Вопросы спектрального и асимптотического анализа для дифференциальных уравнений и матриц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Титов, Василий Александрович

• Титов, Василий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Титов, Василий Александрович

Введение

Обзор исследований, связанных с диссершцюнной темой.

Описание резулыаюв диссерпшии.

1 Об асимптотических свойствах решений дифференциальных и разностных уравнений

1.1 Асимптотики иша ВКБ для решений дифференциальных и разностных уравнений.

1.2 Уравнение (12) с точкой поворот и переменная Лангера

1.3 Преобразование Лиувилля и схема доказательства теоремы

1.4 Подюювшельные материалы.

1.5 Доказательаво теоремы 1.

2 Квазиклассические асимптотики и концентрация спектра краевой задачи для уравнения с точкой поворота

2.1 Геометрия кривых ->— и

2.2 Геометрия кривой -).

2.3 Характеристические определители.

2.4 Зоны, свободные от спектра задачи (12)-(13).

2.5 Локализация спектра задачи (12)-( 13) вблизи кривой.

2.6 Концешрация при малых £ > 0 собственных значений задачи (12)-(13) вблизи кривых

3 Двупараметрическая задача Штурма-Лиувилля и бифуркация спектра

3.1 Постановка задачи и формулировка результатов.

3.2 Резулыаш численного анализа.

3.3 Кратность собственною значения —//\/3 задачи (3.3)-(3.2)

3.4 Бифуркация cueKipa задачи для уравнения Эйри.

3.5 О деформации жордановой клетки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы спектрального и асимптотического анализа для дифференциальных уравнений и матриц»

В различных областях математической физики возникают постановки вопросов о локализации собственных значений краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и распределении спектра операторов, заданных матрицами или зависящими ог параметра мафичными семейс!вами. Эффективным средеibom, используемым для изучения этих вопросов, являются асимню1ические и численно-аналитические меюды. Применение и развитие этих меюдов составляю! предмет настоящей рабош.

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой

При исследовании спектральных краевых задач для дифференциальных уравнений вюрого порядка оффекшвно применяю1ся метод ВКБ, предназначенный для построения асимптотик решений в областях, не содержащих точек поворот, и меюд Лангера, позволяющий выписывать асимптотики решений вблизи таких точек. Вопросам, связанным с развшием и описанием указанных методов, посвящено большое количсспю работ и монографий (обширную библиографию можно найти в [20], [27] и [47]).

Первые резулыаш, заложившие основу метода ВКБ, восходят к Ж. Ли-увиллю и Дж. Грину, которые в 1837 юду рассмотрели в своих работах заданное на вещественной оси дифференциальное уравнение (ДУ) вида fill i,i"q{z)y = (1) где е > 0 — малый параметр. Оба авюра заметили, что при условии вещественное! и и дое I а точной гладкое! и шиенциала q(z) функции y±(z, S) = фГ'/'ехр! ± ± J' yfiMde} предсчавляюг собой "ночш" решения рассматриваемою уравнения в следующем смысле:

- qW±(*> = 0(e^y±(z, с)), £ 10. 3

При этом, Лиувилль успшовил, чю на любом конечном оiрезке, не содержа-1цом нулей функции q(z), ДУ (1) обладает решениями y±(z, с), асимшоти-чески (при £ I 0) предпавимыми в форме y±(^s) = y±(z,s)(l+0(s]t'2)) (2) с равномерными по переменной z оценками оетточных членов.

Процедура, использованная Лиувиллем, состоит в следующем. С помощью последовательных замен независимой переменной £ = £(~) н искомой функции iv = \Д/у уравнение (1) приводится к виду w = (ii2g(c(0) + 0(О)ш точкой обозначено дифференцирование ио £), заю.м функция £(::) выбира-еюя таким образом, чю z'2q(z(f;)) = 1, то ecu, £(z) = f' \Jq{,н) ds. Условие q(z) ф 0 является необходимым для малое!и оеттка ) по сравнению с величиной £~1. Исходя из этого уаанавливается, что решения последнего уравнения асимиютчески (при с 4-0) эквивалентны соо1ве1ствующим решениям "уравнения сравнения" w = с1ш. Предположение q(z) ф 0 оказываеюя сущес!венным: формулы (2) непригодны в окрестностях точек поворота -нулей функции q(z).

Решение уравнения (1), аппроксимирующееся с одной стороны от точки поворот какой-либо из формул (2), с другой стороны представляется в форме линейной комбинации "приближений Лиувилля-Грина" (2). Определение коэффициентов эюй линейной комбинации как функций параметра s представляет собой проблему "перехода" (или проблему нахождения "формул свяш").

В 1926 году Дж. Вент цель, Г. Крамере и Л. Бриллюэн в процессе исследования уравнения Шредингера использовали приближения Лиувилля-Грина и решили возникшую проблему перехода. Формулы (2) приняю, 1ак-же, называв ВКБ-приближениями, а подход, позволяющий выписывать эти приближения с оценкой оспика, — методом ВКБ.

Дж. Биркгоф рассмснрел ДУ вида (1) в предположении, что функция q(z) аналшична и не обращается в нуль в некоюрой области. В рабою [33] выделены подоблапи, в которых уравнение (1) имеет решения, асимпниически при с 0 предствимые формулами (2) с равномерными оценками остатков. При эюм использовалась техника канонических путей: кривых, вдоль которых функция Re J4 \/s~1q(s) ds монотонна. Paciipoci ранение результатов Лиувилля в комплексную плоскость оказалось возможным, в часпюаи, благодаря тому, чю для получения главного члена асимптотик применялись преобразования, не использующие замену независимой переменной.

При построении методом ВКБ асимшогик решений уравнения (1) с аналитическим в некоторой области нокчщиалом q(z) возникает явление Сгокса, состоящее в следующем: если решение асимпипически нредставимо в форме линейной комбинации приближений (2), ю при непрерывном изменении переменной г коэффициенты разложения могу г в какой-1 о момент измени 1ься скачкообразно. Первым эю замеiил Дж. Сюкс на примере уравнения Эйри у" — zij = 0. Причина рассмафиваемого явления заключается в том, что асимптотические разложения содержат погрешности, которые растут по мере приближения переменной г к линиям Стокса, то есть к линиям уровня Re f*Q \/q(b) da = 0, где zq — точка поворота. В и юге, величина погрешно-ciи оказываек-я сопоаавимой с главным членом асимшотики, что и ведет к разрывному поведению коэффициентов.

Значительный вклад в развшие меюда ВКБ внес М. В. Федорюк, разра-бошвший подход (см. [27]), позволяющий выписывать "глобальную" асимп-'101 ику (при с | 0) решений уравнений вида (1) во всей плоскости в случае, когда функция q(z) целая или полином. Он уаановил, чю при определенных условиях, накладываемых на q(z), линии Стокса разбивают плоское п> С на области 1ипа полосы и полуплоскоаи, оюбражаемые функцией I" у/(l(s) cooiBeicTBenno, в полосу а < Re f" y/q{s) db < Ь и в полуплоскость Re/* \Jq(s) ds > а или Re J * y/q(s) ds < b. Объединения областей обоих шнов, отображаемые функцией fz \/q{s) (1ь в плоскость с конечным числом вертикальных разрезов, сосчавляютт. н. канонические облаем и, в каждой из которых М. В. Федорюк построил фундамешальную сис1ему решений (ФСР) уравнения (1) с асимптотиками (2) и оценками оеттков, равномерными на подмножес1вах, расположенных внутри и отделенных от 1раницы канонической облаа и. Затем он вычислил матрицы перехода между ФСР, 01вечающей одной канонической области, и ФСР, соответс1вующей друюй канонической области. Поскольку конечное число Э1их областей в совокупности составляют С без точек поворота, го перемножение матриц перехода позволяе! най!и "глобальную" асимптотику решений рассматриваемого уравнения во всей плоскос1и и вне окресшосчей нулей функции q(z).

Е. Р. Лашер занимался ciponiM обоснованием методов нос1роеиия асимптотик решений ДУ в окресшостях точек поворота. Так, в работе [43] он рас-смо1рел у1)авнение вида (1) с малым (комплексным) параметром s при следующих условиях: q(z) = zaij>(z), а > 0, и функция ф 0 голоморфна в некоюрой окрестности точки с = 0. Следуя схеме, предложенной Лиувиллем, Е. Р. Лашер выбрал функцию удовлетворяющую cooiношению z2fj(z(^)) = £ft, и привел (1) к виду й= (-Г + Ф(ОУ>- (3)

Решения соответствующего уравнения сравнения iu = могут быгь выражены в терминах функций Бесселя. Е. Р. Лашер установил, что в неко-юрых секторах комплексной плоскоеiи с вершиной в ючке £ = 0 (соогвег-счвующей 2 = 0) решения уравнения (3) при малых £ близки к решениям уравнения сравнения.

Ф. Олвср pacc.moipeji (см. [20]) уравнение (1) на вещественной оси с малым параметром г > 0 в предположении, ню функция q(z) на некоюром (возможно, неограниченном) шпервале / являйся достаточно гладкой и имеет единсч венный простой нуль zq. Переменная Лангера

--) = (| Г \Ш<'С)2/3 (4) при подходящем выборе веши корня) взаимно-однозначна на /. Поэтому, преобразование Лиувилля приводит (1) к уравнению = + ?«))«' (5) с досмточно гладкой на £(/) функцией р(£). Ф. Олвер предложил искать формальное асимпкиическое разложение (ФАР) решения ш(£) последнего уравнения в виде

00 00 п=0 п=0 где в качес1ве Д(£) выбирается Ai(£) или Bi(£) — функция Эйри первого или шорою рода, а С,,(£) и Д,(0 — искомые функции. Подстановка анзаца (6) в уравнение (5) и приравнивание нулю коэффициешов при степенях £ приводит к рекуррентным cooi ношениям, позволяющим последовательно определить С„(£) и D,,(£). Далее Ф. Олвер оценил разность между чааичными суммами формального ряда и фактическим решением ш(£) и, за!ем, усыновил, чю при определенных условиях, накладываемых на функцию q(z), исходное ДУ (1) обладает решением, асимиюшчески при £ 4- 0 преде тви-мым в форме

VS \Z) п=0 и=0 с равномерными по z Е I оценками остатков.

Также Ф. Олвером изучалось асимшотческое поведение решений ДУ вида (1) в комплексной окрестности иросюй точки поворота z0 при малых но абсолютной величине значениях парамефа е £ С (см. [20]). Переменная Лангера £(z), заданная формулой (4), юломорфна и однолиста в окрест-hociи zq. Поэтому, преобразование Лиувилля приводит уравнение (1) к виду (5) с функцией <?(£), аналитической в окрестности нуля.

Основным обьектом рассмотрения Ф. Олве])а здесь являек-я ДУ вида (5) при условии, что функция о(£) аналшична в некоторой (возможно, неограниченной) области G, содержащей точку £ = 0. В этой ситуации ФАР решений уравнения (5) иредставимы в форме (б), где в качестве Л(£) выбирается одна из функций Эйри Aj(£) := j = (),±1. С использованием аналогичной биркгофовской техники канонических путей Ф. Олвером были получены явные оценки, выраженные в терминах так называемых "вспомогательных" и "калибровочных" функций, для разностей между решениями уравнения (5) и частичными суммами соответствующих формальных рядов. При этом, подобласти G, в которых справедливы эти оценки, зависят от индекса j, 1еоме1рических свойств G и аргумента

Иной подход к проблеме простой точки поворота был предложен В. Вазовом (см. статью [48] и монографии [5] и [47]). Разработанная им техника позволяет ciроить асимптотические формулы для решений дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром г'2 при старшей производной и потенциалом, зависящим от г, в достаточно малой комплексной окрестности точки поворота. Опишем идею метода В. Вазова на примере уравнения с аналитическим по совокупности переменных в окрестности точки (.го, 0) потенциалом Q(z, е) = q(z) -f J2T=i удовлетворяющим условиям которая с помощью замен переменной z — ;:(£), где £(z) задается формулой Q(z> £)« = где £ > °>

7)

4), и искомой функции

00

Далее ошскиваеюя мафица-функция Р = Р(£, s) такая, мю преобразование W = PV приводит (8) к системе £Л'' = ДоЛ", обладающей решениями, выражающимися в терминах функций Эйри:

Преобразующая ма1рица Р является решением уравнения

00 еР' = (£Л4(0£*)Р-РЛ о (9) к=0 и ищется в форме ФАР YlT=o^{0£k- ^а этом ПУТИ Лля коэффициентов Рк{£) получаеи'Я рекуррешная пкчема

А0Р0 - Р0А0 = О, п

АоР„ - Р„Ло = Р'пх - ^Акрп-к, п > 1. к=1

В. Вазов нашел формулы, с помощью коюрых последовательно определяются олемешы матриц Рп(£)э 11 установил юломорфнос1ь Р«(£) в окреп ноет и точки £ = 0. Затем он доказал, что уравнение (9) обладает решением Р(£, г), разлагающимся в малой окрестности нуля в равномерный асимшогический ряд Р(£, с) ~ Y1T= о^ь(0£*1 = 0. При эюм ДУ (9) сводилось к интегральному уравнению, решения ко юрою с i роились методом последовательных приближений с использованием известных асимптотик функций Эйри и с применением аналогичной биркгофовской техники канонических нуюй.

Во$вращаясь теперь к исходному уравнению (7), можно утверждать существование решений ijj, j = 0,±1, асимппнически при малых £ > 0, предста-вимых в форме о [Х>(«ФВ + О^рМ^г), * € N,

У \ (1 0

N - V // -п=0 с оценками остатков, равномерными по переменной г в достаточно малой окрестности точки поворота.

Родственной тематике — в частности, различным аспектам сингулярной теории возмущений для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных (как линейных, так и нелинейных), посвящены mohoi рафии [4], [11] и [18].

Наряду с описанием асимшогических свойсчв решений ДУ, определенный интерес представляют постановки задач о поведении решений разноаных уравнений различных типов. Первые резулыаты, относящиеся к эюму направлению, восходя 1 к А. Пуанкаре, О. Перрону и Дж. Биркюфу (ссылки на соответствующие работы см. в монографии [35]).

Дж. Бирмоф в своих работах [31], [32] и [34] (в соавюрсгве с В. Тржиг-зинским) исследовал асимптотику (при с —У оо) решений уравнения

Y(z + l) = A(z)Y(z), где A(z) — квадратная ма!рица размера п х п, элемешы (itJ(z) которой либо при дос1аточно больших [~| разлагаю 1ся в ряды tf-Ч1-1* +. +<) + rf';1)---,/p +., либо в некоторой окрестности бесконечно удаленной ючки имеют аеимшо-тические разложения такого вида. В упомянуilix pa6oiax последоваюльно развиваек'я меюд, позволяющий формально поэлементно выписывать решение Y{z) = {yj(z)}"=1 в виде ih(z) =

Q,(z) = + г(0)г + ^>*1р-1)/Р + . + ^.i/P,

Sj(z) = zr' [(a(j) + bWs-Vp + .) + {('[J) + b\})z~1^ + .) In r + . здесь fip £ Z и in E Z+. Такой вид формального решения при р = 1 имеет сходсIво с ФАР фундамешальной мафицы сиаемы вида Y'(z) = A(z)Y(z) в случае иррегулярной особой точки в бесконечности (см. [13]), главный член которого, в свою очередь, нредспшляет собой ВКБ-ириближение для решения cucie.Mbi. В рабохе [34] Дж. Биркгоф и В. Тржитшнский выделили облает, ограниченные кривыми rc(a(z) - = о, / ф j, внутри которых построенные ими формальные выражения являются асимп-т01ичсскими разложениями решения }'(;) рассматриваемой сисюмы.

Методы асимптотического анализа разностных уравнений эффективно ис-полыукмея для исследования спектральных свойс!в якобиевых матриц, определяющих оператор ,7, действующий в орт ©нормированном базисе {е„} по правилу

Jen = rt„ie„i + Ьпеп + a„en+i гдр bn G IR. В рабою [42] С. Хан и Д. Б. Пирсон установили, что для самосопряженною оператора ,7 вопрос об абсолютной ненрерывносш ею cneKipa связан с наличием у уравнения

-1И»1-1 + Ь„и„ + (initn+\ = А и п так называемого подчиненною решения у„, удовлепюряющего условию: для всякого решения ип , линейно независимою с vn. А именно, они доказали, чго сяреюк / С Ш принадлежит абсолютно непрерывной компоненте спектра ,7 в том и только том случае, когда для почти всех A G I рассматриваемое уравнение обладает подчиненным решением. В рамках эх ого подхода в [39] и [40] были исследованы спектральные свойства самосопряженных операторов различных классов, заданных якобиевыми матрицами. При этом, для отыскания асимптотик решений уравнение переписывалось в виде системы которая каким-либо способом (в зависимости oi требований, накладываемых на ап и &„) приводилась к "почт дшнопальной" форме. К последней системе применялся дискретный аналог теоремы Левинсона (см. [30]), утверждающий, что при определенных условиях решения почти диагональной системы асимптотически эквивалентны решениям диагональной.

Отметим, что мсчод подчиненного решения был первоначально разработан в [37] для спектрального анализа самосопряженных операторов типа Шре-дингера на полуоси.

При изучении асимпютики дискретною спектра краевых задач для однородных дифференциальных уравнений широко применяются различные модификации метода ВКБ. Так, М. В. Федорюк в работе [28] исследовал задачу Штурма-Лиувилля для уравнения где q(z) — полином, на всей оси М. и на полуоси. В рамках разработанного им подхода, позволяющего строи и» "глобальные" асимптотики решений ДУ во всей плоскости ($а исключением окрестностей точек поворота), он изучил расположение линий Стокса для этою уравнения, вычислил матрицы перехода между соответствующими различным каноническим областям ФСР и

-</'М + q(z)y(z) = A y(z), затем (ири достаточно общих дополнительных требованиях, накладываемых на потенциал q(z)) в терминах эшх мафии, выписал условия, ири которых точка А является собавенным значением поставленной задачи. Оiсюда извлекалась информация о расположении больших по абсолюпюй величине co6ciвенных значениях.

Ю.Н. Днеаровский и Д.П. Косюмаров в спиье [9] рассмохрели обобщенную задачу на co6ciвенные значения k2Q(z, А)и/ = О, н/(+оо) = ш(-оо) = О с, вообще говоря, нелинейным вхождением спекхральной переменной А и большим вещественным парамехром к. При эхом на аналшическую по совокупности переменных функцию Q(z, А) накладывался ряд условий, обеспечивающих применимость меюда ВКБ, и требований, касающихся качес!венного расположения соотвегс1вующих линий Сгокса. Для построения областей применимости ВКБ-асимптошк использовалась техника канонических путей. Одним из результатов работы является локализация при больших к собс1венных значений задачи в 0(А'~2)-окрестнос1ЯХ точек, определяемых условиями

-MA)

Г*Ал) к / y/Q(z, A) d:

Л, (А) О, cos t ii(A) гДе — точки поворота уравнения.

А. А. Дородницын в етье [10] исследовал следующую краевую задачу на вещественном оiрезке / = [0, с]: у"(х) + (А 2г(х) + яН)уП = о, «//(0) = йу(0), 1п/(с) = by (с). где А — спектральный параметр, г(х) = хр(х), функции р(х) и q(x) достаточно гладкие и 0 < р(х) < М на /. В pa6oie [10] при больших А получены выраженные в терминах функций Эйри асимпкпики решений рассматриваемою уравнения с равномерными на / оценками остаi ков и, с использованием указанных аппроксимаций, установлено, что co6ci венные значения (с. з.) с большими номерами имеют вид

Jo VrM(h'

Сравнение этого результата с асимш(пикой больших с. з. в случае, когда на oipejKe / не! ючек поворот, показывает, чю собсчвенные значения сдвинуты на величину 7Г 12/0° \/r(x) dx (l + 0(п~^)). Также в [10] изучаются аналогичные задачи с точками поворот внутри I или на его концах.

В контексте сингулярной теории возмущений особый ишерес представляет дейс1вующий в просфанстве Ь-^Щ оператор d'2

Т' = ~ed? + где £ — малый параметр, a q(x) — достаточно гладкая функция, имеющая конечное число максимумов и минимумов, причем 7(±оо) = оо. При с > 0 спектр этого оператора дискретен, однако Го - оператор умножения на q(x) и ею спектр непрерывен. Вопрос о том, каким образом при е ф 0 происходит предельный переход от дискрепшго спектра к непрерывному, изучался с использованием квазиклассической изхники В. П. Масловым в рабою [17]. Одним из результатов этого исследования является следующее утверждение: если при достаточно малом £ > 0 число Хгп = АЦе) является собственным значением опера юра Г£ таким, что функция \гп — q(x) имеет 2 к нулей . , x-2k, то А', удовлепюряет одному из уравнений

1 - / 1 \

-Щ J VK ~ яН = + J) + где п G N, j = 1,2,.,/г. Отсюда, в частности, следует, чю для произвольною числа //, принадлежащего сиекфу оператора Го, при малых с > 0 существует последовательность собственных значений, обозначаемая через

А' }. , такая, чю lim А?, = и. I J t, н' ' ''

Важным направлением в теории краевых задач является развитие методов приближенного определения собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля iey"(z) + q(z)y(z) = A у(г), (10) у(-1) = //(1) = 0, (11) где £ > 0 — малый параметр, а функция q(z) аналитична в некоторой окрестности отрезка [—1, 1]. 3ia задача являемся в определенном смысле модельной по отношению к краевой задаче Орра-Зоммерфельда, возникающей при исследовании устойчивости нлоскопараллельного течения вязкой жидкости (роль малого параметра здесь играет вязкость). При некоторых предположениях качественного харакюра о линиях Стокса соогвеюАвующего уравнения картина спектра задачи Орра-Зоммерфельда при исчезающей вязкости была описана К. Моравец в [44].

Задача (10)-(11) для уравнения Эйри, то есп» для q(z) = z, аналишче-скими среде щами была впервые исследована в рабою С. A. Стенина [24] С использованием асимптотик функций Эйри в [24] установлено, что в облает {1тА > 6 - l/v/3, |А ± 1| > где 8 > 0, спектр при достаточно малых £ > 0 сосюит из двух серий простых собственных значений A* ~ ±1 ± v/£exi)(±7r//6)#„, здесь tn С М- - пули функции Эйри.

В работах [23] и [24[ указано, что вопрос об асимпюгическом при £4-0 распределении с. з. задачи (10)-( 11) исследуек-я с помощью квазиклассической техники в предположении достаточной близости в окрес1ности отрезка [—1, 1] функции q(z) к линейной относительно метрики равномерной сходи-mociи. Там же выписаны cooiношения типа условий квантования определяющие месторасположение с. з. задачи при малых £ > 0.

Подход к изучению спектральных свойств задачи (10)-(11), основанный на использовании ВКБ-асимиютик и биркюфовской техники канонических путей, применимый для широкою класса поюнциалов q(z), предложен в работе [25]. Этот подход позволяет выписывать условия квашования, определяющие главные члены асимиюшк с. з. Применению ВКБ-техники и получению вюрого и последующего членов спектральной асимптотики для сингулярно возмущенных несамосопряженных краевых задач посвящена работа С. А. Оюиина и его ученика А. А. Аржанова [1].

В случае, когда значения q(z) вещественны на отрезке [—1, 1], спектр задачи (10)-(11) расположен в полуполосе {ReA G [я, 6], ImA < 0}, где а и Ь являююя, соогветавенно, минимумом и максимумом функции q(x) на отрезке [—1, 1]. В рабою [23] (см., также, [25]) С. А. Сюиин установил, чю в эюй сшуации при достаточно малых £ > 0 на множестве, предешзляющем собой комплексную окрестность отрезка [«, Ь] за исключением окрестностей ючек стационарности q(z) на [—1, 1] и точек <у(±1), спектр рассматриваемой задачи отсутствует.

В статьях С. А. Стенина и А. А. Аржанова [2] и [3] рассматривается задача ИЬурма-Лиувилля (10)-(11) для уравнения Вебера, то есть для потенциала q(z) = z2. Для локализации спектра при малых £ > 0 используются ВКБ-асимн ютики (при £4-0) решений дифференциального уравнения (10), построенные с помощью биркгофовской техники канонических путей. Применяемый здесь подход не требует априорной информации о расположении линий Сюкса. С. А. Сюпин и А. А. Аржанов установили, что спектр рассматриваемой задачи на множестве

Re А € [0, 1], ImA € (-2/7,0), |А| > S, |А-1|>*}, где 6 > 0,

1, А) = ±№пе±т1\ где состоит из однократных собственных значений, расположенных вблизи отрезка луча arg Л = -тг/4 и кривой, заданной условием

Re{f"/-|(x^A-Al.1x/r^+1)} = О, и выписали условия квантования, определяющие главные члены асимптотик собс1венных значений. Второй член спекфальной асиминники в задаче (10)-(11) для уравнения Вебера был получен в [3].

С. В. Гальцев и А. И. Шафаревич в рабою [8] исследовали исевдоспектр оператора

U = -h'^ + /К(л-), ах1 где V(x) — целая периодическая функция, дейсшиельная на К, a h > 0 — малый нарамеф. Они установили, что /*"-псевдосиекф Н для всякого натурального п совпадает с числовым образом то есть с полуполосой Re А > 0, ImA Е [«, b], где а и b — минимум и максимум на К функции V(x). Таким образом, С. В. Гальцевым и А. II. Шафаревичем было показано, чю /гп-псевдоспекф рассма11>иваемого опера юра существенно шире ею спектра, состоящего из собственных значений, концентрирующихся при /г —> 0 вблизи некоюрых кривых.

Из публикаций, связанных с юматикой насюящего исследования, оiметим, также, работы [45] и [46].

Описание результатов диссертации

Одной из целей настоящей диссертционной работы является развитие методов приближенною определения собсч венных значений на примере краевой задачи is у" + Q(z, А)?/ = 0, (12) у(-1) = у( 1) = 0 (13) с малым параметром £ > 0 и, вообще говоря, нелинейной зависимостью потенциала Q(z, А) 01 снекфальной переменной А. Исследование этой задачи проводиюя в предположении, чю выполнено

Условие (А) Функция Q(z, А) регулярна на д( картоьом произведении VIк х П прямоугольника n = {|Rc(A-A0)|<a, |lm(A - А„)| < 0}, где в > 6/5, 5а > 10 + 3, и круга Qtt = {|~| < i?}, R > 8(а + 3), причем Q((), Ло) = 0 идлявса (с, Л) Е ИцхИ справедливы неравенства д:(г,л) - i| < 1/з, (и)

Q'x(z,\) + 1| < 1/9. (15)

Эп1 требования обеспечиваю! существование в Иц при каждом A G П единственной (простой) точки поворота 2о(Л) уравнения (12) такой, что

Q(~-o(A),A) =0, Q'z(zо(А), А) ^ 0.

Другими целями диссертации являются исследование асимптотических свойс1 в решений дифференциальных уравнений вида (12) и разностных уравнений, ассоциированных с махрицами Якоби, разработка и применение методов локализации спекхра несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля (10)-(11) и обсуждение вопроса о характере расщепления изолированного крапюго собственного значения, которому отвечает жорданова цепочка из собственною и присоединенных векторов, в абстрактной ситуации и применительно к задаче (1())-(11) в случае уравнения Эйри.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Титов, Василий Александрович, 2006 год

1. Аржанов A. A., Ciennn С. А. ВКБ-приближения и спектральные асимптотики в одной задаче сингулярной теории возмущений. // Современная математика и ее приложения, 2003, т. 8, cip. 1-18.

2. Аржанов А. А., Стенин С. А. Квазиклассические спектральные асимп-ioiики и явление Сюкса для уравнения Вебера. // ДАН, 2001, т. 378, ДМ, с. 18-21.

3. Аржанов А. А., Степин С. А. О локализации спектра в одной задаче сингулярной теории возмущений. // УМН, 2002, т. 57, в. 3, с. 161-162.

4. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968.

6. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосоиряженных дифференциальных уравнений. // УМН, 1960, т. 15, в. 3, с.3-80.

7. Владимиров В. С. Методы теории функций мношх комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

8. Гальцев С. В., Шафаревич А. И. Спектр и исевдоспектр несамосопряженного оператора Шредингера с периодическими коэффициентами. // Мат. Заметки, 2006, т. 80, в. 3, с. 356-366.

9. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, в. 2, с. 267-277.

10. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // УМН, 1952, т. 7, в. 6, с. 3-96.

11. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989.12