О характеристиках блуждаемости и колеблемости ляпуновского типа решений дифференциальных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Миценко Вадим Валериевич

• Миценко Вадим Валериевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Миценко Вадим Валериевич

1.1 Основные определения

1.2 Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости

1.3 Вырожденность спектра характеристик блуждаемости и колеблемости для линейных одномерных систем

2 Точные границы спектров характеристик блуждаемости

и колеблемости

2.1 Точные границы спектров диагональных систем произвольной размерности

2.2 Точные границы спектров треугольных систем произвольной размерности

2.3 Точные границы спектров систем, отвечающих линейным уравнениям второго порядка

3 Оценка спектра характеристик блуждаемости линейного

уравнения

3.1 Спектр скорости блуждания одной системы, отвечающей линейному уравнению второго порядка

3.2 Достаточное условие близости характеристик блуждаемости к нулю систем, отвечающим линейным уравнениям

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность темы исследования

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений.

Важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений играют линейные системы, которые служат основой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые порождают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения различных асимптотических свойств решений системы.

Среди важнейших направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений особое место занимают теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионгцикова и Изо-бова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений уравнений или систем.

В теории же колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград

[15, 16], Б.Ф. Былов [11, 12], В.М. Миллионщиков [42, 43, 44], H.A. Изобов [22, 24, 25], М.И. Рахимбердиев [56, 57], H.H. Сергеев [58, 65], Е.К. Макаров [40, 41], С.Н. Попова [54, 55], Е.А. Барабанов [5, 6], О.И. Морозов [52, 53], A.C. Фурсов [69, 70], А.Н. Ветохин [13, 14], В.В. Быков [8, 9], Ю.И. Дементьев [19, 20] и другие. Здесь указаны далеко не все работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [23, 28] и монографиях [10, 29].

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить

B.А. Кондратьева [34, 35], И.Т. Кигурадзе [30, 31, 32], Т.А. Чантурия [73, 74], А.Н. Левина [36, 37], H.A. Изобова [26, 27], И.В. Асташову [1, 2, 3],

C.Д. Глызина, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова [17, 18] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [36] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено прежде всего на получение коэффициентных (т. е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

В 2004 г. H.H. Сергеев в докладе [59] впервые ввел понятие характеристической частоты v(у) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. Позже в статьях [60, 61] им также были определены различные модификации характеристических частот, а именно были определены полная а (ж) и вектор нал Z (ж) частоты вектор-функции ж, а в работе [62] были впервые введены характеристики блуждаемости вектор-функции x: скорость блуждания д(х), показатель блуждаемости р(х) и показатель блуждания п(х), которые, как оказалось (см. работы [63, 65, 7, 68, 67]), имеют тесную связь с определенными ранее характе-

ристиками колеблемости. В дальнейших его работах изучались свойства введенных характеристик и взаимосвязи, имеющиеся между ними.

Частоту решения можно интерпретировать как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины п. Оказалось [59], что на решениях линейных однородных уравнений с ограниченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения, что позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции y (t) = sin wt ее частоту v (y) = w (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения, ставя в соответствие вектор-функции x с норм о й |x(t)| = exp At ее показатель X(x) = A)-

Подсчет полной и векторной частоты вектор-функции происходит путем усреднения числа нулей проекции этой функции на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получается полная частота a(x), а если после — то векторная частота Z (x). По своему геометрическому смыслу

x

Оказалось [66], что на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами эти характеристики колеблемости принимают лишь конечные значения (при этом полная и векторная частоты решения y линейного уравнения n-ro порядка определяются как величины a(x) и Z(x) соответственно, где x = (y, y,... ,y(n-1))).

Таким образом, оставался открытым вопрос о нахождении точных границ спектров (множества значений на всех ненулевых решениях) характеристик колеблемости на множестве решений линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами. В настоящей работе найдены точные границы спектров характеристик колеблемости на множестве решений линейных однородных уравнений второго порядка, а также диагональных и треугольных линейных систем произвольной размерности.

Характеристики блуждаемости, в свою очередь, могут быть интерпре-

x

x

на единичной сфере за определенный промежуток времени, а показате-

ли блуждания или блуждаемости функции х получаются минимизацией (зависящей или не зависящей от отрезка усреднения) ее скорости блуждания по всем преобразованиям координат. Следовательно, эти показатели содержат только ту информацию о траектории на сфере, которая не гасится невырожденными линейными преобразованиями: так, они учи-

х

врагцения вокруг какого-либо другого вектора.

В работе [62] было доказано, что все показатели блуждаемости на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами также принимают лишь конечные значения. Кроме того, в работах [38, 39] были исследованы границы спектров скорости блуждания д для множества двумерных линейных систем и линейных однородных уравнений второго порядка. Таким образом, оставались неизвестными точные границы спектров остальных характеристик блуждаемости на множестве решений линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами. В настоящей работе найдены точные границы спектров показателей блуждаемости и блуждания для линейных однородных уравнений второго порядка, а также диагональных и треугольных линейных систем произвольной размерности.

В статье [64] было доказано, что спектр любой из величин п, р, 0, С, V на множестве решений одной системы, отвечающей линейному уравнению второго порядка, в некотором смысле вырожден - состоит ровно из одного числа. Однако оставался открытым вопрос касательно невырожденности спектра показателя д. И в настоящей работе найдено такое уравнение, па множестве решений которого спектр показателя д не только не вырожден, но и содержит целый отрезок числовой прямой.

Кроме того, известно [66], что все показатели блуждаемости ограничены сверху равномерной нормой || Л|| (в пространстве фиксированы базис и связанная с ним стандартная евклидова структура) системы Л, что однако не позволяет для систем, отвечающих линейным однородным уравнениям произвольного порядка, уменьшая коэффициенты эквивалентного ей уравнения гарантировать близость к нулю показателей ее решений. В той же работе [66] было доказано, что данная близость имеет место для всех характеристик колеблемости, а в настоящей работе доказано, что данная близость имеет место и для показателей блуждания и блуждаемости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О характеристиках блуждаемости и колеблемости ляпуновского типа решений дифференциальных систем»

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является исследование спектров характеристик колеблемости и блуждаемости для диагональных и треугольных линейных однородных дифференциальных систем (с ограниченными коэффициентами), а также для систем, отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям (с ограниченными коэффициентами) .

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

• получены точные границы спектров показателей блуждания и блуждаемости, а также всех характеристик колеблемости для диагональных и треугольных линейных однородных дифференциальных систем произвольной размерности (с ограниченными коэффициентами);

•

даемости, а также всех характеристик колеблемости для систем, отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка (с ограниченными коэффициентами);

•

му однородному дифференциальному уравнению второго порядка (с ограниченными коэффициентами), спектр скорости блуждания которой содержит отрезок числовой прямой;

•

лю для решений систем, отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям произвольного порядка с малыми коэффициентами .

Методы исследования

В работе применяются аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и математического анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

• Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под рук. проф. И.В. Аста-шовой, проф. A.B. Боровских, проф. Н.Х. Розова, проф. И.Н. Сергеева (неоднократно: 2012-2015).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

математического факультета МГУ по итогам года (г. Москва, декабрь 2014 г.);

управления и математическое моделирование», посвященная памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, июнь 2015 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ [45]-[51]. Работ в соавторстве нет.

Автор глубоко признателен профессору Игорю Николаевичу Сергееву за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе. Автор также благодарен доценту Быкову Владимиру Владиславовичу за организационную и моральную поддержку.

Формулировки основных результатов

Для натурально числа n обозначим через Mn множество систем вида

ж = A(t)x, ж g Rn, t g R+ = [0,

где матричная (в Rn фиксирован правый базис) функция (отождествляемая в дальнейшем с самой системой) A : R+ ^ End Rn кусочно непрерывна.

В множестве Mn выделим подмножества диагональных и треугольных систем

/an(t) 0 ... 0 V

0 «22 (t) ... 0

D ={ A g Mn | A(t) =

V

0

0

77 =< A g Mn | A(t) =

( «11(t) «12(t) 0 «21 (t)

V

0

0

ar

■w/ J

«1n(t)\ «2n(t)

ar

(t)

с ограниченными коэффициентами |a,j(t)| < d, t G R+, 1 < i, j < n, a

/^0 1 ... 0 \ 1

также множество систем /

= < A g Mn | A(t) =

0

0

^ —ttn(t) —«n-1(t) ... —«l(t) у

с ограниченными коэффициентами |a«(t)| < d, t G R+, 1 < i < n,

n

У

(n)

+ «1(t)y(n—1) + ••• + «n(t)y = 0, t G R+,

A

y

ж = # = (y,y ,...,y(n—1)).

Пусть S*(A) - множество всех ненулевых решений системы A G Mn, а множество Aut Rn состоит из всех невырожденных линейных операторов A G End Rn.

1

Определение 1. Каждому решению х € (А) системы А е Мп поставим в соответствие следующие его ляпуновские характеристики блуждаемости: нижнюю (верхнюю) скорость блуждания, нижнии (верхний) показатель блуждаемости и, соответственно, нижний (верхний) показатель блуждания

Д(ж) = lim -y(x,t),

t—уж t

p(x) = inf ü(Lx),

LeAut r«

n(x) = lim - inf y(Lx,t),

t LeAut rn v у

где

Y(z,t) =

d f z (t)

dt vjz(t)l

-

M(x) = t—m ~Y(x,t)J ,

p(x) = inf w(LxH ,

LeAut r« у

1

П(x) = lim - inf y(Lx,t) ,

t—ж t Lg Aut Rn /

dT и jzj = ^ z2 + ... + z_2.

Для вектор-функции x : R+ — Rn (гДе здесь и далее Rn = Rn\{0}), x = (xi,..., xn)T, числа t > 0 и вектоpa m = (mi,..., mn)T e Rn обозначим через v(x,m,t) количество гиперкратных нулей скалярного произведения

(x(t ), m) = mixi(T) + m2x2(T) +-----+ mnxn(T), (1)

па промежутке (0, t], где в процессе подсчета этого количества:

а) каждый некратный корень берется ровно один раз;

б) любой кратный корень берется бесконечно много раз независимо от его фактической кратности; другими словами, как только хотя бы в одной точке To e (0; t] выполнены одновременно оба равенства

(x(to ), m) = (x(to), m) = 0,

так сразу считается выполненным v(x,m,t) = ж, в противном случае величина v(x, m, t) считается равной числу нулей функции (x, m) на промежутке (0,t],

Определение 2. Каждому решению x e S*(A) системы A e Mn m e Rn

( x, m)

п / л — п \

i>m(x) = lim — v(x, m, t) (vm(x) = lim — v(x, m, t) , t—^00 t V t /

t

а под нижней (верхней) полной частотой нулей и нижней (верхней) векторной частотой нулей решения x будем понимать

<r(x) = inf lim —v(x,m,t) | K(x) = inf lim —v(x.m.iH ,

V 7 mGM? ^ t У > V W m€M? t^c» t V ' ' V

~ П / л __П \

C(x) = lim inf —v(x,m,t) Z(x) = lim inf —v(x,m,t) .

V ^ ^ mGM? t V ' ' ' V ^ m€M? t V ' ' ')

Определение 3. Спектром какой-либо величины к : S*(A) ^ R для системы A G Mn назовем область ее значений

SPk(A) = {к(x)| x G S*(A)}, а для произвольного подмножества H С Mn обозначим

SPk(H) = {K(x)| x G U S*(A)}.

agh

В дальнейшем, говоря о том, что для какого-либо из показателей к = д, р, n, vm, а, Z справедливо то или иное утверждение, будем подразумевать, что данное утверждение справедливо одновременно для обоих показателей к и к.

Переходя к формулировкам основных результатов диссертации, заметим, что при n = 1 спектр всех названных выше величин для любой системы A G Mn состоит ровно из одного числа 0 (замечание 1 в п. 1.3).

ТЕОРЕМА I (теоремы 1 и 2 в п. 2.1). Для любых чисел n G Nu d > 0 и любого из показателей к = а, Z, П, Р справедливо равенство

SPk (D) = {0},

n > 1

SpM(Dn) = [0, d].

Для натурального n > 1 обозначим через RD множество векторов m = (mi,... , mn)T G Rn, У которых как минимум две координаты отличны от 0

RD = {m G Rn | Зг = j, 1 < г, j < n : m, • m^ = 0}, а через R+ будем обозначать множество R+ дополненное точкой ж.

ТЕОРЕМА II (теорема 3 в п. 2.1). Для любых чисел п > 1, п € N и й > 0 и любого вектора т € КП справедливы соотношения

Spvm (Dn)= R+, m G RD,

и

Spvm(Dn) = {0, ж}, m G RD.

ТЕОРЕМА III (теоремы 4 и 5 в п. 2.2). Для любых чисел n G Nu d > 0 w любого из показателей к = а, (,П,Р справедливо равенство

SPk (77) = {0},

npw этом если n > 1; то

Spp(7dn) = [0,d].

Для натурального п > 1 обозначим через КП множество векторов т = (т1,... , тп)Т € КП У которых только последняя координата отлична от 0

= {т € КП I тп = 0, тг = 0,г = 1,...п - 1}.

ТЕОРЕМА IV (теорема 6 в п. 2.2). Для любых чисел п > 1, п € N и й > 0 и любого вектора т € КП справедливы соотношения

SPvm(77) = R+, m G Rn,

и

SPvm(77) = {0, ж}, m G RT.

В множестве R2 каждому числу d > 0 поставим в соответствие подмножества векторов

R2- = \ m = (mi,m2f G R2 |

m2

REo = jm = (mi,m2f G R. | и

mi m2

<

2

mi

d + \/d2 + 4d 2

, m1 G R*, m2 G R ,m,G R..m, G r'

й + \/й2 + 4й;

= {т Е К2 I т Е и .

ТЕОРЕМА V (теорема 7 и следствие 1 в п. 2.3). Для любого числа й > 0 справедливо соотношение

[0,А(й)],

SPvm (Ej) = <!

m G R2 , Ed

[0, A(d)j и {ж}, m G R2o,

m G R2+,

Ed

из которого также вытекает цепочка равенств

Spa(E2) = Spc(E2) = Spn(E2) = Spp(E2) = [0; A(d)],

где

A(d) =

— 1

n

d

-i

\/4d - d2 ( n - 2 arctg ( - /_

2V V 4 -4d - d2,

2^W d-S

i

, 0 < d < 4,

d -4,

d > 4.

ТЕОРЕМА VI (теорема 8 в п. 3.1). Существует отрезок K С R+ такой, что для любого числа d > 1/2 и некоторой системы A G E2 справедливо включение

K С SpM(A).

ТЕОРЕМА VII (теоремы 9 и 10 в п. 3.2). Для любых чисел n G N и е > 07 а также любого из показателей к — n, Р существует такое число d > 0, ^mo для любой системы A G E^ справедливо неравенство

к(x) < е, x G S*(A),

npw этом, если n — 27 то справедливо еще и неравенство

д(х) < е, x G S*(A).

Глава 1

Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости

Основным результатом настоящей главы является доказательство некоторых вспомогательных свойств исследуемых величин, которые в дальнейшем используются при доказательстве основных результатов. Также в данной главе доказывается вырожденность спектра всех характеристик колеблемости и блуждаемости для линейных одномерных систем.

1.1 Основные определения

Основные определения и обозначения, используемые в данной работе, представлены во введении. В частности, в множестве кусочно-непрерывных систем Mn размерности n выделены подмножества диагональных Dn и шреугольных 7^ систем с ограниченными коэффициентами, а также множество систем ЕП (с ограниченными коэффициентами),

n

y(n) + ai(t)y(n-1) + • • • + an(t)y = 0, t G R+.

Каждая система A G Mn в дальнейшем отождествляется со своей матричной функцией A : R+ ^ End Rn, а через S*(A) обозначается множество всех ее ненулевых решений системы.

Каждому решению x G S*(A) системы A G Mn ставятся в соответствие его ляпуновские характеристики блуждаемости /, //, р, р, р, П (см. определение 1), а также характеристики колеблемости z>m,z>TO,<7, р,С,С (см. определение 2).

Спектром какой-либо величины к : S*(A) ^ R для системы A G Mn или подмножества H с Mn называется область ее значений (см. определение 3).

1.2 Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости

В дальнейшем, говоря о том, что для какого-либо из показателей к = д, р, п, ^то, а, ( справедливо то или иное утверждение, будем подразумевать, что данное утверждение справедливо одновременно для обоих показателей к и к.

Каждой непрерывной вектор-функции х : ^ ^ в каждый момент т поставим в соответствие функцию ^>(т), т € К+, являющуюся непрерывной (по т) ветвью угла, образуемого вектором х(т) с положительным направлением Ох1 оси абсцисс и отсчитываемого в положительном (против хода часовой стрелки) направлении.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Под угловой скоростью кусочно-непрерывно дифференцируемой вектор-функции х: ^ ^ будем понимать производную (/?(£) функции ^>(£), т.е. функцию, равную мгновенной (в момент £ € угловой скорости единичного вектора

х(£) _ (Х1(£),Х2(£))Т

(cos ^>(í), sin ^>(í))T =

где

А каждой непрерывной вектор-функции y : R+ y = (yi,...,yn)T, в каждый момент т поставим в соответствие набор из n скалярных функций (г(т), ^о(т), ^i(t),..., ^>п-2(т)), определяемых равенством

/г(т) cos ^о(т) sin ^i(t) sin (т) . . . sin ^п-2(т)\ г(т) sin ^о(т) sin <£i(t) sin ^2(т) . . . sin ^п_2(т) Г(т) cos ^i(t) sin ^2(т) . . . sin ^п-2(т)

Ыт л

У2(т )

\Уп(т))

\

г(т) cos ^п_з(т) sin ^п_2(т) г(т) cos ^п-2(т)

/

, т G R+.

(1.1)

ЛЕММА 1. Длл любой кусочно-непрерывно дифференцируемой вектор-функции х : К ^ справедливо равенство

Y(x,t) = |^(т)| dT, í G R+, о

(1.2)

t

а для любого натурального п > 2 и любой кусочно-непрерывно дифференцируемой вектор-функции у : К ^ КП справедливо равенство

Y (y,t) =

\

n-2

фП-2 + фП-3 • SÍn2 Фп—2(т) + • • • + ф2 • П Sin2 фг(т) )

i=1

gde t g r+ а ф¿ = ф¿ (т) - производная функции ф^(т) б момент г, i = 0,..., n — 2, и

4 d ( х(т)

Y(x,t) =

dT \|ж(т)|

dT, |x| = x2 + ... + x^.

Доказательство.

Разобьем доказательство на 2 этапа.

1. Рассмотрим сперва случай n = 2. Вектор x в полярных координатах в каждый момент времени т g R+ может быть представлен в виде

(г(т)cos ф(г)\, т g к+.

\г(т) sin ф(т)у

Тогда вектор ex = x/|x| при всех т g R+ будет равен вектору (cos ф(т), sin ф(т))т, а вектор éx примет вид

ф(т) • sin ф(т)\ V ф(т) • cos Ф(т) ) Следовательно, норма вектора é* будет равна

Í \ - (Х1(т) х(т) = } {

\х2(т )

те R+.

и

\J(ф(т))2 • sin2 ф(т) + (ф(т))2 • cos2 ф(т) = |ф(т)|, т g r+,

' х(т)

Y(x,t) =

|х(т )|

= |é*| dт = |ф(т)| dт,

что и требовалось доказать.

2. Вторую часть утверждения докажем по индукции. В случае п = 3 вектор у в сферических координатах в каждый момент времени т С может быть представлен в виде

/У1(т)\ А(т) сое (т)вт ^х(т)

У(т) = I У2(т) I = I г(т)вт ^о(т)вт <^(т) ) , т е К+. \У3(тУ \ г(т)с°8 ^1(т)

t

0

0

Тогда вектор ey = y/|y| при всex т G R+ будет равен вектору (cos 0о(т) sin ^i(t), sin 0о(т) sin ^i(t), cos ^i(t))t, а вектop ey примет вид

0о(т) • sin 0о(т) sin 01 (т) + (т) • cos 0о(т) cos 01 (т)\ 0о(т) • cos 0о(т^Ш 01(т) + 01(т) • sin 0O(т)cOS 01(т) I , т G R+.

-01 (т) • sin 01 (т) /

Следовательно, квадрат его (вектора éx) нормы будет равен

(0о(т))2 • sin2 01 (т) • (sin2 0о(т) + cos2 0о(т)) +

+ (01 (т))2 • cos2 01 (т) • (sin2 0о(т) + cos2 0о(т)) + + (01 (т))2 • sin2 01 (т) =

= 02(т) • sin2 01 (т) + 01 (т), т G R+,

и

Y(x,t) = lo а/02(Т) • sin2 01 (т) + 01(т) ¿т.

Таким образом, база индукции доказана.

Предположим теперь, что утверждение справедливо для k > 2 и докажем его для n = k + 1. Последнее предположение, в свою очередь, означает, что для всякого вектора z G Rn-1, которому в каждый момент т сопоставлена (1.1) некоторая строка из n — 1 скалярных функций (г(т), 0о(т), 01(т),..., 0n—з(т)), справедливо равенство

n—3

|éz|2 = (0n—3(т))2 + (0n—4(т))2 • sin2 0n—з(т) +-----Ь (0о(т))2 • JJ sin2 0г(т),

¿=1

(1.3)

где ez = z/|z| G Rn.

Пусть теперь вектору y в каждый момент т сопоставлена (1.1) строка из n скалярных функций (г(т), 0о(т), 01 (т),... , 0n—2(т)). Для натураль-n > 2

en = , j = 0,..., n — 2,

j sin 0n—2

где eyj - j-ая координата вектора ey = y/|y | G Rn.

Тогда вектор ey может быть представлен следующим образом

/ еП • sin 0n—2 \

ey =

еП—2 • sin 0n—2 \ cos 0n—2 /

а вектор ёу примет вид

6у

( ёЦ • в1п 0п_2 + вЦ • 0п-2 • сое 0п_2 \

еП-2 • в1п 0п_2 + ёП_2 • 0п_2 • сов 0п_2 0п_2 • в1п 0п_2

V

/

Заметим также, что вектор ёу(т) = (ёд,..., ёП_2)т принадлежит подпространству Кп_1 с Мп и для него справедливо равенство (1.3).

Тогда, принимая во внимание тождество Х^ДёП)2 = 1 вычислим квадрат нормы вектора ёу, получим:

п_2

|ёу |2 = • в1п ^п_2)2 + 2(ёП • ёд • 0п_2 • в1п ^п_2 • сов 0П_2) +

п-2

¿=0

¿=0

п- 2

+ ^(ёП • 0п_2 • СОв 0п_2)2 + 0П_2 • ^ 0п_2 =

2

= вШ 0п_2 •

ёг -Гп

¿=0 п_2

п2

п2

^(ёП)2 + 8Ш 0

п_2 • СОв 0п_2 • 0п_2 • I > ( ё

¿=0 \ ¿=0 п_2

+ 0П_2 • сов2 0п_2 • ^(ёП)2 + 0П_2 • в1п2 0п_2 =

Е(ёП)Ч +

¿=0

= вт

п_2

О ж "л / \ О О О О О О 11ОО

1п 0п_2^ (ёп) + 0п_2^сов 0п_2 + 0п_2^1п 0П_2 = в1п 0п_2 + 0п_2

¿=0

Извлекая корень из полученного соотношения и подставляя в него вместо |ёу|2 выражение (1.3) получим требуемое равенство. Лемма доказана.

Для натурального п > 1 обозначим

/1 к12 ...

£п = < Ь е ЛШ; Мп | Ь =

0 к22 ... к

2п

V

0 ... 0 кп

е К+, г = , % е К, г = ;.

.

ЛЕММА 2. Длл любого решения х е $*(А) систем и А е Мп справедливо равенство

1п£ д(Ьх) = 1п£ д(Ьх).

ьеаи м"

Доказательство.

В самом деле, всякая невырожденная матрица Ь представляется [72, с. 139] в виде произведения

Ь = Q • Я

ортогональной матрицы Q и верхнетреугольной с положительными диагональными элементами матрицы Я. Поэтому, так как ^х| = |х | для любых вектора х и ортогональной матрицы Q, то

7(Ьх, £) = 7(Q • Ях, £) = 7(Ях,£), х е (А).

Тогда, разделив матрицу Я та ее (1,1)-элемент и воспользовавшись очевидным равенством 7(кх,£) = 7(х,£), где £ е и к е К \ {0}, получим необходимое соотношение. Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого решения x G S*(A) системы A G 7^, d G R+, и преобразования, L G G2 f-Mj угловая скор ость // преобразованной вектор-функции Lx при всех т G R+ удовлетворяет дифференциальному уравнению

/ = (^22(т)— ац(т))sin/cos/— (k—21а12(т)+ki2k—21(а22(т)—ац(т))) sin2/,

(1.5)

gde = (т) w kj - коэффициенты матриц A = А(т) w L7 соответственно.

Доказательство.

Зафиксируем число d > 0 и для произвольной системы A G 7^ рассмотрим ее ненулевое решение x G R2. Зафиксируем также числа k12 и k22 для матрицы L G G2- Пусть в каждый момент времени т вектор Lx^) = (x1(т) + k12x2(т),k22x2(т))т сонаправлен с единичным вектором (cos /(т), sin /(т ))т, а его дли па |Lx(т )| равн а г(т), т.е. x1^) + k12x2(т) = г(т) cos/(т) и k22x2(т) = г(т) sin /(т).

Если существует момент т G R+ для штор ого /(т) = 0 ми п, то /(т) = 0 ми п. Это следует из свойств решения дифференциального уравнения вида z = а(т)z,z G R [71, с. 63], а также того факта, что система A G 7^2, полученная вследствие перехода к новым координатам

У1 = x1 + k12x2,y2 = k22x2 содержит уравнение такого вида. При этом получим, что 0(т) = 0 при всех t G R+, а отсюда и требуемое равенство.

Если же 0 (т) = 0 и п, то для всех т G R+ корректно определена функция ctg 0(т) = kl" • X^jry + Продифференцировав последнее равенство т

—0 • (sin2 0)-1 = k22—1 • (x 1 • x2 — x2 • x1) • x-2 ^ —0 • (sin2 0)—1 = k22 —1 • ((йц(т)X1 + 0-12(т)x2)x2 — 0-22^)x1 X2) • X—2 ^

—0 •(sin2 0) —1 = &22~1 • ((022 (т )—йц(т ))(cOS 0 — k^k—1 sin 0)^22 —^sin 0 —

— k—22 • а12(т) sin2 0) • (k—2 • sin2 0)—1 ^

0 = (®22(т)—0ц(т))sin 0 cos 0 — (к—^а^тHk^k—1 (022(т)— 0ц(т))) sin2 0. Лемма доказана.

ЛЕММА 4. Длл любого натурального числа n > 2 и системы A G D2 существует система A G Dn такая, что

SpM(A) с SpM(A),

а для любой системы B G T2 существует система B G Tn такая, что

Spp(B) с Spp(B).

Доказательство.

1. Докажем сперва первую часть леммы. Зафиксируем произвольные натуральное число n > 2 положительное число d, а также систему

A eDi

) - (tJ Jt)) - T e R+.

Пусть ж - ненулевое решение этой системы и для некоторых чисел а > О ив > О выполняется

Д(х) = lim -y(x,t) = а и /х(х) = lim -7(x,t) = в-

t^oo t t

Рассмотрим диагональную систему А вида

(т) 0 0 0 ..Л 0 а2 (т) 0 0 ..

0 0 а 0 ..

А(т) =

у 0 0 ... 0 а !

где функции а1, а2 - это коэффициенты исходной матрицы А. Очевидно, таким образом заданная система А принадлежит множеству

хА ным условиям х(0) = (х1(0), х2(0), 0,... , 0)т, где х(0) = (х1(0), х2(0))т -значение исходной функции х в момент т = 0. Первые две координаты данного решения х1 и х2 будут удовлетворять уравнениям х = а1(т)х и х = а2(т)х соответственно, а с учетом равенств х1(0) = х1(0) и х2(0) = х2(0) получим, что х1(т) = х1(т) и х2(т) = х2(т) при всех т е

Тогда норма вектора (х(т)/|х(т)|) будет удовлетворять соотношению

2

0

0а

те К+,

х(т)

Тхстуг

£

¿=1 а

а

х2

аЛ\/хг+

х

а

2

х1

аЛ\/х? +

а

х2

х

аЛ\/х? +

х

х(т)

Ш.

т е К+,

а значит, при всех £ е будет справедливо равенство

7 (х,0 = 7 (М), из которого следуют соотношения

Д(х) = а и /х(х) = в.

Таким образом, имеем:

8рА(А) с 8рА(А) Брд(А) с 8рА(А).

Первое утверждение леммы доказано.

2

2. Перейдем к доказательству второй части леммы. Зафиксируем произвольные натуральное число п > 2, положительное число а, а также систему В е Т2

В(т) = Нт) а2(тЛ , т е м+.

V 0 аз(т)у

Пусть х - ненулевое решение этой системы и для некоторого числа а > 0 выполняется

р(х) = а.

Тогда из леммы 2 следует, что

1

т£ Д(Ьх) = т£ Нт -7(ЬхД) = а.

В

/аа(т) ^2(т) 0 0 ...^

0 аз(т) 0 0 ...

0 0 а 0 ...

В (т) =

0 0 . . . 0 а

где функции а1, а2, а3 - коэффициенты исходной матрицы В. Очевидно, данная система принадлежит множеству ТТ-

хВ ным условиям х(0) = (х1(0), х2(0), 0,..., 0)т, где х(0) = (х1(0), х2(0))т - значение исходной функции х в момент т = 0. Первые две коорди-

х1 х2

х1 = а1(т)х1 + а2(т)х2 и х2 = а3(т)х2 соответственно, а с учетом равенств х1(0) = х^0) и х2(0) = х2(0) получим, что х1(т) = х1(т) и х2(т) = х2(т) при всех т е

Для любого преобразования Ь е ^п (1.4) вектор Ьх примет вид

/х1 + &12х2\ ^22х2

Ьх(т) = 0 , т е (1.6)

0

0а

, т е

V

0

Обозначим через Gп множество преобразований Ь е Яп вида

/1 к12 0 0 ..Л 0 к22 0 0 Ь = 0 0 10

у0 0 ... 0 1 у

х

образования Ь е Яп найдется преобразование Ь е Яп, для которого справедливо равенство

Ьх(т) = Ьх(т), т е К+.

А т.к. Яп С Яп , то будет справедливо равенство

1п£ /¿(Ьх) = 1п£ /¿(Ьх ).

¿еЯ" ¿е£~"

Аналогично выкладкам п.1. получим, что норма вектора (Ьх(т)/|Ьх(т)|У при всех т будет удовлетворять соотношению

2

+

01

Ь х(т) |Ьх(т )|

(

Х1 + кцХ2

(т V \/(Х1 + к11Х2)2 + (к22Х2)2_

/ к22Х2

(т \ \/(Х1 + кцХ2)2 + (к22Х2)2

(

Х1 + кцХ2

(т V \/(Х1 + к11Х2)2 + (к22Х2)2^ / к22Х2

+

(т V \/(Х1 + к11Х2)2 + (к22Х2)2

/ Ьх(т)

где Ь = Ь(к12,к22) е Я2- Это означает, что для любого преобразования Ь е Я2 найдется такое преобразование Ь е Яп, что при всех Ь е М+ будет верно равенство 7(Ьх,Ь) = 7(Ьх,Ь), а т.к. между преобразованиями Ь е Я2 и преобразованиями Ь е Я2 можно естественным образом установить изоморфизм, получим

1п£ /¿(Ьх) = 1п£ /¿(Ьх) = 1п£ /х(Ьх).

¿еЯ" ¿еЯ" ¿еЯ2

2

2

2

Следовательно, p(x) = p(x) и

Spp(B) с Spp(BB).

Лемма доказана.

ЛЕММА 5. Если для некоторой кусочно-непрерывно дифференцируемой вектор-функции x : R+ ^ вектора m g R и числа l > 0 скалярная функция (x,m) (1) на любом полуинтервале длинып/l ровно один раз обращается в 0 и в моменты ее обнуления производная, (x,m) не равна нулю, то будет справедливо равенство

vTO(x) = l.

Доказательство.

1. Для начала отметим, что для любых кусочно-непрерывно дифференцируемой вектор-функции x : R+ ^ R^, вектор a m g R^ и числа t > 0 равенство v(x,m,t) = œ возможно лишь в том случае, если на отрезке [0; t] найдется мом ент ¿о, для которого вели чины (x(t0),m) и (x(t0),m) будут одновременно равны 0.

Действительно, если в некоторый момент t выполнено v(x,m,t) = œ, то функция (x, m) на отрезке [0; t] имеет бесконечно много нулей, а значит, по теореме Вейерштрасса [21, с. 85] имеет на нем и предельную точку to g [0; t], служащую нулем этой функции; но тогда этот же нуль в силу теоремы Ролля является предельной точкой и для нулей производной ( x, m)

(x(t0 ),m) = (x(t0),m) = 0. Получили противоречие.

v(x, m, t)

каждый момент t g R+ принимает только конечные значения.

l > 0 x m

удовлетворяют условиям теоремы.

Заметим, что для любого числа £ > 0 существует ч исло T * > n/l такое, что

T* < (1-7)

Тогда рассмотрим произвольный момент времени t > T * и предположим, что функция (x, m) обнулплась к этому моменту N раз, где N g N, т.е.

v(m,x,t) = N. A т.к. функция (x,m) на любом полуинтервале длины п// содержит ровно один нуль, то будет справедлива следующая цепочка неравенств

п п

у • N < *<п • (N + 1), (1.8)

из которой также вытекает оценка

п

T* <-(N + 1). (1.9)

l

Таким образом, с учетом первого неравенства в цепочке неравенств (1.8), имеем:

nv (x,m,t) nN nN

t = "Г < (п//) • N = . А с учетом второго неравенства в цепочке (1.8), а также соотношений (1.7) и (1.9), получим оценку

nv (x,m,t) nN nN п п п

-^->-^---> /--> /—f

t t > (п//) • (N + 1) (п//) (п//) • (N + 1) T*

Из двух последний соотношений получаем равенство

пv (x,m,t) lim —--- = /,

t^TO t

а вместе с ним и требуемую соотношение

Vm(x) = /.

Лемма доказана.

ЛЕММА 6. Если ненулевое решение x системы A G M2 и вектор m G R е некоторый момент t G R+ связаны соотношением

(x(t),m) = 0,

a ¿(t) - значение угловой скорости решения, x в момент t, то следующие условия эквивалентны:

1) (X(t),m) = 0;

2) ¿(t) = 0.

Доказательство.

Зафиксируем момент t G R+, вектор m = (mi,m2^ G R* и рассмотрим произвольное ненулевое решение x системы A. Через ¿(t) будем обозначать угол, соответствующий единичному вектору (cos¿(t), sin¿(t))T,

сонаправленному с вектором x(t) = (^(t),x2(t))T в момент t G R+. Также, без ограничения общности, будем считать, что у вектора m первая координата отлична от нуля.

t

(x(t),m) = 0.

Тогда из соотношения

(x(t),m) = (A(t)x(t),m) = |x(t)| • (A(t)ex(t),m), где ex(t) = x(t)/|x(t)|^ a |x(t)| - евклидова норма вектора x(t), следует,

(A(t)ex (t),m) = 0.

А это, в свою очередь, означает, что величина (ex(t),m) также будет равна 0:

(éx(t),m) = (A(t)ex(t) + (A(t)ex(t),ex(t))ex(t),m) =

= (A(t)ex(t),m) + (A(t)ex(t),ex(t)) • (ex(t),m) = 0. (1.10)

Первое равенство в цепочке (1.10) доказано в теореме 1 главы 2 (2.1), а последний переход следует из предположения (x(t),m) = 0 и равенства (A(t)ex(t),m) = 0. Таким образом, из последнего равенства имеем:

(ex(t),m) = 0 ^ ^d cos ¿(t)^ m1 + ^d sin ((t)^ m2 = 0 ^

^ ((t) • (m2 cos ¿(t) — m1 sin ((t)) = 0.

Выражение m2 cos ¿(t) — m1 sin ¿(t) не равно нулю, т.к. в противном случае, с учетом предположения (x(t),m) = 0, получим, что

m2 sin ¿(t) m1 m1 cos ¿(t) m2'

m

условию теоремы.

Следовательно, нулю будет равна величина ((t).

t

((t) = 0,

из которого аналогично п.1 вытекает равенство

(ех(*),т) = 0.

А из предположения (х(£),т) = 0 аналогично п.1 получим, что

(ех(*),т) = 0 ^ (А(£)вж(£), т) + (А(*)ех(*),ех(*)) • (е*(¿),т) = 0 ^

^ (А(£)вж(£), т) = 0.

Следовательно, величина (А(£)х(£),т) также будет равна 0, а вместе с ней нулю будет равно и выражение (х(£),т). Лемма доказана.

1.3 Вырожденность спектра характеристик блуждаемости и колеблемости для линейных одномерных систем

Замечание 1. Длл любой системы А е М1, числа т е К* и любого из показателей к = а, д, р, п справедливо равенство

к(х) = 0, х е Я(А).

Доказательство.

Заметим, что любое ненулевое решение х е 5С(А) системы А е М1 не обращается в нуль на М+ [71, с. 63], а вместе с ним не обращается в 0 и функция V(х, т, £) (при любых т е Кс и £ е Следовательно, выполняются равенства

Vm(x) = а(х) = ((х) = 0.

Вместе с тем величина х(т)/|х(т)| при всех т е тождественно

х

Таким образом, (х(т)/|х(т)|) = 0 и

7 (х, £) = 0,

откуда следует равенство нулю всех характеристик блуждаемости

д(х) = р(х) = п(х) = 0. Утверждение доказано.

Глава 2

То ТТ "Т Т сз границы спектров характеристик блуждаемости и колеблемости

В данной главе получены точные границы спектров показателей блуждания и блуждаемости, а также всех характеристик колеблемости для диагональных и треугольных систем произвольной размерности (с ограниченными коэффициентами), а также для линейных систем, отвечающих уравнениям второго порядка (с ограниченными коэффициентами).

2.1 Точные границы спектров диагональных систем произвольной размерности

Для натурального числа п е N в множестве Мп выделим подмножество диагональных систем

=< А е Мп | А(£) =

V

0

0

0

0-2 (£) 0

а

0 0

с ограниченными коэффициентами |а^(£)| < й, т е К+, 1 < г < п.

В дальнейшем, говоря о том, что для какого-либо из показателей к = д, р, п, а, ( справедливо то или иное утверждение, будем подразумевать, что данное утверждение справедливо одновременно для обоих показателей к и к.

ТЕОРЕМА 1. Для любых чисел п е N и й > 0 и любого из показателей к = а, п, р выполняется равенство

ЭРк ) = {0}.

Доказательство.

Зафиксируем натуральное число п > 1 (случай п = 1 рассмотрен в главе 1), положительное число ё и рассмотрим произвольное ненулевое решение х системы А Е Для каждой коордннаты г = 1,...,п вектор-функции х всегда справедливо ровно одно из двух утверждений: либо = 0 при всех Ь Е лнбо х^(Ь) = 0 на . Это следует из свойств решения дифференциального уравнения вида г = а(Ь)г, г Е К [71, с. 63], а также того факта, что каждая из координат вектор-функции х

1. Из вышесказанного в частности следует, что каждая координатах,; решения х либо равна нулю, либо сохраняет знак при всехЬ. Пусть тогда ¿1,..., - номера всех ненулевых координат решениях (к > 1, т. к. решение х - ненулевое ). Тогда для вектора ш* = ^п(х^0)),..., sgn(xn(0)))т в каждый момент т Е справедлива оценка

(х(т ),ш*) = |х<± (т )| + |хг2 (т )| + • • • + |х^ (т )| > 0,

а, значит, функция (х(т), ш*) не обнуляется на и при любом Ь Е выполнено равенство

V (х, ш*, Ь) = 0, откуда сразу же следует соотношение

с (х) = а(х) = 0.

п > 1

числа ё получим

^Рс (Рп) = Эр, И) = {0}.

2. Для произвольных преобразования Ь Е Ли КП ненулевого решения х системы А Е Мп и момента т Е обозначим

- через ех(т) - след |Х(Т)| решення х на единичной сфере в момент т,

- через у(т) - вектор, соответствующий в момент т преобразованному решению Ьх(т) ,

- через еу (т) - след ^(Т)| решепия х на единичной сфере в момент тЬ

Заметим, что если исходное решение х = х(т) удовлетворяет системе х = А(т)х, т е К+, то преобразованное решение у = Ьх(т) будет удовлетворять системе у = ЬА(т)Ь-1у, т е (достаточно подставить первую системы вместо х выражение Ь-1у), а вектор еу примет вид

в

еу(т) =

_ й ( У(т)

у(т) У(т) • |У(т^

йт V1/(т)|/ |у(т)1 |у(т)|2

ЬА(т )Ь-1у(т) /ЬА(т )Ь-1у (т) у (т ) \ у(т)

|у(т )|

|у(т)| Чу(т)и |у(т)|

т.к.

ЬА(т)Ь-1ву(т) - (ЬА(т)Ь-1ву(т), еу(т)) ву(т), т е М+, (2.1)

|у(т)[ = 2 ^ (уу(т),у(т)) = |у(т)| (ЬА(т)^-1у(т) у(т)

2 V(у(т),у(т)) \ |у(т)| ' |у(т)|У

Из (2.1), в частности, следует, что выражение 7(у,*) может быть представлено в виде

7(у,*) = / |еу(т)| йт =

= |ЬА(т)Ь-1ву(т) - (ЬА(т)Ь-1 ву(т),еу(т)) ву(т)| йт, * е К+.

Л

(2.2)

2.1 Для произвольного к > 1 рассмотрим преобразование, задаваемое

матрицей Ь = Ь(к) размерности п х п

/1 0 01

Ь

0

V*

0

к

0

10 к1

Ь-1

/1 0 ...... 0\

Ь-1 =

01

0 1 0

V

к

-к -к 1

(2.3)

ь

0

ь

а матрица LAL 1 примет вид

LAL-1 =

/

a1 0

0

0

«■2

0

an-1

0

0

(2.4)

\k(«1 - an) ...... k(an-1 - an) an/

2.2. Поставим в соответствие вектор-функциям ж и y такие наборы из n скалярных функций (r(t), ^o(t), ^(t),..., ^>n-2(t)) и, соответственно, (r(t),^o(t),^1(t),... ,^n-2(t)), чтобы при всех t E R+ выполнялись соотношения

^r cos ^0(t) sin ^1(t) sin ^>2(t)... sin ^>n-2(t)^ r sin ^0(t) sin ^1(t) sin ^>2(t)... sin ^>n-2(t) r cos (t) sin ^2 (t) ... sin ^n-2 (t)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миценко Вадим Валериевич, 2016 год

Литература

[1] Асташова И.В. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 25. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2005. С. 3-17.

[2] Асташова И.В. О поведении на бесконечности решений квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 2009. 45. № 11. С. 1671.

[3] Асташова И.В. О задаче H.A. Изобова для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. № 6. С. 898-899.

[4] Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И.В. Асташова и др.; под ред. И.В. Асташовой — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

[5] Барабанов Е.А. Структура множества нижних показателей Перрона линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1986. 22. №11. С. 1843-1853.

[6] Барабанов Е.А. О вычислении показателей решений линейных дифференциальных систем по временным геометрическим прогрессиям // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №12. С. 1592-1600.

[7] Бурлаков Д.С., Сергеев И. Н. Замечательные равенства, связывающие колеблемость и блуждаемость решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 899.

[8] Быков В.В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996. 51. Вып. 5. С. 186.

[9] Быков В.В. Классификация Бэра ^-показателей Изобова // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №11. С. 1574.

[10] Былов Б.Ф. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

[11] Былов Б.Ф. Почти приводимые системы. Автореф. дисс... докт. физ.-мат. наук. Мн.: АН БССР, 1966.

[12] Былов Б.Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. 1970. 6. №2. С. 243-252.

[13] Ветохин А.Н. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифферент уравнения. 1995. 31. №5. С. 909-910.

[14] Ветохин А.Н. Точный класс Бэра экспоненциального показателя Изобова в равномерной топологии // Дифференц. уравнения. 1999. 35. №11. С. 1578-1579.

[15] Виноград Р.Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // Докл. АН СССР. 1953. 91. №5. С. 999-1002.

[16] Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. 42. №2. С. 207-222.

[17] Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновско-го показателя хаотического аттрактора // Дифференц. уравнения. 2005. 41. №2. С. 268-273.

[18] Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Теория неклассических релаксационных колебаний в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Матем. сб. 205:6 (2014). С. 21—86.

[19] Дементьев Ю.И. О классах Бэра старшего показателя Ляпунова систем, линейно зависящих от параметра // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Математика. 1999. №16. С. 5-10.

[20] Дементьев Ю.И. Подвижность показателей Ляпунова под действием бесконечно малых возмущений // Дифференц. уравнения. 2001. 37. №11. С. 1575.

[21] Зорич В.А. Математический анализ I. М.: ФАЗИС, 1997.

[22] Изобов H.A. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. 1. №4. С. 469 477.

[23] Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71-146.

[24] Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1976. 12. №11. С. 1954-1966.

[25] Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. 26. №1. С. 5-8.

[26] Изобов H.A. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Матем. заметки. 1984. 35. № 2. С. 189-199.

[27] Изобов H.A. О кнезеровских решениях // Дифференц. уравнения. 1985. 21. № 4. С. 581-588.

[28] Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034-2055.

[29] Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006.

[30] Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1962. 144. Ш. С. 33-36.

[31] Кигурадзе И.Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. 10. № 8. С. 11387-1398. и № 9. С. 1586-1594.

[32] Кигурадзе И.Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1992. 28. № 6. С. 207-219.

[33] Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

[34] Кондратьев В.А. О колеблемости решений уравненияу(п) —р(х)у = 0 // Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. 10. С. 419-436.

[35] Кондратьев В.А. О колеблемости решений дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков // Докл. АН СССР. 1968. 118.Л" 1. С. 22-24.69.

[36] Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х(п) + 11) + • • • + рп(£)ж = 0 // Успехи матем. наук. 1969. 24. №2. С. 43-96.

[37] Левин А.Ю. Избранные труды. Ярославль, Рыбинск: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2010.

[38] Лысак М.Д. Точные оценки скорости блуждания решений линейных систем // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №11. С. 1670-1671.

[39] Лысак М.Д. Точные оценки скорости блуждания решений линейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2012.48. №6. С. 907.

[40] Макаров Е.К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференц. уравнения. 1989. 25. №2. С. 209-212.

[41] Макаров Е.К. О реализации частичных показателей решений линейных дифференциальных систем на геометрических прогрессиях // Дифференц. уравнения. 1996. 32. №12. С. 1710-1711.

[42] Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирск. матем. журнал. 1969.10. №1. С. 99-104.

[43] Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. 5. № 10. С. 1775-1784.

[44] Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16. №8. С. 1408-1416.

[45] Миценко В.В. Блуждаемость решений двумерных треугольных и диагональных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 907-908.

[46] Миценко В.В. О блуждаемости решений двумерных диагональных и треугольных дифференциальных систем // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 30. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2014. С. 221— 241.

[47] Миценко В.В. О границах блуждаемости и колеблемости решений двумерных треугольных диференциальных систем и линейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2014. 50. №6. С. 851-852.

[48] Миценко В.В. Спектр верхнего показателя блуждаемости решений двумерных треугольных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2014. 50. №10. С. 1347-1352.

[49] Mitsenko V.V. Spectrum of the upper wanderability exponent of solutions of two-dimensional triangular differential systems // Differential Equations. 2014. 50. №10. C. 1336-1341.

[50] Миценко В.В. О спектрах характеристик блуждаемости линейных дифференциальных систем и уравнений // Дифференц. уравнения. 2015. 51. №6. С. 822-824.

[51] Mitsenko V.V. Wandering of Solutions of Two-Dimensional Diagonal and Triangular Systems of Differential Equations // Journal of Mathematical Sciences. 2015. 210. №3. C. 251-263.

[52] Морозов О.И. Критерий полуустойчивости сверху старшего показателя Ляпунова неоднородной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1990. 26. №12. С. 2181.

[53] Морозов О.И. Достаточные условия полуустойчивости сверху показателей Ляпунова неоднородных систем // Дифференц. уравнения. 1991. 27. №11. С. 2012.

[54] Попова С.Н., Тонков Е.Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. 33. №2. С. 226-235.

[55] Попова С.Н. О глобальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения. 2007.43. №8. С. 1048-1054.

[56] Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. 31. №6. С. 925-931.

[57] Рахимбердиев М.И. О центральных показателях линейных систем // Дифференц. уравнения. 1983. 19. №2. С. 253-259.

[58] Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 9. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1983. С. 111-166.

[59] Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

[60] Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №11. С. 1577.

[61] Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009. 45. №6. С. 908.

[62] Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №6. С. 902.

[63] Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010.46. №11. С. 1667-1668.

[64] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2011. №6. С. 21-26.

[65] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 906-907.

[66] Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия матем. 2012. Т.76. №1. С. 149-172.

[67] Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. №1. С. 119-138.

[68] Сергеев И.Н. Неупорядоченность верхних характеристик полной колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2014. 50. №6. С. 852-853.

[69] Фурсов A.C. Критерий существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №11. С. 2011-2012.

[70] Фурсов A.C. Размерность пространства решений медленного роста линейной неоднородной системы // Успехи матем. наук. 1994. 49. Вып. 4. С. 143.

[71] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

[72] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

[73] Чантурия Т.А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1980. 16. № 3. С. 470-482.

[74] Чантурия Т.А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида // Дифференц. уравнения. 1986. 22. № И. С. 1905-1915.