Нелинейная модель Больцмана - Энскога и автокорреляционные функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Масленников, Илья Игоревич

• Масленников, Илья Игоревич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Масленников, Илья Игоревич

Содержание

Введение

Глава 1. Нелинейное уравнение Больцмана- Энскога с дальнодействием и его гидродинамические решения

§ 1. Оператор Больцмана-Энскога

§2. Учет дальнодействующей компоненты двухчастичного потенциала в первом порядке по параметру однородности

§ 3. Гидродинамическое приближение

Глава 2. Гидродинамические уравнения в линейном приближении модели твердых сфер

§ 1. Линеаризованное кинетическое уравнение

§2. Структура соответствующих уравнений гидродинамики

§3. Исследование общих формул

Глава 3. Асимптотическое поведение автокорреляционных функций в нелинейной модели Больцмана — Энскога с дальнодействием

§ 1. Определение автокорреляционных функций

§2. Линеаризованная модель

§3. Исследование эффектов включения дальнодействия

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная модель Больцмана - Энскога и автокорреляционные функции»

Введение.

Исследование эволюции физических систем многих частиц на основе математически корректной динамической теории представляет собой основную задачу неравновесной статистической механики. Особое место в ней занимают вопросы, связанные с изучением поведения системы многих взаимодействующих частиц вблизи состояния равновесия. При отсутствии достаточно надёжных методов анализа нелинейных систем с большим числом степеней свободы особенно важным является построение различных моделей, в той или иной степени использующих идеи Максвелла и Гильберта о сокращении описания при определённых предположениях о свойствах систем в конкретных физических ситуациях. Изучение процесса установления равновесия важно также для обоснования основных принципов кинетической теории. К их числу в первую очередь относится метод функций распределения, сформулированный H.H. Боголюбовым [1,2], развивающийся в ряд направлений классической и квантовой статистики [3-8]. Основной идеей метода является введение, исходя из первых принципов, приведённых функций распределения и построение на основе иерархии зацепляющихся кинетических уравнений, обобщающих уравнения Больцмана. Физические представления о переходе системы к равновесному состоянию связаны с рассмотрением картины малочастичных столкновений. Предполагается, что равновесие устанавливается в два этапа: кинетический, при котором достигается локальное равновесие в пространстве скоростей, и гидродинамический, который приводит к полной релаксации к равновесию. Наиболее полно этим методом могут быть изучены неравновесные процессы в газах в низших порядках по плотности [9-12].

Для разряженных газов в теории имеется естественный безразмерный малый параметр паъ ( п - плотность числа частиц, а - характерный размер области бинарного взаимодействия). В первом порядке по этому параметру, как было показано H.H. Боголюбовым, можно получить уравнение Больцмана, достаточное для описания широкого круга процессов, происходящих в системах малой и средней плотности [13-15].

Важнейшими характеристиками системы многих взаимодействующих частиц при её переходе в состояние равновесия являются коэффициенты переноса. Для их вычисления вблизи состояния равновесия следует изучить поведение функции распределения при больших временах, значительно превышающих времена релаксации: среднее время столкновения tcoll, среднее время между столкновениями tmfp. H.H. Боголюбов предложил

решать эту задачу в два приёма: сначала определяется поведение бинарной функции распределения для времен t»tcoll путём разложения бесконечной

цепочки интегро-дифференциальных уравнений по малому параметру па3; затем для времен t»tmfp может быть найдена одночастичная функция

распределения как функция локальных макроскопических переменных системы: плотности n(r,t), скорости u(r,t) и температуры 6(r,t). Поведение бинарных функций распределения для больших времён, согласно H.H. Боголюбову, определяется для широкого класса начальных условий путём выбора специальных решений иерархии ББГКИ, таких, что бинарная функция распределения и функции распределения высших порядков являются функционалами от одночастичной функции распределения. Используя фундаментальное граничное условие ослабления корреляций можно определить явный вид этих функционалов и получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения /(г, v,t).

Задача нахождения f(r,v,t) при больших временах (t^>tmfp) может быть решена [13-15] посредством использования метода Гильберта — Энскога. Он

4

состоит в выборе специальных решений кинетического уравнения, таких, что при г» ^ одночастичная функция распределения зависит от времени только

посредством её первых пяти моментов - локальных макроскопических величин п(г,0, "0,0 и 6>(г,г) доступных непосредственному экспериментальному измерению.

Исторически вывод уравнений гидродинамики для р(г,0, «(/%/), в(г,1) впервые подтвердил справедливость основных принципов кинетической теории и явился первым примером сокращения описания макроскопических систем — перехода от кинетического уравнения для функции /(г,у,/) семи переменных к уравнениям для пяти функций п, и,в четырёх аргументов (г,/) (гипотеза Гильберта) [13]. Подход Гильберта получил дальнейшее развитие в работах Чепмена-Энскога [14,15], реализовавших идеи Гильберта в виде метода построения приближенных решений для /(г,у,г) в форме ряда, первым членом которого является квазиравновесная функция распределения.

ш - масса частицы.

Математические проблемы, которые связаны с методом Чепмена-Энскога для решений уравнения Больцмана, детально описаны в монографиях [6-9] и работах [16-25]. Однако в экспериментах по численному моделированию столкновений в системах твёрдых сфер [26-28,31-32] были получены свидетельства об отсутствии чёткой границы между кинетической и гидродинамической стадиями приближения к равновесию. В них изучалось асимптотическое поведение временных автокорреляционных функций при временах, значительно превышающих время свободного пробега ^. Было

найдено, что для трёхмерных систем закон убывания корреляций является

степенным, а не экспоненциальным, как это раньше предполагалось в статистической механике классических систем. Теоретическому объяснению этих экспериментов посвящено значительное количество работ [29-33,35-56]. Эмпирическая зависимость простейших автокорреляционных функций скорости (va(0)va(t)) при t > 20tmfp имеет вид

(ve(0)va(i))~ const-

Эта зависимость впервые была объяснена на основе феноменологической теории взаимодействующих мод, ранее успешно применявшейся для описания крупномасштабных флуктуаций в жидкостях вблизи критической точки [57]. Аналогичная зависимость корреляционных функций от времени была также найдена при учёте нелинейных эффектов в гидродинамической модели с привлечением специального предположения о локальном равновесии [58-59]. В работах Дорфмана и Коэна [48-49,52], посвященных микроскопическому обоснованию этой теории в случае твёрдых сфер, было

найдено явное выражение для коэффициентов при степени t ^ через коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводимости Ли//. Было также показано, что корреляционные функции, связанные со сдвиговой вязкостью и теплопроводимостью, спадают по такому же степенному закону. Неэкспоненциальный спад автокорреляционной функции скорости был получен также на основе нелинейного уравнения Больцмана, описывающего систему твёрдых сфер в пределе низкой плотности [60,61]. Для систем твёрдых дисков асимптотический закон имеет видсошм-1 [63-64].Следует отметить, что учёт нелинейности в уравнении Больцмана ранее считался превышением точности, обеспечиваемой самим выбором модели, и использовалось линеаризованное уравнение, дающее стандартную экспоненциальную асимптотику [51,53]. Следует также отметить, что экспериментально исследовались сравнительно плотные системы, для которых объём V превышал в 3-5 раз объём плотной упаковки V0. Все

6

теоретические рассмотрения, указанные выше, относятся к системам низкой плотности. Сам факт, что нелинейное уравнение Больцмана позволяет правильно описать экспериментальный закон, полученный для больших плотностей, оставался в течение ряда лет непонятным. Наилучшее согласие с экспериментом было достигнуто Дорфманом и Коэном [48-52], которые использовали при вычислении асимптотики корреляций полуфеноменологические выражения Энскога для коэффициентов переноса с членами высшего порядка по плотности, хотя обычно учёт этих членов считался превышением точности модели. Новое направление в рассмотрении этой проблемы стало возможным с появлением работы H.H. Боголюбова [34], в которой было доказано, что нелинейное уравнение Больцмана-Энскога, расматривавшееся как приближение низкой плотности, имеет точные микроскопические решения, соответствующие полному динамическому описанию системы твёрдых сфер, и поэтому модель Больцмана-Энскога может быть основой для введения высших приближений по плотности. В

работах [35-37] на основе этой модели были точно вычислены коэффициенты

-з/

при t/г для автокорреляционных функций сдвиговой вязкости и теплопроводности.

В реальных системах бинарные взаимодействия между частицами определяются гладким потенциалом, степенным образом возрастающим на малых расстояниях и убывающим на больших расстояниях, то есть модель твёрдых сфер сама по себе является некоторым приближением. Выход за рамки этого приближения может быть эффективно осуществлен посредством рассмотрения потенциала двухчастичного взаимодействия вида

Методом H.H. Боголюбова можно показать, что точное микроскопические решения вида

N

Д/% V, и Г) = и"1 X £ {г ~ О (', Г))* (V - V,- (/, Г)),

7=1

где 1Ч-число частиц, гу(/,Г) -точное решение уравнений движения для

совокупности начальных условий {Г}, п - плотность, £-стандартная 8-

функция Дирака, удовлетворяют обобщенному уравнению Больцмана-Энскога:

^^»ДАг^у«/о(|г-г'|)/(г'У,0-ы дг дудг* '

-паЦв({у'-у)а)({у'-у)а)\^{г + аоУ,^г{г,у^)- (0.1)

- / (г - а(г,у',() / [Г,У,^С1Г'С1У'(1(Т,

где а -единичный вектор; у = у - а [(V - у') «г]; у" = у' + - у') <т];

л/ ч Г1, х>0 л , е(1)=|о, ,<0-*-Функция.

Следует ожидать, что использование гладких решений этого уравнения для вычисления асимптотического поведения автокорреляционных функций приведёт к выражениям для асимптотических коэффициентов, справедливым для реальных многочастичных систем.

Основной целью настоящей работы является построение решений обобщённого нелинейного уравнения Больцмана-Энскога в акустическом и гидродинамическом приближениях и их применение к вычислению асимптотики кинетических частей временных автокорреляционных функций. Изучаются также решения линеаризованных гидродинамических уравнений, возникающих при анализе свойств приближенного кинетического уравнения в модели твёрдых сфер, учитывающего коллективные взаимодействия.

Диссертация состоит из трёх глав.

Первая глава посвящена исследованию нелинейного обобщенного уравнения Больцмана-Энскога с дальнодействием (0.1). Изучается влияние эффектов дальнодействия на поведение его решений при малых отклонениях функции распределения /О, у,/) от равновесной. С этой целью в §1 рассмотрены свойства обобщенного оператора Больцмана-Энскога. Соответствующий интегральный оператор нелокален по пространственной переменной. Показано, что его собственные функции не являются ортогональным для ненулевых значений волнового вектора к, определяющего степень пространственной неоднородности функции распределения. Это обстоятельство не позволяет использовать стандартные методы вычисления спектральных характеристик в области \к\<^па2. Для

решения этой проблемы в §2 проведён учёт дальнодействующей компоненты двухчастичного потенциала взаимодействия в первом порядке по параметру однородности и построена модифицированная теория возмущений для неэрмитовых операторов с вырожденным спектром нулевого приближения, позволяющая последовательно учесть эффекты нелокальности. Используется представление функции распределения в виде

/ \ ( т \ ту2]

- равновесное Максвелловское распределение,

Ч>( г,у,О = (у) • £Гг'сЫк, (0.2)

в- равновесная температура, ш- масса частицы.

В первом порядке поЧ* построение явного вида решения (0.1) эквивалентно рассмотрению спектральной задачи

(гкг-пЛк (у))^ (у')ф0 (у>у']Ф(*) = {у), (0.3)

9

(0-4)

Разложение решений (0.3) по параметру однородности # = (г0 -характерный масштаб убывания потенциала -г2|), ) связано с

функциональной зависимостью Ф(к) при малых \к\. В §3 исследовано

гидродинамическое приближение и определены поправки второго порядка по параметру однородности для решения спектральной задачи (0.3). Показано, что они вычисляются по решениям неоднородной системы алгебраических уравнений и связаны с коэффициентами сдвиговой вязкости для достаточно быстро убывающих потенциалов Щ>[\г1-г2\). Найдено, что форма поправок к гидродинамической части спектра определяется тензором

где - собственные функции оператора Больцмана, отвечающие ненулевым собственным значениям Лх, а Ч^ - решения спектральной задачи (0.3) в

Во второй главе проведено изучение свойств нелокального кинетического уравнения в модели твёрдых сфер, соответствующего учёту коллективных взаимодействий. Оно возникает при обрыве цепочки уравнений ББГКИ в предположении о малости трёхчастичных корреляций. Именно, при представлении функции распределения в виде

(0.5)

к

первом порядке по параметру однородности е =

1*1'

Т2 (г;1,2) = Ц (г,1)Ъ (п2) + С2 (гл,2), Р3 (г; 1,2,3) = 1) ^ (/; 2) Р3 (/; 3) +

(0.6)

предполагается, что С3(г, 1,2,3) = 0; здесь введено обозначение ц(с,1) = /(г,г1,у1); Ц(/;2 ) = /((,г2,у2); р2(г,1,2) - двухчастичная функция распределения.

Вывод линеаризованного кинетического уравнения, описывающего состояние системы твёрдых сфер, близкое к равновесному, приведён в §1. При этом функции ^(^1) и 02(?;1,2) представляются в виде

и рассматриваются лишь члены, линейные по и •

Искомое линеаризованное кинетическое уравнение получается после исключения Ч^/;!^) из линейной системы

где ^ и Ч*2 - отклонения функций и С2(/;1,2) от их равновесных

значений; ф0(у,)- равновесная максвелловская функция распределения,

е2(/;1,2) = Ф0(^)«р0(у2)Ч'2(/;1,2)

(0.7)

+ А (1) ((; 1) = п| ^2ф0 (у2 ) Т12 (% (*;1) + % (/; 2) +% (Г, 1,2)) А + ¿о (1,2) - Тп Ч12 = ТХ2 (/; 1) + ¥,(/; 2)] +

ш/¿&зФо ()[г,з (Т2 (/; 1,2)+(/; 2,3)) + Т23 (п 1,2) + Ч>2 (п 1,3))]

(0.8)

{Vrvly■¿Q

(0.9)

а-диаметр сферы, а - единичный вектор, Ьа - оператор замены скоростей V,,

V; на -<г(уг- -+ соответственно. Уравнение для Ч1,(/;1)

является нелокальным как по времени, так и по пространственным координатам, что соответствует учёту коллективных взаимодействий. Это уравнение имеет вид:

ЗУ,

I

^ = п\йгйу ф0 (у')7]2 -*')} х

& I { } (0.10)

где введены обозначения

х(/;гУ ) + Ч* ; г - аа, V1*)-¥(/;г,г) - ¥(г;г + шг,V')},

у = у + о-(у'-у)«т; v ' = у'-о,(у'-у)с, £(г,у) = у--«л(у);

Ът

Возможность перехода к гидродинамическому описанию изучается в §2 этой главы методом проекционных операторов. Эволюция гидродинамических моментов функций х¥к(г,у), определённых соотношением

задается системой уравнений

(/^(раЛКА** М) = 0,

д(

где Аа(0 - оператор, позволяющий представить Фурье-образ уравнения (0.10) в виде

Р - оператор проектирования на гидродинамическое подпространство, базисными векторами которого являются 1, у, у2 в гильбертовом пространстве с нормой

Р±=\-Р. Влияние начальных условий затухает со временем

экспоненциально, то есть существенно быстрее, чем вклад величин Р1х¥к (0;у)

в области малых к, для которых определены гидродинамические уравнения. Поэтому решение (0.12) полностью определяется гидродинамическим моментом 7%а(0,у). Показано, что производные по времени,

характеризующие отклонение плотности, макроскопической скорости и температуры от равновесных значений определяется линейными комбинациями этих величин в моменты времени 0-ы. Явное выражение для

различных проекций оператора Ак(г), где Ак{г) = | е 'гАк, получено в §3.

о

Для исследования Фурье образов уравнений (0.12) использованы соотношения А0Р = РА0 = 0; Р±Л0 = Л0РХ = Л0, где Л0 - линеаризованный оператор Больцмана, обращающий в нуль все инварианты столкновений. В ведущем порядке по волновому вектору к выражение для оператора ЯА(г) может быть представлено в виде

Ак (г) = (/Ау - 1апк\ (у)) - п\ - (г),

цч'МНЧЖ'оМ'Л

+00

где

(2-)3

здесь £л(у) - Фурье-образ оператора £(г,у),

г0(уу)£(уу) = в2/л'ф0(у') | [(у'-у)<г>х х[с(у\у")-£(уу)},

Лоо (уУ)Ч>{у) = а2 | [(V' - V) от 1 ^ (г*)+^ (V*') _ ( V) - ^ (V')],

кх (у) - оператор, возникающий при разложении оператора Больцмана-Энскога по степеням \к\. Показано, что имеют место соотношения

РщР = РщР± = РущР = О,

А А

Рл*0Р±=Щ.

приводящее к существенному упрощению системы уравнений (0.12). В завершение второй главы найдены явные выражения для линеаризованных уравнений гидродинамики и построена обобщённая матрица коэффициентов переноса, зависящих от г и волнового вектора к, не являющаяся эрмитовой.

В третьей главе рассматривается асимптотическое поведение временных автокорреляционных функций при больших временах в нелинейной обобщенной модели Больцмана-Энскога. Анализ свойств временных автокорреляционных функций С£{проводится на основе их

связи с одночастичной функцией распределения /(/,#% у),

с, (г) = л2/¿уоа (у0)фо ым/(г,г, у), (0.13)

где (у) - одночастичные токи, е = {п, Л),

к М=к (V)={¿{р*2 -5)и,

и /(г,г,у) удовлетворяет сингулярному начальному условию

/(0,г,у) = «-^(у-у0)£(г-г0) + ф0(у)|^(г'-г0)/2(|г-г'|),

где Е (г -г0)- нормирована условием ¡Е(г-г0)е1г0=1,

8-дельта-функция Дирака, /2 (|г - г'|) связана с бинарной равновесной функцией распределения,

& (г, V; г', г0 ) = ф0 (у0) ф0 (у) /2 (|г - г'|).

В §1 дано определение автокорреляционных функций и приведён вывод формулы (0.13), справедливой для произвольного бинарного взаимодействия между частицами. Результаты главы 1 применены в §2 для вычисления автокорреляционных функций Сг(/) в линеаризованном варианте задачи.

Показано, что в данном приближении С£(/) полностью определяются

сингулярной частью начального условия для одночастичной функции распределения и не зависят от структуры равновесной бинарной функции распределения. При этом асимптотика временных автокорреляционных

-г

функций является экспоненциальной: С£(()~е'0е, характерные масштабы

= {па2) 1 - Это противоречит экспериментальным данным Альдера и

Уэйнрайта [26,27,31,32] о степенном законе убывания корреляций. Поэтому в §3 рассмотрена теория возмущений для описания нелинейных эффектов в обобщённой модели Больцмана-Энскога. Структура вклада во временные автокорреляционные функции, обусловленного нелинейными эффектами модели, исследована в этом параграфе путём применения преобразования

Лапласа, позволяющего сформулировать проблему в терминах поиска

+00

особенностей | е'^С^^Ш в комплексной р-плоскости. Показано,

о

что помимо изолированных полюсов, расположенных в полуплоскости

Яе р < 0, функции С<*> (р) обладают точкой ветвления при р=0, возникающей при интегрировании выражений типа

коэффициенты, возникающие при разложении одночастичных токов ]п (г) ,Л(у) по билинейным комбинациям собственных функций этого оператора.

Особенность (0.14) при р=0 соответствует асимптотическому убыванию

-з/

временных корреляционных функций по закону ~ су/2. Связь коэффициентов С£ с равновесными параметрами системы и регулярной частью бинарного потенциала получена посредством вычисления А^, ¿¡р.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, они опубликованы в работах [65-68].

Глава 1. Нелинейное уравнение Больцмана - Энскога и его гидродинамические решения.

Нелинейная модель Больцмана - Энскога возникла в результате одной из первых попыток [14-15] преодолеть ограничения, изначально свойственные уравнению Больцмана, при классическом выводе которого невозможен точный учет размеров области двухчастичного взаимодействия. Рассмотрение неравновесного процесса на основе уравнения Больцмана неизбежно ограничивалось условием па3 <§; 1, где а - характерный размер области бинарного взаимодействия. Однако компьютерные эксперименты [26-28], посвященные изучению различного рода корреляций, позволяют получить достаточно надежные результаты лишь для систем значительной

(0.14)

где - коэффициенты, определяющие поправки к гидродинамической части спектра обобщенного оператора Больцмана-Энскога,

плотности, что в существенной степени способствовало росту интереса к нелокальным обобщениям уравнения Больцмана. Несмотря на долгое время, прошедшее с момента формирования модели Больцмана - Энскога, имеется весьма незначительное количество относящихся к ней точных результатов. Неизвестна даже точная формулировка утверждения, аналогичного Н-теореме Больцмана. H.H. Боголюбов [34] доказал, что модель имеет точные микроскопические решения, соответствующие полному динамическому описанию системы твердых сфер. Более того, подобные решения присутствуют и для нелинейного уравнения Больцмана - Энского с дальнодействием [34]:

jtf(t,rl,vl)+vlj-f(t,rl,vl) =

= na2 J (v2Va)^f^t,rx,vl*^f{t,r2 + aa,v2^-f(t,ruvl)f(t,r2-a<T,v2)^dadv2 + (1.1)

(v21.<7)>0

+-J-^--•P{t^2)dr2-—f{x,rl,vl),

тJ дг{ Щ

где v2, =v2-vl, а - единичный вектор, а - диаметр области твердого кора,

Р(*>*2) = J/(i»'2»v2)£Ä'2»

v/ =vx +cr(v21 -О"), v2 =v2-a{v2x-a),

n - равновесная плотность числа частиц.

Уравнение (1.1) соответствует описания неравновесных процессов в системах частиц с бинарным взаимодействием:

U(rx-r2) =

°°> (|Г1-Г2|<0!)'

Ф0(kl -'г!), ^Х-Г2\>а)

Дальнодействующая компонента потенциала ф0 (\гх -г2|) позволяет применить уравнение (1.1) для описания процессов в реальных системах.

В состояниях, близких к равновесному, естественно производить построение общего решения в виде разложения по параметру однородности, в качестве которого можно использовать модуль волнового вектора \к\,

характеризующего распространение возмущений функции распределения

где ¡3 - обратная температура, 1РА. (/,у) - Фурье-образ Т(г,/%у). Функции

у¥к (г, у) играют важную роль в проблеме вычисления автокорреляционных

функций в данной модели. Построение их явной зависимости от волнового вектора является предметом рассмотрения в данной главе.

§1. Оператор Больцмана - Энскога.

Подстановка (1.2) в (1.1) приводит в первом порядке по £ [г,г, г), к линейному уравнению

/(М-, у):

/(/,г,у) = л)(у)[1 + ч'(/,г>у)],

3

(1.2)

¥ (и г, у) = ^к •у¥к (/, у) ехр (гкг),

Применяя к (1.3) преобразование Фурье и используя представление

о

получим уравнение для функции ч!к2 (у) в форме задачи на собственные значения:

(гку - пАк (урь (у) (у>0 (у')с/У] х

4 ' т (р0 8у -I (1-4)

хФ(к) = г(к)Ч>к2(у),

где ф(А) = /ф0(|я|)А^,

лДу) - оператор Больцмана - Энскога, действие которого на функции скорости определяется выражением

(у'-Р)<Т>0 (1.5)

•(р§{у)с1у'с1а

Покажем, что оператор Больцмана - Энскога не является эрмитовым относительно скалярного произведения

(ч,х) = \<1уч>* (у)х(у)щ (1.6)

Действительно, с учётом определения (1.6)

(л^МТ(у)^(у)) = (т(у),АЛ(у)Ж(у)),

найдем

Ак+ (у)хР(у) = а2 | [(у'-у)<т]Гч'(у*) + Ч'(у*')е-г^-Ч'(у)-Ч'(у>+юЛ^0(ууу'£/<7

(у'-У)<7>0 -1

(1.7)

откуда следует, что

Л*»* Л, (у) (1.8)

ввиду присутствия членов с ешка и е~шка, соответствующих учету конечных размеров «твердого кора». Рассмотрим задачу об определении собственных функций и спектра оператора Больцмана - Энскога кк (v). Для возмущений,

существенно изменяющихся на расстояниях ~а,(|А|~а-1) задача не имеет

аналитических решений. Однако при вычислении корреляционных функций при больших временах, рассматриваемых в главе 3, наибольший интерес представляют медленно изменяющиеся в пространстве и убывающие со временем возмущения гидродинамического типа

|А|а«1, Шп z(k) = 0 (1.9)

При условиях (1.9) исследование задачи об определении собственных функций и спектра оператора Ак (v) может быть проведено методами теории возмущений, модифицированной с учетом вырождения нулевых собственных значений kk(v) при к = 0 и его неэрмитовости (1.8). Особый интерес представляют два первых члена разложения z{k) при малых к,

удовлетворяющих условиям (1.9). Следовательно, можно ограничиьтся двумя первыми членами разложения оператора Больцмана - Энскога (1.5) по степеням \к\а,

/=о

где л0 (v) - линеаризованный оператор Больцмана,

A0(v)vF(v) = a2 J [(v' - v)<r](v')Гч'(v*) + T(v*') -»F(v) - »F(v')ldvdo, (1.11)

(v'-v)ff^O L V ' J

A/(v)^(v) = a2 | [(V-vJffJ^M^yx

(v'-v)<r>0 (1.12)

x[V(v*')-(-l)/+1 ^(v'^dv'da.

Влияние членов, пропорциональных Ф(£) в (1.4), будет подробно рассмотрено в §2,3. Здесь мы ограничимся исследованием задачи

(1.13)

и оставим в разложении (1.10) лишь три первых члена:

•i • iii а / л па2к2к2(у) гку - шп \к | Л! (у) =-

(1.14)

Будем строить и г [к) в виде разложений:

м

г(к) = гх\к\ + +....,

£С1у^)(у) + ХС1Л(у)

]=\ т

(1.15)

где ^^(у)} - собственные функции оператора Больцмана А0(у),

соответствующие нулевому собственному значению, {¥,„ (у)} - набор всех остальных собственных функций оператора А0(у). Оператор А0 (у) является эрмитовым. Следовательно (у)|, |Ч'от(у)} могут быть выбраны так, что

они образуют ортонормированный базис. Нулевое собственное значение оператора А0(у) пятикратно вырождено, так как он обращает в нуль

инварианты столкновения 1 ,у, у2. Удобно выразить в качестве (у)|

следующие линейные комбинации этих инвариантов:

(1.16)

где е = Г1; ех,е2 образуют с е ортонормированный базис. Прямое вычисление

\к\

показывает, что скалярное произведение

(1.17)

В ортонормированном базисе (1.16) матрица оператора ikv диагональна и содержит лишь два отличных от нуля элемента:

(ikv)n=-(ikv)2^\k\(fim)-\^-. (1.18)

Вследствие вырождения нулевого собственного значения оператора Больцмана A0(v) необходимо определить пять наборов коэффициентов

Так как оператор Больцмана - Энскога Ак (v) не коммутирует со своим

эрмитовосопряженным, то задача об определении этих наборов требует модификации стандартной теории возмущений.

Рассмотрим общую постановку задачи на собственные значения оператора а,

A^IY, (1.19)

где А может быть представлен в виде

А = А0 + гА1 + £2А2+....., (1.20)

где А0 - эрмитов оператор с дискретным спектром собственных значений {;?,•},/> 0, е - малый параметр, наименьшее из Л,,^/ - кратно вырождено.

Решение задачи (1.19) будем искать в виде

л

Л = Aq + ez1 + е z2 +.....

v = £ Coi Ч»0<'> + ¿Z ch + е^СыЧ>т+е2^С2тЧт+....., (1 '21}

;=1 /=1 m*0 m* 0

где {ч^} - ортонормированный набор собственных функций оператора А0,

соответствующих собственному значению Aq, {Ч'ш} - собственные функции

оператора А0, соответствующие собственным значениям {Лт}. Подставляя

(1.21) и (1.20) в (1.19), получим при рассмотрении в первых двух порядках по s два уравнения для определения величин гг,г2,Сш,Си:

/ l

т* 0 /=1

(Ао - л») Е с\т ^ +(ах - z^co, ¥0(,) = (1-22)

(А0 - Л) 2 С2и 4>т + (А, - ) | £ Су + ^,С1аЧ'я\ +

т*0 1.1=1 т J ^ 23)

1=1

Умножим скалярно (1.22) на функции Ч^- (т' * 0) и (1.23) на функции Ч^^Л < у < /. Далее учтем, что

А0 Ч^, = Л, ч01>) = ^ «ро0). (1.24)

Получим систему алгебраических уравнений для определения

т'

£ Сш (Ч^,, Л%(г)) + - 10)СМ =0,т'*0 (1.25)

/=1

(1.26)

где 8 - символ Кронекера. Из уравнений (1.25) можно найти коэффициенты

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Масленников, Илья Игоревич, 2013 год

Список литературы.

1.Н.Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статистической физике. Гостехиздат, М.-Л., 1946

2. Н.Н. Боголюбов. Избранные-труды, т.2, "Наукова думка", Киев, 1970, стр. 270.

3. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кергисс, Р. Берд. Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, 1961.

4. Ю.Л. Климонтович. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. "Наука", М, 1975.

5. И. Пригожин. Неравновесная статистическая механика. "Мир", М.,

1964.

6. П. Резибуа, М. де Ленер. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. "Мир", М. 1980.

7. К. Черчиньяни. Математические методы в кинетической теории газов. "Мир", М., 1973.

8. Дас. Уленбек, Дж. Форд. Лекции по статистической механике, "Мир", М., 1965.

9. С. Cercignani. Theory and application of the Boltzmann equation, Edinburgh, 1975.

10.N. Grand. Asymptotic theory of the Boltzmann equation. Phys. Fluids.6,147 (1963).

11.J.D. Foch. G.W. Ford. Studies in Statistical mechanics, North Holland, 1970.

12.S. Brush. Kinetic theory, v. 3. Oxford, Pergamon Press, 1972.

13.D. Hilbert. Math. Ann. 72, 562 (1912).

14.S. Chapman. Trans. Roy. Soc., London, A216, 279 (1916).

15.D. Enskog. Ark. Mat. Astron. Fys. 21 A, 1 (1928).

16.E.G.D. Cohen. J. Math. Phys. 4, 143 (1963).

17.J. Weinstock. Phys. Rev. 132, 454 (1963).

18.J.R. Dorfman, E.G.D. Cohen. Phys. Lett. 16, 124 (1965).

19.M.H. Ernst, J.R. Dorfman and E.G.D. Cohen. Physica 31, 493 (1965).

20.R. Zwanzig. Ann. Rev. Phys. Chem., 1965, vol. 16, p. 67-102. 21 .J.V. Sengers. Phys. Fluids. 9, 1685 (1966).

22.R. Goldman and E.A. Frieman. J. Math. Phys. 7,2153 (1966).

23.J.R. Dorfman and E.G.D. Cohen. J. Math. Phys. 8, 282 (1967).

24.L.K. Heines, J.R. Dorfman and M.H. Ernst. Phys. Rev. 144, 207 (1966).

25.М.Н. Ernst, J.R. Dorfman, W.R. Hoegy and J.M.-J. van Zeeuwen. Physica 45, 127 (1969).

26.B.J. Alder, Т.Е. Wainwright. Phys. Rev. Lett. 18, 988 (1967).

27.B.J. Alder, D.M. Gass, Т.Е. Wainwright. J. Chem. Phys. 53, 3813 (1970).

28.B.J. Alder, Т.Е. Wainwright. Phys. Rev. AI, 18 (1970).

29.P.M. Furtado, G.F. Mazenko and S. Yip. Phys. Rev. A12, 653 (1975).

30.J.R.D. Copley, J.M. Rowe. Phys Rev. A9, 1656 (1974).

31.W.E. Alley, B.J. Alder. Phys. Rev. All, 3158 (1983).

32.W.E. Alley, B.J. Alder and S. Yip. Phys. Rev. All, 3174 (1983).

33.J.J. Erpenveck and W.W. Wood. J. Stat. Phys. 24, 455 (1981).

34.H.H. Боголюбов. ТМФ 24, 242 (1975).

35.Н.Г. Иноземцева, Б.И. Садовников. ТМФ 31, 260 (1977).

36.Н.Г. Иноземцева, Б.И. Садовников. ДАНСССР 235, 61 (1977).

37.Н.Г. Иноземцева, Б.И. Садовников. ДАНСССР 252, 852 (1980).

38.J.R.D. Copley, J.M. Rowe. Phys. Rev. Lett. 32, 49 (1974).

39.0. Soderstrom. Phys, Rev, A23, 785 (1981).

40.D. Beysens, Y. Garrabos, G. Zalzer. Phys. Rev, Lett. 45, 403 (1980). 41.S. Yip. Ann. Rev. Phys. Chem. 30, 543 (1979).

42.K. Kawasaki. Progr. Theor. Phys. 45, 1691 (1971); 46, 1299 (1971).

43.R. Zwanzig, M. Bixon. Phys. Rev. A2, 2005 (1970).

44.Y. Pomeau. Phys. Rev. A5, 2569 (1972); AI, 1134 (1973).

45.P. Resibois, Y. Pomean. Phys. Lett. A44, 97 (1973).

46.J. Dufty. Phys. Rev. A5, 2247 (1972).

47.Y. Pomean. Phys. Rev. A3,1174 (1971).

48.J.R. Dorfman, E.G.D. Cohen. Phys. Rev. A6, 776 (1972).

49.J.R. Dorfman, E.G.D. Cohen. Phys. Rev. Lett. 25, 1257 (1970).

50.M.H. Ernst, E.H. Hauge. J.M.-J. van Leeuwen. Phys. Rw. A4, 2055 (1971).

51.E.H. Hauge. Phys. Rev. Lett. 28, 1501 (1972).

52.J.R. Dorfman, E.G.D. Cohen. Phys. Rev. A12,292 (1975).

53.J.T. Ubbink, E.H. Hauge. Physica 70,297 (1973).

54.K. Kawasaki, J.D. Gunton. Phys. Rev. A8,2048 (1973).

55.M.H. Ernst, J.R. Dorfman. Physica 61, 157 (1972).

56.J. Keyes, I. Oppenheim. Physica 70, 100 (1973).

57.T. Yamaola, K. Kawasaki. Progr. Theor. Phys. 53, 111 (1975).

58.M.H. Ernst, J.R. Dorfinan, J. Stat. Phys. 12, 311 (1975).

59.Y. Pomeau, P. Resibois. Phys. Reports 19, 64 (1975).

60.J.D. Evans. Phys. Rev. All, 190 (1980).

61.1.M. de Schepper, E.G.D. Cohen. Phys.Rev. All, 287 (1980). 62.J.R. Dorfman. Physica A106, 77 (1981).

103

63.I.M. de Schepper, E.G.D. Cohen. J.Stat. Phys. 27, 223 (1982).

64.T.R. Kirkpatick, J.R. Dorfman. Phys. Rev. Lett. 54, 2631 (1984)

65.Иноземцева Н.Г., Масленников И.И., Садовников Б.И., Автокорреляционные функции в обобщенной модели Больцмана-Энскога // Вестник МГУ, сер.З, № 1 (2013) С. 22

N.G. Inozemtseva, I.I. Maslennikov, B.I. Sadovnikov, Autocorrelation Functions in the Generalized Boltzmann-Enskog Model, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol. 68, № 1, pp. 21-26

66.Иноземцев В.И., Масленников И.И., Обобщенные гидродинамические уравнения в модели твердых сфер // Вестник МГУ, сер.З, № 2 (2013) С. 3

V.l. Inozemtsev, I.I. Maslennikov, Generalized Hydrodynamic Equations in the Hard-Spheres Model, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol. 68, № 2, pp. 97-104

67.Иноземцева Н.Г., Масленников И.И., Гидродинамические решения обобщенного уравнения Больцмана - Энскога // Вестник МГУ, сер.З, № 3 (2013) С. 25

N.G. Inozemtseva, I.I. Maslennikov, Hydrodynamic Solution of the Generalized Boltzmann-Enskog Equation, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol. 68, № 3, pp. 201-204