второй и третьей задач заключается в возможности построения более точных баз данных источников цунами.

Большинство численных моделей распространения волн цунами ориентировано на решение системы уравнений мелкой воды, в которой необходимо определить функцию от трех переменных. В силу масштабности явления цунами приходится работать с большими размерами области моделирования, в которой определение функции трех переменных является сложной вычислительной задачей. Для своевременного предупреждения береговых населенных пунктов о приближающейся волне необходимо по возможности сократить время моделирования. Пятая прямая задача (глава 5) состоит в построении численного алгоритма расчета амплитуды переднего фронта волны в приближении линейной теории мелкой воды. Особенность предложенного алгоритма заключается в сведении задачи определения функции трех переменных к задаче определения функции двух переменных, что значительно сокращает время вычислений основной энергии набегающей на берег волны цунами. Этот алгоритм основан на изучении фундаментального решения системы уравнений мелкой воды (С.И. Кабанихин, 1988, [46]; В.Г. Романов, 2005, [47]).

Основной целью данной работы является разработка и обоснование методов регуляризации задач определения источника возмущений для волнового уравнения по измерениям волнового поля на части границы области, в фиксированный момент времени и в конечном числе точек пространства, а также разработка численного алгоритма определения амплитуды переднего фронта волны цунами.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Построение и исследование сингулярных чисел матриц, порожденных операторами рассматриваемых обратных задач.

2. Разработка прямого (па основе метода усеченного сингулярного разложения) и градиентного алгоритмов численного решения задачи определения источника возмущений по измерениям волнового поля:

(a) на времениподобной поверхности,

(b) в фиксированный момент времени,

(c) в конечном числе точек пространства,

(<1) двух типов (Ь) и (с),

для волнового уравнения с постоянной и зависящей от одной пространственной переменной скоростью распространения волн.

3. Разработка эффективного алгоритма решения задачи определения амплитуды переднего фронта волны, порожденной точечным и линейным источниками, в приближении линейной теории мелкой воды.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с применением методов теории гиперболических уравнений (энергетические оценки, теории характеристик), компактных операторов (сингулярное разложение), обобщенных функций (представление решения в виде регулярной и сингулярной частей), регуляризации (усеченное сингулярное разложение, итеративная регуляризация), теории обратных и некорректных задач (оценки степени некорректности, условной устойчивости), методов математического моделирования (конечно-разностные методы, метод конечных объемов). Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования (параллельное программирование, оптимизация).

Научная новизна работы состоит в следующем: впервые

• построен и проанализирован метод регуляризации обратной задачи термоакустики, основанный на использовании априорной информации об источнике (подход С.К. Годунова) и увеличении количества данных обратной задачи;

• проанализирован метод регуляризации задачи Дирихле для волнового уравнения, состоящий в разложении функций в конечные ряды Фурье по пространственной переменной, итерационной регуляризации и метода усеченного сингулярного разложения дискретного аналога оператора обратной задачи;

• предложена и обоснована новая совмещенная постановка задачи определения источника возмущений по двум типам измерений волнового поля: времениподобные и дискретные данные - в линейном приближении мелкой воды;

• построен и обоснован алгоритм определения амплитуды переднего фронта волны, порожденной линейным источником, основанный на аналитическом представлении фундаментального решения системы линейных уравнений мелкой воды.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие пунктам 2, 4, 5 паспорта специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам:

1. Обоснование и применение метода усеченного сингулярного разложения для исследования задач определения источников колебаний в терминах коэффициентов Фурье (пункт 2 паспорта).

2. Реализация и анализ градиентных методов и усеченного сингулярного разложения численного определения начального условия в начально-краевой задаче для волнового уравнения с постоянной и одномерной скоростью распространения волн по измерениям возмущения волнового поля на времениподобной поверхности и в конечном числе точек пространства (пункты 4 и 5 паспорта).

3. Реализация и обоснование численного алгоритма определения амплитуды переднего фронта волны, порожденной линейным и точечным источниками, для уравнений мелкой воды в линейном приближении (пункт 4 паспорта).

Научная значимость диссертационной работы определяется в использования её фундаментальных результатов для исследования новых задач распространения сейсмических, электромагнитных, акустических волн в более сложных средах. Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности использования её результатов (методик, алгоритмов и их программной реализации, результатов расчетов) для развития новых технологий мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, создания новых технологий обнаружения злокачественных объектов в мягких тканях организма человека на ранней стадии. Исследования были поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований № 09-01 -00746-а, № 11-01-00773, № 12-01-00773-а, № 14-01-31006, междисциплинарными проектами СО РАН № 14 и № 122, Министерством образования и науки Российской Федерации и компаниями Baker Hughes и British Petroleum.

Степень достоверности полученных результатов основывается на строгом математическом описании используемых численных алгоритмов, детальных методических расчетах известных и рекомендуемых тестовых задач, сопоставлении результатов численных расчетов с аналитическими аналогами (при существовании последних) и с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Российской школе-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, 2009), XLVIII и XLIX Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2010 и 2011), второй - шестой Международных молодежных научных школах-конференциях «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2010-2013; Казахстан, Алматы, 2014), Международной конференции "International Conference on Inverse Problems" (Гонконг, 2011), всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Новосибирск, 2011), восьмом Международном конгрессе "International Society for Analysis, its Applications and Computation" (Москва, 2011), Международном форуме "Natural cataclysm & global problems of the modern civilization" GEOCATACLYSM-2011 (Турция, Стамбул, 2011), девятой всероссийской конференции «Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса» (Москва, 2011), Международной конференции "The Joint International Conference on Human-Centered Computer Environments (НССЕ)" (Япония, Айзу, 2012), шестой и седьмой Международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (Турция, Анталия, 2012 и Фетия, 2014), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013), Международной конференции "Applied Inverse Problem Conference" (Корея, Тэджон, 2013), десятом Международном симпозиуме "AOGS 10th Annual Meeting" (Австралия, Брисбен, 2013), Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), генеральной ассамблеи "EGU General Assembly 2014" (Австрия, Вена, 2014), Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2014» (Новосибирск, 2014), Международной конференции

"Inverse Problems - from Theory to Applications" (Великобритания, Бристоль, 2014), международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы» (Москва, 2014), а также на семинаре лаборатории дифференциальных уравнений и смежных вопросов анализа ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН под руководством профессора B.C. Белоносова и профессора М.В. Фокина, семинаре «Избранные вопросы математического анализа» ИМ им. C.J1. Соболева СО РАН под руководством Г.В. Демиденко, семинаре лаборатории дифференциальных уравнений ИГ им. М.А. Лаврентьева СО РАН под руководством А.П. Чупахина, геофизическом семинаре ИНГГ им. A.A. Трофимука СО РАН под руководством академика М.И. Эпова и профессора И.Н. Ельцова.

Личный вклад. Основные научные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора заключается в обсуждении постановок задач и выбора методов их решения, в разработке численных алгоритмов, составлении и отладки компьютерных программ, проведении вычислительных экспериментов и интерпретации результатов.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 51 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1,2,4], 3 - в международных журналах с импакт-фактором [3,5,6], 1 - в нерецензируемом издании [1], 2 - в монографиях, написанных в соавторстве [1,2], 35 - в тезисах докладов [1-35].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, пяти приложений, списка рисунков, таблиц и литературы, опубликованной по теме диссертации и цитированной. Полный объем диссертации составляет 199 страниц текста с 73 рисунками и 5 таблицами. Список цитированной литературы включает 224 наименования.

Краткое содержание работы. Работа посвящена исследованию и построению алгоритмов численного решения задачи Коши определения источника волновых колебаний

Crj = rju - div{c2(x,y)gradr]) = q(x,y)g(t), r]\t=Q = 0, T]t\t=0 = 0. (1)

Здесь c(x, у) > 0 - скорость распространения волн, g(£) - функция действия источника q(x, у). В задаче (1) требуется определить функцию q(x,y) при заданных с(х,у), g(t) и некоторой дополнительной информации /. В случае если g(£) = ö(t), где S(t) - дельта-функция Дирака, задача (1) эквивалентная задаче определения начального условия:

Ст) = 0, r]\t=() = q(x, у), rjt\t=0 = 0. (2)

В работе исследуются задачи определения источников колебаний

• для линейных уравнений мелкой воды без учета воздействия внешних сил Кориолиса и донного трения [48]

77t + (Ни)х + (Hv)y = 0, щ + дг\х = 0, vt + дщ = 0.

Здесь г)(х, у, t) - отклонение водной поверхности от состояния покоя, Н(х, у) > 0 - функция рельефа дна, д = 9.8 м/с2 - гравитационная постоянная, и ну - компоненты скорости частиц жидкости вдоль осей хну, соответственно, с(х, у) = у/дН(х, у).

• для задачи термоакустики [49]

c-2(x:y)Vtt-V2r] = pßf: Т = ct(x,y)I(t)/(pcp). I(t) = I0S(t), у = (2/1,2/2).

Здесь т](х. у) - акустическое давление, с(х, у) - скорость распространения волн, T(t) - температура, I(t) - интенсивность излучения с амплитудой /0, а(х,у) - коэффициент поглощения электромагнитного излучения (искомая функция), р - плотность, ß - коэффициент термического расширения, ср - удельная теплоемкость.

Любую из рассматриваемых обратных задач можно записать в виде (2) (в случае задачи термоакустики q(x. у) = a(x.y)ßl0/cp) и в операторном виде Aq — f, где оператор А может

бьпь ограниченным или компактным (некорректные задачи). Методы регуляризации некорректных задач развивались в работах А.Н. Тихонова [50,5 I], В.К. Иванова [52], М.М. Лаврентьева [53] с 1960-х годов и их учеников А.Г. Яголы [54], В.В. Васина [55], В.Г. Романова [56], А.Б. Бакушинского [57], В.П. Тананы [58], С.И. Кабанихина [59], А. НаБапоу [60] и других.

Первая глава посвящена применению сингулярного разложения к решению обратных и некорректных задач с матрицей А, порожденной линейным компактным оператором [41], а также изучению свойств 5-чисел вполне непрерывных и ограниченных операторов. В силу невозрастания последовательности сингулярных чисел компактного оператора (матрицы) ошибки измерения / могут возрастать, и при определении решения д обратной задачи Ад = / может получиться большая погрешность. Во избежание накопления погрешности используется операция зануления малых сингулярных чисел, разработанная С.К. Годуновым для конечномерных пространств (матриц) [61] и В.А. Чевердой и В.И. Костиным для случая компактного оператора [62].

В $ 1.1 реализована регуляризация некорректной задачи Ад — /¿, которая заключается в согласованном обрыве ряда сингулярных чисел матрицы А с ошибкой в правой части Ц/г —

/II <

В $ 1.2 приведены определения «-чисел вполне непрерывного и ограниченного операторов А и их асимптотические и геометрические свойства, полученные в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [63], К.И. Бабенко [64], С.К. Годунова и В.М. Гордиенко [65].

В $ 1.3 собраны некоторые примеры некорректных задач и таблица сингулярных чисел операторов (матриц) этих задач [66, 67]. Показана слабая корректность прямой задачи для волнового уравнения.

Вторая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации метода усеченного сингулярного разложения и градиентных алгоритмов определения источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях на частях границы области (обратная задача термоакустики).

В $ 2.1 приведена физическая и математическая постановка задачи термоакустики, которая заключается в определении в области П := {(ж, у) £ М3 : х € (0,Ь),уг 6 (—Ь, Ь),г = 1,2} функции г](х,у) при с(х,у) = 1. В зависимости от количества измерений на части области 80, формулируются три обратные задачи термоакустики, которые заключаются в определении коэффициента поглощения электромагнитного излучения д(х, у) в рассматриваемой области по измерениям акустического давления на частях границы:

7?(0,у,£) = Му,г), Т1(Ь, у, £) = /2(у, £), Г}(х,ь,у2,г) = /з(х,у2,Ь).

Обратная задача I (ОЗ 1): найти д(х.у) но функции /1(у, Обратная задача 2 (03 2): найти д(х,у) по функциям /1 (у, и /г(у, Обратная задача 3 (ОЗ 3): найти д(х,у) по функциям Л(у, £), /2(у 1 и /3(^12/2- Единственность восстановления функции д(х,у) по ее сферическим средним для ОЗ 1 показана Р. Курантом (1931) [68]. Получены условия устойчивости обратных задач, в которых требуется аналитичность функций /г, г = 1, 2, 3. Построен пример некорректности ОЗ 1.

В £ 2.2 приведены численные алгоритмы решения прямой задачи термоакустики, использующиеся в работе: метод численного интегрирования, метод Фурье и конечно-разностный подход.

В £ 2.3 проведен анализ некорректности обратной задачи термоакустики, основанный на анализе степени убывания сингулярных чисел дискретных аналогов операторов обратных задач для коэффициентов Фурье Щ)(хЛ). ОЗ 1, 2 и 3 представлены в виде систем линейных

алгебраических уравнений А\к)д(к) = /(\.}, А2[к)д{к) = (/(\г /да) и А?{к)д(к) = (/¿,). /(*)•/(*)) ' соответственно, после дискретизации обратных задач явной конечно-разностной схемой второго порядка аппроксимации. Сингулярные числа матриц А\к), I = 1.2.3, показывают, что с

увеличением информации повышается устойчивость решения обратной задачи термоакустики.

В § 2.4 исследована 03 1 в терминах коэффициентов Фурье функций q(k){x) из Ь2(О, L), к = 0,1,..., N. Разработан алгоритм численного решения обратных задач градиентными методами: простой итерации и сопряженных градиентов. Получены выражения для градиентов функционалов ОЗ 1, 2 и 3, основанные на решении соответствующих сопряженных задач. Приведен анализ численных экспериментов.

В § 2.5 разработан алгоритм численного решения обратных задач термоакустики, основанный на методе сингулярного разложения и регуляризации системы Aq = / по методике С.К. Годунова, позволяющая улучшить устойчивость системы.

Третья глава посвящена разработке, исследованию, численной реализации и сравнительному анализу алгоритмов определения скорости вертикального изменения водной поверхности T]t(x,y,0) = q(x,y) в предположении, что в момент времени t — Т измерена форма поверхности водоема f^2\x,y) = г)(х,у,Т) (обратная задача). Источник возмущения г](х,у,0) = f^(x,y) расположен в области Q, := (0,1/) х (О, L). Задача определения функции 7](x,y,t) (а, значит, и q{x,y)) при заданных функциях fW(x,y), f^(x,y) и однородных граничных условиях является задачей Дирихле для волнового уравнения, некорректность (неустойчивость [69] и неединственность [70]) которой показана в § 3.2.

В §3.1 приведены постановки прямой и обратной задач. Показана связь обратной задачи с задачей Дирихле для волнового уравнения.

В § 3.3 проведено исследование обратной задачи в случае постоянных коэффициентов. А именно, получена теорема единственности решения обратной задачи, приведен пример типа Адамара, демонстрирующий неустойчивость обратной задачи в одномерном случае.

В § 3.4 проведен анализ обратной задачи в терминах коэффициентов Фурье qk{x), основанный на построении сингулярных чисел оператора обратной задачи AD{k) : L2(0, L) —» L2(0, L) в случае дН(х) = 1 и дискретного аналога этого оператора в случае одномерного рельефа дна Н(х). Для построения матрицы оператора Ар(к) к обратной задаче применялась явная конечно-разностная консервативная схема второго порядка аппроксимации.

В § 3.5 получена явная формула градиента целевого функционала, основанная на решении соответствующей сопряженной начально-краевой задачи и используемая в численных расчетах для метода простой итерации.

В ^ 5.6 приведены результаты численных расчетов методами усеченного сингулярного разложения и простой итерации. Для зашумленных модельных данных с ошибкой £ номер обрыва быстро убывающих сингулярных чисел был согласован с ошибкой £ согласно § 1.1.

Четвертая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации вариационного подхода определения начального возмущения q(x, у) из (2) по дополнительным измерениям r](xm,ym,t) = fm(t), t € (Tmi,Tm2), вертикального смещения свободной поверхности r](x,y,t) в конечном числе заданных точек (хт,ут), т = 1,2,----М (обратная

задача 1), и численного алгоритма решения совмещенной обратной задачи, состоящей в определении функции q(x,y) одновременно по двум типам данных: fm(t), т = 1,2, ...,М и r](x.y,T) = f(x,y) (определение q(x.y) по данным второго типа будем называть обратной задачей 2).

В § 4.1 приведен краткий исторический обзор изучения свойств обратной задачи 1 (03 1) для уравнений мелкой воды (А.С. Запреев, В.А. Цецохо; В.Г. Романов, Т.А. Воронина, В.А. Чеверда и др.).

В § 4.2 приведена постановка прямой и ОЗ 1 A^q = Fx :— (/ь____f.\i)T■ Компактность

оператора А\ показана в работе Т.А. Ворониной [27].

В § 4.3 предложен вариационный подход решения 03 1, основанный на минимизации целевого функционала J\(q). Получена явная формула градиента J\q целевого функционала

,/! (д), опирающаяся на решение соответствующей сопряженной задачи, которая затем была использована в реализации метода сопряженных градиентов численного решения 03 1.

В £ 4.4 описана явная конечно-разностная консервативная схема второго порядка аппроксимации для численного решения прямой и сопряженной задач. Проведен анализ точности разностной схемы на аналитическом решении и получен уровень вычислительной ошибки.

В §4.5 исследована степень некорректности 03 1, основанная на анализе степени убывания сингулярных чисел дискретного аналога оператора ОЗ 1 на коэффициенты Фурье д^\х), согласно подходу Т.А. Ворониной и В.А. Чеверды [29,41].

В §4.6 приведены и проанализированы результаты численных расчетов метода сопряженных градиентов, описано условие остановки метода.

§4.7 посвящен исследованию, численной реализации и анализу результатов расчетов совмещенной обратной задачи для уравнений мелкой воды методом сопряженных градиентов. Получен явный вид градиента целевого функционала совмещенной обратной задачи и приведены результаты численных расчетов, демонстрирующие преимущество совмещения данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Криворотько, Ольга Игоревна, 2015 год

Литература

1. А.С. Запреев, В.А. Цецохо. Некоторые обратные задачи теории колебаний // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23, № 5. С. 1158-1167.

2. Thermoacoustic computed tomography - technical considerations / R. Kruger, W. K. Jr., D. Reienecke et al. // Medical Physics. 1999. Vol. 26. P. 1832-1837.

3. Thermoacoustic CT scanner for breast imaging: design considerations / R. Kruger, W. K. Jr., K. Miller et al. // Proc. SPIE. 2000. Vol. 3982. P. 354-359.

4. Thermoacoustic CT: imaging principles / R. Kruger, W. K. Jr., K. Miller et al. // Proc. SPIE. 2000. Vol. 3916. P. 150-159.

5. Quinto E. T. Singular value decompositions and inversion methods for the exterior Radon transform and a spherical transform // Journal of mathematical Analysis and Applications. 1983. Vol. 95, no. 2. P. 437-448.

6. Louis A. K., Quinto E. T. Local tomographic methods in Sonar // Surveys on solution methods for inverse problems. Springer Vienna, 2000. P. 147-154.

7. Louis A. K., Natterer E, Quinto E. T. Mathematical Methods in Tomography // Oberwolfach Reports. 2006. Vol. 3, no. 3. P. 2059-2140.

8. Thermoacoustic tomography with integrating area and line detectors / P. Burgholzer, C. Hofer, G. Paltauf et al. // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2005. Vol. 52, no. 9. p. 1577-1583.

9. Thermoacoustic tomography using a fiber-based FabryPerot interferometer as an integrating line detector / P. Burgholzer, C. Hofer, G. Matt et al. // Proc. SPIE. Vol. 6086. 2006. p. 434-442.

10. Xu Y., Feng D., Wang L.-H. Exact frequency-domain reconstruction for thermoacoustic tomography: I. Planar geometry // IEEE Transaction on Medical Imaging. 2002. Vol. 21. P. 823-828.

11. Xu Y., Xu M., Wang L.-H. Exact frequency-domain reconstruction for thermoacoustic tomography: II. Cylindrical geometry // IEEE Transaction on Medical Imaging. 2002. Vol. 21. P. 829-833.

12. E.H. Пелиновский. Нелинейная динамика волн цунами. Горький: НПФ АН СССР, 1982.

13. Е.Н. Пелиновский. Гидродинамика волн цунами. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996.

14. В.Ю. Ляпидевский, В.М. Тешуков. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000.

15. В.В. Остапенко. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды. Новосибирск: Издательство Новосибирского государственного университета, 2004.

16. А.А. Куркин, Е.Н. Пелиновский, А.В. Слюняев. Нелинейные волны 2004. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005.

17. Ma Q. Advances in Numerical Simulation of Nonlinear Water Waves // Advances in Coastal and Ocean Engineering, Vol. 11. Singapore: World Scientific, 2010.

18. Е.Н. Пелиновский. Накат цунами на берег и цунамирайонирование // Вулканология и сейсмология. 1988. Т. 5. С. 79-91.

19. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами / Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Мар-чук Ан.Г. [и др.]. Новосибирск: Наука, 1989.

20. Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, З.И. Федотова. Об использовании методов численного моделирования для оценки катастрофических воздействий длинных волн на прибрежную территорию // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. Номер 4. Москва: ВИНИТИ, 2007. С. 104-113.

21. Mathematical modelling in application to regional tsunami warning systems operations / Y. Shokin, L. Chubarov, Z. Fedotova et al. // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multi-disciplinary Design. 2008. Vol. 101. P. 52-68.

22. Some approaches to local modelling of tsunami wave runup on a coast / V. Gusyakov, Z. Fedotova, G. Khakimzyanov et al. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2008. Vol. 6. P. 551-565.

23. Информационно-вычислительные аспекты совершенствования национальной системы предупреждения о цунами / Бабайлов В.В., Бейзель С.А., Гусев А.А. [и др.] // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 2. С. 4-20.

24. Взаимодействие уединенной волны с плавающей упругой пластиной / Комаров В.А., Коробкин А.А., Стурова И.В. [и др.] // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. Номер 2(4). Санкт-Петербург: Наука, 2009. С. 4-14.

25. Численное моделирование воздействия удалённых цунами на Дальневосточное побережье России / Бейзель С.А., Гусяков В.К., Чубаров Л.Б. [и др.] // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50, № 5. с. 578-590.

26. В.К. Гусяков. Возбуждение волн цунами и океанических волн Рэлея при подводном землетрясении // Математические проблемы геофизики. Выпуск 3. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. С. 250-272.

27. Т.А. Воронина. Определение пространственного распределения источников колебаний по дистанционным измерениям в конечном числе точек // Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7, № 3. с. 203-211.

28. Voronina Т. Reconstruction of initial tsunami waveforms by a truncated SVD method // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 19. P. 615-629.

29. Voronina Т., Tcheverda V., Voronin V. Some properties of the inverse operator for a tsunami source recovery // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2014. Vol. 11. P. 532-547.

30. Ан.Г. Марчук, JI.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983.

31. Numerical simulation of a tsunami event during the 1996 volcanic eruption in Karymskoye lake, Kamchatka, Russia / T. Torsvik, R. Paris, I. Didenkulova et al. // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2010. Vol. 10. P. 2359-2369.

32. Nikolkina I., Didenkulova I. Rogue waves in 2006 - 2010 // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2011. Vol. 11. P. 2913-2924.

33. Rybkin A., Pelinovsky E., Didenkulova I. Nonlinear wave run-up in bays of arbitrary cross-section: generalization of the Carrier-Greenspan approach // Journal of Fluid Mechanics. 2014. Vol. 748. P. 416-432.

34. B.B. Остапенко. Модифицированные уравнения теории мелкой воды, допускающие распространение прерывных волн по сухому руслу // Прикладная механика и теоретическая физика. 2007. Т. 48, № 6. С. 22^13.

35. М.В. Бунтина, В.В. Остапенко. TVD-схема для расчета волновых течений в открытых руслах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 12. С. 2212-2224.

36. А.В. Иванова, В.В. Остапенко, А.П. Чупахин. Численное моделирование течений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 3. С. 30-45.

37. В.М. Кайстренко. Обратная задача на определение источника цунами. Южно-Сахалинск: Труды СахКНИИ, 1972. С. 82-92.

38. Satake К. Inversion of tsunami waveforms for the estimation of a fault heterogeneity: Method and numerical experiments // Journal of Physics of the Earth. 1987. Vol. 35. P. 241-254.

39. Satake K. Inversion of tsunami waveforms for the estimation of heterogeneous fault motion of large submarine earthquakes: the 1968 Tokachi-oki and the 1983 Japan sea earthquake // Journal of Geophysical Research. 1989. Vol. 94. P. 5627-5636.

40. Pires C., Miranda P. Tsunami waveform inversion by adjoint methods // Journal of Geophysical Research. 2001. Vol. 106. P. 19773-19796.

41. Voronina Т., Tcheverda V. Reconstruction of tsunami initial form via level oscillation // Bulletin of the Novosibirsk Computer Center. Series Mathematical Modeling in Geophysics. 1998. Vol. 4. P. 127-136.

42. Voronina Т., Gusjakov V., Tcheverda V. Reconstruction of the original tsunami waveform on the insular arc bottom topography by the coastal observations inversion // Proceedings of The Sixth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation Held at Jyvaskyla, Finland, 30 June - 4 July 2003. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2003. P. 588-592.

43. Voronina Т., Voronin V. Properties of the inverse problem operator for reconstructing the tsunami source // Bulletin of the Novosibirsk Computer Center. Series Mathematical Modeling in Geophysics. 2014. Vol. 17. P. 73-84.

44. Okal E. Tsunami detection by satellite altimetry // Journal of Geophysical Research. 1999. Vol. 104, no. Bl. P. 589-615.

45. Eblc M., Gonzalez F. Deep-oeean bottom pressure measurements in the northeast Pacific // Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. 1991. Vol. 8, no. 2. P. 221-233.

46. С.И. Кабанихин. Линейная регуляризация многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Препринт института математики СО АН СССР, Новосибирск. 1988. Т. 27.

47. В.Г. Романов. Устойчивость в обратных задачах. Москва: Научный мир, 2005.

48. Дж.Дж. Стокер. Волны на воде. Москва: Издательство иностранной литературы, 1959.

49. Tarn A. Applications of photoacoustic sensing techniques // Reviews of Modem Physics. 1986. Vol. 58, no. 2. P. 381-431.

50. A.H. Тихонов. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. с. 501-504.

51. А.Н. Тихонов. Регуляризация некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. с. 49-52.

52. В.К. Иванов. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 5. с. 1065-1074.

53. М.М. Лаврентьев. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127, № 1.

54. Численные методы решения некорректных задач / Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. [и др.]. Москва: Наука, 1990.

55. В.В. Васин. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: Уральский госуниверситет, 1989.

56. В.Г. Романов. Обратные задачи математической физики. Москва: Наука, 1984.

57. А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. Итеративные методы решения некорректных задач. Моска: Наука, 1989.

58. Tanana V. Methods for Solution of Nonlinear Operator Equations. The Netherlands: VSP, 1987.

59. С.И. Кабанихин. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.

60. Hasanov A. Inverse coefficient problems for monotone potential operators // Inverse Problems. 1997. Vol. 13. P. 1265-1278.

61. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.И. [и др.]. Новосибирск: Наука, 1992.

62. В.А. Чеверда, В.И. Костин. R-псевдообратный для компактного оператора // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. с. С258-С282.

63. И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1965.

64. К.И. Бабенко. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Москва: Наука, 1965.

65. С.К. Годунов, В.М. Гордиенко. Сингулярные числа краевой задачи на полупрямой для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. 1989. Т. 30, № 4. с. 5-12.

66. Louis А. К., Rieder A. Incomplete data problems in X-ray computerized tomography // Numerische Mathematik. 1989. Vol. 56. P. 371-383.

67. Kabanikhin S., Shishlenin M. Regularization of the decision prolongation problem for parabolic and elliptic elliptic equations from border part // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. 2014. Vol. 2, no. 2. P. 81-91.

68. P. Курант. Уравнения с частными производными. Москва: Мир, 1964.

69. В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва: Наука, 1978.

70. Bourgin D., Duffin R. The Dirichlet problem for the vibrating string equation // Bulletin of the American Mathematical Society. 1939. Vol. 45. P. 851-858.

71. C.K. Годунов. Решение систем линейных уравнений. Москва: Наука, 1980.

72. С.К. Годунов. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002.

73. Cheverda V., Kostin V. R-Pseudoinverses for Compact Operators in Hilbert Spaces: Existence and Stability//Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. Vol. 3, no. 2. P. 131-148.

74. Full-waveform inversion for macro-velocity model reconstruction in look-ahead offset vertical seismic profile: numerical singular value decomposition-based analysis /1. Silvestrov, D. Nek-lyudov, C. Kostov et al. // Geophysical Propspecting. 2013. Vol. 61, no. 6. p. 1099-1113.

75. Kolmogorov A. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Functionalk-lassen//Annals of Mathematics. 1936. Vol. 37. P. 107-110.

76. В.М. Тихомиров. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи математических наук. 1960. Т. 15, № 3 (93). с. 81-120.

77. Regularization of the continuation problem for elliptic equation / S. Kabanikhin, Y. Gasimov, D. Nurseitov et al. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2013. Vol. 21, no. 6. P. 871884.

78. B.B. Пикалов, Н.Г. Преображенский. Вычислительная томография и физический эксперимент // Успехи физических наук. 1983. Т. 141, № 3. с. 469-498.

79. В.В. Пикалов, Н.Г. Преображенский. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987.

80. В.В. Пикалов, Т.С. Мельникова. Низкотемпературная плазма. Том 13. Томография плазмы. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.

81. В.Г. Романов. Интегральная геометрия на геодезических ихотропной римановой метрики // ДАН СССР. 1978. Т. 241, № 2. с. 290-293.

82. Sharafutdinov V. Integral Geometry of Tensor Fields. Utrecht: VSP, 1994.

83. А.П. Полякова. Приближение решений задач тензорной томографии рядами но локальным и ортогональным базисам. Ph.D. thesis: Новосибирск, Институт математики им. C.J1. Соболева. 2013. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

84. Agranovsky М., Quinto Е. Injectivity sets for the Radon transform over circles and complete systems of radial functions // Journal of Functional Analysis. 1996. Vol. 139, no. 2. P. 383-414.

85. Thermoacoustic computed tomography with large planar receivers / M. Agranovsky, O. Scherzer, P. Burgholzer et al. // Inverse Problems. 2004. Vol. 20, no. 5. P. 1663-1673.

86. Xu M., Wang L. Time-domain reconstruction for thermoacoustic tomography in a spherical geometry // IEEE Transactions on Medical Imaging. 2002. Vol. 21. p. 814-822.

87. Xu M., Xu Y., Wang L. Time-domain reconstruction algorithms and numerical simulations for thermoacoustic tomography in various geometries // IEEE Transactions on Medical Imaging. 2003. Vol. 50. p. 1086-1099.

88. Xu M., Wang L. Universal back-projection algorithm for photoacoustic computed tomography//Physical Review E. 2005. Vol. 71. p. 016706.

89. Idemen M., Alkumru A. On an inverse source problem connected with photo-acoustic and thermo-acoustic tomographies // Wave Motion. 2012. Vol. 49, no. 6. p. 595-604.

90. A new version of the quasi-reversibility method for the thermoacoustic tomography and a coefficient inverse problem / M. Klibanov, A. Kuzhuget, S. Kabanikhin et al. // Applicable Analysis. 2008. Vol. 87, no. 10-11. P. 1227-1254.

91. Stefanov P., Uhlmann G. Thermoacoustic tomography with variable sound speed // Inverse Problems. 2009. Vol. 25. p. 075011.

92. Kaltenbacher В., Polifke W. Some regularization methods for a thermoacoustic inverse problem//Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 18. R 997-1011.

93. Zhang C., Zhang Y., Wang Y. A photoacoustic image reconstruction method using total variation and nonconvex optimization // BioMedical Engineering Online. 2014. Vol. 13, no. 1. p. 117.

94. С.И. Кабанихин, M.A. Шишленин, О.И. Криворотько. Оптимизационный метод решения обратной задачи термоакустики // Сибирские электронные математические известия. Труды II международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач Часть I. 2011. Т. 8. с. С263-С292.

95. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько, М.А. Шишленин. О численном решении обратной задачи термоакустики // Сибирский журнал вычислительной математики. 2013. Т. 6, № 1. с. 39^4.

96. Lai Н., Young К. Theory of the pulsed optoacoustic technique // The Journal of the Acoustical Society of America. 1982. Vol. 72. p. 2000.

97. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1981.

98. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics: Volume II Partial Differential Equations. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1989.

99. B.II. Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва: Наука, 1976.

100. А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977.

101. С.М. Фихтеигольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: Наука. Т. 3, 1966.

102. В.И. Смирнов. Курс высшей математики. Том 2. Москва: Наука, 1974.

103. A.A. Самарский. Введение в теорию разностных схем. Москва: Наука, 1971.

104. Intel®Math Kernel Library for Windows* OS. User's Guide. Document Number: 315930-035US.

105. А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 6-е издание, 2005.

106. Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. Москва: Наука, 1967.

107. С.И. Кабаиихии, К.Т. Искаков. Обобщенное решение обратной задачи для уравнения колебания //Доклады РАН. 2000. Т. 375, № 1. с. 22-24.

108. В.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. Москва: Наука, 1987.

109. Б.Я. Зельдович, Н.Ф. Пилипецкий, В.В. Шкунов. Обращение волнового фронта. Моска: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

110. Hadamard J. Equations aux derivees partielles, le cas hyperbolique // L'Enseignement Math. 1936. Vol. 35, no. 1. P. 25-29.

111. Huber A. Die erste Randwertaufgabe fur geschlossene Bereiche bei der Gleichung uiy = f(x. y) II Monatsh. Math, und Phys. 1932. Vol. 39. P. 79-100.

112. Mangeron D. Sopra un problema al contorno per un'equazione differenziable alle derívate parziali di quarto ordine con le caratteristiche realidoppie // Rend. Accad. sei. fis. e mat. Soc. naz. sei. lett. et arti Napoli. 1932. Vol. 2. P. 29^10.

113. С.Г. Овсепян. О порождающем множестве граничных точек в задаче Дирихле для уравнения колебания струны в многосвязных областях // Доклады АН АрмССР. 1964. Т. 39, № 4. С. 193-200.

114. С.Г. Овсепян. Об эргодичности непрерывных автоморфизмов и о единственности решения задачи Дирихле для уравнения струны // Известия АН АрмССР, Математика. 1967. Т. 2, № 3. С. 195-209.

115. С.Г. Овсепян. Построение порождающего множества и обобщенных собственных функций задачи Дирихле для уравнения колебания струны в классе измеримых функций // Известия АН АрмССР, Математика. 1969. Т. 4, № 3. С. 102-121.

116. Ю.М. Березанский. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

117. Р. Денчев. О задаче Дирихле для волнового уравнения // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127, №3. С. 501-504.

118. В.М. Борок. Классы единственности решения краевой задачи в бесконечном слое // Доклады АН СССР. 1968. Т. 183, № 5. С. 995-998.

119. В.М. Борок. Классы единственности решения краевой задачи в бесконечном слое для систем линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Математический сборник. 1969. Т. 79, № 2. С. 293-304.

120. В.М. Борок. Корректно разрешимые краевые задачи в бесконечном слое для систем линейных уравнений в частных производных // Известия АН СССР, Серия математика. 1971. Т. 35, № 1. С. 185-201.

121. В.М. Борок, И.И. Антыпко. Критерий безусловной корректности краевой задачи в слое // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1976. Т. 26. С. 3-9.

122. В.К. Романко. Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной. Ph.D. thesis: Москва. 1980. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

123. Н.И. Юрчук. Метод энергетических неравенств в исследовании дифференциально-операторных уравнений. Ph.D. thesis: Москва. 1981. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

124. М.Л. Горбачук. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных уравнений в пространстве вектор-функций. Ph.D. thesis: Киев. 1973. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

125. Л.И. Вайнерман, М.Л. Горбачук. О граничных задачах для дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа в гильбертовом пространстве // Доклады АН СССР. 1975. Т. 221, № 4. С. 763-766.

126. С.Л. Соболев. Об одной новой задаче математической физики // Известия АН СССР, Серия математики. 1954. Т. 18, № 1. С. 3-50.

127. С.Л. Соболев. О движение симметрического волчка с полостью, наполненной жидкостью // Прикладная механика и техническая физика. 1960. Т. 3. С. 20-55.

128. Р. Денчев. О спектре одного оператора // Доклады АН СССР. 1959. Т. 126, № 2. С. 259262.

129. Т.И. Зеленяк. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1970.

130. Т.И. Зеленяк, М.В. Фокин. О некоторых качественных свойствах решений уравнений СЛ. Соболева // Теория кубатурных формул и приложение функционального анализа к некоторым задачам математической физики. Новосибирск: Наука, 1973. С. 121-124.

131. М.В. Фокин. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Издание НГУ, 1981. С. 178-182.

132. Aldashev S. The well-Posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering. 2010. Vol. 2010. P. 1-7.

133. Б.И. Пташник. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук. Думка, 1984.

134. В.11. Бурский. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений. Киев: Наук. Думка, 2002.

135. An optimization method in the Dirichlet problem for the wave equation / S. Kabanikhin, M. Bektemesov, D. Nurseitov et al. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. Vol. 20, no. 2. P. 193-211.

136. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 90-101.

137. Kabanikhin S., Karchevsky A. Method for solving the Cauchy problem for an elliptic equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. Vol. 3, no. 1. P. 21—16.

138. А.Я Хинчин. Цепные дроби. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

139. Hasanov A., Muellera J. A numerical method for backward parabolic problems with non-selfadjoint elliptic operator// Applied Numerical Mathematics. 2001. Vol. 37, no. 1-2. P. 5578.

140. A variational approach to reconstruction of an initial tsunami source perturbation / S. Kabanikhin, A. Hasanov, I. Marinin et al. // Applied Numerical Mathematics. 2014. Vol. 83. P. 22-37.

141. Kabanikhin S., Krivorotko O. Optimization approach to combined inverse tsunami problem // Proceedings of Inverse Problems from Theory to Applications Conference (IPTA 2014). Bristol, UK: IOP Publishing, 2014. P. 102-107.

142. Mansinha L., Smylie D. The displacement fields of inclined faults // Bulletin of the Seismo-logical Society of America. 1971. Vol. 61. P. 1433-1440.

143. Discontinuous Galerkin unsteady discrete adjoint method for real-time efficient tsunami simulations / S. Blaise, A. St-Cyr, D. Mavriplis et al. // Journal of Computational Physics. 2013. Vol. 232, no. 1. P. 416-430.

144. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 49. p. 357-393.

145. Berger M., Oliger J. Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations // Journal of Computational Physics. 1984. Vol. 53, no. 3. p. 484-512.

146. Greenberg J., Leroux A. A well-balanced scheme for the numerical processing of source terms in hyperbolic equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1996. Vol. 33, no. 1. p. 1-16.

147. Tang H. Solution of the shallow-water equations using an adaptive moving mesh method // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2004. Vol. 44, no. 7. p. 789-810.

148. Baeza A., Mulet P. Adaptive mesh refinement techniques for high-order shock capturing schemes for multi-dimensional hydrodynamic simulations // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2006. Vol. 52, no. 4. p. 455-471.

149. Piatanesi A., Tinti S., Pagnoni G. Tsunami waveform inversion by numerical finite-elements Green's functions // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2001. Vol. 1. P. 187-194.

150. Т.Л. Воронина. Применение r-решений для восстановления первоначальной формы волны цунами // Вычислительные методы и программирование. 2013. Т. 14. с. 166-174.

151. Voronin V., Voronina Т., Tcheverda V. Inversion method for initial tsunami waveform reconstruction // Natural Hazards and Earth System Sciences. Discussions. 2014. Vol. 2. P. 77357772.

152. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами / Хакимзя-нов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б. [и др.]. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2001.

153. Л.Б. Чубаров. Численное моделирование волн цунами. Ph.D. thesis: Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск. 2000. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

154. Evans L. Partial Differential Equations. Providence, Rhoad Island: American Mathematical Society, 1998.

155. Real-time inversion of tsunamis generated by landslides / C. Cecioni, A. Romano, G. Bellotti et al. // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2011. Vol. 11. P. 2511-2520.

156. Inverse algorithm for tsunami forecasts / Y. Wei, K. Cheung, G. Curtis et al. // Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering (ASCE). 2003. Vol. 129, no. 3. P. 60-69.

157. Filloux J. Tsunami recorded on the open ocean floor // Geophysical Research Letters. 1982. Vol. 9. P. 25-28.

158. Yilmaza M., Migliacio P., Bernard E. Broadband vibrating quartz pressure sensors for tsuname-ter and other oceanographic applications // Proceedings of OCEANS MTS, Kobe, Japan, November 9 - 12, 2004. Japan: IEEE, 2004. P. 1381-1388.

159. C.JI. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 2-е издание, 1962.

160. О.А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973.

161. Adams R., Fournier J. Sobolev Spaces, 2nd Ed. New York: Academic Press, 2003.

162. A.H. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1979.

163. Engl Н., Hanke М., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996.

164. O.M. Алифанов, E.A. Артюхин, С.В. Румянцев. Эстремальные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1988.

165. Hanke М. Conjugate Gradient Type Methods for Ill-Posed Problems. England: Longman Scientific & Technical, 1995.

166. Hansen P. Rank-Deficient and Discret Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion. Philadelphia, PA: SIAM, 1997.

167. Hasanov A. Simultaneous determination of the source terms in a linear hyperbolic problem from the final overdetermination: weak solution approach // IMA Journal of Applied Mathematics. 2009. Vol. 74. P. 1-19.

168. Vasin V., Ercmin I. Operators and Iterative Processes of Fejer Type. Theory and Applications. Berlin: de Gruyter, 2009.

169. Detection of Tsunamis from Changes in Ocean Surface Roughness / B. Hamlington, O. Godin, V. Irisov et al. // The Tsunami Threat - Research and Technology. Austria: InTech, ISBN, 2011.

170. Ж. Адамар. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. Москва: Наука, 1978.

171. CJI. Соболев. Некоторые обратные задачи теории колебаний. Ленинград: Издательство АН СССР, 1930. Труды Сейсмического института, № 6.

172. С.Л. Соболев. Об одном обобщении формулы Kirchhoff а // Доклады Академии наук СССР. 1933. Т. 1, № 6. С. 256-258.

173. В.М. Бабич, B.C. Булдырев. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

174. В.М. Бабич, B.C. Булдырев, И.А. Молотков. Пространственно-временной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1985.

175. С.И. Кабанихин, О.И. Криворотько. Численное решение уравнения эйконала // Сибирские электронные математические известия. Труды IV международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач Часть I. 2013. Т. 10. с. 28-34.

176. Kabanikhin S., Krivorot'ko О. A numerical method for determining the amplitude of a wave edge in shallow water approximation // Applied Computational Mathematics. 2013. Vol. 12, no. 1. P. 91-96.

177. IO.A. Кравцов, Ю.И. Орлов. Геометрическая оптика неоднородных сред. Москва: Наука, 1990.

178. С.К. Годунов. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47, № 3. С. 271-306.

179. Д.И. Иванов, И.Э. Иванов, И.А. Крюков. Алгоритмы приближенного решения некоторых задач прикладной геометрии, основанные па уравнении типа Гамильтона-Якоби // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, № 8. С. 13451358.

180. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва: Наука, 1969.

181. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами / Хакимзя-нов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б. [и др.]. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2001.

182. Г.И. Петрашень. Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах. Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2000.

183. С.С. Войт, Б.И. Себекин. Некоторые гидродинамические модели неустановившихся волновых движений типа волн цунами // Морские гидрофизические исследования. 1968. Т. 1,№ 1. С. 137-145.

184. Dobrokhotov S., Nekrasov R., Tirozzi В. Asymptotic solutions of the linear shallow-water equations with localized initial data // Journal of Engineering Mathematics. 2011. Vol. 69. P. 225-242.

185. В.П. Маслов. Теория возмущений и асимптотические методы. Москва: Издательство Московского университета, 1965.

186. Marchuk A., Vasiliev G. The fast method for a rough tsunami amplitude estimation // Bulletin of the Novosibirsk Computer Center. Series Mathematical Modeling in Geophysics. 2014. Vol. 17. P. 21-34.

187. Методика расчета максимальных высот волн цунами в защищаемых пунктах побережья Дальнего Востока Российской Федерации / Косых B.C., Чубаров Л.Б., Гусяков В.К. [и др.] // Результаты испытания новых и усовершенствованных технологий, моделей и методов гидрометеорологических прогнозов. 2013. №40. с. 115-134.

188. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Строение и эволюция Вселенной. Москва: Наука, 1975.

189. Я.Б. Зельдович. Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная. Москва: Наука, 1985.

190. Determination of tsunami sources using deep ocean wave records / A. Bezhaev, M. Lavrentiev-jr, A. Marchuk et al. // Bull. Nov. Сотр. Center, Math. Model, in Geoph. 2006. Vol. 11. P. 53-63.

191. Airy G. Tides and Waves // Encyclopaedia Metropolitana. 1845. Vol. 5. P. 241-396.

192. H.A. Щетников. Цунами. Москва: Наука, 1981.

193. Н.Е. Вольцингер, Р.В. Пясковский. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. Ленинград: Гидрометеоизат, 1977.

194. М.А. Лаврентьев. До Teopii довгих хвиль // Зб1рн.праць, Институт математики АН УРСР. 1947. Т. 8. С. 13-69.

195. Keller J. The solitary wave and periodic waves in shallow water // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1948. Vol. 1. P. 323-339.

196. Kajiura K. The leading wave of a tsunami // Bulletin of the Earthquake Research Institute, University of Tokyo. 1963. Vol.41. P. 535-571.

197. Л.В. Овсянников. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. Выпуск 45. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1973. С. 104-425.

198. В.М. Каменкович, А.С. Монин. Физика океана. Гидродинамика океана. Том 2. Москва: Наука, 1978.

199. З.И. Федотова, Г.С. Хакимзянов. Анализ условий вывода нелинейно-дисперсионных уравнений // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, № 5. С. 94-108.

200. Mehaute В. L. An Introduction to Hydrodynamics and Water Waves. Miami, Florida: Pacific Oceanographic Laboratories, 1969.

201. Б. Ле Меоте. Введение в гидродинамику и теорию волн па воде. Ленинград: Гидроме-теоиздат, 1974.

202. Л.Н. Сретенский. Теория волновых движений жидкости. Москва: Наука, 1977.

203. Chubarov L., Fedotova Z. Numerical simulation of the long-wave runup on a coast // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2003. Vol. 18, no. 2. R 135-158.

204. З.И. Федотова. Обоснование численного метода для моделирования наката волн на берег // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 5. с. 58-76.

205. М.С. Сладкевич. Накат длинных волн на берег // Проблемы изучения и рационального использования водных ресурсов. Москва: ИВП АН СССР, 1983. С. 62-63.

206. М.С. Сладкевич. Численное моделирование наката цунами в рамках теории мелкой воды // Накат цунами на берег (Под редакцией Пелиновского E.H.). Горький: ИПФ АН СССР, 1985. С. 75-86.

207. C.B. Елецкий. Вычислительные алгоритмы и комплексы программ нового поколения для решения задач проблемы цунами. Ph.D. thesis: Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск. 2008. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

208. С.К. Годунов. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1971.

209. Б.Л. Рождественский, H.H. Яненко. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Москва: Наука, 1978.

210. О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, C.B. Румянцев. Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988.

211. Э. Полак. Численные методы оптимизации. Единый подход. Москва: Мир, 1974.

212. Beltrami Е. Sülle funzioni bilineari // Giornale di Matematiche ad Uso degli Studenti Delle Universita. 1873. Vol. 11. P. 98-106.

213. Autonne L. Sur les groupes linéaires, réels et orthogonaux // Bulletin de la Société Mathématiwue de France. 1902. Vol. 30. P. 121-134.

214. Eckart С., Young G. The approximation of one matrix by another of lower rank // Psychome-trika. 1936. Vol. 1. P. 211-218.

215. Лоусои Ч. Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов. Москва: Наука, 1986.

216. Schmidt Е. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralleichungen. 1 Teil. Entwicklung willkürlichen Funktionen nach System vorgeschriebener // Mathematische Annalen. 1907. Vol. 63. P. 433-476.

217. Schmidt E. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwert linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf Theorie der Hohlraumstrahlung) // Mathematische Annalen. 1912. Vol. 71. P. 441-479.

218. B.B. Воеводин. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. Москва: Наука, 1966.

219. В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2006.

220. Nashed М., Votruba G. A unified operator theory of generalized inverses // Generalized Inverses and Applications. Academic Press, 1976. P. 1-110.

221. Nashed M. Aspects of generalized inverses in analysis and regularization // Generalized Inverses and Applications. Academic Press, 1976. P. 193-244.

222. Beutler F., Root W. The operator pseudoinverse in control and system identification // Generalized Inverses and Applications. Academic Press, 1976. P. 397^194.

223. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. Москва: Мир, 1972.

224. Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1977.