Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов с эллиптической главной частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шустер, Леонид Абрамович

• Шустер, Леонид Абрамович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шустер, Леонид Абрамович

ВВЕДЕНИЕ . 4.

ГЛАВА I. О собственных функциях дифференциальных операторов. 22.

§ I. Схема одного метода исследования собственных функций дифференциальных операторов на примере периодический краевой задачи. 22.

§ 2. Основ'ная априорная оценка. 28.

§ 3. Априорные оценки нелокального характера. 32.

§ 4. Теорема о представлении собственных функций и априорные оценки локального характера. 38.

§ 5. Оценки собственных функций с учетом граничных условий. 45.

§ 6. Доказательства следствий из априорных оценок собственных функций. 49.

ГЛАВА 2. Распределение спектра и выбор базиса в "пачках" собственных подпространств. 54.

§ I. О свойствах одной квадратичной формы. 54.

§ 2. Операторные неравенства и распределение спектра. 59.

§ 3. О выборе базиса в "пачках" собственных подпространств. Следствия. 67.

Глава 3. О свойствах резольвенты оператора Штурма - Лиувилля. 78.

§ I. О свойствах одного усреднения. 78.

§ 2. Определение классов потенциалов.82.

§ 3. Операторы Штурма - Лиувилля, заданные локально, и их свойства.83.

§ 4. Свойства резольвенты оператора Штурма - Лиувилля 91.

§ 5. Следствия основной теоремы.Т05.

ДОПОЛНЕНИЕ.III.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов с эллиптической главной частью»

Исследование многих задач математической физики и квантовой механики связано с разложениями в ряды по собственным функциям (с.ф.) дифференциальных операторов. При этом важное значение имеют оценки с.ф. и их производных в равномерной метрике. Такие априорные (без учета граничных условий) оценки получены для с.ф. оператора Штурма - Лиувилля в работах профессора В.А.Ильина и его школы: И.Йо, Н.Лажетича, И.С.Ломова, В.В.Тихомирова и др., а для дифференциальных операторов высокого порядка при определенных предположениях относительно расположения их спектра на комплексной плоскости оценки с.ф. локального характера даны в работах В.А.Ильина, А.М.Минкина.

Одной из основных задач спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов является исследование распределения на числовой оси их собственных значений. В связи с различными методами суммирования спектральных разложений весьма важно с одной стороны - изучить многомерные дифференциальные операторы, для которых можно точно определить распределение точек спектра на интервалах числовой оси, с другой стороны - принципиальным является выявление базиса простой структуры в подпространствах, порожденных с.ф., которые соответствуют собственным значениям, принадлежащим этим интервалам.

В последние годы активно исследуются свойства резольвент сингулярных эллиптических операторов в весовых пространствах L (J) , !J-(-oo. оо) . Традиционной моделью при этом служит оператор Штурма - Лиувилля, особое внимание уделялось вопросу о разделимости этого оператора. Основные достижения в этой области принадлежат Х.Эверитту и М.Гирцу, К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву.

Данная тематика для случая весовых пространств Ln , . (J) ,

Р > х ('/

1 4 р < оо , рФ<1 разработана недостаточно полно: достигнутый уровень общности результатов уступает известному в случае р-3, .

В настоящей диссертации изучаются свойства с.ф. дифференциальных операторов, устанавливается взаимосвязь между распределением собственных значений дифференциальных операторов и некоторыми свойствами их собственных функций, исследуются свойства резольвенты оператора Штурма - Лиувилля в весовых пространствах Lp

В 1979 г. в работе flj впервые получены априорные равномерные оценки с.ф. самосопряженного оператора Штурма - Лиувилля. С.ф. этого оператора затем исследовались в работах [2] , [з] ; окончательные в определенном смысле результаты получены в работе [4] . С.ф. дифференциального оператора высокого порядка подробно изучались в работах [5] , [б] , [7] . В этой литературе не исследовались равномерные оценки с.ф. в случаях, когда в дифференциальном уравнении высокого порядка для с.ф. коэффициенты существенно зависят от спектрального параметра, для этих дифференциальных операторов не выделены классы граничных условий, при учете которых для с.ф. и их производных могут быть получены точные по порядку оценки в равномерной метрике во всей области задания с.ф. Эти и некоторые другие вопросы составляют предмет исследования, проведенного в первой главе диссертации. Основным инструментом исследования является развиваемый здесь прием, основанный на выделении главной (в некотором смысле) части с.ф. В § I.I, который имеет вводный характер, излагается схема применения этой техники на примере одной периодической краевой задачи. Поскольку полученная при этом теорема I ^ не При ссылке на параграф, теорему, лемму или формулу из диссертации впереди добавляется номер соответствующей главы, а для введения впереди добавляется ноль. Внутри глав нумерация двойная: номер параграфа, номер утверждения. Таким образом, § I.I, теорема 0.1 - соответственно параграф I главы I, теорема I из введения. Введение и добавление снабжены сквозной нумерацией. отмечалась в литературе, приведем её формулировку. Пусть ~ С,Ф* следующей краевой задачи: Л xlK)u), J (2)

Под решением задачи (1)-(2) понимается функция такая, что функции ^ (•) » K. = 0,JLn-i являются абсолютно непрерывными и периодическими на промежутке [-1,1] -и удовлетворяют уравнению (I) почти всюду на отрезке [-1,1]

Теорема I. Пусть выполнены условия: Q (•) , /< - О, к. комплекснозначные функции, причем: Г

LA если £ =

Vе/

I Lp(-l,i), К Р если

Тогда существует абсолютная постоянная £ такая, что для любого решения задачи (I) -(2) при Ji 6 G~± - ^Х : J^J & 1 J выполняются неравенства: l

Ф.1 ,/-п|Ли 4ГЦГ (4) 50(40 ^(-1,1) при этом для суммируемой на [г 1,1] функции £6) под £ - нормой понимается следующая норма (см. [4б] ):

II °°

ML О = Z ICsl (5) где £ Cj }s = a9 - коэффициенты Фурье функции £(■) по тригонометрической системе функций. Оценки производных с.ф. '(-) , t= 3. и-2 ; £ = Лп-1 краевой задачи (1)-(2) здесь не доказываются для простоты изложения.

В последующих параграфах первой главы в качестве модели для анализа отмеченных выше вопросов рассматривается уравнение: ЛУд00' хй(а,&), » > 4 (6) при предположениях: комплекснозначный потенциал удовлетворяет условию: к где постоянная зависит только от промежутка Са±, , а, (о) - конечный или бесконечный интервал. Под решением (с.ф.) к) уравнения (б) понимается функция такая, что функции^ 0) абсолютно непрерывны при К.~ О, £и-1 и ^6) удовлетворяет уравнению (б) почти всюду на промежутке (а, в) В § 1.2 - § 1.3 доказывается

Теорема 2. Пусть в уравнении (б) потенциал удовлетворяет условию (7) при Ц < 1-^/Чп . Тогда для любого промежутка at, Si]

С (d, S) существует постоянная ^ (d±t Si) , зависящая только от промежутка [Q-i, , такая, что при любом J\6&± выполняется неравенство:

1Д р) Яи Чп причем порядок степени величины /-А/ в неравенствах (8) вообще говоря уменьшить нельзя.

Следствие I. При t-0,iln- 3 выполняются неравенства: wmtAnhM\L ,в б) ей где (a.±}Si) - абсолютная постоянная, зависящая только от промежутка (Q.it &i) С (а, &) , ^6) - любая положительная в (d^ в±) функция, имеющая непрерывные производные до порядка включительно и нули в точках 0ll , Bi порядка большего, чем сtn-L .

Если условие (7) выполняется при cLi,^] = - CL < оо , то в неравенствах (8), (8) можно промежуток заменить на промежуток [л, &]

Следствие 2. Пусть условие (7) выполняется при Coll, &L1 = -[а, 6] , в-а < оо , Л £&Л - [Л : Re A Тогда не существует абсолютной постоянной С* такой, чтобы равномерно относительно -А £ выполнялось неравенство:

Неравенства (8), (ё) являются новыми. Важное достоинство теоремы 2 - отсутствие специальных требований к характеру расположения спектра в комплексной плоскости. В § 1.2 новым приемом выводится грубая априорная оценка с.ф. в равномерной метрике, в § 1.3 применением метода В.А.Ильина (см. [i] ) на основе новой формулы среднего значения завершается доказательство теоремы 2. Следствия I, 2 доказаны в § 1.6. Отметим, что следствие 2 имеет принципиальный характер: необходимым условием равномерной ограниченности с.ф. данного дифференциального оператора является полуограниченность реальной части его спектра снизу.

Не изменяя общности, далее считаем: . Введем следующие обозначения:

1 4 ) Ы>о,цьм \ з»М, Гз >i j ни - ea) -, Kj(x)=*OdtxpL[g* #] =

4(ьх)*+(ем)л

Теорема 3. Пусть в уравнении (6) потенциал c^(-)Ji) удовлетворяет условию (7) при ytf < * -к^&ц , R. Rо , где

- достаточно большое число. Тогда при каждом J 6 б1^ для решения ^д(-) уравнения (6) имеет место представление:

УдСх) = гл(х)+ hA(x) , x£[-i,d]

9) сю —-где , К- - Ot&n-i - периодические абсолютно непрерывные функции, Z Cja)е , Cj(\)=to*si, j = o,&n-i j=0 причем выполняются неравенства: i

У). .1 ,.

11 11 'Ls(-4, lj j = 4, А, и+i. Лл-1.

-абсолютная постоянная. Если условие (7) выполняется при то утверждение теоремы 3 выполняется при хб С-4, 1J .

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого Б'б (О, {) существует зависящая только от числа <Г постоянная FCS") такая, что выполняются неравенства: . .

1&Ч ЪМк(11)-е^ ^

Теорема 3 является новой и доказана в § 1.4. Неравенства (10) при ц = О известны (см. [5] , [7] ). При ^ > О неравенства (10) являются новыми. В основе доказательства теоремы 3 лежит новое представление с.ф. ^0) в виде суммы решения некоторой вспомогательной граничной задачи и решения одного однородного уравнения, а так же применение теоремы 2.

Сопоставление теоремы 2 и следствия теоремы 3 в случае О. < оо показывает, что для распространения неравенств (10) на весь промежуток [&, ё] необходимо подчинить с.ф. ^С) не~ которым граничным условиям. Широкий класс таких условий описывается в теореме 4. Для её формулировки введем следующие обозначения, определения, условия. Рассмотрим уравнение (6) на промежутке£-4,4], предполагаем, что условие (7) выполняется при [o.,i] =[-1,4] , t*<i-S/4vi i I C)i °° " задачи С6)-С*), где (*)

- некоторые граничные условия, часть которых имеет вид: м (Л 1 л

Kv KTf V j-О 0 en)

0.<«r0 4. . . . 4 Kdn i , 0,Ли-3 J

Далее требуем, чтобы число линейно независимых условий в равенствах (II) было равно SLv\- ,2. . Обозначим: , ки = i, -- элементы множества чисел [ } : нумерация которых упорядочена по признаку: & > ПРИ К, К1- 1, Ди-Д . Для краевых условий (II) и системы положительных параметров S = примем обозначения: Ко w = 4,

Введём в изучение определитель:

Ли-З

-1 т^ги-з г -l***-* Г l^H-vr сЧ^-Т, С~4

K$cJ . . .[<£„-£.Sn-iJ KM • • - Йи-i' ^ll-Aj г -Л Г l*1 Г -^l*4 Г с~£ 1

4,Si] . . • L^-l'^-tJ KM . • -Йи-Д *SA*-AJ

Определение I. Краевые условия (??) назовём краевыми условиями с невырожденным старшим коэффициентом, если они состоят из двух условий любой структуры и условий (II); эта система условий непротиворечива, выполняются оговоренные выше требования относительно условий (II) и при всех достаточно больших значениях параметров системы $ отлично от нуля число & , определенное равенством: j = l |/»|<Ди-д J = *

II)

9l*-H i J а a ia I где тоянные

A=±l , 4=1, , О , - пос с=4

Рассмотрим подсистему Т* системы с.ф. заДачи

6)-(7)-(х)» соответствующую собственным значениям, которые принадлежат области , RyRo , ^о - достаточно большое число.

Теорема 4. Пусть выполнены сформулированные выше условия. Если (я) - краевые условия с невырожденным старшим коэффициентом, то существует абсолютная постоянная такая, что при 4/^6) £ Т выполняются неравенства: а

Я п . , . с [-1,1] 1^6-М)

Неравенства (12) и определение краевых условий с невырожденным старшим коэффициентом являются новыми. В основе доказательства теоремы 4 лежат результаты § 1.4. Теорема 4 доказана в § 1.5. Заметим, в качестве примера, что в рамках теоремы 4 можно рассмотреть случай периодических краевых условий и случай краевых условий Дирихле: (Ю, ч у (-D - / а) = о, к^о.и-!

Основная зацача, которая решается во второй главе, - доказательство некоторого аналога известной теоремы Г.Еиркгофа (см.[ю]) для многомерного случая. Имеется в виду следущее. Для одномерного дифференциального уравнения с параметром, которое рассматривается в теореме Г.Биркгофа, указывается асимптотика линейно независимой системы решений, которая является базисом для конструирования с.ф. краевых задач. В многомерном случае есть смысл искать такие базисы уже не для уравнений, но для операторов, и, как это будет видно, в "пачках" некоторых собственных подпространств, что является, например, эффективным описанием совокупности данных: подпространств. Эта задача, поставленная, насколько нам известно, впервые, рассмотрена для одного модельного оператора, и как показывает проведенное исследование, вопрос оказался тесно связанным с характером распределения спектра изучаемого оператора. Теоремы о распределении спектра, формулируемые ниже,являются новыми и представляют самостоятельный интерес. Приведем соответствующие обозначения, опредеп УУ1 ления, формулировки. Обозначим: К - евклидово пространство размерности m , S) - т - мерный куб с ребром 1 и центром в точке

О £ Rm ; (oil - cLi + d-a + . . . + dm - мультииндекс,

JL о'**'

5)---- ) A - ■ oU - j j JM > " —I + . . . -f

S,X)> - скалярное произведение векторов S , X £ R™ . с5Г< S, X>

U.CX) = Zj Cs 6 -fl^Sj^f1 при 04J4< 00 , Sj6jJ=[0,tl, ±5,-. J = m

- мерный тригонометрический полином, заданный на £) ; Т множество таких полиномов при всех конечных Л ; f(K) 9 KtJV число целых вещественных решений уравнения: sl + + ••• + = « 1 А т

- область определения соответственно оператора Л квадратичной формы (к.ф.) о£(')') ; С(Л-) - спектр оператора $ ; следующая сумма:

Z i означает число точек

Лб С (л) с учетом их кратностеи, для которых выполняется включение: ; с£(и-,и-) - K.tf). , заданная на Т выражением: п-1

Л \ 1 ( л с-) йы.1- UI--о9 f>} 5Г С^) , 1 ^ Р £ О0 - пространство периодических функций

С.Л.Соболева (см. [il] ). В § 2.1 доказана

Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия, наложенные на коэффициенты к.ф. (13):

Li(0), если <2и>ж, yyj jj.)6<Lf@) , & » Jfcjli) ' если "-f^MU"1-*» &п>т С14) Ьо(0),р S —™- , если «gw^m, 0 4 1оЦ4п-1 И

Тогда к.ф. полуограничена снизу, замкнута,

С*/ Л

Обозначим: L - самосопряженный полуограниченный снизу оператор, порожденный согласно теореме Фридрихса к.ф. ^(v) . (см.

12] ), 9(L) с W^ (9)) .

Теорема 6. Пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов к. ф. %(•>•) : m+s

L (9), если O^UKn- -g— I Г

I \ Iл Wt + 1 )

L®, P>max\l, —- f если let ,J- L d(n-UI-l)J г л ) с 15) ^ 0) E О 9 если =

Тогда для любого CL(z(^0} j^Sii^J существует такое число K(Q-) , что при любом целом К > 1С (CL) для выполняется равенство:

У"1 I = <Р(к)

V1 т (is)

Пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов к.й. :

КИ+5. если

S. у. J& > ma*[d' 0Го,4еашin>m>п- fiUUn-1 <™ то для любого ^^(Р'Л^^) сУЩествУет такое число к(&)>0 , что при всех целых £>£(&) для Л^^(Ь) выполняется неравенство:

У. 1 к т

18) с* где с - абсолютная постоянная.

Из теоремы 6 в качестве следствий (следствия I, 2) можно вывести следующие известные результаты.

Следствие I. Пусть rvi = 1 . Тогда существуют такие абсолютные постоянные а , , к. С а) , что для Л СХь) при целых выполняется неравенство:

L. i

Следствие 2. Пусть £ о - оператор, заданный на

С? (-1,1) дифференциальным выражением: / ч И у (х) + <j,(x)y(x) ^ где на потенциал С^(-) наложено следующее условие: / Li(-l,i)y если И>1

21) i LpHA), Р>1> если H^l

Тогда существуют такие абсолютные постоянные о. >0, с , К-Са)>0 такие, что для любого положительного самосопряженного расширения оператора со при целых fc(a) для выполняется неравенство:

2] 1 4 е

1^-KSrUa (22)

Теорема 5 и следствия I, 2 доказаны в § 2.2. Обозначим & оператор, соответствующий дифференциальному выражению: и ви -(-A) U,(x) + cp(x)u(x) , Х60, (23) и периодическим краевым условиям на причем

В § 2.3 доказана

Теорема 7. Пусть п > т+ d , й 6 (о, j ST3-) , Н(- подпространство Lq (£)) , порождаемое с.ф. оператора £ , которые соответствуют собственным значениям, удовлетворяющим неравенству: I - КЯ* I 4 а.

Тогда найдется число К (а) такое, что при любом целом К-> fC(CL) в НС) существует базис, представляемый набором функций t v) vac) l Jl , причем:

И,(Х) = g + 0( * J

С ~ • - (24) где вектор £ • • пробегает целочисленные решения уравнения: + . • • + Sm = /С символ 0 (') понимается в смысле $ - нормы.

В основе доказательства теоремы 7 лежит доказанная новым приемом лемма 2.3.3 и теорема 6.

Лемма 2.3.3. Пусть , ^ Цд О)J^^(q) ~ С*Ф* опе~ ратора Е . Тогда существует абсолютная постоянная такая, что при

XeC(Q) выполняется неравенство: ж-i причем показатель степени величины \\\ не может быть уменьшен.

В последние годы активно разрабатываются методы изучения свойств резольвенты эллиптических операторов в весовых пространствах L (й) и , в частности, резольвенты оператора Штурма

Лиувилля (см. [lb] - [27] и др.). Наиболее общие результаты, полученные вариационным методом , даны в работе [23] . Эта тематика для случая весовых пространств L , d 4 Р < ОО разрабатып валась для оператора Штурма - Лиувилля в основном в работе [28] и имеющийся в ней уровень общности результатов уступает достигнутому в случае р = «£ .В главе 3 разрабатывается методика, которая позволяет для резольвенты оператора Штурма - Лиувилля в весовых пространствах L ^^ ($) , i 4 р < оо , рФЗ. получать теоремы такого же уровня общности.

В § 3.1 введена вспомогательная функция ^ (•) , в терминах которой будут даваться далее основные формулировки. Пусть C^O^-i, Рос. й) , £ , У! - натуральные числа. Определим функцию Ь'Амр) (26)

С , \2LK-I [*,?JcD<-Kd,x+icdJ Г ' \ ^ } d>0i p-jL ^a.KvcLd J

Функции-усреднения такого типа впервые появились в работах М.Отелбаева. Некоторые их свойства описаны, например, в работе у

29] . В § 3.1 подробно рассматриваются свойства функции (.),

Wj /с

Часть предложенных здесь доказательств отличается большей общ -ностью, чем в работе [29 J . В § 3.2 вводятся важные для последующего классы - своеобразная параметризация пространства

LJ Ш и доказывается, что при классы совпадают между собой и Lo СИ) . Рассмотрим оператор (L + AоЕ) , заданный на С? (3) дифференциальным выражением:

L+л= + (27)

Рос где > 1 , (},(•)€ Lp (й) , Е - тождественный оператор в Lp ( У) * В §3.3 подробно проанализированы локальные свойства оператора . В некоторых случаях (например, лемма 3.3.4) предложены методы, не применявшиеся ранее. В § 3.4 на основе схемы локального представления резольвенты М.Отелбаева (см. [22J ) и предшествующих результатов § 3.1 - § 3.3 доказывается основная

Теорема 8. Пусть ? (•) , С[,() 6 L^ ($) , tyO^i ,

Cfy (•)£ Существует постоянная > О такая, что если fy < Зо , то

A) Оператор (L+J( of) , определенный равенством (27) на Q(L+}oE)-= имеет замыкание в Lp(l1) ;

Б) Ло - регулярная точка оператора (L + X Е") ;

B) Для того, чтобы операторы были ограничены в необходимо, а при 0<tfp<tfo и достаточно, чтобы были ограничены соответственно функционалы:

И^Щ Юг*

ТО), 9-6))= Sap ---- ( (29) где 9„М=(г:

Теорема 8 является новой при р^^ .В случае р=& соответствующий несколько более тонкий результат получен в работе[22]. Доказанная теорема обобщает основные результаты работы Г 28] . В § 3.5 доказаны теорема о возмущениях и утверждения, позволяющие определить принадлежность потенциала к классу Jd(8f>) без обращения к функции О* (•) , т.е. развивается техника применения теоремы 8. Приведём типичный результат. Пусть Cj,0) и локально непрерывна на !J . Введём функции: u>(x)=Jf^ f О) = men , £ =

О ' '£+1 Г- т X-tКоУе <*>J

Теорема 9. Пусть существует натуральное число 2. и числа & , ё 1 С , $ , /3 , cL такие, что равномерно относительно Х€ Л при любом достаточно большом -А выполнены условия: 5» ¥е w при | х - у U в % fx) (30)

J. , + Л , n3L a3- с^ОО+Л

CL при (31) a fy (ti) - q,(-tA)j 4 с (Я-М + Д) lii-Ul при i ±,±л € x+&(S+s)fe(*>] i (32) d > £ ( ]3-l) , € fo d] , £ * О (33)

Тогда Cj,0) e!JC(fy) , где a ^ / v

34)

Отметим, что внутри каждого параграфа диссертации буквами > Чг. » ••• обозначены постоянные, точное значение которых несущественно для изложения. Нумерация этих постоянных в каждом параграфе начинается заново. При разложении функций в ряды Фурье по тригонометрической системе функций, нормированных в L^ к единице, запись нормирующих множителей в тексте диссертации для сокращения записи опущена.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [31] , [32] , [ЗЗЛ , [49J , [50] , [51] , [52] , докладывались и обсуждались: на УН и УШ Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Караганда - 1981 г., Алма-Ата - 1984 г. ), на XXII всесоюзной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям Пермского политехнического института

Пермь - 1982 г.)» на отчетных конференциях Института математики и механики АН Каз.ССР за 1980 г. - 1983 г., в личной беседе с доктором физико - математических наук К.Х.Бойматовым (1984 г.)» на семинарах: члена - корреспоццента АН Уз.ССР Ш.А.Алимова (Ташкент-1984 г.), профессора Н.К.Блиева (Алма - Ата - 1984 г.), академика АН Каз.ССР О.А.Жаутыкова (Алма - Ата - 1984 г.), профессора М.Отелбаева и доктора физико - математических наук Т.Ш.Кальменова (Алма - Ата , 1980 г. - 1984 г.), в том числе с участием профессоров МГУ А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана (1983 г.), члена - корреспондента АН Каз.ССР Е.И.Кима (Алма - Ата - 1984 г.), профессора А.П.Хромова (Саратов - 1984 г.).

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Мухтарбаю Отелбаевичу Отелбаеву за постановку задач, руководство работой, обсуждения полученных результатов.

Автор благодарит доктора физико - математических наук Тыныс-бека Шариповича Кальменова за внимание к работе и полезные обсуждения результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шустер, Леонид Абрамович, 1984 год

1. Ильин В.А., Йо И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма -Лиувилля с потенциалом из класса . - Дифференциальные уравнения, 1979, 15, № 7, с. 1164 - 1174.

2. Лажетич Н. Равномерные оценки для производных собственных функций самосопряженного оператора Штурма Лиувилля. - Дифференциальные уравнения, 1981, 17, W II, с. 1978 - 1984.

3. Ломов И.С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма Лиувилля. - Дифференциальные уравнения, 1982, 18, № 10, с. 1684 - 1694.

4. Тихомиров В.В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера. Дифференциальные уравнения, 1983, 18, № 8, с. 1378 - 1385.

5. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. Дифференциальные уравнения, 1980, 16, № 5,с. 771 794.

6. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. Дифференциальные уравнения, 1980, 16, № 6,с. 980 1009.

7. Минкин A.M. Теорема равносходимости для разложений по обобщенной спектральной функции симметрического дифференциального оператора и в интеграл Фурье. В кн. "Функциональный анализ", Ульяновск, 1980, 14, с. 109 - 112.

8. Минкин A.M. Общие ряды по собственным и присоединенным функциям. ДЕП. ВИНИТИ, 1982, № 6481 - 82, 36 с.

9. Велиев О.А. О спектре и спектральных особенностях дифференциальных операторов с периодическими комплексно.?начными коэффициентами. Дифференциальные уравнения, 1983, 19, № 8, с. 1316 - 1324.

10. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969, - 526 с.

11. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1977. - 456 с.

12. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М., Наука, 1954. - 499с.

13. Костюченко А.Г., Саргсян И.О. Распределение собственных значений. М., Наука, 1979. - 400 с.

14. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Точные по пордцку оценки максимумов модулей собственных и присоединенных функций эллиптического оператора. Математические заметки, 1983, 34, № 5, с. 683-692.

15. W.i/., -М• Some. рчорм.1ш oj Ш с!ота.ш certain di^h^iioLi opo.n.a.toig.- Pwc. London Ha.ik. $ocp. 301-32*/.

16. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма Лиувилля. - Математические заметки, 1973, 14, Р 3, с. 349-359.

17. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. ДАН СССР, 1973, 213,5, с. 1009 IOII.

18. Раймбеков Д.Ж. Гладкость решения в L£ сингулярного уравнения. Изв. АН Каз.ССР, сер. физ. - мат., 1974, № 3, с. 78 - 83.

19. Отелбаев М. О гладкости решения дифференциальных уравнений. Изв. АН Каз.ССР, сер. физ. - мат., 1977, № 5, с. 45 - 43.

20. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических операторов в . Труды МИ АН СССР, 1983, 161, с.-195 - 217.

21. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов. ДАН СССР, 1977, 234, № 3, с. 540 - 543.

22. Измайлов А.Л. Гладкость решений дифференциальных операторови теоремы разделимости. Канд. диссерт., Алма - Ата, 1978.

23. Бойматов К.Х. L^ оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. - ДАН СССР, 1975, 223, № 3, с. 521 - 524.

24. Измайлов А.Л., Отелбаев М. О суммируемости с весом решения дифференциального уравнения в неограниченной области. Изв. АН КазССР, сер. физ. - мат., 1977, № I, с. 36 - 40.

25. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля. Математические заметки, 1974, 16, № 6, с. 969-980.

26. Апышев О.Д., Отелбаев М. О спектре одного класса дифференциальных операторов и теоремы вложения. Изв. АН СССР, 1979, 43, № 4, с. 32 - 58.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981, - 542 с.

28. Шустер Л.А. Распределение спектра одного дифференциального оператора. Тезисы докладов УН Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Математика. Караганда, 1981, с. 44.

29. Шустер JI.А. Оценки собственных функций одного дифференциального оператора. Вестник АН Каз.ССР, 1983, № II, с. 63 - 66.

30. Шустер Л.А. Оценки собственных функций и их производных одного дифференциального оператора. В сб. "Краевые задачи", Пермь, 1983, с. 108 - 112.

31. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.- 495 с.

32. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М., Наука, 1966. - 800 с.

33. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Наука, 1953. - 468 с.

34. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.- М., Наука, 1965.- 519 с.

35. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. II. М., Мир, Т965. -537 с.

36. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. T.I. --М., ИЛ, 1960. 278 с.

37. Гельфонд А.О., Линник Ю.С. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М., Наука, 1962. - 272 с.

38. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. ГУ. М., Наука, 1959.- 655 с.

39. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М., Высшая школа, 1977. - 431 с.

40. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. II. М., ГИТТЛ, 1956. - 432 с.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.У. М., Наука, 1959.- 655 с.

42. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М., Мир, 1965. - 276 с.

43. Кахан Ж-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М., Мир, 1976.- 204 с.

44. Минкин A.M. Регулярность самосопряженных краевых условий.- Математические заметки, 1977, 22, № 6, с. 835 846.

45. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967. - 575 с.

46. Шустер JI.A. 0 разделимости оператора Штурма Лиувилля.- Вестник АН Каз.ССР, 1984, № 8, с. 68-70.

47. Шустер Л.А. Распределение спектра и выбор базиса в семействе собственных подпространств. Тезисы докладов УШ Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Математика. Алма - Ата, 1984, с. 57.

48. Шустер Л.А. Равномерные оценки собственных функций одного дифференциального оператора. ДЕП ВИНИТИ, № 3003, 22.05.84, 29 с.

49. Шустер Л.А. Распределение спектра и выбор базиса в "пачках" собственных подпространств одного дифференциального оператора.- ДЕП ВИНИТИ, № 5444, 26.07.84, 39 с.