Представления функциональными интегралами решений регулярных и стохастических эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Обрезков, Олег Олегович

• Обрезков, Олег Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Обрезков, Олег Олегович

Введение

1 Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений

1.1 Уравнение теплопроводности с потенциалом на компактном ри-мановом многообразии и 5—мера Винера.

1.2 Конечномерные аппроксимации интегралов по мере Винера

1.3 Формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии.

1.4 Задача Коши-Дирихле для уравнения Шредингера в огранила ченной области евклидова пространства и формулы Фейнмана

1.5 Построение аппроксимирующего по Чернову семейства операторов

1.6 Формула Фейнмана для уравнения Шредингера в области

1.7 Представление решения задачи Коши-Дирихле с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в области.

1.8 Обобщение теоремы Чернова на нестационарный случай

2 Стохастические уравнения Шредингера

2.1 Некоторые обозначения и терминология.

2.2 Модель Смолянова-Трумена

2.3 Вывод стохастического уравнения Шредингера с двумерным белым шумом.

2.4 Псевдодифференциальные операторы и интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве

V, 2.5 Стохастическая формула Фейнмана.

2.6 Стохастические интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве

3 Уравнение Лапласа-Леви

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Несамосопряженные расширения лапласиана Леви.

3.3 Гармонические функции оператора Лапласа-Леви.

3.4 Дополнительные замечания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления функциональными интегралами решений регулярных и стохастических эволюционных уравнений»

В диссертации получены формулы Фейнмана (т.е. представления решений эволюционных уравнений с помощью пределов конечнократных интегралов) для двух классов уравнений — уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии и уравнения Шредингера в области евклидовова пространства (в последнем случае рассматривается задача Коши-Дирихле). Кроме этого, в работе содержатся вывод стохастического уравнения Шредингера и представления решений этого уравнения с помощью случайных интегралов Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве (=стохастические формулы Фейнмана). Стохастическое уравнение Шредингера играет важную роль в теории открытых квантовых систем — оно описывает эволюцию квантовой системы, подвергающейся непрерывному измерению. Помимо представлений решений уравнений с помощью функциональных интегралов, в диссертации получен широкий класс решений уравнения Лапласа-Леви, тесно связанного с теорией калибровочных полей.

Исследование функциональных интегралов давно стало одним из центральных направлений функционального анализа. Начало этому напр§авле-нию было положено работой Р. Фейнмана [42], в которой была предложена конструкция, получившая название интеграла Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве. Как отметил сам Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Написанная на физическом уровне строгости работа Фейн/^на отличается элегантностью и ясностью изложения. Но самое главное, предложенный в этой работе подход к исследованию эволюционных уравнений оказался исключительно эффективным.

Метод функционального интегрирования исследуется и развивается в работах С. Альбеверио, Ф.А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И.М. Гельфанда, Р. Камерона, В.П. Маслова, М.Б. Менского, Э. Нельсона, Б. Саймона, О.Г. Смолянова, A.B. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, А.Ю. Хренникова, A.M. Чеботарева, Е.Т. Шавгулидзе, П. Экснера, A.M. Яглома и др. В настоящее время метод функционального интегрирования стал важнейшим методом квантовой теории, прежде всего, квантовой теории поля. В то же время исследование математической структуры, связанной с такого рода интегралами, только начинается. Все сказанное и определяет актуальность диссертации.

Оригинальное фейнмановское определение функционального интеграла основано на пределе конечнократных интегралов. Именно это определение Фейнман использовал для представления решения уравнения Шредингера с потенциалом. Э. Нельсон заметил, что формальное доказательство формулы Фейнмана сводится в этом случае к применению формулы Троттера. Доказательство М. Каца представления решения уравнения теплопроводности, хотя и использует идею предела конечнократных интегралов, является по существу 'вероятностной интерпретацией' формул Фейнмана. Р. Камерон и Ю.Л. Далецкий показали, что функциональный интеграл Фейнмана не может быть определен как интеграл по счетноаддитивной мере на пространстве траекторий.

Во многом эти результаты определили направления дальнейших исследований. Альтернативное определение интеграла Фейнмана — с помощью равенства Парсеваля было предложено в работах В.П. Маслова, A.M. Чеботарева, С. Альбеверио и Р. Хег-Крона. Отметим также книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе, которая до настоящего времени остается наиболее полным изложением математической теории интегралов Фейнмана (в этой книге содержатся четыре различных определения континуального интеграла).

Развитие математической техники, связанной с функциональным интегрированием показало, что с точки зрения приложений наиболее удобным остается фейнмановское определение — точнее, его аксиоматизированный в стиле Э. Нельсона вариант, где роль формулы Троттера играет теорема Чернова это было впервые отмечено О.Г. Смоляновым). В диссертации показано, что фейнмановский подход может быть распространен на эволюционные уравнения в областях евклидовых пространств, стохастические дифференциальные уравнения и регулярные нестационарные дифференциальные уравнения в бесконечномерном пространстве.

В главе 1 получены формулы Фейнмана [42] (т.е. представления решений соответствующих уравнений с помощью пределов конечнократных интегралов) для двух классов стационарных эволюционных уравнений — задачи Коши для уравнения теплопроводности с потенциалом на компактном римановом многообразии (§§ 1.1 — 1.3) и задачи Коши-Дирихле для уравнения Шредингера с магнитным полем в области евклидова пространства (§§ 1.4 — 1.7). При этом формула Фейнмана для первого уравнения может быть интерпретирована как интеграл по некоторой счетно-аддитивной мере (называемой далее ¿'—мерой Винера) на множестве траекторий в многообразии и следовательно, является и формулой Фейнмана-Каца [48], [56]. В то же время предел конечнократных интегралов в формуле Фейнмана, соответствующей задаче Коши-Дирихле для уравнения Шредингера, не может быть представлен с помощью интеграла по счетно-аддитивной мере и фактически является определением интеграла Фейнмана по траекториям в области евклидового пространства (ср. [25]). Доказательство формулы Фейнмана для задачи Коши-Дирихле существенно использует теорему Чернова [36]. Подход к представлению решений эволюционных уравнений с помощью теоремы Чернова был впервые предложен О.Г. Смоляновым и развит в работах [60], [12], [58], [22], [14].

Всюду далее М — это ш-мерное компактное риманово многообразие с ри-мановой метрикой •) : М х М —» Пусть V обозначает ковариантную производную Леви-Чивита на М, так что Ам — — является оператором Лапласа-Бельтрами на М (если имеется карта ф : и М, отображающая окрестность II нуля в Кт и удовлетворяющая условию ф(0) = х, то для каждой функции и € С2(М) выполнено равенство Ами(х) = — (А о -0)(О), где А является обычным оператором Лапласа на Мт). Ниже рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности с потенциалом V Е С(М) х) = - ^ + «(*,ж) х е М, £ > О (1.1) с начальным условием гг(0,а;) = по(х) для всех х Е М. Решение задачи Коши может быть записано в виде и(£) = е~ти0 (в последнем равенстве щ и и(£) — это элементы С(М)), где И = ^ + V — ограниченный снизу оператор на банаховом пространстве С(М) и обозначает полугруппу операторов на С(М), для которой ТС является генератором.

Далее мы получим представление решения задачи Коши для уравнения (1.1) с помощью формулы типа Фейнмана-Каца. Обычная формула Фейнмана-Каца представляет решение уравнения теплопроводности в евклидовом пространстве (то есть, М — Кт). В 'евклидовом' случае эта формула имеет вид е4(*-у)ио) (х) = / (1.2) где предполагается, что V является непрерывной и ограниченной функцией, == {и; е С([0,£]Дт) : ы(0) = ж} для всех £ > 0 и х в Мт и обозначает стандартную меру Винера на Е^. Доказательство формулы (1.2), опирающееся на теорию случайных процессов, содержится в [48] (см. также [49]), и является одной из возможных строгих интерпретаций эвристического результата Фейнмана [42] (ср. [55], где для доказательства аналогичной формулы для уравнения Шредингера используется формула Троттера из теории полугрупп операторов).

Винеровский процесс, порождаемый мерой имеет переходную плотность, задаваемую формулой р\ (£,а;, у) = Для всех £ > 0 и х, у £ Ет. Таким образом, правая часть равенства (1.2) совпадает с пределом при п —> оо следующих конечномерных аппроксимаций интеграла по мере Винера: йх 1. / (1хпе-»^=1у{х1-1)и0(хп)р1^/п,х0,х1). .р1(г/п,хп-1,хп)

JRm где х0 = х.

В случае когда М — компактное риманово многообразие размерности т естественно рассматривать переходную плотность, определяемую равенством где с£(-, •) — это расстояние внутри многообразия. С помощью этой переходной плотности можно секвенциальным образом определить интеграл по мере на множестве траекторий в М (ср. определение из [60]): Определение 1.1. Пусть Ь > 0, х Е М, Е^ = {а; £ С ([0,^,^;) : а>(0) = ж}. Секвенциальным интегралом от вещественной ограниченной функции / : Е^ —> М, порождаемым переходной плотностью р(-, •, •) называется

Р(х, уи . . . , уп)р{г 1,Х, у\) . . . р(£п, уп-1, уп)(1у1 .д,уп где сР(х) = ¡м . ¡мрЦ1,х,у1). .р(гп,уп-1,уп)с1у1. .с1уп; Р = {0 = < < . < = ¿} — разбиение отрезка [0,1], ¿у = — и |Р| = тах^ — диаметр разбиения. Кроме этого, /р(х,уь. ,т/п) = $(фх^У1''"'Уп), а <р^Уи-'Уп £ определяется следующим образом: (ррУ1'"''Уп(з^ = yj для всех ] = 0,., п, уо = х и для каждого б £ (в], б^) (ррУ1'"',Уп(в) = ^¿(з), где 6 C([sj,sj+l\, М) — это (некоторая) минимальная геодезическая наМ, соединяющая и .

В работе О.Г. Смолянова, X. фон Вайцзеккера и О. Виттиха [60] (см. также [12], [13], [14]) показано, что существует вероятностная счетно-аддитивная мера (обозначаемая И7^,) на множестве траекторий Еабсолютно непрерывная относительно меры Винера на Е^ и такая, что для всякой ограниченной и непрерывной функции / : Еь$ —> М интеграл ]'Ем f(u)W^p{duS) совпадает с секвенциальным интегралом от функции / из определения 1.1. Всюду далее И^хр называется 5—мерой Винера1.

1В [12] эта мера называется внутренней поверхностной мерой Винера, так кал переходная плотность зависит только от расстояния между точками внутри многообразия.

1.3)

Основная теорема, представляющая решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по 5—мере Винера (формула Фейнмана-Каца для 5—меры Винера), имеет следующий вид.

Теорема 1.15. Пусть и, V G СА{М), Ti = + V, где Ам — это оператор Лапласа-Белътрами на М. Тогда для каждого х £ М выполнено равенство е ти) {х)=—- еок u(u(t))W^x (dw),

С\х) JEJ£ t где с(х) = / е ° бсегс ^ ^ М.

Замечание 1.16. Формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии отличается от обычной формулы Фейнмана-Каца (1.2) (соответствующей уравнению теплопроводности на евклидовом пространстве) наличием дополнительного множителя — экспоненты от умноженного на | интеграла от скалярной кривизны многообразия — под знаком интеграла по S—мере Винера и нормировочной константы с(х). В связи с поверхностными мерами Винера этот множитель впервые появился в [60], [12] и [Ц] (см. также [33]). В случае многообразия с постоянной скалярной кривизной (например, компактных групп Ли) дополнительный множитель можно вынести за знак интеграла по S—мере Винера и сократить с нормировочной константой, после чего результат совпадет с обычной формулой Фейнмана-Каца — это было отмечено О.Г. Смоляновым еще в [20].

Как уже упоминалось, во второй части главы 1 содержится формула Фей-нмана, соответствующая задаче Коши-Дирихле для уравнения Шредингера с магнитным полем в ограниченной области евклидова пространства. Строгая интерпретация формул Фейнмана [42], [43], [25], представляющих решения уравнений Шредингера в евклидовом пространстве была впервые получена в математических работах Э. Нельсона [55], В.П. Маслова [17], С. Альбеве-рио и Р. Хег-Крона [30], О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [23]. При этом Э. Нельсон использовал для доказательства формулы Фейнмана для уравнения

Шредингера формулу Троттера [62] из теории полугрупп операторов; В.П. Маслов и С. Альбеверио, Р. Хег-Крон независимо определили интеграл Фей-нмана с помощью равенства Парсеваля, вследствие чего интеграл Фейнмана был задан всего лишь на множестве функций, являющихся преобразованиями Фурье счетноаддитивных мер на гильбертовом пространстве, что значительно сужает область действия 'формул Фейнмана2 (в работе В.П. Маслова было также замечено, что мера, преобразование Фурье которой совпадает с экспонентой от потенциала, комплексной мерой Пуассона); О.Г. Смолянов и Е.Т. Шавгулидзе используют различные определения интеграла Фейнманг? и получают представления решений уравнений Шредингера по траекториям в конфигурационном и фазовом пространствах в более широком классе начальных данных и потенциалов.

Оказывается, что область действия формул типа Фейнмана значительно расширяется, если вместо формулы Троттера использовать теорему Чернова [36], [37] (это было замечено О.Г. Смоляновым, см. [58], [22], [14]). Ниже рассматривается уравнение Шредингера с магнитным полем в ограниченной области евклидова пространства и показано, что интеграл Фейнмана по траекториям в области соответствует решению задачи Коши-Дирихле для уравнения Шредингера с нулевыми граничными условиями. В качестве промежуточного шага получена формула Фейнмана для решения задачи Коши-Дирихле, из которой вытекает представление решения с помощью функционального интеграла. В доказательстве существенно используется теорема Чернова, которая играет здесь ту же роль, что и формула Троттера [62] в доказательстве Э. Нельсона [55] представления решения уравнения Шредингера в евклидовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана. Отметим еще, что представление решения уравнения Шредингера с магнитным полем

2 Следует отличать представления решений с помощью формулы и интеграла Фейнмана. Первое представление является пределом конечнократных интегралов, который может быть интерпретирован как интеграл Фейнмана по траекториям. Так как интеграл Фейнмана в [30] определяется с помощью равенства Парсеваля, а не как предел конечнократных интегралов (фейнмановское определение), то фактически формулы Фейнмана в [30] отсутствуют, — вместо этого сразу получаются интегралы Фейнмана.

3Как предел конечнократных интегралов, с помощью равенства Парсеваля и как аналитическое продолжение интеграла по мере Винера. в евклидовом пространстве содержится в [16].

Пусть С — ограниченная область в Кт с гладкой границей. Далее рассматривается краевая задача Коши-Дирихле в этой области для уравнения, соответствующего оператору Шредингера с магнитным полем и потенциалом: Н = \ (-¿V + В(х))2 + У(х), где V = ., — оператор градиента в Мт, V : С —» К — непрерывная функция (потенциал), В : С —> — непрерывно-дифференцируемая функция (вектор-потенциал магнитного поля). Задача Коши-Дирихле для уравнения Шредингера с указанным гамильтонианом и начальным условием щ может быть записана в виде и(0,гс) = гг0(я) ж <Е С (1.11)

1х(<,х) = 0 £>0, хедв где «о : С М — непрерывная функция, обращающаяся в нуль на границе, а и : М+ х С —> К — решение соответствующей задачи Коши-Дирихле, при этом мы определяем ггг) = Итсэу-*х и(Ь,у) для всех х е дй. Отметим, что действие оператора Н на функцию / € С2 {С) можно представить в (стандартном) виде:

Я/)(у) = - (у)-ъ (В(у), У/(у))+ (^В2(у) + У{у) - 1-йгуВ{у)) /(у)

1.12)

Пусть и — решение задачи Коши-Дирихле с начальным условием щ 6 Со (О), где Со (С) обозначает банахово пространство непрерывных функций / : С —> Е, обращающихся в нуль на <96?. Рассмотрим семейство операторов {Т4}<>о, задаваемых равенством (Т^ио) (х) = ж) для всех а; 6 С, «о € Со (С) и £ > 0. Мы предполагаем, что является непрерывной полугруппой операторов4, действующих на Со (С). Тогда ее инфи-нитезимальный оператор (Л, Дд) может быть задан следующим образом: Б а = Сц (С) С Со (С) — это подпространство дважды непрерывно дифференцируемых функций на С, обращающихся в нуль на границе вместе со

4{Тг}(>о называется разрешающей полугруппой операторов, соответствующей задаче (1.11) всеми частными производными до второго порядка, и

Ш)(х) = (-шп(х), хеС

Л/) (х) = 0, хедв 1 ' ^

В главе 1 приводится построение однопараметрического семейства операторов {5'(£)}^о, являющегося эквивалентным по Чернову полугруппе {Тг}^>о (понятие эквивалентности по Чернову введено в [61]):

-5(«)/||=о(0, *-> о /ей, СБа, (1.14) где — существенная область определения оператора Л, т.е. оператор (Л, £)д) является замыканием (Л, £>1). Если (1.14) выполняется для {¿>(£)}$>о, то из теоремы Чернова [37] следует, что

7} = з — Игпп-^оо (б^/п))71 компактно по £ е [О, оо), (1-15) где й — Нт обозначает предел в сильной операторной топологии на Со (С?). При подходящем выборе семейства {5'(£)}4>о предельное выражение в (1.15) совпадает с интегралом Фейнмана по траекториям в области. Так как-^}^ порождена инфинитезимальным оператором Л, то для того, чтобы показать (1.14), достаточно проверить выполнение равенства ¿>(£)/ = / + ¿Л/ + о(£), £ —> 0 для всех / Е

Пусть для всех £ > 0 действие 5(£) на функцию / е С0 (6?) задано формулами: (я) = [ К(г,х,у)/(у)<1у, (1.23) где к{гл X, у) = Ле(4)(а;)----¿ЧМ^)*-*) (1.24)

27г£г) ' и для каждого £ > 0 /1£(-) это гладкая функция, обладающая следующими свойствами: для всех 2 € Мт 0 < к^г) < 1, /гДг) = 0, если г ^ С и с£гз£(,г, 5(7) > £ и /ге(г) = 1 при гбС, таких что сИв^г, дС) > е; кроме этого, последовательность е(т) положительных чисел сходится к нулю при г —> 0.

Лемма 1.17. (Формула Фейнмана) Пусть {S(t)}t>0 — это семейство интегральных операторов в Со (G), заданных формулами (1.23)—(1.24), a{Tt}t>o — это разрешающая полугруппа операторов, соответствующая уравнению Шредингера с магнитным полем в ограниченной области. Тогда для каждого t > 0 выполнено Tt = s — limn->(S(t/ri))n.

Замечание 1.18. Для всех щ 6 Gq(G) и х Е G (TtUo)(x) является пределом конечнократных интегралов. Действительно, согласно лемме 1.17, формула для решения задачи (1.11) может быть записана в виде

Ttu0) (:г0) = lim / • •■/ dxi.dxnuo(xn)T\ K(t/n,Xj-i,Xj) (1.29) п-*°° jRrn JRm JJ^

Если подставить в уравнение (1.29) выражение для K(t,x,y) из (1.24), то можно заметить, что решение совпадает с пределом конечнократных интегралов от экспонент римановых сумм, соответствующих одномерным интегралам. Однако по сравнению с обычной формулой Фейнмана (для решения уравнения Шредингера на всем RTO) под интегралом присутствует дополнительный множитель — ГГЦ K(t/n)(xj-1)- Так как supp ht С Gc, то (конечно-кратное) интегрирование производится только по траекториям в Gt^/n)\ при п —» оо Gc(t/n) G ив пределе происходит интегрирование по траекториям в G. Однако, из-за наличия вышеуказанного дополнительного множителя формула Фейнмана (1.29) не может быть непосредственно интерпретирована как интеграл Фейнмана по траекториям в области G. Тем не менее, оказывается, что можно получить и представление решения с помощью фейнмановского интеграла, — это следует из того, что скорость сходимости e(t) —> 0 при t —» 0 не влияет на предел в (1.29). Таким образом, интеграл Фейнмана по траекториям в области соответствует задаче Коши-Дирихле в этой области.

Пусть G — выпуклая область в Rm, z е G и Е = Cz([0,t],G) = {feC([0,t],G):f(0) = z}.

Определение 1.21. (ср. [23], [58]) Интегралом Фейнмана (по траекториям в области G конфигурационного пространства К771,) от функции F : Е —» С по псевдомере называется — обозначаемый символом предел при п —> со (если он существует) интегралов In(F) = JE fot2(s)dsdt;, где En — это пересечение с Е конечномерного подпространства пространства С([0, {\,Ш.т), состоящего из функций, линейных на каждом из интервалов (,^, j = 1 ,.,п,

Сп = fE Z2(s)dsdt;, а интегрирование производится по произвольной мере Лебега (отметим также, что функция рф*а, определяемая равенством называется обобщенной плотностью псевдомеры Фд). Если J — отображение Еп на Gn, задаваемое соотношением J(£) = ,£(*)), то lim [ dx1.dxn(FoJ-l)(xl,.,xn)f\p(-,xk„i,xk)

Je n->cojGn ^ \n J где хо = г и р(Ь,х,у) = (27гг1)т/2е'^) для всех х,у Е О и Ь > 0 (фейнманов-ская псевдоплотность).

Теорема 1.22. Решение задачи Коши-Дирихле (1.11) с начальным условием щ £ Со (С) может быть представлено с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в <7: и(г,х) = [ ^ /о* ом^ем)^ (е(О)Ф^(сге) для всех х £ £ и £ > 0.

Замечание 1.23. В формуле для представления решения уравнения (1.11) присутствует символ (В(£(з — 0)),с?£(з)). Конечномерная аппроксимация этого интеграла (то есть сужение функционала на Еп) равна хз-1)- По аналогии со случаем меры Винера {х^ — можно интерпретировать как приращение на промежутке ^ эвристического случайного процесса, соответствующего псевдомере Фейнмана. Таким образом, указанная интегральная сумма является конечномерным приближением эвристического стохастического интеграла. При этом значение функции В(-) вычисляется в точке то есть соответствует моменту времени . Это обстоятельство позволяет рассматривать символ (£(£(5 — 0)), ^(5)) как интеграл Ито по эвристическому процессу, соответствующему псевдомере Фейнмана. Заметим еще, что /о — 0)), ^(в)) связан с аналогом формулы Камерона-Мартина для псевдомеры Фейнмана.

Отметим также, что в связи с континуальными интегралами 'сдвиг по времени назад' (то есть символ — 0) под знаком континуального интеграла) впервые появился в работе Ф.А. Березина [11] для получения представлений решений уравнений Шредингера с псевдодифференциальными операторами и до—символами с помощью интегралов Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве.

В заключительном параграфе главы 1 получено обобщение абстрактной теоремы Чернова на нестационарный случай. Это обобщение может быть использовано для представления решений нестационарных эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.

В главе 2 рассматривается один из важных частных случаев теории открытых квантовых систем [38], [41] — квантовая система, подвергающаяся процессу непрерывных измерений. Эволюция этой системы определяется как предельное поведение квантовой системы, наблюдаемой в дискретные моменты времени, при условии, что точность измерений и интервалы между ними пропорциональны и стремятся к нулю. В результате получается дифференциальное уравнение второго порядка с коэффициентами типа белого шума (стохастическое уравнение Шредингера), интерпретируемое как стохастическое дифференциальное уравнение типа Ито [47]. Стохастические уравнения Шредингера можно интерпретировать как уравнения, описывающие так называемую марковскую аппроксимацию для эволюции открытой квантовой системы, альтернативную той, которая дается квантовыми стохастическими уравнениями типа Хадсона-Партасарати (по поводу последней см. книгу Л. Аккарди, Ю.Г. Лю и И.В. Воловича [27]).

Впервые уравнение, описывающее эволюцию квантовой системы, подвергаемой процессу непрерывных измерений одной и той же наблюдаемой (являющейся оператором умножения на координату при подходящей реализации гильбертова пространства состояний в виде I? (К1)), было постулировано в работе Дж. Гирарди, А. Римини и Т. Вебера [44] для описания спонтанной редукции волновой функции. Оно было выведено независимо друг от друга в общей ситуации В.П. Белавкиным [34] (при этом использовались квантовые стохастические уравнения Хадсона-Партасарати [46]; см. также [35]) и для наиболее важного частного случая Л. Дьоши [40], работа которого написана на физическом уровне строгости. Вывод, основанный на стандартной аксиоматике квантовой механики, содержится в работе О.Г. Смолянова и А. Трумена [21] (см. также [10], [31] и [32]).

Помимо вышеизложенного — локального — подхода к описанию поведения непрерывно наблюдаемой квантовой системы, при котором получается эволюционное уравнение, обобщающее уравнение Шредингера и учитывающее взаимодействие квантовой системы с измерительным аппаратом и влияние последнего на состояние квантовой системы, существует и глобальный подход, получивший свое развитие в работах [53], [54]. При этом для глобального описания процесса непрерывного измерения вводится линейный пропагатор квантовой системы в виде эвристического интеграла Фейнмана по траекториям. Связи между двумя способами описания посвящены работы [31], [32].

В первых трех параграфах главы 2 содержится вывод стохастического уравнения Шредингера с двумерным белым шумом, отвечающего непрерывному измерению двух некоммутирующих наблюдаемых — оператора координаты д : / 6 .Оош(^) С £2(М) [<? н-> qf{q)] и оператора импульса р : / 6 Оот(р) С Ь2(Ш) ь-> [<? > —1$'^)]. Сразу отметим, что в согласии с одним из принципов квантовой механики невозможно произвести одновременное измерение двух некоммутирующих наблюдаемых, поэтому процесс непрерывных измерений в этом случае описывает предельное поведение квантовой системы, наблюдаемой в дискретные моменты времени так, что в 'четные' моменты измеряется координата, а в 'нечетные' — импульс (промежутки времени между этими моментами равны, пропорциональны точности измерения и стремятся к нулю), — естественное обобщение случая измерения одной наблюдаемой. Уравнение, соответствующее измерению двух некоммутирующих наблюдаемых, было приведено без доказательства О.Г. Смоляновым и

А. Труменом в [21], в той же статье был опубликован новый вывод стохастического уравнения Шредингера с одномерным белым шумом, основные идеи которого были распространены в [64] на двумерный случай.

Пусть Н\ — это гильбертово пространство (чистых) состояний наблюдаемой квантовой системы — назовем ее системой 1, — гильбертово пространство (чистых) состояний квантовой системы — назовем ее системой 2 — используемой в качестве измерительного устройства. Здесь и везде далее предполагается, что все гильбертовы пространства — комплексные. Чистым состоянием квантовой системы 1 называется ненулевой элемент пространства Н\, причем для произвольных элементы (р и \<р определяют одно и то же состояние системы. Поэтому для описания (чистых) состояний системы 1 можно рассматривать только элементы единичной сферы пространства Н\ (эта сфера обозначается далее как £1). Ниже приводятся два (физически эквивалентных) способа представления смешанных состояний квантовой системы 1. Для каждого гильбертова пространства Н символ £(Н) обозначает пространство линейных непрерывных операторов на Н.

Способ 1. (Случайные векторы Н\) Пусть ¿>+(#1) — это множество положительно определенных ядерных линейных операторов на Н\ с единичным следом. 5+(Я1) называется множеством смешанных состояний квантовой системы 1. Для всех <р,ф € Н\ определим линейный оператор ц> ® ф в Н\ равенством {<р®ф)£ = для каждого £ € Н\. Каноническое отображение 2 : ¿>1 —> 8+(Н\), определяемое соотношением .;'(£) = £ задает вложение множества чистых состояний в множество смешанных состояний системы 1. Рассмотрим теперь более общий случай — пусть оператор Т € 5+(#1) приведен к виду Т = ajej ® егде — ортонормированный базис в Ни а^ > 0 для всех ] и аз = 1 (чистое состояние соответствует случаю а.} = 1 для некоторого Физический смысл смешанного состояния Т сводится к следующему: с вероятностью ах квантовая система находится в чистом состоянии б1, с вероятностью «2 — в чистом состоянии 5 . с вероятностью а] — в чистом состоянии е/,Таким образом, смешанное состояние квантовой системы может быть описано с помощью случайного вектора пространства чистых состояний (иначе говоря, с помощью вероятностной меры на пространстве чистых состояний).

Способ 2. (Чистые состояния в Н\ ® Щ) Второй способ связан с рассмотрением составной (расширенной) квантовой системы. Если (открытая) квантовая система 1 (с пространством чистых состояний Н\) взаимодействует с квантовой системой 2 (с пространством чистых состояний Лг), то согласно одной из аксиом открытых квантовых систем, гильбертово пространство <Е> #2 является пространством (чистых) состояний составной (расширенной) системы. Итак, смешанное состояние открытой квантовой системы 1 — это чистое состояние в Н\ <8> Нч

Всюду далее будет использован первый способ описания смешанных состояний.

В главе 2 приводится обобщение модели Смолянова-Трумена [21], соответствующее непрерывному измерению двух некоммутирующих наблюдаемых. Пусть #1 = #2 = & (Е1) (тогда Н = Нг ® Я2 = Ь2 (М2)). Линейный оператор <? в Н\, заданный равенством (д<р) (д) = для всех <р € Г>ош(^) = {<£> е Ь2(Ж) : [д 9^(9)] £ £2(М)} и д 6 М, называется оператором координаты. Мгновенный процесс измерения координаты — это взаимодействие систем 1 и 2, определяемое так:

0(91,92) =£(91,92-91) где 91, <72 £ М1 и ^ е Н = I? (М2) — состояние расширенной системы до взаимодействия. Таким образом, если до момента измерения системы 1 и 2 не взаимодействовали и их чистые состояния в момент 0 (непосредственно перед измерением) — это элементы (р и ф пространств Н\ и Н2 соответственно5, то сразу после измерения (в момент £) расширенная система (1+2) оказывается в состоянии / е Н, где /(91,92) = ^(91)^(92 — 91) Для всех ц2 6 М1. Согласно статистической интерпретации волновой функций, состояние /

5Так что состояние расширенной системы — это функция <р®С}, определяемая соотношением 1р®<2 : (91,92) ¥>(? 1)<Э(92) для всех <7х,д2 е К1.

6Если квантовая система находится в состоянии <р € /у2(К), то функция д н-► |<р(д)|2 является плотноможет быть задано с помощью вероятностного распределения наЕ2, которое имеет плотность р/ относительно меры Лебега: ^/(<71,(72) = (^\\1р{Ч1)^'\Я{Ч2 — где сх 1 — /Е2 ЫЧ\)\2\Я{Ч2 — Отсюда следует, что распределение случайной величины <72 (называемой результатом измерения) обладает плотностью рд2 = сх^р* |<5|2. Тогда сразу после измерения состояние наблюдаемой системы (в терминах случайных векторов) — это смешанное состояние (р(-)С2((72 — •), причем распределение вероятностей параметра <72 невырождено и имеет плотность рд2 относительно меры Лебега. Таким образом, чистое состояние наблюдаемой системы после взаимодействия с измерительным прибором оказывается смешанным.

Оператор импульса р в Н\ определяется соотношением (р(р) (д) = —^'(<7) для всех ср в Вот(р) = {(р е £2(М) : [я »-»• -гУ(<?)] 6 Ь2(Щ} и ц е М. Пусть Т обозначает оператор преобразования Фурье в Ь2(Ж) ((.Т7^) (р) = /т е~грч<р(я)<1д для каждой функции <р е ь2{Щ п и р е м). Если <р 6 Н\ — это состояние квантовой системы, то функция называется состоянием системы в импульсном представлении; при этом р называется также состоянием в координатном представлении.

Как известно, при применении преобразования Фурье оператор координаты переходит в оператор импульса, поэтому с помощью преобразования Фурье можно легко описать измерение импульса. Пусть непосредственно перед измерением система 1 находилась в состоянии <р £ Н\ в координатном представлении, а система 2 — в состоянии Р е Щ в импульсном представлении. Положим ф = Тц> — состояние системы 1 в импульсном представлении. Сразу после измерения импульса состояние системы 1 в импульсном представлении — это случайный вектор ф(')Р(р2 — ■)> где вероятностное распределение параметра р2 имеет плотность рР2 = С2\ф\2 * |Р|2, С21 = /К2 \Ф{Р\)\2\Р{Р2 — Р\)\2(1р\с1р2- Следовательно, состояние наблюдаемой системы в координатном представлении есть случайный вектор ф =

Предполагается, что у системы 1 вышеописанным способом измеряется стью вероятностного распределения положения частицы. координата в моменты времени = £ 4- (п £ М, к = 0,2,4,. 2п), импульс — в моменты = £ + (пбМ, к = 1,3,5,. 2п — 1). Эволюция системы между измерениями определяется уравнением Шредингера с некоторым гамильтонианом ТС. Нас интересует эволюционное уравнение, соответствующее пределу при п —► оо, а затем и Д£ —* 0 (оно и будет называться стохастическим уравнением Шредингера, соответствующим одновременному непрерывному измерению координаты и импульса). Функции Р и (3 являются параметрами модели и будут специфицированы ниже.

Пусть 7 — трижды непрерывно дифференцируемая неотрицательная функция, заданная на [0, оо), такая, что функции <7 72(#2), ц ь-» 7'(^2)т(^2) иди 7"(<72)7 (<72)<72 интегрируемы по полуоси [0, оо) (например, можно положить 7(9) = е~Ь(1 для любого параметра Ь > 0). Пусть Д£ > 0, А1,А2 > 0 и {Ла}а>о ~ эт0 однопараметрическое семейство функций, определяемое равенством Я,а(д) = 7(а92)- ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО С} = Ях^лг и Р = Да2а<.

2 п 2п

Замечание 2.1. (О точности измерения и об идеальном измерении, ср. [32]) Предположим, что измеряется координата и(^а ч) = (коэффициент перед экспонентой выбран так, что ||фа||.£,2(К1) = 1/ Тогда при а оо измерение стремится к идеальному измерению, соответствующему случаю, когда состояние измерительного аппарата — 5—функция. Замечание 2.2. (Непрерывный предел дискретных измерений) Выше предполагалось, что <5 = Дл!Д{ (по-прежнему Яа{ч2) = е~ач2). То есть мы счи

2 п таем, что точность пропорциональна промежутку времени между измерениями: а = \\У, и = а константа Х\ отражает свойства измерительного устройства.

Действительно, это замечание (которое используется как постулат при построении предела дискретных измерений) означает, что с уменьшением времени между наблюдениями, уменьшается точность. Иначе говоря, если время, которое мы используем для того, чтобы вернуть измерительное устройство в состояние С}, уменьшается, то и 'качество' этого состояния ухудшается, то есть <2 хуже аппроксимирует идеальное состояние прибора —6—функцию.

Следующая теорема содержит эволюционное уравнение, описывающее смешанные состояния системы, подвергающейся непрерывному измерению координаты и импульса.

Теорема 2.5. (Стохастическое уравнение Шредингера) Пусть функция

7 Е С3[0, оо) такова, что функции q >—> 72(<?2), q ь-» 7'(<?2)7(92) и q v->

00 2 q2)l{q2)q2 интегрируемы по полуоси [0,оо), р = ^ J (У(^2)) x2dx, Г = о оо f j2(x2)dx; Ai, А2 > 0 — это параметры, характеризующие точность изме-о рения. Пусть в дискретные моменты времени измеряются координата и импульс — в соответствии с вышеописанной схемой при четныхк наблюдается координата (при этом измерительное устройство описывается вектором состояния q 1—> 7 (^^-q2)) , при нечетных — импульс (вектор состояния измерительного устройства в импульсном представлении — это функция q 7 (Ц'^q2)). Тогда при п —► оо эволюция вектора смешанного состояния наблюдаемой системы описывается стохастическим дифференциальным уравнением: dip = [(-¿ft - ^-g2) <р + dt ~ л/FiqvdBx + y/iHi<p'dB2 (2.6) где m = /?АЬ № = PM; Bx{t) = W^t) - ^ f q(r)dr, B2(t) = W2(t) 0 t yJVi f P(r)dT для всех t > 0, W\ и W2 — независимые винеровские процессы, о a q, р — это квантово-механические средние, соответствующие измерениям координаты и импульса; для каждого t q[t) = щ fRl q\ip(t — 0, q)\2dq, где c(t) = jRl I(p(t — 0,q)\2dq и справедливо аналогичное соотнощение дляр(Ь). Замечание 2.7. Уравнение (2.6) интерпретируется как стохастическое уравнение. В общем случае, пусть Н — гильбертово пространство и рассматривается стохастическое дифференциальное уравнение на Н dip{t) = Aipdt + B(pdX(t), t > 0 (2.7) где для всех t > 0 <p(t) е Н, X(t) = (Xi (t),., Xn(t)), B(t) = {BhBn), A, B\,., Bn — операторы в H, a X\(t),. ,Xn(t) — это вещественнознач-ные мартингалы. Тогда Н-значная случайная функция [£ н-> cp(t)] является решением уравнения (2.7), если для ecext > 0 выполняется следующее интегральное соотношение: t t <p(t) - <р(0) = J Aip(s)ds + J Bcp(s)dX(s) о 0 t где символ f B(p(s)dX(s) обозначает стохастический интеграл. о

Заключительные параграфы главы 2 посвящены представлению решений стохастических уравнений Шредингера с помощью интегралов Фейнмана по траекториям в фазовом пространства^. Представления решений стохастических уравнений Шредингера с помощью интегралов Фейнмана были впервые получены в [21], [6] и [32]. В этих работах интеграл Фейнмана определялся как аналитическое продолжение интеграла по мере Винера (ср. [23]), вследствие чего аналитические требования на начальное условие и потенциал оказались достаточно ограничительны. Кроме этого, в работе [29] получено представление решения стохастического уравнения Шредингера с одномерным белым шумом в предположении, что потенциал и начальное условие задачи Коши являются преобразованиями Фурье счетноаддитивных мер. Этот подход использует определение интеграла Фейнмана с помощью равенства Парсева-ля [17], [30], [24], [23].

Мы используем оригинальное фейнмановское [25], [42] определение функционального интеграла — с помощью предела конечнократных интегралов — и распространяем на вероятностный случай подход, основанный на теореме Чернова [37]. Этот подход был впервые применен в [60] для представления решения уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии и в [58] для представления решения уравнения Шредингера с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве. Далее мы получим представление решения стохастического уравнения Шредингера с помощью рандомизированных интегралов Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве (= рандомизированных гамильтоновых интегралов Фейнмана).

Далее рассматривается стохастическое уравнение Шредингера с двумерным белым шумом, интерпретируемое как стохастическое уравнение Ито мъ = [(-Л* - ^щ? - уМР)2) №\ м

- (2.9) где ТС — это (внутренний) гамильтониан наблюдаемой системы, получающийся г—квантованием классического гамильтониана а к(д) и к{р) — это (некоммутирующие) дифференциальные операторы, соответствующие веще-ственнозначным символам (д,р) > к{д) и (д,р) к{р). Кроме этого, И^,^ — независимые стандартные винеровские процессы и ср(1) Е Ь2(М.) — это случайная (волновая) функция, описывающая эволюцию смешанных состояний наблюдаемой системы. Уравнение (2.9) описывает эволюцию открытой квантовой системы, подвергающейся непрерывному измерению наблюдаемых к(д) и Н(р). Уравнение (2.9) для произвольных функций /г, к и 71 может быть получено методом, аналогичным примененному в параграфах 2.1-2.3. Для этого достаточно выбрать подходящую реализацию гильбертова пространства состояний.

Определение 2.9. Секвенциальным интегралом Фейнмана 1(Р, г) = /<ЭхР° по траекториям в фазовом пространстве х

Р° от функции Р : х Р° С называется предел при п оо (если он существует) конечнократных интегралов

1п(Р, г) = [ Р(Мяо, ■ • •, Чп), Л(ро, • • •, Рп)№о<2ро • • • ¿дп-1(1рп-1 х хе*Ек=оРк(9/=+1-9«:) (2.10) где рп = 0, дп = г и для каждого т Е [0,1] <7Г — это (инъективное) отображение пространства Мп+1 на пространство состоящее из функций, постоянных на каждом из промежутков А; = 1,., п, такое что для всякого набора • • •, дп) £ Мп+1 «/т(до, ■ — ,дп) это функция, принимающая значение (1 —на интервале ^ для каждого к = 1,. , п.

Представление решений стохастических уравнений с помощью интегралов Фейнмана связано с распространением на стохастический случай теоремы

Чернова. Оказывается, что если случайная функция ip : Е+ —> Ь2(Ш) — это решение задачи Коши с начальным условием <ро для стохастического уравнения dp = Äipdt + BipdW(t) (2.13) где А, В — это псевдодифференциальные операторы на L2(M), a W — стандартный винеровский процесс, то при некоторых условиях на Л и Б справедливо соотношение p{t) = lim П hat (e-^+BAWk^A) щ (2.14)

71—ЮО \ / k= 1 где AWk,n = W(tk/n) - W(t(k - 1 )/n) для всех fc = l,.,n,a hat(M) = M. Дополнительные множители под знаком произведения соответствуют формуле Ито. Правая часть (2.14) может быть интерпретирована как стохастический гамильтонов интеграл Фейнмана. Результатом обобщения формул Фейнмана для стохастических уравнений типа Шредингера является следующая теорема.

Теорема 2.17. Пусть вещественнозначные функции h и к принадлежат Ь2(Ж) и ограничены. Кроме этого, ho и ко — это функции Е —>• R, а I Е L2(M2) — вещественнозначная функция u7i(q,p) = ko(q) + hQ(p)+l(q,p) для всех G R. Кроме этого, предполагается, что если {Tj:}0<r<i — это разрешающее семейство операторов, соответствующее уравнению (2.9) с гамильтонианом ТС, получающемся qp— квантованием ТС, то отобраэ/се-ние t н-* i£||To|| дифференцируемо в пуле. Тогда для произвольной функции (ро £ Ь2(Ж) и t > 0 выполняется равенство

T0Vo = J

2.28)

Глава 3 посвящена проблеме собственных значений для (классического) лапласиана Леви (=оператора Леви-Лапласа). Действительные собственные значения лапласиана Леви были найдены в работе Л. Аккарди и О.Г. Смолянова [5] — при этом соответствующие собственные функции были представлены с помощью преобразований Фурье и Лапласа подходящих счетно-аддитивных мер. Мы вводим обобщение этих преобразований (называемое далее си—преобразованием Фурье меры для произвольного а £ С) и показываем, что спектр оператора Леви-Лапласа совпадает со всем множеством комплексных чисел, а соответствующие собственные функции могут быть найдены как а—преобразования Фурье мер. Этот неожиданный результат связан с тем, что лапласиан Леви определен на пространстве функций, заданных на оснащенном гильбертовом пространстве, и допускает различные несамосопряженные расширения.

Более ранние результаты о лапласианах Леви содержатся в статьях Л. Аккарди и О.Г. Смолянова [28], [2], [3], [4], [5] (см. также [45], [50]). Заметим также, что возросший в последнее время интерес к анализу лапласианов Леви в значительной степени связан с появлением работы Л. Аккарди, П. Джибилиско и И.В. Воловича [26] (см. также [8] и [9]), в которой показано, что выполнение евклидовых уравнений Янга-Миллса для 1-формы эквивалентно тому, что ассоциированный с ней параллельный перенос является гармонической функцией лапласиана Леви. В главе 3 описывается достаточно широкий класс гармонических функций лапласиана Леви — показано, что гармонические функции могут быть найдены как а—преобразования Фурье мер и их обобщенных производных, а также в некотором более обширном классе функций.

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Обрезков, Олег Олегович

Заключение

В главе 1 получены формулы Фейнмана (т.е. представления решений соответствующих уравнений с помощью пределов конечнократных интегралов) для двух классов стационарных эволюционных уравнений — задачи Коши для уравнения теплопроводности с потенциалом на компактном римановом многообразии и задачи Коши-Дирихле для уравнения Шредингера с магнитным полем в области евклидова пространства. При этом решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии представлено с помощью поверхностной меры Винера (£-меры Винера). Кроме этого, в этой главе содержится обобщение теоремы Чернова, позволяющее получать формулы Фейнмана для нестационарных эволюционных уравнений.

В главе 2 рассматривается один из важных частных случаев открытых квантовых систем — квантовая система, подвергающаяся непрерывному измерению. В этой главе выведено эволюционное уравнение вектора состояния системы (стохастическое уравнение Шредингера), соответствующее непрерывному измерению двух некоммутирующих наблюдаемых, и получено представление решения этого уравнения с помощью (случайных) интегралов Фейнмана по траекториям в {ЯрВ^ВЯВЯЯКВ фазовом пространству.

Глава 3 посвящена проблеме собственных значений для лапласиана Леви. В частности, в главе 3 показано, что лапласиан Леви допускает различные несамосопряженные расширения и описан достаточно широкий класс гармонических функций лапласиана Леви.

Все эти задачи связаны с представлениями решений регулярных и стохастических дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Обрезков, Олег Олегович, 2005 год

1. Л. Аккарди, П. Розелли, О.Г. Смолянов, Броуновское движение, порождаемое лапласианом Леви, Математические заметки, 54 (1993), 144149.

2. Л. Аккарди, О.Г. Смолянов, Гауссовский процесс, порождаемый лапласианом Леви, и соответствующая ему формула Фейнмана-Каца, Доклады Академии Наук, 342 (1995), 442-446.

3. Л. Аккарди, О.Г. Смолянов, Расширения пространств с цилиндрическими мерами и носители мер, порождаемых лапласианом Леви, Математические заметки, 64 (1998), 483-492.

4. Л. Аккарди, О.Г. Смолянов, Операторы Лапласа-Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах, Математические заметки, 72 (2002), 145-150.

5. Л. Аккарди, О.Г. Смолянов, Представления лапласианов Леви и связанных с ними полугрупп и гармонических функций, Доклады Академии Наук, 384 (2002), 295-301.

6. С. Альбеверио, О.Г. Смолянов, Бесконечномерные стохастические уравнения Шредингера-Белавкина, Успехи математических наук, 52 (1997), вып. 4, 199-201.

7. А.Л. Алимов, О связи между континуальными интегралами и дифференциальными уравнениями, Теоретическая и математическая физика, 11 (1972), N 2, С. 182-190.

8. И.Я. Арефьева, Неабелева формула Стокса, Теоретическая и математическая физика, 43 (1980), 353-356.

9. И.Я. Арефьева, И.В. Волович, Функциональные законы сохранения высших порядков в калибровочных полях, Труды международной конференции 'Обобщенные функции и их приложения в математической физикеМосква: МИАН (1981), 43-50.

10. В.П. Белавкин, О.Г. Смолянов, Интеграл Фейнмана по траекториям, соответствующий стохастическому уравнению Шредингера, Доклады Академии Наук, 360 (1998), N 5, 589-593.

11. Ф.А. Березин, Континуальный интеграл по траеториям в фазовом пространстве, Успехи физических наук, 132 (1980), вып. 3, 497-548.

12. X. фон Вайцзеккер, О.Г. Смолянов, О. Виттих, Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры, Доклады Академии Наук, 371 (2000), N 4, 442-447.

13. X. фон Вайцзеккер, О.Г. Смолянов, О. Виттих, H.A. Сидорова, Поверхностные меры, порождаемые диффузиями на траекториях в римановых многообразиях, Доклады Академии Наук, 377 (2001), N 4, 441-446.

14. Я. Дэвис, О.Г. Смолянов, А. Трумен, Представление функциональными интегралами решений стохастических уравнений Шредингера на компактных римановых многообразиях, Доклады Академии Наук, 373 (2000), N 1, 10-14.

15. М.А. Евграфов, Об одной формуле для представления решения дифференциального уравнения континуальным интегралом // Доклады Академии Наук, 191 (1970), N 5, 979-982.

16. В.Н. Колокольцов, Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами и магнитными полями, Математический сборник, 194 (2003), N 6, 105-126.

17. В.П. Маслов, Комплексные цепи Маркова и интеграл Фейнмана для нелинейных систем, М.: Наука, 1976. В.П.

18. В.П. Маслов, A.M. Чеботарев, Обобщенная мера в функциональном интеграле Фейнмана, Теоретическая и математическая физика, 28 (1976), N 3, 291-307.

19. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 2, М.: Мир, 1978.

20. О.Г. Смолянов, Гладкие меры на группах петель, Доклады Академии Наук, 345 (1995), N 4, 455-458.

21. О.Г. Смолянов, А. Трумен, Уравнения Шредингера-Белавкина и ассоциированные с ними уравнения Колмогорова и Линдблада, Теоретическая и математическая физика, 120 (1999), N 2, 193-207.

22. О.Г. Смолянов, А. Трумен, Формулы Фейнмана для решений уравнений Шредингера на компактным римановых многообразиях, Математические заметки, 68 (2000), вып. 5, 789-793.

23. О.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, Континуальные интегралы, М.: издательство МГУ, 1990.

24. A.B. Угланов, Об одной конструкции фейнмановского интеграла, Доклады Академии Наук, 243 (1978), N 6, 1406-1409.

25. Р. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, М.: Мир, 1968.

26. L. Accardi, Р. Gibilisco, I.V. Volovich, Yang-Mills Gauge Fields as Harmonic Functions for the Levy Laplacians, Russian Journal of Math. Physics, 2 (1994), 235-250.

27. L. Accardi, Y.G. Lu, I.V. Volovich, Quantum theory and its stochastic limit, Berlin: Springer, 2002.

28. L. Accardi, O.G. Smolyanov, On Laplacians and Traces, Confer. Sem. Univ. Bari, 250 (1993), 1-25.

29. S. Albeverio, G. Guatteri, S. Mazzucchi, A representation of the Belavkin equation via phase space Feynman path integrals, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 7 (2004), no. 4, 507-526.

30. S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn, Mathematical Theory of Feynman Integrals, Lecture Notes in Math., 523 (Berlin: Springer, 1976).

31. S. Albeverio, V.N. Kolokol'tsov, O.G. Smolyanov, Quantum Restrictions for Continuous Observation of an Oscillator, Rev. Math. Phys., 9 (1997), no. 6, 907-920.

32. L. Andersson, B.K. Driver, Finite Dimensional Approximations to Wiener Measure and Path Integral Formulas on Manifolds, J. Fund. Anal, 65 (1999), no. 2, 430-498.

33. V.P. Belavkin, Nondemolition Measurements, Nonlinear Filtering and Dynamic Programming of Quantum Stochastic Processes, Proc. Bellman Continuous Workshop, Sophia-Antinopolis, Lecture Notes in Computer and Inform. Sciences, 121 (1988), 245-265.

34. V.P. Belavkin, A New Wave Equation For a Continuous Nondemolition Measurement, Phys. Lett. A, 140 (1989), 355-358.

35. R. Chernoff, A Note on Product Formulas for Operator Semigroups, J. Fund. Anal, 2 (1968), 238-242.

36. R. Chernoff, Product Formulas, Nonlinear Semigroups and Addition of Unbounded Operators, Mem. Amer. Math. Soc., 140 (1974).

37. E.B. Davies, Quantum Theory of Open Systems, London: Academic Press, 1976.

38. E.B. Davies, One-parameter Semigroups, London: Academic Press, 1980.

39. L. Diosi, Continuous Quantum Measurement and Ito Formalism, Phys. Lett. A, 129 (1988), 419-423.

40. P. Exner, Open Quantum Systems and Feynman Integrals, Dubna, 1985.

41. R.P. Feynman, Space-time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys., 20 (1948), 367-387.

42. R.P. Feynman, An Operation Calculus Having Application in Quantum Electrodynamics, Phys. Rev., 84 (1951), 108-128.

43. G.C. Ghirardi, A. Rimini, T. Weber, A Model for Unified Quantum Description of Macroscopic and Microscopic Systems, In: L. Accardi, W. von Waldenfels, Quantum Probability and Applications II, Lecture Notes in Math., 1136 (Berlin: Springer, 1985).

44. T. Hida, K. Saito, White Noise Analysis and the Levy Laplacian, Stochastic Processes in Physics and Engineering (S. Albeverio et al., eds.), Reidel, Dordrecht (1988) 177-184.

45. R.L. Hudson, K.R. Parthasarathy, Quantum Ito's Formula and Stochastic Evolutions, Commun. Math. Phys., 93 (1984), 301-323.

46. N. Ikeda, S. Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North Holland, Kodansha, 1981.

47. M. Kac, On Some Connections Between Probability Theory and Differential Equations, Proc. 2nd Berk. Symp. Math. Statist. Probability (1950), 189-215.

48. M. Kac, Probability and Related Topics in the Physical Sciences, NY: Wiley (Interscience), 1959.

49. H.H. Kuo, N. Obata, K. Saitö, Levy Laplacian of Generalized Functions on a Nuclear Space, J. Fund. Anal., 94 (1990), 74-92.

50. P. Levy, Theorie de l'Addition des Variables Aleatoires, Paris: Gauthier-Villars, 1937.

51. H. McKean, Stochastic Integrals, NY: Acad. Press, 1969.

52. M.B. Mensky, Quantum Restrictions for Continuous Observation of an Oscillator, Phys. Rev., D20 (1979), 384-387.

53. M.B. Mensky, Continuous Quantum Measurements and Path Integrals, Bristol, Philadelphia, 1993.

54. E. Nelson, Feynman Integrals and the Schrödinger Equation, J. Math. Phys., 5 (1964), no. 3, 332-343.

55. B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, NY: Acad. Press, 1979.

56. O.G. Smolyanov, E.T. Shavgulidze, Some Properties and the Applications of Feynman Measures in the Phase Space, Proceedings of the Fourth Vilnius Conference, 2 (1987), 595-608.

57. O.G. Smolyanov, A.G. Tokarev, A. Truman, Hamiltonian Feynman Path Integrals via the Chernoff Formula, J. Math. Phys., 43 (2002), no. 10, 51615171.

58. O.G. Smolyanov, H. von Weizsäcker, Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2 (1999), 51-78.

59. O.G. Smolyanov, H. von Weizsäcker, O. Wittich, Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions, Canadian Math. Society Conference Proceedings, 29 (2000), 589-602.

60. O.G. Smolyanov, H. von Weizsäcker, O. Wittich, Chernoff's Theorem and the Construction of Semigroups, Institute of Biomathematics and Biometrics, GSF-National Research Center for Environment and Health (Neuherberg, Germany), Preprint 01-11 (2001).

61. H.F. Trotter, On the Product of Semigroups of Operators, Proc. Amer. Math. Soc., 10 (1959), 545-551.

62. Список работ автора по теме диссертации

63. О.О. Обрезков, Формула Фейнмана для задачи Коши-Дирихле в ограниченной области, Математические заметки, 77 (2005), вып. 2, 316-320.

64. О.О. Obrezkov, Stochastic Schrödinger Equation with Two-dimensional White Noise, Russian Journal of Math. Physics, 9 (2002), no. 4, 446-454.

65. O.O. Obrezkov, The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian Manifold, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 6 (2003), no. 2, 311-320.

66. O.O. Obrezkov, Solutions of Stochastic Schrödinger Equations via Functional Integrals, Russian Journal of Math. Physics, 12 (2005), no. 1, 49-61.

67. О.О. Обрезков, Стохастическое уравнение Шредингера с многомерным белым шумом, Труды XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, т. II, М.: МГУ, 2003, 178-181.

68. О.О. Обрезков, Представление решения задачи Коши-Дирихле для уравнения Шредингера в виде интеграла Фейнмана, Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, т. И, М.: МГУ, 2004, 145-147.