Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Сташ, Айдамир Хазретович

• Сташ, Айдамир Хазретович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Сташ, Айдамир Хазретович

Оглавление

Введение

1 Основные понятия и факты

1.1 Определение характеристик колеблемости

1.2 Спектры частот уравнений и систем

2 Спектры линейных уравнений третьего порядка

2.1 Периодическое уравнение с конечным спектром

2.2 Уравнение со счетным спектром

2.3 Неограниченное уравнение с континуальным спектром

3 Спектры линейных двумерных систем

3.1 Периодическая система с конечным спектром

3.2 Система со счетным спектром

4 Общие свойства частот линейных систем

4.1 Спектры треугольных систем

4.2 Разрывность крайних частот

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем»

Введение

Исследование линейных нестационарных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые выдвигают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения асимптотических и колебательных свойств решений систем.

Представленная работа является исследованием в области качественной теории линейных дифференциальных уравнений и систем, важнейшими направлениями которой являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [15, 16], Б.Ф. Былов [10, 11], В.М. Миллионщиков [41, 42, 43], H.A. Изобов [23, 24, 26], М.И. Рахимбердиев [46, 47], И.Н. Сергеев [48, 49], Е.К. Макаров [39, 40], Е.А. Барабанов [5, 6], A.C. Фурсов [86, 87], А.Н. Ветохин [13, 14], В.В. Быков [8, 9], Ю.И. Дементьев [19, 20] и другие. Здесь указаны лишь по 2-3 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [25, 29] и монографиях [12, 30].

Однако для полного описания реальных природных процессов важна информация не только о росте исследуемых функций, но и об их колебательных свойствах. В теории колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева [34, 35], И.Т. Кигурадзе [31, 32, 33], Т.А. Чантурия [89, 90], А.Н. Левина [38], H.A. Изобова [27, 28], Дж.Д. Мирзова [44, 45], И.В. Асташову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [37] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения или системы хотя бы одного колеблющегося решения, а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение коэффициентных признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В последнее время интерес к таким свойствам решений линейных нестационарных систем, как ограниченность, устойчивость, колеблемость и т.п., возрос в связи с задачами изучения автоколебаний и хаотических режимов, возникающих в различных электронных и лазерных устройствах. В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

В 2004 г. И.Н. Сергеевым были введены характеристики колеблемости решений линейных однордных дифференциальных уравнений, которые явились весьма эффективным средством для изучения колебательных свойств. Так, в докладе [50] он впервые ввел понятие характеристической частоты v(y) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений уравнений на полупрямой.

Следует отметить, что спектры (множества значений на всех ненулевых решениях) различных показателей п-мерных линейных систем устроены по-разному: спектр показателей Ляпунова состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности [12, глава I, §2]), тогда как спектр показателей Перрона, вообще говоря, не является конечным и, более того [5], может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

Что же касается характеристических частот, то их спектры устроены также сложнее, чем спектры показателей Ляпунова. И хотя все ненулевые решения произвольного уравнения первого или второго порядка имеют одну и ту же частоту [53], тем не менее существуют автономное линейное однородное уравнение четвертого порядка и периодическое линейное уравнение третьего порядка с континуальными спектрами характеристических частот [17, 76].

Таким образом, даже для автономного линейного уравнения спектр характеристических частот не совпадает, вообще говоря, с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена. С ним совпадает лишь набор специально выделенных (с использованием процедуры регуляризации по Миллионщикову) главных значений частот этого уравнения [53].

В работах [63-72] вводились и изучались различные модификации характеристических частот, но уже для вектор-функций х, в частности, так называемые полные о{х) и векторные ((х) частоты. Подсчет последних происходит путем усреднения числа нулей проекции функции х на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получается полная частота сг(х), а если после — то векторная частота С(х)-

Оказалось [71], что на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами эти характеристики колеблемости принимают также лишь конечные значения (при этом полная и векторная частоты решения у линейного уравнения п-го

порядка определяются как величины о{х) и соответственно, где х = {у,у,...,у(п~1))).

Спектры полных и векторных частот автономных систем, а также уравнений второго порядка были полностью исследованы:

• спектр полной частоты любой автономной системы конечен и совпадает с множеством модулей мнимых частей собственных значений задающего ее оператора [64];

• полная и векторная частоты любого решения любой автономной системы совпадают [7];

• для любого (не обязательно автономного) линейного уравнения второго порядка спектры полной и векторной частот состоят из одного и того же числа, равного характеристической частоте какого-либо его решения [68].

Таким образом, оставался открытым вопрос об описании возможных спектров полных и векторных частот линейных неавтономных дифференциальных систем, а также уравнений более чем второго порядка. Особенно важно было узнать, во-первых, всегда ли эти спектры конечны и, во-вторых, обладают ли свойствами спектров уравнений второго порядка (т.е. состоят ли из одного элемента):

• спектры полных и векторных частот уравнений третьего порядка;

• спектры полных и векторных частот двумерных систем.

Любое из крайних (т.е. наименьшее и наибольшее) значений спектра какой-либо частоты п-мерной однородной дифференциальной системы можно рассматривать как функционал, определенный на линейном топологическом пространстве п-мерных систем с равномерной на топологией. При п — 2 сужения этих функционалов на топологическое подпространство уравнений второго порядка (к которым сводятся двумерные системы с помощью канонической замены) непрерывны [68] и, будучи остаточными [48], инвариантны относительно бесконечно малых (т. е. исчезающих на бесконечности) возмущений.

В связи с этим возник вопрос: распространяются ли указанные свойства крайних частот с пространства линейных уравнений второго порядка на пространство всех линейных двумерных дифференциальных систем?

Наконец, в докладах [69, 70] были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение вопроса о том, достаточно ли мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения или системы, на котором частоты принимают те или иные значения.

Основные результаты диссертации

касаются спектров частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка, линейных однородных двумерных дифференциальных систем, а также разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных систем, наделенном равномерной (на полуоси) нормой.

В первой главе диссертационной работы даются необходимые понятия, сопровождаемые описанием их общих свойств, и доказываются вспомогательные утверждения, которые используются при доказательстве основных результатов.

Вторая глава посвящена доказательству существования уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат конечные наборы, состоящие из сколь угодно большого наперед заданного числа. Причем все значения из этих наборов являются точными, а все решения построенного уравнения — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самого уравнения.

Кроме того, построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными ограниченными коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат одно то же счетное множество метрически и топологически существенных значений, причем все эти значения являются точными.

Далее, в ней также приводится линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой.

В третьей главе диссертационной работы доказано существование периодической двумерной системы, спектры полной и векторной частот которого содержат один и тот же конечный набор, состоящий из сколь угодно большого наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений. Причем все значения из этого набора являются точными, а все решения построенной системы — периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самой системы.

Кроме того, доказано существование двумерной системы с одним и тем же счетным множеством значений полных и векторных частот ненулевых решений. Все предъявляемые значения частот и в этом случае являются точными, а также метрически и топологически существенными.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению спектров треугольных систем и разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных систем.

А именно, доказано, что спектры полных и векторных частот линейных треугольных систем состоят из только одного нулевого значения, а на множестве двумерных систем приведен пример точки, в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Таким образом, в диссертации получен частичный ответ на вопрос об описании возможных спектров частот неавтономных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, линейных двумерных систем и линейных треугольных систем произвольной размерности. Кроме того, установлена разрывность крайних частот на множестве линейных двумерных систем (не имеющая места на подмножестве систем, отвечающих линейным уравнениям второго порядка).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ее автора [77-84].

Формулировки основных результатов

Для заданного п € N обозначим через Л4п множество линейных однородных дифференциальных сист,ем

х = A(t)x, х в Rn, t в Ш+ = [0, оо),

каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией А : R+ —EndR71.

Обозначим через Vй подмножество множества Л4п, состоящее из периодических систем. Множество всех ненулевых решений х : R+ —» Rn системы А 6 Л4п обозначим через S*(A).

Определение I [62, 63]. Для каждой системы А е Мп, произвольного решения х g вектора т € R™ и момента t > о

обозначим через и(х, m, t) число нулей (возможно, бесконечное) скалярного произведения (х(т),т) на промежутке г € (0, t], а верхней (нижней) полной и векторной частотами решения х назовем величйны

7Г , ч / „ , . . „ 7Г

а(х) = inf lim — vix, т, t) [ äix) = inf lim —vix.m.t)

v ' meR" t-»CO t \ t^a t

7Г , ч It/ \ . „ 7Г

С(ж) = lim inf —vix.m.t) Cix) = lim inf —vix.m.t) Sv > i-oomeR" t K ' V i^meR" t V '

В случае совпадения верхней полной (векторной) частоты решения х с нижней будем называть ее точной и обозначать просто сг(х) (соответственно

В множестве Л4п естественным образом выделим подмножество Вп систем, имеющих матрицы вида

/О 1 ... О \

л®=\ о 'о' ::: г

\-an(t) —an-i{t) ... -ai{t) )

и отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям п-го порядка

У(п) + ai(*)2/(n-1) + ... + an-i(t)y + an(t)y = О, t 6 R+,

каждое из которых задается своей ограниченной непрерывной вектор-функцией

а = (ai,..., ап): R+ —> R",

преобразуется в систему А стандартным переходом [85] от скалярной переменной у к векторной

х = фпу = (у,г/,...,у{п-1))

и отождествляется с этой системой.

Множество всех ненулевых решений у: R+ —» R уравнения а 6 £п обозначим через ¿>*(а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II [53, 73]. Для каждого уравнения а € произвольного решения у € S*(a) и момента t > 0 обозначим через v(y,t) число нулей функции у на промежутке (0;i], а верхней и нижней частотами нулей решения у назовем величйны

_ 7Г 7г

НУ) = Jim т НУ, t) и НУ) = Дш - НУ,

причем в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

Через £п обозначим множество линейных однородных дифференциальных уравнеииий п-го порядка с непрерывными (не обязательно ограниченными) на R+ коэффициентами. Для каждого решения у G (а) любого уравнения а 6 £п харектеристики колеблемости (полная частота, векторная частота и характеристическая частота нулей) определяются так же как и в определениях I и II.

С каждой из частот х, описанных в определениях I и II, и с каждой системой А € A472 (а в случае н = Р, v только с системой А € £п) можно связать функционал

<S*(yl) ->R+.

Определение III. Спектром частоты ха системы А е М.п назовем область ее значений, а значение частоты х, принадлежащее спектру системы Л, назовем:

а) метрически существенным [69], если оно принимается на решениях х Е множество наборов ж(0) G Rn начальных

значений которых содержит множество положительной меры в Rn;

б) топологически существенным [70], если оно принимается на решениях х £ <S*(А), множество наборов ж(0) е Кп начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством U С Rn, служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.

ТЕОРЕМА I (теорема 2 в главе 2). Существует уравнение а Е имеющее последовательность решений yi,y2,■■■ с

точными частотами, удовлетворяющими условиям

= СЫ = Hvi) = 2Л % € N,

причем все эт,и значения част,от являются существенными (и метрически, и топологически).

ТЕОРЕМА II (теорема 3 в главе 2). Существует уравнение а £ £3, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат, один и тот, же отрезок числовой оси.

ТЕОРЕМА III (теорема 4 в главе 3). Для любого N 6 N существует система А € V2, имеющая такие N решений Х\,... ,xn € с точными частотами, удовлетворяющими

условиям

a(xi) = C(xi) = jj, г = 1,..., iV,

причем все эти значения полных и векторных частот являются существенными (и мет,рически, и топологически).

ТЕОРЕМА IV (теорема 5 в главе 3). Существует система А € A42, имеющая такую последовательность решений х\, Х2, ■ ■ ■ Е ¿>*(Л) с точными частотами, удовлетворяющими условиям

a{Xi) = C(xi) = 1 - 2~\ г € N, причем все эти значения полных и векторных част,от являются существенными (и метрически, и топологически).

По каждой из величин х = <т, ¿г, £ образуем крайние частоты системы А € Л4п, а именно, младшую и старшую частоты

я\(А) = inf ?с{х), Xn(Ä) = sup >с{х). xeS,{A) xeS*(A)

В дальнейшем все крайние частоты будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Л4п с

естественными для функций линейными операциями и равномерной на R+ топологией, задаваемой нормой

\\А\\ = sup\A(t) |.

te R+

ОПРЕДЕЛЕНИБ IV [48]. Для системы А G Мп обозначим через В(А) множество систем В G Л4п: удовлетворяющих условию

Hm|£(i)-j4(t)| = 0,

t—> оо

при выполнении которого возмущение В — А назовем бесконечно малым. Скажем, что функционал, определенный на А4п, инвариантен в точке A G ЛЛп относительно бесконечно малых возмущений, если его сужение на множество В(А) есть константа.

ТЕОРЕМА V (теорема 7 в главе 4). В пространстве АЛ2 существует точка, в которой пи одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даэюе инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Используемые обозначения

В главах диссертации принята двойная нумерация формул, сквозная нумерация лемм и сквозная нумерация теорем.

Приведем список наиболее часто используемых в работе обозначений:

• N, R — множества натуральных и действительных чисел соответственно;

• R+ = [0; оо) — временная полуось;

• EndRn — множество всех линейных операторов, действующих из Rn в Rn;

• Мп — множество линейных однородных дифференциальных систем первого порядка с ограниченными непрерывными на R+ коэффициентами;

• Тп — множество линейных однородных треугольных дифференциальных систем первого порядка с ограниченными непрерывными на М+ коэффициентами;

• || Л || = |Л(£)| — равномерная норма в пространстве Л4п;

• £п — множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными непрерывными на коэффициентами;

• £п — множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с непрерывными ( не обязательно ограниченными) на коэффициентами;

• Vй — множество линейных однородных дифференциальных систем первого порядка с периодическими непрерывными на коэффициентами;

• а = (а1,..., ап): —» Мп — набор коэффициентов линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка, отождествляемый с самим уравнением;

• |с| = тах{|с1|,..., |сп|} — норма вектора с = (с\,..., сп) £ К";

• 5(Л) — линейное пространство всех решений системы А £ Л4п;

• (Л) — множество всех ненулевых решений системы Л £ Л4п;

• 5(а) — линейное пространство всех решений у:Ш+ —>М уравнения а £ £п]

• (а) — множество всех ненулевых решений у:Ж+—> К. уравнения а £ £п\

I 2/(0) \ 2/(0)

фу( 0) =

£ Еп — набор начальных значений

\ ¿/^(О) / решения у £ ¿>(а) какого-либо уравнения а £ £п;

— число нулей функции у на промежутке (();£];

• — число нулей функции (ж, га) на промежутке (0;£];

• и — V, а, С — общее обозначение для частоты >с в одном из перечисленных смыслов;

• -> ~ частота, как функционал на множестве ненулевых решений какой-либо системы А £ Л4п;

• и(у, в) = и(у, Ь) — у(у, в) — число нулей функции у на промежутке (з,£];

• 1>(х, т, £, 5) = 1>(х, т, £) — и(х, га, в) — число нулей функции (х,т) на промежутке (з,£];

7Г

• 1>(у) = lim —u(y, t) — верхняя частота нулей решения у 6 SAa)\

t—»00 t 7Г

• v(y) = lim —v{y, t) — нижняя частота нулей решения у 6 «5*(а);

£—>00 t

TT

• ä(x) = inf lim —v(x, m, t) — нижняя полная частота решения х е

_

• сг(х) = inf Hm — u(x, т, t) — верхняя полная частота решения

х е £*(Л);

7Г

• С(ж) = lim inf —v{x, т, t) — нижняя векторная частота решения х Е S*(А);

__7Г

• £(х) = lim inf —u(x,m,t)— верхняя векторная частота решения х 6 S*(Л);

• öi(A) = inf cr(x) — нижняя младшая полная частота системы А е Мп;

• сг\(А) = inf а(х) — верхняя младшая полная частота системы

xeSt(A)

АеМп;

• Ci(^) = inf Цж) — нижняя младшая векторная частота

хе5,(Л)

системы А £ Л4п;

• Сх(-Д) = inf С(х)— верхняя младшая векторная частота системы А € Л4п;

• &п(А) = sup а(х) — нижняя старшая полная частота системы

х€5.(Л)

А в Мп;

• о'п(А) = sup &(х) — верхняя старшая полная частота системы

АеМп;

• Сп(^) — SUP С(ж) ~~ нижняя старшая векторная частота

xeS*{A) системы А 6 Мп\

• Сп(А) = sup С(ж)— верхняя старшая векторная частота

xeSt(A)

системы А € Мп.

Глава 1

Основные понятия и факты

В настоящей главе даются необходимые определения и доказываются вспомогательные утверждения, используемые в последующих главах диссертации.

1.1 Определение характеристик колеблемости

Для заданного п € N обозначим через Л4п множество линейных однородных дифференциальных систем

X = A(t)x, хеш4, t е R+ = [0, оо),

каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией А : R+ —> EndRn. Линейное пространство всех решений х : R+ —» R™ системы А £ АЛп обозначим через а подмножество всех его ненулевых решений

— через 5*(Л).

Для заданных вектора и вектор-функции

т = (шь ..., тп) е R", х = (жь ..., хп) : R+ -»• Rn

обозначим через и(х, т, t) — число нулей (возможно, бесконечное) скалярной функции

(х(т), тп) = х\(т)гп\ Н-----h хп(т)тп, г € (0, t}.

определение 1 [62, 63]. Каждой функции X : R+ Rn поставим в соответствие его верхнюю (нижнюю) полную и

векторную частоты

_ 7Г / 7Г \

а(х) = inf lim —и(х, га, t) ( а(х) = inf lim —v(x, га, t) , V ' meRn t—>oc t x ' V K ' meR'4t V JJ

C(x) = lim inf —u(x,m,t) ( <Г(я) = Hm inf —vix.m.t) 1 .

' Hoomer t K ' V t ')

В случае совпадения верхней полной (векторной) частоты решения х с нижней будем называть ее точной и обозначать просто сг(х) (соответственно С{х))-

Определенные частоты функции х могут быть наглядно представлены следующим образом. Пусть Рт — гиперплоскость в Rn (проходящая через начало координат) с нормалью mEl" (случай 7?2 — 0, когда v(x,rn,t) — ос, интереса не представляет). Тогда:

• полная частота — это частота наименее колеблющейся координаты вектор-функции х (по своему геометрическому смыслу она отвечает за частоту вращения вектора x(t) вокруг нуля: действительно, всякому пересечению этим вектором той гиперплоскости, в которую она попадает реже всего, можно поставить в соответствие по меньшей мерс однократное пересечение им всех остальных гиперплоскостей, что несколько напоминает полуоборот);

• если в процессе усреднения величины и(х, т, t) специальным образом манипулировать вектором т, выбирая для каждого значения t 6 М+ ту гиперплоскость Рт, число попадании в которую за время от 0 до t оказывается наименьшим, то в результате такого усреднения получится векторная частота функции х.

Кроме того, при любых t > s ^ 0 введем обозначения и(х, т, t, s) = и(х, т, t) — и(х, т, s)

для числа нулей функции (ж, га) на промежутке (s,£].

Заметим, что если х — фиксированное ненулевое решение линейной однородной системы, то:

1) векторная и полная частоты решения х не зависят от выбора координат в М";

2) функция и(х, т, Ь) является нестрого возрастающей по аргументу £ £ или, что то же, имеет место неравенство

и(х, т, ^ О, ¿>,§^0;

3) величина и(х, т,, ¿) принимает лишь дискретные значения, поэтому точные нижние грани в определении 1 непременно достигаются на конкретных векторах т £ Мп и могут быть заменены минимумами.

В множестве М.п естественным образом выделим подмножество Еп систем, имеющих матрицы вида

/0 1 ... 0 \ = ... ... ••• ^

\ -ап(г) -ап-1(г) ... —а\{{) /

и отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям п-го порядка

уМ + агфу^ + ... + сь-гМу + ап{1)у = 0, £ £ М+,

каждое из которых задается своей ограниченной непрерывной вектор-функцией

а ее (аь...,ап): Е+ Жп,

преобразуется в систему А стандартным переходом [85] от скалярной переменной у к векторной

х = фпу = {у,у,...,у<п-Ъ)

и отождествляется с этой системой.

Линейное пространство всех решений у: М+ —> М уравнения а £ £п обозначим через «5(а), а подмножество всех его ненулевых решений — через (а).

Для каждого уравнения а £ £п, произвольного решения у £ Я* (а) и момента t > 0 будем понимать под выражением и(у, ¿) число нулей функции у на промежутке (0;£]. Кроме того, при любых £>5^0 введем обозначения

и(у, £, з) ЕЕ и{у,г) -для числа нулей функции у на промежутке (й,£].

Заметим, что если у — фиксированное ненулевое решение линейного однородного уравнения n-го порядка, то:

1) оно ни на каком промежутке не может иметь бесконечно много нулей, поэтому величины ь>{у, t) и и(у, £, s) принимают только конечные значения:

2) функция и{у, t) является нестрого возрастающей по аргументу t £ R+ или, что то же, имеет место неравенство

v(y,t,s) > О, t > s ^ 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 [53, 73]. Верхней и нижней частотами нулей решения у £ <S*(a) будем называть величины

_ 7Г 7г

и (у) ее lim -и(у, t) и й(у) = lim -и(у, t),

t^oo t t—>oc t

а в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

Величины и (у), v{y) неотрицательны, конечны (см. теорему I с замечанием 9 в работе [53]) и удовлетворяют неравенствам v ^ z>.

Через £п обозначим множество линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка с непрерывными (не обязательно ограниченными) па R+ коэффициентами. Для каждого решения у £ <S* (а) любого уравнения а £ £п характеристики колеблемости (полная частота, векторная частота и характеристическая частота нулей) определяются так же, как и в определениях 1 и 2.

1.2 Спектры частот уравнений и систем

С каждой из частот >с, описанных в определениях I и II, и с каждой системой А £ Ain (а в случае я = 0, v только с системой А £ £п) можно связать функционал

5*(Л)-+R+. (1.1)

Определение 3. Спектром частоты на (1.1) системы А £ М.п назовем множество

Sp«{A) = {хА(х)\х е S*{A)},

а значение частоты ус, принадлежащее спектру системы Л, назовем:

а) метрически типичным, если оно принимается на решениях х £ <5*(Л), множество наборов ;с(0) £ Мп начальных значений которых имеет полную меру в Мп;

б) метрически существенным [69], если оно принимается на решениях х 6 <5>*(Л), множество наборов ж(0) £ Еп начальных значений которых содержит множество положительной меры в Кп;

в) топологически типичным, если оно принимается на решениях х £ <5>*(Л), множество наборов ж(0) £ начальных значений которых служит дополнением к множеству первой категории Бэра [36, глава 1, §10], или содержит всюду плотное множество типа С5 (т. е. представимое в виде счетного пересечения открытых и всюду плотных множеств);

г) топологически существенным [70], если оно принимается на решениях х £ <5>*(Л), множество наборов ж(0) £ начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством 17 с служит дополнением в 17 к множеству первой категории Бэра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сташ, Айдамир Хазретович, 2013 год

Литература

[1] Асташова И.В. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 2005. Вып. 25. С. 3-17.

[2] Асташова И.В. О задаче H.A. Изобова для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 898-899.

[3] Асташова И.В. О поведении на бесконечности решений квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 2009. 45. №11. С. 1671.

[4] Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И.В. Асташова и др.; под ред. И.В. Асташовой - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

[5] Барабанов Е.А. Строение множества нижних показателей линейных дифференциальных систем / / Дифференц. уравнения. 1989. 25. №12. С. 1084-1085.

[6] Барабанов Е.А. О вычислении показателей решений линейных дифференциальных систем по временным геометсрическим прогрессиям// Дифференц. уравнения. 1997. 33. №12. С. 15921600.

[7] Бурлаков Д.С., Цой С.В. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной системы //Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1662-1663.

[8] Быков В.В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996. 51. Вып. 5. С. 186.

[9] Былов В.В. Классификация Бэра сг-показателей Изобова // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №11. С. 1574.

[10] Былов Б.Ф. Почти приводимые системы. Автореф. дисс... докт. физ.-мат. наук. Мн.: АН БССР, 1966.

[11] Былов Б.Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1970. 6. №2. С. 243-252.

[12] Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

[13] Ветохин А.Н. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 1995. 31. №5. С. 909-910.

[14] Ветохин А.Н. Точный класс Бэра экспоненциального показателя Изобова в равномерной топологии // Дифференц. уравнения. 1999. 35. №11. С. 1578-1579.

[15] Виноград Р.Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // Докл. АН СССР. 1953. 91. №5. С. 9991002.

[16] Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. 42. С. 207-222.

[17] Горицкий А.Ю. Характеристические частоты линейных комбинаций синусов // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №6. С. 860.

[18] Горицкий А.Ю., Фисенко Т.Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №4. С. 479-486.

[19] Дементьев Ю.И. О классах Бэра старшего показателя Ляпунова систем, линейно зависящих от параметра // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Математика. 1999. №16. С. 5-10.

[20] Дементьев Ю.И. Подвижность показателей Ляпунова под действием бесконечно малых возмущений // Дифференц. уравнения. 2001. 37. №11. С. 1575.

[21] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

[22] Зорич В.А. Математический анализ. II. М.: Наука, 1984.

[23] Изобов H.A. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. 1. №4. С. 469-477.

[24] Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной диагональной системы / / Дифференц. уравнения. 1976. 12. №11. С. 1954-1966.

[25] Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. 12. С. 71-146.

[26] Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. 26. №1. С. 5-8.

[27] Изобов H.A. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Матем. заметки. 1984. 35. №2. С. 189-199.

[28] Изобов H.A. О кнезеровских решениях // Дифференц. уравнения. 1985. 21. №4. С. 581-588.

[29] Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034-2055.

[30] Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: Б ГУ, 2006.

[31] Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения // Докл. АН СССР. 1962. 144. №1. С. 33-36.

[32] Кигурадзе И.Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. 10. №8. С. 1387-1398 и №9. С. 1586-1594.

[33] Кигурадзе И.Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1992. 28. №2. С. 207-219.

[34] Кондратьев В.А. О колеблемости решений уравнения +р(х)у = 0 // Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. 10. С. 419-436.

[35] Кондратьев В.А. О колеблемости решений дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков // Докл. АН СССР. 1968. 118. Ш. С. 22-24.

[36] Куратовский К. Топология. 1. М.: Мир, 1966.

[37] Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения

+Pi(t)x{n~l) Н-----Vpn{t)x = 0 // Успехи матем. наук. 1969. 24.

т. С. 43-96.

[38] Левин А.Ю. Избранные труды. Ярославль, Рыбинск: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2010.

[39] Макаров Е.К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференц. уравнения. 1989. 25. №2. С. 209-212.

[40] Макаров Е.К. О реализации частичных показателей решений линейных дифференциальных систем на геолметрических прогрессиях // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №4. С. 495499.

[41] Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский матем. журнал. 1969. 10. №1. С. 99-104.

[42] Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. 5. №10. С. 1775-1784.

[43] Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16. №8. С. 14081416.

[44] Мирзов Дж.Д. Асимптотические свойства решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Майкоп: РИПО «Адыгея», 1993.

[45] Мирзов Дж.Д. О колебаниях по Немыцкому решений систем дифференциальных уравнений // Избранные труды 8ТАВ04: Избранные труды VIII международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», М., Инст-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2-4 июня 2004 — Электронное издание.

[46] Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. 31. №6. С. 925-931.

[47] Рахимбердиев М.И. О центральных показателях линейных систем // Дифференц. уравнения. 1983. 19. №2. С. 253-259.

[48] Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166.

[49] Сергеев И.Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. 36. №3. С. 345-354.

[50] Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

[51] Сергеев И.Н. Подвижность характеристических частот линейного уравнения при равномерно малых и бесконечно малых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

[52] Сергеев И.Н. О классах Бэра характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. 41. №6. С. 852.

[53] Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

[54] Сергеев И.Н. Неравенства между главными частотами нулей и знаков линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2006. 42. №6. С. 855.

[55] Сергеев И.Н. Класс Бэра старшей частоты корней линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2006. 42. №11. С. 1573.

[56] Сергеев И.Н. О различной зависимости от параметра главных частот нулей, знаков и корней линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2007. 43. №6. С. 853.

[57] Сергеев И.Н. Общие свойства главных частот линейного уравнения / / Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского: Тезисы докладов — М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 282-283.

[58] Сергеев И.Н. О несуществовании ляиуновской частоты решений линейных неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №11. С. 1579.

[59] Сергеев И.Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения / / Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механ. 2009. №3. С. 25-33.

[60] Сергеев И.Н. О предельных значениях показателей линейных уравнений // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №11. С. 16641665.

[61] Сергеев И.Н. Класс Бэра крайних характеристических частот линейных дифференциальных уравнений // Современные проблемы математики и механики. VI. Математика. Вып. 1. К 105-летию С.М. Никольского — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 111-117.

[62] Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравн. 2008. 44. № 11. С. 1577.

[63] Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009. 45. № 6. С. 908.

[64] Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46. № 11. С. 1667-1668.

[65] Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости ляпуновского типа // Международная математическая конференция «Пятые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям»: тез. докладов Международной научной конференции. Мн., 7-10 декабря 2010 г. — Мн.: Инст-т математики HAH Беларуси, 2010. С. 73-74.

[66] Сергеев И.Н. Комплексные характеристические показатели экспоненциально разделенных систем / / Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 900-901.

[67] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 906-907.

[68] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механ. 2011. №6. С. 21-26.

[69] Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1661-1662.

[70] Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем / / Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1567-1568.

[71] Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия матем. 2012. 76. №1. С. 149-172.

[72] Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. С. 119-138.

[73] Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414-442.

[74] Сергеев И.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Издательский центр «Академия», 2013.

[75] Смоленцев М.В. О спектрах частот периодического и непериодического линейного дифференциального уравнения // Диффсрснц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 909.

[76] Смоленцев М.В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1571-1572.

[77] Сташ А.Х. О множестве значений полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1665.

[78] Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 908.

[79] Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных систем // Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Международной конференции молодых ученых, Терскол, 28 ноября - 1 декабря 2012 г. — Нальчик: ООО «Редакция журнала «Эльбрус», 2012. С. 211-212.

[80] Сташ А.Х. О множестве значений полных частот решений линейных уравнений третьего порядка/ / Материалы IX Международной научной конференции молодых ученых «Наука. Образование. Молодежь», 9-10 февраля 2012 г. — Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. Т. I. С. 324-328.

[81] Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот двумерных линейных дифференциальных систем / / Дифференц. уравнения. 2013. 49. №6. С. 807-808.

[82] Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка / / Вестник Адыгейского

государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-23. URL: http://vestnik.adygnet.ru

[83] Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот / / Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17. URL: http://vestnik.adygnet.ru

[84] Сташ А.Х. Свойства полных и векторных частот решений двумерных линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2013. 49. №11. С. 1497-1498.

[85] Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

[86] Фурсов A.C. Критерии существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы // Дифференц. уравнения.

1993. 29. №11. С. 2011-2012.

[87] Фурсов A.C. Размерность пространства решений медленного роста линейной неоднородной системы // Успехи матем. наук.

1994. 49. Выи. 4. С.143.

[88] Цой C.B. Пример несовпадения полной и векторной частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2013. 49. №6. С. 815.

[89] Чантурия Т.А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1980. 16. №3. С. 470-482.

[90] Чантурия Т.А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида // Дифференц. уравнения. 1986. 22. №11. С. 1905-1915.