Новый тип неустойчивости тонкого вихревого кольца в идеальной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Акиньшин Роман Валерьевич

• Акиньшин Роман Валерьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Акиньшин Роман Валерьевич

Введение

Глава 1. Стационарное течение изохронного вихревого кольца в идеальной жидкости

1.1. Постановка задачи нахождения стационарного решения

1.2. Процедура последовательных приближений

1.3. Однородное вихревое кольцо

1.4. Нахождение поля скорости для однородного вихревого кольца

1.5. Вычисление периода обращения жидких частиц по линиям тока

1.6. Изохронное вихревое кольцо

1.7. Сравнение интегральных характеристик однородного и

изохронного вихревых колец

Глава 2. Базисные деформации в задаче о возмущениях ядра

тонкого изохронного вихревого кольца

2.1. Описание возмущений в невязкой несжимаемой жидкости с помощью поля смещения

2.2. Запись уравнений для возмущений в криволинейных координатах

2.3. Базисные деформации

2.4. Базисная деформация е^

2.5. Базисная деформация е^

2.6. Остальные базисные деформации е^^, т ф 1,

Глава 3. Новый тип неустойчивости тонкого

вихревого кольца в идеальной жидкости

3.1. Вычисление скорости на границе ядра вихревого кольца

3.2. Дисперсионное уравнение и собственные частоты

3.3. Энергетический анализ

Заключение

Литература

Приложение A

Приложение B

Приложение С

Приложение D

Приложение Е

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новый тип неустойчивости тонкого вихревого кольца в идеальной жидкости»

Введение

Актуальность темы исследования. Изучение турбулентных сдвиговых течений (отрывные течения, пограничные слои, струи) представляет большой интерес в связи с такими важными практическими вопросами авиации, как снижение аэродинамического шума, подавление турбулентности [1-5]. Несмотря на то, что существует достаточно большое число работ, посвященное исследованию турбулентных сдвиговых течений [6-10], в настоящее время нет ясного понимания процессов, которые ответственны за наиболее важные физические явления, приводящие к турбулентности.

Основные трудности в проблеме описания турбулентных сдвиговых течений связаны прежде всего с нашими ограниченными возможностями в понимании самой турбулентности. Поэтому для понимания различных аэродинамических вопросов [11] необходимо иметь в качестве примера хотя бы одну понятную до конца ситуацию, в которой удается проследить нестационарную динамику из теоретического рассмотрения.

В качестве такого объекта в диссертации предлагается рассматривать вихревое кольцо [12] (рис. 1). Уникальность этого течения состоит в том, что оно легко может быть создано на опыте для экспериментального исследования, допускает теоретическое описание как стационарных, так и колебательных режимов в рамках основных уравнений механики сплошной среды и не подвержено влиянию внешних границ [13-17].

В то же время вихревое кольцо представляет собой 3-мерное течение, в котором проявляются эффекты, связанные с кривизной вихревых линий. Это позволяет исследовать с его помощью многие проблемы, связанные с взаимодействием возмущений, которые являются несвязанными в случае двумерного вихря (вихрь Ранкина). Взаимодействие возмущений приводит к

новым явлениям с точки зрения динамики и акустики вихрей, включая процессы зарождения колебаний, переход к турбулентности в окрестности ядра, связь колебаний ядра со звуковым полем [18-26].

Таким образом, изучение нестационарной динамики вихревого кольца может способствовать пониманию важной практической проблемы снижения аэродинамического шума [27-32]. Поэтому исследование этого основного течения является актуальной задачей.

!

Рис. 1. Фотография вихревого кольца.

Степень разработанности. Вихревое кольцо является хорошо известным объектом динамики жидкости. Его исследования берут начало с позапрошлого века, когда кольцевой вихрь рассматривался в качестве модели в развивавшейся теории атомов [33, 34]. Однако, вследствие чрезвычайной сложности задачи, до настоящего времени получены лишь те из собственных колебаний, структура которых позволяет упростить задачу. При этом использовались осесимметричность возмущений [35-36], коротковолновое приближение [37] или априорные предположения о форме колебаний [38-46]. В работе [47] проводились попытки исследования 3 - мерных колебаний общего вида. Однако при этом использовался ошибочный подход, приводящий, в частности, к решениям, для которых не сохраняется импульс течения. Все перечисленные работы ограничиваются случаем тонкого вихревого кольца ^ 1). В работах [61, 65] впервые рассматривалась задача

о длинноволновых (длина волны порядка размера всего кольца) колебаниях вихревого кольца. В этом случае взаимодействие возмущений является нелокальным. Длинноволновые колебания вихревого кольца имеют своим аналогом колебания цилиндрического вихря (кельвиновские моды вихря Ранкина [65]). Наличие кривизны вихревых линий в вихревом кольце может приводить к слабому (в случае тонкого кольца) взаимодействию возмущений, структура которых аналогична структуре кельвиновских мод цилиндрического вихря.

Другим направлением исследования динамики вихревого кольца являются численные расчеты. В этих работах рассматриваются нелинейные возмущения, возникающие как в отдельном вихревом кольце, так и при столкновении колец. Первые из этих работ ограничивались рамкам теории тонкой вихревой нити, то есть рассматривалась только эволюция средней линии вихря [48-50]. Со временем появились работы, в которых рассчитывались возмущения внутри сечения вихря [51-55]. Сложнейшие картины, приводимые в этих работах, свидетельствуют о многообразии механизмов, ответственных за динамическое поведение вихревого кольца. Недостатком численных результатов является то, что на их основе выделить эти механизмы так же трудно, как на основе экспериментальных наблюдений. Для того, чтобы понять смысл наблюдаемых явлений, необходимо проведение теоретического анализа.

Динамика возмущений вихревого кольца представляет интерес прежде всего с точки зрения теории устойчивости. До настоящего времени известны коротковолновая, акустическая и сдвиговая неустойчивости вихревого кольца. Первая неустойчивость проявляется в несжимаемой жидкости для коротковолновых изгибных мод [37, 56, 57]. В случае коротковолновых трехмерных колебаний, когда длина волны имеет порядок радиус ядра [37, 100], длина волны является дополнительным малым параметром, наличие которого позволяет получить решение, пренебрегая взаимным влиянием

возмущений в удаленных друг от друга областях вихревого кольца. В этом случае можно ограничиться главным членом в разложении стационарного поля по параметру тонкости. Эти возмущения не имеют отношения к излучению звука в силу своей коротковолновости, при этом многие из этих возмущений вообще не имеют колебательного характера, поскольку соответствующие собственные частоты имеют чисто мнимую величину. Акустической неустойчивостью обладают кельвиновские моды вихревого кольца [36, 58]. Эта неустойчивость является разновидностью излучательной неустойчивости для волн отрицательной энергии [59] и может проявляться только в сжимаемой среде. В слабосжимаемой жидкости инкремент этой неустойчивости очень мал, поскольку величина инкремента определяется эффективностью излучения звука вихрем. Известные виды неустойчивости, по-видимому, не являются основными механизмами возбуждения нестационарных пульсаций, и поэтому необходим поиск других, более эффективных механизмов. Следует отметить еще сдвиговую неустойчивость вихревых колец, возникающую в вихревых кольцах при убывающей завихренности вблизи ядра [61] с малым отклонением профиля завихренности от кусочно-постоянного. Для таких течений проявляются эффекты, связанные с возникновением критического слоя [84-90], и в то же время сохраняется возможность применения аналитических методов. Такой подход, в котором рассматриваются течения с профилем завихренности, слабо отличающимися от кусочно-постоянного, используется также в работах [91-93] для исследования колебаний плоских вихревых течений.

Цель работы. Главной особенностью вихревого кольца как колебательной системы является наличие в спектре точек сгущения собственных частот, а также наличие возмущений различного типа, которые в силу кривизны могут взаимодействовать между собой. Основной целью настоящей работы является исследование устойчивости длинноволновых

(длина волны порядка размера всего кольца) колебаний тонкого вихревого

кольца в идеальной жидкости вблизи точек сгущения собственных частот.

Задачи исследования:

• Построение алгоритма решения задачи для стационарного изохронного вихревого кольца методом последовательных приближений.

• Определение базисных деформаций, представляющих собой отклик вихря на колебания его границы заданной формы и частоты.

• Определение скорости смещения границы вихря при заданной деформации области завихренности.

• Получение системы алгебраических линейных уравнений и получение дисперсионного уравнения.

• Исследование устойчивости колебательной системы вблизи точек сгущения собственных частот. Определение инкремента неустойчивости и определение диапазона параметров системы, в которой она является неустойчивой.

• Энергетический анализ колебаний и исследование взаимодействия мод с энергией разного знака вблизи точек сгущения.

Научная новизна:

• Впервые разработан алгоритм получения стационарного течения в ядре вихревого кольца при условии изохронности течения в ядре.

• Разработан метод нахождения базисных деформаций с использованием программ символьной математики.

• Получено дисперсионное уравнение для определения собственных частот колебаний в более высоком приближении по малому параметру, чем в предшествующих работах.

• Обнаружена новая неустойчивость вихревого кольца, которая реализуется в области длинноволновых колебаний.

Теоретическая и практическая значимость работы. В

теоретическом плане изучение динамики вихревого кольца представляет собой одну из фундаментальных проблем гидродинамики. Многие процессы, происходящие в аэродинамических потоках, определяются эволюцией локализованных вихрей и их взаимодействием. Поэтому теоретические исследования в этой области служат основой для понимания широкого круга явлений в механике сплошной среды и могут оказать серьезное влияние на решение важных практических вопросов, связанных со снижением аэродинамического шума, создаваемого сдвиговыми турбулентными течениями. Принципиальным является вопрос, поставленный в работе, о связи колебаний вихрей вблизи точек сгущения спектра собственных частот. Само наличие в спектре колебаний вихревого кольца точек сгущения обнаружено недавно. Исследование структуры спектра вблизи таких точек может приводить не только к обнаружению новых неустойчивостей, но и в перспективе к новому пониманию роли этих точек в динамике вихрей.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись:

• теоретические методы: теория вихревых течений в идеальной жидкости, теория интегрального и дифференциального исчисления, тензорный анализ.

• использование программ символьной математики.

Положения, выносимые на защиту:

• Стационарное решение для тонкого изохронного вихревого кольца в идеальной жидкости получается с помощью модификации процедуры Френкеля.

• Базисные деформации находятся с помощью математического аппарата поля смещения и определяют внутреннее решение в области ядра вихревого кольца в задаче о малых вынужденных колебаниях.

• Длинноволновые собственные колебания изохронного вихревого кольца оказываются неустойчивыми. Данная неустойчивость является результатом взаимодействия мод с различным знаком энергии вблизи точки сгущения собственных частот. Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатов диссертационной работы обеспечена использованием современных и классических теоретических методов исследования, совпадением результатов в частных случаях с известными в литературе решениями и публикацией результатов в рецензируемых журналах.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. XXVII научно-техническая конференция по аэродинамике, п. Володарский, 2016 г.

2. 59-я научная конференция МФТИ, Жуковский, 2016 г.

3. Конференция, посвященная 75-летию со дня основания СибНИА, Новосибирск, 2016 г.

4. Вторая Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Акустика среды обитания» (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана - 2017).

5. Всероссийская конференция с международным участием "Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященная 60-летию Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2017 г.

6. XXVIII научно-техническая конференция по аэродинамике, п. Володарский, 2017 г.

7. Пятая открытая всероссийская конференция по аэроакустике, Звенигород, 2017 г.

8. 60-я научная конференция МФТИ, Жуковский, 2017 г.

9. Третья Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Акустика среды обитания» (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана - 2018).

10. Всероссийская конференция молодых ученых механиков, Сочи, 2018 г.

11. Четвертая Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Акустика среды обитания» (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана - 2019).

12. 12-ый Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 2019 г.

13. Шестая открытая всероссийская конференция по аэроакустике, Звенигород, 2019 г.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертационного исследования изложены в 13 научных публикациях, из них 3 статьи опубликованы в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus.

Личный вклад автора. В диссертации приведены результаты, полученные автором лично или при его непосредственном участии. Научный руководитель принимал участие в формулировке постановок задач и обсуждении полученных результатов. Автором разработаны и реализованы оригинальные методы для решения поставленных задач. Автор лично представлял полученные результаты на научных конференциях и готовил к публикации научные статьи.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Общий объем диссертации 99 страницы, включая 8 рисунков и 5 приложений. Список литературы включает 109 наименований.

Глава 1. Стационарное течение изохронного вихревого кольца

в идеальной жидкости1

В настоящей главе исследуются стационарные решения в задаче о тонком вихревом кольце в невязкой несжимаемой жидкости в безграничном пространстве. Как известно, вихревое кольцо представляет собой вихревой тор, вместе с которым перемещается эллипсоидальный объем жидкости, называемый атмосферой кольца [60, 61]. В области атмосферы течение потенциально в случае ламинарного вихревого кольца, а в случае турбулентного кольца область атмосферы заполнена турбулентными возмущениями.

Одно из первых подробных описаний модели вихревых колец можно найти, например, в [62], где рассматривается, прежде всего, самоперенос вихревой нити, свернутой в кольцо. Описание вихревого кольца, как тонкой кольцевой нити в идеальной жидкости, имеет качественное соответствие с известным гидродинамическим явлением и позволяет связать средние параметры вихря - его размеры и циркуляцию, со скоростью поступательного движения. В случае ламинарного кольца в идеальной жидкости эти параметры остаются неизменными при движении вихря, т.е. такой вихрь живет неограниченно долго, не изменяясь по форме и по скорости. Стоит отметить и другие работы [63, 64], в которых рассматривались различные распределения завихренности по сечению кольца.

Френкель в работе [63] показал существование и единственность решения для стационарного тонкого вихревого кольца. Решение получается путем преобразования 2-мерного вихревого течения с круговыми линиями тока в плоскости и заданным распределением завихренности по радиусу к 3-мерному течению с некоторым другим распределением завихренности по

Результаты данного раздела опубликованы в работах [67-71].

ядру в осевой плоскости кольца. Это преобразование, переводящее двумерный вихрь в вихревое кольцо, строится в виде разложения по параметру тонкости вихревого кольца. Позже, в работе [65], были приведены примеры решения этой задачи для нескольких распределений завихренности по ядру вихревого кольца. В частности, для однородного вихревого кольца (согласно [66], так называется кольцо, завихренность в котором пропорциональна расстоянию до оси симметрии) исходным двумерным течением является вихрь с постоянной завихренностью. Для этого течения в [65] были получены члены разложения поля скорости и формы границы вплоть до второго порядка включительно. Исходное двумерное течение в ядре вихря представляет собой твердотельное вращение (периоды обращения жидких частиц на разных линиях тока одинаковы). Однако получаемое по процедуре Френкеля вихревое кольцо не является изохронным [65], т.е. процедура Френкеля не сохраняет свойства изохронности течения.

Целью настоящей главы является построение алгоритма решения задачи для изохронного вихревого кольца. Важность исследования этого течения связана с тем, что все нетривиальные колебания изохронного вихревого кольца относятся к дискретному спектру, а кольца с другими распределениями завихренности обладают также и непрерывным спектром. Это означает, что с точки зрения задачи устойчивости изохронное вихревое кольцо является простейшим 3-мерным вихревым объектом, и поэтому представляется естественным выбрать именно такое кольцо в качестве первичного объекта исследования.

В связи с тем, что конкретное двумерное течение с круговыми линиями тока, которое переходит в изохронное вихревое кольцо, заранее не известно, потребовалась существенная модификация процедуры Френкеля, связанная с вычислением 2-мерного распределения завихренности на каждом шаге итерационной процедуры. Различие между течениями с однородным и изохронным распределениями проявляются лишь в высших порядках

разложения, что дает возможность выбрать однородное распределение в качестве отправной точки процедуры построения решения для изохронного кольца. В дальнейшем, для исследования колебаний изохронного вихревого кольца вблизи точки сгущения собственных частот, потребуются члены более высокого порядка по параметру тонкости, в отличие от [65], где были получены только члены второго порядка.

С этой целью в разделе 1. 1 приводится постановка задачи нахождения стационарного течения. В разделе 1.2 описывается процедура последовательных приближений, в которой приводится преобразование заданного распределения завихренности в плоском течении с круговыми линиями тока к стационарному вихревому кольцу в виде разложения по параметру тонкости кольца. В разделе 1.3 описывается однородное вихревое кольцо, которое получается путем преобразования двумерного вихря с постоянной завихренностью в вихревое кольцо с однородным распределением, в котором модуль завихренности пропорционален расстоянию от оси симметрии. Для этой задачи найдены следующие, не полученные ранее члены разложения. В разделе 1.4 находится поле скорости для однородного вихревого кольца. В разделе 1.5 выводится формула для вычисления периода обращения жидких частиц по линиям тока, также показано, что кольцо с однородным распределнием завихренности не является изохронным. Раздел 1.6 посвящен описанию процедуры нахождения изохронного вихревого кольца, в котором периоды обращения для всех жидких частиц в вихревом ядре одинаковы. В разделе 1.7 проводится сравнение интегральных характеристик однородного и изохронного вихревых колец.

1.1. Постановка задачи нахождения стационарного решения

Рассматривается движение вихревого кольца в идеальной несжимаемой жидкости. В работе используется система отсчета, движущаяся вместе с

вихревым кольцом. В этой системе определяются цилиндрические координаты с осью, совпадающей с осью вихревого кольца, а также

полярные координаты р, ф в поперечном сечении вихревого кольца с центром в точке остановки течения (рис. 2).

Рис. 2. Ядро вихревого кольца и две системы координат: цилиндрическая система (г) , с осью Oz и полярная - (р, ф) в сечении вихревого кольца плоскостью OzO', с центром в

застойной точке О'

С учетом осесимметричности течения компоненты вектора скорости выражаются через функцию тока у

v ( г, г )

1 ду 1 ду

г & ' 'г дг

(1.1)

Функция тока может быть выражена через завихренность в соответствии с уравнением [62]

у(г, г) = -1Ж 'г2 +

2л

cos

(0)

(1.2)

[(z- z ' )2 + г2 + г'2 - 2гг' ^(0)]1/2

d 0

где ю - контравариантная компонента завихренности. В этом уравнении скорость поступательного движения кольца как целого Ж и область ядра

вихревого кольца а являются неизвестными и определяются в процессе решения задачи.

Для стационарного поля завихренности П = ( 0, ю,0) уравнение Гельмгольца имеет вид (vV) П = 0. С учетом осесимметричности это уравнение записывается в виде v • grad (ю/ r) = 0, откуда следует ю / r = F (у), где у определена в (1.2). В частности, для однородного распределения завихренности F(у) = const.

Рассматривая тонкие вихревые кольца, введем малый параметр s ^ 1, как отношение размера ядра вихревого кольца a0 к радиусу R этого кольца. Аналогично [63] определим координаты S,ф, где sRS = р. Эти координаты

связаны с цилиндрическими координатами с осью z, совпадающей с осью кольца, соотношениями

r (s, S, ф) = R (1 -eS cos ф), z (s, S, y) = sSR sin ф (1.3)

Зададим линии тока в вихревом кольце с помощью параметра s, так что на линиях тока s = const, 0 < s < 1, а величина s = 1 соответствует границе вихревого ядра

S = s + q(s,s^) (1.4)

Линии тока в тонком вихревом кольце близки к круговым кривым, т.е. величина q является малой поправкой. Преобразование (1.4) аналогично преобразованию двумерных вложенных концентрических окружностей в линии тока вихревого кольца, которое использовалось в работах [63, 65].

Следуя [63], представим азимутальную компоненту завихренности в виде с/r = Q( s, s) / R, s < 1, а функцию тока, как y = s2R3 (^(s, s) + B(s)), где Q( s, s ) = Q0 (s) + sQ1 (s) +...

2л 1 /

5 ) = — Л 1п -г О(е, У) 5 ' сЫ й ф' 2л 0 0 Р - 8 I

(1.5)

Здесь ^ - функция тока двумерного течения с круговыми линиями тока и завихренностью О(е, у). В зависимости от выбора двумерного

распределения завихренности е, у), следуя процедуре Френкеля [67]

можно получить единственным образом стационарные решения для вихревого кольца. В отличие от процедуры Френкеля, поле завихренности е, ы) представлено в виде ряда по степеням е для возможности

включения поля завихренности в итерационную процедуру при получении решения для изохронного вихревого кольца.

Перейдем в (1.2) к координатам s, ф. В результате получим

1 2

¥( ы ) + В (е) = - - W (е)(1 -е( у + q) соб ф)

+

1 2л 1 /

+°(е, 5 + q, Ф,б '+ Ч ' , ф')

2л 0 0 V

+* ¥1л

ы ' А аы '

О' УйУй ф'

(1.6)

G(е,S, ф, Б' , ф') = — г1'2 (е, 5, ф) г'3/2 (е, 5, ф)

^2 л

R

- k

\\k у

2

Е (k)-2 к (k)

к

4г (е, 5, ф) г (е, 5, ф')

]/ (г(е,5' ,ф') + г(е,5,ф)) + (г(е,5',ф') - г(е,5,ф))

где Е (к) и К (к) - эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, * = * (еУ ,ф'), W (е ) = W' / (е2 R).

Представим величины в уравнении (1.6) в виде разложения в ряд по параметру тонкости е. При этом мы будем относить к членам п-го порядка

как члены вида е", так и члены вида s" Ins. В результате получим следующие выражения:

B (е) = Х Bmz

&

m

m"'

m=0

1 2 & 2 W (s)(l -e( s + q ) cos ф) = XWX

m=0

q (s s )=Z qms m

m=1

&

Q(s, S) = X^mS

m=1

&

*(S, S ) = Z^ mS™

m=1

Используя условие постоянства параметра я на линиях тока и независимость левой части уравнения (1.6) от координаты р, получим секулярные уравнения для нахождения искомых поправок к форме линий тока стационарного течения qn (я,р(, которые в дальнейшем для краткости

будут обозначаться qn, и констант Вп (в) и Жп (в). Задача нахождения конкретного решения при заданном распределении завихренности в двумерной задаче я( состоит в получении величин q, В, Ж.

1.2. Процедура последовательных приближений

Пусть известны все поправки к форме границе, вплоть до qn_1. Представим интеграл в формуле (1.6) в виде разложения

1 2л 1 f q'\f Aq'\

I = — f fG(s,s + q,ф,s' + q>') 1 + 2- 1 + Q's'ds'd^: 2лJ J c' '

0 0 v s у

ds'

(1.7)

2

= 10 + sI1 + s 12 +..

Используя представление (1.7) и выделяя отдельно в подынтегральном выражении члены зависящие от еще не найденного приближения *п и

имеющие порядок еп, по аналогии с работой [65], можно получить:

1п = ° ()+нп (ql,..., *п-1)

(1.8)

Q (*) = -1Т[ [ ^ * + ^ * +

2л V йы йы'

Г + 1п

- 2

\ьу у

< + М

у' дУ

О0 УйУй ф'

уу

н (ql,..., -1)

1 2 л 1 [ п—1 п—1 Л

— Л G [у + ' + , е

2л 0 0 V г =1 г =1 У

Г п-1 Л 1 + ^-

п-1 Л

д^е*'

1 + -*=-

дУ

а у ¿у а ф'

где О'0 - нулевой член в разложении завихренности по параметру

е нп (qx,..., *п-1)

- п - й

член разложения Нп (*1,..., *п-1) и Г = - 1п|б-б ' |.

Представим выражение Qn (*п) в виде двух слагаемых (линейного оператора и константы)

Оп ( *п ) = Lqn + С ( *п)

(1.9)

2 л 1 2л 1 ЛСЛ?

2ль*п = *п 11—а 0 у ¿у ¿ф' -1 |г*п —^ у ¿у ¿ф' + <а (1) С ¿ф

ио

00

00

¿у'

У '=1

2л 1

2лС() = 11( 1п(8 / е) - 2)(/ у ' + д^п / ду ')О'0у ¿ы'¿ф'

00

у

Заметим, что указанный линейный оператор сильно упрощается в случае однородной завихренности (О0 / ¿ы' = 0).

Используя (1.9), (1.8) и (1.6), получим уравнение для определения поправки к форме границы qn через поправки q1,...,qn_1, найденные в предыдущих приближениях:

* п ( * ) + Вп (в(_ Lqn = Hn ( q1.....qn_x (_ Wn ( qn_x ( + С ( qn ( (1.10)

Последовательное вычисление Нп(q1,...,qn_1 ( и решение уравнений

(1.10) позволяет определить преобразование координат, а, следовательно, и решение с любой заданной точностью, для любого заданного распределения завихренности.

1.3. Однородное вихревое кольцо

Для однородного вихревого кольца распределение завихренности в ядре кольца задается до проведения итерационной процедуры и определяется как *( = П0. Для этого случая в соответствии с разделом 1.2 найдем

преобразование координат (1.4) с точностью до членов ~ б

п 5 2 2

6 = * + — 8* COSф + 8

8

97 *3 256

+ cos(2ф (

101*3 * г +

V

256 64

8

15 _ 241п—

V 8

+

(111)

+8" + О ( 84 (

V 64 ч

8

15 + 56*2 _ 241п— 8

Г

cosф +

2

1024

8

291 + 322*2 _ 4081п-

V 8 У

cos3ф

Зная преобразование (1.11), установим форму границы ядра вихревого кольца. Полагая * = 1 и переходя в размерные координаты, получим

(

ГЬоиМ = 8К

5

1 + 8—соэф + 8 q2 + 8 qз 8

Л , ( 97 (161 3 8 ^ „ ^

q2 = -+1---1п— cos2ф

У2 256 256 8 8.

, ((71 3 8 ^ ( 613 51 , 8 ^

q3 =---1п— cosф +---1п—

3 " ° - ,1024 128 8,

---1п-

V 64 8 8

cos3ф

1

Заметим, что малый параметр б , по которому велось разложение решения, до сих пор не определен однозначно, в силу того, что сама форма вихревого ядра определяется в процессе решения. Для определения этого параметра вычислим площадь поперечного сечения вихревого кольца П:

( 61 П = кЯ2 9 461

■' + 84Й + О ( 86 ))

64

После вычисления площади сечения ядра удобно переопределить малый параметр задачи. Введем характерный размер сечения вихревого ядра а, таким образом, что площадь круга равна площади поперечного сечения:

па2 = П (1.12)

Введем новый параметр малости ^ = а / Я, который имеет геометрическую интерпретацию - отношение радиуса круга равного по площади поперечному сечению к радиусу вихревого кольца. Используя новый параметр тонкости, также определим новые координаты 6 ,р аналогичным (1.4) образом

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Акиньшин Роман Валерьевич, 2019 год

Литература

1. Мунин А. Г., Кузнецов В. М., Леонтьев Е. А. Аэродинамические источники шума. Машиностроение - 1981. - 248 с.

2. Голдстейн М. Е. Аэроакустика. М.: Машиностроение - 1981. - 295 с.

3. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз - 1960. -716 с.

4. Жигулев В. Н., Тумин А. М. Возникновение турбулентности. Новосибирск, Наука - 1987. - 282 с.

5. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск, Наука. Сиб. Отд-ние - 1981. - 152 с.

6. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, т. 1. М.: Наука - 1965. - 639с.

7. Крайтон Д. Акустика как ветвь гидромеханики. В кн.: Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир - 1984 - с. 359 - 412.

8. Хо Ши Мин, Уэрре П. Возмущения в свободных сдвиговых слоях. // В сб.: Механика. Новое в зарубежной науке. №42. Нелинейные волновые процессы. М.: Мир - 1987 - с. 72 - 138.

9. Goldstein M. E. Aeroacustics of turbulent shear flows. // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1984 - v. 16 - p. 263 - 285.

10. Никитин Н. В., Пиманов В. О. Локализованные турбулентные структуры в круглой трубе // Ученые записки Казанского университета - 2015 - т 157 - кн. 3.

11. Александров В. Г., Осипов А. А. Численное моделирование нестационарного аэродинамического взаимодействия двух плоских решеток профилей. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2006 - том 46 -№6 - с 1114-1127.

12. Гайфуллин А. М. Вихревые течения. М.: Наука - 2015.

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Ахметов Д. Г., Вихревые кольца - г. Новосибирск: Гео - 2007.

Алексеенко С. В., Куйбин П. А., Окулов В. Л. Введение в теорию

концентрированных вихрей. - СО РАН, г. Новосибирск - 2003.

Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат - 1947. - 928 с.

Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости. М.: Мир - 1973. - 760 с.

Вилля Г. Теория вихрей. М.: ОНТИ - 1936. - 266 с.

Луговцов Б. А. О движении турбулентного вихревого кольца и

переносе им пассивной примеси. // В сб.: Некоторые проблемы

математики и механики. Л.: Наука - 1970 - с. 76 - 93.

Maxworthy T. The structure and stability of vortex rings. // J. Fluid Mech. -

1972 - v. 51 - p. 15 - 32.

Maxworthy T. Turbulent vortex rings. // J. Fluid Mech. - 1974 - v. 64 (2) -p. 227.

Владимиров В. А., Тарасов В. Ф. Структура турбулентности вблизи ядра кольцевого вихря. // ДАН СССР - 1979 - т. 245 - №6 - с. 13251328.

Maxworthy T. Some experimental studies of vortex rings. // J. Fluid Mech. -1977 - v. 81 - p. 465-489.

Glezer A. Coles D. An experimental study of a turbulent vortex ring. // J. Fluid Mech. - 1990 - v. 211 - p. 243-284.

Auerbach D. Stirring properties of vortex rings. // Phys. Fluids - 3 (5) A -pt. 2 - 1991 - p. 1351-1385.

Зайцев М. Ю., Копьев В. Ф., Мунин А. Г., Потокин А. А. Излучение звука турбулентным вихревым кольцом. // ДАН СССР - 1990 - т. 312 -№5 - с. 1080-1083.

Kopiev V. F. On the acoustic radiation nature of a turbulent vortex ring. // DGLR/AIAA Paper - 92-02-057.

Ribner H. S. The generation of sound by turbulent jets. // Adv. In Appl. Mech. - 1964 - v. 8 - p. 103-182.

28. Кузнецов В. М., Мунин А. Г. Шум соосных струй. Изотермические струи. // Акуст. Журн. - 1978 - т. 24 - №6 - с. 878-886.

29. Лямшев Л. М. К расчету акустического излучения турбулентного аэродинамического потока. // Акуст. журн. - 1960 - т. 6 - №4 - с. 472478.

30. Смоляков А. В. Интенсивность акустического излучения турбулентного пограничного слоя на пластине. // Акуст. журн. - 1973 -т. 19 - №2 - с. 251-256.

31. Bridges J., Hussain F. Direct evaluation of aeroacoustic theory in a jet. // J. Fluid Mech - 1992 - v. 240 - p. 469-501.

32. Копьев В. Ф., Зайцев М. Ю., Рыбаков В. И. и др. Техника и методика визуализации и высокоскростной кинорегистрации нестационарных процессов в ядре турбулентного вихревого кольца. // Сиб. Физико -Техн. Журн. - 1992 - №2 - стр. 54-61.

33. Thomson Sir William J. Vibration of a columnar vortex. // Phil. Mag. - 1880

- v. 10 - ser. 5 - p. 155-168.

34. Thomson J. J. A treatise on the motion of vortex rings. London: Macmillan -1883 - 124 p.

35. Basset A. B. A treatise on hydrodynamics. v. 2. N. Y.: - 1961 - 328 p.

36. Копьев В. Ф., Леонтьев Е. А. Излучение и рассеяние звука вихревым кольцом. // Изв. АН СССР. МЖГ - 1987 - №3 - с. 83-95.

37. Widnall S. E., Tsai C .Y. The instability of a thin vortex ring of constant vorticity. // Phil. Trans. R. Soc. London - 1977 - v. 287A - №1344б - p. 273-305.

38. Widnall S. E., Sullivan Y. P. On the stability of vortex rings. // Proc. R. Soc. London - 1973 - v. 332A - №1590 - p. 335-353.

39. Crow S. C. Stability theory for a pair of trailing vortices. // AIAA J. - 1970

- v. 8 - №12 - p. 2172-2179.

40. Widnall S. E., Bliss D., Zalay A. Theoretical and experimental study of the stability of a vortex pair. - in: Aircraft Wake Turbulence and its Detection. N. Y., L.: Plenum press - 1971 - p. 305-338.

41. Moore D. W., Saffman P. G. The motion of a vortex filament with axial flow. // Phil. Trans. Roy. Soc. London - 1972 - v. 272A - p. 403-429.

42. Уиднелл Ш. Структура и динамика вихревых нитей. // В сб.: Механика. Новое в зарубежной науке. №21. Вихревые движения жидкости. М.: Мир - 1979 - с. 126-159.

43. Lundgren T. S., Ashurst W. T. Area - varying waves on curve vortex tubes with application to vortex breakdown. // J. Fluid Mech. - 1989 - v. 200 - p. 283-307.

44. Fukumoto Y., Miyazaki T. Three - dimensional distortions of a vortex filament with axial velocity. // J. Fluid Mech. - 1991 - v. 222 - p. 311-338.

45. Marshall J. S. A general theory of curved vortices with circular cross -section and variable core area. // J. Fluid Mech. - 1991 - v. 229 - p. 311338.

46. Marshall J. S. The effect of axial stretching on the three - dimensional stability of a vortex pair. // J. Fluid Mech. - 1992 - v. 241 - p. 403-419.

47. Ладиков Ю. П. Магнитно - вихревые кольца. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение - 1960 - №4 - с 7-13.

48. Dhanak M. R., de Bernardins B. The evolution of an elliptic vortex ring. // J. Fluid Mech. - 1981 - v. 109 - p. 189-216.

49. Dhanak M. R. Interaction between a vortex filament and an approaching rigid sphere. // J. Fluid Mech. - 1981 - v. 110.

50. Lin C. H., Tavantzis J., Ting L. Numerical studies of motion and decay of vortex filaments. // AIAA J. - 1986 - v. 27 - №8 - p. 1290-1297.

51. Melander M. V., Hussain F. Cross - linking of two antiparallel vortex tubes. // Phys. Fluid - 1989 - v. IA - p. 630-632.

52. Kida S., Takaoka M., Hussain F. Reconnection of two vortex rings. // Phys. Fluid - 1989 - v. IA. - P. 630-632.

53. Kida S., Takaoka M., Hussain F. Collision of two vortex rings. // J. Fluid Mech. - 1991 - v. 230 - p. 583-646.

54. Camberlain J. P., Lin C. H. Navier - Stokes calculations for unsteady three -dimensional vertical flows in unbounded domains. // AIAA J. - 1985 - v. 23. - №6 - p. 868-874.

55. Zawadski I., Aref H. Mixing during vortex ring collisions. // Phys. Fluid -

1991 - №5(2) - p. 1405-1410.

56. Widnall S. E., Bliss D. B., Tsay S. Y. The instability of short waves on a vortex ring. // J. Fluid Mech. - 1974 - v. 66 - №1 - p. 35-47.

57. Saffman P. G. The number of waves on unstable vortex rings. // J. Fluid Mech. - 1978 - v. 84 - p. 625.

58. Копьев В. Ф., Леонтьев Е. А. Энергетический аспект акустической неустойчивости некоторых стационарных вихрей. // Акуст. Журн. -1985 - №3 - с. 348-352.

59. Островский Л. А., Рыбак С. А., Цимринг Л. Ш. Волны отрицательной энергии в гидродинамике. // УФН - 1986 - т. 150 - с. 417-437.

60. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука - 1977 - 407 с.

61. Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Колебания вихревого кольца, возникновение в нем турбулентности и генерации звука // УФН - 2000.

- Т. 170. - № 7. - С. 713-742.

62. Fraenkel L. W. On steady vortex rings of small cross - section in an ideal fluid. // Proc. Roy. Soc. London - 1970 - v. 316A - p. 29-62.

63. Fraenkel L. W. Examples of steady vortex ring of small cross - section in an ideal fluid. // J. Fluid Mech. - 1972 - v. 51 - №1 - p. 119-135.

64. Norbury J. A family of steady vortex rings. // J. Fluid Mech. - 1973 - v. 57

- p. 417-431.

65. Kopiev V. F., Chernyshev S. A. Vortex ring eigen-oscillations as a source of sound // J. Fluid Mech. - 1997. - V. 341. - P. 19-47.

66. Saffman P. G. 2000 Vortex Dynamics // Cambridge University Press.

67. Акиньшин Р. В., Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Стационарное вихревое кольцо с изохронным течением в вихревом ядре // Изв. РАН МЖГ. - 2018 - №2. - С. 50-61.

68. Kopiev V. F., Chernyshev S. A., Akinshin R. V., Yudin M. A. The study of stationary flow in the core of thin vortex ring // J. Phys.: Conf. Ser. - 2017 -894 - 012122.

69. Акиньшин Р. В., Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Стационарное течение для вихревого кольца с однородной завихренностью // В сборнике: Материалы XXVII научно-технической конференции по аэродинамике Центральный Аэрогидродинамический институт имени проф. Н.Е.Жуковского (ЦАГИ). - 2016. - С. 23-24.

70. Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Акиньшин Р. В., Юдин М. А. Стационарное движение тонкого изохронного вихревого кольца // Тезисы докладов пятой открытой всероссийской (XVII научно-технической) конференции по аэроакустике. - 2017. - С. 194.

71. Акиньшин Р. В., Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Алгоритм нахождения стационарного течения для изохронного тонкого вихревого кольца // Материалы XXVIII научно-технической конференции по аэродинамике. - 2017. - С. 23.

72. Drazin P. G., Raid W. H. Hydrodynamics stability (Second Edition). Cambridge: Cambridge University Press. - 2004. - p. 605.

73. Милн - Томсон Л. М. Теоретическая гидромеханика. М.: Мир - 1964.

74. Арнольд В. и. Вариационный принцип для трехмерных стационарных течений идеальной жидкости. // ПММ - 1965 - т. 29 - №5 - с. 846-851.

75. Копьев В. Ф., Леонтьев Е. А. Акустическая неустойчивость плоских вихревых течений с круговыми линиями тока. // Акуст. журн. - 1988 -т. 34 - №3 - с. 475-480.

76. Moffat H. K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrary complex topology. I. Fundamentals. // J. Fluid Mech. - 1985 - v. 159.

77. Moffat H. K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrary complex topology. I I. Stability consideration. // J. Fluid. - 198б -v. 1бб - p. 359-378.

78. Linden - Bell D., Katz J. Isocirculational flows and their Lagrangian and energy prinsiples. // Proc. R. Soc. London - 1981 - v. 378 - №1773.

79. Акиньшин Р. В., Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин M. А. Базисные деформации в задаче о возмущениях ядра тонкого, изохронного вихревого кольца // Изв РАН MЖГ. - 2018 - №5. - С. 52-б3.

80. Акиньшин Р. В., Юдин M. А., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Получение высших приближений в задаче о возмущении тонкого изохронного вихревого кольца // Тезисы докладов пятой открытой всероссийской (XVII научно-технической) конференции по аэроакустике. - 2017. - С. 19б.

81. Акиньшин Р. В., Юдин M. А. Базисные деформации в задаче о возмущении изохронного вихревого кольца // Mатериалы XXVIII научно-технической конференции по аэродинамике. - 2017. - С. 24.

82. Акиньшин Р. В., Юдин M. А., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Базисные деформации в задаче о возмущении стационарного движения тонкого изохронного вихревого кольца в невязкой, несжимаемой жидкости // Акустика среды обитания. Сборник трудов Второй Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов. - 2017. - С. 25-33.

83. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теоретическая физика Т. б Гидродинамика. M.: Наука - 198б.

84. Арнольд В. И. Об условии нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости // Докл. АН СССР. - 19б5. - Т. 1б2. - № 5. - С. 975-978.

85. Дим Г., Забуски Н. Стационарные V - состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение. - В кн.: Солитоны в действии. M.: Ыир - 1981.

86. Zabuski N. J., Huges M. H., Roberts K. V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions. // J. Comput. Phys. - 1979 - v. 30 - p. 96 -106.

87. Dritchel D. G. The nonlinear evolution of rotating configuration of uniform vorticity. // J. Fluid Mech. - 1986 - v. 172.

88. Леонтьев Е. А. Солитонные решения в динамике вихревого движения несжимаемой жидкости. - В кн: Докл. УП научн. - техн. конференции по аэроакустике. М.: изд. ЦАГИ - 1981 - с. 33-35.

89. Копьев В. Ф., Остриков Н. Н. О нелинейной динамике вихря Кельвина. - В кн.: Теоретические и экспериментальные исследования потоков жидкости и газа. М.: - 1985.

90. Рэлей Дж. Теория звука, т. 2. М.: ГИТТЛ - 1955. - 475с.

91. Линь Цзя - цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ -1958. - 199 с.

92. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир - 1971. - 350 с.

93. Miles J. W. On the generation of surface waves by shear flows. // J. Fluid -1957 - v. 3 - №2 - p. 185.

94. Андронов А. А., Фабрикант А. Л. Затухание Ландау, ветровые волны и свисток. - В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука - 1979 - с. 68 - 104.

95. Фабрикант А. Л. Резонансное взаимодействие звуковых волн с плоскопараллельным потоком. // Акуст. журн. - 1976 - №1 - с. 107114.

96. Takehiro S., Hayashi Y. Over-reflection and shear instability in a shallow-water model. // J. Fluid Mech - 1992 - v. 236 - p. 259 - 279.

97. Миронов М. А., Сазонов И. А. К проблеме волн дискретного спектра в сдвиговых течениях со знакопостоянной кривизной профиля. // Прикладная математика и механика, т. 53, вып. 6 - 1989 - с. 939 - 947.

98. Данилов С. Д. Об акустической неустойчивости течений с круговыми линиями тока. // Акуст. журн., т. XXXY, вып. 6 - 1989 - v. 189 - p. 117— 134.

99. Lerner J., Knobloch E. The long - wave instability of a defect in a uniform parallel shear. // J. Fluid Mech - 1988 - v. 189 - p. 117-134.

100. Fukumoto Y., Hattori Y. Curvature instability of a vortex ring. // J. Fluid Mech. - 2005 - vol. 526 - p. 77-115.

101. Акиньшин Р. В., Юдин М. А., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Исследование устойчивости вихревого кольца в невязкой, несжимаемой жидкости // Акустика среды обитания. Сборник трудов Третьей Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов.

- 2018. - С. 23-34.

102. Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Акиньшин Р. В., Юдин М. А. О новой неустойчивости вихревого кольца в невязкой, несжимаемой жидкости // Тезисы докладов: «Всероссийская конференция молодых ученых механиков» (YSM-2018) - 2018. - C. 32.

103. Акиньшин Р. В., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. О снятии вырождения собственных частот вихревого кольца с учетом кривизны вихревых линий // Акустика среды обитания. Сборник трудов Четвертой Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов. - 2019.

- С. 25-29.

104. Акиньшин Р.В., Копьев В.Ф., Чернышев С.А. Новая неустойчивость тонкого вихревого кольца в идеальной жидкости // Аннотации докладов: XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - 2019. - С. 110.

105. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука - 1974.

106. Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. М.: Наука -1983.

107. Коренев Г. В. Тензорное исчисление. М.: Издательство МФТИ - 2000.

108. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука - 1973.

109. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука - 1963.

Приложение A

Представим преобразование координат (о,у) р,Ф), (рис. 2).

5а cosy 2 о

р = о + ц--+ ц -2

8а 256a2

(

125о2 + cos2y

8

31о2 + 60а2 - 96а2 ln-

Цу у

+

3 о

+ц3

4096а3

3

1

2 С 8 ^

3771о2 + 2100а2 - 3360а2 ln-

v Ц у

С s >

cosy +

+Ц 3

4096а3

8

24а 2о2 + 149о4 + 192а 2о2 ln-

v Ц у

cos3y +

+Ц43932160 4 (15(281617о4 - 27720а2о2(-5 + 8ln8) + 432а4(25 + 16ln8(-5 + ln4096))))

-Ц43932160 4 (576(-385а2о2 + 12а4 (-5 + 2ln 4096)) 1пц - 27648а4 1пц1п ц) +

+Ц43932160 4 (20cos 2^(63911о4 + 48а4 (61 + 1224ln2) - 72а2о2 (-887 + 2904ln2))) -

-ц4-0-4(20 cos 2y(576(34а4 - 121а V) ln ц)) +

3932160а4

+r43932160 4 °0S4V(50453о4 + 8а2о2(12257 - 47160ln2) - 2160а4(5 - 24ln2)2)

49о1пц1пц

-ц4--—- cos 4y +

256

+ц4-- cos 4y(50453о4 + 8а2о2 (12257 - 47160 ln 2))

3932160а4

о2

+ц5-0-5cosy (15115697о4 + 12а 2о2 (1009963 - 4425672ln2)) +

+ц5

6291456а

С96о2(26165 - 176184ln2) 27о2(ln8ln8 + 1пц1пц)^

---- +----- cosy

v 65536а 32а

о2

-ц5-0—5 (-184403а 2о2 + 24а4 (-2447 + 13824ln 2)) ln^osy

+ 24а (-2447 +13 824 ln 2) llnucosy +

65536а о2

+ц5----cos3y ( 9606345о4 + 8а 2о2 (361003 + 1382040ln2))

62914560а5 о2

+R562914560 ^С053У(-16а4(473023-3623760ln2 + 8164800ln2ln2)) + о2

+ц5-4-- cos 3y (960 (-3839а V + 28а4 (-719 + 3240 ln 2)) 1пц - 14515200а 41пц1пц) +

о2

+ц5--cos5y(307789о4 - 32а2о2 (-9391 + 1800ln2))

5

5<r2cosy 2 o

p = o + r----+R ^^ 2

256a

2

3 o

( ( 125o2 + cos2y

o

31o2 + 60a2 - 96a2 ln-

+

+R 3

4096a3

2 ( 8 ^ 3771o2 + 2100a2 - 3360a2 ln-

R

3

1

+R 3

4096a3

v

( 8 ^

24aV + 149o4 + 192aVln-

R y

v R yy

cosy +

cos3y +

+R4 3932160"7(l5(281617o4 - 27720a2o2(-5 + 8ln8) + 432a4(25 + 16ln8(-5 + ln4096))))-

4 0 icnri ioc-2 2 ,

-r4-1-- (576(-385a2o2 + 12a4 (-5 + 2ln4096)) ln r - 27648a4 lnRln r )

+r4 3932160 4 (20cos2y(63911o4 + 48a4 (61 + 1224ln2) - 72a2o2 (-887 + 2904ln2)))

.4 0 I ™___^„/cvil/lJ lllX2)

-R43932160 4 (20cos2y(576(34a4 - 121aV)lnR)) +

+r4-1-4cos4y(50453o4 + 8a2o2 (12257 -47160ln2) - 2160a4(5 - 24ln2)2)

4 9oln Rln R

—r --—-cos4y +

256

+r4-0--cos4y (50453o4 + 8a2o2 (12257 - 47160ln2))

3932160a4

2

+r5-0--cosy (15115697o4 + 12a2o2 (1009963 - 4425672ln2)) +

6291456a5 V V ''

+R5

( 96o2 (26165 - 176184ln2) 27o2 (ln8ln8 + lnRlnRp

v 65536a 32a

cosy

2

-r5—0—T (-184403a2o2 + 24a4 (-2447 + 13824ln2)) lnRCosy + 65536a

2

+r5-0--cos3y (960634504 + 8a202 (361003 + 1382040ln2))

62914560a5 V V ''

' 0 ~os....................................

62914560a3

2

.5 0 ___ioin„^^o„4

+r5--cos3y (-16a4 (473023 - 3623760ln2 + 8164800ln2ln2))

¿^Qlzl^n/i5 V v >>

+R5-4--cos3y(960(-3839aV + 28a4 (-719 + 3240ln2))lnR - 14515200a4 lnRlnR)

02

+r5-0--cos5y(30778904 - 32a202 (-9391 + 1800ln2)) +

62914560a5 V V ''

2

+r5-cos5y (35 - 528ln2 + 1728ln2ln2) +

262144a v 7

02

+r5 62914560 scos5y (6480a4 (35 - 528ln 2 + 1728ln2ln2) + 1244160a4 ln Rln r) -

02

-R5 —0—5 cos 5y (-5a202 + 27a4 (-11 + 72ln2)) lnR

7g • + 2 3 . 2 Ф = y-u—siny + u ^^rsin2y

8a 128a

g2 - 10a2 + 16a2 ln— u

h

3 1 •

+u T^siny

/

hu

512a' 3 g

v

8

345a 2g - 537g3 + 552a 2Gln-

u

h

1024a

3 sln3yI -18g2 + 69a2 - 168a2ln8

u

hu

u4-1—-г sin 2y (-554g4 + 9a 2g2 (205 + 456ln 2) + 6a4 (61 + 1224ln 2)) +

24576a4

3( 34a2 + 19g2 ) lnu

1024a

2

-sln2y +

+u4-1-4sln4y (-727g4 + 270a4 (5 - 24ln2)2 + 8a 2g2 (-977 + 5580ln2)) +

245760a4

+u45i2 2 sin4ylnu(-31g2 + 9a2(5-24ln2) + 36a2lnu) +

1 ( 8 +u5-— sin y I -36601a4g - 157495a2g3 - 176029g5 + 82464a4Gln-

hu5

65536a5 v

28151g3, 8 .

-—ln—siny +

8192a3 u

u

h

+u5-1——sin y (679104a 4Gln2ln2 + 452736a 4Gln2lnu - 75456a 4Glnulnu ) +

65536a v '

+u5-1--sln3yI 507711a4g + 257483a V - 197730g5 - 1259640a4Gln 8 '

u

2949120a 4835g3

u

8

24576a3

sin3y580200ln — +

u

hu

hu5

1--sln3y (9331200a 4Gin2in2 - 6220800a 4Gln2lnu )

120a5

5 45Ginuinu

+u " 5

2949120a5

h

128a 1

3276800a5 127

-sln3y +

с

sin5y

8

51750a4g + 17515aV - 5188g5 + 208800aVln-

u

u

-^s^yG^^n-8-

8192a u

-u5-1-5sln5y (-1814400a 4Gin2in2 + 1209600a 4Gln2lnu - 201600a 4Glnulnu )

3276800a5 v '

Зная данное преобразование координат, можно определить компоненты метрического тензора в криволинейных координатах (^) [105]. Выпишем получающиеся компоненты метрического тензора для координат а,у,с точностью до О()

а = G + У £(к)егк-+ О(ц4) G =

отп тп / / Отп у" тп

к=-3

1 0 01

0 а2 0

0 0 1,

¿¿Ьц^+ц^+ца/,) = 0, 1, 2, 3

£1

.(0) = 0, а 20)

131а2 32а1 0 0

0 21а4 32а2 0

а2 а2

0 0

, ¿3° ) = 0

«,(1) =

5а 3а2 г- 4а 0

4а

3а2 0

г- 4а 4а

0 0 а а

, а 21) = 0,

75а 1495а3 15а 8

(

(

+-3---1п —

64а 256а 8а ц

45а2 715а4 9а2, 8

-+----1п—

64а 256а 8а ц

45а2 715а4 9а2

• + ■

■1п8

64а 256а 8а ц

1 15а3 143а5 3а3, 8 +-1п—

64а 256а 8а ц 0

а(2) = о, ¿2'

(2)

3, 8 15 9а2 -1п— + — + ■

8 ц 64 16а2

л 3, 8 15л —1п— + — 8 ц 64

0

а + г-

3а

8а2

г 3, 8 15л —1п— + — 8 ц 64

15а 7а3

■ + •

- +

3а 8 1п-

64а 64а 8а ц

„3 Л

а + г-

31п

8

8