Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Туласынов, Михаил Станиславович
- Специальность ВАК РФ01.01.02
- Количество страниц 99
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Туласынов, Михаил Станиславович
ВВЕДЕНИЕ.
I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Пространства Гельдера.
§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений.
§1.3 Некоторые интегро-дифференциальные формулы.
II. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЯ СКЛЕИВАНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
§2.1 Краевая задача для уравнения ut sgnx = и^ + —их с произвольной в бесконечной полосе.
2.1.1. Единственность решения задачи 1.
2.1.2. Существование решения задачи 1.
§2.2 Безусловная разрешимость.
§2.3 Краевая задача в ограниченной области.
2.3.1. Существование решения задачи 2.
III. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ С
ПЕРЕМЕННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
3.1. Единственность решения задачи 3.
3.2. Существование решения задачи 3.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции2007 год, кандидат физико-математических наук Пинигина, Нюргуяна Романовна
Классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции2000 год, доктор физико-математических наук Попов, Сергей Вячеславович
Разрешимость краевых задач для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции2007 год, кандидат физико-математических наук Потапова, Саргылана Викторовна
Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами2010 год, кандидат физико-математических наук Шарин, Евгений Федорович
Стационарный метод Галеркина для неклассических уравнений с меняющимся направлением времени.2019 год, кандидат наук Ефимова Елена Сергеевна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции»
Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре ([24, 25]) в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения. j
В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии(поверхности) или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы А.В. Бицадзе [7], И.Н. Векуа [10], В.Н. Монахова [49], С.А. Терсенова [87-91], Т.Н. Зеленяка [6, 26, 27] , А.П. Солдатова [84-85], Т.Ш. Кальменова [28] и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследования В.Н. Врагова [11— 14], Г. Д. Каратопраклиева [29, 30], А.Г. Кузьмина [41], А.И. Кожанова [14, 39, 40], С.Г. Пяткова [14, 80-83], И.Е. Егорова [16-23], А.Г. Подгаева [62-64] и других авторов.
Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение utsgnx + Lu = f(x), (0.1.1) где L - эллиптический оператор второго порядка. Данное уравнение при х ^ О является параболическим, однако для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных модельных уравнений такого вида построена в работах С.А. Терсенова [87-91], С.В. Попова [65-79], И.Е. Егорова [16-23], А.А. Керефова [32-33], Н.В. Кислова [35-38], С.Г. Пяткова [14, 80-83], В.В. Катышева [31], Х.Х. Ахмедова [3], М.С. Боуенди, П. Грисварда [4], К.Д. Пагани, Г. Таленти [54-57], О. Арены [1,2] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа W^ решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде.
В представляемой работе рассматривается случай, когда L З2 к д эллиптическии оператор второго порядка с оператором Бесселя Вк = —г- н---. дх х дх
Данное уравнение (0.1.1) при х^О является параболическим, причем на прямой х = 0 коэффициент при производной по х имеет особенность. Рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.
В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении типа Хопфа utu — иа = 0 смена направления параболичности происходит там, где решение и{х, t) меняет знак. О.Б. Бочаров [9] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при t = 0,t-T. Проблеме существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля и изучению структуры этого течения за точкой отрыва для уравнения ut sgnх - л/Нмхг = /(*> 0 посвящены последние работы ^ В.Н.
Монахова и С.Г. Пяткова [80-83].
Интерес к нелинейным уравнениям с меняющимся направлением эволюции был инициирован статьями Н.Н. Яненко, В.А. Новикова [92-94], Т.И. Зеленяка [26, 27], где они пришли к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Изучению этих уравнений посвящены работы многих авторов: B.C. Белоносова [6], П.И. Плотникова [61], А.И. Подгаева[63, 64], С.Г. Пяткова [8083], М.М. Лаврентьева [42-45] и других. Подробная библиография и ряд результатов содержится книге Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [94].
Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего - это краевые задачи для уравнений смешанного типа. Другая область приложений — краевые задачи с меняющимся направлением времени, в класс которых входят так называемые кинетические уравнения, описывающие диффузионные процессы, хаотичное броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.
Данная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи - исследование качественных свойств решений краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в случае условий склеивания с полной матрицей, включая условия с переменными коэффициентами.
В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Отметим в этом отношении монографии Н.Ф. Гахова (1963), Н.И. Мусхелишвили (1962), а также В.Н. Монахова (1977), С.А. Терсенова (1985).
Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех параграфов. В §1.1 даны определения и некоторые свойствам гельдеровских пространств. В §1.2 приводятся некоторые важные сведения из теории интегральных уравнений. В §1.3 приводятся некоторые интегро-дифференциальные тождества, которые в дальнейшем используются во второй главе.
Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для сингулярных параболических уравнений с произвольной матрицей условия склеивания с постоянными компонентами. В §2.1 в области Q = (0 < |х| < оо) х (О, Г) рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции
Ищется ограниченное решение уравнения (0.1.2) из пространства
2 !+г,1+
Гёльдера Нк 2 (Q) ( / е N, у е (0, 1)), которое удовлетворяет начальным условиям к ut sgnХ = иях+-их,
0.1.2) X где < 1. и(х, 0) = срх{х), х > 0, и{х, Т) = (р2{х), х < 0,
0.1.3) и условиям склеивания
0.1.4)
Предполагается что матрица А = \
11 "12
4^21 ^22 У является невырожденной, т.е.
6zua22 - а12я21 Ф 0. (0.1.5)
В противном случае поставленная задача распадется на две независимые подзадачи. Действительно, вырожденность матрицы А влечет за собой существование связи между и(-0, t) и ux(-0,t), и тогда в области
Q~ = (-оо, 0) х (О, Т) возникает независимая подзадача.
Результатом настоящего параграфа является явное описание 21 условий разрешимости краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4). При этом показано, что разрешимость краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4) при ап = 0 сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе — к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма.
Если полученные условия разрешимости обозначить в следующем виде:
LX&, <р2) = 0, 5 = 1, 2, .,2/, (0.1.6) где Ls - вполне определенные линейные интегральные операторы относительно начальных данных (рх и ср2, то основной 'результат данного параграфа формулируется в виде следующих теорем: Теорема 2.1. Пусть
1. 0, +оо) и (р2{х)^Н2к!+г(-оо, 0) (/ е N, Ге(0, 1));
2. выполнены условия а12 Ф 0, апа22+апа21> 0, аиа21< 0, а12а22< 0 и апа22 ~ а\га2\ ф 0 •
Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное
2/+/, ( . решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) из пространства Нк 2 (<2). Теорема 2.2. Пусть
1. (Р\(х) е Нк1+Г(0, + со) и (p2(x)eH2kl+r(-cx>, 0) (7eN,0<^<l);
2. in — наименьшее целое положительное число такое, что:
171 yyl в + а~ — +1>0, —~в>0, J3 = min(2-т + 2в, т-2а-2в)>0, л 1 а,, cos 7WC — а99 Аг + 1 и = —arctg—-—, а =-; л" afnsin^a 2
3. выполнены условия я12 =0, <яп<я22 > а\\аг\ — 0 > aua22 ^ ®' ® < У < Р • Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное
21+у, 1+- , ч решение краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4) из пространства Нк 2 (Q).
Замечание 2.1. Найденное в теореме 2.2 решение краевой задачи (0.1.2) -(0.1.4) будет принадлежать пространству
21+Р, лД
1. Нк 2(0, если р<у< 1;
21+Р-2е, lJ--e.
2. Нк 2 (Q) (s - сколь угодно малая положительная постоянная), если у — Р.
В §2.2 в области Q = (0 < |х| < оо)х (0, Т) рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции (0.1.2). параграф разбит на две части. В первой части решение уравнения (0.1.2) данного параграфа ищется из пространства Нк ' 2 (Q) Г) С2'1 (Q), 0 < у < 1, во г, второй части — из более широкого пространства Нк' 2 (<2) П С2'1 (<2), 0 < у < 1, которые удовлетворяют условиям (0.1.3) и (0.1.4). В первом случае даются два необходимых и достаточных условия разрешимости задачи (0.1.2)-(0.1.4). Во втором случае при к = 0 показана безусловная разрешимость краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4).
Доказаны следующие теоремы: Теорема 2.3. Пусть
1. + оо) и <р2{х)еН^(-00, 0) (0<г<1);
2. аиа22 + апа2Х > 0, ахха2х < 0, аХ2а22 < 0 и апа22 — аХ2а2Х Ф 0.
Тогда при выполнении двух условий (0.1.6) существует единственное решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) из пространства Нк 2 (0)Г\С21 (Q). Теорема 2.4. Пусть
1. ^(х)еС[0, + оо;пЖ2(0, + оо) и ^2(х)еС[-оо50;пЖ2(0, + оо), q = 2
2-у
2. выполнены условия ап=0, апа22> 0, апа2Х< 0, апа22Ф 0 и 0 <у</3,
1 а,
Р = min(2<9, 1 - 20) и в = -arctg л- а22
3. при а12^0 выполнены условия аиа22 + а12а21 > 0, апа21< 0, апа22< 0, Тогда существует единственное решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) из у I пространства Н0'2 (Q) П С2'1 (Q).
Замечание 2.2. Если я12 =0 и @<у<\, то найденное в теореме 2.4 решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) будет принадлежать пространству
Hq 2 (Q) П С2'1 (Q), где £ - сколь угодно малая положительная постоянная.
В §2.3 в конечной области Q = (0 < |х| < 1)х (0,Г) рассмотрено уравнение (0.1.2). Решение уравнения (0.1.2) ищется из пространства Гёльдера
21+у, /+—
Нк 2 (Q), которое удовлетворяет начальным условиям и{х, 0) = (рх (х), х > 0, и(х, Т) = (р2 (х), х<0, (0 17) и{ 1, t) = u{-\, 0 = 0, и условиям склеивания (0.1.4).
Основными результатами данного параграфа являются следующие теоремы:
Теорема 2.5. Пусть
1. функции <px(t) б 0, оо), (p2{t) е tff+'(-00, 0) (/ е N, г е (О, 1)) и выполнены условия согласования .0^,(1) = D].s(p2{-\)- 0 (s = 0, 1, ., /);
2. выполнены условия аХ2Ф 0, ахха22+ах2а2х> 0, апа21<0, а12я22<0 и
Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное решение (0.1.2), (0.1.4), (0.1.7) из пространства Нк 2 (Q). Теорема 2.6. Пусть
1. (рх(*) е Н2к!+Г(0, + оо), срг(х) е Hl1+r(-00, 0) (/ g N, 0 < у < 1) и выполнены условия согласования D2stpx(l) = D2s(p2(-l) - 0 (s = 0, 1, ., /);
2. т - наименьшее целое положительное число такое, что:
6 + а- — +1>0, — ~6>0, (5 = min(2 -т + 26, т-2а- 26) > 0,
1 ап cos па —а^ к + 1
6 = —arctg—-:-—, а =-; п ах j sin па 2
3. выполнены условия ап =0, ахха22 > 0, ахха2х < 0, ахха22 Ф 0, 0 <у < (5. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное
21+г, / ч решение (0.1.2), (0.1.4), (0.1.7) из пространства Нк 2 (Q).
Замечание 2.3. Найденное в теореме 2.6 решение (0.1.2), (0.1.4), (0.1.7) будет принадлежать пространству
21+р, 1+Р
1. Нк 2 (Q), если J3<r< 1;
2l+p-2e, l+£--e
2. Hk 2 (Q) (s — сколь угодно малая положительная постоянная), если у = р.
Третья глава посвящена исследованию краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с полной i матрицей условия склеивания с переменными компонентами. В области
Q = (0 < |x| < со) x (О, Т) рассмотрено модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции utsgnx = uxx. (0.1.8)
Ищется ограниченное решение уравнения (0.1.8) из пространства
Гёльдера Н0 2 (Q) ( / eN, у е (0, 1)), которое удовлетворяет начальным условиям и(х, 0) = <р(х), х > 0, и(х, Т) = <р(х), х < 0 (0.1.9) и условиям склеивания f и{-о, о ^ f яц(о «i2(0Y м(+0' о N
Dxu(—0, t)
21 (0 «22 (О,
0<t<T,
0.1.10) где ац - заданные непрерывно дифференцируемые функции до / — 1 порядка включительно.
Предполагается что матрица А =
1 1 (0 «12 (0 является невырожденной
21 (0 «22(0, при любом значении t из промежутка [0, Г], т.е.
11 (0*22 (0 - «12 (0«21 (0*0. (0.1.11) Результатом настоящего параграфа является явное описание 21 условий разрешимости краевой задачи (0.1.8)—(0.1.10). При этом показано, как и во второй главе, что разрешимость краевой задачи (0.1.8)-(0.1.10) ап = 0 сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе - к разрешимости неоднород-ного уравнения Фредгольма.
Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы:
Теорема 3.1. Пусть 1. ^(х)бЯ02/^(0, +оо) и ср2{х) е Н1'+у{—со, 0) (/eN, Ге(0, 1));
2. при al2(t) = 0, V/e[0, T] выполнены условия au(t)a22(t) > О, an{t)a2X{t)< О, a'n{t)a22{t) +an{t)a'22{t)<Q, an{t)a22(t) Ф 0, 0<y<fi,
Р = min(l-20, 20), где 0 = п a22(t)
3. при al2(t)^ 0 V7e[0, Т] выполнены условия ! 22 (О + «12(0a2i(0 >
О + ^КЛО)^0- и at au(t)a22(t)-an(t)a21(t)*0.
Тогда при выполнении 21 условий (0.1.6) существует единственное решение
21+у, I. . краевой задачи (0.1.8)-(0.1.10) из пространства Н0 2 (Q).
Замечание 3.1 Найденное в вышеуказанной теореме 3.1 решение краевой задачи (0.1.8) - (0.1.10) при an(t) = 0 будет принадлежать пространству
1. H0'+/3'!+2(Q),QCrh Р<у< 1;
2l+y-2s, 1+--S
2. Н0 2 (Q) (s — сколь угодно малая положительная постоянная), если у = min(l - 20, 20).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах «Уравнения с меняющимся направлением эволюции» (ИМИ ЯГУ, Якутск, руководитель профессор С.В. Попов), «Неклассические задачи математической физики» (ИМ СО РАН, Новосибирск, руководитель профессор А.И. Кожанов), на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск: 2003, 2005), на Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутия) (Якутск, 2002—2008), на Республиканской научной конференции «Математика. Информатика. Образование.», посвященной 25-летию математическиго факультета ЯГУ (Якутск, ноябрь 2002), на Всероссийской школе-семинаре для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка» (Якутск: 2004-2008), на IV-V Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2004, 2007), на Всероссийской научной конференция с международным участием «Математические моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2008 г.) и на Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий — 2008» (Красноярск, август 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах, 9 статьях в научных журналах и сборниках, а также отражены в 10 тезисах докладов [95-113].
Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002-03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: раздел 2. «Университеты России» (№ 2047-05); раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.
Работа поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" (2006-РИ-19.0/001/711, IV очередь) за 2006 г. стажировкой в Институт математики имени C.JI. Соболева СО РАН (Новосибирск).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 99 страниц. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований. Формулы в главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - на номер параграфа, третье — на номер формулы.
Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиями2013 год, доктор физико-математических наук Моисеев, Тихон Евгеньевич
Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов2009 год, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Анатольевна
Метод энергетических оценок в задачах о разрушении решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа2005 год, доктор физико-математических наук Корпусов, Максим Олегович
Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений1984 год, доктор физико-математических наук Максимов, Владимир Петрович
Некоторые обратные коэффициентные задачи для моделей популяционной динамики2013 год, кандидат наук Чурбанов, Дмитрий Владимирович
Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Туласынов, Михаил Станиславович
Основные результаты, которые выносятся на защиту:
- исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решений краевых задач для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами;
- исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решения краевой задачи для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная диссертация посвящена теории краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с и условиями склеивания. Простейшей моделью является уравнение g{x)ut +Lu = f, (4.1) где g-(x) меняет знак при переходе через точку х = 0, a L - строго эллиптический оператор или эллиптический оператор с операторам Бесселя.
Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений, как отмечалось, была построена в работах С.А. Терсенова, И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.В. Попова, М.С. Боуенди, П. Грисварда, К.Д. Таленти, О. Арены и других авторов.
Главной задачей данной работы является исследование разрешимости rP.Z для уравнения (4.1) в классах Гельдера Нк 2. Найдены необходимые и достаточные условия в терминах интегральных операторов от входных начальных данных (теоремы 2.1-2.6 и 3.1).
Анализ результатов.
В главе II исследуются линейные сингулярные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции вида (4.1) в бесконечной полосе Q - (-со, со) х (О, Т) и конечной области Q = {~ 1, 1)х(0, Г) с полной матрицей условий склеивания с постоянными компонентами на х = 0. Эти условия склеивания заданы при помощи матрицы А = Ч а2\ а22 J
Найдены достаточные условия единственности решения при выполнении условий аиа22 + апа21 > 0, апа21 < 0, а12а22 < 0.
Для всех поставленных краевых задач этой главы, показано, что характерную роль играет компонента аи матрицы А. При <я12 = О, разрешимость этих краевых задач сводятся к разрешимости интегральных сингулярных уравнений, а при а12 ^ О к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.
Выписаны условия ортогональности (разрешимости) для решений поставленных краевых задач из пространства Нк 2 в явном виде.
В главе III исследуются линейные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции вида (4.1) в бесконечной полосе Q = (-оо, оо) х (О, Т) и конечной полосе Q = (— 1, 1)х(0, Т) с условиями склеивания на л; = 0. Эти общие условия склеивания заданы при помощи ( an(t) я^Л матрицы А —
V«2l(0 а22 (0)
Для поставленной краевой задачи данной главы, показано, что характерную роль также играет компонента ап (t) матрицы А. При а12 (t) = О разрешимость этих краевых задач сводится к разрешимости интегральных сингулярных уравнений, иначе - к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Туласынов, Михаил Станиславович, 2008 год
1. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part. Equat. 1978. V.3, №11. P.l007-1040.
2. Arena O. On a singular parabolic equation related to axially symmetric heat potentials // Ann. mat. Рига ed appl. 1975. V.105, №4. P.347-393.
3. Ахмедов X.X. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.
4. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur equation d'evolution changeante de type // J. Funct. Anal. 1968. №3. P. 352-367.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.2. Преобразование Бесселя. Интегралы специальных функций М.: «Наука», 1970. 327 с.
6. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: изд-во НГУ, 1975. 156 с.
7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
8. Bothe W. Die Streneabsorption der electdonenstrahlen // Z. Phys., 1929. V.5. P.101-178.
9. Бочаров О.Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. / СО РАН СССР. Ин-т гидродинамики, 1978. Вып. 37. С.27-39.
10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.:«Наука», 1968.380 с.
11. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнкений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 6, С.1098-1105.
12. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа высокого порядка // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, С.5-13.
13. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосибирский госуниверситет. 1983. 84 с.
14. Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G. and Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics // Conditionally well-posed problems. Moscow. Utrecht: TVP/TSP, 1993. P.229-321.
15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. M.: «Наука», 1977. 640 с.
16. Егоров И. Е. Об одной краевой задаче для системы сингулярных параболических уравнений // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1973. вып. 14. С.100-105.
17. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения // Сиб. мат. журнал. 1977. Т. 18, №1. С.220-224.
18. Егоров И.Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка и с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1988. Т.303, № 6. С.1301—1304.
19. Егоров И.Е. Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.
20. Егоров И.Е. Нелокальные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Ученые записки ЯГУ, 1994. Сер.: матем., физ. С.18-24.
21. Egorov I.E. On smoothness of solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Мат. заметки ЯГУ. 1995. T.2, №1. C.98-104.
22. Egorov I.E. On one boundary value problem for an equation with varying time direction // Мат. заметки ЯГУ. 1998, T.5, №2. C.77-84.
23. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. DeMath., 1913. V.10, №6. P. 105-148.
24. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl., 1914. Ch.4. P. 105-137.
25. Зеленяк Т.И. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. Новосибирск, 1975, 4.1. С.111-115.
26. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко Н.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений с меняющимся направлением эволюции // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т.5, №4. С.35-47.
27. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №8. С.1418-1425.
28. Каратопраклиева М. Г. К теории уравнений смешанного типа с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №1. С.102-113.
29. Karatoprakliev G.D. A nonlocal boundary-value problem for equation of mixed type in unbounded domain // Докл. Болг. АН, 2000. T.53, №5. С.9-10.
30. Катышев В.В. Об одном уравнении эллиптико-параболического типа // Краевые задачи для нелинейного уравнений. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. С.130-133.
31. Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №1. С.74-78.
32. Керефов А.А. К задачам к континуальной производной в граничных условиях для параболического уравнения // Укр. мат. Журнал. 1999. Т.51, С.305-313.
33. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М., О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений //Докл. АН СССР. 1976. Т.230, № 6. С.1271-1274.
34. Кислов Н.В., Пулькин И.С. Краевая задача с обобщенными условиями склейки // Вестник МЭИ. 2000. №6. С.77-89.
35. Кислов Н.В., Пулькин И.С. О существовании и единственности слабого решения задачи Жевре с обобщенными условиями склейки // Вестник МЭИ. 2002. №6. С.88-92.
36. Кислов Н.В. Червяков А.В. Краевая задача с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2002. №6. С.62-67.
37. Кислов Н.В. Червяков А.В. Об одной краевой задаче с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2002. №6. С.67-74.
38. Кожанов А.И., Ларькин Н.А. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, №6. С.1278-1299.
39. Кожанов А.И. Существование регулярных решений первой краевой задачи для одного класса уравнений соболевского типа переменного направления // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т.4, №2. С.39-48.
40. Кузьмин А.Г. Уравнения второго порядка с эллиптическим оператором по пространственным переменным // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №1. С. 102-113.
41. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений с меняющимся направлением эволюции // Матем. модел. 1990. Т.2, №9. С. 145-153.
42. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения с меняющимся направлением эволюции //Матем. модел. 1989. Т.1, №11. С.132—138.
43. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. мат. журнал. 1987. Т.28, №2. С.79-95.
44. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений с меняющимся направлением эволюции // Сиб. мат. журнал. 1980. Т.21, №6. С.176—185.
45. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уравльцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
46. Ладыженская О.А. О решении нестационарных уравнений операторных уравнений // Мат. сб. 1956. Т.39, №4. С.491-524.
47. Ладыженская О.А. О единственности задачи Коши для линейного параболического уравнения // Мат. сб. 1950. Т.27, №2. С. 175-184.
48. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1968. 512 с.
49. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.
50. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1977. 512 с.
51. Олейник О.А. О системе уравнений пограничного слоя // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1963. Т.З, №3. С.489-507.
52. Олейник О.А., Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнение второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи мат. Наук. 1961. Т.16, вып. 5. С.115-155.
53. Pagani С. D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. mat. pura ed appl. 1971. T.90, №4. P. 1-58.
54. Pagani C. D. On the parabolic equation and relation one // Ann. mat. pura ed appl. 1974. T.99, №4. P.333-399.
55. Pagani C. D. On an initial boundary value problem for the equation Wt = Wxx xWy II Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. 1975. V.4, №2. P.219-263.
56. Pagani C.D. Studio di alcune questioni concerneneti l'equazione generalizzata di Fokker-Planck // Boll. Un. Math Ital. 1970. V.3, №6. P.961-986.
57. Пинигина H.P. О гладкости решений краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т.9, №1. С.71-82.
58. Пинигина Н.Р. О гладкости решений краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени с условием склеивания, содержащими производные первого и второго порядков // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, №1. С.43-54.
59. Пинигина Н.Р., Попов С.В. О параболических уравнения с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими разные производные до второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т.11, №1. С. 72-83.
60. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. Журнал. 1987. Т.28, №2. С. 129-139.
61. Подгаев А.Г. О разрешимости некоторых неоднородных задач протекания для обобщенных уравнениях Прандля и уравнений Эйлера // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т.2, №1. С.32-59.
62. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. "Сиб. мат. журнал". Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.
63. Попов С.В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С39-А1.
64. Попов С.В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. вып. 102. С. 100-113.
65. Popov S.V. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Мат. заметки ЯГУ. 1988. T.5, №1. С.106-112.
66. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator differential equations of even oder // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т.6, №1. С.90-103.
67. Попов С.В. О встречных потоках теплового пограничного слоя сжимаемой жидкости // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т.6, №2. С. 130-133.
68. Попов С.В. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции // Динамики сплошной среды. Новосибирск, 2000. вып. 116. С.83-94.
69. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. Журнал. 1998. Т.39, №2. С.409-426.
70. Pyatkov S.G. Inerpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems // Opertor Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag Basel-Switzerland. 1998. V.102. P.179-200.
71. Солдатов А.П. Эллиптические задачи на плоскости // Вестн. НГУ. Сер: естеств. и техн. Науки. 1995. №1. СЛ19—123.
72. Солдатов А.П. Задача Пуанкаре для уравнения смешанного типа. // Докл. РАН. 2001. Т.377, №4. С.447-451.
73. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида//Тр. мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1965. Т.83. С.3-163.
74. Терсенов Ар.С. О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журнал. 1999. Т.40, №5. С.1147-1156.
75. Терсенов С.А, Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР, Ин-т математики, 1982. 168 с.
76. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.
77. Терсенов С.А. Об основных краевых задачах для одного ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, №6. С. 14131430.
78. Терсенов С.А. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. РАН. 1996. Т.248, № 1. С.27-29.
79. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одной модели жидкости мо знакопеременным коэффициентом вязкости // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1973. Т.4, №2. С. 142-147.
80. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одном новом классе уравнений с меняющимся направлением эволюции // Успехи мат. Наук. 1980. Т.35, №4. С. 156.
81. Туласынов М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Мат. заметки ЯГУ. Т. 11, №1. 2004. С. 107-115.
82. Туласынов М.С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Сборник научных трудов аспирантов ЯГУ имени М.К. Аммосова. Якутск: изд-во ЯГУ, 2004. С. 149-154.
83. Туласынов М. С. Полная матрица условий сопряжения в контактных сингулярных параболических задачах // Мат. заметки ЯГУ. Т. 13, №1. 2006. С.135-141.
84. Туласынов М. С. Краевая задача для уравнения sgn хм, =ихх с полнойматрицей условий склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, №1 С. 89-103.
85. Туласынов М. С. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, №2. С.57-69.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.