О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Ишкин, Хабир Кабирович

• Ишкин, Хабир Кабирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Ишкин, Хабир Кабирович

Содержание

Введение

Глава 1. Критерий безмонодромности

1.1. Критерий безмонодромности уравнения Штурма - Лиувилля на замкнутой кривой

1.2. Критерий безмонодромности для систем Дирака

Глава 2. Операторы Дирака и Штурма — Лиувилля на кривой

2.1. Некоторые вспомогательные утверждения

2.2. Аналог теоремы Марченко

2.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Штурма - Лиувилля

2.4. Критерий m-локализации спектра оператора Дирака на кривой

2.5. Примеры

Глава 3. Комплексный ангармонический осциллятор

3.1. Спектр оператора Lq

3.2. О необходимости условий А) — Б) для 1-локализации спектра

3.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Но + V

Глава 4. Теоремы о локализации спектра в случае наличия непрерывного спектра и в квазиклассическом пределе

4.1. Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом

4.2. Модельный оператор, связанный с оператором Орра - Зоммер-фельда

4.3. Критерий расщепления спектра

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов»

Введение

Оператор L, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н, условимся называть близким к самосопряженному, если L = Lq + V, где Lo самосопряжен, V компактен относительно Lo, то есть D(V) D D(Lq) и оператор V(Lq + i)~l компактен. Если Lq полуограничен снизу и при некотором г > О оператор (Lq + r)~l/2V{Lo -f г)-1/2 компактен, то оператор L — Lq + V, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм К настоящему времени спектральная теория операторов, близких к самосопряженным, разработана достаточно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. [1, 25, 26, 28, 47, 48, 81], а также [64] и имеющиеся там ссылки). Так, согласно известной теореме М.В.Келдыша [26], любой операторL, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н и близкий к самосопряженному оператору Lq, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр Lq дискретен и функция N(r, Lq) (количество собственных значений Lq (с учетом кратности) в интервале (—г, г)) удовлетворяет некоторому условию (К)1, то

Р\) система корневых векторов L полна в Н\

Рч) при любом с > 0 спектр оператора L вне углов {|argA| < е} и {|argA — 7г| < е} конечен и для функции N(r,L) — количества собственных значений оператора L, с учетом их алгебраических кратностей, в круге |А| < г — справедливо соотношение

N(r, L) ~ N(r, Lq), г +оо. (1)

Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор Lq, удовлетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов,

1 Это условие заключается в существовании некоторой функции <р(г), такой, что N(r, Lq) ~ <р(г) при г —> +00 и ¡р(г) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша [26, 27], которые впоследствии были обобщены Б.И. Коренблюмом [30].

близких к Ьо и обладающих свойством Ра := Р\ Л Р2.

Предположим теперь, что Ьо не удовлетворяет какому-то из условий теоремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство Ра оператора Ьо так, чтобы существовал нетривиальный класс возмущений V, сохраняющих это свойство?

Как показывают многочисленные примеры (см. [77, 86, 95-100, 106, 110, 119-123, 126, 132, 137, 138] и др.), операторы, не являющиеся близкими к самосопряженным (для краткости: операторы, далекие от самосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма || (Ь — г)~г|| может быть большой даже при г, далеких от спектра Ь. Поэтому в случае, когда Ь — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор, для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициенты соответствующего дифференциального выражения накладывать дополнительное (гораздо более жесткое по сравнению с близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитичности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспоненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложений. Коль скоро мы собираемся описывать классы возмущений, сохраняющих какое-либо спектральное свойство Ра, то должны ответить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектральной неустойчивостью)? В рамках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным. В связи с этим актуальной становится разработка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных.

В диссертации предложен метод, который позволяет в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциальных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определенное спектральное свойство Ра. Оказалось, что этот метод с одинаковым успехом применим как к регулярным, так и к сингулярным дифференциальным

операторам, спектр которых может быть как чисто дискретным, так и содержать непрерывную часть. Метод оказался полезным и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциальных операторов в квазиклассическом пределе.

В работе рассматриваются 4 различных типа обыкновенных дифференциальных операторов, не удовлетворяющих условиям теоремы Келдыша. Эти операторы были предметом исследований многих математиков. Так же, как в теореме Келдыша, для них получены достаточные условия на возмущения, при которых сохраняются некоторые спектральные свойства Ра. Однако характер этих условий (аналитичность) сразу порождает вопрос о степени их необходимости. Нам удалось показать, что после незначительного ослабления эти условия становятся необходимыми и достаточными для выполнения соответствующего свойства Ра. Приведем список этих операторов.

1) Оператор Дирака на кривой. Пусть 7 — кривая с параметризацией

X 1

^ = я{х) = Jг(г)е*"®(И, х е [0,1], J= 1, (2)

о о

г, а £ С[0,1], г{х) > 0, а(х) — монотонна и |а(1) — а(0)| < 7г. (3)

Обозначим через Ь2 (7, С2) гильбертово пространство 2-компонентных вектор-

2

функций со скалярным произведением (/, д) — J /к9к^г\.

к=1 7

Оператором Дирака на кривой 7 будем называть оператор, действующий в гильбертовом пространстве Ь2 (7, С2) по правилу

л (я?) = {у е (7, С2) : %(0) - 0, Ну( 1) = 0}, (5)

где Н = (^1,^2)5 Н = (Н\,Н2), штрих означает дифференцирование вдоль 7 (см. (30)), (7, С2) — пространство Соболева (см. (39)),

/И ф ±1К2, #! ф ±Ш2. (6)

2) Комплексный ангармонический осциллятор Но :

Ноу = hoy := -у" + е*(7) £>(#„) = {2/ G L2(0, +оо) : у, у* 6 ЛСюс[0, оо), h0y € L2(0, +оо), у(0) = 0},

где а > 0, |0| < 7г.

3) Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом Lр:

hv = Ьу:=-у"-13х^у, (8)

D{LP) = {у е L2{0, оо):у'е ЛС1ос[0, оо), ¿¿у € L2(0, оо), у(0) = 0}, (9)

где 0 < 7 < 2, |arg/3| < ir.

4) Модельный оператор Ь£) связанный с оператором Орра - Зоммерфель-

да:

Ьеу = is2 у" 4- qy, (10)

D(Le) = {уеь2(-1,1): у'еАС[0,1],у" еь2(-1,1),у(-1) = у(1) = 0},

где функция q — непрерывна, вещественна и монотонна на [—1,1].

Оператор 2) является семейством, зависящим от 2 параметров 9 и а, но в обозначении мы выделяем только 9, имея в виду зависимость именно от параметра 9, определяющего величину отклонения от самосопряженного оператора Н0 (при 9 ф 0 числовая область Num(0) := {(HgfJ) : f £ D(Hg), ||/|| - 1} есть угол {0 < sgn# • argz < |#|}). По той же причине оператор 3) обозначаем

Ьр.

Рассмотрим оператор D^ = D® + Q, где Q — оператор умножения на матрицу Q(z) с суммируемыми на 7 элементами (см. (38)). Ниже (см. формулы (40) и (41)) будет показано, что спектр оператора£?7 лишь постоянным множителем отличается от спектра оператора Л, действующего в пространстве L2 ((0,1); С2) по формуле

Au = A0u' + Aiu (11)

и имеющего область определения

D(A) = {и1г2 G АС[0,1] : А0и' + Аги G L2 ((0,1); С2) : Su(0) = Ru(l) = 0}.

(12)

Здесь S = (1, s), R = (1, г), s-r ф 0, Ао, А\ — квадратные матрицы 2-го порядка, элементы ац матрицы А\ суммируемы на (0,1), А^г(х) = diag(ai(x), 02(0;)), функции ai(x'), а2(х) непрерывны, вместе с функцией ai(nr) — а2(х) не имеют нулей на [0; 1] и

(А) функцияа(х) = arg (ai(x)—а2(х)) монотонна иа[0,1] и |а(1) —а(0)| <

7Г.

Спектральная теория операторов вида А восходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа [88, 89], Я.Д. Тамаркина [68, 136] и Дж.Д. Биркгофа, Р.Е. Лангера [90]. Так, в работах [88, 89] для уравнения

У{п) + Wn~2) + ... + Qn-iV = А пу, (13)

которое эквивалентно системе AY = А У с Ао = I, был введен класс регулярных краевых условий и были найдены асимптотики собственных чисел и собственных функций соответствующей краевой задачи. Кроме того, было получено разложение достаточно гладкой функции в ряд по корневым векторам этой задачи. Впоследствии в [68, 136] и [90] эти результаты были распространены на краевые задачи для систем вида

B0Y' -f B\Y = XY, Y = (yi,..., yn)T, x G [0,1], (14)

где Во, Вi — достаточно гладкие матрицы n x n, Bq(x) при каждом x G [0,1] невырождена, диагонализуема и собственные значения d\,...,dn матрицы Bq1{x) удовлетворяют условиям

aig(di(x) — dj(x)) = а.ц = const, i,j = 1 ,п, %Ф j. (15)

А именно, в [68] было показано, что если соотношения (15) верны, то фундаментальная матрица решений (ФМР) системы (14) при больших А допускает

асимптотические разложения, равномерные noargA и х G [0,1]. Это позволило определить и для системы (14) класс регулярных краевых условий

5У(0) + RY{ 1) = 0, (16)

где S,R — квадратные матрицы n-го порядка. В дальнейшем краевые задачи для систем вида (14), а также для уравнения (13) изучались многими авторами с различных точек зрения (см.[53, 117] и имеющуюся там библиографию). При этом основные усилия были направлены на выяснение условий на матрицы S, R (и соответствующую матрицу, задающую краевые условия для уравнение (13)), при которых система корневых функций обладает свойством полноты [31, 46, 74, 78, 79]), базисности ([29, 80, 81,118]), а также классов функций, разложимых по корневым функциям ([75] и др.). Однако, за редким исключением (об этом — чуть ниже), во всех этих исследованиях неизменно присутствовало условие (15). Между тем операторы видаЛ, для которых условие (15) не выполняется, представляют как практический, так и теоретический интерес (см. [10, 115, 128, 135], а также главу X монографии [117]).

Если отказаться от условия (15), то возникают трудности, связанные с отсутствием асимптотических разложений для ФМР системы (14): непонятно, как определять краевые условия, что понимать под регулярностью. Обратимся к тем результатам, которые были получены без предположения условия (15). Первая попытка отказаться от этого условия была предпринята P.E. Лангером в работе [114], в которой взамен условию (15) требуется аналитичность матриц Д) и В\ в некоторой окрестности Q отрезка [0,1], такой, что для любой точки z £ О, и пары (i,j) существует кривая 7ij(z), лежащая целиком в Q, соединяющая точку zcO или 1, при движении вдоль которой точки С аргумент функции f^(di(t) — dj(t))dt постоянен. При выполнении этого условия Лангер получает те же результаты, что в [90] и [68, 136]. Отметим также работы [4, 5], в которых найдена асимптотика спектра (всего или только части, расположенной в определенном угле) оператора второго порядка, порожденного в L2 ((0,1);СП)

дифференциальным выражением Си = —^ + ф(£)гг(£), а €

[0,2), А £ С°°([0;1]), ф 6 С([0;1]), и граничными условиями типа Дирихле в случае, когда собственные числа матрицы А (все или только часть из них) меняются на фиксированных лучах. В работе [98] показано, что в случае, когда матрица Во кусочно постоянна и В\ = 0, характеристическая функция спектра краевой задачи (14), (16) является квазиполиномом, так что (см. [38]) спектр допускает представление

т оо

с^ = 1 ] I ] \Нэ, Дш а^(ду) = щ, г = I/т, (17)

^^ 7—»ОО

»=1^ = 1

где т £ N. При некоторых дополнительных условиях представление (17) сохраняет силу и в случае бесконечного числа «кусков» (т = оо) [19]. Класс матриц Во,В\ для которых спектр задачи (14), (16) удовлетворяет (17), не исчерпывается рассмотренными выше. В работе [12] показано, что формула (17) верна (при В\ = 0) для

/ \ -1 / п 1 \

(18)

где функция д кусочно аналитична на [0,1] и бесконечно дифференцируема в точках «склейки».

В связи со сказанным возникает

Задача 0.1. Выяснить, насколько необходимы фигурирующие в работах [12, 19, 98, 1141 условия кусочной аналитичности матриц Во, В\, при которых спектр соответствующего оператора А локализован около конечного числа лучей в смысле (17).

Решению этой задачи посвящена вторая глава: будет найдено необходимое и достаточное условие на матрицу Во, удовлетворяющую условию (А), и произвольную суммируемую матрицу В\, при котором спектр оператора Л локализован около конечного числа лучей.

Поясним выбор краевых условий в (12). Во-первых, как уже отмечалось, основная трудность обусловлена отсутствием асимптотических оценок для ФМР системы (14), а не краевыми условиями. Поэтому нет необходимости выбирать краевые условия наиболее общего вида. Во-вторых, при А\ = 0 система уравнений Аои' = \ш решается точно, при этом краевые условия в (12) обладают таким же свойством, что и регулярные по Биркгофу условия, в частности, условие 5 • г ф 0 не только достаточно, но и необходимо для дискретности спектра оператора А. В-третьих, при преобразовании оператора А в оператор краевые условия в (12) сохраняют свой вид (см. (5) и (б)).

Как уже было отмечено, спектры операторов А и отличаются лишь постоянным множителем. £>7 есть оператор Дирака с матричным потенциалом (5 = С^(Ао,А\), который, в зависимости от Ао,А\, может быть сколь угодно гладким. Но, в отличие от случая, когда 7 — отрезок, невозмущенный оператор И® является спектрально неустойчивым в следующем смысле: собственные числа имеющие асимптотику А^ ~ 7гк, к —> ±оо, под действием сколь

угодно гладких и малых (по норме) возмущений могут быть «разбросаны» так, что они на бесконечности могут быть локализованы (в смысле (17) или Определения 0.1) около произвольного (конечного или бесконечного) числа лучей (см. п. 2.5). Поэтому мы ожидаем, что спектр оператора а значит, и А может иметь вид (17) лишь для весьма узкого класса матриц Ао, А\. Эта гипотеза для оператора А с матрицей А$ вида (18) и А\ — 0 была высказана М.В.Федорюком еще в 1983 году [70, с.127]. Решая Задачу 0.1, мы фактически подтверждаем эту гипотезу.

Рассмотрим оператор Нд. Известно (см., например, [36, 37, 99]), что собственные числа Но простые, лежат на луче а^А = 20/(2 + а) и имеют асимптотику:

10г 2сх

Хп ~ С0 • е^п^, С0 > 0, (19)

система собственных функций {/пполна в Ь2{0,оо). При 9 = 0 {/п}?0 об-

разуют ортонормированный базис в Ь2(0, оо), оператор Но согласно теореме Келдыша является спектрально устойчивым: если V — оператор умножения на функцию У(х), удовлетворяющую условию

V е Ь\ос[0, +оо), У{х) = о (ха), Х- +оо, (20)

то собственные числа {/¿к}™ оператора Ьд = Нд+У при надлежащей нумерации имеют асимптотику

//„ ~ Лп, п оо. (21)

Если 0 < \9\ < тг, то (см. [99])

К = тт^т > С0ес*п, (22)

где /* — нормированная собственная функция, соответствующая собственному числу Лп оператора I/*, Со,С\ — положительные числа. Так как почти норми-рованность некоторого базиса влечет почти нормированность биортогонального ему базиса [8, с. 372], то из (22) следует, что при 0 < \9\ < 7Г никакой базисно-сти нет. Оценка (22) означает, что оператор Ид является спектрально диким в смысле определения из [99]. В работах [100-102] показано, что если г = гё1/3, где 0 < (3/9 < 1, то

\\(Нв - г)~1\\оо, х У оо. (23)

Из результатов работ [92, 93, 120] следует, что соотношение (23) при а = 2 верно и тогда, когда г уходит в оо по кривой х = х + гха, 1/3 < а < 1. Численные расчеты, полученные в [93, 105], показывают, что постоянная 1/3 является оптимальной. Аналогичная картина имеет место вблизи луча а^А = 29/(2 +а).

Таким образом, оператор Нд при 9 ф 0 является спектрально неустойчивым. Поэтому так же, как в случае с оператором следует ожидать, что класс возмущений V, при которых имеет место (21), весьма узок. Из результатов работ [9, 72] следует, что этому классу принадлежит оператор умножения на функцию V, которая

А) локально суммируема на [0,+оо), допускает аналитическое продолжение в угол Ug = {—9/{2 +а) < argz < О}2, непрерывно продолжается до любой конечной точки границы,

Б) удовлетворяет оценке V(z) = o(za), z —>■ оо, равномерно по —9/(2 + о;) < argz < 0.

В связи с этим возникает

Задача 0.2. Выяснить, насколько необходимы условия А) — Б) для выполнения оценки (21).

Решению этой задачи посвящена третья глава.

Оператор вида Ьр, где вместо /Зх~7 в качестве потенциала выступает произвольная комплекснозначная локально суммируемая на [0, +оо) функция q, стремящаяся к 0 на +оо, условимся также называть оператором Шрединге-ра с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП). Спектральная теория ОШКУП берет свое начало в работе М.А. Наймарка [54], в которой впервые были обнаружены так называемые спектральные особенности и их особая роль в теоремах разложения. В дальнейшем результаты работы [54] уточнялись и обобщались В.Э. Лянце [40] — [44], Б.С. Павловым [55] — [57], Б.Я. Левиным [34], Дж. Шварцем [127], Х.Х. Муртазиным [51] и др. (более подробную библиографию см. в [53, с.490]).

Особый интерес к ОШКУП обусловлен, прежде всего, потребностями квантовой механики. Как известно (см., например, [62, §Х1.3]), рассеяние в квантовой механике описывается волновыми операторами Q±(H, Но), где Щ,Н — гамильтонианы свободной и взаимодействующей систем соответственно. Одна из основных задач теории рассеяния — доказательство существования и (слабой) асимптотической полноты операторов Г2± (см. [62, §Х1.1]). Ключевую роль при решении этой задачи играют оценки граничных значений резольвенты оператора Н : (Н — Е ± г'0)-1, Ее aess. Существует весьма изящная и эффективная

2 Считаем, что 0 < в < ж — случай —7г < 9 < 0 полностью аналогичен рассматриваемому.

конструкция, позволяющая не только исследовать поведение резольвенты вблизи вещественной оси, но и построить (в случае аналитичных потенциалов) меро-морфное продолжение резольвенты на нефизический лист, выявлять собственные числа Н, погруженные в существенный спектр, а также резонансы — полюса резольвенты на нефизическом листе. Речь идет о методе комплексного скей-линга, в процессе применения которого и возникают ОШКУП. В дальнейшем нам понадобится только простейший — «обыкновенный» — вариант комплексного скейлинга (см. [76, §8.1]), применимый к гамильтонианам двухчастичных систем с центрально-симметричным потенциалом. Не вдаваясь в подробности, напомним лишь основные моменты этого метода на примере «обыкновенного» комплексного скейлинга (подробное изложение можно найти в оригинальных статьях Дж. Агиляра и Дж. Комба [84], Е. Балслева, Дж. Комба [87] и Б. Саймона [130]).

В качестве Но мы возьмем оператор Lo := Lp\p=0 и положим H = Но + Q, где Q — оператор умножения на вещественнозначную функцию g, такую, что Q компактен относительно Hq. Тогда cress(H) = [0, +оо) и <JdiSC(H) либо пуст, либо состоит из конечного или бесконечного числа отрицательных простых собственных чисел {Ак}, которые могут скапливаться только к 0.

Рассмотрим однопараметрическое семейство унитарных растяжений из L2(0, +оо) [Uuip](x) = е%(р(ешх), где wGl. Имеем

Я H := UuHU~l = е-2" Но + Q(u), (24)

где Q(u>) — оператор умножения на функцию q(e%x). Предположим, что q допускает аналитическое продолжение в угол |argz| < а так, что Q(uj)(Hq + I)-1 является аналитической операторнозначной (со значениями на множестве ограниченных операторов) функцией в полосе Sa — {w G С : |Ima;| < а}. Тогда H(uj) допускает продолжение до семейства операторов, аналитических в смысле Като в полосе Sa (см. [63, с. 27]). В силу компактности Q(Hq + I)-1 и аналитичности Q(üj)(Hq + I)-1, оператор Q(uj) при каждом и G Sa компактен отно-

сительно Но, так что <jess(H(u>)) = е-2г1тш[0, +оо). Далее, так как А*; — простое собственное значение оператора Н(0), то по Теореме XII.13 из [63] при малых со £ С вблизи А& существует единственное собственное значение Afc(u?) оператора Н(си), аналитические около и = 0. С другой стороны, при вещественных о» оператор Н(и) унитарно эквивалентен оператору Н, так что Ak{oj) = Ak при всех малых вещественных и. Следовательно, \к(ш) = А& при всех достаточно малых wGC.

Невещественные собственные значения Н(со) называются резонапсами. Оказывается, резонансы — это в точности полюса резольвенты оператора Н на нефизическом листе (точнее, аналитического продолжения резольвенты). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим выражение

+00

Яр{г) = (</?, (Я - 20~V> := J V{t) [(Я - z)~l)ip] (t)dt, z e p(H),

o

где ip — произвольная функция, аналитичная в угле {|arg,z| < а} и такая, что

+оо

sup / \ip(ei/5t)\2dt < оо.

\0\<а J

При вещественных и имеем R<p{z) = R<p{z,u) := {U~l<p, (H(üo) — z)~lUu^p). В силу сказанного выше, при каждом Imz > 0 функция R^z, и) аналитична в полосе {а; : — min{a, argz} < Imu; < min{a, 7г/2}, a потому не зависит от а; в указанной полосе. Отсюда, выбирая любое щ из полосы 0 < Imu; < min{a, 7г/2}, получим мероморфное продолжение функции R^z) через [0, +оо) в угол, ограниченный лучами [0, +оо) и <7ess (#(w0)) = e~2ÍImw°[0, -foo). Возникающие при этом полюса функции R^z) совпадают с полюсами (Я(си) — z)~l, то есть с резонансами оператора Н(ои).

При V = яГ7 оператор Н(ш) лишь постоянным множителем е~2ш отличается от оператора Ьр с (3 = е^2-7^. Следовательно, резольвента ОШКУП Ьр, а значит, и его функция Вейля допускают мероморфное продолжение с области С\а(Ьр) через луч <7ess(bp) = [0, +оо) на нефизический лист. Этот факт

(еще до появления метода комплексного скейлинга) был установлен В.Э. Лян-це в [43],[44] для ОШКУП в классе достаточно быстро (порядка О(х'~7), 7 > 2) убывающих потенциалов, допускающих аналитическое продолжение в некоторый угол. В 1982 г. результат В.Э. Лянце был распространен Х.Х. Муртазиным на случай потенциалов с произвольной скоростью убывания. Как в вышеупомянутых работах, непосредственно посвященных ОШКУП, так и в огромном числе работ, где применяется метод комплексного скейлинга (см.,например, обзоры [139], [134], а также [116]), [133], [67] и имеющиеся там ссылки), неизменно присутствует требование аналитичности коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений, что не может не вызвать вопроса о степени необходимости такого требования. Первая часть четвертой главы посвящена обсуждению этого вопроса на примере оператора Ьр и его (относительно компактных) возмущений.

Как известно (см., например, [103], [39]) линеаризация уравнения На-вье - Стокса, описывающего плоскопараллельное течение жидкости в канале {(а;, £,77) £ М3 : \х\ < 1}, приводит к задаче Орра - Зоммерфельда

(О2 - а2)2у - гаЯ [д(х)(П2 - а2) - д"(х)]у = -гаДА(Р2 - а2)г/, (25)

Здесь В — й/йх, д(х) — скорость стационарного профиля жидкости в канале \х\ < 1, а ф 0 — волновое число, Я, — число Рейнольдса, обратно пропорциональное вязкости жидкости, А — спектральный параметр. Подстановка

у{± 1) = у'(± 1) = 0.

х

-1

приводит уравнение (25) к виду

ге2г" + д(х)г + Кг =

(26)

где

Kz = J sh2(> - t)q"(t)z{t)dt, e = -l

Левая часть уравнения (26) отличается от выражения (10) лишь интегральным членом. По этой причине (подробности см. в [66] и [77]), оператор Ь£ принято рассматривать в качестве упрощенной модели для оператора Орра - Зоммер-фельда. Правомерность такой трактовки впервые была обоснована в работе [69], в которой было доказано, что при q(x) = х или х2 спектры операторов Орра - Зоммерфельда при больших R > 0 и Ь£ при малых г > 0 накапливаются около одного и того же множества, называемого предельным спектральным графом (ПСГ) и состоящего из трех кривых, соединяющих некоторую точку Ао £ П := {А : ImA < 0, т < ReA < М}, т - min q(x), М — max q{x), с

ж€[-1,1] аге[—1,1]

точками т,М и —гоо («спектральный галстук»). В дальнейшем в работе [129]

этот результат был распространен на класс AM функций q, которые

a) вещественны и строго монотонны на отрезке [—1,1];

b) допускают аналитическое продолжение в некоторую окрестность G отрезка [—1,1] такую, что q{G) D П, q непрерывна на замыкании области D := д-1(П), отобраоюение q : D —> П — биекция.

Если условие монотонности нарушается, то, как показано в [58] и [77], ПСГ операторов Ь£ может иметь более сложную структуру. Однако и в том и в другом случае часть ПСГ, лежащая в области Пс = {А G П : |А— {т + М)/2\ > с}, при достаточно больших с > 0 состоит из единственной кривой. Более того, если q G AM, то (см. [77], Лемма 2.6) это утверждение остается справедливым и в том случае, когда е —> 0 по любому лучу arge = в (это свойство назовем /^-свойством):

существует достаточно большое с > 0, что множество Г(с, в) — часть ПСГ операторов Ь£, arge = в, лежащая вне круга {\z — (m + М)/2| > с], ~ состоит из единственной кривой у (с, в) = 7оо($) П {\z — (т + М)/2| > с}, где

кривая 7оо(0) определена по формуле

ТЬоДО = {Л: а^(ф(А)) = в + тг/2}, (27)

1

<Э(А) = I у/Ия{х) - Х)с1х, (&тgQ(m) = тг/4), (28)

-1

то есть для любого т > 0, |0| < 7г/2 найдется /г(#,т) > 0 такое, что при всех 0 < /г < Н(0,т) часть спектра оператора Ь£,е = /ге^, лео/сащая вне круга {\г — (т + М)/2| > с}; содержится в т-окрестности кривой 7(с, 0).

С другой стороны, ПСГ операторов Ь£ с кусочно постоянным потенциалом состоит из конечного или бесконечного числа лучей видара = {г = а — И, t > 0},т < а < М [19, 98, 119]. Наличие разрывов функции д не по существу: из двух аналитических кусков можно склеить бесконечно гладкую функцию<7 так, что Г (с, в) при всех достаточно больших с > 0 будет состоять из двух гладких кривых, имеющих единственную общую точку —гоо (см. Пример 1 из [12]).

Отсюда возникает предположение: ПСГ операторов Ь£ с потенциалом д обладает 1се-свойством лишь в том случае, когда д допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [—1,1]. Вторая часть четвертой главы посвящена проверке высказанной гипотезы.

Перейдем теперь к подробному изложению полученных результатов. В первой главе доказывается критерий безмонодромности для уравнения Штурма - Лиувилля и системы Дирака, представляющий собой ядро метода, на котором будут основываться все утверждения о классах возмущений операторов 1) — 4).

Кривую 7 на комплексной плоскости договоримся называть кусочно - гладкой, если для нее существует параметризация

г = х(х), хв [0,1], (29)

удовлетворяющая следующим условиям: при некотором разбиении 0 = хо < XI < < хт-1 < хт = 1 г е 1,хЦ и г'(х) ф О V х € [^¿-.1,^], г =

1,ш. Такую параметризацию будем называть допустимой. Если функция у(г) абсолютно непрерывна на кусочно гладкой кривой 7 (относительно меры \йг\ на 7), то функция г;(х) := у(г(х)) абсолютно непрерывна на [0,1]. Функцию

у'(г):=у'(х)/г'(х), (30)

определенную почти всюду на 7, будем называть производной вдоль 7. Аналогично определим у"[г] и т.д. (в предположении что эти объекты существуют). Отметим, что у', у",... не зависят от выбора допустимой параметризации. Зафиксируем кусочно - гладкую кривую 7 с допустимой параметризацией (29), удовлетворяющей условиям 2;(0) = 0, г{1) — 1, и рассмотрим спектральную задачу

- у"{г) + я(г) ■ у{х) = Х2у{г), г е 7, (31)

2/(0) = 2/(1) = 0. (32)

где <7 € Ь1(7). Обозначим через {А^}^ собственные числа этой задачи, пронумерованные в порядке неубывания модулей с учетом кратностей. Если функция д аналитична в области О, ограниченной кривой 7 и отрезком [0; 1], и непрерывна вплоть до границы Г2, то спектр задачи (31) — (32) не меняется при деформировании кривой 7 в отрезок [0,1], так что

Хк ~ 7Гк, к +оо. (33)

Ясно, что для выполнения (33) вовсе необязательна аналитичность д. Например, при

. . ь>(и — 1) ^

Ф = т^-аеП, 1/

(г - а)2

решения (31) выражаются через функции Бесселя полу цел ого порядка [3], которые не имеют ветвления в точке а, поэтому при замене 7 на отрезок [0; 1] спектр задачи (31) — (32) не меняется, так что и в этом случае справедливо соотношение (33).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ишкин, Хабир Кабирович, 2013 год

Литература

1. Агранович М. С. О суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряженных эллиптических операторов // Функц. анализ и его прил. Т. 10, № 3. 1976. С. 1-12.

2. Аленицын А. Г. Расщепление спектра, порожденное потенциальным барьером в задачах с симметричным потенциалом // Дифференц. уравнения. Т. 18, №11. 1982. С. 1971-1975.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Т. 2. М.: Наука. 1974. 295 с.

4. Бойматов К. X., Костюченко А. Г. Распределение собственных значений несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка // Вестн. МГУ. Сер. матем., мех. № 3. 1990. С. 24-31.

5. Бойматов К. X. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Мат.заметки. Т. 51, № 4. 1992. С. 8-16.

6. Бойматов К. X. Оператор Штурма - Лиувилля с матричным потенциалом // Мат.заметки. Т. 16, № 6. 1974. С. 921-932.

7. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963. 340 с.

8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965. 448 с.

9. Евграфов М. А., Федорюк М. В. Асимптотика решений уравнения и)"(г) -\-piz, Х)и)(г) — 0 при X —> со в комплексной плоскости г // Успехи мат. наук. Т. 21, вып. 1. 1966. С. 3-50.

10. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солито- нов. Метод обратной задачи М.: Наука. 1980. 319 с.

11. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Т. 1. М.: Гостехиздат. 1956. 591 с.

12. Ишкин X. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма - Лиувилля на кривой // Мат. Заметки. Т.78, Я2 1. 2005. С. 72-84.

13. Ишкин X. К. О критерии локализации собственных чисел спектрально неустойчивого оператора // Докл. АН. Т. 429, № 3. 2009. С. 301-304.

14. Ишкин X. К. О спектральной неустойчивости оператора Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом // Дифф. уравнения. Т. 45. № 4. 2009. С. 480-495.

15. Ишкин X. К. Об аналитических свойствах функции Вейля оператора Штурма - Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом // Уфимский матем. журнал. Т. 5, № 1. 2013. С. 36-55.

16. Ишкин X. К. Об условиях локализации предельного спектра модельного оператора, связанного с уравнением Орра - Зоммерфельда // Докл. АН. Т. 445, № 5. 2012. С. 506-509.

17. Ишкин X. К. О критерии однозначности решений уравнения Штурма -Лиувилля // Мат. заметки. Т. 84, № 4. 2008. С. 552-566.

18. Ишкин X. К. О критерии безмонодромности уравнения Штурма-Лиувилля // Мат. заметки. Т.94, № 4. 2013. С. 552-568.

19. Ишкин X. К. О локализации спектра задачи с комплексным весом // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 5. С. 49-64.

20. Ишкин X. К., Муртазин Х.Х. О квантовом дефекте оператора Дирака с неаналитическим потенциалом // ТМФ. Т. 125, № 3. 2000. С. 444-452.

21. Ишкин X. К. Критерий расщепления спектра // Мат. заметки. Т.72, № 5. 2002. С. 670-681.

22. Ishkin Kh. К. On continuity of the spectrum of a singular quasi-differential operator with respect to a parameter // Eurasian Math. J. V. 2, № 3. 2011. P. 67-81.

23. Ишкин X. К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингулярных дифференциальных операторов высшего порядка// Дифф. уравнения. Т. 31, № 10. 1995. С. 480-490.

24. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.

25. Кацнельсон В. Э. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов // Функц. анализ и его прил. Т. 1, № 2. 1967. С. 39-51.

26. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. Т. 77, № 1. 1951. С. 11-14.

27. Келдыш М. В. Об одной тауберовой теореме // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. Т. 38. 1951. С. 77-86.

28. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи мат. наук. Т. 26, К- 4. 1971. С. 15-41.

29. Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов // Изв. вузов. Матем. № 2. 1964. С. 82-93.

30. Коренблюм Б. И. Общая тауберова теорема для отношения функций // ДАН СССР. Т. 88, № 5. 1953. С. 745-748.

31. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки //Функц. анализ и его прил. Т. 12, № 4. 1978. С. 24—40.

32. Кравицкий А. О. О двукратном разложении в ряд по собственным и присоединенным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Дифференц. уравнения. Т. 4, №1. 1968. С. 165-177.

33. Левин Б. Я. Распределения корней целых функций М.: ГИТТЛ. 1956. 632 с.

34. Левин Б. Я. Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи решений дифференциального уравнения второго порядка // ДАН СССР. Т. 106, № 2. 1956. С. 187-190.

35. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. М.: Наука. 1988. 432 с.

36. Лидский В. Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряженных операторов с дискретным спектром // Тр. ММО. Т. 8. 1959. С. 83-120.

37. Лидский В. Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром // Тр. ММО. Т. 9. 1960. С. 45—79.

38. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функ. анализ и его прил. Т. 1, вып. 2. 1967. С. 52-59.

39. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости М.: ИЛ. 1958. 195 с.

40. Лянце В. Э. Об одном обобщении спектральной меры. 11 Матем. сб. Т. 61(103), № 1. 1961. С. 80-120.

41. Лянце В. Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. I// Матем. сб. Т. 64(106), № 4. 1964. С. 521-561.

42. Лянце В. Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. II// Матем. сб. Т. 65(107), № 1. 1964. С. 47-103.

43. Лянце В. Э. Разложение по главным функциям оператора со спектральными особенностями. /// Revue roum. de math, pure et appl. V. 11, №8. 1966. P. 921—950.

44. Лянце В. Э. Разложение по главным функциям оператора со спектральными особенностями. II / / Revue roum. de math, pure et appl. V. 11, №10. 1966. P. 1187-1224.

45. Лянце В. Э. Аналог обратной задачи теории рассеяния для несамосопряженного оператора // Матем.сб. Т. 72 (114), № 4. 1967. С. 537-557.

46. Маламуд M. М., Оридорога Л. Л. О полноте системы корневых векторов для систем первого порядка // Докл. АН. Т.435, №3. 2010. С. 298-304.

47. Маркус А. С., Мацаев В. И. Операторы, порожденные полуторалинейны-ми формами и их спектральные асимптотики. Линейные операторы и интегральные уравнения. Кишинев: Штиинца. 1981. С. 86-103.

48. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики. Тр. ММО. Т. 45. 1982. С. 133-181.

49. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций М.: Наука. 1978. 416 с.

50. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка. 1977. 332 с.

51. Муртазин X. X. О свойствах резольвенты дифференциального оператора с комплексными коэффициентами // Мат. заметки. Т.31, № 2. 1982. С. 231-244.

52. Муртазин X. X., Амангильдин Т. Г. Асимптотика спектра оператора Штурма — Лиувилля // Матем. сб. Т. 110(152). № 1. 1979. С. 135-149.

53. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы М.: Наука. 1969. 528 с.

54. Наймарк М. А. Исследования спектра и разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси // Тр. ММО. Т. 3. 1954. С. 181-270.

55. Павлов Б. С. О несамосопряженном операторе Шредингера на полуоси// В сб. "Проблемы математической физики". Вып. 1. 1966. С. 102-132.

56. Павлов Б. С. О несамосопряженном операторе Шредингера на полуоси!I В сб. "Проблемы математической физики". Вып. 2. 1967. С. 82-112.

57. Павлов Б. С. О несамосопряженном операторе Шредингера на полуоси// В сб. "Проблемы математической физики". Вып. 3. 1968. С. 59-80.

58. Покотило В. И., Шкаликов А. А. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом // Мат. заметки. Т. 86, №3. 2009. С. 469-473.

59. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950. 337 с.

60. М. Рид., Б. Саймон. Методы современной математической физики Т. 1. М.: Мир. 1977. 360 с.

61. М. Рид., Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир. 1978. 400 с.

62. М. Рид., Б. Саймон. Методы современной математической физики Т. 3. М.: Мир. 1982. 448 с.

63. M. Рид., Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир. 1982. 432 с.

64. Розенблюм Г. В, Соломяк М. 3., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Уравнения в частных производных - 7. Итоги науки и техники. Сер. соврем, пробл. Мат. Фунд. напр. Т. 64. М.: ВИНИТИ. 1989. С. 5-242.

65. Сахнович JI. А. О спектре радиального уравнения Шредингера в окрестности нуля // Матем. сб. Т. 67(109), № 2. 1965. С. 221-243.

66. Степин С. А. Несамосопряженные сингулярные возмущения и спектральные свойства задачи Орра - Зоммерфельда // Мат. сборник. Т. 188, № 1. 1997. С. 129-146.

67. Степин С. А., Тарасов А. Г. Спектр резонансов оператора Шрёдингера с быстроубывающим потенциалом // Мат. сборник. Т.200, № 12. 2009. С. 121-156.

68. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды Петроград. 1917. 305 с.

69. Туманов С. Н., Шкаликов А. А. О локализации спектра задачи Ор-ра-Зоммерфельда для больших чисел Рейнольдса // Мат. заметки. Т. 72, № 4. 2002. С. 561-569.

70. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука., 1983. 352 с.

71. Федорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.

72. Федорюк М. В. Асимптотические методы в теории обыкновенных линей-

ных дифференциальных уравнений // Матем. сб. Т. 79(121), № 4(8). 1969. С. 477-516.

73. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Мир. 1970. 720 с.

74. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов // Функциональный анализ. СМФН. Т. 10. М.: МАИ. 2004. С. 3-163.

75. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Матем. сборник. Т. 70 (112), № 3. 1966. С. 310-329.

76. X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии М.: Мир. 1990. 408 с.

77. Шкаликов A.A. Спектральные портреты оператора Орра-Зоммерфельда при больших числах Рейнольдса. Труды международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 11-17 августа, 2002). Часть 3. СМФН. Т. 3. М.: МАИ. 2003. С. 89-112.

78. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Функц. анализ и его прил. Т. 10, № 4. 1976. С. 69-80.

79. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Функц. анализ и его прил. Т. 16, № 4. 1982. С. 92-93.

80. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора // УМН. Т. 34, № 5(209). 1979. С. 235-236.

81. Шкаликов А. А. О базисности корневых векторов возмущенного самосопряженного оператора. Теория функций и дифференциальные уравнения, Сб. статей. К 105-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. Тр. МИАН. Т. 269. М. 2010. С. 290-303.

82. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физ-матлит. 2007. 384 с.

83. Agibalova А. V., Malamud М, М., Oridoroga L. L. On the completeness of general boundary value problems for 2x2 first-order systems of ordinary differential equations // Methods of Functional Analysis and Topology. V.18, № 1. 2012. P. 4-18.

84. Aguilar J., Combes J. M. A class of analytic pertubations for one-body Schrodinger Hamiltonians // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 268-279.

85. Ambarzumian V. A. Uberline Frage der Eigenwerttheorie // Zs. f. Phys. V. 53. 1929. P. 690-695.

86. Aslanyan A., Davies Б. B. Spectral instability for some Schrodinger operators // Numer. Math. V. 85. 2000. P. 525-552.

87. Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many body Schrodinger operatorswith dilation - analytic interactions // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 280-294.

88. Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential operations contain a parameter // Trans.Amer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 219-231.

89. Birkhoff G. D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans.Amer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 373-395.

90. Birkhoff G. D., Langer R. E. The boundary problems and developments assoeiatied with a system of ordinary linear differential equations of the first order // Proc. Amer. Acad. V. 58. 1923. P. 51-128.

91. Boas R. P. Entire functions. N.Y. 1954.

92. Boulton L.S. Topics in the spectral theory of non-self-adjoint operators PhD thesis. King College. London, 2001.

93. Boulton L. S. The Non-self-adjoint harmonic oscillator, compact semigroups and pseudospectra //J. Oper. Theory. V.47. 2002. P. 413-429.

94. Brown B. M., Peacock R. A., Weikard R. A local Borg - Marchenko theorem for complex potentials // J. Comput. Appl.Math. V. 148. 2002. № 1. P. 115-131.

95. Brown B. M.,Eastham M. S. P. Spectral instability for some Schrodinger operators //J. Comput. Appl. Math. V. 148. 2002. P. 49—63.

96. Davies E. B. Linear operators and their spectra. Cambridge: Cambridge University Press. 2007. 451 p.

97. Davies E. B. Non-self-adjoint differential operators// Bull. London Math. Soc. V. 34, № 5. 2002. P. 513-532.

98. Davies E. B. Eigenvalues of an elliptic system // Math. Zeitschrift. V. 243. 2003. P. 719-743.

99. Davies E. B. Wild spectral behaviour on anharmonic oscillators// Bull. London Math. Soc. V. 32. 2000. P. 432-438.

100. Davies E. B. Pseudo-spectra, the harmonic oscillator and complex resonances // Proc. R. Soc. Lond. 1999. V. 455. P. 585-599.

101. Davies E. B. Semi-classical states for non-self-adjoint Schrodinger operators // Comm. Math. Phys. V. 200. 1999. P. 35-41.

102. Davies E. B., Kuijlaars A. B. J. Spectral Asymptotics of the Non-Self-Adjoint Harmonic Oscillator // J. of London Math. Soc. V. 70. 2003. P. 420-426.

103. Drazin R. G., Reid W. H. Hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge University Press. 1981.

104. Duistermaat J. J., Grûnbaum F. A. Differential equations in the spectral parameter // Commun. Math. Phys. V. 103. 1986. P. 177-240.

105. Embree M., Trefethen L. N. Spectra and pseudospectra: the behayvior of nonnormal matrices and operators. Princeton University Press. 2005.

106. Embree M., Trefethen L. N. Pseudospectra gateway. URL: http://www.comlab.ox.ac.uk/pseudospectra.

107. Gamow G. Zur Quantentheorie der Atomzertrummerung // Z. Phys. V. 52. 1928. P. 510-515.

108. Goncharenko V. M., Veselov V. P. Monodromy of the matrix Schrodinger equations and Darboux transformations // J. Phys. A: Math. Gen. V. 31. 1998. P. 5315-5326.

109. Gurney R. W., Condon E. U., Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration // Nature. V. 122. № 439. 1928.

110. Hager M. Instabilité spectrale semiclassique d'operateurs // Annales Henry Poincare. V. 7, № 6. 2002. P. 1035-1064.

111. Harrell E. On the rate of asymptotic eigenvalue degeneracy // Comm. Math. Phys. V. 60. 1978. P. 73-95.

112. Harrel E. Double wells // Comm. Math. Phys. V. 75. 1980. P. 239-261.

113. Hund F. Zur Deutung der Molekülspektren. Z. Phys. V. 40. 1927. P. 439.

114. Langer R. E. The boundary problem of an ordinary linear differential system in the complex domain // Trans. Amer. Math. Soc. V. 46. 1939. P. 151-190.

115. Lech M., Tolksdorf J. On the determinant of one-dimensional elliptic boundary value problems // Commun. Math. Phys. V. 193. 1998. P. 643-660.

116. Lin K. Numerical study of quantum resonances in chaotic scattering // J. Comp. Phys. V. 176. 2002. P. 295-329.

117. Mennicken R., Möller M. Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems. Elsevier, Amsterdam - London. 2003. 500 p.

118. Mikhailov V. P. On Riesz bases in L2{0,1) // Dokl. Akad. Nauk SSSR. V. 144. 1962. P. 981-984.

119. Nedelec L. Pertubations of non self-adjoint Sturm - Lioville problems, with applications to harmonic oscillator // Methodes and applications of analysis. V.13, № 1. 2006. P. 123 -148.

120. Pravda-Starov K. A complete study of the pseudo-spectrum for the rotated harmonic oscillator // J. London Math. Soc. V. 2, № 73. 2006. P. 745-761.

121. Rau A. R. P., Inokuti M. The quantum defect: Early history and recent developments // Am.J. Phys. V. 65, № 3. 1997. P. 221-225.

122. Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S. Pseudospectra of the Orr-Sommerfeld operator// SIAM J. Appl. Math. V. 53, № 1. 1993. P. 15-47.

123. Reddy S. C., Trefethen L. N. Pseudospectra of the convection - difussion operator // SIAM J. Applied Mathematics. V. 54. 1994. P. 1634-1649.

124. Redparth P. Spectral properties of non-self-adjoint operators in the semiclassical regime // Journal of Differential Equations. T. 177, №2. 2001.

125. Regge T. Analytic properties of the scattering matrix // Nuovo Cimento. V. 9. № 3. 1958. R 491-503.

126. Roch S., Silberman B. C*-algebra techniques in numerical analysis //J. Operator Theory. V. 35. 1996. P. 221-280.

127. Schwartz J.T. Some nonseladjoint operators // Comm. Pure and Appl. Math. V. 13. 1960. P. 609-639.

128. Scott S. G. Determinants of Dirac boundary value problems over odd-dimensional manifolds // Commun.Math. Phys. V. 173. 1995. № 1. P. 43-76.

129. Shkalikov A. A. Spectral portraits and the resolvent growth of a model problem associated with the Orr - Zommerfeld equationn // Electronic version: www.arXiv:math.FA/0306342vl,24.06.2003

130. Simon B. The theory of resonances for dilation analytic potentials and the foundations of time dependent perturbation theory // Ann. of Math. V. 97. 1973. P. 247-274.

131. Sims A. R. Secondary conditions for linear differential operators of the second order // J. of Mathematics and Mechanics. V. 6. 1957. P. 247-285.

132. Sjostrand J. Spectral instability for non-selfadjoint operators. Palaiseau Cedex. 2002. (Preprint / Ecole Polytechnique, France).

133. Sjostrand J., Zworski M. Complex scaling and the distribution of scattering poles // J. Amer. Math. Soc. V. 4. 1991. P. 729-769.

134. Sjostrand J. A trace formula and review of some estimates for resonances // Microlocal analysis and spectral theory (Lucca, Italy, 1996), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. V. 490. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 1997. P. 377-437.

135. Streater R. F. Stability of a hot Smoluchowski fluid // Open Sys. and Information Dyn. V. 8. 2001. R 19-27.

136. Tamarkin J. D. Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansions of arbitrary function in the series of fundamental functions // Math.Zeit. V. 27. 1927. P. 1-54.

137. Trefethen L. N. Pseudospectra of linear operators // SIAM Review. V. 39. 1997. R 383-406.

138. Trefethen L. N., Embree M. Spectra and pseudospectra: The behavior of nonnormal matrices and operators. Princeton, NJ: Princeton University Press. 2005.

139. Zworski M. Counting scattering poles // Spectral and scattering theory (Sanda, Hyogo, Japan, 1992), Lecture Notes in Pure and Appl. Math. V. 161. Dekker, Basel-New York. 1994. P. 301-331.