О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Смоленцев, Михаил Викторович

• Смоленцев, Михаил Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смоленцев, Михаил Викторович

Оглавление

Введение

1 Счетный спектр линейного неавтономного уравнения третьего порядка

1.1 Понятие частоты

1.2 Спектр частоты уравнения

1.3 Семейство уравнений

1.4 Утверждения о счетном спектре

2 Конечный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка

2.1 Семейство периодических уравнений

2.2 Утверждения о конечном спектре

3 Континуальный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка

3.1 Специальное семейство функций

3.2 Утверждения о континуальном спектре

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка»

Введение

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений. Важнейшими направлениями качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллион-щикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений или систем.

В теории же колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).

В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [14, 15], Б.Ф. Былов [9, 10], В.М. Миллионщиков [38, 39, 40], H.A. Изобов [20, 21, 23], М.И. Рахимбердиев [41, 42], И.Н. Сергеев [43, 44], Е.К. Макаров [36, 37], Е.А. Барабанов [5, 6], А.Н. Ве-тохин [12, 13], В.В. Быков [7, 8] и другие. Здесь указаны лишь по 23 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [22, 26] и монографиях [И, 27].

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались

усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева [31, 32], И.Т. Кигурадзе [28, 29, 30], Т.А. Чантурия [75, 76], А.Н. Левина [35], H.A. Изобова [24, 25], И.В. Аста-шову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [34] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение прежде всего коэффициентных (т. е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В 2004 г. И.Н. Сергеев в докладе [45] впервые ввел понятие характеристической частоты v(у) скалярной функции ?/, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и. позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. В дальнейших его работах [46-53] и [55-65] изучались свойства введенных частот и их различные модификации.

Частоту решения можно интерпретировать, как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины 7г. Оказалось, что на решениях линейных однородных уравнений с ограниченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения [48] и позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции

y(t) = Sin (jút

ее частоту v(y) = и (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения, ставя в соответствие вектор-функции х с нормой

|я(£)| = exp A¿

ее показатель х(х) —

Следует отметить, что спектр (множество различных значений на всех ненулевых решениях) показателей Ляпунова n-мерной линейной системы состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности [11,

глава I, §2]). В то же время, спектр показателей Перрона такой системы, вообще говоря, не является конечным и, более того [5], может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

Что же касается характеристических частот, то в работе [48] доказано, что:

• все ненулевые решения произвольного уравнения первого или второго порядка имеют одну и ту же частоту;

• для любого N > О существует уравнение четвертого порядка, даже с постоянными коэффициентами, у которого общее число частот различных ненулевых решений превосходит N (впоследствии этот результат был значительно усилен А.Ю. Горицким [16], предъявившим линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами, спектр частот которого представляет собой целый отрезок числовой прямой).

Отсюда следует, что не существует числовой функции от п, ограничивающей сверху количество различных частот решений уравнения п-го порядка.

Далее, для систем с постоянными или периодическими коэффициентами (и вообще, для правильных систем [11, глава VII, §22]) спектры показателей Ляпунова и Перрона одинаковы: они в автономном случае совпадают с множеством действительных частей собственных значений ее матрицы, а в периодическом случае естественным образом выражаются через множество мультипликаторов системы [18, глава III, §3, 15].

В работе [48] доказано, что спектр характеристических частот линейного автономного уравнения п-го порядка тесно связан с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена:

• при любом натуральном п этот спектр заведомо включает в себя множество указанных модулей;

• при п = 1,2 этот спектр состоит из одного числа и совпадает с множеством указанных модулей (нетрудно видеть, что подобное совпадение происходит и при п = 3, правда, только для спектров частот корней и знаков);

• при п ^ 4 с множеством указанных модулей совпадает, вообще говоря, лишь набор специально выделенных (с использованием процедуры регуляризации по Миллионщикову) главных значений частот автономного уравнения п-го порядка.

Таким образом, оставался открытым вопрос об описании возможных спектров частот неавтономных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка (и, в частности, уравнений с периодическими коэффициентами), занимающих промежуточное положение между уравнениями второго и четвертого порядков. Важно было узнать, обладают ли спектры этих уравнений свойствами спектров уравнений второго порядка или больше напоминают спектры уравнений четвертого порядка.

Наконец, в докладах [61, 62] были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение качественного вопроса о том, достаточно ли мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения, на котором частота принимает то или иное значение.

Основные результаты диссертации

касаются спектров частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка и посвящены попыткам, именно по отношению к ним, ответить на вопрос, явно поставленный в докладе [45]: каким может быть множество частот решений линейного однородного уравнения?

Первая глава работы посвящена доказательству существования неавтономного уравнения третьего порядка со счетным существенным спектром характеристических частот.

Именно, в ней построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами, спектры частот и нулей, и знаков, и корней которого содержат одно то же счетное множество метрически и топологически существенных значений, причем все эти значения являются точными.

Построение этого уравнения использует результаты работ [48, 54] и происходит поэтапно, вдоль бесконечной серии расширяющихся

промежутков числовой полуоси, на каждом из которых обеспечивается, с одной стороны, сохранение всех частот, построенных на предыдущих этапах, а с другой стороны, пополнение их множества новыми значениями.

Основным результатом второй главы диссертационной работы является доказательство существования периодического уравнения третьего порядка, спектр характеристических частот которого содержит сколь угодно большое наперед заданное число существенных значений.

В этой главе фактически построено такое семейство линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с периодическими коэффициентами, что в нем для любого N £ N можно выбрать уравнение, спектры частот и нулей, и знаков, и корней которого содержат одно то же множество, содержащее не менее N метрически и топологически существенных значений. Более того, все эти N значений спектра являются точными, а все решения всех уравнений семейства — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самих уравнений.

Трудность построения такого семейства заключалась в необходимости управления фундаментальной системой решений уравнения непосредственно с помощью методов, использованных в работе [48], без теоремы 3 из работы [54].

Основу третьей главы диссертации составляет пример периодического уравнения третьего порядка с континуальным спектром характеристических частот.

Более точно, построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры частот и нулей, и знаков, и корней которого содержат один и тот же отрезок значений. При этом все указанные значения являются точными частотами некоторых решений, а все решения уравнения — квазипериодическими функциями.

При доказательстве факта заполнения частотами целого отрезка в работе использовалась эргодическая теорема применительно к иррациональной обмотке двумерного тора, а также заимствованы идеи из работы [17], в которой исследованы характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний.

Таким образом, в диссертации получен следующий ответ на вопрос об описании возможных спектров частот неавтономных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка: свойства спектров уравнений третьего порядка, в том числе и уравнений с периодическими коэффициентами, более близки к свойствам спектров уравнений четвертого, чем второго порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ее автора [67-73].

Автор глубоко признателен профессору И. Н. Сергееву за научное руководство, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Формулировки основных результатов

Рассмотрим множество £п линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка

уМ + а^у^ + ... + ап-Му + ап{{)у = 0, [0; оо),

с ограниченными непрерывными коэффициентами, образующими строки

а = (аь...,ап): Е+ Еп,

каждую из которых будем отождествлять с соответствующим уравнением. Множество всех ненулевых решений у: —> К уравнения а £ £п обозначим через «5*(а).

Определение I [48, 64]. Для каждого уравнения а е Еп, произвольного решения у € <5* (а) и момента £ > 0 будем понимать под выражением и(у, £), полагая в нем либо V = и0, либо и = либо V = соответственно:

• либо число нулей функции у на промежутке (();£];

• либо число точек смены знака функции у на промежутке (0; £] (мы говорим, что в точке т > 0 функция у меняет знак, если в достаточно малой окрестности этой точки слева от нее функция принимает значения одного знака, а справа — другого);

• либо суммарное число и+(у, £) корней функции у на промежутке (0;£] с учетом их кратности: здесь каждый корень функции у

считается столько раз, сколько в нем обнуляется подряд идущих ее производных, начиная с нулевой производной (т.е. с самой функции) и кончая производной не более чем (га — 2)-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II [48, 64]. Верхней и нижней частотами нулей, знаков или корней решения у Е с>*(а) будем называть величины

и (у) = lim -v(y, 7rt) и í>(y) = lim -u(y, irt)

i->oo t t—too t

при v = v0,v~,i>+ соответственно, а в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

С каждой из частот, описанных в определении II, и с каждым уравнением а Е £п можно связать функционал

иа: S*(a) -4 Е+,

определенный на множестве <5* (а) ненулевых решений этого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ III. Спектром частоты иа уравнения а Е £п назовем область ее значений. Значение частоты ра, принадлежащее спектру уравнения a Е £п, назовем:

а) метрически существенным [61], если оно принимается на решениях у Е <5*(а), множество наборов

( У( 0) >1

у(0)

^ У{п~1\0) )

Е

оп

начальных значении которых содержит множество положительной меры в

б) топологически существенным [62], если оно принимается на решениях у Е (а), множество наборов начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством 17 С I", служит дополнением в и к множеству первой категории Бэра [33].

ТЕОРЕМА I (следствие 2 в главе 1). Существует уравнение а Е £3, спектры частот нулей, знаков и корней которого содер-

жат одно то же счетное множество существенных (и метрически, и топологически) значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

ТЕОРЕМА II (следствие 4 в главе 2). Для любого числа N Е N существует уравнение а € "Р3, все решения которого — периодические с общим периодом, совпадающим с периодом коэффициентов уравнения, а спектры частот нулей, знаков и корней содержат одно то же множество, состоящее из N существенных (и метрически, и топологически) значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

теорема III (следствие 6 в главе 3). Существует уравнение а Е Тъ, спектры частот нулей, знаков и корней которого содержат один и тот же отрезок значений, причем все эти значения являются точными частотами некоторых решений.

В отличие от теорем I и II, теорему III принципиально невозможно усилить так, чтобы каждое из указанных в ней значений частот было существенным метрически или топологически, что и обосновывает

Лемма (леммы 1 и 2 в главе 1). Спектр любой частоты va любого уравнения а € £п содержит не более чем счетное множество метрически существенных значений и не более чем счетное множество топологически существенных значений.

Используемые обозначения

В главах диссертации принята двойная нумерация формул, сквозная нумерация лемм и сквозная нумерация теорем и их следствий.

Приведем список наиболее часто используемых в работе обозначений:

• N, Z, Q, Ж, С — множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно;

• = [0; оо) — временная полуось;

• Т2 ее Ж2/(2ttZ)2 - двумерный тор;

• £п — множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными непрерывными на Е+ коэффициентами;

• Vй — множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с периодическими непрерывными на М+ коэффициентами;

• а = (а1,...,ап): Е+ —> Еп — набор коэффициентов линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка, отождествляемый с самим уравнением;

• |с| = тах{|с1|,..., \сп\} — норма вектора с = (сх,..., сп) Е Еп;

• М = [1; 1 + £о] — множество значений параметров //,//' специального семейства уравнений;

• ¿>(а) — линейное пространство всех решений у: Е+ —» К уравнения а е 5";

• (а) — множество всех ненулевых решений у: Е+ —> Е уравнения а Е £п;

• ¿>* = (а) ~~ множество всевозможных ненулевых решений

ае£п

у: Е+ —> Е различных уравнений абР;

ы °) =

( у(о) >\ №

6 1П - набор начальных значений ре-

V 2/(п_1)(0) )

шения у Е <5(а) какого-либо уравнения а Е £п\

• u°(y,t) — число нулей функции у на промежутке (0;t];

• v~(y,t) — число точек смены знака функции у на промежутке (0;¿];

• v+(y,t) — суммарное число корней функции у на промежутке (0; t] с учетом их кратности;

• v = v0,v~,i>+ — общее обозначение для частоты v в одном из перечисленных смыслов;

• v: S* R+ — частота, как функционал на множестве решений всех уравнений из Еп\

• va: ¿>* (а) —> R+ — частота, как функционал на множестве ненулевых решений какого-либо уравнения абГ;

• i/(y, К) = v(y, t, s) = v(y, t) — */(?/, s) — число нулей, смен знака или корней (в зависимости от смысла буквы v) функции у на промежутке К = (s, t\;

• 0(у) = lim 7rt) — верхняя частота нулей, знаков или кор-

i—»00 t

ней (в зависимости от смысла буквы и) решения у £ S*(a);

• i>(y) = lim -v(y, 7Гt) — нижняя частота нулей, знаков или кор-

f-ЮО t

ней (в зависимости от смысла буквы и) решения у 6 <S*(a).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смоленцев, Михаил Викторович, 2013 год

Литература

[1] Асташова И.В. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 2005. Вып. 25. С. 3-17.

[2] Асташова И.В. О задаче H.A. Изобова для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 898-899.

[3] Асташова И.В. О поведении на бесконечности решений квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 2009. 45. №11. С. 1671.

[4] Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И.В. Асташова и др.; под ред. И.В. Асташовой — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

[5] Барабанов Е.А. Строение множества нижних показателей линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1989. 25. №12. С. 1084-1085.

[6] Барабанов Е.А. О вычислении показателей решений линейных дифференциальных систем по временным геометсрическим прогрессиям// Дифференц. уравнения. 1997. 33. №12. С. 1592-1600.

[7] Быков В.В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996. 51. Вып. 5. С. 186.

[8] Былов В.В. Классификация Бэра сг-показателей Изобова // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №11. С. 1574.

[9] Былов Б.Ф. Почти приводимые системы. Автореф. дисс... докт. физ.-мат. наук. Мн.: АН БССР, 1966.

10] Былов Б.Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1970. 6. №2. С. 243-252.

11] Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

12] Ветохин А.Н. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 1995. 31. №5. С. 909-910.

13] Ветохин А.Н. Точный класс Бэра экспоненциального показателя Изобова в равномерной топологии // Дифференц. уравнения. 1999. 35. №11. С. 1578-1579.

14] Виноград Р.Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // Докл. АН СССР. 1953. 91. №5. С. 9991002.

15] Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. 42. С. 207-222.

16] Горицкий А.Ю. Характеристические частоты линейных комбинаций синусов // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №6. С. 860.

17] Горицкий А.Ю., Фисенко Т.Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний // Дифференц. уравнения. 2012. 48. Ш. С. 479-486.

18] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

19] Зорич В.А. Математический анализ. II. М.: Наука, 1984.

20] Изобов H.A. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. 1. №4. С. 469-477.

[21] Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1976. 12. №11. С. 19541966.

[22] Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71-146.

[23] Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. 26. №1. С. 5-8.

[24] Изобов H.A. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Матем. заметки. 1984. 35. №2. С. 189-199.

[25] Изобов H.A. О кнезеровских решениях // Дифференц. уравнения. 1985. 21. №4. С. 581-588.

[26] Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034-2055.

[27] Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.

[28] Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения // Докл. АН СССР. 1962. 144. Ш. С. 33-36.

[29] Кигурадзе И.Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. 10. №8. С. 1387-1398 и №9. С. 1586-1594.

[30] Кигурадзе И.Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1992. 28. №2. С. 207-219.

[31] Кондратьев В.А. О колеблемости решений уравнения +р(х)у = 0 // Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. 10. С. 419-436.

[32] Кондратьев В.А. О колеблемости решений дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков // Докл. АН СССР. 1968. 118. т. С. 22-24.

[33] Куратовский К. Топология. 1. М.: Мир, 1966.

[34] Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения

+Р1(Ь)х(п~1} +----\-рп{1)х = 0 // Успехи матем. наук. 1969. 24.

№2. С. 43-96.

[35] Левин А.Ю. Избранные труды. Ярославль, Рыбинск: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2010.

[36] Макаров Е.К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференц. уравнения. 1989. 25. №2. С. 209-212.

[37] Макаров Е.К. О реализации частичных показателей решений линейных дифференциальных систем на геолметрических прогрессиях // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №4. С. 495-499.

[38] Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский матем. журнал. 1969. 10. №1. С. 99-104.

[39] Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. 5. №10. С. 1775-1784.

[40] Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16. №8. С. 14081416.

[41] Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. 31. №6. С. 925-931.

[42] Рахимбердиев М.И. О центральных показателях линейных систем // Дифференц. уравнения. 1983. 19. №2. С. 253-259.

[43] Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений //Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166.

[44] Сергеев И.Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. 36. №3. С. 345-354.

[45] Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

[46] Сергеев И.Н. Подвижность характеристических частот линейного уравнения при равномерно малых и бесконечно малых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

[47] Сергеев И.Н. О классах Бэра характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. 41. №6. С. 852.

[48] Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

[49] Сергеев И.Н. Неравенства между главными частотами нулей и знаков линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2006. 42. №6. С. 855.

[50] Сергеев И.Н. Класс Бэра старшей частоты корней линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2006. 42. №11. С. 1573.

[51] Сергеев И.Н. О различной зависимости от параметра главных частот нулей, знаков и корней линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2007. 43. №6. С. 853.

[52] Сергеев И.Н. Общие свойства главных частот линейного уравнения / Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского: Тезисы докладов — М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 282283.

[53] Сергеев И.Н. О несуществовании ляпуновской частоты решений линейных неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №11. С. 1579.

[54] Сергеев И.Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механ. 2009. №3. С. 25-33.

[55] Сергеев И.Н. О предельных значениях показателей линейных уравнений // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №11. С. 16641665.

[56] Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости ляпуновского типа / Международная математическая конференция «Пятые Бог-

дановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям»: тез. докладов Международной научной конференции. Минск, 7-10 декабря 2010 г. — Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2010. С. 73-74.

[57] Сергеев И.Н. Класс Бэра крайних характеристических частот линейных дифференциальных уравнений / Современные проблемы математики и механики. Т. VI. Математика. Вып. 1. К 105-летию С.М. Никольского — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 111-117.

[58] Сергеев И.Н. Комплексные характеристические показатели экспоненциально разделенных систем // Дифференц. уравнения.

2011. 47. №6. С. 900-901.

[59] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 906-907.

[60] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. унта. Серия 1. Матем. Механ. 2011. №6. С. 21-26.

[61] Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1661-1662.

[62] Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения.

2012. 48. №11. С. 1567-1568.

[63] Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия матем. 2012. 76. №1. С. 149-172.

[64] Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414-442.

[65] Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. С. 119-138.

[66] Сергеев И.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Издательский центр «Академия», 2013.

[67] Смоленцев М.В. О спектре частот линейного уравнения // Дифферент уравнения. 2011. 47. №11. С. 1659.

[68] Смоленцев М.В. О спектрах частот периодического и непериодического линейного дифференциального уравнения // Дифферент уравнения. 2012. 48. №6. С. 909.

[69] Смоленцев М.В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1571-1572.

[70] Смоленцев М.В. О спектре частот линейного дифференциального уравнения третьего порядка / Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Международной конференции молодых ученых, Терскол, 28 ноября - 1 декабря 2012 г. — Нальчик: ООО «Редакция журнала «Эльбрус», 2012. С. 208-209.

[71] Смоленцев М.В. Спектры частот линейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Современные методы теории функций и смежные вопросы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 28 января - 2 февраля 2013 г. — Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2013. С. 217-218.

[72] Смоленцев М.В. Спектры частот периодических и непериодических линейных дифференциальных уравнений третьего порядка / Тезисы докладов 4-й Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва, 25-29 марта 2013 г. - М.: РУДН, 2013. С. 243-244.

[73] Смоленцев М.В. О спектре частот периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка / Сборник трудов Международной миниконференции «Качественная тео-

рия дифференциальных уравнений и приложения» (16 июня 2012 г.) - М.: Изд-во МЭСИ, 2013. С. 58-74.

[74] Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

[75] Чантурия Т.А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1980. 16. №3. С. 470-482.

[76] Чантурия Т.А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида // Дифференц. уравнения. 1986. 22. №11. С. 1905-1915.

Г