Майлсовская (сдвиговая) неустойчивость циркуляционного вихревого течения и ее выделение на фоне других типов неустойчивостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Юдин Михаил Александрович

• Юдин Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Юдин Михаил Александрович

Введение

1. Глава 1. Основные уравнения

1.1. Поле смещения как гидродинамическая переменная

1.2. Поле смещения как смещение жидких частиц

1.3. Вывод уравнения для поля смещения для возмущений двумерного течения между цилиндрами

1.4.Выводы к первой главе

2. Глава 2. Цилиндр в потенциальном циркуляционном потоке

2.1. Задача об устойчивости цилиндра в потенциальном циркуляционном потоке

2.2. Баланс энергии в системе с потенциальным средним течением

2.3.Получение функции Лагранжа системы с потенциальным течением и анализ устойчивости

2.4. Решение задачи Коши для потенциального течения

2.5. Выводы ко второй главе

3. Глава 3. Цилиндр в циркуляционном потоке с постоянной завихренностью

3.1. Задача об устойчивости цилиндра в циркуляционном потоке с постоянной завихренностью

3.2.Получение функции Лагранжа системы с течением, обладающим постоянной завихренностью, и анализ устойчивости

3.3. Решение задачи Коши для течения с постоянной завихренностью

3.4.Выводы к третьей главе

4. Глава 4. Цилиндр в циркуляционном потоке с переменной завихренностью

4.1. Задача об устойчивости цилиндра в течении с малой завихренностью

4.2. Задача об устойчивости цилиндра с завихренностью, допускающей точное решение

4.3. Нахождение потоков энергии в течении

4.4. Решение задачи Коши с неоднородной завихренностью

4.5.Выводы к четвертой главе

5. Глава 5. Исследования влияния вязкости на устойчивость

5.1.Влияние вязкости на возмущения в течении

5.2. Точное решение для вязкой задачи

5.3. Выделение сдвиговой неустойчивости

5.4. Выводы к пятой главе

6. Заключение

7. Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Майлсовская (сдвиговая) неустойчивость циркуляционного вихревого течения и ее выделение на фоне других типов неустойчивостей»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Исследованию вихревых течений посвящено множество теоретических работ, разделы в классических монографиях [1, 2] и отдельные монографии [3, 4]. Были получены и исследованы разнообразные точные аналитические решения в невязкой жидкости, например, классические решения (вихрь Ранкина, вихрь Озеена, вихрь Хилла [1]) и более современные исследования [5, 6, 7]. В вязкой жидкости было найдено множество точных решений, в том числе течение Куэтта между вращающимися цилиндрами, возмущения которого исследуются в одной из глав настоящей работы.

Динамика нестационарных течений связана так же с вопросами излучения ими звука [8, 9]. При этом для приближения малого числа Маха звуковое дальнее поле может быть связанно напрямую с движением вихрей в несжимаемой жидкости [10, 11, 12]. Поэтому вопросы генерации пульсаций и вопросы устойчивости вихревых течений в несжимаемой жидкости [13, 14, 15, 1, 16, 17] оказываются в центре проблемы генерации аэродинамического шума.

Одна из неустойчивостей трехмерных вихрей, играющих ключевую роль в проблеме возникновения турбулентности, так называемая сдвиговая (или майлсовская) неустойчивость, связана с передачей энергии к вихревому ядру из критического слоя, возникающего в циркуляционном течении при колебаниях этого ядра. В частности, неустойчивость такого типа, по-видимому, отвечает за турбулизацию вихревого кольца при больших числах Рейнольдса [18].

Трудности исследования сдвиговой неустойчивости в локализованных вихревых циркуляционных потоках связаны с тем, что в вихрях она возникает только при наличии кривизны вихревых нитей (например, для вихревого кольца). Хотя вихревое кольцо является достаточно известным объектом и его исследования продолжаются со времен вихревой теории атомов [19-21],

аналитическое описание сдвиговой неустойчивости, возникающей в нем, представляется исключительно сложной задачей, выходящей за рамки настоящей работы. Поэтому представляет интерес рассмотрение более простой задачи, где такая неустойчивость имела бы место, а описание задачи допускало аналитическое исследование.

Одним из предельных случаев тонкого вихревого кольца является цилиндрический вихрь. Однако, двумерные колебания кругового вихря с постоянной завихренностью в безграничном циркуляционном потенциальном потоке нейтрально устойчивы [1]. Круговой вихрь сохраняет устойчивость также в циркуляционном потоке с убывающей завихренностью [22]. Поэтому простейшие двумерные вихревые течения не обладают сдвиговой неустойчивостью. Однако при наличии в потоке твердых тел, сдвиговой неустойчивостью могут обладать достаточно простые двумерные системы. По-видимому, простейшей такой системой, в которой может реализовываться сдвиговая неустойчивость, является осциллятор в виде кругового цилиндра с упругим креплением, обтекаемый завихренным циркуляционным потоком с убывающей завихренностью в безграничной жидкости [23]. Течение в такой системе имеет такую же структуру, что и цилиндрический вихрь, но в отличие от колебаний цилиндрического вихря колебания такого осциллятора могут оказаться неустойчивыми.

Таким образом, система в виде упруго закрепленного кругового жесткого цилиндра, обтекаемого завихренным циркуляционным потоком с убывающей завихренностью дает возможность аналитического исследования сдвиговой неустойчивости, однако эта задача была рассмотрена ранее только в безграничном случае [23]. В связи с этим возникает задача об изучении колебаний цилиндра в ограниченном случае, когда течение ограничено с одной стороны стенками удаленного стационарного стакана, а с другой стороны подвижным круговым цилиндром (рис. 1). Именно эта задача рассматривается в настоящей работе.

Следует особо отметить, что условие ограниченности естественно возникает при экспериментальном обнаружении сдвиговой неустойчивости в вихревых локализованных течениях. Поэтому рассматриваемая задача, помимо общефизического интереса, напрямую связана с возможностью экспериментальной диагностики такой неустойчивости, что особо важно в виду роли этой неустойчивости в турбулизации «атмосферы» вихревого кольца и возможной ролью этой неустойчивости в динамике несжимаемой жидкости и излучении звука.

Рисунок 1. Геометрия рассматриваемой системы (цилиндр в ограниченном

Исследование ограниченной системы, проведенное в настоящей работе, показало, что она намного сложнее и интереснее безграничного случая: в системе существуют и другие типы неустойчивости (помимо сдвиговой), которые оказываются интересны сами по себе и имеют приложение к некоторым практически важным задачам. Были исследованы физические причины возникновения различных типов неустойчивости на основании энергетического анализа системы. В частности, представляет интерес вопрос о нарастании возмущений в течении из первоначально невозмущенного состояния и причины

У

циркуляционном потоке).

возникновения особенности в области критического слоя. Также в работе исследуется влияние вязкости на рассматриваемые эффекты.

Механизм сдвиговой неустойчивости, связанный с взаимодействием колебаний дискретного спектра с возмущениями в критическом слое, имеет место также в плоскопараллельном течении, в частности, при взаимодействии поверхностных морских волн и сдвигового потока над поверхностью моря при ветровом волнении [24, 25]. Однако в этом случае течение имеет другую топологию сравнительно с циркуляционным течением вокруг вихревого ядра. Поэтому затруднительно перенести результаты исследований возникновения волн на воде на процессы развития возмущений в течении, содержащем вихревые нити. Кроме этого, течения с круговыми линиями тока имеют преимущество при аналитическом описании такого рода эффектов, поскольку допускают рассмотрение нетривиального потенциального потока с переменной по радиусу скоростью, на который наложен слабый сдвиг, что в свою очередь позволяет получать точные решения. В плоскопараллельном течении переменная скорость обязательно связана с сильным сдвигом.

Интерес к исследованию различных типов неустойчивостей в предложенной в работе системе (цилиндр в ограниченном циркуляционном потоке) связан не только с возможностью аналитического описания различных типов неустойчивости в простой системе, но и с возможностью количественного анализа диапазона параметров возникновения и инкрементов данных неустойчивостей, с целью выделения их в эксперименте.

Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы провести теоретическое исследование и описание сдвиговой неустойчивости и других типов неустойчивостей, возникающих в рассматриваемой системе (рис. 1), а также определить область параметров системы, для которой доминирует сдвиговая неустойчивость.

Задачи исследования:

• Получение условия устойчивости для рассматриваемой системы при различных средних течениях (потенциальное течение, течение с постоянной завихренностью и течение с монотонно нарастающей/убывающей завихренностью)

• Получение инкремента неустойчивости для рассматриваемой системы при различных средних течениях и нахождение параметров системы, для которых реализуется или доминирует только одна из найденных неустойчивостей

• Проведение энергетического исследования колебаний системы и физическая интерпретация каждой из найденных неустойчивостей

• Исследование возникновения сдвиговой неустойчивости в системе и анализ роста возмущений в критическом слое в задаче Коши с гладкими начальными условиями

• Рассмотрение роли вязкости в задаче об устойчивости системы

Научная новизна работы, теоретическая и практическая значимость:

Исследованы колебания ограниченной системы для различных средних течений: потенциальное течение, течение с постоянной завихренностью, течение с малой монотонно убывающей или монотонно нарастающей завихренностью, течение с убывающей завихренностью, допускающей точное решение. Получены собственные частоты колебаний и проведено исследование устойчивости системы в зависимости от отношения плотностей колеблющегося цилиндра и окружающей его жидкости.

Показано, что уже в случае потенциального среднего течения в некотором диапазоне отношения плотностей цилиндра и жидкости ограниченность области приводит к появлению неустойчивости, отсутствующей в безграничном случае. Для среднего течения с переменной завихренностью обнаружена сдвиговая неустойчивость как для случая убывающей, так и нарастающей (не реализуется в безграничном случае) завихренности. Получены параметры системы, для которых в системе доминирует сдвиговая неустойчивость.

Построена функция Лагранжа системы для случая среднего течения с постоянной завихренностью и на ее основе получено нелинейное решение задачи устойчивости, что позволило уточнить критерий устойчивости, полученный в линейном приближении. На основании энергетического исследования системы приведено физическое обоснование появление неустойчивости в ограниченной системе.

Получены решения начальной задачи для различных средних течений: потенциальное течение, течение с постоянной завихренностью, течение с монотонно убывающей малой завихренностью. Проанализирован процесс образования особенности в структуре возмущений в районе критического слоя при развитии возмущений из первоначально гладких начальных условий.

Решена задача об устойчивости системы в вязкой жидкости в приближении больших чисел Рейнольдса. Получено аналитическое выражение для силы, действующей на внутренний цилиндр со стороны вязкой жидкости, которое ранее оценено [26]. Показано, что в выбранном приближении ламинарного течения вязкость демпфирует колебания системы. Проведены оценки вязких членов в уравнении Орра-Зоммерфельда и показано, в каком случае вязкость не играет существенной роли в развитии возмущений.

Методология и методы исследования

В работе основной переменной, использующейся для описания возмущений течения, является поле смещения, обсуждению которого посвящена первая глава настоящей работы. Задача устойчивости в линейном приближении сводится к поиску собственных частот полученного уравнения для радиальной компоненты поля смещения, которое является аналогом уравнения Релея для функции тока. Решение в линейном приближении проводится для различных средних течений: потенциальное течение, течение с постоянной завихренностью и течение с переменной завихренностью.

Для исследования вопроса устойчивости потенциального течения и течения с постоянной завихренностью в нелинейном приближении использовался лагранжев подход к описанию гидродинамической системы.

Для анализа процесса развития возмущений в различных средних течениях решалась задача Коши для поля смещения с использование одностороннего преобразования Фурье.

Для исследования влияния вязкости на устойчивость решалось уравнение вихря в линейном приближении в вязкой жидкости в приближении больших чисел Рейнольдса.

Основные положения, выносимые на защиту

• Ограничение области потенциального течения внешним цилиндрическим кожухом приводит к появлению неустойчивости, отсутствующей в безграничной системе. Неустойчивость потенциального течения в ограниченной области появляется в связи с возникновением силы Чизотти при ограничении области течения. Условие устойчивости системы определяется балансом трех сил: силы Чизотти, силы, связанной с присоединенной массой, и силы Жуковского. Ограниченная система с постоянной завихренностью обладает неустойчивостью, физические причины который аналогичны причинам возникновения неустойчивости в потенциальном ограниченном течении.

• Система со средним течением с монотонной завихренностью обладает сдвиговой неустойчивостью как в безграничном, так и ограниченном случае. Эта неустойчивость определяется перетоком энергии из критического слоя в течении к возмущениям остальной системы.

• В системе со средним потенциальным течением и средним течением с постоянной завихренностью происходит интенсификация поля смещения в районе критического слоя, возмущения завихренности в системе отсутствуют. Физически возмущения поля смещения могут быть выявлены при добавлении

пассивной примеси в поток. В системе со средним течением, обладающим неоднородной завихренностью, происходит интенсификации как поля смещения, так и возмущений завихренности в районе критического слоя. • Сила, действующая на внутренний вращающийся с постоянной угловой скоростью цилиндр со стороны вязкой жидкости приводит к устойчивости системы. Для течения с малой монотонно убывающей завихренностью при малых у доминирует неустойчивость, связанная с ограниченностью области течения, при увеличении у неустойчивость, связанная с ограниченностью области течения, исчезает и в системе остается только сдвиговая неустойчивость. Вязкость является демпфирующим фактором, но параметры системы могут быть выбраны такими, что инкремент сдвиговой неустойчивости будет больше, чем декремент затухания, связанный с вязким трением.

Личный вклад автора работы состоял в решении всех поставленных задач и проведении анализа полученных решений, а также написании статей. Все результаты, представленные в работе, получены автором лично или в соавторстве при его непосредственном участии.

Степень достоверности данных

Достоверность полученных результатов диссертационной работы обеспечивалась использованием классических и современных теоретических методов при получении решений, согласованием с уже известными решениями и публикацией результатов в рецензируемых научных журналах.

Апробация результатов

Материалы, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. XXVI научно-техническая конференция по аэродинамике. (2015)

2. 58-я научная конференция МФТИ. (2015)

3. XXVII научно-техническая конференция по аэродинамике. (2016)

4. 24th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. (2016)

5. 59-я научная конференция МФТИ. (2016)

6. Вторая Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Акустика среды обитания». (2017)

7. Всероссийская конференция с международным участием "Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященная 60-летию Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. (2017)

8. XXVIII научно-техническая конференция по аэродинамике. (2017)

9. II Всероссийская акустическая конференция, совмещенная с XXX сессией Российского акустического общества. (2017)

10. Пятая открытая всероссийская конференция по аэроакустике. (2017)

11. 60-я научная конференция МФТИ. (2017)

12. Третья Всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Акустика среды обитания». (2018)

13. Всероссийская конференция молодых ученых механиков. (2018)

14. 1-я международная конференция «Проблемы механики и управления». (2018)

15. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. (2019)

Материалы данной работы были опубликованы в 13 научных работах, в том числе в 3 публикациях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 108 страниц, включая 26 рисунков. Список литературы содержит 59 наименований.

Глава 1. Основные уравнения1

1.1. Поле смещения как гидродинамическая переменная

В задачах гидродинамики обычно используется поле скорости или поле завихренности в качестве основной переменной. Для описания течения невязкой несжимаемой жидкости используются уравнения Эйлера и условие несжимаемости

— + (V-V) V = -- УР & к ' р

V-V = 0

В настоящей работе основной переменной, использующейся для описания возмущений течения, является поле смещения £, которое ранее было применено для описания возмущений вихревого кольца [27, 28] и циркуляционного течения вокруг цилиндра [23], а так же для описания возмущений безграничных вихревых течений на языке лагранжевой и гамильтоновой механики [29]. Поле смещения можно определить по-разному - через возмущения завихренности при выполнении условия изозавихренности [18], или через разность между положениями жидких частиц в возмущенном и невозмущенном течениях [13]. Второй подход к определению поля смещения подходит для рассмотрения возмущений не только завихренных, но и потенциальных течений.

В несжимаемом течении поле смещения является бездивергентным V - £ = 0 и его эволюция описывается уравнением [13, 30]

|£ + У X (£ ХУ0) = V (1.1)

где у - поле скорости в стационарном течении и У - поле возмущений скорости. В случае потенциального среднего течения или течения с постоянной завихренностью возмущения скорости потенциальны и правая часть уравнения (1.1) после взятия операции ротора обратится в нуль. Таким образом, в

1 Результаты данного раздела опубликованы в работах [35, 50, 51].

потенциальном течении (и течении с постоянной завихренностью) эволюция поля смещения будет определяться уравнением (1.1) с заданными начальными и граничными условиями.

Если среднее течение обладает неоднородной завихренностью, то возмущения этого течения не будут полностью описываться уравнением (1.1). Для замыкания уравнения (1.1) требуется дополнительное условие изозавихренности, введённое Арнольдом [14, 31, 32]. Для изозавихренных возмущений течения поле смещение £ связывает возмущение поля завихренности ЗП со значением завихренности в стационарном течении П0 [18]

ЗП = Ух(£ х П0) (1.2)

Возмущение скорости V, входящее в правую часть уравнения (1.1), связано с возмущением завихренности ЗП (1.2)

Ух V = ЗП (1.3)

Уравнения (1.1)—(1.3) полностью описывают динамику изозавихренных возмущений стационарного течения с произвольной завихренностью.

Для течений без границ (например, для вихревого кольца) возмущения скорости связанны с возмущениями завихренности с помощью интеграла Био-Савара, следовательно, используя (1.2), можно записать

1 гУ'х( £ (г')х П (г')) , ч

V(г) = Ух— Г-^ ^ > , п "аг' (1.4)

^ Г 4 л Г |г - г'

где У' - дифференциальный оператор набла по переменным г'.

В случае ограниченного течения необходимо удовлетворить граничным условиям с помощью добавления некоторого потенциального слагаемого

V = V! + V2 (1.5)

где V - определяется уравнением (1.4), а v2 = УФ - потенциальная часть скорости, выбранная таким образом, чтобы общее решение (1.5) удовлетворяло граничным условиям.

1.2. Поле смещения как смещение жидких частиц

Формально поле смещение может быть определено уравнениями (1.1) -(1.3), но при этом остается не ясным физический смысл переменной. В этом разделе будет дано определение поля смещения и получены уравнения (1.1), (1.2) на основе введённого определения.

Течение может быть описано с помощью лагранжевого подхода заданием траектории частиц жидкости. Обозначим г (1) траекторию некоторой частицы в стационарном течении. Траектория этой частицы в возмущенном течении обозначим !•]_'( 1). Разность между положениями частицы в возмущенном и

невозмущенном течениях назовем смещением этой частицы £ = г'(1)-г(¿).

Смещение является лагранжевой переменной. Введем поле смещения как смещение жидких частиц в возмущенном течении относительно их положения в невозмущенном течении г (1) в момент времени 1: £ (г, 1 ) = г'(1)- г (1), которое уже является эйлеровой переменной.

Теперь перейдём к получению уравнений (1.1) и (1.2). Рассмотрим некоторую переменную q, которая может быть соотнесена с жидкой частицей. Лагранжевое возмущение этой переменной может определено как

Aq = q ( г + £ (г, 1), 1)-Q (г, 1) (1.5)

где О(г, 1) - это значение переменной q в невозмущенном течении. Разложим выражение (1.5) по полю смещения £(г, 1) до линейных членов

Aq = q (г, 1) + £ (г, 1) - (V - q (г, 1)) - О (г, 1) (1.6)

Эйлерово изменение советующей переменной запишется как

д' = q (г, г)- о (г, г) (1.7)

Используя (1.6) и (1.7) получим связь между эйлеровым и лагранжевым возмущениями

Ад = д' + £ (г,г)(У- q (г,г)) (1.8)

Рассмотрим в качестве переменной д скорость частицы. Положение частицы в возмущенном течении задается вектором г + £ (г, г), тогда лагранжевое возмущение скорости

Аv = = Мг^ + МгА * = Мг+ (и.у) £ (г, г) (1.9)

аг дг дг дг аг 4 ' у '

где и - поле скорости стационарного течения.

Из (1.8) и (1.9) получим выражение для эйлерового возмущения скорости

у' = М^ + (и. у) £ (г, г) - (£ (г,г). У) и

которое совпадает с уравнением (1.1).

Для получения уравнения (1.2) воспользуемся условием «вмороженности» завихренности в возмущения (условие изозавихренности). Рассматриваем такие начальные возмущения, которые сохраняют интенсивность вихревых трубок (возмущения типа «пятен завихренности» не рассматриваются). В невязкой несжимаемой жидкости интенсивность вихревых трубок сохраняется во времени по теореме Кельвина. Таким образом, в произвольный момент времени г интенсивность вихревой трубки в возмущенном течении такая же как и интенсивность этой вихревой трубки (составленной из тех же частиц) в невозмущенном течении.

Рассмотрим теперь вихревую трубку в момент времени 1 для возмущенного и невозмущенного течений (рис. 2).

Рисунок 2. Вихревая трубка в возмущенном и невозмущенном течениях. Следуя [33], запишем условие сохранение интенсивность вихревых трубок

О'(г + £ ( г, 1о )) С = О (г)с (110)

где С - площадь поперечного сечения вихревой трубки, О (г) - вектор

завихренности в стационарном течении, С, О'(г) - в возмущённом течении. Запишем условие сохранение массы в этих трубках

\8г'\С = \8г\с (1.11)

Учтем, что пары векторов (О;£г) и (П';£г') коллинеарные по определению вихревой трубки. Тогда из (1.10) и (1.11) следует

П'(г + £(г, 1)) = С^г', п(г) = С^г (1.12)

Запишем разложение по полю смещения £ в линейном приближении 8г' = 8г + £ (г + 8г, 10)- £ (г, 10 ) = £г + (£г -У)£ (г, 10). Аналогично для левой части

(1.10) О'( г + £ (г, 10 )) = ^'( г ) + (£ г ). С условием полученных разложений (1.12) перепишется в виде

О'(г )- О (г ) = Ух[£ х О]

что эквивалентно (1.2).

Таким образом, были получены уравнения, связывающие поле смещения с гидродинамическими переменными возмущения завихернности и скорости из определения поля смещения как смещения жидких частиц. Данное определение дает ясный физический смысл полю смещения, которое описывает поведение пассивной примеси при возмущениях течения.

1.3. Вывод уравнения для поля смещения для возмущений двумерного

течения между цилиндрами

В настоящей работе рассматривается двумерная система, состоящая из двух цилиндров, вставленных один в другой, и циркуляционного потока невязкой несжимаемой жидкости между ними. Внешний цилиндр жестко закреплен и имеет радиус , внутренний цилиндр может совершать свободные колебания и

имеет радиус ^. В положении равновесия цилиндры расположены коаксиально. Среднее течение запишем в цилиндрических координатах г,ф (рис. 1) V =(0,—0(г)-г), где —0(г) - угловая скорость жидкости. Стационарные поля завихренности О0( г) и давления Р0 (г) удовлетворяют соотношениям

о0 (г )=2и0 + г—о, р0' = и В работе будут рассмотрены различные средние течения:

а) потенциальное среднее течение ио (г) = —т, где —ш - постоянная,

г

которая задает циркуляцию течения Г = 2л—т;

б) среднее течение с постоянной завихренностью —0 (г) = —т + П0, где

г

постоянная, равная половине завихренности;

в) среднее течение с переменной завихренностью —0 (г) = —т + Ц (г).

г

В этой главе не будет делаться предположений о виде функции —0 (г) и будут получены уравнения в наиболее общей постановке.

Положение цилиндра в возмущённом течении будем описывать смещением его центра (х0, у0) от положения равновесия. Тогда границу смещённого внутреннего цилиндра можно записать в виде разложения

г =

X У

1 + —соб® + —Бт® + О

Я1 * Я1 *

( 2 2 Л хо Уо

л?

/у

Вводя обозначение £0= х0 - у0, запишем в комплексном виде уравнение для границы сдвинутого цилиндра в линейном приближении

= + ^ехр (г®)

(1.13)

Поле смещения, нормальное к поверхности цилиндра, должно совпадать со смещением цилиндра. Тогда, согласно (1.13), в линейном приближении поле смещения содержит только первую гармонику по координате ® и может быть представлено в виде

8 ( г , г

V ( г, г У г, г)

ех

Р (г®)

(114)

Используя условие бездивергентности поля смещения V- 8 = 0 и (1.14), выразим его тангенциальную составляющую через радиальную

= г

дг£* дг

(1.15)

Рассмотрим уравнение (1.1) более подробно. Применяя к нему операцию ротора, получим

V х

^ + V X (8 ХУ0 )

V дг

ЗП

где V = (0, — (г)- г) - поле скорости в стационарном течении.

г

Теперь рассмотрим каждое из слагаемых (1.16) отдельно

дг

1

_ег

г

д_

дг дег

еФ

_д_

д9

де9

1

г

_д_

дг

0

дег д 2ге9

дг дгдг

дг дг Используя (1.15), получим

Ух®? = i

дг

С г

' д е

+ г-

л3 г Л

д3е

к дгдг дг дг у

Для второго слагаемого

ег еФ Г 0 1

8 X Уо = ег е9 0 = 0

0 гЮ0 0 кге и0/

Ух( 8 ху ) =

1 1

-ег еф -еж

г ф г

д д д

д д9 дг

0 0 гЮ0е

Ю0 ег

дг и0 е

дг 0

г

Ух[Ух(? хУ0 )] =

1

-е

е„

1

-е.

г

г

ф

д д д

дг д9 дг 0 0

гЮоег

' дГ

Ю0ег-— г-

V дг1

д ие

д

е =

//

~ег (3 г и0 + г 2Ю0 ) - де( 3 г и0 + 2 гЮ0)

2 „г

д2е

д

д

г и

2 ' и 0

1

Г

Для правой части (1.16) имеем

¿О = Ух(с X О0)

ег е,„ е,

г ф г

£ X О0 = БГ Б9 0

0 0 О0

Ух(£ х О0) =

1

-ег

г

д_ дг Б®Оп

' Б9О "

= -БгО0

0

V У

еф

д

д®

- г Б О0

1

-е«

г

д_ д2 0

^ дГБгО Л

дг

г дОо

е =-Б е

дг

С учётом приведённых выкладок уравнение (1.16) преобразуется к следующему виду

д3Бг „.дБ дБг „ дБг,_ /дО

^—— + 3/---г г^д--(3Ц + 2гЦ ) + бг —0 - (3Ц + Ц)

дг Ы дгд? дг дг

дг

У

Как уже было отмечено ранее, завихренность в стационарном течении может быть выражена через угловую скорость О0 = 2Ц + гЦ^. Таким образом, последний член в уравнении для радиальной компоненты поля смещения тождественно равен нулю.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юдин Михаил Александрович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. - 1947.

2. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир. - 1964.

3. Saffman P. G. Vortex dynamics. Cambridge: University press. - 1992.

4. Гайфуллин А. М. Вихревые течения. М.: Наука. - 2015.

5. Черевко А. А., Чупахин А. П. Однородный особый вихрь // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - Т. 45. - № 2. - С. 75-89.

6. Овсянников Л. В. Особый вихрь // Прикладная механика и техническая физика. - 1995. - № 3. - С. 45-52.

7. Онищенко О. Г., Пототелов О. А., Астафьева Н. М. Генерация крупномасштабных вихрей и зональных ветров в атмосфере планет // Успехи физических наук. - 2008. - Т. 178. - № 6. - С. 605-618.

8. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically. Part I. General theory // Proceedings of the royal society A. - 1952. - № 211. - С. 564-587.

9. Lighthill M. J. The propagation of sound through moving fluids // Journal of sound and vibration. - 1972. - № 4. - C. 471-492.

10. Mohring W. On vortex sound at low Mach number. // Journal of fluid mechanics. -1978. - № 85. - C. 685-693.

11. Crow S. C. Aerodynamic sound emission as a singular perturbation problem // Studies in applied mathematics. - 1970 - № 1. - C. 21-44.

12. Копьев В. Ф., Чернышев С. А. О разложении звукового поля по числу Маха в проблеме генерации звука локализованными вихрями // Акустический журнал. - 1995. - № 4. - С. 622-627.

13. Drazin P. G. & Reid W. H. Hydrodynamic Stability. Cambridge: University Press. -1981.

14. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука. -1989.

15. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. М.: Наука. -1965.

16. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.:Гидрометеоиздат. - 1976.

17. Vladimirov V. A., Ilin K. I. On the stability of the dynamical system 'rigid body + inviscid fluid' // Journal of fluid mechanics. - 1999. - № 386. - C. 43-75.

18. Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Колебания вихревого кольца, возникновение в нем турбулентности и генерация звука. // Успехи физических наук. - 2000. -№ 7. - С. 713-742.

19. Kelvin Lord. On vortex atoms // Philosophical magazine. - 1867 - № 34. - C. 1524.

20. Kelvin Lord. Vibration of a columnar vortex // Philosophical magazine. - 1880. - № 10. - C. 155-168.

21. Thomson J. J. A treatise on the motion of vortex rings. London: Macmillan. - 1883.

22. Копьев В. Ф., Леонтьев Е. А. Акустическая неустойчивость плоских вихревых течений с круговыми линиями тока. // Акустический журнал. - 1988. - № 3. -С. 475-480.

23. Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Неустойчивость колеблющегося цилиндра в циркуляционном потоке идеальной жидкости // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2000. - № 6. - С. 78-92.

24. Miles J. W. On the generation of surface waves by the shear flow // Journal of fluid mechanics. - 1957. - № 3. - С. 185-204.

25. Miles J. W. On the generation of surface waves by the shear flow. Part 2. // Journal of fluid mechanics. - 1959. - № 4. - С. 568-582.

26. Капица П. Л. Устойчивость и переход через критические обороты быстро вращающихся роторов при наличии трения // Журнал технической физики. -1939. - № 2. - С. 124-146.

27. Kopiev V. F., Chernyshev S. A. Vortex ring eigen-oscillations as a source of sound // Journal of fluid mechanics. - 1997. - №. 341. - С. 19-47.

28. Акиньшин Р. В., Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Базисные деформации в задаче о возмущении ядра тонкого изохронного вихревого кольца // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. -2018 - № 5. - С. 52-63.

29. Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Развитие методов лагранжевой и гамильтоновой механики применительно к задачам аэроакустики //Акустический журнал. - 2018. - № 6. - C. 677-688.

30. Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium. New Haven, CT: Yale Univ. Press. - 1969.

31. Арнольд В. И. Об условии нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости // Доклады академии наук СССР. - 1965. - № 5. - С. 975-978.

32. Арнольд В. И. Вариационный принцип для трехмерных стационарных течений идеальной жидкости // Прикладная математика и механика. - 1965. - № 5. - С. 846-851.

33. Фридман А. А. Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости. Л., М.: ОНТИ. -1934.

34. Владимиров В. А. Устойчивость течений типа смерча. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. 38 - 1979.

35. Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Неустойчивость цилиндра в циркуляционном потоке несжимаемой идеальной жидкости // Прикладная математика и механика. - 2017. - № 2. - С. 216-229.

36. Жуковский Н. Е. О присоединенных вихрях // Труды отделения физических наук общества любителей естествознания. - 1906. - № 2. - С. 12-25.

37. Гончаров В. П., Павлов В. И. Гамильтоновая вихревая и волновая динамика. М.: ГЕОС. - 2008.

38. Петров А. Г. Аналитическая гидродинамика. М.: Физматлит. - 2009.

39. Thomson W. On the motion of rigid solids circulating irrotationally through perforations in them or a fixed solid // Philosophical magazine. -1872 - №. 7 - С. 668-682.

40. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит. - 2001.

41. Петров А. Г. Принцип Гамильтона и некоторые задачи динамики идеальной жидкости // Прикладная математика и механика. - 1983. - № 1. - С. 48-55.

42. Петров А. Г., Юдин М. А. К динамике цилиндра в ограниченном потоке идеальной жидкости с постоянной завихренностью // Прикладная математика и механика. - 2019. - № 3. - С. 393-402.

43. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука. - 1966.

44. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика. М.: Наука. - 1986.

45. Баландин Д. В. Стабилизация движения ротора в кожухе, заполненном газом // Прикладная математика и механика. - 2015. - № 2. - С. 210-217.

46. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. - 1974.

47. Петров А. Г. Сила, действующая на цилиндр в кольцевом течении вязкой жидкости при малом эксцентричном смещении // Доклады академии наук. -2018. - № 6. - С. 666-670.

48. Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Развитие начальных возмущений в задаче о движении цилиндра, обтекаемого циркуляционным потоком// Известия академии наук. Механика жидкости и газа. - 2019. - № 6. - С. 1-6.

49. Petrov A. G., Yudin M. A. Cylinder instability in bounded flow with constant vorticity // Journal of Physics: Conference Series - 2017. - Vol. 894.

50. Копьев В. Ф., Юдин М. А. Исследование устойчивости осциллятора в ограниченном циркуляционном потоке // В сборнике: XXVI научно-техническая конференция по аэродинамике. - 2015. - С. 139-140.

51. Юдин М. А., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Исследование устойчивости цилиндра при обтекании его ограниченным циркуляционным потоком несжимаемой жидкости // В сборнике: XXVI научно-техническая конференция по аэродинамике. - 2016. - С. 141-142.

52. Копьев В. Ф, Чернышев С. А., Юдин М. А. Исследование сдвиговой неустойчивости цилиндра помещенного в ограниченный циркуляционный поток с постоянной завихренностью // В сборнике: Акустика среды обитания. Сборник трудов Второй Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов (АСО-2017). - 2017. - С. 210-212.

53. Kopiev Victor, Chernyschev Sergey, Yudin Mikhail. Cylinder instability in circulational flow bounded by external cylindrical wall. // Book of papers: 24th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM-2016). -2016. - С. 1025-1026.

54. Петров А. Г., Юдин М. А. Исследование устойчивости цилиндра в ограниченном циркуляционном потоке методом лагранжевой механики // В книге: Модели и методы аэродинамики. Материалы Семнадцатой Международной школы-семинара. - 2017. - С. 130-131.

55. Копьев В. Ф., Чернышев С. А., Юдин М. А. Разработка экспериментального подхода исследования сдвиговой неустойчивости в двумерной системе // Тезисы докладов пятой открытой всероссийской (XVII научно-технической) конференции по аэроакустике. Центральный аэрогидродинамический институт им. профессора Н.Е. Жуковского. - 2017. - С. 198.

56. Юдин М. А., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Точное решение в задаче о неустойчивости цилиндра в циркуляционном потоке // В сборнике: Акустика среды обитания. Сборник трудов Третьей Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов. Под редакцией А.И. Комкина. - 2018. - С. 258-261.

57. Юдин М. А., Копьев В. Ф., Чернышев С. А. Задача Коши для колеблющегося цилиндра в циркуляционном потоке и интенсификация завихренности в критическом слое. // Тезисы докладов: «Всероссийская конференция молодых ученых механиков» (YSM-2018). - 2018. - а 171.

58. Юдин М. А., Петров А. Г. Неустойчивость цилиндра, обтекаемого циркуляционным потоком вязкой жидкости // Аннотации докладов: XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - 2019. - С. 129.

59. Юдин М. А., Копьев В. Ф., Чернышев С.А. Начальная задача для колеблющегося цилиндра в циркуляционном потоке с переменной завихренностью // Аннотации докладов: XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - 2019. - С. 129.