О двух вероятностных методах в квантовой теории поля и статистической физике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мамакин, Владимир Юрьевич

• Мамакин, Владимир Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мамакин, Владимир Юрьевич

I Введение

1 Меры Нельсона и Гиббса

1.1 Функции Швингера

1.2 Меры Нельсона.

1.3 Меры Гиббса.

2 Стохастическое квантование

2.1 Наивный подход: уравнение Ланжевена.

2.2 Построение уравнения Ланжевена по мере Нельсона.

2.3 Уравнение Ланжевена с ядром.

3 Рандомизация

3.1 Стандартные методы построения полевых моделей.

3.2 Рандомизация.

3.3 Рандомизация и решеточные модели.

4 Цель исследования и план изложения

II Стохастическое квантование нестабильной системы

1 Постановка задачи

2 Суммирование по Борелю

3 Стохастическое квантование

4 Численные результаты

5 Выводы

III Стохастическая модель фазового перехода и метаста-бильность

1 Введение

2 Стохастическая модель фазового перехода

2.1 Основной случайный процесс Х(-).

2.2 Марковские переходные вероятности.

2.3 Зависимость переходных вероятностей от в

2.4 Свойства выборочных траекторий.

2.5 Этапы фазового перехода.

2.6 Понятие метастабильного состояния.

3 Изучение промежуточного метастабильного состояния

3.1 Описание численного эксперимента.

3.2 Эквивалентный стационарный процесс.

3.3 Спектр матрицы переходных вероятностей.

4 Выводы

IV Модель квантового поля в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой

1 КТП в пространстве с индефинитной метрикой

1.1 Обзор моделей.

1.2 Аксиомы Моркио-Строкки.

1.3 Построение гильбертова пространства.

1.4 Построение полей Гординга-Вайтмана.

1.5 Аксиомы Моркио-Строкки для функций Швингера.

2 Описание модели

3 Регуляризация модели

3.1 Исследование свойств оператора ( — А + ш2 + 1>сг})~

3.2 Исследование свойств функции (/, (—А + тп2 + гхт/)-1/)

4 Производящий функционал функций Швингера

4.1 Построение функций Швингера

4.2 Проверка аксиом Моркио-Строкки.

5 Характеристический функционал

5.1 Отсутствие положительной определенности.

5.2 Характеристический функционал знакопеременной меры.

5.3 Исследование непрерывности функционала %(/). Функциональное пространство

5.4 Существование меры

Глава I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О двух вероятностных методах в квантовой теории поля и статистической физике»

Во введении изложен формализм квантовой теории поля (КТП) и статистической физики, составляющий основу применения методов теории вероятности для решения основных задач квантовой теории. Представлены методы, которые используются в диссертационной работе, показаны основные преимущества этих методов перед традиционными. В последнем разделе введения представлена цель исследования, сформулированы основные задачи, изложен план диссертационной работы.

1 Меры Нельсона и Гиббса

В последние годы подход с использованием функциональных интегралов преобладает при описании квантовых систем (как полевых, так и статистических). В основе этого подхода лежит формула, введенная в 1948 году Фейнманом и выражающая ядро оператора эволюции Щ(х1,х2) в виде интеграла по пространству траекторий:

Щхих2)= I е^)] Д ¿х(т). (1.1) ж(т)|а;(0)=х1, х(г) = х2}

Здесь 5[ж(г)] — классическое действие системы. Позднее, в середине 50-х годов, функциональные интегралы были введены в квантовую теорию поля. Эволюционный оператор квантового поля был представлен в виде и, = I е*5И*)1Д^(ж). (1.2)

Разумеется, выражения (1.1) и (1.2) имеют только эвристическую ценность: с ними, руководствуясь здравым смыслом и физической интуицией, удобно совершать различные математические операции, как с настоящими интегралами, получая в результате физические осмысленные ответы.

Содержательное понимание функционального интеграла квантовой физики началось с работ Каца, который заменил интегрирование в (1.1) по математически неопределенной мере на интегрирование по вероятностной мере Винера в пространстве траекторий. В работах Глимма и Джаффе новый математический смысл был придан и функциональному интегралу теории поля: функциональная мера интегрирования была заменена на гауссову вероятностную меру в пространстве ¿>'(1^). При этом само построение меры для самодействующих моделей теории поля идейно и технически оказалось очень схоже с построением гиббеовой меры в статистической физике. В последнем случае "свободная мера", соответствующая системе невзаимодействующих частиц, возмущается больцмановым множителем ехр{— ¡ЗН(ш)}. В течение 70-х годов на этом пути были построены случайные поля, соответствующие многим моделям теории поля, однако с помощью чисто функциональных методов, т.е. без привлечения методов теории меры или теории вероятностей, для наиболее интересного случая — модели взаимодействующих квантовых полей в четырехмерном пространстве-времени — такого случайного поля построить не удалось.

Развитие функциональных методов стимулировалось параллельным развитием аксиоматического подхода в теории поля, основной задачей которого является изучение следствий нескольких фундаментальных аксиом, лежащих в основе теории поля. Именно в работах по развитию аксиоматической теории Нельсоном были впервые высказаны идеи о возможности описания квантовополевых систем при рассмотрении марковских случайных полей в евклидовом пространстве. Мы рассмотрим развитие формализма квантовой теории поля от традиционных функций Грина (Вайтмана) до появления нового Аналогия между мерой Нельсона и мерой Гиббса привела к сближению математических аппаратов КТП и статистической физики, в результате чего в основании этих формализмов стали доминировать одни и те же методы теории вероятностей, и, в частности, методы теории меры и теории случайных процессов.

1.1 Функции Швингера

Один из возможных наборов фундаментальных аксиом был предложен Вайтманом [109], [108]. Основу формализма Вайтмана составили локальные квантованные поля в представлении Гайзенберга и их вакуумные средние (функции Вайтмана). По мере развития аксиоматической теории поля стало понятно, что построение теории в терминах как полей Вайтмана, так и функций Вайтмана не совсем удобно при решении прикладных задач. Существовала, однако, надежда, что переход к евклидовому времени позволит обойти существовавшие трудности. (Известно, что представление функций Грина уравнения Шредингера в виде фейнмановского функционального интеграла по путям не имеет достаточно ясного обоснования в рамках теории меры. В то же время представление функций Грина уравнения диффузии, которое получается из уравнения Шредингера заменой времени на И, имеет четкий математический смысл в терминах интеграла по мере Винера.) Поэтому для вычисления функциональных интегралов использовалась процедура так называемого "викового поворота": процедура перехода от пространства-времени Минковского к четырехмерному евклидовому пространству путем аналитического продолжения на мнимые значения времени. В работах Швингера [103], [104] было предложено рассматривать евклидову формулировку как самостоятельный подход к квантовой теории поля. Ответ на вопрос, насколько знание функций Швингера позволяет однозначно восстановить функции Вайтмана, был получен Остервальдером и Шредером [94], [95].

Аналитическое продолжение

Построение функций Швингера связано с аналитическим продолжением функций Вайтмана (Грина) по всем аргументам в трубу будущего. Трубой будущего - Тп называется область п-мерного комплексного пространства, такая, что

Т„ = {(^1,. . ,гп) | 1т(^+1 - гг) е 9+, г = 1,. . ., п - 1}. (1.3)

Возможность аналитического продолжения функций Вайтмана в трубу будущего непосредственно следует из свойства спектральности.

Аналитически продолженные функции Вайтмана удовлетворяют условию Лоренц-ковариантности во всей трубе будущего. Как показали Баргман, Холл и Вайтман [63], область аналитичности функций Вайтмана несколько шире трубы будущего:

ТЕОРЕМА 1.1. (Баргмана-Холла-Вайтмана). Всякая £+-ковариантная аналитическая функция в Тп допускает однозначное аналитическое продолжение в так называемую расширенную трубу

7Г = А Л А[Г„], (1.4) и в ней она ковариантна относительно Ь+(С).

Через Ь.|-(С) здесь обозначено семейство комплексных преобразований Лоренца с детерминантом 1, т.е. комплексных преобразований пространства О*, таких, что

Аг • Аг = г • г = — г\ — • • • — г2д1.

А действует в пространстве О*™ как оператор Л ® • • • ® Л (п раз).

Следует заметить, что хотя труба Тп по своему определению не содержит вещественных точек, труба их содержит.

Определение 1.1. Все точки ж, такие, что называются точкам,и Иоста.

Лемма Иоста [18] утверждает, что точка х = (ж1,.,жп) является точкой Иоста тогда и только тогда, когда для любого г х{ - хш)2 < 0, (1.5) где квадрат берется в смысле скалярного произведения в пространстве Минковского. Таким образом, в каждой точке Иоста все разности между аргументами пространственно подобны, а поэтому, по аксиоме локальности, для любой перестановки 7г £ £п п(х1, .,хп) = . . ., жт{п)) = \¥п,ж(хи . . ., хп). (1.6)

Для дальнейшего построения функций Швингера нам понадобится еще несколько определений.

Определение 1.2. Определим симметриз о ванную расширенную трубу будущего А именно, для каждого 7г 6 Е„ пусть Т^ будет расширенной трубой будущего по переменным (^(1), ■ ■., тг = п (1.7) тге±.п

Определение 1.3. Точка (гх,. ., гп) из О*™ называется евклидовой, если каждое имеет чисто мнимую временную компоненту и чисто вещественную пространственную компоненту. Эти точки параметризуются с помощью векторов (хх, ¿и;.; хп, £ так, чтобы Zj = (isj,x.j). Кроме того, мы будем использовать обозначение у1 = (х^-, .ч;/).

Определение 1.4. Множество евклидовых точек, для которых yi — у^ф 0 при г / у. называется внедиагоналъной евклидовой областью Можно показать, что внедиа-гональная евклидова область содержится в трубе

Далее мы будем обозначать ¿^(К**") — семейство функций из ¿>(1^), которые обращаются в нуль (вместе со всеми производными) на каждой гиперплоскости Уг ~ У^ = 0; Б'ф — сопряженное пространство.

Аналитическое продолжение функции в трубу Т^ задает аналитическое продолжение функции "УУП)7Г в трубу Т^. Согласно равенству (1.6) (и его аналитическому продолжению) функции УУП)7Г и УУ,,^- согласованы на множестве П, поэтому возможно корректное продолжение функции УУп на всю трубу Заметим, что таким образом мы получаем симметризованное аналитическое продолжение функций Вайтма-на. Свойство симметричности важно, поскольку позволяет представить функции Швин-гера в виде моментов некоторой меры. Критично, что при построении симметричной функции не происходит потери исходной информации, и поэтому можно восстановить функции Вайтмана по заданным симметричным функциям (см. теорему реконструкции 1.2). Теперь мы можем сформулировать определение функций Швингера.

Определение 1.5. Ограничение функций Вайтмана УУП на внедиагональную евклидову область называется п-точечными функциями Швингера 6П, которые рассматриваются как функции от у.

Свойства функций Швингера

Полученные таким образом функции Швингера обладают следующими свойствами: (ОЭ 1-5).

ОБ 1 (Умеренный рост)

При каждом п функция бп(уь • • •, Уп) определяет элемент из «^(К*1). Доопределим 6о = 1- Функции 6П обладают следующим свойством вещественности: п(/) = ®п(0/), где (0/)(хх, ,<а;. . .; хп, л„) = /(хь —. .; хп, -яп) (1.8) ОБ 2 (Евклидова ковариантность)

Каждая функция &п евклидово инвариантна, т.е. 6П(/) = в„(/(а>д);„) при всех а, Я из собственной евклидовой группы.

ОЭ 3 (Положительная определенность)

Обозначим - множество функций из 1 ® (0, оо). Пусть /0 £ С,/1 С £ ¿>+(Ксгп). Тогда

1.9) 0

Заметим, что если £ <5+(Кл), }3 £ то (0Д ® /¿) £ т.е. попадает в область определения функции Швингера.

ОБ 4 (Симметрия)

6«(Утг(1), - • • , Утг(п)) = ©п(У1, • ■ -, Уп)

1.10) для всех 7Г £ £п (группе перестановок п элементов). OS 5 (Групповое свойство)

Для всех функций / € S^(Rdn) П C^R*1) и д £ S^R*") П C^(Rdm) lim 6n+m{f ® вд) = 6„(/)6m(y). (1.11) i—>-оо

Как было показано во второй работе Остервальдера и Шредера [95], ограничения на рост функций в виде (OS 1) недостаточно для доказательства теоремы реконструкции. Было предложено немало возможных дополнительных условий, позволяющих доказать эту теорему [95], [33], например:

OS 1" во = 0; &п £ <S/(Rdn) для всех п £ N. Существует s £ N и факториально растущая последовательность сг„, такие, что п

4h х h х • • • х /п)| < ап Д (1.12) k=i для любого п и любого набора функций £ <S(Rd), А; = 1. п.

Главным результатом работы Остервальдера-Шредера стало доказательство следующей теоремы реконструкции:

ТЕОРЕМА 1.2. Набор функций {©„}, обладающих свойствами (OS 1" - 5), представляет собой набор функций Швингера для некоторой (и с точностью до унитарного преобразования единственной) теории Вайтмана.

Следует отметить, что несмотря на то, что условие (OS 1") на функции Швингера не следует из аксиом Вайтмана, для всех существующих на сегодняшний день квантовопо-левых моделей данное требование выполняется. Условия, восстанавливающие взаимнооднозначное соответствие между аксиоматиками Вайтмана и Остервальдера-Шредера, были получены только в 1995 году в работе [111].

1.2 Меры Нельсона

Одно из основных преимуществ использования функций Швингера вместо функций Вайтмана заключается в том, что в этом случае теория однозначно воспроизводится по значениям функций Швингера &n(si,. ., sn) при значениях .Si < s2 < . . . < sn. Поэтому одно из возможных продолжений функций Швингера на остальные значения координат и евклидового времени является симметричным относительно всех переменных. Таким образом, в то время как функции Вайтмана являются несимметричными по своим аргументам (в силу некоммутативности операторов поля), функции Швингера в общем случае можно считать симметричными. При этом возникает вопрос, являются ли функции Швингера моментами некоторой меры.

Для некоторых систем в теории поля ответ на поставленный вопрос был положительным, что послужило толчком для развития нового подхода аксиоматической теории поля. Отправной точкой в этом подходе является задание меры — меры Нельсона, определяющей свойства квантовополевой системы. Переход к аксиоматике Вайтмана осуществляется чрезвычайно просто: функции Швингера строятся как моменты заданной меры, а функции и поля Вайтмана воссоздаются с помощью теорем реконструкции.

Введение меры Нельсона позволило привлечь к решению проблем теории поля мощные и хорошо развитые теоретико-вероятностные методы. В рамках этого подхода Глиммом и Джаффе, а также Фрёлихом были построены математически непротиворечивые модели с нетривиальным взаимодействием [52], [53], [55], [54], [49], [50]. В этих работах в основном исследовались модели квантовой теории поля в двух и трехмерном пространстве-времени. Недавно было доказано существование производящего функционала функций Швингера для модели типа sin -Gordon в пространстве-времени произвольной размерности [21].

Мера Нельсона

На функциональных пространствах мера задается своим характеристическим функционалом 5"[/] = / Известный способ определения меры через плотность относительно инвариантной меры (на конечномерных пространствах — меры Лебега) в данном случае неприемлем, поскольку инвариантных мер на функциональных пространствах не существует. Поэтому аксиомы Нельсона для меры с?//, заданной на пространстве формулируются непосредственно в терминах характеристического функционала [8].

N1 (Аналитичность)

Функционал 5[/] является целой аналитической функцией. Точнее, для любого конечного набора основных функций /,; £ где г = 1, 2, . ., N1 и комплексных переменных г = . ., г^} £ функция г 5 ^^ на пространстве С^ является целой.

N2 (Регулярность)

Существует такое р: 1 < р < 2, и такая постоянная с, что для любой функции (Е Р(К^) справедлива оценка

ЭД1<ехр{с(||/||Ь1 + ||/||Ьр)}. (1.13)

В случае р = 2 требуется дополнительное условие регулярности: существование второго момента меры ¿ц. Как функция разности аргументов, он принадлежит пространству локально интегрируемых функций ¿^(Е^). В частности, в совпадающих точках он имеет только интегрируемые особенности. Заметим, что из неравенства (1.13) следует, что характеристический функционал 5[/] продолжается до непрерывного функционала на 5(1^).

N3 (Инвариантность)

Функционал 5[/] инвариантен относительно действий собственной евклидовой группы, т.е. = £[/(«,л)], где (а, Л) £ .

N4 (Положительность при отражениях)

Для любой конечной последовательности функций /,; £ ТУц.^Ж'1) матрица

Мц = - в/А (1.14) положительно определена. Здесь под в понимается сопряжение в смысле Остервальдера-Шредера, т.е. в/(х, ¿) = /(х, — ¿).

N5 (Эргодичность)

Подгруппа временных сдвигов Т(£) эргодически действует на пространстве с мерой {^'(К.^), ¿ц}. Это означает, что для всех функций А{ф) 6 ь

Нт - [ Т(з)А(<р)Т-1(з)аз = [ А(ч>)<111{ч>). (1.15)

-»■оо г J ] о

Можно показать, что у меры, удовлетворяющей аксиоме (К 1), существуют моменты всех порядков. Более того, можно показать, что если удовлетворяются и остальные аксиомы, то моменты меры Нельсона обладают всеми свойствами функций Швингера в аксиоматике Остервальдера-Шредера. Очевидно, что каждой мере Нельсона соответствует единственный набор функций Швингера, а, значит (по соответствующим теоремам реконструкции), и единственное поле Гординга-Вайтмана. Интересно рассмотреть вопрос о существовании меры Нельсона, определяемой заданным набором функций Швингера. Эта задача носит название проблемы моментов.

Проблема моментов

Проблемой моментов называется определение всех условий, при которых данная последовательность комплексных чисел (конечномерная проблема моментов, см. [31]) или последовательность функционалов над некоторым пространством X могут быть представлены в виде моментов некоторой меры.

Пусть на X задана некоторая инволюция. Элемент пространства X, сопряженный элементу / Е X относительно данной инволюции, мы будем обозначать /. По аналогии с инволюцией, заданной комплексным сопряжением, мы будем обозначать посредством Хие множество всех элементов, инвариантных относительно инволюции, т.е. {/ <Е Х\/ = /}.

Определение 1.6. Последовательность 5 = функций вп : Х®п —>■ К называется моментной, если для любой финитной последовательности / = где fj Е Х®\ выполнено следующее неравенство оо Л) > о. (1.16)

Оказывается, что существование меры, моментами которой являются элементы последовательности функций симметричные по всем своим аргументам, напрямую связано со свойством моментности данной последовательности [3]:

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть — моментная последовательность, удовлетворяющая условиям определенности или квазиопределенности (т.е. условиям на скорость роста элементов последовательности: необходимо, чтобы норма функций ¡¡5П|| росла не намного быстрее п\; точное определение см. [3]). Тогда существует конечная мера сг(-) > 0 на В(Хде), такая, что п(/(1),---,/(п))= / р(/(1))-~г(/Н)<Ь(р)- (1-17)

ХНе

При этом, если последовательность нп — определенная, то мера а находится однозначно. Верно и обратное утверждение: если для какой-то меры а последовательность зп удовлетворяет равенству (1.17), то такая последовательность вп является моментной.

Рассмотрим приложение проблемы моментов к аксиоматической теории поля. Напрямую использовать теорему 1.3. невозможно, поскольку условию положительной определенности Остеравальдера - Шредера (ОБ 3) функции Швингера удовлетворяют не на всем пространстве ¿^(К.^™), а лишь на подпространстве основных функций

Возникает вопрос, как нужно изменить аксиомы Остервальдера-Шредера, чтобы последовательность функций Швингера удовлетворяла требованиям теоремы 1.3. Очевидно, что просто расширить область на которой функции Швингера обладают положительной определенностью, до всего пространства ¿^(К.^) не удастся. Действительно, если /; £ ¿^¿(Е^), fj 6 то (в® /¿) в общем случае не принадлежит Бф (М^*"1"^), т.е. не принадлежит области определения функций Швингера (см. ОБ 1). Таким образом, изменение аксиомы положительной определенности приводит к необходимости изменения области определения самих функций Швингера.

Одним из возможных изменений является расширение области определения функций Швингера с 5(К^") до ¿'(М*'). Напомним, что именно это требование, наряду с условиями на скорость роста, содержится в дополнительном условии (ОБ 1"), наложенном при доказательстве теоремы реконструкции. При выполнении (ОЭ 1") возможно формулировать условие положительной определенности (т.е. моментности) на всей области определения функций Швингера. Кроме того, условия на рост в (ОБ 1") обеспечат определенность последовательности функций Швингера. Тогда, согласно вышеприведенной теореме, для функций Швингера будет существовать порождающая мера, которая (в силу единственности) совпадает с мерой Нельсона.

Таким образом, выполнения условия (ОЯ 1") достаточно для восстановления по заданной последовательности функций Швингера функций Вайтмана и меры Нельсона. Пока нерешенной задачей является следующая: какие ограничения надо наложить на поля Гординга-Вайтмана и функции Вайтмана, чтобы обеспечить выполнимость (ОБ 1") для функций Швингера, полученных аналитическим продолжением функций Вайтмана.

1.3 Меры Гиббса

Поскольку статистическая физика связана с изучением статистических закономерностей динамики колоссального количества отдельных частиц, то использование аппарата теории вероятностей является неотъемлемой частью решения любой её задачи. Основным понятием статистической физики является понятие гиббсовского распределения для конечного числа частиц: ц{йи) = г"1 ехр[~(ЗН(ш)](1ш, здесь Н(ш) — гамильтониан системы, состоящей из N частиц, ¿ш — инвариантная мера (Лебега, Хаара или другая) на конечномерном конфигурационном пространстве Ем, где Е ----- пространство состояний одночастичной системы.

Хотя основы статистической механики были заложены еще в XIX веке, изучение бесконечных систем началось только в конце 1960-х годов. В своих работах Добрушин [11],

12], Ланфорд и Рюэль [84] ввели фундаментальное понятие гиббсовской меры, являющейся естественным математическим описанием равновесного состояния физической системы, состоящей из очень большого числа взаимодействующих компонент. Можно сказать, что гиббсовская мера — это математическая идеализация равновесного состояния физической системы. За время, прошедшее с 1968 года, понятие гиббсовской меры привлекло пристальное внимание как специалистов по математической физике, так и специалистов по теории вероятности. Теории гиббсовских мер и гиббсовских полей посвящена обширная литература (см., например, [7], [25]). Физическая значимость гиббсовских мер в настоящий момент общепризнана.

Поняние гиббсовской меры возникает из обобщения на случай бесконечного числа частиц понятия гиббсовского распределения для конечного числа частиц.

Определение 1.7. Гиббсовская мера /л — это вероятностая мера на произведении пространств состояний Í2 = Es. Здесь Е — пространство состояний (произвольное измеримое пространство), S — пространство индексов частиц (счетное пространство). При этом, для любого конечного подмноженства А С S и //-почти всех конфигураций r¡ вне Л, условное распределение конфигураций в Л при заданном r¡ является гиббсовым относительно гамильтониана в Л с граничным условием rj: ехр [-РН(^)] £ ехр[~РН(Ш ^ЫехрЬЗЯл^)]. (1.18)

Здесь Н\ — гамильтониан, содержащий члены, отвечающие за взаимодействие частиц, индексы которых входят в Л, а также взаимодействие этих частиц с остальными. Так, на решетке спинов, при i,jes jes гамильтониан в Л выглядит следующим образом: i,jeA. jes\л

Наряду с понятием гиббсовской меры в литературе часто встречается понятие гиббсовского случайного поля, или просто случайного поля.

Определение 1.8. Семейство случайных величин (<r;);es, определенных на некотором вероятностном пространстве (ÍÍ, Т. /i) и принимающих значения на пространстве состояний i?, называется случайным полем.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мамакин, Владимир Юрьевич

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [13], [73], [22], [23].

Заключение

В диссертационной работе показано, что применение методов теории случайных процессов и теории мер может способствовать успешному решению задач квантовой теории поля и статистической физики, которые недоступны традиционным методам.

Построение непертурбативным образом методом стохастического квантования функций Швингера для модели с не ограниченным снизу гамильтонианом свидетельствует о значительно более широкой применимости вероятностных методов по сравнению с традиционными функциональными. В проведенных численных экспериментах впервые обнаружен эффект "залипания" траекторий при экскурсиях за высокий барьер.

Результаты численных экспериментов свидетельствуют об аналогии между зависящих от "компьютерного" времени траекториями вспомогательных процессов, полученных при стохастическом квантовании систем с не ограниченными снизу гамильтонианами, и траекториями параметров систем, совершающих фазовый переход. Наличие сходных участков позволяет говорить о самостоятельном физическом значении формальных математических методов.

Наблюдаемая аналогия позволила ввести новый подход к описанию фазового перехода — стохастическую модель. По выборочным участкам траекторий, полученных в компьютерном эксперименте при моделировании фазового перехода жидкость-пар, было построено распределение параметров системы в метастабильном состоянии. Построение и изучение подобного распределения недоступно традиционным методам статистической физики, опирающимся на распределения Гиббса равновесных систем.

Чисто математический метод построения мер — рандомизация был впервые использован для построения моделей квантового поля. Показано, что он может применяться при больших размерностях пространства-времени к описанию систем, имеющих непосредственную физическую интепретацию. В работе построена одна из немногих моделей квантового поля в пространстве-времени размерности (1 > 4. Тот факт, что все

103 вычисления проводились непертурбативным образом, повышает ценность полученных результатов.

Особенностью построенного в диссертационной работе класса моделей квантовой теории поля является введение самодействия через взаимодействие скалярного поля с виртуальной нединамической частицей (ультралокальным полем Клаудера). Приведенные при описании модели требования к мере являются достаточно общими, а поэтому модель имеет смысл для достаточно большого класса мер (частиц). Отбор конкретной модели можно провести в физическом эксперименте.

Результаты, полученные для скалярного поля, стимулируют применение развитых в работе методов для моделей калибровочных полей. Это позволит получить математически строгие непертурбативные результаты для систем, описание которых традиционными методами крайне затруднительно и требует введения пространственных и импульсных обрезаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мамакин, Владимир Юрьевич, 2000 год

1. Т. Я. Азизов и И. С. Иохвидов. Основы теории линейных операторов в пространств е-времени с индефинитной метрикой. Наука, М., 1986.

2. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Наука, М., 1973.

3. Ю. М. Березанский и Ю. Г. Кондратьев. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Наук, думка, Киев, 1988.

4. О. В. Бесов, В. П. Ильин, и С. М. Никольский. Интегральные преобразования функций и теоремы вложения. Наука, М., 1996.

5. Н. Н. Вахания. Случайные векторы со значениями в кватернионных гильбертовых пространствах. Теория вероятностей и ее применения, 43: 18-40, (1998).

6. Н. Н. Вахания, В. И. Тариеладзе, и С. А. Чобанян. Вероятностные распределения на банаховых пространствах. Наука, М., 1985.

7. Х.-О. Геори. Гиббсовские м,еры и фазовые переходы. Мир, М., 1992.

8. Дж. Глимм и А. Джаффе. Математические мет,оды квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. Мир, М., 1984.

9. К. С. Дадашян и С. С. Хоружий. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой. Теор. Мат. Физ., 54: 57-77, (1983).

10. Н. Данфорд и Дж. Шварц. Линейные операторы. ИЛ, М., 1962.

11. Р. Л. Добрушин. Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попарным взаимодействием. Задача единственности гиббсовского случайного поля и проблема фазовых переходов. Функциональный анализ и его применения, 2(4): 31-43; 44-57, (1968).

12. Р. Л. Добрушин. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности. Теория вероятностей и её применения, 13: 201-229, (1968).

13. О. И. Завьялов, М. Каненага, А. И. Кириллов, В. Ю. Мамакин, М. Намики, И. Ох-ба, и Е. В. Поляченко. О квантовании систем с действием, не ограниченным снизу. ТМФ, 109: 175, (1996).14 151617 18 [1920 21 [2223

14. Э. Зайлер. Калибровочные теории. Мир, М., 1985.

15. И. С. Иохвидов и М. Г. Крейн. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Труды московск. мат,ем. общества. 5: 367-432, (1956).

16. И. С. Иохвидов и М. Г. Крейн. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой. II. Труды московск. матем. общества, 8: 413-498, (1959).

17. К. Ициксон и Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля. Мир, М., 1984. Р. Йост. Общая теория квантованных полей. Мир, М., 1967.

18. А. И. Кириллов. О задании мер на функциональных пространствах с помощью числовых последовательностей и функциональных интегралов. Матем. заметки, 53: 152-155, (1993).

19. А. И. Кириллов. Бесконечномерный анализ и квантовая теория поля как исчисление семимартингалов. УМН, 49(3): 297, (1994).

20. А. И. Кириллов. Поле типа sin-Gordon в пространстве-времени произвольной размерности. И. Стохастическое квантование. ТМФ. 105: 179-197, (1995).

21. А. И. Кириллов и В. Ю. Мамакин. Модель локальной теории поля в пространстве состояний с индефинитной метрикой. Препринт 16/1999, Московский государственный университет. Физический факультет, 1999.

22. A. И. Кириллов и В. Ю. Мамакин. Стохастическая модель фазового перехода и метастабильность. ТМФ, 123(1): 96-106, 4 2000.

23. О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.

24. B. А. Малышев и Р. А. Минлос. Гиббсовские случайные поля. Наука, М., 1985.

25. А. А. Мигдал. Стохастическое квантование в теории поля. УФН, 149: 3-44, (1986).

26. К. Надь. Пространства состояний с индефинитной метрикой. Мир, М., 1969.

27. JI. С. Понтрягин. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой. Изв. АН СССР, сер. матем., 8: 243-280, (1944).

28. JI. Райдер. Квантовая теория поля. Мир, М., 1987.

29. М. Рид и Б. Саймон. Методы современной математической физики. Мир, М., 1977/82.

30. Ф. Рисс и Б. Сёкефальди-Надь. Лекции по функциональному анализу. Мир, М., 1979.

31. И. М. Рыжик и И. С. Градштейн. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Наука, М., 1971.

32. Б. Саймон. Модель Р(<р)2 евклидовой квантовой теории поля. Мир, М., 1976.

33. А. А. Славнов и JI. Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию квантованных полей. Наука, М., 1978.

34. Р. 3. Хасьминский. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайном возмущении их параметров. Наука, М., 1969.

35. S. Albeverio, Н. Gottschalk, and J.-L. Wu. Models of local relativisfcic quantum fields with indefinite metric (in all dimensions). Comm. Math. Phys., 184: 509-531, (1997).

36. S. Albeverio, H. Gottschalk, and J.-L. Wu. Nontrivial scattering amplitudes for some local relativistic quantum field models with indefinite metric. Phys. Lett., B405: 243248, (1997).

37. S. Albeverio and Zh.-D. Way. Representation of the propagator and Schwinger functions of Dirac fields in terms of Brownian motion. J. Math. Phys., 36: 5207-5216, (1995).

38. S. Albeverio and J.-L. Wu. Euclidean random fields obtained by convolution form generalized white noise. J. Math. Phys., 36: 5127-5245, (1995).

39. J. Ambj0rn, B. Durhuus, and Frolich. Nucl. Phys., B257: 433, (1985).

40. H. Araki. Hamiltonian formalism and the canonical commutation relations in quantum field theory. Journ. Math. Phys., 1: 492-504, (1960).

41. A. Berand, A. Grandati, P. Grange, and P. Mohrbach. Simplified large-N limit in Stochastic Quantization. Int. J. Theor. Phys., 34: 1927-1930, (1995).

42. K. Bleuer. Eine neue Methode zum Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen. Helv. Phys. Acta, 23: 567, (1950).

43. E. Brezin and V. A. Kazakov. Phys. Lett., B236: 144, (1990).

44. P. A. M. Dirac. Comm. Dublin Inst. Adv. Studies, A: 1, (1953).

45. J.-P. Eckmann, J. Magnen, and R. Seneor. Comm. Math. Phys., 39: 251-271, (1975).

46. H. Ezawa. Comm. Math. Phys., 8: 261, (1968).

47. R. Fernández, J. Frölich, and A. D. Sokal. Random, walks, critical phenomena, and, triviality in Quantum Field Theory. Springer-Verlag, New York, 1992.

48. J. Frölich. Schwinger functions and their generating functionals. Helv. Phys. Acta, 47: 265, (1974).

49. J. Frölich. Schwinger functions and their generating functionals, II. Adv. Math., 23: 119-180, (1977).

50. B. Gaveau and L. S. Schulman. Dynamical metastability. J.Phys.A: Math.Gen., 20: 2865-2873, (1987).

51. J. Glimm and A. Jaffe. Field theory models. In Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, pages 1-108. Gordon and Bleach, Ney York, 1971.

52. J. Glimm and A. Jaffe. Positivity of the (<£>4)3 Hamiltonian. Fortschr. der Physik, 21: 327-376, (1973).

53. J. Glimm and A. Jaffe. A remark on the existence of ip\. Phys. Rev. Lett., 33: 440-442, (1974).

54. J. Glimm, A. Jaffe, and T. Spencer. The Wightman axioms and particle structure in the P(ip)2 quantum field model. Ann. Math., 100: 583-632, (1974).

55. S. Graffi, V. Grecchi, and B. Simon. Phys. Lett., 32B: 631 634, (1970).

56. Y. Grandati, A. Bernard, and P. Grange. Stochastic quantization of instantons. Ann. Phys., 246: 291-324, (1996).

57. Gross and King. 2-dimensional Yang-Mills theory via stochastic differential equations. Ann. Phys., 194: 65-112, (1989).

58. D. Gross and A. A. Migdal. Phys. Rev. Lett., 64: 127, (1990).

59. D. J. Gross and A. Neveu. Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories. Phys. Rev. D., 10: 3235-3253, (1974).

60. S. N. Gupta. Theory of longitudinal photons in quantum electrodynamics. Proc. Phys. Soc., A63: 681, (1950).

61. S. N. Gupta. Proc. Phys. Soc., A66: 129, (1953).

62. D. Hall and A. S. Wightman. A theorem on invariant analytic functions with applications to relativistic, quantum field theory. Kgl. Danske Videnskab. Selsk., Math.-Fys. Medd., 31(5), (1957).

63. T. Hida, H.-H. Kuo, J. Potthoff, and L. Streit. White Noise: An Infinite Dimensional Calculus. Kluwcr, 1993.

64. R. H0egh-Krohn. A general class of quantum fields without cut-offs in two space-time dimensions. Comm. Math. Phys., 21: 244-255, (1971).

65. H. Hiiffel and H. Rumph. Phys. Lett., B148: 104, (1984).

66. J. Ingvason. Remarks on the reconstruction theorem for field theory with indefinite metric. Rep. Math. Phys., 12: 57-65, (1977).

67. Ito and K. Morita. Spontaneous breakdown of symmentry in stochastic quantiation. Prog. Theor. Phys., 87: 207, (1992).

68. Ito and K. Morita. Note on stochastic quantization of field theories with bottomless action. Prog. Theor. Phys., 90: 187, (1993).

69. Ito and K. Morita. Stabilzation of 03-model based on stochastic quantization method with kerneled Langevin equation. Prog. Theor. Phys., 89: 187, (1993).

70. L. Jakobszyk and F. Strocchi. Euclidean formulation of QFT without positivity. Comm. Math. Phys., 119: 529-541, (1988).

71. G. Kallen. On definition of the renormalization constant. Helv. Phys. Acta, 25: 417, (1952).

72. M. Kanenaga, A. I. Kirillov, V. Yu. Mamakin, M. Namiki, I. Ohba, E. V. Polyachenko, and O. I. Zavialov. On quantization of systems unbounded from below. In Proceedings of Path Integral'96. JINR, Dubna, 1996.

73. M. Kanenaga, M. Mizutani, M. Namiki, I. Ohba, and S. Tanaka. Langevin simulation of a bottomless hermitian matrix model for two dimensional quantum gravity. Prog. Theor. Phys., 91: 599- 610, (1994).

74. A. I. Kirillov. On the most probable paths of particles in stochastic mechanics. Phys. Lett. A, 195: 277-283, (1994).

75. A. I. Kirillov. On the theory of metastable states. Foundations of physics, 12, (1997).

76. J. R. Klauder. Ultralocal Quantum Field Theories. Acta Physica Austriaca, Suppl, 8: 227-276, (1971).

77. J. R. Klauder. Ultralocal spinor field models. Ann. Phys., 79: 111, (1973).

78. J. R. Klauder. Acta Physica Austriaca, Supply 25: 53, (1983).

79. J. R. Klauder. Poisson distributions and nontriviality of </?4 theory. Phys. Rev. Lett., 73:3051-3057, (1994).

80. J. R. Klauder and C. Zliu. Operator analysis of nonrenormalizable multic.omponent ultralocal field models; nontrivial path integrals for nonrenormalizable fields multicomponent ultralocal models. Journ. Math. Phys., 36: 4012-4019; 4020-4027, (1995).

81. J. B. Kogut. Phys. Rev. Lett., 56: 2557, (1986).

82. J. B. Kogut and D. K. Sinclaire. Nucl. Phys., B344: 238, (1990).84. 0. E. Lanford and D. Ruelle. Observables at infinity and states with short range correlations in statistical mechanics. Comm. Math. Phys., 13: 194-215, (1969).

83. T. D. Lee. Phys. Rev., 95: 1329, (1954).

84. H. Lehman. Nuovo Cimento, 11: 342, (1954).

85. J. Magnen. Constructive methods and results. In Iagolnitzer D., editor, XI1.ternational Congress of Mathematical Physics. Paris. 1994• International Press Inc., Boston, 1995.

86. M. Mintchev and E. d'Emilio. On the reconstruction of the physical Hylbert spaces for QFTs with indefinite metric. J. Math. Phys., 22: 1267, (1981).

87. R. Mochizuki. The stochastic quantization method in phase space and a new gauge fixing procedure. Mod. Phys. Let., A9: 2803 2815, (1994).

88. G. Morchio and F. Strocchi. Infrared singularities, vacuum structure and pure phases in local quantum field theory. Ann. Inst. H.Poincare, A33: 251-282, (1980).

89. H. Nakazato and Y. Yamanaka. Phys. Rev., D34: 432, (1986).

90. E. Nelson. Derivation of the Sclirodinger equation from Newtonian mechanics. Phys. Rev., 150: 1079-1085, (1966).

91. I. Ohba and S. Tanaka. BRST invariance for Yang-Mills theory in stochastic quantization. Phys. Lett., B221: 125-128, (1989).

92. K. Osterwalder and R. Schrader. Axioms for Euclidean Green's functions i. Comm. Math. Phys., 31: 83-112, (1973).

93. К. Osterwalder and R. Sclirader. Axioms for Euclidean Green's functions, ii. Comm. Math. Phys., 42: 281-305, (1975).

94. A. Pais and G. E. Uhlenbeck. Phys. Rev., 79: 145, (1950).

95. G. Parisi. Phys. Lett., B131: 393, (1983).

96. G. Parisi and Y. Wu. Scientia Sinica, 24: 483, (1981).

97. W. Pauli. On Dirac's new method of field quantization. Rev. Mod. Phys., 15: 175, (1943).

98. A. Randagni and D. Mugnai. Stochastic models for tunneling processes: the question of superluminad behaviour. Phys. Rev., E52(1B): 1128-1134, (1995).

99. V. Rivasseau. From perturbative to constructive renormalization. Princeton University Press, Princeton, 1991.

100. L.I. Schiff. Phys. Rev., 92: 766, (1953).

101. J. Schwinger. On the Euclidean structure of relativistic field theory. Proc. Nat. Acad. S ci., 44: 956, (1958).

102. J. Schwinger. Euclidean quantum electrodynamics. Phys. Rev., 115: 721, (1959).

103. F. Spitzer. Markov random fields and Gibbs ensembles. Am,. Math. Monthly, 78: 154, (1971).

104. S. Tanaka, M. Namiki, I. Ohba, M. Mizutani, N. Komoike, and M. Kanenaga. Stochastic quantization of bottomless systems based on a kerneled Langevin equation. Phys. Lett., B288: 129, (1992).

105. G. Wentzel. Helv. Phys. Acta, 13: 269, (1940).

106. A. S. Wightman. Les Problèmes mathématique de la théorie quantique des champs. In Centre National de la Recherche Scientifique, pages 11-19. Paris, 1959. Русский перевод в: Математика, 6, в.4, стр.96 (1962).

107. A. S. Wightman and L. Gârding. Fields as operator-valued distirbutions in quantum field theory. Ark. fur Physik, 28: 129-184, (1965).

108. E.P. Wigner. Ann. Math., 53: 36, (1951).

109. Yu. M. Zinoviev. Equivalence of Euclidean and Wightman field theories. Comm. Math. Phys., 174: 1-27, (1995).