Бустовы моды в квантовой теории поля и рождение пар тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Гельфер, Евгений Григорьевич

• Гельфер, Евгений Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гельфер, Евгений Григорьевич

Введение

1 Бустовы моды свободных полей.

1.1 Бозонное поле. '.

1.2 Массивное фермионное поле

1.3 Безмассовос фермионное поле

1.4 Заключительные замечания к главе 1.

2 Анализ квантования Унру в случае фермионного поля.

2.1 Квантование Унру и исключение нулевой бустовой моды.

2.2 Функция Вайтмана и квантование Унру на языке сглаженных бустовых мод.

2.3 Заключительные замечания к главе 2.

3 Бустовы моды в электрическом поле.

3.1 Траектории бустовых частиц.

3.2 Решения уравнения КФГ во внешнем поле.

3.3 Бустовы in и out моды в электрическом поле.

3.4 Коэффициенты Боголюбова.

3.5 Предельный переход к случаю свободного поля

3.6 Рождение бустовых пар.

3.7 Заключительные замечания к главе 3.

4 Метод квантового кинетического уравнения

4.1 Квантовое кинетическое уравнение: иллюстрация с помощью модели одномерного осциллятора.

4.2 Рождение скалярных и фермионных пар.

4.3 Заключительные замечания к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бустовы моды в квантовой теории поля и рождение пар»

Задача о рождении в вакууме электрон-позитронных пар внешним сильным электромагнитным полем впервые была рассмотрена в 1931 году футером (1] в контексте парадокса Кледна [2) в 19зе году Геязенберг и

Эйлер в работе [3] вычислили эффективный лагранжиан постоянного электромагнитного поля и попрали, которые вноепт в уравнения Максвелла поляризация вакуума. В этих же работах была впервые введена критическая напряженность поля квантовой электродинамики (КЭД), те такого поля, которое совершает работу, равную энергии покоя электрона, „а расстоянии комптоновской длины волны а)

Здесь ше п -е - масса и заряд электрона, с - скорость света, А - постоянная Планка. в работе [4) Швиигер повторил результат Гейзенберга и Эйлера [3] Для эффективного Лагра„жиа„а с помощью оригинаЛьного метода для вычисления матричных элементов оператора эволюции и вывел выражение Для функции Грина электрона в интенсивном внешнем поле. Также в [4] Для случая постоянного электрического поля была вычислена вероятность перехода вакуум-вакуум, т.е. вероятность того, что не родится ни одна ча

Т/Г/ ^-21111 БеГГ

2) где 8.„ - эффективное действие, после чего эффект рождения пар внеш-полем часто называв эффектом Швингера. Отметим, что широко распространенное убеждение в том, что величина 21ш5е// является вероятностью рождения пары в единице объема в единицу времени, верно только

В случае слабых полей Е <с Е3. i i

Рис. 1. Рост интенсивности лазерных систем. Пунктиром показаны лазеры высокой мощности, которые строятся в настоящее время. Использован Рис. 1 из [5].

Вероятность рождения пары w очень резко зависит от напряженности поля, w ~ [4]. Поскольку напряженность критического поля (1) составляет Es = 1.3 • 1016 В/см, а соответствующая ей интенсивность поля равна Is = f¿E2s = 4.6 • 1029 Вт/см2, до последнего времени вопрос о рождении пар электромагнитным полем в вакууме вызывал сугубо теоретический интерес, так как возможности лазерных систем не позволяли задумываться об экспериментальной проверке этого эффекта. Однако бурный прогресс, связанный, прежде всего, с технологией Chirped Pulse Amplification (CPA) [6] и развитой на ее основе Optical Parametric Chirped Pulse Amplification (ОРСРА) [7], см. Рис. 1, дает возможность достичь ин-тенсивностей всего на несколько порядков меньших критической Is в течение ближайших лет [5,8]. В настоящее время уже получена интенсивность / = 2 ■ 1022 Вт/ см [9], и строятся две установки, на которых эффект рождения пар из вакуума в принципе может быть проверен экспериментально: High Power laser for Energy Research (HiPER) в Великобритании [10,11] и

Extreme Light Infrastructure (ELI) [12,13], которая будет располагаться в Чехии, Венгрии и Румынии.

Пиковая интенсивность этих лазеров должна будет достигать I — 2Q26-28 2т/см2. Это все еще значительно меньше критической интенсивности Is. Тем не менее в [14-16] было показано, что рождение пар одним сфокусированным циркулярно поляризованным лазерным импульсным можно экспериментально наблюдать уже при интенсивности порядка I = 1028 Вт/см2. Это объясняется очень большим значением предэкспоненциально-го множителя в формуле для числа рожденных пар, который имеет порядок отношения 4-объема фокусной области лазерного импульса, в которой рождаются пары, к комптоновскому 4-объему, т.е. (Л/Лс)4, где Л - длина волны лазера, Хс - комптоновская длина волны электрона. Более того, было показано, что использование нескольких сталкивающихся импульсов в определенной геометрии позволяет еще существеннее снизить пороговую интенсивность, необходимую для рождения пар. Так, для двух сталкивающихся импульсов пороговая интенсивность составляет порядка 1(2) — Ю26 Вт/см2 [15], а для 24 импульсов пороговая интенсивность снижается до /(24) — 5 • 1025 Вт/см2 [17]. Такие значения интенсивности должны быть достигнуты на HiPER и ELI в течение нескольких лет.

Кроме того, в [18] было показано, что единственная рожденная лазерным импульсом из вакуума пара при достаточной интенсивности импульса инициирует квантовоэлектродинамический каскад рождений новых пар. Это связано с тем, что возникшие электрон и позитрон очень быстро ускоряются лазерным полем до релятивистских энергий и излучают жесткие фотоны, которые рождают новые пары. Этот эффект уже наблюдался в эксперименте на Стенфордском линейном ускорителе [19]. Однако случаи рождения там были единичными, и каскад не развивался из-за недостаточной интенсивности лазерного поля. При интенсивности порядка I ~ 2.7 • 1026 Вт/см2 суммарная энергия частиц в каскаде становится сравнимой с энергией лазерного поля, что приводит к разрушению импульса [18]. Получается, что эффект рождения пар ограничивает максимально возможную напряженность фокусированного лазерного импульса, **

-^лЛГЫ 15 ния порядка критической напряженности Е$ не могут быть достЛ1 принципе1 [16].

Таким образом, изучение вопросов, связанных с рождением ^ тенсивным внешним полем представляется сейчас очень актуальна

Среди основных подходов к изучению эффекта рождения пар отметить

1. Вычисление мнимой части действия [3,4], упоминавшееся вЫ^6

251

2. Построение квантовой теории во внешнем классическом поле I,

3. Квазиклассические методы, которые рассматривают рожден Я^ внешним полем как туннелирование через потенциальный оар^*^^ риной Аг = 2у/т2 + р'^/еЕ, где р^ - импульс частицы в попер* ^ полю направлении [26-29],

4. Метод квантового кинетического уравнения [30-34].

Обзоры подходов 1-3 и некоторых других содержатся, в частности, -о нографиях [35-37], подход 4 начал развиваться сравнительно настоящей диссертации мы сосредоточимся преимущественно на ш& ^ 2 и 4

Как известно, процедура квантования в квантовой теории поля ^ся ит в разложении оператора поля по полному набору мод, которые явл^-^^^ решениями соответствующих классических полевых уравнений -Фока-Гордона (КФГ) для бозонов и Дирака для фермионов. Поэтому г точных решений этих уравнений является одной из центральных про квантовой теории во внешнем классическом поле. Для решения дифф циальных уравнений в частных производных часто помогает использов свойств симметрии физической системы, которая описывается этими нениями. Согласно теореме Нетер [38], каждому непрерывно зависяцХ?

1Интересно отметить, что это утверждение было сделано еще Нильсом Бором, см., например главы IV в книге [20]. от одного параметра преобразованию, оставляющему инвариантным действие физической системы, соответствует закон сохранения.Оказывается возможным так выбрать переменные в уравнении, что изменение одной из них является преобразованием симметрии. Поскольку генератор преобразования симметрии коммутирует с дифференциальным оператором уравнения, можно отделить соответствующую переменную. Если существуют другие генераторы симмстрий уравнения, которые, к тому же, коммутируют друг с другом, задача может быть сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения второй степени. Полученные решения нумеруются собственными значениями генераторов симметрий, и их набор является полным.

Все наиболее важные и широко используемые решения релятивистских квантовых уравнений во внешних классических полях были получены именно таким образом. В качестве примеров можно привести кулоново поле, см., например, [39], постоянное магнитное [39] и электрическое [21-23] поля, поле плоской электромагнитной волны [40], а также некоторые другие более сложные конфигурации внешнего поля [22,41].

В частности, в однородном, т.е. не зависящем от координат и времени, электрическом поле Е, направленном вдоль оси с дифференциальным оператором К,Е уравнения2 КФГ

КЕф{х) - 0, 1СЕ = (дц + геА^д» + 1еА») + ш2, (3) где Ац - 4-потенциал поля, /х = 0,1,2,3, {ж^} = коммутируют операторы Рг = -г<9~ + еАх - еЕЬ и Рь = 1дь - еАь - еЕг [21,22].

Квантование скалярного и фермионного полей во внешнем однородном электрическом поле в базисе собственных функций этих операторов и их линейных комбинаций Рь = — Рг было развито в работах [21-25]. Было показано, что несмотря на то, что поле присутствует во всем пространстве-времени Минковского (ПМ), пары с определенными значениями квантовых чисел рождаются только в ограниченных хотя бы по

23десь и далее, как правило, используются единицы Н = с = 1.

Рис. 2. Разбиение пространства Минковского на правый (R), левый (L), прошлый (Р) и будущий (F) секторы. Штриховкой обозначены in и out области, Т -» оо. одной из координат областях. Поэтому становится возможным определить in (t -оо) и out (t -оо) области ПМ (см. Рис. 2), в которых рождения пар не происходит, и решения уравнения (3) могут быть однозначно классифицированы на описывающие частицы и античастицы. Таким образом, в in и out областях может быть построена последовательная квантовая теория поля. Коэффициенты преобразования Боголюбова между in и out операторами рождения и уничтожения позволяют вычислить число пар, рождаемых электрическим полем из вакуума в каждой моде, и полное число частиц, рожденных в единице объема в единице времени [23,25].

Во всех упомянутых выше случаях [21-23, 39-41] решения уравнений КФГ и Дирака во внешних полях являлись собственными функциями линейных комбинаций генераторов временных и пространственных сдвигов или пространственных поворотов и нумеровались значениями 4-импульса или момента импульса соответственно. Между тем, с оператором Ке Клейна-Гордона-Фока во внешнем однородном электрическом поле коммутирует также любой из генераторов лорецевых поворотов, в частности генератор буста вдоль оси z

Вк: = -ге^х11ди = i(tdz + zdt), fj.,u = 0,3, £0з = = 1- (4)

Бустовая симметрия достаточно редко используется для квантования поля. Прежде всего, это связано с тем, что генератор буста не коммутирует с гамильтонианом, и поэтому бустовое квантовое число и энергия не могут входить ни в какой полный набор наблюдаемых величин одновременно. Тем не менее, бустовы моды могут быть крайне полезны для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени или в случае, если однородность ПМ по времени и/или пространству нарушена присутствием внешнего классического поля. В этих случаях бустова симметрия может оказаться единственной для квантованного поля. Примерами такой ситуации являются дилатонная [42] и обобщенная дилатонная [43] гравитация в двух измерениях, а также двумерная метрика Шварцшильда. Здесь же можно упомянуть продольное хромоэлектрическое поле, возникающее при столкновении тяжелых ионов [44].

Таким образом, метод бустового квантования, сформулированный для случая достаточно хорошо изученного внешнего электрического поля, может быть применен в задачах дилатонной гравитации и квантовой хромодинамики. В частности, аналогом эффекта Хокинга [45] в дилатонной теории гравитации [46] и рождения частиц при столкновении тяжелых ионов [44] является рассмотренный в данной работе эффект рождения бу-стовых пар во внешнем электрическом поле.

Различные попытки квантования в базисе бустовых мод во внешнем однородном электрическом поле предпринимались и ранее [44,47-50], однако их нельзя признать вполне удовлетворительными, поскольку последовательной квантовой теории поля на базе бустовых мод, основанной на методе вторичного квантования, не было построено до сих пор. В работах [44, 47, 49, 50] квантование проводилось в каждом из четырех секторов ПМ (см. Рис. 2) по отдельности, т.е. каждый сектор рассматривался как замкнутое пространство, после чего делались достаточно произвольные предположения о связях между секторами. В таком подходе не может быть и речи о глобальных in и out вакуумных состояниях и вторичном квантовании. Более того, различные авторы получили разные результаты при подсчете количества рожденных бустовых пар (ср. [47,49,50] и [44]). называемый «эффект» Унру, который состоит в следующем: пусть произвольный детектор движется с постоянным собственным ускорением а в вакууме пространства Минковского. Согласно Унру [51], в этом случае детектор будет вести себя так, как если бы находился в термостате с определенной зависящей только от его ускорения температурой, называемой температурой Девиса-Унру гр аП (5) где П - постоянная Планка, с - скорость света, кв - постоянная Больц-мана. Другими словами, с точки зрения ускоренного детектора вакуумное состояние ПМ является смешанным состоянием, описываемым тепловой матрицей плотности с температурой (5). Заметим, что в самом по себе отклике ускоренного в вакууме им дь-тектора нет ничего необычного, поскольку его ускоряет некоторая внешняя сила, которая может возбуждать в том числе и его внутренние степени свободы. Суть «эффекта» Унру заключается именно в его универсальности, независимости от устройства детектора.

Эффект» Унру вызывает значительный интерес у теоретиков в том числе и потому, что в ряде работ [35,36,51,58-66] этот эффект связывают с эффектом Хокинга [45], считая рассмотрение Унру моделью испарения вечной черной дыры с температурой Бекенштейна-Хокинга

Т - дП ^

Твн - 2-кскв" где д - поверхностная гравитация черной дыры, аналог ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Вечная черная дыра является частью максимально расширенного многообразия Крускала [67], которое описывается метрикой оо < й, V < оо. где М - масса черной дыры. Диаграмма Пенроуза для максимально расширенного двумерного пространства-времени Крускала изображена на Рисунке За. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии й = 0, г; = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку г = 0 в прошлом и будущем-В этой точке метрика Крускала имеет особенность. г=О г=0 а) б)

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между «эффектом» Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая йййю, везде, кроме точки г = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского в2 = сгж+с*с, (8) где х± = £ ± 2 координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке За топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 36- Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые лй" сунке За. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии й = О, V = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку г = 0 в прошлом и будущем. В этой точке метрика Крускала имеет особенность. г=0 а) г=0 б)

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между «эффектом» Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая ййв.ь, везде, кроме точки г = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского йв2 = ¿х+(1х-, (8) где х± = £ ± £ координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке За топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 36. Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые линии на Рис. 36) играет роль горизонта событий (подробнее см., например, в [61]).

Следует отметить, что связь между эффектами Унру и Хокинга не является бесспорной. Прежде всего, пространство Минковского, в отличие от пространства Крускала не содержит сингулярностей. Поэтому наличие или отсутствие эффекта Унру не может служить доказательством наличия или отсутствия эффекта Хокинга.

Существует два основных подхода к рассмотрению эффекта Унру. В первом из них изучаются различные модели детекторов и анализируется отклик этих детекторов в случае, когда они движутся равноускоренно [51, 68], см. также обзоры [64, 69]. Второй подход, основанный на построении специальной схемы квантования свободного поля в ПМ, был впервые представлен в оригинальной работе Унру [51]. Поскольку универсальность в поведении равноускоренного детектора не может быть связана с его структурой или способом ускорения, а должна являться следствием свойств квантованного поля в ПМ, мы сосредоточимся на анализе второго подхода. Отметим однако, что в [70] был приведен пример равноускоренного детектора, который не подчиняется универсальному поведению, предсказанному Унру.

Рис. 4. Траектории равноускоренного детектора в ПМ.

Траектория равномерно ускоренного классического детектора полностью лежит в правом секторе пространства Минковского, и множество всех траекторий целиком покрывает этот сектор (см. Рис. 4). Следовательно, такому детектору доступна информация только о событиях, происходящих в П-секторе. В 1973 году Фуллинг рассмотрел [71] задачу о квантовании скалярного поля в пространстве Риндлера4(ПР) . Он получил решения уравнения КФГ в ПР, и вакуум ПМ оказался смешанным состоянием в базисе этих решений. Однако, делать из этого вывод о том, что детектор представляет вакуумное состояние ПМ, как смешанное, неправильно, т.к. квантования свободного поля в ПМ и ПР унитарно неэквивалентны. В частности, решения Фуллинга соответствуют полю в ПМ, имеющему источники на световом конусе.

Чтобы обойти эту трудность, в 1976 году Унру рассмотрел [51] аналитические продолжения решений Фуллинга во все пространство Минковского и получил набор бустовых мод свободного скалярного поля. Квантование в базисе бустовых мод (см, например, [54]) является корректным квантованием свободного поля в пространстве Минковского и не имеет существенных отличий от стандартного квантования в скалярного поля в ПМ, |0М) - вакуум ПМ.

Для описания поведения детектора Унру предложил рассмотреть такие линейные комбинации Я(х) и Ь(х) положительно и отрицательно частотных бустовых мод, что Л моды равны 0 в левом секторе ПМ, а в правом совпадают с модами Фуллинга, а Ь моды равны 0 в правом секторе. Свободное скалярное поле было проквантовано в базисе Я и Ь функций, и были введены соответствующие им операторы рождения и уничтожения правых (г) и левых (I) частиц. Затем, усреднив по степеням свободы, пространством Риндлера называется пространство, состоящее из внутренности правого сектора пространства Минковского.

9) оо о, [№] = о, ьк |0м) = о базисе плоских волн. Здесь и Ък - операторы рождения и уничтожения соответствующим I частицам (они недоступны для равномерно ускоренного наблюдателя) и отождествив г частицы с частицами Фуллинга, Унру пришел к выводу, что вакуумному состоянию ПМ соответствует матрица плотности г частиц с температурой (5).

Описанная процедура квантования Унру содержит, однако, серьезные ошибки, подробно рассмотренные в [54,72,73], см. также дискуссию [74,75]. Прежде всего, разделение полного набора бустовых мод на правые и левые исключает из рассмотрения бустову моду с параметром к, равным нулю (нулевую бустову моду). Однако, как было отмечено выше, на световом конусе скалярные бустовы моды имеют по переменной к особенность вида ¿(к). Поэтому исключение нулевой бустовой моды, соответствующее переходу к интегралу в смысле главного значения в интегралах по к, критически влияет на свойства квантованного поля. В частности, в этом случае главное значение интеграла (9) равно 0. Более того, поскольку функция Вайтмана в скалярном случае пропорциональна нулевой бустовой моде [54], исключение нулевой бустовой моды также приводит к обращению в 0 функции Вайтмана. Однако, функция Вайтмана играет определяющую роль в квантовой теории, так как в силу теоремы реконструкции [76] с ее помощью можно построить все остальные величины, которые фигурируют в теории.

Кроме того, в [54] было показано, что для того, чтобы возможно было отождествить правые частицы Унру и частицы Фуллинга, необходимо выполнение условия

Фм(0, 0) = 0. (Ю)

Ясно, что поле, на которое наложено граничное условие в вершине светового конуса, уже не является свободным в ПМ.

На основе этих соображений в [54,72,73] было показано, что в случае скалярного поля схема квантования Унру приводит к квантовой теории поля в двойном риндлеровском клине, т.е. объединении правого и левого секторов в разбиении пространства Минковского световым конусом, см. Рис. 2. Это означает, что квантование Унру приводит лишь к независимым правым и левым частицам Фуллинга-Унру, так что о «термолизации» вакуума говорить не приходится.

Однако, в последнее время в связи с бурным развитием лазерной техники появляются предложения по экспериментальной проверке [77-82] «эффекта» Унру при взаимодействии электронов с интенсивными ультракороткими электромагнитными импульсами, а также о реализации на его основе запутанных состояний как бозонов, так и фермионов [83-87]. Поэтому рассмотрение задачи Унру в контексте фермионных полей не только принципиально важно, но и своевременно.

Поскольку лоренцево вращение выделяет в пространстве Минковско-го двумерную плоскость, мы обсуждаем специфические свойства бустового квантования в главах 1-3 на примере 1+1-мерного пространства-времени. При этом удобно использовать координаты светового фронта х± = г±х. С11)

Переход к четырем измерениям в скалярном случае осуществляется заменой т2 —У т2 +р\,

12) где р^ - сохраняющийся поперечный к направлению поля импульс. Всюду ниже, если не оговорено обратное, используются единицы Н = с — кв =

В последнее время появился еще один подход к изучению эффекта рождения пар во внешнем поле [30-34], который основан на уравнениях, подобных кинетическим уравнениям, широко применяющихся в физике плазмы и других неравновесных задачах. Следуя авторам этих работ, будем называть такие уравнения квантовыми кинетическими уравнениями (ККУ) • Среди очевидных преимуществ ККУ следует отметить удобство для применения в численных расчетах, а также возможность естественного учета обратной реакции рожденных пар на внешнее поле [88]. С другой стороны, существует также ряд недостатков такого подхода, например, ограниченность только однородными внешними полями, кажущуюся калибровочную неинвариантность, невозможность найти аналитическое решение даже в тех случаях, когда оно может быть получено другими методами и, как мы покажем ниже, нетривиальноеть интерпретации физического смысла основных величин, входящих в ККУ. Тем не менее очевидно, что синтез различных подходов может быть очень полезен для дальнейшего развития теории.

ККУ были строго получены из первых принципов квантовой электродинамики (КЭД) в частном случае однородного зависящего от времени электрического поля, рождающего как бозонныс [32,34], так и ферм ионные [31,33] пары. Следовательно, этот подход должен быть эквивалентен всем остальным точным методам, перечисленным выше. Тем не менее, Д° сих пор не предпринималось усилий доказать эту эквивалентность, за исключением недавней работы [89]. Более того, следует отметить попытки противопоставить результаты, полученные с помощью ККУ, результатам, полученным с помощью более традиционных методов, перечисленных выше [90], а также работу [91], в которой с помощью S-матричного поДХоДа выводится другой вид правой части ККУ. Что касается работы [89], несМ°т' ря на то, что в ней впервые была показана вышеупомянутая эквиваЛеНТ~ ность, строгое доказательство было проведено только в случае скаляр!*01"0 поля, причем в форме, не лучшим образом подходящей для практичесКОго применения (например, для проверки численных алгоритмов на известных точных решениях).

Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию cj?°P"" мализма бустовых мод в квантовой теории поля и задач о рождении г13!? внешним полем из вакуума.

В связи с этим в ней рассмотрены следующие вопросы:

1. Построение бустовых мод свободного фермионного поля (как м^ссИВ ного, так и безмассового) и исследование их свойств как обобщенных функций координат и бустового квантового числа.

2. Поиск бустовых in и out мод скалярного поля, находящегося во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Построение тсван-тования в этом базисе в in и out областях и вычисление коль^'с-э:еСТва бустовых частиц, рождаемых полем из вакуума в каждой моде и полного числа рожденных частиц

3. Критический анализ квантования Унру для фермионного поля.

4. Развитие формализма квантового кинетического уравнения и установление соответствия этого метода другим подходам к задачам о рождении пар внешним полем.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена получению и изучению свойств бустовых мод свободных полей. Для построения бустовых мод использовались функции Вайтмана. Положительно и отрицательно частотные функции Вайтма-на свободных полей полностью определяются (с точностью до постоянного множителя) трансляционной и лоренц инвариантностью теории [92]. Верно и обратное: из функций Вайтмана, используя симметрию поля, можно построить любой полный набор положительно и отрицательно частотных решений уравнений КФГ и Дирака. Это является прямым следствием теоремы реконструкции Вайтмана [76, 93]. В §1.1, основываясь на трансляционной и лоренц инвариантности ПМ, были построены плоские волны и бустовы моды свободного бозонного поля из функции Вайтмана. В §1.2 и §1.3 таким же образом строятся, соответственно, бустовы моды массивного и безмассового фермионного поля. Поскольку эти моды являются обобщенными функциями бустового квантового числа, для них был изучен класс основных функций, т.е. допустимых волновых пакетов, на которых они определены. В конце §1.3 явно проведен предельных переход т 0 от массивных бустовых мод к безмассовым. В §1.4 приведены заключительные замечания к первой главе.

Во второй главе анализируется квантование Унру для фермионного поля. В §2.1 показано, что, как и в случае скалярного поля [54], квантование Унру предполагает исключение из полного набора бустовых мод нулевой моды. В связи с этим исследуется вопрос о допустимости исключение какой-либо точки из полного набора бустовых мод с учетом того, что, как было показано в первой главе, бустовы моды являются обобщенными функциями переменной к. В §2.2 рассматривается вопрос о том, как влияет сглаживание бустовых мод по пространственной и временной переменной на результаты, полученные в §2.1 и дается качественное объяснение особой роли бустовой нулевой моды в скалярном случае. В §?? приведены заключительные замечания ко второй главе.

В третьей главе строятся бустовы in и out моды скалярного поля, находящегося во внешнем однородном постоянным электрическом поле и вычисляется количество пар частиц и античастиц с определенным значением бустового квантового числа, которые рождаются полем из вакуума. Бустовая симметрия позволяет получить решения уравнения КФГ во внешнем поле в каждом из четырех секторов ГШ по-отдельности. Однако для построения мод необходимо еще правильно классифицировать их на положительно и отрицательно частотные в in и out областях, а также вывести правила продолжения через световой конус при переходе из одного сектора в другой, которые не совпадают с полученными в свободном случаем [54] из-за рождения пар. Классификация решений на соответствующие частицам и соответствующие античастицам производится по знаку вклада, которые они вносят в нормировку в in и out областях (положительный для частиц и отрицательный для античастиц). А условие, что коэффициенты Боголюбова во всех секторах ПМ должны быть одинаковыми дает систему уравнений, из которой можно получить правила продолжения мод из одного сектора в другой. В §3.1 рассмотрены траектории классических бустовых частиц во внешнем электрическом поле и вычислена квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары. В §3.2 представлены бустовые решения уравнения КФГ. В §3.3 построены in и out бустовы моды". В §3-4 найдены коэффициенты Боголюбова и явный вид правил продолжения мод через световой конус. В §3.5 рассмотрен предельный переход к случало свободного поля. В §3.6 вычислены квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары, количество пар, рожденных полем из вакуума в каждой моде и полное число рожденных частиц. В §3.7 приведены заключительные замечания к третьей главе. В приложении А вычислена нормировка, а в приложении В приведен явный вид бустовых мод во внешнем поле.

В четвертой главе рассмотрен метод квантового кинетического уравнения в применении к задаче о рождении пар из вакуума внешним однородным, но зависящем от времени электрическим полем. В §4.1 на примере модели параметрического возбуждения одномерного квантового гармонического осциллятора с меняющейся во времени частотой вводятся основные величины и приводится вывод ККУ. Показывается, каким образом может быть получено точное решение ККУ для осциллятора из точного решения уравнения Шредингера. В §4.2 выводится связь точных решений ККУ для бозонов и фермионов с точными решениями уравнений КФГ и Дирака во внешнем поле. В частном случае постоянного электрического поля, когда решения ККУ могут быть получены в явном виде, результаты сравниваются с ответами для числа рожденных пар, полученными другими методами. Также в §4.2 анализируется физический смысл величин, входящих в ККУ. В §4.3 приведены заключительные замечания к четвертой главе. В приложении С приводится явное решение ККУ для осциллятора, а в приложении Б выводится условие нормировки решения уравнения Дирака во внешнем поле.

На защиту автором выносятся следующие положения

1. Новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построение бустовых мод свободного фермионного поля и доказательство того, что на световом / конусе они являются дельта-функциями в комплексной плоскости бустового квантового числа.

3. Недопустимость исключения какой-либо моды из полного набора бустовых мод фермионного поля и вывод о некорректности квантования Унру в пространстве Минковского в фермионном случае. Доказательство того, что это утверждение остается верным и для сглаженных бустовых мод.

4. Построение полного набора бустовых мод уравнения Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, а также вычисление количества частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде, и полного числа рожденных частиц.

5. Доказательство эквивалентности метода квантового кинетического уравнения другим походам к задаче о рождении пар внешним полем в вакууме. Явное решение ККУ в постоянном электрическом поле.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных научных журналах из списка ВАК (ЖЭТФ, Письма в ЖЭТФ, Physical Review D) [94-96], докладывались на следующих конференциях:

• Научная сессия МИФИ-2006, Москва, Январь 23-27, 2006,

• Научная сессия МИФИ-2011, Москва, Февраль 1-5, 2011, и опубликованы в трудах конференций [97,98].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Гельфер, Евгений Григорьевич

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Представлен новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построены наборы бустовых мод свободных фермионных массивного и безмассового полей и проанализированы их свойства. Показано, что в фермионном случае бустовы моды, как функции бустового квантового числа, обладают очень необычными особенностями на световом конусе: они представляют собой дельта-функции комплексного аргумента. Для этих обобщенных функций определен класс основных функций, т.е. вид допустимых волновых пакетов бустовых частиц.

3. Проанализировано квантование Унру для случая фермионного поля и показано, что, как и в скалярном случае, процедура квантования Унру предполагает исключение нулевой моды из полного набора бустовых мод. Установлено, что выбрасывание любой (а не только нулевой, в отличие от скалярного случая) бустовой моды приводит к бессмысленным выражениям для оператора поля и функций Вайтма на. Из этого, в частности, следует некорректность квантования Унру для свободного фермионного поля в пространстве Минковского и отсутствие "эффекта Унру" для фермионов. Это утверждение остается верным и при рассмотрении сглаженных бустовых мод. На основании этих соображений сделан вывод о принципиальной несостоятельности предлагающихся в последнее время экспериментов по проверке "эффекта Унру" и реализации на его основе перепутанных состояний.

4. Впервые найдены полные наборы in и out решений уравнения

Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, являющихся собственными функциями оператора бу-ста. Вычислено количество частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде. Показано, что полное число рожденных частиц не зависит от выбора квантового числа.

5. Развит новый подход к задачам о рождении пар во внешнем поле, основанный на методе квантового кинетического уравнения (ККУ) и продемонстрирована эквивалентность метода ККУ другим походам к этой задаче. Для фермионного поля это сделано впервые. Получены явные решения ККУ в постоянном электрическом поле.

В диссертации развито несколько подходов к задачам о рождении интенсивным внешним полем пар из вакуума, которые могут быть полезны для дальнейших исследований по квантовой теории поля.

В заключение, я хотел бы выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Николаю Борисовичу Нарожному, а также Вадиму Давыдовичу Муру и Александру Михайловичу Федотову за плодотворное сотрудничество, постоянный интерес и поддержку в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гельфер, Евгений Григорьевич, 2011 год

1. Sauter F. Zum "Kleinschen Paradoxon" // Z. Phys. A Hadrons and Nuclei - 1932. - Vol. 73. - Pp. 547-552.

2. Klein O. Die Reflexion von Elektronen an eimem Potentialsprung nach der Relativistischen Dynamik von Dirac // Z Phys. — 1929. — Vol. 53. — Pp. 157-162.

3. Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons ¡¡Z. Phys.- 1936.- Vol. 98,- Pp. 714-732.

4. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. - Vol. 82. — Pp. 664-679.

5. Tajima T., Mourou G. Zettawatt-exawatt lasers and their applications in ultrastrong-field physics // Phys. Rev. ST Accel. Beams. — 2002. — Vol. 5, no. 3.- P. 031301.

6. Strickland D., Mourou G. Compression of amplified chirped optical pulses // Optics Communications. — 1985. — Vol. 56, no. 3. — Pp. 219 221.

7. Dubietis A., Jonusauskas G., Piskarskas A. Powerful femtosecond pulse generation by chirped and stretched pulse parametric amplification in bbo crystal // Optics Communications. — 1992. —Vol. 88, no. 4-6.— Pp. 437 -440.

8. Mourou G. A., Tajima T., Bulanov S. V. Optics in the relativistic regime // Rev. Mod. Phys. — 2006. Vol. 78, no. 2. - Pp. 309-371.

9. Ultra-high intensity- 300-tw laser at 0.1 hz repetition rate / V. Yanovsky, V. Chvykov, G. Kalinchenko, P. Rousseau, T. Planchon, T. Matsuoka, A. Maksimchuk et al. // Opt. Express. — 2008.— Vol. 16, no. 3.— Pp. 2109-2114.

10. Dunne M. A high-power laser fusion facility for europe // Nature Phys. — 2006. Vol. 2. - Pp. 2-5.

11. High Power laser for Energy Research.— http://www.hiperlaser.org/index.asp.

12. Extreme Light Infrastructure : Report on the Grand Challenges Meeting, 27-28 April 2009, Paris / Ed. by G. Korn, P. Antici. Paris, 2009.

13. The Extreme Light Infrastructure.— http://www. extreme-light-infrastructure.eu/.

14. Narozhny N. В., Bulanov S. S., Миг V. D., Popov V. S. e+e~-pair production by a focused laser pulse in vacuum // Physics Letters A. — 2004. — Vol. 330, no. 1-2. Pp. 1 - 6.

15. Нарожный H. Б., Буланов С. С., Мур В. Д., Попов В. С. О рождении е+е~-пар сталкивающимися электромагнитными импульсами // Письма в ЖЭТФ. — 2004. — Т. 80. — С. 434.

16. Буланов С. С., Нарожный Н. Б., Мур В. Д., Попов В. С. О рождении электрон-позитронных пар электромагнитными импульсами // ЖЭТФ. 2006. - Т. 125. - С. 14.

17. Bulanov S. S., Миг V. D., Narozhny N. В., Nees J., Popov V. S. Multiple colliding electromagnetic pulses: A way to lower the threshold of e + e— pair production from vacuum // Phys. Rev. Lett — 2010.— Vol. 104, no. 22. — P. 220404.

18. Fedotov A. M., Narozhny N. В., Mourou G., Korn G. Limitations on the attainable intensity of high power lasers // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 105, no. 8. P. 080402.

19. Positron production in multiphoton light-by-light scattering / D. L. Burke, R. C. Field, G. Horton-Smith, J. E. Spencer, D. Walz, S. C. Berridge, W. M. Bugg et al. // Phys. Rev. Lett 1997. - Vol. 79, no. 9. - Pp. 16261629.

20. Зоммерфелъд А. Строение атома и спектры. — Москва: Гос. Изд. Технико-теоретической литературы, 1956. — Т. 2.

21. Нарожный Н. Б., Никишов А. И. Решения уравнений Клейна Гордона и Дирака для частицы в постоянном электрическом поле и распространяющейся вдоль него плоской электромагнитной волне // ТМФ. - 1976. - Т. 26. - С. 16-33.

22. Никишов А. И. Образование пар постоянным внешним полем // ЖЭТФ. 1969. - Т. 57. - С. 1210 - 1216.

23. Никишов А. И., Нарожный Н. Б. Простейшие процессы в электрическом поле, порождающем пары // Ядерная Физика. — 1970. — Т. 11. — С. 1072-1077.

24. Никишов А. И. Проблемы внешнего поля в квантовой электродинамике // Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле. Сборник трудов ФИАН / Под ред. В. Л. Гинзбурга. — Москва: Наука, 1979, —Т. 111.-С. 152-272.

25. Brezin Е., Itzykson С. Pair production in vacuum by an alternating field // Phys. Rev. D. — 1970. — Vol. 2, no. 7,- Pp. 1191-1199.

26. Попов В. С. Рождение пар е+е~ в переменном внешнем поле // Письма в ЖЭТФ. 1971. - Т. 13. — С. 185.

27. Попов В. С. И ЖЭТФ. 1972. - Т. 34. - С. 709.

28. Попов В. С. О швингеровском механизме рождения электрон-позитронных пар из вакуума полем оптических и рентгеновских лазеров // Письма в ЖЭТФ. 2001. — Т. 74. — С. 151.

29. Rau J. Pair production in the quantum Boltzmann equation // Phys. Rev. D. 1994. - Vol. 50. - Pp. 6911-6916.

30. Kluger Y., Mottola E., Eisenberg J. M. Quantum vlasov equation and its markov limit // Phys. Rev D. — 1998. — Vol. 50.

31. Schmidt S., Blaschke D., Ropke G., Smolyansky S. A., Prozorkevich A. V. A quantum kinetic equation for particle production in the Schwinger mechanism I/ Int. J.Mod.Phys. E.~ 1998.- Vol. 7.- Pp. 709-722.

32. Pervushin V.} Skokov V. V., Reichel A., Smolyansky S. A., Prozorkevich A. The kinetic description of vacuum particle creation in the oscillator representation // Int. J.Mod.Phys. A. — 2005. — Vol. 20. —P. 5689.

33. Greiner W., Muller В., Rafelski J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields. — Berlin: Springer-Verlag, 1986.

34. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. — Москва: Энергоатомиздат, 1988.

35. Фрадкин Е. С., Гитман Д. М., Шварцман Ш. М. Квантовая электродинамика с нестабильным вакуумом. — Москва: Наука, 1991.

36. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — Москва: Гостехиздат, 1957.

37. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика,— Москва: Наука, 1981.

38. Volkov D. М. // Z. Phys. 1935. - Vol. 94. - P. 250.

39. Redmond P. J. Solution of the Klein-Gordon and Dirac equations for a particle with a plane electromagnetic wave and a parallel magnetic field // Journal of Mathematical Physics. — 1965.— Vol. 6, no. 7.— Pp. 11631169.

40. Grumiller D., Kummer W., Vassilevich D. V. Dilaton gravity in two dimensions // Physics Reports. 2002. - Vol. 369, no. 4. - Pp. 327 - 430.

41. Katanaev M. O., Kummer W.} Liebl H. Geometric interpretation and classification of global solutions in generalized dilaton gravity // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 53, no. 10.-Pp. 5609-5618.

42. Tuchin K. Pair production by boost-invariant fields in comoving coordinates //J. Phys. G. 2007. - Vol. 34. - P. 2633.

43. Hawking S. W. Particle creation by black holes // Commun. Math. Phys. 1975. - Vol. 43. - P. 199.

44. Giddings S. В., Nelson W. M. Quantum emission from two-dimensional black holes // Phys. Rev. D.- 1992.- Vol. 46.- P. 2486.

45. Cooper F., Eisenberg J. M., Kluger Y., Mottola E., Svetitsky B. Particle production in the central rapidity region // Phys. Rev. D.— 1993.— Vol. 48, no. l.-Pp. 190-208.

46. Gabriel С., Spindel P. Quantum charged fields in (1+1) Rindler space // Annals of Physics. 2000. - Vol. 284, no. 2. - Pp. 263 - 335.

47. Berkooz M., Pioline B. Strings in an electric field, and the milne universe // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.— 2003.— Vol. 2003, no. 11.-P. 007.

48. Narozhny N. В., Миг V. D., Fedotov A. M. Pair creation by homogeneous electric field from the point of view of an accelerated observer // Physics Letters A. 2003. - Vol. 315, no. 3-4. - Pp. 169 - 174.

49. Unruh W. G. Notes on black-hole evaporation // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 14, no. 4. Pp. 870-892.

50. Никишов А. И., Риту с В. И. Процессы, вызванные заряженной частицей в электрическом поле и концепция тепловой бани Унру // ЖЭТФ. 1988. - Т. 94. — С. 31.

51. Gerlach U. Н. Minkowski bessel modes // Phys. Rev. D. 1988. - Vol. 38, no. 2.-Pp. 514-521.

52. Narozhny N. В., Fedotov A. M., Karnakov В. M., Миг V. D., Belin-skii V. A. Boundary conditions in the Unruh problem // Phys. Rev. D. — 2001. Vol. 65, no. 2. - P. 025004.

53. Soffel M., Mutter В., Greiner W. Dirac particles in Rindler space // Phys. Rev. D.— 1980.— Vol. 22, no. 8,- Pp. 1935-1937.

54. Гелъфанд И. M., Шилов Р. Е. Обобщенные функции и действия над ними, — Москва: ФМ, 1955.— Т. 1.

55. Вайтман А. С. Проблемы релятивистской динамики квантованных полей, — Москва: Наука, 1968.

56. Israel W. Thermo-field dynamics of black holes // Physics Letters A.— 1976. Vol. 57, no. 2. - Pp. 107 - 110.

57. Dowker J. S. Quantum field theory on a cone // Journal of Physics A: Mathematical and General— 1977. — Vol. 10, no. 1, — P. 115.

58. Sciama D. W., Candelas P., Deutsch D. Quantum field theory, horizons and thermodynamics // Adv. Phys. 1981. - Vol. 30. - Pp. 327 - 366.

59. Биррелл H., Девис П. Квантовые поля в искривленном пространстве-времени. — Москва: Мир, 1984.

60. Sewell G. L. Quantum fields on manifolds: PCT and gravitationally induced thermal states // Annals of Physics. — 1982.— Vol. 141, no. 2.— Pp. 201 224.

61. Зельдович Я. Б., Рожанский Л. В., Старобинский А. А. Излучение ускоренного электрона // Письма в ЖЭТФ.— 1986.— Т. 43, № 9.— С. 407.

62. Takagi S. Vacuum noise and stress induced by uniform acceleration // Progr. Theor. Phys. 1986. — Vol. 88. - Pp. 1-142.

63. Гинзбург В. Л., Фролов В. П. Вакуум в однородном гравитационном поле и возбуждение равномерно ускоренного детектора // Успехи физических наук.-— 1987, — Vol. 153, по. 12,— Pp. 633-674.

64. Wald R. М. Quantum Field Theory in Curved Space—Time and Black Hole Thermodynamics. — Chicago: Chicago University Press, 1994.

65. Kruskal M. D. Maximal extension of Schwarzschild manifold // Phys. Rev. 1960. - Vol. 119. - P. 1743.

66. Bumm Б. С. Д. Квантовая гравитация: новый синтез // Общая теория относительности / Под ред. С. Хокинга, В. Израэля. — Москва: Мир, 1983. — С. 296-360.

67. Rosu Н. С. On the estimates to measure Hawking effect and Unruh effect in the laboratory // Int. J. Mod. Phys. D. — 1994. — Vol. 3. — P. 545.

68. Fedotov A. M., Narozhny N. В., Миг V. D., Belinski V. A. An example of a uniformly accelerated particle detector with non-Unruh response // Physics Letters A. — 2002. — Vol. 305, no. 5. — Pp. 211 217.

69. Fulling S. A. Nonuniqueness of canonical field quantization in Riemannian space-time // Phys. Rev. D. — 1973. — Vol. 7, no. 10, — Pp. 2850-2862.

70. Белинский В. А.} Карнаков Б. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Существует ли эффект Унру? // Письма в ЖЭТФ. 1997. - Т. 65, № 12.1. C. 861.

71. Fedotov А. М., Миг V. D., Narozhny N. В., Belinskii V. АКаг-nakov В. М. Quantum field aspect of the Unruh problem // Physics Letters A. 1999. - Vol. 254, no. 3-4. - Pp. 126 - 132.

72. Fulling S. A.; Unruh W. G. Comment on "Boundary conditions in the Unruh problem" // Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70, no. 4. - P. 048701.

73. Narozhny N., Fedotov A., Karnakov В., Миг V., Belinskii V. Reply to "comment on 'Boundary conditions in the Unruh problem' " // Phys. Rev.

74. D. 2004. - Vol. 70, no. 4. - P. 048702.

75. Cmpumep P., Вайтман A. PCT, спин, статистика и все такое. — Москва: ФМ, 1966.

76. Chen P., Tajima Т. Testing Unruh radiation with ultraintense lasers // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83, no. 2. - Pp. 256-259.

77. Ringwald A. Fundamental physics at an X-ray free electron laser. — 2001. arXiv:hep-ph/0112254.

78. Schützhold R., Schaller G., Habs D. Signatures of the Unruh effect from electrons accelerated by ultrastrong laser fields // Phys. Rev. Lett. — 2006. Vol. 97, no. 12. - P. 121302.

79. Schützhold R., Schaller G., Habs D. Tabletop creation of entangled multi-keV photon pairs and the Unruh effect // Phys. Rev. Lett. — 2008.— Vol. 100, no. 9. —P. 091301.

80. Obadia N. Moving detectors in cavities // Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76, no. 4,- P. 045013.

81. Bell F. On the generation of X-ray photon pairs: A verification of the Unruh effect?- 2007, — arXiv:quant-ph/0809.1505.

82. Fuentes-Schuller I., Mann R. B. Alice falls into a black hole: Entanglement in noninertial frames // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 95, no. 12. — P. 120404.

83. Alsing P. M., Fuentes-Schuller I., Mann R. В., Tessier Т. E. Entanglement of dirac fields in noninertial frames // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 74, no. 3. P. 032326.

84. Adesso G., Fuentes-Schuller I., Ericsson M. Continuous-variable entanglement sharing in noninertial frames // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 76, no. 6.-P. 062112.

85. Brddler K. Eavesdropping of quantum communication from a noninertial frame // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 75, no. 2, — P. 022311.

86. Han M., Olson S. J., Dowling J. P. Generating entangled photons from the vacuum by accelerated measurements: Quantum-information theory and the Unruh-Davies effect // Phys. Rev. A — 2008. —Vol. 78, no. 2.— P. 022302.

87. Bloch J. C. R., Mizerny V. A.} Prozorkevich A. V., Roberts C. D., Schmidt S. M., Smolyansky S. A., Vinnik D. V. Pair creation: Back reactions and damping // Phys. Rev. D. 1999. — Vol. 60, no. 11. — P. 116011.

88. Dumlu С. K. Quantum kinetic approach and the scattering approach to vacuum pair production // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79.

89. Hebenstreit F., Alkofer R., Gies H. Pair production beyond the Schwinger formula in time-dependent electric fields // Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 78, no. 6. P. 061701.

90. Tanji N. Dynamical view of pair creation in uniform electric and magnetic fields I/ Annals of Physics. 2009. - Vol. 324, no. 8. - Pp. 1691 - 1736.t/

91. Мост, P. Общая теория квантованных полей. — Москва: Мир, 1967.

92. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — Москва: Наука, 1969.

93. Федотов А. М., Нарожный Н. БМур В., Гельфер Е. О неполноте фермионных мод Унру в пространстве Минковского // Письма вi

94. ЖЭТФ. 2009. - Т. 89. — С. 449-453.

95. Fedotov А. М., Geifer Е. G., Korolev К. Г., Smolyansky S. A. Kinetic equation approach to pair production by a time-dependent electric field // Phys. Rev. D. 2011. - Vol. 83. - P. 025011.

96. Гельфер E. Г., Мур В. Д., Нарожный Н. В., Федотов А. М. О рождении бустовых пар постоянным электрическим полем // ЖЭТФ. — 2011. — № 5.

97. Гельфер Е. Г., Федотов А. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Проблема Унру для фермионов в двумерном пространстве-времени // Научная сессия МИФИ 2006. Сборник научных трудов. — Т. 5. — 2006. — С. 174-175.

98. Гельфер Е. Г., Федотов А. М., Мур В. Д., Нарожный Н. Б. Квантование на бустовых модах скалярного и фермионного полей // Научная сессия МИФИ 2011. Сборник научных трудов. — Т. 2. — 2011. — С. 171.

99. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: ФМ, 1963.

100. Поли Р, Винер Н. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. — Москва: Наука, 1964.

101. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1949.

102. Красников Н. В., Матвеев В. А., Рубаков В. А., Тавхелидзе А. Н.; Токарев В. Ф. Структура основного состояния в двумерной безмассовой квантовой электродинамике // ТМФ. — 1980. — Т. 45,- С. 313-328.

103. Попов В. С. Фсйнмановский метод распутывания операторо. представлений групп // УФН. 2007. — Т. 177. — С. 1319.

104. Popov V. S., Trusov М. A. Generating functions and sum rules tum oscillator // Physics Letters A. — 2009. — Vol. 373, no. 22. -- 1927.

105. Haug H.; Koch S. W. Quantum theory of the optical and electn erties of semiconductors. — Singapore: World Scientific, 2004.

106. Schmidt S., Blaschke D., Röpke G., Prozorkevich A. V.,sky S. A., Toneev V. D. Non-markovian effects in strong-fieldation // Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59, no. 9. - P. 094005.

107. Smolyansky S. A. Observable effects caused by vacuum pair creati* field of high-power optical lasers // Proceedings of SPIE. — Vol.

108. Blaschke D. В., Prozorkevich A. V., Röpke G.; Roberts Schmidt S. M., Shkirmanov D. S., Smolyansky S. A. Dynamical Sc effect and high-intensity lasers. Realising nonperturbative С EPJD. 2009. - Vol. 55, no. 2. - Pp. 341-358.

109. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятив теория. — Москва: Физматлит, 2002.

110. Blaschke D. В., Filatov А. V., Egorova I. A., Prozorkevich2007.

111. Снеддон И. Преобразование Фурье.— Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.

112. Crispino L. С. В., Higuchi A., Matsas G. Е. A. The Unruh effect and its applications // Rev. Mod. Phys. 2008. - Vol. 80, no. 3. - Pp. 787-838.

113. Morozov D. A., Ritus V. I. Elastic electron scattering in an intense field and two-photon emission // Nucl. Phys. В. — 1975.— Vol. 86, no. 2.— Pp. 309-332.

114. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. Серия физ. 1937. - Vol. 4-5. - Pp. 551-568, url =.

115. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Москва: Наука, 1988.

116. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.— Москва: Наука, 1973, — Т. 1.

117. Переломов А. М., Попов В. С., Терентъев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50. — С. 1333.

118. Переломов А. М., Попов В. С., Терентъев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 51. — С. 309.

119. Мур В. Д., Карнаков В., Попов В. Релятивистская версия метода мнимого времени // ЖЭТФ. 1998. — Т. 114. — С. 798.

120. Карнаков Б. М., Мур В. Д., Попов В. С. Релятивистское обобщение теории ионизации Келдыша // ЖЭТФ. — 2007.— Т. 132.— С. 331.

121. Popov V. On feynman method of disentangling of noncommuting operators // Physics Letters A. — 2005. — Vol. 342, no. 4. Pp. 281 - 285.

122. Попов В. С. Фейнмановский метод распутывания некоммутирующих операторов в квантовой механике // ЖЭТФ.— 2005.— Т. 128.— С. 944.

123. Снеддон И. Преобразование Фурье. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.

124. Crispino L. С. В., Higuchi A., Matsas G. Е. A. The Unruh effect and its applications // Rev. Mod. Phys. 2008. - Vol. 80, no. 3. - Pp. 787-838.

125. Morozov D. A., Ritus V. I. Elastic electron scattering in an intense field and two-photon emission // Nucl. Phys. B. — 1975. — Vol. 86, no. 2. — Pp. 309-332.

126. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. Серия физ. 1937. - Vol. 4-5. - Pp. 551-568, url =.

127. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля, — Москва: Наука, 1988.

128. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции,— Москва: Наука, 1973. — Т. 1.

129. Переломов А. М., Попов В. С., Терентьев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50. — С. 1333.

130. Переломов А. М., Попов В. С., Терентьев М. В. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 51. — С. 309.

131. Мур В. Д., Карнаков В., Попов В. Релятивистская версия метода мнимого времени // ЖЭТФ. — 1998,- Т. 114,— С. 798.

132. Карнаков Б. М., Мур В. Д., Попов В. С. Релятивистское обобщение теории ионизации Келдыша // ЖЭТФ. — 2007. — Т. 132. — С. 331.

133. Popov V. On feynman method of disentangling of noncommuting operators 11 Physics Letters A. — 2005. Vol. 342, no. 4. - Pp. 281 - 285.

134. Попов В. С. Фейнмановский метод распутывания некоммутирующих операторов в квантовой механике // ЖЭТФ. — 2005.— Т. 128.— С. 944.1. П и

135. Popov V. S., Trusov М. A. Generating functions and sum rules for quantum oscillator // Physics Letters A. — 2009. — Vol. 373, no. 22. — Pp. 1925 1927.

136. Haug H., Koch S. W. Quantum theory of the optical and electronic properties of semiconductors. — Singapore: World Scientific, 2004.

137. Schmidt S., Blaschke D., Röpke G., Prozorkevich A. V., Smolyan-sky S. A., Toneev V. D. Non-markovian effects in strong-field pair creation // Phys. Rev. D.— 1999. — Vol. 59, no. 9.- P. 094005.

138. Blaschke D. ВFilatov A. V., Egorova I. A., Prozorkevich A. V., Smolyansky S. A. Observable effects caused by vacuum pair creation in the field of high-power optical lasers // Proceedings of SPIE. — Vol. 6537. — 2007.

139. Blaschke D. В., Prozorkevich A. V., Röpke G., Roberts C. D., Schmidt S. M., Shkirmanov D. S., Smolyansky S. A. Dynamical Schwinger effect and high-intensity lasers. Realising nonperturbative QED // EPJD. 2009. - Vol. 55, no. 2. - Pp. 341-358.

140. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — Москва: Физматлит, 2002.