Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Антипин, Константин Владиславович

• Антипин, Константин Владиславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Антипин, Константин Владиславович

Оглавление

Введение

1 Уайтмановский подход в стандартной h некоммутативной квантовой теории поля

1.1 Формализм Уайтмана

1.1.1 Аксиомы Уайтмана

1.1.2 Функции Уайтмана и их аналитические свойства

1.1.3 Теорема реконструкции

1.1.4 Теорема Хаага в подходе Уайтмана

1.2 Некоммутативная теория

1.2.1 Общие положения

1.2.2 Уайтмановский подход в некоммутативной теории поля

1.2.3 Результаты для 50(1, 1)- и SO( 1, 3)-инвариантной теории

1.3 Заключительные замечания

2 Теорема Хаага в некоммутативной теории

2.1 Обобщение теоремы Хаага на случай некоммутативности типа space-space в SO(l, к)-инвариантной теории

2.2 Редукционные формулы в НКТП

2.3 Следствия для процессов рассеяния в некоммутативной теории типа "'space-space"

2.4 Обобщение теоремы на случай некоммутативности типа "timespace"

2.5 Заключительные замечания

3 Теорема Хаага в теориях с индефинитной метрикой

3.1 Обобщенное представление Вейля

3.2 Алгебраическая формулировка теоремы Хаага

3.3 Пространства с индефинитной метрикой. Пространства Крейна

3.4 Регулярные представления ККС в пространстве Крейна

3.5 Построение представления Вейля и обобщение теоремы Хаага

3.6 Заключительные замечания

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля»

Введение

Теорема Хаага является важным результатом аксиоматического подхода в квантовой теории поля. В традиционной формулировке теории поля предполагается, что полевые операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (ККС) в заданный момент времени. Аксиоматический подход позволил взглянуть на эту идею с новой точки зрения, и здесь он дает интересный результат.

В случае системы с конечным числом степеней свободы п можно показать [1], что любые два представления коммутационных соотношений в форме Вейля связаны унитарным преобразованием, т. е. являются унитарно эквивалентными. В частности, всегда существует унитарный оператор

¿1), связывающий операторы координаты и импульса Рп (образующие элементы алгебры коммутационных соотношений) в разные моменты времени:

Яп(Ъ) = 2, ¿хШ*!)^1^ £1),

(0.1)

Используемое в обычной формулировке теории возмущений представление взаимодействия является, по сути, попыткой перенести этот результат в теорию поля, т. е., в теорию систем с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае предполагается, что канонические переменные (скажем, <£>(£, х)) в каждый момент времени связаны унитарным преобразованием с каноническими переменными свободного поля (обозначим одну из них че-

рез <р{0)(г, £)):

УШг, х)У~1{1) = х). (0.2)

Зависимость от времени оператора V отражает наличие взаимодействия. Оператор рассеяния в "картине взаимодействия"определяется так:

5= Нш У(г)У(-г)*. (0.3)

Однако, как выясняется в рамках алгебраического подхода, существует множество унитарно неэквивалентных представлений ККС, и уже этот факт ставит под сомнение рассуждения, приводящие к (0.2). Результаты исследований Р. Хаага показывают [2], что, действительно, эти рассуждения неверны: за исключением случая, когда <£>(£, х) — свободное поле, не существует математически корректно определенного оператора У, удовлетворяющего (0.2).

Теорема Хаага в своей более поздней формулировке [3] содержит также утверждение о числе совпадающих функций Уайтмана (вакуумных средних от произведения полевых операторов) в двух теориях, связанных унитарным преобразованием. Функции Уайтмана играют важную роль: зная эти функции, можно полностью восстановить теоретико-полевую модель. В связи с важностью роли функций Уайтмана обобщение утверждения теоремы Хаага на различные теории представляет значительный интерес.

Настоящая работа посвящена исследованию возможности обобщения теоремы Хаага на два варианта теорий: некоммутативная квантовая теория поля (НКТП) и теория с полями в индефинитной метрике.

Идея введения некоммутирующих пространственно-временных переменных берет свои истоки из принципов квантовой механики. Так, при

квантовании координатам $ и сопряженным к ним импульсам pi ставятся в соответствие эрмитовы операторы & и pi , действующие в гильбертовом пространстве векторов состояний. После этого согласно принципу соответствия постулируются канонические коммутационные соотношения: [quPj] = i5ij. Так получается некое квантовое фазовое пространство. Фон Нейман [4] был первым, кто строго описал такие пространства, при этом сам он называл область своих изысканий "геометрией без точек" ("pointless geometry") на основании того факта, что в квантовом фазовом пространстве понятие точки бессмысленно в силу принципа неопределенности Гей-зенберга. Эти работы привели к разработке теории алгебр фон Неймана и положили начало развитию некоммутативной геометрии [5], занимающейся изучением реализации некоммутативных С*-алгебр на топологических пространствах. С построением этой области математики и связано активное развитие некоммутативной квантовой теории поля, начало которой было заложено в работах Маркова [6, 7] и Снейдера [8, 9]. Подобно квантованию классического фазового пространства, некоммутативное пространство-время вводится заменой пространственно-временных координат на эрмитовы генераторы некоммутативной алгебры операторов в некотором гильбертовом пространстве. В наиболее простом варианте некоммутативной теории в пространстве Минковского соотношения между координатами имеют вид:

[х", xv) = i6'iV, (0.4)

где 0'ш - постоянная антисимметричная матрица.

Новый этап в развитии теорий этого рода связан с появлением аргументов в пользу их обобщения на сверхмалые расстояния и сверхвысокие

энергии [10], а также с установлением связи НКТП с теорией струн [11]. Так, было показано, что некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн во внешних полях специального вида. Некоммутативные теории представляют и самостоятельный интерес как один из вариантов модели с дополнительными пространственными измерениями [12-16].

Основы аксиоматического подхода к НКТП в формулировке Уайтма-на были заложены в работах [17-22]. Для некоммутативной теории типа "space-space" (т. е., когда время коммутирует с пространственными переменными, в°1 = 0, % — 1,2,3) были получены аналоги постулатов спектральности и локальности, получены свойства аналитичности функций Уайтма-на, доказана СРТ-теорема для простейшего случая скалярного поля. В работе [21] рассматривалась и теорема Хаага, однако её доказательство было получено лишь для частного случая SO{ 1, 1)-инвариантной НКТП типа "space-space".

Помимо некоммутативной теории, в настоящей работе рассматриваются также теории с индефинитной метрикой. Хорошо известно, что индефинитную метрику и нефизические частицы необходимо вводить в калибровочных теориях, чтобы использовать ковариантную калибровку. Например, при квантовании электромагнитного поля рассматриваются операторы а^ как операторы рождения и уничтожения четырех независимых сортов фотонов: двух поперечных, "продольных" и "временных". Однако такое квантование оказывается несовместимым с предположением о вещественности поля или положительности метрики. Чтобы преодолеть эту трудность, Блей-лер [23] и Гупта [24] использовали формальный прием, основанный на том,

что соответствующие нулевой компоненте потенциала "временные" и "продольные" фотоны в действительности не существуют, а их возникновение в промежуточных рассуждениях связано с переходом от наблюдаемых величин (векторов Е и Н) к ненаблюдаемому 4-потенциалу А, произведенным для придания теории релятивистской симметрии и ковариантности. Чтобы сохранить самосопряженность оператора ап, вводится индефинитная метрика в пространстве амплитуд состояния.

При анализе теорий такого типа удобно использовать методы алгебраического подхода. Важную роль в этом подходе играет изучение представлений канонических коммутационных соотношений. Одной из задач настоящей работы является доказательство теоремы Хаага для нефизических частиц. При этом будет рассмотрен случай регулярных представлений ККС в пространстве с индефинитной метрикой. Оказывается, что в этом случае рассматриваемое пространство попадает в класс пространств Крей-на [25]. Представления ККС в пространствах Крейна были изучены сравнительно недавно [26], [27]. В работе [26] показано, что, помимо фоков-ского представления, в пространстве Крейна возможно представление ККС с отрицательным спектром оператора числа частиц N = а+а (так называемый антифоковский случай). Именно этот случай соответствует теории с нефизическими частицами. В работе [27] был получен аналог вейлевского представления алгебры ККС для случая нефизических частиц.

В первой главе настоящей работы приведен обзор основных результатов аксиоматического подхода, связанных с теоремой Хаага и полученных в рамках как стандартной, так и некоммутативной квантовой теории поля.

Во второй главе проводится обобщение теоремы Хаага на различные

варианты НКТП, которые ранее в данном контексте рассмотрены не были. В разделе 2.1 теорема обобщается на общий случай £0(1, к)-инвариантной теории с произвольным фиксированным числом некоммутативных координат, устанавливается зависимость числа совпадающих функций Уайтмана в двух теориях, связанных унитарным преобразованием, от числа коммутативных размерностей пространства. В том же разделе выводятся следствия теоремы для процессов рассеяния частиц в многомерном коммутативном пространстве. В разделе 2.2 выводится аналог редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзика для НКТП, и на основе этого результата в разделе 2.3 получаются следствия из теоремы Хаага для процессов рассеяния в некоммутативном пространстве. Раздел 2.4 посвящен распространению теоремы Хаага на случай теории с некоммутативностью типа "timespace". Доказательство проводится с помощью обрыва ряда ^-произведения в некоммутативных функциях Уайтмана и опирается на свойства соответствующих пространств обобщенных функций Гельфанда-Шилова.

Третья глава настоящей работы посвящена рассмотрению возможности обобщения теоремы Хаага на теории с индефинитной метрикой. В разделе 3.5 на основе работы [27] строится аналог представления Вейля для антифоковской реализации коммутационных соотношений в пространстве Крейна. С помощью алгебраической формулировки теоремы Хаага доказывается соответствующее утверждение теоремы для нефизических частиц.

Глава 1. Уайтмановский подход в стандартной и некоммутативной квантовой теории поля

1.1. Формализм Уайтмана

В этом разделе приводится сводка результатов, наиболее полно изложенных в [28-31].

Центральное место в уайтмановском подходе занимают понятия релятивистского квантового поля и функции Уайтмана.

1.1.1. Аксиомы Уайтмана

Даже в простейшем случае свободного поля оператор квантового поля <р(х) в конкретной пространственно-временной точке не определен ни для одного вектора пространства состояний %.

Квантовое поле (р определяется как операторная обобщенная функция на пространстве Минковского М., результаты сглаживания которой

с основными функциями /(ж) являются линейными операторами (вообще говоря, неограниченными) в физическом гильбертовом пространстве И. Такое определение является естественным с точки зрения описания процесса измерения: в реальной физической ситуации значения наблюдаемых не измеряются в конкретной математической точке, а усредняются по некоторой

(1.1)

протяженной пространственной области и по некоторому конечному промежутку времени.

Конкретный выбор пространства основных функций зависит от рассматриваемой теории. Разные классы задач требуют разных классов пространств. В уайтмановском аксиоматическом подходе обычно используется пространство S(A4) быстро убывающих основных функций, т. е. множество бесконечно дифференцируемых функций f(x), для которых выражения (нормы)

11/||р= sup \xkD*f(x)\ (1.2)

хеМ

1*1 ,\q\<P

конечны при всех целых неотрицательных р. Здесь использованы обозначения

Я = ■ ■ ■, 9n), \q\ = qi + ... + qn,

D9f~ dxf .^.dxt' xk~xi--- xn

(1.3)

rp,v - /y»'"! rnn

Jb - Jb 1 . . . Jj~

Систему норм (1.2) можно заменить на эквивалентную систему

(1.4)

р= sup \D«f(x)\ хеМ \q\<p

Па + му

Lj=l

которая в некоторых случаях оказывается более удобной. Обобщенные функции, определенные над пространством 5, называются обобщенными функциями умеренного роста.

При рассмотрении некоммутативного варианта квантовой теории поля нам будет необходим более специальный выбор пространства основных функций.

Строгое определение релятивистского квантового поля дается набором аксиом Уайтмана (для простоты рассмотрен случай нейтрального скалярного поля <р):

\¥.1 (Релятивистская инвариантность). Имеется физическое гильбертово пространство Н, в котором действует унитарное представление и (а, Л) собственной группы Пуанкаре.

Ж.П (Спектральность). Спектр оператора энергии-импульса Р сосредоточен в замкнутом верхнем световом конусе, т. е. для векторов спектра выполняется соотношение:

\¥.Ш (Существование и единственность вакуума). В Н существует единственный (с точностью до фазового множителя)единичный вектор Фо, инвариантный относительно пространственно-временных трансляций

ЖГУ (Область определения полей). Квантовые поля <р являются операторными обобщенными функциями над пространством быстро убывающих основных функций 5(А4) с общей для всех операторов </?(/) областью определения V, плотной в И\ предполагается, что вакуумный вектор Ф0 содержится в V и что область V переходит в себя под действием операторов <р(/) и и (а, А).

ДУ.У (Пуанкаре-ковариантность полей).

где а 6 М, а А — преобразование координат из собственной группы

Р° > |Р|.

(1.5)

Ща, /).

и (а, А)(р(х)и~1(а, А) = ср(Ах + а)

(1.6)

Лоренца Ь\

W.VI (Локальность). Операторы поля <р(х) и <р(у) коммутируют при про-странственноподобном разделении аргументов х и у:

[ф),ф)} = 0 при {х - у)2 < 0. (1.7)

W.VII (Цикличность вакуума). Множество всевозможных конечных линейных комбинаций векторов вида <p{f\)... </?(/п)Фо (п = 0, 1, • ■ •) плотно в П.

В теории Уайтмана операторы поля образуют неприводимую систему: из того, что ограниченный оператор С слабо коммутирует в Ti со всеми операторами <p{f), т. е.

(Ф, ф)СЩ = (Ф, СфЩ (1.8)

для любых Ф, Ф G V и / е 5(Л4), следует, что С кратен единичному оператору.

1.1.2. Функции Уайтмана и их аналитические свойства Определение 1.1.1. Пусть ip — уайтмановское поле. Вакуумное среднее

W(si, ..., хп) = (Фо, фг) ■ ■. фп)Фо) (1-9)

от произведения полей (р{х{)... (р(хп) называется п-точечной функцией Уайтмана.

0-точечная функция Уайтмана полагается тождественно равной 1. Функции Уайтмана в действительности являются обобщенными функциями умеренного роста из пространства S'(Á4), сопряженного к пространству <S(A/Í).

Аксиомы W. 1-W. VII накладывают определенные условия на функции Уайтмана. Для любой системы обобщенных функций {W}, удовлетворяющих этим условиям (характеристическим свойствам), существует система уайтмановских полей {</?}, вакуумные средние которых будут совпадать с W [32]. Другими словами, все содержание квантовой теории поля может быть переведено на язык функций Уайтмана: зная их, можно восстановить гильбертово пространство состояний, унитарное представление собственной группы Пуанкаре и ковариантные операторные поля таким образом, чтобы выполнить все аксиомы Уайтмана.

Приведем характеристические свойства функций Уайтмана:

W.1 Функции Уайтмана являются обобщенными функциями умеренного роста по переменным х\, ..., хп.

W.2 Пуанкаре-инвариантность:

W(Axi + а, ..., Ахп + а) = W(si, ..., хп). (1.10)

Данное свойство заключает в себе инвариантность функций Уайтмана при преобразованиях двух видов:

(а) (Трансляционная инвариантность). Существуют обобщенные функции ..., fn_i) G <S'(.Mn-1) от разностных переменных = Xj — Xj+i, такие, что

W(rCi, . . . , Хп) = W{X 1 -Х2, • • • , Zn-l ~ хп) = ..., Cn-l)-

(1.11)

Следовательно, n-точечные функции Уайтмана являются в действительности обобщенными функциями от п — 1 переменной.

(b) (Лоренц-инвариантность).

W(Л&, ..., = Wfa, ..., ^n-i). (1.12) W.3 (Спектральность). Преобразование Фурье для W

W(qu ..., gn_i) = J Wfo, ..., • • • 4-1

(1.13)

удовлетворяет следующему условию:

supp W(qh ..., cfx..,xF+, (1.14)

где supp W^gi, ..., (fo-i) — носитель обобщенной функции W. W.4 (Положительная определенность). Любой вектор вида

Ф = /оФо + ^(Л)Фо + <^Ы</>ЫФ0 + ■ ■ ■, (1.15)

получающийся применением полиномиальных комбинаций сглаженных полей к вакуумному вектору, полностью описывается финитной системой функций

/=(/о, /ь/2, •••), (1.16)

где /о € С, /i = /1(2:1), /2 = /2(^1, ж2) = ^1(^1)52(^2), и т. д., в которой все функции, за исключением конечного числа, тождественно равны нулю. Положительность нормы вектора Ф дает следующее условие для функций Уайтмана:

оо „

ЩГ Xl)=Yl / ...,уп)х

тп,п=0

xfm(x 1, . • •, xm)fn(yh yn)dAx 1... dAxmdAyi... dAyn =||Ф||2 > 0.

(1.17)

W.5 (Локальность).

W(xi, ..., xj, Xj+i, xn)= W(xi, ..., xj+1, Xj, xn), (1.18) при (xj — Xj+1)2 < 0.

W.6 (Кластерное свойство). Для любого пространственноподобного вектора а € Л4 имеет место соотношение:

W(xi, ..., Xj, Xj+i + A a, xn + A a) —> ^

—> W(xi, ..., Xj)W(xj+1, xn) при A —> oo (в смысле сходимости обобщенных функций по (xi, ..., хп)).

Перейдем теперь к рассмотрению аналитических свойств функций Уайтмана. Мы будем использовать следующие обозначения для множеств векторов в пространстве Минковского М:

V = {p£M:p2> 0}, V = {peM:p2> 0}, (1.20)

V+ = {peM:p2>0,p°>0}, V+ = {р<ЕМ:р2^0, / > 0}, (1.21)

I/- = -У+, У+ = -у-. (1.22)

Прежде всего, условие спектральности W. 3 приводит к следующему результату:

Теорема 1.1.1. Функция Уайтмана W(£i, ..., £n-i) является граничным значением в классе S'{M.n~l) функции W(£i, ..., Cn-i)> аналитической в трубе прошлого

Tn-i = {M + iV-)n~l (1.23)

{т. е. при Q = + irjj, £j e M, rjj E V~, j — 1, ..., n — 1).

Соответственно, функция ..., гп) = ]¥{г\ — 2г2, ..., гп-\ — хп)

является аналитической в области

Т~ = {(ги ...,£;„): Пег, е М, 1т(^ - гт) = п}. (1.24)

В свою очередь, функция Уайтмана ..., хп) получается взятием пре-

дельного значения аналитического продолжения ..., гп) при —

—> 0 (или r]j = 1т ~^ 0) в соответствующих областях V-, т. е., \У(£1, ..., хп) = ..., х) является граничным значением функции

\¥((,1, ..., Сп-1), голоморфной в трубе прошлого Т~_г.

Сочетание свойств спектральности и лоренц-ковариантности позволяет расширить область аналитичности функций \¥(г1, ..., гп). Данный факт составляет утверждение теоремы Баргмана-Холла-Уайтмана, которая распространяет условие лоренц-ковариантности на комплексные преобразования Лоренца.

Напомним, что существует связь между вещественной собственной группой Лоренца Ь\ и группой 51/(2, С) комплексных 2 х 2-матриц с определителем, равным единице. Если определить для каждого вектора х11 е Л4 матрицу

ж = (1.25)

где то = I, а 71, 72, 7"з — матрицы Паули, то эта связь выражается следующим образом: каждому элементу А б 51/(2, С) сопоставляется элемент А £ 1/+ согласно соотношению

Ая = АжЛ*. (1.26)

Группа БЬ(2, С) является дважды накрывающей для Ь\. Подобным образом осуществляется дважды накрывающий гомоморфизм группы 51/(2, С) х

5Ц2, С) на комплексную группу Ь+(С): для любого вектора комплексного пространства Минковского СМ. и двух независимых элементов Л/, Лг 6 5Ь(2, С)

Аг = МгЦ. (1.27)

Перейдем к формулировке самой теоремы. Пусть задано некоторое представление У(Л) = У(А) размерности г вещественной группы Лоренца Ь\ и задана (г-компонентная) функция / комплексных 4-векторов С = (Сь • • • 5 СО, аналитичная в трубе прошлого Т~ и удовлетворяющая условию

ДЛ(А)С) = ^(Л)/(С) при С € Т", Л 6 5Ь(2, С). (1.28)

Будем называть такую функцию /Д-ковариантной аналитической функцией в Т~.

Теорема 1.1.2 (Баргмана-Холла-Уайтмана). Всякая Ь\-ковариантая аналитическая функция в Т~ допускает однозначное аналитическое продолжение в расширенную трубу

Тп= у А Т~, (1.29)

Аеь+{С)

в которой она ковариантна относительно Ь+(С):

ДЛ(А,, Лг)0 - У(ЛЬ ЛГ)/(С) при С е Тп, Ль Лг € БЬ(2, С). (1.30)

Непосредственным следствием данной теоремы является то, что функции Уайтмана ..., гп) аналитичны по переменным г^ ..., гп в расширенной трубе

Тп= и А Т~ (1.31)

Ле£+(С)

и инвариантны в ней относительно группы Ь+(С):

...,Агп)= гп), А е Ь+(С). (1.32)

Очевидно, что область Т~ не содержит вещественных точек (77 £ У~, и У~ не содержит точки 77 = 0). Однако расширенная труба Тп при всех п содержит вещественные точки, называемые точками Иоста.

Следующая теорема дает описание вещественных точек в Тп:

Теорема 1.1.3. Для того чтобы вещественная точка (£1, ..., £п) принадлежала расширенной трубе Тп, необходимо и достаточно, чтобы вектор

п

™ = (1.зз)

.7=1

был пространственноподобным при любом выборе неотрицательных чисел Х^, не равных одновременно нулю.

Вещественная точка (21, ..., гп) расширенной трубы Тп характеризуется тем, что О = ; ..., Сп-1 является точкой Иоста области Т~_г. Очевидно, что все разности — пространственноподобны (точка ..., гп) при этом называется вполне пространственноподобной), поскольку

(гк - гг)2 = (С* + + • • • + О-1)2 < 0 (1.34)

в силу (1.33).

Вполне пространственноподобные точки образуют открытое вещественное множество, и на этом множестве функции Уайтмана являются аналитическими функциями.

1.1.3. Теорема реконструкции

В связи с важностью той роли, которую играют различные вакуумные средние и корреляционные функции в теоретичесих построениях, возникает законный вопрос: достаточно ли задание набора всевозможных функций Уайтмана для полного определения полевой теории? Ведь может оказаться так, что тот способ, которым могут быть получены корреляционные функции, не требует никакого знания ни о гильбертовом пространстве физических состояний Н, ни об основном состоянии системы, ни о системе полей как операторов в "Н. Ответ на поставленный вопрос дает теорема реконструкции Уайтмана.

В разделе 1.1.2 уже было сказано, что состояния, полученные действием на вакуум полиномиальных комбинаций полей, могут быть полностью определены обрывающимися последовательностями

/=(/о, МХ1),/2(ХЪХ2),...) (1.35)

функций из £ (т. е. е З(М^), 5(М°) = С). При заданном наборе функций Уайтмана рассмотрим комплексное векторное пространство всех элементов / вида (1.35).

Представление группы Пуанкаре Т^д} естественным образом определяется на П:

Т{а,А}1= (/О, ••■), 0-36)

где

йа'АЧхи ...,хп)= /„ (Л"1^! - а), ..., к-\хп - а)) . (1.37)

Полевые операторы на О можно определить так:

ip{h)¿ = (0, Л/о, h х /ь ..., h х Д, ...), (1.38)

где

(Л х fk)(xi, хк+1) = h{xi)fk{x2l ..., xjb+i) (1.39)

В общем случае произведение двух элементов / и д из Í2 дается выражением:

п

(/ X £)n = ' • • ' ЯЪ^п-АО^+Ь • • • ' С1-40)

fc=0

Введем еще операцию сопряжения:

r = (/o>/iNJ2(^ ъ*2),...)- (1.41)

Введенными операциями пространство О наделяется структурой алгебры (точнее, *-алгебры с инволюцией (1.41)).

Пусть ГУ — пространство линейных непрерывных функционалов над О. Любой функционал F из ГУ может быть записан в виде

F(f) = FQf0 + h) + ... + (F„, /„) + ..., (1.42)

где Fn E S'{M.n). Важнейшим элементом пространства ГУ является функционал Уайтмана, т. е. функционал W вида

W(f) = Wofo + {Wu h) + ... + (Wn, /„) + ..., (1.43)

где Wn(x\, ..., rcn) — последовательность функций Уайтмана.

Из выражений (1.36) и (1.38) следует, что поля под действием Т{0)л} преобразуются ковариантно:

Т{а,А}ф)Т£А} = ф^). (1.44)

Вектор /° = (/о, 0, 0, ...) является циклическим по отношению к полиномиальным комбинациям полей (1.38) и инвариантным относительно преобразований (1.36).

Далее, векторное пространство П может быть снабжено скалярным

произведением:

00 „

(£' ...,хг) дк{уг, ..., ук) №нк(хъ ..., хк, уь ..., у^.

з,к=о J

(1.45)

Исходные функции Уайтмана выражаются с помощью этого скалярного произведения как

]У(хъ ...,хп) = </°, <р(х 1)... фп)1°) (1.46)

Ковариантность функций Уайтмана приводит к инвариантности скалярного произведения относительно преобразований из группы Пуанкаре:

<Т{а,л}/,Т{а,л}£> = </,£)• (1.47)

Из условия положительности W.4 следует, что произведение (1.45) положительно определено: (/, /) ^ 0. Следовательно, с введением (1.45) О, становится предгильбертовым пространством. Путем стандартной процедуры пополнения можно получить из гильбертово пространство Н, в котором преобразования Пуанкаре будут представлены унитарными операторами.

Приведенные рассуждения являются только иллюстрацией более общего утверждения:

Теорема 1.1.4 (теорема реконструкции Уайтмана). Пусть IV — функционал

Уайтмана на алгебре П, удовлетворяющий кластерному свойству

W(f х T{aXJ]g) -> W(f)W(g) при А оо, (1.48)

где а — произвольный пространственноподобный вектор. Тогда существуют и определены однозначно с точностью до унитарной эквивалентности гильбертово пространство Ti, унитарное представление U(a, Л) собственной группы Пуанкаре и скалярное эрмитово квантовое поле <р{х) такие, что выполнены все аксиомы Уайтмана W. I —W. VII и

W(f) = <Ф0; А(Г)Ф0), (1.49)

где

00 „

МЛ = /о + / ■ ■ ■ ^W/nfai» • • • > xn)dx 1, ..., dxn. (1.50)

n=l ^

1.1.4. Теорема Хаага в подходе Уайтмана

Перейдем теперь к формулировке теоремы Хаага — основного объекта исследования настоящей работы.

В гамильтоновой (и лагранжевой) формулировке, в дополнение к аксиомам Уайтмана, определенный смысл приписывается полям в определенный момент времени. Поэтому обычно налагается требование, чтобы поля, сглаженные по трем пространственным координатам

¥>(/, t) = J <p(t, x)f(x)d3x, /(f) G S(M3), (1.51)

R3

имели смысл операторов в Ti, определенных в некой плотной инвариантной области V.

Уайтмановские поля (р(х) образуют неприводимую систему в гильбертовом пространстве. Для того, чтобы операторы <£>(/, ¿) в фиксированный момент времени также удовлетворяли этому свойству, в гамильтоновом формализме следует включить вместе с каждым полем ф{х) сопряженный ему обобщенный импульс тг(х). Для случая нейтрального скалярного свободного поля 7г(х) = ф(х) = до<р(х).

Рассмотрим сначала утверждение (иногда в литературе включаемое в утверждение теоремы Хаага), из которого следует равенство вакуумных средних операторов поля, взятых в один и тот же момент времени.

Теорема 1.1.5. Пусть <р1а{/, и <£>г/з(/, / £ ¿>(М3) — два неприводимых набора операторов поля в момент времени определенных соответственно в гильбертовых пространствах и %2, в которых существуют непрерывные унитарные представления неоднородной группы 5С/(2)

{а, А} [/¿(а, А), ^ — 1, 2, (1.52)

такие, что

и5(а, А)<р,а(/, Щ(а, А)'1 = ^^(¿"^({а, Л}/, ¿), (1-53)

Р

где А —> 3(А) — матричное представление группы 5С/(2). Пусть представления V^ обладают единственными инвариантными состояниями Ф^:

Л)Ф,0 = Ф,0> .7 = 1, 2. (1.54)

Пусть, далее, существует унитарный оператор V, такой, что в момент времени t

0 = О^"1. 0.55)

Тогда

U2(a, А) = VUi(a, A)V

-i

(1.56)

и

сФ20 - Фю

(1.57)

где с — комплексное число: |с| = 1.

Теорема 1.1.5 предполагает инвариантность относительно группы Е+(3) собственных евклидовых движений трехмерного пространства: группа SU(2) локально изоморфна группе 50 (3) и является дважды накрывающей для нее (можно сформулировать и так: группа 50(3) изоморфна фактор-группе SU(2)/Z2 по нормальному делителю Z2 = {/, — /}). Поэтому представления неоднородной группы SU(2) описывают и всевозможные представления Е+( 3).

Из соотношений (1.55) и (1.57) следует равенство вакуумных средних в один и тот же момент времени ¿:

(^10, <Pla(t, il), . . . , <Pip(t, £„)Фю) = (Ф20, <p2a{t, Х\),

Приведем теперь обобщенную формулировку теоремы Хаага для случая скалярного нейтрального поля, принадлежащую Холлу и Уайтману [3]. Эта теорема предполагает уже релятивистскую инвариантность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антипин, Константин Владиславович, 2013 год

Литература

1. Neumann J. Die Eindeutigkeit der Schrodingerschen Operatoren // Math. Ann. 1931. Vol. 104. P. 570-578.

2. Haag R. On Quantum Field Theory // Dan. Mat. Fys. Medd. 1955. Vol. 29. P. 12-49.

3. Hall D., Wightman A. A Theorem on Invariant Analytic Functions with Applications to Relativistic Quantum Field Theory // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 1957. Vol. 31. P. 5^5.

4. Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: Princeton University Press, 1955.

5. Connes A. Noncommutative Geometry. New York: Acad. Press, 1994.

6. Марков M. А. О четырехмерно протяженном электроне в релятивистской квантовой области//ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 1311-1328.

7. Марков М. А. О нелокализуемых полях // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 11-15.

8. Snyder Н. S. Quantized Space-Time // Phys. Rev. 1947. Vol. 71. P. 38-41.

9. Snyder H. S. The Electromagnetic Field in Quantized Space-Time // Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 68-71.

10. Doplicher S., Fredenhagen K., Roberts J. E. Spacetime Quantization Induced by Classical Gravity // Phys. Lett. B. 1994. Vol. 331. P. 39-44.

11. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry // J. High-Energy Phys. 1999. Vol. 9909. P. 32-123.

12. Connes A. Gravity Coupled with Matter and the Foundation of Noncommutative Geometry// Commun. Math. Phys. 1996. Vol. 182. P. 155-176.

13. Douglas M. R., Hull C. D-branes and the Noncommutative Torus // Commun. Math. Phys. 1998. Vol. 02. P. 008-011.

14. Kubyshin Y. A., Mourao J. M., Volobujev I. P. Multidimensional Einstein-Yang-Mills Theories: Dimensional Reduction, Spontaneous Compactifica-tion, and all that //Nucl. Phys. B. 1989. Vol. 322. P. 531-554.

15. Volobujev I. P., Smolyakov M. N. Single-Brane World with Stabilized Extra Dimension // Int. J. Mod. Phys. A. 2008. Vol. 23. P. 761-775.

16. Rubakov V. A., Shaposhnikov M. E. Extra Space-Time Dimensions: Towards a Solution to the Cosmological Constant Problem // Phys. Let. B. 1983. Vol. 125. P. 139-143.

17. Вернов Ю. С., Мнацаканова M. Н. Уайтмановский аксиоматический подход в некоммутативной квантовой теории поля // ТМФ. 2005. Т. 142. С. 403-416.

18. Test Functions Space in Noncommutative Quantum Field Theory / M. Chaichian, M. Mnatsakanova, A. Tureanu et al. // J. High-Energy Phys. 2008. Vol. 0809. P. 125-134.

19. Towards an Axiomatic Formulation of Noncommutative Quantum Field Theory / M. Chaichian, M. Mnatsakanova, K. Nishijima et al. // J. Math. Phys. 2011. Vol. 52. P. 32303-32318.

20. Álvarez-Gaumé L., Vázquez-Mozo M. A. General Properties of Non-Commutative Field Theories // Nucí. Phys. B. 2003. Vol. 668. P. 293-321.

21. Classical Theorems in Noncommutative Quantum Field Theory / M. Chaichian, M. Mnatsakanova, K. Nishijima et al. Preprint in arXiv: 0612112 [hep-ph].

22. Chaichian M., Nishijima K., Tureanu A. Spin-Statistics and CPT Theorems in Noncommutative Field Theory // Phys. Lett. B. 2003. Vol. 568. P. 146152.

23. Bleuler К. Eine neue Methode zur Behandlung der Longitudinalen und Skalaren Photonen // Heh. Phys. Acta. 1950. Vol. 23. P. 567-586.

24. Gupta S. Theory of Longitudinal Photons in Quantum Electrodynamics // Proc. Roy. Soc. A. 1950. Vol. 63. P. 681-691.

25. Krein M. G. Introduction to the Geometry of Indefinite J-Spaces and to the Theory of Operators in those Spaces // Am. Math. Soc. Transí. 1970. Vol. 93. P. 103-176.

26. Irreducible Representations of the Heisenberg Algebra in Krein Spaces / M. Mnatsakanova, G. Morchio, F. Strocchi et al. // J. Math. Phys. 1998. Vol. 39. P. 2969-2990.

27. Вернов Ю. С., Мнацаканова M. H., Салынский С. Г. Аналог вейлевского представления алгебры канонических коммутационных соотношений для случая нефизических частиц // Письма в ЭЧАЯ. 2012. Т. 9. С. 353358.

28. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969.

29. Общие принципы квантовой теории поля / Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, А. И. Оксак [и др.]. М.: Наука, 1987.

30. Стритер Р., Уайтман А. РСТ, спин, статистика, и все такое. М.: Наука, 1966.

31. Иост Р. Общая теория квантованных полей / под ред. В. С. Владимирова. М.: Мир, 1967.

32. Wightman A. S. Quantum Field Theory in Terms of Vacuum Expectation Values//Phys. Rev. 1956. Vol. 101. P. 860-866.

33. Douglas M. R., Nekrasov N. A. Noncommutative Field Theory // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 977-1029.

34. Szabo R. J. Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces // Phys. Rept. 2003. Vol. 378. P. 207-299.

35. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля: Теории с ферми-онами. Некоммутативные теории. М.: Издательский дом "Либро-kom'VURSS, 2009.

36. Gomis J., Mehen Т. Space-Time Noncommutative Field Theories and Uni-tarity // Nucl. Phys. B. 2000. Vol. 591. P. 265-276.

37. Seiberg N., Susskind L., Toumbas N. Space/Time Non-Commutativity and Causality // J. High-Energy Phys. 2000. Vol. 0006. P. 44-58.

38. Alvarez-Gaume L., Barbon J. Non-Linear Vacuum Phenomena in Non-Commutative QED // Int. J. Mod. Phys. A. 2001. Vol. 16. P. 1123-1146.

39. Aharony O., Gomis J., Mehen T. On Theories with Light-Like Noncommu-tativity // J. High-Energy Phys. 2000. Vol. 0009. P. 23-37.

40. OM Theory in Diverse Dimensions / R. Gopakumar, S. Minwalla, N. Seiberg et al. // JHEP. 2000. Vol. 08. P. 8-34.

41. Гельфанд И. M., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, вып. 2). М.: Физматгиз, 1958.

42. Lehmann Н., Symanzik К., Zimmermann W. Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien // Nuovo Cimento. 1955. Vol. 1. P. 205-225.

43. Queiroz A., Srivastava R., Vaidya S. Renormalization of Noncommutative Quantum Field Theories // Phys. Rev. D. 2013. Vol. 87. P. 64014-64032.

44. Garding L., Lions J. Functional Analysis // Nuovo Cimento Suppl. 1959. Vol. 14. P. 9-66.

45. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

46. Streit L. A Generalization of Haag's Theorem // Nuovo Cimento. 1969. Vol. 62. P. 673-680.

47. Garding L. Note on Continuous Representations of Lie Groups // Proc. Nat. Acad. Sci. 1947. Vol. 33. P. 331-332.

48. Stone M. H. On One-Parameter Unitary Groups in Hilbert Space // Ann. Math. 1932. Vol. 33. P. 643-648.

49. Вернов Ю. С., Мнацаканова М. Н., Салынский С. Г. Новое определение регулярности представления алгебры канонических коммутационных соотношений // Вестн. Моск. ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия. 2010. Т. 65. С. 113-115.

50. Foias С., Geher L. L., Sz.-Nagy В. On the Permutability Condition of Quantum Mechanics // Acta Sec. Math. (Szeged). 1960. Vol. 21. P. 78-89.

51. Nelson E. Analytic Vectors // Ann. Math. 1959. Vol. 70. P. 572-615.

52. Putnam C. R. Commutation Properties of Hilbert Space Operators and Related Topics. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1967.