Исследование квантовополевых и классических статистических систем методами евклидовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Ребенко, Алексей Лукич

• Ребенко, Алексей Лукич
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ребенко, Алексей Лукич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I.МЕТОД ЕВКЛИДОВЫХ ПОЛЕЙ,.

§ I.Евклидово бозонное поле

§ 2.Построение евклидовых ферми-полей спина 1/

§ 3.Выражение функций Грина и коэффициентных функций $ матрицы через евклидовы поля.

§ 4.Выражение функций распределения классической статистической механики через евклидовы поля.

§ 5.Кластерные разложения и проблема термодинамического предела

§ 6.Особенности кластерных разложений в классической стат-механике. *

Глава П. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ £ -МАТРИЦЫ В ДВУМЕРНОЙ ЕВКЛИДОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ (МОДЕЛИjL(- ; P-j ).

§ I.Построение $ -матрицы в двумерной теории поля с лагранжианом

§ 2.Решение уравнений для коэффициентных функций $ -матрицы в модели Юкавы ( ) при наличии обрезаний 3. Формул а Фейнмана-Каца-Нельсона.

§ 4.Существование предельных коэффициентных функций в модели Юкавы (Ц^?^).

Глава Ш. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ $

МАТРИЦЫ ПРИ БЕСКОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ.

§ I.Гильбертово пространство трансляционно-инвариантных функций

§ 2.Производящий оператор уравнений резольвентного типа в пространстве h,

§ 3.Свойства оператора А.^

§ 4.0 решении уравнений резольвентного типа в !v

Глава 1У.УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ И ПРОБЛЕМА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ

§ I.Уравнения резольвентного типа и диаграммы Фейнмана в евклидовой области.

§ 2.Пространство, в котором определен оператор А

§ 3.Построение итеративного ряда

§ 4.Построение решения уравнений резольвентного типа прямым методом.

Глава У. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ИОННО-ДИПОЛЬНЫХ

СИСТЕМ МЕТОДАМИ ЕВКЛИДОВЫХ ПОЛЕЙ.

§ I.Функции распределения ионов и диполей в конечном объеме

§ 2.Экранированные потенциалы. Разложение Пайерлса

§ 3.Кластерные разложения.

§ 4.Сходимость кластерных разложений I. Комбинаторика

§ 5.Сходимость кластерных разложений П. Оценка числа производных

§ 6.Сходимость кластерных разложений Ш. Оценки гауссовых интегралов.

§ 7.Существование и экспоненциальная кластеризация функций распределения в пределе бесконечного объема

Глава У1 .ИССЛЕДОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ИОНГО-ДИПОЛЬНЫХ СИС

ТЕМ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТМЕХАНИКИ

§ I.Исследование системы ионов вблизи плоской поверхности

§ 2.Функции распределения ионов и диполей вблизи плоской границы раздела.

§ 3.Функции распределения ионов и диполей вблизи сферической поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование квантовополевых и классических статистических систем методами евклидовой теории поля»

Квантовая теория поля и статистическая механика наряду с квантовой механикой являются основой современной теоретической физики, цель которой состоит в глубоком изучении физических явлений, лежащих в основе построения материи. Вплоть до начала 70-х годов эти два важные направления теоретической физики развивались практически независимо, хотя отдельные аналогии между ними были обнаружены еще раньше в работах Боголюбова и Ширкова J (см.стр.298), Фрадкина ^2,3J и Симанзика |~4,5 J .

Квантовая теория поля, возникшая в 40-х, 50-х годах в работах Томонаго, Швингера, ФеЙнмана, Дайсона, вначале претендовала на роль теории,адекватно описывающей взаимодействие элементарных частиц. Однако бурное развитие физики элементарных частиц и попытки их систематического описания значительно опередили теоретические исследования и стимулировали поиски новых теоретических схем. Идеи симметрии, аналитической теории матрицы рассеяния, представление о дуальности - все это явилось новым мощным толчком для построения будущей теории. Тем не менее квантовая теория поля остается основой для построения конкретных моделей, которые соответствуют общим физическим принципам и дают возможность сравнить теорию с экспериментом.

Было бы практически невозможным (см.в связи с этим сборники статей /6,77 ) проследить за развитием квантовой теории с момента ее возникновения, поэтому мы укажем лишь на наиболее важные этапы этого развития. В конце 40-х годов значительным толчком явились открытие тонкой структуры линий водорода и открытие у электрона "аномального" магнитного момента, которые стимулировали развитие релятивистской квантовой механики, в особенности квантовой электродинамики. По-видимому Швингер (см. ],стр.II-I37) был один из первых, кто в наиболее изящной формулировке в рамках лагранжева формализма впервые изложил основы квантовой электродинамики в строго ковариантном и калибровочно-инвариантном виде.Однако самые большие успехи квантовой теории поля связаны с теорией матрицы рассеяния. Введенная впервые Уилером в 1937 г. в связи с проблемами структуры ядер рассеяния, £ -матрица подробно исследовалась Гейзенбергом [8,9J в связи с теорией элементарных частиц. Теория $ -матрицы Гейзенберга получила дальнейшее развитие в работах Мёллера jjioj , Штюкельберга [izj , Лемана,Симанзика, Циммермана [13] и Боголюбова, Медведева, Поливанова, Ширкова [l,I4j. Большая заслуга принадлежит также Дайсону (см. £б] ,стр.205-238), который установил связь между теориями Швингера и Фейнмана, построил матрицу рассеяния методом теории возмущений и показал, что метод диаграмм Фейнмана (см. ["б] , стр.138-204), который был ранее развит Фейнманом вне всякой связи с $ -матрицей, представляет собой по существу совокупность правил для вычисления элементов $ -матрицы Гейзенберга по теории возмущений.

Вместе с тем формулировка квантовой теории поля в терминах теории возмущений наталкивается на значительные математические трудности. По своему характеру эти трудности можно условно разбить на два типа. Первые связаны с расходимостью интегралов в каждом порядке теории возмущений, вторые - с поведением ряда в целом. у .'

Еще в работах Дайсона (см. J, стр.205-238), Салама [is] и др. были разработаны элементы выззггательной процедуры и было показано, что вычитания действительно приводят к конечным результатам. Математически строгая теория устранения расходимостей была развита впервые в работах Боголюбова и Парасюка [I6-I8J , которые обосновали вынитательную процедуру в терминах " ft, -операции". Дальнейшее развитие теория Д, -операции получила в работах Хеппа £l9j, Циммермана [20-22J , Аникина,Завьялова, Поливанова, Степанова J23-28J и Щербины J29-3oJ . Впрочем, несмотря на математическую ясность вопроса, методы перенормировок вносят в теорию дополнительные правила обращения с расходящимися выражениями. Остается также открытым вопрос о сходимости перенормированного ряда в целом. Однако уже несколько первых членов этого ряда по степеням тонкой структуры приводит к удивительно^ согласию теории и эксперимента при расчете лэмбовского сдвига и "аномального" магнитного момента электронаs о которых мы уже упоминали выше. В своей книге (cM.jsiJ, стр.12) "Общая теория квантованных полей" Йост, например, пишет: "Это очень впечатляющее обстоятельство не делает, однако, положение вещей в целом менее странным. Мы исходим из уравнений, которые не имеют смысла. Мы применяем к их решениям некоторые определенные предписания и приходим, наконец, к степенному ряду, про который мы не знаем, имеет ли он смысл. Несколько первых членов этого ряда приводят, однако, к наилучшим известным предсказаниям".

Ситуация, сложившаяся в квантовой теории поля, заставила теоретиков искать новые теоретические схемы. Прежде всего под сомнение была постановлена теория возмущений, успехи которой хотя и были не поняты, но все же давали в руки теоретиков практический инструмент для расчетов многих физических явлений, но которая была, однако, неприменима 8 области сильных взаимодействий. Швингер разложений в ряд по степеням константы взаимодействия и развил теорию уравнений для функций Грина. В дальнейшем уравнения Швинге ра оказали огромное влияние не столько в самой квантовой теории поля, сколько на развитие квантовой статистической физики, где ме тод функций Грина впоследствии оказался весьма плодовторным (см.

Нельзя обойти стороной аксиоматические методы в теории поля, которые на первый взгляд лишены практической применимости, однако явились мощным толчком для развития конкретных модельных систем. виальной теории, удовлетворяющей всем аксиомам. Возникшая в 70-х годах в работах Глимма, Джаффе и др. конструктивная теория поля добилась значительных успехов в осуществлении программы Вайтмана. Было построено ряд нетривиальных теорий в двумерном пространстве времени, сделаны некоторые попытки применить развитые методы для размерности три и четыре. Обзор этих результатов можно найти в монографии £34J . Следует также упомянуть аксиоматический подход

Боголюбова, Медведева, Поливанова, Ширкова ju,14,35J , который позволил на основании таких общих физических требований как ло-ренц-инвариантность, причинность, локальность и унитарность построить матрицу рассеивания и развить стандартную теорию возмущений .

Успехи квантовой теории поля, достигнутые в последнее десятилетие, связаны преяоде всего с применением евклидовых методов

36] . Во введении к первой главе мы более подробно остановимся на истории возникновения и станоавления евклидовой теории поля и еще в 1951 году предложил отказаться от повлекла интенсивные поиски нетриее использовании для исследования моделей квантовой теории поля и статистической механики. Существенный сдвиг в решении проблемы существования нетривиальных взаимодействий связан, однако, с двумерными теориями поля. Уменьшение размерности пространства времени приводит к значительным упрощениям, которые все же не исключают полностью основные сингулярности квантовой теории поля. В трехмерном пространстве - времени справедливы некоторые результаты, полученные в двумерных теориях, но они в основном носят предварительный характер и применимы только к скалярным взаимодействиям. Что же касается пространства - времени четырех измерений, то существующие методы конструктивной квантовой теории поля, по-видимому, вовсе не применимы.

Методы евклидовой квантовой теории поля оказали также огромное влияние и на развитие модельных систем статистической физики, в особенности равновесной классической статистической механики. Вплоть до начала 70-х годов успехи равновесной статмеханики были связаны прежде всего с разложениями в ряды по степеням плотности (вириальные разложения) и по степеням активности (разложения Май-ера) . Была развита диаграммная техника, позволяющая последовательно вычислять коэффициенты этих разложений. Однако вопрос о сходимости этих разложений в термодинамическом пределе оставался долгое время открытым. Возможность доказать сходимость таких разложений и решить проблему термодинамического перехода тесно связана с исследованием уравнений для функций распределения: уравнений Кирк-вуда-Зальцбурга и Майера-Монтролла в большом каноническом ансамбле (см. в связи с этим монографию Рюэля £37J ) и уравнений Боголюбова £38J в малом каноническом ансамбле. Значительным успехом было также доказательство Боголюбовым, Петриной и Хацетом 39 I термодинамической эквивалентности между малым и большим каноническими ансамблями в определенной области термодинамических параметров. Однако все эти результаты справедливы лишь для стабильных и регулярных потенциалов (см. £37J ). Если условие стабильности является вполне естественным для всех статистических систем, то условие регулярности по существу означает короткодействующий характер взаимодействий между частицами и тем самым ограничивает возможность применения указанных методов. В частности, это условие не выполняется для систем с медленно убывающим потенциалом, из которых наиболее характерными и важными являются ионно-дипольные системы. Практическая важность изучения таких систем обусловлена прежде всего их широким применением в различных областях науки и техники.

Начало в изучении ионных систем было положено еще в работе Дебая и Хюккеля jjioj, которые впервые количественно обосновали гипотезу об экранировании электростатических взаимодействий, используя уравнение Пуассона-Больцмана для потенциала заряда, находящегося в растворе электролита. Развитая ими теория возмущений оказалась корректной только в пределе малых концентраций.

Новый этап в изучении ионных систем связан с выходом монографии Боголюбова [j38J , в которой исходя из распределения Гиббса была получена система уравнений для функций распределения и развиты методы ее решения для конкретных систем. Для ионных систем был развит оригинальный метод теории возмущений в ряд по степеням плазменного параметра и получены результаты Дебая-Хюккеля исходя из первых принципов статистической механики. Дальнейшее развитие эти методы получили в работах £41-45 J .

Статистическая теория смешанных ионно-молекулярных систем, т.е. систем, в которых равноправно учитываются и взаимодействия г г ионов с растворителем, а также молекул растворителя, развивалась в работах Юхновского, Головка и др. ^46-48J . Достаточно полный обзор результатов по этой тематике можно найти в монографии [49J. Следует, однако, отметить, что во всех вышеупомянутых работах отсутствовало строгое доказательство сходимости групповых разложений и существование функций распределения в термодинамическом пределе. Такое доказательство стало возможным только в последние годы, когда были вскрыты глубокие аналогии между классической статистической механикой и модельными системами квантовой теории поля в евклидовом пространстве - времени. В работах Фи вел а [Ьо] , Петрины и Скрипника |j5lj было показано. что неполиномиальную модель квантовой теории поля в евклидовой области можно рассматривать как обобщенную модель классической статистической механики, а в работе Гуэры, Роэена и Саймона J эти аналогии были подробно изучены для полиномиальных моделей. Открытие тесной связи между евклидовой теорией поля и классической статмеханикой позволило Глимму, Дкаффе и Спенсеру (см. ["34J , стрЛ69-267; [зз] , стр.46-131) применить в теории поля мощные методы статистической механики: кластерные разложения и контурную технику, что, в свою очередь, дало обратное воздействие: методы кластреных разложений стали наиболее эффективным средством при доказательстве существования термодинамических пределов для классических и квантовых систем взаимодействующих частиц (см. [54-57J ). Особенно полезными эти методы оказались для исследования систем заряженных частиц, взаимодействующих посредством кулоновского потенциала, где традиционные методы [37J неприменимы.

Настоящая диссертация посвящена развитию методов евклидовой теории поля для описания конкретных моделей квантовой теории поля и классической статистической механики. Целью диссертации является развитие нового направления в теории модельных систем, в основе которого лежит понятие евклидового свободного поля.

Диссертация состоит из шести глав, введения и заключения. В первой главе подробно излагается метод евклидовых полей, позволяющий рассматривать модельные системы квантовой теории поля и классической статистической механики с единой точки зрения. В этой же главе обобщен метод кластерных разложений на случай операторных средних от евклидовых полей. Во второй главе метод евклидовых полей применяется для исследования матрицы рассеяния в евклидовой области для двумерных моделей с лагранжианами взаимодействия и модели Юкавы Л ^ f • Представление £ -матрицы через евклидовы бозе и ферми поля позволяет доказать сходимость рядов теории возмущений в модели Юкавы при наличии объемного и ультрафиолетового обрезаний. Доказана формула Фейнмана-Ка-ца-Нельсона и установлена возможность снятия ультрафиолетового обрезания. Используя метод кластерных разложений доказано существование предельных коэффициентных функций ^ -матрицы при снятии объемных обрезаний. Во второй главе модельные системы квантовой теории поля исследуются в рамках традиционного подхода,связанного с конструктивной теорией поля, когда вначале система аппроксимируется (объемное и ультрафиолетовое обрезания), а затем ищутся возможные пути снятия аппроксимации.

В поел едущих двух главах развивается новый подход, основанный на рассмотрении уравнений для коэффициентных функций матрицы рассеяния в специальных пространствах, которые учитывают алгебраическую структуру этих функций и которые позволяют определить их без введения дополнительных обрезаний. Это в значительной мере позволяет конкретизировать исследования, но в то же время усложняет построение решений ввиду отсутствия развитого математического аппарата. В третьей главе диссертации сделана попытка развить такой математический аппарат и на примере скалярного взаимодействия исследовать уравнения для коэффициентных функций матрицы рассеяния в пространствах трансляционно-инвариантных функций. Рассмотрены аппроксимации этих уравнений, суммирующие вклады различных классов диаграмм Фейнмана. В четвертой главе,с точки зрения методов некорректно-поставленных задач математической физики,рассматривается проблема возникновения и устранения ультрафиолетовых расходимостей в модельных системах квантовой теории поля. Введены пространства, в которых уравнения для коэффициентных функций £ -матрицы строго определены для размерности евклидового пространства времени (/=4. Появление ультрафиолетовых расходимостей обусловлено прежде всего применением итерационного метода решения этих уравнений. Показано, что -операцию Боголюбова-Парасюка можно рассматривать как некоторый проекционно-итеративный метод решения исходных уравнений.

Две заключительные главы диссертации посвящены применению развитых методов евклидовой квантовой теории поля при исследовании классических статистических систем. В пятой главе рассмотрена ионно-дипольная однородная система. Построены аналоги евклидовых полей, позволяющие выразить функции распределения рассматриваемой системы в виде средних от некоторых функций этих полей. Используя метод кластерных разложений доказано существование дебаевского экранирования в ионно-дипольных системах для достаточно малых значений обратной температуры и концентрации частиц. Установлено, что если концентрация ионов не равна нулю, то экранируются не только ион-ионные взаимодействия, но и диполь-дипольные. В последней, шестой главе, методы евклидовых полей применяются для исследования пространственно-неоднородных ионно-дипольных классических систем. Найдены функции распределения ионно-дипольных систем вблизи бесконечной плоской поверхности, а также вблизи сферической поверхности. Исследовано поведение ионов и диполей вблизи таких поверхностей. Разработан метод решения уравнений на экранированный потенциал для таких систем.

Результаты работы можно сформулировать в виде следующих положений, которые выносятся на защиту:

X.Развит метод евклидовых полей для описания модельных систем квантовой теории поля и классической статистической механики.

2.Построены евклидовы ферми-поля спина 1/2 и получено выражение коэффициентных функций £ -матрицы через евклидовы поля. Доказана сходимость рядов теории возмущений для модели Юкавы при наличии объемного и ультрафиолетового обрезаний.

3.Обобщен метод кластерных разложений на случай операторных средних от евклидовых полей и доказано существование предельных коэффициентных функций -матрицы.

4 .Для модели X^f^-J доказана формула Фей нман а-Кац а-Не л ь со -на для функций Грина без импульсного обрезания.

5.Установлена перенормируемость модели ЮкавыА^: вне рамок теории возмущений.

6.Построено пространство трансляционно-инвариантных функций fl » учитывающее структуру коэффициентных функций £ -матрицы и позволяющее рассматривать уравнения без введения дополнительных обрезаний.

7.Подробно исследован производящий оператор уравнений для коэффициентных функций и построены решения аппроксимированных уравнений, суммирующие вклады различных классов диаграмм Фейнмана.

8.Методами некорректно поставленных задач исследовано уравнение для коэффициентных функций в евклидовом пространстве 4-х измерений. Доказано, что эти уравнения можно строго определить в паре банаховых пространств, а - операцию Боголюбова-Парасюка можно рассматривать как проекционно-итеративный метод решения.

9.Построены кластерные разложения для функций распределения ионно-дипольных систем и доказана их сходимость. Установлено существование термодинамического предела для таких систем.

10.Для малых значений обратной температуры и активностей строго доказано существование дебаевского экранирования.

11.Метод евклидовых полей перенесен на случай неоднородных систем. Развита методика решения уравнений для экранированного потенциала и получено решение этих уравнений в случае бесконечной плоской поверхности и сферической поверхности.

12.Найдены функции распределения ионов и диполей вблизи плоской и сферической поверхности и сделан качественный анализ их поведения.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю профессору Д.Я.Петрине за постоянное внимание к работе, а также сотрудникам отдела статистической механики ИТФ АН УССР за плодотворные дискуссии и творческую атмосферу.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ребенко, Алексей Лукич

Выводы^ а) Из формул (6.88) и (6.89) следует, что если поверхность мембраны такова, что ^ > » то ионы будут отталкиваться от поверхности и их концентрация у поверхности будет меньше. б) Анализ унарной функции распределения для дипольных частиц приводит к формуле

Р (г, V) ~ & > т.е. наиболее вероятное распределение диполей будет, когда , т.е. когда они выстраиваются параллельно. в) Асимптотика второго слагаемого экранированного потенциала у поверхности раздела будет иметь вид т.е. взаимодействия экранируются экспоненциально в направлении, перпендикулярном плоскости и сохраняют дальнодейстзующий характер в направлениях, параллельных плоскости. Это означает, что у поверхности образуется слоистая структура электролита, как ионов, так и растворителя.

§ 3.Функции распределения ионов и диполей вблизи сферической поверхности

В настоящем разделе рассмотрим случай сферической границы раздела.

I.Определение системы

Пусть среда (растворитель) состоит из дипольных частиц сорта i с дипольными моментами Jib , а препятствия из дипольных частиц сорта $ с дипольными моментами . В среде расположены ионы

М сортов с зарядами , где я = 1,2,. М . Сфера Qj является непроницаемой для частиц всех сортов, что обеспечивается введением потенциалов внешнего поля:

О, Г+о° ,

Ъ%(г) = КГ (г) = -j = J (6.90) у-оо /л/4 </. /

L 9 [ 0 >

Как и в случае плоской границы раздела,функции распределения имеют вид (6.59), а уравнение для экранированного потенциала вид (6.62).

Приступим теперь к решению уравнений (6.62), используя симметрию задачи.

2.Решение интегрального уравнения

Решение системы интегральных уравнений будем искать в виде j = <V V СЪ ) (*,<*). (6-91)

Нетрудно убедиться, что справедливы следующие соотношения:

- ft/ П) , /*/->✓, f?*^/*/>✓,(6.93) = W<c/J/r£/>(/) (6.94)

1Ы<с!; /гш/<€/. (6.95)

Тогда, учитывая соотношения (6.92)-(6.95), система уравнений (6.62) сводится к системе из четырех уравнений:

Itk, - f^A^y

-If j'r р? (A^r)ifbt (**) ty r ^fe rr)^ CM), ft О = -j, Ъ.(оъ)icf-ril tr ib-n

6.96) ill

-iffa-v cm),

0 Q* 'S-n ' ' (6.97) f far.) = -J- - f'r * /Ъ-п/ nr т-f/ * +

- ц fr ^ ^

Л Qj '

- W Jf № (r' n)> (6-98) к /ц ™ л/ ^ jV p?^. ^. ^ ^ * j

-ty W №(w)^ (л-'r) Con), (6 99) где Э£02 = Утр 2 Я ~ кваАРат обратного дебаевского радиуса.

Выполним интеграцию по . Учитывая, что

Q (S-Vrjffr) (АЪ)}{г) = f^(vfr) - vy<)) и вводя обозначения (6Л00) //ltdt>£

Ш1м./2,1а ~ A.-/ (6.I0I) з систему уравнений перепишем так: ф to Q) = -L - ,777 Ъ* & *)

С Г» f f S Ыг (* ъп.я*))W Ш ыг f 'Vr (6Л02) Qef 1

- Lzi ч» j

- Ir (b -h, ,-r: - JV -L.

-Lsi Or fv J- ■ i fC\Q

Si-/ s.

5*r (Vrj^j ■ 7r ^

6.104)

K-M = - ^ [ar-L CA (r a) t-f tor

Таким образом, задача о решении системы уравнений (6.62) сведена нами к системе уравнений (6Л02)-(6.105). Учитывая симметрию задачи, решение системы уравнений (6Л02)-(6.105) будем искать в виде: ZL <?*(№№) А (с* £>„), (6.106) м — о где значек # обозначает либо либо +-, либо -+, либо —,

0) - полином Лежандра степени ; - угол между векторами и /£ .

Положим, не снижая общности, что //;/ </£/ . Так как имеет место следующее представление для функции /с?-/?/"^ ' ов V W yi т к-*/ ^ ^ КГ1 ,/«/</*/, J

Hi-fi I о* z Щ f о/ м+1

6.107) то,выполнив соответствующие интеграции по с/$- и с/у (сферическая система координат) в системе уравнений (6Л02)-(6.105) и приравняв соответствующие коэффициенты при полиномах Вт , получим• 5

- ^ т.

- f nfoa)cf

2 * *

- ч -f! г*) ~

- ^ ^С'.п) , (6Л08) i^iJL* - *l hrll%+-rrrS У £ rm+4 е J ти YM (CGJ Г, У С' 2

Г Гт -h- С У Jl*+f

- Tt <Рт. Гпп) + р -/ е 1 > (6.Ю9) 7 d r

- К'с^ь) +

231-. (6.ПО)

Vm'Ccn)

• (6.Ш)

Несложно убедиться, что имеют место следующие "граничные" условия: fZ'(<t,q) = (6.II3)

В силу соотношений (6.112)-(6.113) уравнения (6.108) и (6.109) замыкаются, а уравнения (6.ПО) и (6.III) представляют собой при известных и уже не уравнения, а некоторые соотношения.

Найдем теперь решение уравнений (6.108) и (6.109). Учитывая представление (6.107) для функции ///-/?/ ' , решение уравнения (6.108) будем искать в виде: т.

6.114) где функция fm. (b) Ъ) имеет следующее представление

Ащ и Вт - некоторые произвольные постоянные, a = г-Воспользовавшись соотношениями С6Л12) и (6.113), получим уравнение, из которого найдем и : (»«*<?£ С л K„h («*) = т ** Г Г £(**") к j -f 2 гг

Q Г L " (6Л16) т^т{ая ю , 1 у

Учитывая, что

-лг * (*г) =0 (6.117) r'n'i Kmtyk (*r) = О, f-T<*a вычислив необходимые интегралы и то, что

6.118)

К Л*)1 + 1 „ (я) К* /у / (6.II9) получим следующие выражения для и Вгч '

А* - ^

6.120) s щ — р ----- {O.ltCl)

4 £i х°> кт. л +■[(*»№ <-*<es]K„, f/ Схы)

Таким образом, в силу (6.9IM6.95),(6.96),(6.II4), (6.II5), (6.120) и (6.121), а также теоремы сложения Гогенбауэра , окончательно имеем:

Ь/Ъ-П/ тъо г'*'

6.122)

Отметим, что выражение (6.122) для ион-ионного взаимодействия совпадает с соответствующим выражением, полученным в работе £l77J , в которой растворитель и материал препятствия учитывался с помощью диэлектрических постоянных. Решение уравнения (6.109) будем искать в виде: L fa с*м)ф С*п0>

CxW, (6Л23)

Аналогичные вычисления, как и для потенциала , дают следующие выражения для Ат и &м

Г (6.124)

I = (гт<) -- • (6Л25)

Таким образом,

6.126)

Здесь

Несложные вычисления позволяют найти также fa &),/%(,/%/<<{ • Тем самым задача о решении уравнения (6.62) полностью решена.

3.Унарная и бинарная функции распределения

Приближенное вычисление унарной и бинарной функций распредели ления приводит к выражениям Сб.86) с ф ( Сг<>Гг) в виде (6Л22) и § в виде: = £ в- т х^а******)*

X (?"*/) . (6.127)

7 =/

Качественный анализ полученных выражений позволяет сделать некоторые выводы о характере распределения частиц вблизи поверхности сферы: а) как и в случае плоской границы раздела при (т.е. когда дипольные моменты частиц сорта £ больше дипольных моментов частиц сорта $ ) ионы будут отталкиваться от сферической поверхности, что приведет к уменьшению их концентрации вблизи поверхности сферы; б) функция распределения дипольных частиц пропорциональна где В - угол между направлением дипольного момента и линией,соединяющей диполь с центром сферы. Следовательно, наиболее вероятное распределение диполей будет в случае, когда , т.е. когда они выстраиваются параллельно касательной к поверхности сферы;

Используя эти результаты, можно показать, что бинарная функция распределения (6.122) убывает экспоненциально в радиальном направлении и степенным образом, если расстояние частиц от центра сферы остается неизменным. Это означает, что взаимодействие между частицами сильнее в слоях, которые образуют концентрические сферы вокруг сферы S?^ . экспоненте в) анализ выражений типа (6.122) был выполнен в работе

ЗАКЛШЕНИЕ

Итак, в дисеертации развит новый подход к исследованию кван-тово-полевых и классических статистических систем, в основе кото

-J".'' рых лежит понятие евклидового квантового поля. Этот подход позволяет с единой точки зрения рассматривать как модельные системы квантовой теории поля, так и классические системы статистической механики.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют сделать следующие основные выводы:

I.B диссертации получены операторы евклидовых бозе- и ферми-полей и получены выражения для коэффициентных функций матрицы рас сеяния и функций распределения через евклидовы поля.

2.Обобщен метод кластерных разложений на случай операторных средних от евклидовых полей и доказано существование предельных коэффициентных функций матрицы рассеяния для модельной системы квантовой теории поля с лагранжианом взаимодействия

3.Впервые установлена перенормируемость модели Юкавы Xf-'fif^ вне рамок теории возмущений.

4.Впервые доказано, что уравнения квантовой теории поля можно строго определить без введения дополнительных обрезаний подходящим выбором функционального пространства.

5.Предложен метод суммирования определенных классов диаграмм Фейнмана, основанный на решении соответствующих уравнений резольвентного типа.

6.Доказано, что вычитательную процедуру Боголюбова-Парасюка можно рассматривать как итерационно-проекционный метод решения уравнений для коэффициентных функций матрицы рассеяния.

7.Установлено существование предельных функций распределения для нонно-дапольных систем классической статистической механики при устремлении объема системы к бесконечности.

8.При достаточно малых значениях обратной температуры и концентрации частиц имеет место экспоненциальное убывание взаимодействия между частицами (дебаевское экранирование). Результат установлен в каждом порядке теории возмущений и сохраняется после пересуммирования всего ряда.

9.Если концентрация ионов не равна нулю, то экранируются все электростатические взаимодействия как ион-ионные, так и ион-ди-польные и диполь-дипольные.

10.Анализ унарной функции распределения ионов вблизи плоской и сферической поверхностей показывает, что концентрация частиц у поверхности значительно меньшая, чем в объемной фазе и не зависит от знака заряда.

Напольные частицы в результате коллективного взаимодействия между собой ориентированы таким образом, что их дипольный момент перпендикулярен к нормали рассматриваемой поверхности.

12.Анализ бинарной функции распределения конов вблизи плоской и сферической поверхностей показывает, что взаимодействие мевду частицами экранируется (т.е.экспоненциально убывает) только в направлениях нормалей к поверхностям и остается дальнодействующим (т.е.убывает степенным образом) в направлениях, перпендикулярным к нормалям.

В заключение мы кратко изложим тот круг вопросов, решение ко г/ торых остается актуальной задачей и может рассматриваться как дальнейшее развитие методов, развитых в диссертации. К таким задачам, прежде всего, относится нахождение решений уравнений для коэффициентных функций -матрицы для реальных моделей, описывающих взаимодействие элементарных частиц. Методы, развитые в 3-й и 4-й главах диссертации, носят общий характер и в каждом конкретном случае должны быть дополнены различными физическими условиями, вытекающими из рассматриваемой модели. Примером таких условий может быть условие градиентной инвариантности в квантовой электродинамике или условие нейтральности при рассмотрении системы заряженных частиц. Многочисленные примеры (см. [i, 187J ) показывают, что подобные условия могут оказаться решающими при устранении рас-ходимостей.

Необходимо также добавить, что в диссертации не учитывались аналитические свойства коэффициентных функций. 6 теории возмущений аналитические свойства амплитуд рассеяния подробно исследовались в работах Д.Я.Петрины [188,189] и В.И.Фущича [190-192] . Учет этих свойств может дать дополнительную информацию при отыскании решений уравнений для коэффициентных функций.

Следующей важной задачей, как с чисто теоретической точки зрения, так и с точки зрения различных практических приложений, является изучение систем заряженных частиц вблизи различных поверхностей. Метод евклидовых полей позволил получить общие выражения для функций распределения ионов и диполей и выразить их через операторы, коммутирующие на экранированный потенциал, что, в свою очередь, дало возможность сделать некоторые важные выводы относительно поведения ионов и диполей. Однако остается открытым вопрос о существовании термодинамического предела для таких систем и вопрос построения сходящихся разложений для функций распределения. Следует также продолжить исследования, выполненные в 6-й главе и применить полученные результаты к расчету функций распределения ионов и диполей вблизи динамических и пористых мембран, что в настоящее время является чрезвычайно важной задачей, прежде всего с точки зрения технологии очистки соленых вод.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ребенко, Алексей Лукич, 1983 год

1.Боголюбов Н.Н.,Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. - 3-е изд., М.: Наука, 1976 , 480 с.

2. Фрадкин Е.С. Метод функций Грина в квантовой статистике. ДАН СССР, 1959, т.125, » 2, с.311-314.

3. Fradkin E.S. Application of Functional Methods in Quantum Field Theory and Quantum Statistics. Hucl. Phys., 1963»v.49» Ho 4, p.624-640.

4. Symanzik K. Euclidean Quantum Pield Theory. I. Equations for a Scalar Model. Joum. Math. Phys., 1966, v.7, So 3, p.510-525.

5. Symanzik K. Euclidean Quantum Pield Theory. In :"Local Quantum Theory", Proceedings of the International School of Physics "Enrico Pexmi" Academio Press, Н.У. and London, 1969,15 2-226

6. Новейшее развитие квантовой электродинамики. Сборник статей, пер. с англ. М.: ИЛ, 1954. - 394 с.

7. Проблемы современной физики. Сборник статей, пер. с англ. -J* 3, 1955. 198 с.

8. Heisenberg W. Die " be obacht bar en" Grossen in der Theorie der Elementarteilchen, Teil I. Z. Physik, 1943, v.120,p.513-538.

9. Heisenberg W. Die "beobachtbaren" Grossen in der Theorie der Elementarteilchen, Teil II. Z. Physik, 1943, v.120, p. 673-702.

10. Lehmann H. ,Symanzik K., Zimmermarm W. On formulation of quantum field theory.II.-Ifuovo Cim. ,1957,v.6, No2,p.319-332.

11. Боголюбов H.H.,Медведев Б.В.,Поливанов M.K. Вопросы теории дисперсионных соотношений. М.: Физматгиз, 1958. - 262 с.1..Salam A.Divergent Integrals in Renormalizable Field Theories.- Phys. Rev., 1951, v.84, ffo3, p.426-431.

12. Боголюбов H.H. ,Парасюк O.C. О вычитательном формализме при умножении причинных функций. Изв. АН СССР, сер.матем.,1956, т.20, & 3, с,585-598♦

13. Bogoliubov U.K., Parasiuk O.S.tJber die Multiplikation der Kausalfunk'tionen in der Quantentheorie der Felder.- Acta Math., 1957, v. 97, ffo 1, p.227-242.

14. Парасюк O.C. К теории ft -операции Боголюбова. УМЖ, I960, т.12, Л 3, с,287-294.

15. Нерр К. Proof of the Bogoliubov-Parasiuk Theorem on Renormali-zation. Commun Math. Phys.,1966, v.2, И04» p.301- 326.

16. Zimmermann W. The Power Counting Theorem for Minkouski Metric.- Commun. Math. Phys., 1968, v.11, No1, p.1-8. 2j^Zimmermann W. Composite Operators in the Perturbation Theoryof Renormali2able Interactions, Ann. Phys., 1973, v.77,N 2, p. 536-569.

17. Zimmermann V* Hormal Products and the short Distance Exp anal oil In the Perturbation Theory of Re normal izable Interactions. -Ann.Plays.,1973,v.77,No2, p. 57^-601.

18. Степанов Б.Hi. Абстрактная теория R -операции. Изв.АН СССР, сер.матем.,1963, т.27, * 4, е.819-831.

19. Аникин С.А.,Завьялов 0.И.,Поливанов М.К. Одно простое доказательство теорешБоголюбова-Парасюка. ТМФ, 1973, т. 17, Jt> 2,с.189-196.

20. Аникин С.А.,Поливанов М.К. О доказательстве теоремы Боголюбова-Парасюка для нескалярного случая. ТМФ, 1974, т.21, № 2, с.175-182.

21. Аникин С.А., Завьялов О.И. Контрчлены в формализме нормальных произведений. ТМФ, 1976, т.26, № 2, сЛ62-171.

22. Аникин С.А., Завьялов О.И. Контрчленная техника и разложения Вильсона. ТИ©, 1976, т.27, Щ 3, с.425-430.

23. Завьялов О.И. Перенормированные диаграммы Фейнмана. М.:Наука, 1979. - 318 с.

24. Щербина В.А. Система уравнений для вершинных функций 7* «экспоненты. ТМФ, 1973, т.14, № 3, с.342-356.

25. Щербина В.А. Некоторые свойства К -операции для полей с локальным взаимодействием. М.: Докт.диссертация, 1975, 283 с.

26. Йост Р. Общая теория квантованных полей. М.: "Мир", 1964, 236 с.

27. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский Н.Б. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз,1962, 443 с.

28. Вайтман А. Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей. М.: Мир, 1968, 184 с.

29. Конструктивная теория поля. Сборник статей, пер. с англ. -М.: Мир, 1977, 268 с.

30. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А.,Тодоров Н.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М.: Наука, 1969,424 с.

31. Саймон Б. Модель РСФ)^ евклидовой квантовой теории поля. -М.: Мир, 1976, 357 с.

32. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир, 1971, 367 с.

33. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: Гостехиздат, 1946, 118 с.

34. Боголюбов Н.Н., Петрина Д.Я., Хацет Б.И.Математическое описание равновесного состояния классических систем на основе формализма канонического ансамбля. 1969, тЛ, № 2, с.251-274«

35. ВеЪуе D., Huckel В* Zur Theorie der Elektrolyte. Phys.Z., 1923, v.24, Ho 9, p. 185-206.

36. Глауберман А.Б., Юкновский И.P. К статистической теории концентрированных растворов сильных электролитов. ЖЭТФ, 1952, т.22, » 5, с.562-572.

37. Юхновский И.Р. Бинарная функция распределения для систем взаимодействующих заряженных частиц. ЖЭТФ, 1954, т.27, № 6,с.690-698.

38. Стрельцова Е.А. К вопросу о функциях распределения для систем с кулоновским взаимодействием. Ю1Ф, 1954, т.26, № 2, с.173-178.

39. Тябликов С.В., Толмачев В.В. Функции распределения для классического электронного газа. ДАН СССР, 1957, т.114, № 6, C.I2I0-I2I3;

40. Вхновский И.Р. К статистической теории смешанных ионно-диполь-ных систем взаимодействующих частиц. ДАН СССР, 1961, т.136, » 6, с.1317-1320.

41. Некрот А.А.,Юхновский И.Р. Бинарные функции распределения смешанной ионно-дипольной системы. УФЖ, 1968, т.13, № 10, с.1637-1644.

42. Юхновский И.Р., Головко М.Ф. Статистическая теория равновесных систем частиц сложной электростатической структуры. УФЖ,1969, т.14, * 4, c.III9-II29.

43. Юхновский И.Р., Головко М.Ф. Статистическая теория классических равновесных систем.- Киев: Наукова думка, 1980. -342 с.

44. Fivel D. Construction of Unitary Covariant S-Matricea Defined b^Convergent Perturbation Series.-Phys.Rev., 1971, v.D4,N6,р.1б53~

45. Петрина Д.Я. ,Скрипник В.И. Уравнения Кирквуда-Зальцбурга для коэффициентных функций матрицы рассеяния. ТМФ, 1971, т.8, № 3, с.369-380.

46. Guerra F.,Eosen L.,Simon В. The Р(ф\ Euclidean Quantum field Theory as Classical Statistical Mechanics. Ann.Math.,1975, ▼.101, Ho2, p.111-259.

47. Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход. Сборник статей, пер. с англ. М.: Мир, 1978, - 288 с.

48. Brydges D.,Federbush P.The Cluster Expansion in Statistical Mechanics. С ommun. Math. Phys. , 1976,v.49,No3,p.233-246.

49. Brydges D., Federbush P. The Cluster Expansion for Potentials with Exponential Pall-off. Commun. Hath. Phys., 1977, v, 53» Ho 1, p.19-30.

50. Brydges D. Л Rigorous Approach to Debye Screening in Dilute Classical Coulomb Systems. Commun. Hath. Phys.,1978,v.58» Ho 4, p.313-350.

51. Brydges D. Federbush ?• Debye Screening, Commun. Hath.Phys., 1980, v. 73» Ho3, P. 197-246.

52. Wick G.C. Properties of Bethe-Salpeter Wave Functions. -Phys. Rev., 1954, v.96, Ho 4, p.1124-1134.

53. Hakanishi N. General Integral Formula of Perturbation Term in the Quantized Field Theory. Progr. The or. Phys., 1957, v. 17, Ho 3, p. 401-418.

54. Taylor J.G. On the Existence of Field Theory. I. The Analytic Approach.- Journ.Math.Phys.»1966,v.7,Ho9,p.1720-1729.6I.SchWinger J. On the Euclidean Structure of Relativistic Field Theory. Proc. Hat. Acad. Sci. (USA), 1958, v.44,No10, p. 956-961.

55. Schwinger J. Euclidean Quantum Electrodynamics. Phys. Re v., 1959»v. 115, Ho 3, p.721-731.

56. Иакадо T. Quantum Field Theory in Terms of Euclidean Parameters. -Progr.Theor.Phys.,1959,v.21,Ho2,p.241-259.

57. Фрадкин E.C. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике. Докторская диссертация. Институт экспериментальной и теоретической физики АН СССР, М.,I960,262 с.

58. Ефимов Г.Б. Нелокальные взаимодействия квантованных полей* -М.: Наука, 1977, 368 с.

59. Rebenko A.L.On the Equations for the Matrix Elements of the Euclidean Quantum Electrodynamics.-Kiev, 1971» 44 p., Preprint ITP-71-37E.

60. Ребенко АД. Об уравнениях для матричных элементов евклидовой квантовой электродинамики. ТМФ, 1972, т.II, № 3, с.301-316.

61. Ребенко А.Л. Уравнения для коэффициентных функций матрицы рассеяния в квантовой электродинамике. Киев, 1972. Канд.диссертация, 112 с.

62. Nelson Е. Construction of Quantum Fields from Markov Fields. -Jour.Funct. Anal.,1973, v.12,No1, p.97-112.

63. Helson E. The Free Markoff Field. Jour.Funct .Anal. ,1973, v. 12, No 3» p.211-227.

64. Osterwalder K., Schrader R. Feyman-Kac formula for Euclidean Fermi and Bose fields.- Phys.Rev. Lett.,1972,v.29»No20,p. 1423-1425.

65. Osterwalder K., Schrader R. Euclidean Fermi fields and Feynman-Kac Formula for Boson-fermion Models.- Helv.Pi4rs.Acta, 1973,v. 46, No3, p.277-302.

66. Osterwalder K., Schrader R. Axioms for Euclidean Green's Functions. Commun.Math.Phys.,1973, v.31» No2, p.83-112.

67. Osterwalder K.,Schrader R. Axioms for Euclidean Green's Functions II.-Сопшгап. Math.Phys.,1975,v.42,Ho3,p.281-305.

68. Стритер Р.,ВаЙтман А.С. PCT, спин, статистика и все такое. -М.: Наука, 1966, 251 с.

69. Coleman S. The uses of Ins taut oris. -In: "The whys of Subnuclear Physics",Proceedings of the 1977 International School of Sub-nuclear Physics held in E*rice,Trapani,Sicily,July 23-August 10 1977, Plenum Press, И.Х. and London, 1979, p. 805-941

70. ВайнштеЙн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман М.А.Инстан-тонная азбука. УФН, 1962, т.136, вып.4, с.553-591.

71. Ginibre J. Reduced Density Matrices of Quantum Gases. I .Limit of Infinite Volume. Joura.Math. Phys.,1965,v.6,Ho2,p.238-251.

72. Ефимов Г.В. Нелокальная квантовая теория поля, нелинейные лагранжианы взаимодействия и сходимость ряда теории возмущений. -ТМФ, 1970, т.2, № 3, с.302-310.

73. Frohlich j. Classical and Quantum Statistical Mechanics in One and Two Dijnensions: Two-Component Yukawa- and Coulomb Systems . -Commun.ttath. Ehys., 1976,v. 47, НоЗ»p. 233-268.

74. Ребенко А.Л. Уравнения в функциональных производных для функций распределения классической статистической физики. Киев, 1977, 17 с. Препринт ИТФ-77-56Р.

75. Петрина Д.Я. О суммировании вкладов от диаграмм Фейнмана. Теорема существования. Изв.АН СССР, сер.матем., 1968, т.32, № 5, с.1052-1074.

76. Hoegh-Krohn R. A General Glass of Quantum Fields without Cutoffs in Two Space-Time Dimensions.-Commun.Math.lhys. ,1971 ,v.21, Ho 3, p.244-255»

77. Петрина Д.Я., Иванов С.С.,Ребенко А.Л. Уравнения для коэффициентных функций матрицы рассеяния. М.: Наука, 1979, 296 с.

78. Минлос Р.А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры. Труды Моск.матем.об-ва, 1959, т.8, с.497-518.

79. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965, 235 с.

80. Иванов С.С.,Петрина Д.Я.,Ребенко А.Л. Об уравнениях для коэффициентных функций Д -матрицы в квантовой теории поля. ТМФ, 1974, т.19, » I, с.37-46.

81. Rebenlco A.L. The Equations in Functional Derivatives for the Coefficient Functions of S-Matrix. Kiev, 1976, - 12 p. Preprint ITP-76-73B.

82. Brydges D., Federbush P. A Hew Form of Mayer Expansion in Classical Statistical Mechanics. Journ.Hath.Phys.,1978,v.19,Ho10, p. 2064-2067.

83. Басуев А.Г. Сходимость ряда теории возмущений для взаимодействия Юкавы. ТМФ, 1975, т.22, № 2, с.203-212.

84. Малышев В.А, Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля. УМН, I960, т.35, вып.2, с.3-53.

85. Ю1.Ребенко А.Л. Метод кластерных разложений в евклидовой теории поля и классической статистической механике. Киев,1983, 61 е., препринт ИТФ-83-П9Р.

86. Petrina D.Ya., Rebenko A.L. Green Function Equations in Quantum Electrodynamics. Kiev, 1968,- 42 p. Preprint ITP-68-59».

87. Иванов C.C. ,Летрина Д.Я. Об уравнениях, возникающих при суммировании рядов теории возмущений для матрицы рассеяния. -ДАН СССР, 1969, т.188, № 4, с.776-779.,

88. Lehmann Н., Symauzik К., Zimmermann V. On formulation of Quantum field theory X. Nuovo Cim, 1955, v.1, Ho2, p.206-223.

89. Медведев Б.В.,Поливанов М.К. Степени роста матричных элементов в аксиоматическом подходе, КЭТ$, 1961, т.41, вып.4, сЛ130-II4I.

90. Медведев Б.В. «Поливанов М.К. К аксиоматическому построению матрицы рассеяния. Международная зимняя школа теоретической физики при 0ИЯИ, Дубна, 1964, т.1, с.77-139.

91. Файнберг В.Я. Уравнения квантовой теории поля в аксиоматическом подходе. Международная зимняя школа теоретической физики при 0ИЯИ, Дубна, 1964, т.1, с.140-170.

92. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.т.1-4. М.: Мир, 1977-1982 г.г. - т I - 357 с.; т. 2 -395 е.; т.З - 443 е.; т.4 - 428 с.

93. Иванов С.С.,Петрина Д.Я.,Ребенко А.Л. g -матрица в конструктивной квантовой теории поля. Б сб.:Проблемы физики, ЭЧАЯ, Атомиздат, 1976, т.7, вып.З, с.647-686.

94. Kaq М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1972, 406 с.

95. Glimm J. Boson Fields with Sonlinear Self interact ion in Two Dimensions. Commun.Math.Phys.,1968,v.8 51,p. 12-25.

96. Glimm J., Jaffe A.The Quantum Field Theory without Cut-offs IX.The Field Operators and the Approximate Vacuum.-Ann.Math., 1970, v. 91, Ho2, p. 362-401.

97. Glimm J., Jaffe A.Positivity and Self-Adjointness of the Hamilton! an. -Commun. Math. Phys., 1971, v. 22, N3, p. 253-258.

98. Dimock J., Glimm J. Measures on the Schwartz Distribution Space and Applications to Quantum Field Theory.-Adv.Math., 1974, v.12, No1, p.58-83.

99. Ginibre J. General Formulation of Griffiths Inequalities.- Coamun.Hath.Phys.,1970, v.16, ffo4, p.310-328.

100. Glimm J. Yukawa Coupling of Quantum Fields in Two Dimensions I,II.-Commun.Math.Ehys.,1967, v.5,No4, p.333-386;v.6,JTo1,p. 61-76.

101. Glimm J., Jaffe A. Self-Ad j ointnesa of the Yukawa Hamiltonian- Ann. Phys., 1970, v.60, JTo4, p. 321-383.

102. Glimm J., Jaffe A. The Yukawa Quantum Field Theory without Cut-Offs. Joura.Funct.Anal.,1971,v.7» Ho2,p.323-357.

103. П9Де1аоп В, Quantum Fields and Markoff Fields. Ins Partial Differential Equations ed. D.Spenser, in Pure Math.,1973,v.23, p.413-420, A.M.S. Publications.

104. Rebenko A.L. Euclidean Fermi Fields and Green Functions without Momentum Cut-Off in the Yukawa Field Theory.-Kiev,1974,32 p. Preprint ITP-74-54E.

105. Шилов Г.Е. Математический анализ (второй специальный курс). -М.: Наука, 1965. 327 с.

106. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740 с.

107. Хилле Э.,Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: ИЛ, 1962. 829 с.

108. Glimm J., Jaffe A. Quantum Field Theory Models. In:Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. Ed. by De Witt and R.Stora. Gordon and Breach, N.Y, 1971, p.1-108»

109. Seiler E. Schwinger Functions for the Yukawa Model in Two Dimensions with Space-Time Cutoff.- Commun.Math.Phys. ,1975» v. 42, Ho2, p. 163-182.

110. McBryan 0. Finite Mass Renormalization in the Yukawa2 Quantum Field Theory. Commun. Math. Phys., 1975, v#44, Ko3, p.237-243»

111. Sailer E., Simon B. Bounds in the Yukawa^ Quantum Field Theory Commun. Math. Phys., 1975, v.45, Ho2, p.99-114.128 .McBryan 0. Volume Dependence of Schwinger Functions in the Yukawa2 Quantum Field Theory* Commun Math.Phys.,1975,v.45» Uo3, p. 279-294.

112. Matthews P.T., Salam A. Propagators of Quantized Fields.-ITuovo Cimento, 1955,v.2, Ho1, p.120-134.

113. Петрина Д.Я. О гамильтонианах квантовой статистики и о модельном гамильтониане теории сверхпроводимости. ТМФ, 1970, т.4, №3, с.394-411.133. 'tHooft G. A Planar Diagram Theory for Strong Interactions. -lfucl. Phys., 1974, V.B72, ff©3, p.461-473.

114. Koplik J., Heveu A., Nussinov 3. Some Aspects of the Planar Perturbation Serious. Hucl. Phys., 1977, v. B123, НЫ,p. 109.135. 'tHooft G.On the Convergence of Planar Diagram Expansions. -Commun Math.Phys. ,1982, v.86, Ro4, p.449-464.

115. Rebenko A.L. Equations for Coefficient Functions of S-Matrix in flfeVi Theory at Infinite Volume. Kiev, 1974,-30 p.Preprint ITP-74-41B.

116. Petrina D.Ya., Ivanov S.S., Rebenko A.L., Generating Operators and Hamiltonian in the Mode 9 at Infinite Volume. Kiev, 1972, - 32 p. Preprint ITP-72-163E.

117. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 543 с.

118. Тихонов А.Н, ,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. « М.: Наука, 1974 , 285с.

119. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. ДАН СССР,1962, т.145, » 2, с.270-272.

120. Petrina D.Ya., Rebenko A.L. Projection-Iteration Method of the Solution of Quantum Field Theory Equations and ita Connection with the Renormali z at i on Theory.-K, 1979,44p.Preprint ITP-78-165E.

121. Hadamar J. Le problerae Cauchy. Paris, 1932, 542 p.

122. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач, ДАН СССР,1943, т.39, .» 5, с.195-198.

123. Кури ель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. Киев,Наукова думка, 1968, 243 с.

124. Иванов В.К.,Васин В.В. Данака В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, 206 с,

125. Hanckowiak J. Investigations of Equations of Quantum and Statistical Physics in Subspace.- Wroclaw, Univ.,1978,-53p»Pre-print Ho 433.

126. Hanckowiak J. Different Solutions to Schwinger Equations.-Wroclaw, Univ., 1979. 47 p.Preprint. Ho 467.

127. Петрина Д.Я. О голоморфном продолжении вкладов диаграмм Фейнмана. ДАН СССР, 1966, т.168, » 2, с.306-309.

128. Ребенко А.Л. О существовании термодинамического предела для ионно-дипольных систем классической статистической механики. -Тезисы 6-й республиканской конференции по статистической физике. г.Львов, май 1982 г., с.71.

129. Rebenko A.L. The Debye Screening for Ion-Dlpole Systems.-Kiev,1981.-43 p.Preprint 1ТР-81-Ю5Е.

130. Ребенко А.Л. О существовании дебаевского экранирования в ион-но-дипольных классических системах. Тезисы 2-го всесоюзного совещания по избранным проблемам статистической физики. г.Москва, октябрь 1982 г., с.92-93.

131. Ребенко А.Л. О существовании дебаевского экранирования в ионно-дипольных классических системах. ДАН СССР, 1982, т.267, № 6, с.1350-1352.

132. Ребенко А.Л. Кластерное разложение для ионно-дипольных систем. Ш, 1962, т.53, №3, с.429-443.

133. Rebenko A.L. The Distribution Functions of a Double Electric Layer of a Concentrated Electrolyte Hear a Charged Membrane Kiev, 1980. 46 p. Preprint ITP-80-43E.

134. Park Y.M. Lack of Screening in the Continious Dipole Systems Сопшшп. Math. Ehys., 1979, v.70, Ho2, p.161-167.

135. Майер Дк., Генперт-Майер М. Статистическая механика. 2-е изд. М.: Мир, I960, 544 с.

136. Dyson F.J., Lenard A. Stability of Matter I and II. Joum Math. Ehys., 1967, v.8, НоЗ» p.423-429j1968,v.9,Ho5, p.698-705.

137. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т.П. М.: Мир, 1978, 399 с.

138. Фрелих Г. Теория диэлектриков. М.: ИЛ, I960, 249 с.

139. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. т.1, М.: Наука, 1967, 486 с.

140. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1. М.: Мир, 1965,615 с.

141. ЮхновскиЙ И.Р.,Головко М.Ф., Куршгяк И.И. Статистическая теория ограниченных ионно-дипольных систем. Экранированные потенциалы. Киев, 1977. - 36 с. Препринт ИТФ-77-97Р.

142. Курыляк И.И. Применение метода коллективных переменных при исследовании статистической ионно-молекулярной мембраны. -Киев, 1979. 37 с. Препринт ИТФ-79-58Р.

143. Курыляк И.И., Совьяк Е.Н. Свободная энергия и функции распределения пространственно-ограниченной ионно-молекулярной системы при точном учете ориентации частиц. Киев, 1981. - 37 с. Препринт ИТВ-81-54Р.

144. ЮхновскиЙ И.Р., Головко М.Ф.,Совьяк Е.Н. Экранированные потенциалы пространственно-неоднородных ион-молекулярных систем. Общая методика решения. Киев, 1982. - 18 с. Препринт ИТФ-82-159Р.

145. Совьяк ЕЛ1. Экранированные потенциалы пространственно-неоднородных ионно-молекулярных систем. Учет квадрупольных взаимодействий. Киев, 1983. - 20 с. Препринт ИТФ-83-5Р.

146. Ситенко А.Г.,Якименко И.П. Метод обращения флуктуационно-диссипативного соотношения теории плазмы. В кн.: Проблемы теории плазмы. Киев, Наукова думка, 1972, с.22-38.

147. Якименко И.П. Статистическая теория электромагнитных процессов в ограниченной плазме. В кн.: Проблемы теории плазмы. Киев, Наукова думка, 1976, с.80-98.

148. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев, Наукова думка, 1974, 280 с.

149. Петрина Д.Я. Исследование функций распределения пространственно-неоднородной системы заряженных частиц методом теории пограничного слоя. Сб."Физика молекул", I960, Киев, Наукова думка, вып.9, с.50-67.

150. Петрина Д. Я. .Герасименко В.И., Малышев П.В., Пиля в с кий А.И. О процессе обратного осмоса как краевой задаче в областях с мелкозернистой структурой. ДАН УССР, сер.А, I960, № 9, с. 75-78.

151. Пилявскнй А.И. Об экранировании взаимодействия в системе заряженные частицы динамическая мембрана. - Киев, 1982. - 36 с. Препринт ДОФ-82-37Р.

152. Пилявский А.И.Функции распределения системы заряженные частицы динамическая мембрана. - Киев, 1982. - 22 с. Препринт ИТФ-82-38Р.

153. Gruber Ch.,Lebowitz L., Martin к. Sum Rules for Inhomogeneous Coulomb Systems. J.Chem.Ebys., 1981, v.75, Ho2, p.944-954.-'J

154. Blum L., Henderson D., Lebowitz L., Gruber Ch., Mart in A. A Sum Rule for an Inhomogeneous Electrolyte.-J. ChemPhys •, 1981, v. 75, No 12, p. 5974-5975.

155. Ребенко АД. Функции распределения ограниченных ионно-диполь-ных систем. Киев, 1981. - 17 с. Препринт ИТФ-81-П8Р.

156. Ребенко А.Л., Пилявский А.И. Функции распределения ионов и диполей вблизи сферической поверхности. Тезисы международной школы по физике ионной сольватации, г.Львов, май-июнь 1983 г. , с.65.

157. Ребенко А.Л., Пилявский А.И. Функции распределения ионов и диполей вблизи сферической поверхности. X. Экранированные потенциалы. ДАН УССР, 1984 , сер.А, * 2.

158. Ребенко А.Л., Пилявский А.И. Функции распределения ионов и диполей вблизи сферической поверхности. I. Экранированные потенциалы. Киев, 1983. - 19 о. Препринт ИТФ-83- I26P.

159. Красно сельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 499 с.

160. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956

161. Petrina D.Ya. On Solution of a Classical Problem in Electro-statistics and Subtraction procedure.- Kiev, 1981. 30 p.

162. Петрина Д.Я. Комплексные особые точки вкладов диаграмм Фейн-мана и теорема непрерывности. УМЖ, 1964, т.16, № I, с. 3140.

163. Петрина Д.Я. О принципе максимальной аналитичности по комплексному орбитальному моменту. УМЖ, 1964, т.16, № 4, с.502-513.

164. Фущич В.И. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в одно-частичном приближении как функции двух переменных. ОДЖ, 1963, т.15, № 2, с.227-232.

165. Коломыцев В.И., Фущич В.И. Аналитические свойства амплитуды рассеяния, соответствующей одному классу диаграмм Фейнмана. -УМЖ, 1964, т.16, № 5, с.610-623.

166. Фущич В,И. Об аналитических свойствах некоторых вершинных амплитуд в теории возмущений. УМЖ, 1965, т.17, № 3, с.137-141.