Новые варианты условий разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Савенкова Алеся Евгеньевна

• Савенкова Алеся Евгеньевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Савенкова Алеся Евгеньевна

Введение

Глава 1. Задачи с пространственно нелокальными условиями для гиперболических уравнений

§1. Задача с динамическим нелокальным условием

§2. Нелокальная задача с условиями типа 1)1

Глава 2. Задачи с нелокальным по времени условием

для гиперболического уравнения

§3. Задача с нелокальным по времени интегральным условием

§4. Обратная задача

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые варианты условий разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа»

Введение

Нелокальные задачи для уравнений с частными производными образуют важный и интересный раздел общей теории дифференциальных уравнений. Систематическое изучение нелокальных задач началось сравнительно недавно, но в настоящее время это направление бурно развивается. Это можно объяснить тем, что современный уровень развития естествознания приводит к необходимости постановки качественно новых задач и, следовательно, к необходимости разработки методов их исследования. Один из классов качественно новых задач, о которых упоминает А. А. Самарский в статье «О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений» [91], образуют задачи с нелокальными условиями.

Нелокальными принято называть такие условия, которые представляют собой соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных в различных граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение задачи. Нелокальные условия возникают при изучении задач полимеризации [117], радиационного переноса [118], сверхпроводимости [110], излучения лазера [108], динамики микробных популяций [120], генетики [94], демографии [124]. Задачи с нелокальными условиями ставятся при изучении электрических волновых явлений, моделировании жидких кристаллов, в атомной теории решеток. Нелокальные модели более точно описывают явления, происходящие в кристаллах [121]. Первой работой, посвященной изучению задач с нелокальными условиями принято считать работу В. А. Стекло-ва [99]. В упомянутой работе для параболического уравнения были выделены два класса нелокальных задач. Первый класс описывает модель охлаждения незамкнутого твердого тела. Второй класс описывает модель охлаждения замкнутых твердых тел линейного размера. Задачи с нелокальными граничными условиями для уравнений различных типов, в том числе и для уравнений смешанного типа, рассматривались в работах А. А. Алиханова [3], [4], А. В.

Бицадзе и А. А. Самарского [8], А. К. Гущина [15], В. И. Жегалова [20], [122], [123], В. И. Жегалова и Е. А. Уткиной [21], [22], С. К. Кумыковой и О. А. Репина [45], В. П. Михайлова [50], А. М. Нахушева [52], [53], О. А. Репина [76]-[79], С. А. Сайгановой и О. А. Репина [80], К. Б. Сабитова [83], [84], А. Л. Скубачевского [95], В. А. Стеклова [98], Е. А. Уткиной [102]-[106], Ф. И. Франкля [107] и сыграли большую роль в последующих исследованиях. Большинство полученных на данный момент результатов изложено в обзорах и монографиях [54], [55], [57], [73], [76], [96], [97].

Внимание исследователей привлекают нелокальные задачи с интегральными условиями. Систематическое исследование нелокальных задач с интегральными условиями берет начало с работ Дж.Р. Кэннона [111] и Л. И. Камынина [34]. В этих статьях исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для параболических уравнений. В дальнейшем изучение таких задач продолжено в работах А. Бузиани [109], Н. И. Ионкина [28], А. И. Кожанова [37]-[42], Л. А. Муравья и А. В. Филиновского [51] и других авторов. Работ, в которых исследуются нелокальные задачи для гиперболических уравнений, намного меньше. Их интенсивное изучение началось в конце XX века. Одними из первых работ являются статьи Л. С. Пулькиной [65], [66]. Публикации по данной тематике можно разделить на две группы. Первая группа содержит работы, посвященные исследованию задач с интегральным аналогом задачи Гурса. Задачи, входящие в эту группу, исследованы в статьях А. Т. Асановой [7], В. А. Водаховой [13], О. М. Кечиной [35], 3. А. На-хушевой [56], Л. С. Пулькиной [67], [68], Е. А. Уткиной [104].

Ко второй группе можно отнести смешанные задачи, в которых либо краевые, либо начальные условия являются нелокальными. Такие задачи изучались в работах Г. А. Авалишвили и Д. Г. Гордезиани [14], [119], С. А. Бейлина [10], А. Бузиани [109], В. В. Дмитриева [19], А. И. Кожанова и Л. С. Пулькиной [41], Л. С. Пулькиной [69], [70].

Различают нелокальные интегральные условия первого и второго рода. Интегральные условия первого рода - это условия, содержащие значения искомого решения только во внутренних точках области. Интегральными условиями второго рода называют соотношения, связывающие значения искомого решения и его производных как во внутренних точках области, так и в точках ее границы. В работе Л. С. Пулькиной [74] показаны различия между условиями первого и второго рода.

В свою очередь, среди интегральных условий второго рода можно выделить следующие:

1) Интегральное условие содержит след производной по пространственной переменной. Например, в одномерном случае

I

их(0,Ь) + К(х,Ь)и(х,Ь)(х = 0;

а в многомерном

ди(х, Ь)

+ К(х, у, Ь)и(у, Ь)(у = 0, (х,Ь) е Бт,

дп

Ъ

где Бт — боковая поверхность цилиндра.

2) Интегральное условие содержит след самого решения:

I

п(М) + / К Ш)п(М = 0;

о

и(х, Ь) + ^ К(х,у,Ь)и(у,Ь)(у = 0, (х,Ь) е Бт,

Ъ

где Бт — боковая поверхность цилиндра.

Будем обозначать условия вида 1)и2)ШиБ1 соответственно. Для исследования задач с условиями XI и 1)1 разработаны различные методы доказательства разрешимости, эффективные именно для каждого из этих вариантов нелокальных условий. Оказалось, что в случае N1 наиболее удачным

является метод компактности, позволяющий доказать разрешимость задачи в пространстве Соболева, а в случае Б1 можно применить как метод вспомогательных задач [71], так и метод сведения задачи с классическими граничными условиями, но для нагруженного уравнения [41].

Исследование нелокальных задач выявило их тесную связь с обратными задачами. В обратных задачах вместе с начальными и граничными условиями, характерными для той или иной прямой задачи, задается дополнительная информация, необходимость которой обусловлена наличием неизвестных коэффициентов или неизвестной правой части уравнения. Особый интерес вызывают обратные задачи с интегральными условиями переопределения, так как дополнительная информация часто поступает в усредненном виде. Основная часть работ, посвященных обратным задачам, содержит результаты исследований обратных задач для уравнений параболического типа. Отметим работы И. И. Иванчова [25], [26], [27], В. Л. Камынина [29], [30], [31], Дж. Кэннона с соавторами [115], [112], [116], А. И. Прилепко и А. Б. Костина [60], [62], А. И. Прилепко и Д. С. Ткаченко [63], [64]. Изучены вопросы существования и единственности решения. Для гиперболических уравнений исследование обратных задач является более трудным, и не всегда можно найти решение вне некоторой области. Например, в статье В. Г. Романова [82] приводится пример обратной задачи для гиперболического уравнения, решение которой существует и единственно в малом, но не существует глобально. Следует отметить, что в большинстве случаев, математическая модель физического процесса, описываемая с помощью уравнения гиперболического типа, является более точной. По этой причине интерес к изучению обратных задач для уравнений гиперболическго типа возрастает. Обратные задачи для гиперболических уравнений представлены в работах Н. Л. Абашеевой [1], А. X. Амирова [5], [6], Н. В. Бейлиной [11], [12], А. М. Денисова [16], [17], М. Ю. Кокурина и С. К. Паймерова [43], М. М. Лаврентьева [46], М. М. Лаврентье-

ва и В. Г. Романова [47], С. С. Павлова [58], [59], В. Г. Романова [81], Р. Р. Сафиулловой [92], [93].

В представленной работе методы исследования разрешимости задач с пространственно нелокальными условиями типа N1 получили дальнейшее развитие, и с их помощью доказана разрешимость задачи с динамическими условиями, содержащими интегральный оператор.

Разработан новый метод исследования задач с условиями типа 1)1. который оказался эффективным в случае одной пространственной переменной.

Доказана разрешимость задачи с нелокальным по времени условием. Полученный результат использован в значительной мере при исследовании обратной задачи для гиперболического уравнения.

Остановимся на более детальном освещении содержания настоящей работы.

Первая глава данной работы посвящена изучению задач с пространственно нелокальными условиями для гиперболических уравнений.

В первом параграфе рассмотрена задача с динамическим нелокальным условием второго рода. К задачам с динамическими условиями приводит математическое моделирование различных физических процессов: процессов переноса водорода сквозь металлические мембраны с учетом взаимодействия с ловушками и физико-химических процессов на поверхности, колебания мембраны, контактирующей с газообразным водородом, с учетом адсорбционно-десорбционных процессов на поверхности. Описание этих процессов и построение их математических моделей можно найти в работах Ю. В. Заики [23], [24]. Динамические условия в задачах для гиперболических уравнений возникают при изучении акустических явлений. В частности, использование ультразвуковых волн для различных задач медицины: использование ультразвука в качестве средства, разрушающего образования в почках, для неинвазив-ного лечения раковых опухолей, доставки лекарств и генетического материа-

л а при восстановлении кровотока в сосудах и лечении раковых образований. Реакция биологической ткани на воздействие ультразвука зависит от места воздействия, а так же от акустических и биологических свойств тканей, подвергающихся воздействию. Построение математических моделей для таких процессов изучалось в работе Т. Лу с соавторами [125].

Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями рассмотрена в работе [9]. Вторая производная по переменной времени появляется, если присутствует груз опредленной массы на конце пружины. Следует отметить, что наличие второй производной по времени в динамическом краевом условии в некоторых случаях позволяет найти решение с помощью метода разделения переменных [100]. В случае динамического условия, содержащего производную первого порядка по времени, применить этот метод невозможно даже для простейшего одномерного волнового уравнения.

Основной результат первого параграфа состоит в доказательстве разрешимости следующей задачи:

Задача 1. Найти в цилиндре Qт = ^ х (0,Т) решение уравнения

ии (х,г) — (агз и^ (х,ь))ху. + с(х,г)и(х,г) = / (х,г), (1)

удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0 (2)

и нелокальным условиям

+ Ф) +1К (х,у,Ь)и(у,г)(у = 0. (3)

Ъ

Результатом этого параграфа является следующее утверждение Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

агз е С^т),аг31 е С^т),агз = азг,ц^2 < агз^ < ^2,

К(х,у,г) е С(П х От),К^х,у,г) е С(й х От),

с е С (О т ),0г е С (О т),/ е Ь2 (От),

а(г) > 0,а(г) е С (От ),а'(г) е С (От).

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(3). Под обобщенным решением задачи понимается функция и(х, г) е W2>(Qт), удовлетворяющая условию и(х, 0) = 0 и тождеству т т

(—и^ + а^ищ+ сиу)(х(г + I I а(г)

о п о дп

т т

+ / / «(х> г)! К (х,у, Му, = / / / (х, Оф, (4)

0 да п о п

для всех у(х,г) е W21(Qт), удовлетворяющих условию у(х,Т) = 0.

Во втором параграфе рассматривается задача с интегральными условиями типа Б1 для одномерного гиперболического уравнения:

ии - (а(х, г)их)х + с(х, г)и = /(х, г). (5)

От

данным

и(х, 0) = 0, и(х, 0) = 0, (6)

а также интегральным условиям

I

и(0,г) + [ К1(х)и(х,г)(х = 0,

(7)

и(1,г) + I К2(х)и(х,г)(х = 0.

о

I

о

Показано, что условия (7) эквивалентны динамическим нелокальным условиям

а(0, Ь)пх(0,Ь) = ацп(0,Ь) + аип(1,Ь) + випи(0,Ь) + р\2Пи(1,Ь) +

I I

+ J Н1(х,Ь)п(х,Ь)(х + J Б1(х)/(х,Ь)(х,

0 0 (8) а(1, г)пх(I, Ь) = а.2\п(0, Ь) + а22п(1, Ь) + в21Пг(0, Ь) + в22Пь(1, Ь) +

I I

+ J Н2(х,Ь)п(х,Ь)(х + У Б2(х)/(х,Ь)(х, 00

где ац, вц, Нвыражаются через а, с, Кг. Установленная эквивалентность условий позволила применить к изучению разрешимости задачи 2 метод компактности. Доказано следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

(а) а е С(От),аг е С(От),а(х,Ь) > 0 У(х,Ь) е От,с е С(От),

(Ь) Нг е С (От ),Бг е С [0,1],/ е Ь2(Ят ),/г е Ь2(Ят),

(с) ап£2 - 2а21Сп - а22П2 > 0, впС2 + 2в21 Сп - в22П2 > 0,

(() аУ2 + а21 = 0, а'п(Ь) < 0, а22(Ь) > 0, в\2 + в21 = 0.

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (5), (6), (8), которое понимается как функция п(х,Ь)7 удовлетворяющая тождеству т I т

! J(—щУг + апхух + спу)(х(Ь + J у(0,Т)[а11п(0,Ь) + а12п(1,Ь)](Ь— 0 0 0

т т I

у(0,Т)[впщ(0,г) + в12п(,Ь)](и + У у(0,ь) ! Н1п(х(Ь— 0 0 0 т

— ! у(1, Ь)[а21п(0, Ь) + а22п(1, 0

Т Т I

+ У Уг(1,г)[в2т(0,г) + в22щ(1,г)]а- !у(1,^ н2п(х(г = 0 0 0 Т I Т I Т I

= J J -у у(0,г)! + ! у(1,г) ^ б2 ¡(х(г. (9)

0 0 0 0 0 0 Отметим, что задача с условием Б1 для многомерного гиперболического уравнения была рассмотрена в [41]. Для доказательства ее разрешимости предложен метод, позволяющий свести задачу с нелокальным условием к обычной начально-краевой задаче для нагруженного уравнения с помощью введенного интегрального оператора, ядро которого совпадает на боковой границе с ядром нелокального условия. Одним из условий разрешимости является обратимость интегрального оператора, входящего в нелокальное условие. Предложенный в представленной диссертационной работе метод позволил снять это ограничение.

Во второй главе работы исследованы задачи с нелокальным по времени условием: прямая и обратная.

В третьем параграфе изучается задача с нелокальным интегральным условием по времени для многомерного гиперболического уравнения. Большая часть публикаций, посвященных задачам с интегральными условиями для гиперболических уравнений, содержит исследования нелокальных задач по пространственным переменным [14], [41], [70], [73]. Задачи с нелокальными по времени условиями исследуются в работах [2], [36], [44].

Задачи с нелокальными по времени условиями тесно связаны с обратными задачами, условие переопределения в которых является интегральным [32], [60], [113]. Например, в [32] условие переопределения имеет вид

Т

! ш(т)п(х,Т)(т = х(х).

0

Заданные таким образом условия можно рассматривать как модель действия

некоего прибора, регистрирующего физические поля [16].

Основной результат третьего параграфа состоит в доказательстве разрешимости следующей задачи:

Пусть О — ограниченная область в Яп с гладкой границей дО, Т — конечное число. Обозначим От = О х (0,Т), 8т = дО х (0,Т) — боковую поверхность цилиндра От.

Задача 3. Найти в цилиндре От решение уравнения

Ьп = Пи — Ап + с(х,1)п = / (х,1), (10)

удовлетворяющее граничному условию

п(х,г) = 0, (и)

начальному условию

и нелокальному условию

п(х, 0) = р(х) (12)

т

! к(г)п(х,г)(И = н(х). (13)

0

Для доказательства существования единственного обобщенного решения применен метод сведения нелокального условия первого рода к условию второго рода

т

Мх' 0)ЧК (хМ(=з(х). (14)

0

Это позволило свести поставленную задачу к операторному уравнению. Затем показано, что из разрешимости операторного уравнения вытекает разрешимость поставленной задачи. Найдены условия однозначной разрешимости нелокальной задачи с условием (14). Показано, что при определенных ограничениях на входные данные, решение задачи с условием (14) принадлежит пространству W2(От) и является решением задачи 3.

В четвертом параграфе рассматривается обратная задача для многомерного гиперболического уравнения (10), где /(х,1) = р(х)Н(х, I), причем р(х) неизвестна. Для него поставлена следующая задача:

Задача 4.2 Найти пару функций (и,р)7 удовлетворяющих уравнению (10), начальным данным

и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, (15)

граничному условию

и(х,£)|£т = 0 (16)

и условию переопределения

[ Н(г)и(х,г)М = Е(х). (17)

Л

В работе выведено соотношение

т

р(х) = -1- \ I г(х, г)и(х, г)(И - АЕ(х)!, (18)

о

где г(х,{) = Н"({) + о(х,1)Н(I). Полученное соотношение позволило свести обратную задачу к операторному уравнению и доказать его разрешимость, а также показать, что разрешимость операторного уравнения влечет и разрешимость обратной задачи.

Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались на:

• Межвузовском научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2011-2015 гг. (руководитель - д.ф-м.н., профессор Л. С. Пулькина);

нения и их приложения», Самара, 2011;

• СамДифф-2013, Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 2013;

•

пираптов и молодых ученых с международным участием «Проблемы и перспективы развития естественных наук», Орел, 2014;

бачевские чтения — 2015», Казань, 2015.

стием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2016.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [85]-[90], [75].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 124 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 96 страниц машинописного текста.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Людмиле Степановне Пуль-киной за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Глава 1. Задачи с пространственно нелокальными условиями для гиперболических

уравнений

В этой главе рассмотрены две задачи с пространственно нелокальными условиями, содержащими производные по переменной времени. Такие условия называют динамическими.

§1. Задача с динамическим нелокальным условием

В этом параграфе рассмотрена задача с нелокальным условием второго рода, содержащим прозводную первого порядка по времени.

Задача 1. Найти в цилиндре Ят = & х (0,Т) решение уравнения

ии(х,г) - (агзищ(х,г))х. + е(х,г)и(х,г) = /(х,г), (1.1)

удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = 0,щ(х, 0) = 0 (1.2)

и нелокальному условию

+ аЩ +1к (х,уЛ)г,.(у,г)(1у = 0. (1.3)

п

Задачи с динамическими граничными условиями, содержащими производную первого порядка, возникают при математическом описании процессов с затуханием и отражением. Присутствие первой производной по времени так же может быть обусловлено наличием некоего демпфирующего устройства при изучении различных колебательных процессов. Простейший пример

задачи с динамическим краевым условием приведен в [100], в которой роль демпфера играет пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси колеблющегося тела, вследствие чего нужно учитывать сопротивление среды: для уравнения пц = а2пхх граничные условия имеют вид щ(1,1) = —кпх(1,1)+тд. Отметим, что даже в случае простейшего волнового уравнения для решения задачи с динамическим граничным условием, содержащим производную первого порядка по времени, не удается применить метод разделения переменных из-за вида граничных условий.

В статье [125] авторы получили решение задачи о нахождении решения уравнения

д2п д2п

дт2 дх2

в полуполосе (0,1) х (0, то) с условиями

п(х, 0) = ](х),

дп 0) = У(х), п(0,т) = ф(т),

4 {1,т) + дх {1,т ) = 0.

модифицируя метод Даламбера. Этот метод основан на представлении общего решения, что оказывается невозможным в случае уравнения с произвольными коэффициентами.

В этом параграфе для исследования разрешимости задачи 1 применен

О

п

в Яп с гладкой границей дО, дщ = а3пхн со$>(и,х^), V = (и\, ...,ип) — вектор внешней нормали в текущей точке Sт = дО х (0,Т), а(Ь) - функция, заданная в (0,Т), а ядро интегрального оператора К(х,у,Ь) задано в О х О т.

Основным результатом этого параграфа является доказательство разрешимости задачи 1.

Обозначим ) = {V : V Е W2.(QT), V(х,Т) = 0}. Введем понятие

обобщенного решения задачи (1.1)-(1.3), следуя известной процедуре [48] (с. 93). Предполагая, что и(х,г) удовлетворяет уравнению, умножим равенство (1.1) на гладкую функцию v(x,t), такую, что v(x,T) = 0, и проинтегрируем по Qт• В результате интегрирования по частям втор ого слагаемого (а^ ищ )Xj, мы получим равенство, содержащее условие (1.3): т т

! J(—и^ + а^ищvXj + сш)ё,хё,г + J ! а(г)и^йвйг+

0 П 0 дП

т т

+ ! / о / к (х,у, ^у, Щу^г = 1! 1Ых, ^ (1.4)

0 дп П 0 п

Полученное равенство (1.4) позволяет ввести определение обобщенного решения.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1.1)-(1.3) будем называть функцию и Е W2>(Qт ^удовлетворяющую условию и(х, 0) = 0 и тождеству (1.4) для всех V Е W2,(QT).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

аг] Е С(0}т), агзг Е С(0}т), аг] = а3%, 2 < аг]^ < 2, 0,

К(х,у,г) Е С(й х Qт), Кг(х,у,г) Е С(й х Qт),

с Е С (От), с Е С (От), 1 Е Ь2^т), а(г) > 0, а(г) Е С 1[0,Т].

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1.1)-(1.3). Доказательство теоремы довольно длинное, и мы разобьем его на пункты.

Единственность обобщенного решения

Единственность обобщенного решения докажем, как обычно, от противного. Предположим, что существует два различных решения щ(х, г), и2(х, г) задачи (1.1)-(1.3). Тогда их разность, и(х,г) = щ(х,г) — и2(х,г), удовлетворяет условиям и(х, 0) = 0,иъ(х, 0) = 0 и тождеству (1.4). Выберем в (1.4)

функцию

(*

/ п(х, п)(1г}, 0 < г < т., у(х,г) = \ т

0,т < г < Т.

Выбранная таким образом функция принадлежит И/21(От). Проделаем некоторые преобразования в (1.4). Интегрируем по частям слагаемые в левой части:

т т

Г Г Г Г 1 Г 2

utvtdxdt = — utudxdt = —- u (x,T)dx,

о n 0 n n

T т

//» ТЬ Л Л it

/ a j uxi Vxj dxdt = y^

aij VxdVx, dxdt =

- I I / MijUXitUXj

0 П ij=1 0 n ij=1

т

1 f f n da 1 f

2 ^l^tVXiVXjdxdt — 1 aij (x, 0)vxi (x, 0)vxj (x, 0)dx, о n ij=1 n

которые приводят нас к равенству

1

—2 J [u2(x,T) + aijvXi (x, 0)vXi (x, 0)]dx = n

т

Iff n da

= 2 ^~dtVxi (x,t)vXj (x,t)dxdt+ о n ij=1

т т

+f J ф, t)v(x, m^,t)dxdt — j f t)dsdt+

on 0 dn

т

+ J J v(x,t) J K(x,y,t)u(y,t)dydsdt. (1.5)

0 dn n

Интегрируем третье слагаемое правой части по частям и учитывая, что vt(x,t) = u(x,t)7 получим

J J a(t)ut(x,t)v(x,t)dsdt = j J a(t)u2(x,t)dsdt+ 0 dn 0 dn

+ J J a'(t)u(x,t)v(x,t)dsdt. 0 on

Тогда равенство (1.5) примет вид:

т

1J[u2(x,r) + aij(x, 0)vXi(x, 0)vXi(x, 0)}dx + J J a(t)u2(x,t)dsdt = n 0 dn

т n

~fdfLvxi(x,t)vxj(x,t)dxdt-

2J J ^ dt

0 n iL=1

т т

J J Ф, mx, гуф, t)dxdt -j fv^ t)j К^y t)u(y, my^it-

on 0 dn n

J a'(t)u(x,t)v(x,t)dsdt. (1.6)

0 dn

Следующий этап доказательства состоит в получении оценки. Заметим, что в силу условий теоремы существуют такие числа a > 0, c0 > О, К0 > 0,a1 > О,

max \ drL\ < d, Qt ' dt 1 " '

max \ c(x, t)| < c0, Qt

K0 = max / К2(x,y,t)dy,

Qt J n

max \a'(t)\ < a1. Qt

Оценим слагаемые в правой части (1.6):

т П Ю

\1 / / ^ VXi (x,t)VXj (x,t)dxdt\ < 2d J j ^ VXiVXjdxdt <

1 л Л n ГЛ 1 т Л n

111 voaL ч , „ , 1

j v x t v

^211 / j dt Xi ' Xj ^ 1 ~' ' — 2 II / v ~ Xi Xj 0 n iL=1 0 n iL=1

т

< a / v2dxdt.

0n

Для дальнейшей оценки воспользуемся неравенствами Коши, Кошп-Буняков-ского и получим

т т

| J!е(х,г)у(х,г)у1(х,г)йхйг |< J^(V2 + о п о п

т т

1! / v(х, ^ К(х,у, гЫу, < \ Ц ^

о дп п о дп

т

где

+1 иКо! J п2(х(г, оп

и = ! (1в, С2 = С- + 1,

дп

т т т

1 ! J а'^^йвйЦ < у[е ! J п2(1в(И + с(е) J ^ ъ2(8(И\. о дп о дп о дп

Заметим, что по условию теоремы а(г) > 0. Пусть а(г) > а0 > 0. Воспользуемся произволом е и выберем его так, чтобы выполнялось неравенство а0 — От > О0■ Для определенности будем считать, что е = О0- Тогда, с учетом оценок получим

т

2 I\п2(х,т) + аг^х,(х, 0)vxj(х, 0)]с1х + у J ^ п2(1в(И < п о дп

т т

< с° + ! J п2(х,г)(1х(И + aJ ! V22.(х,г)(х(г+ о п о п

т т

+с0 // v2(x,t)dxdt + а1с(е +11! (1.7)

о п о дп

Из представления функции v(x,t) следует

т т Ь т

ЦА^ = Ц(1 п(х,п)(п )2(х(г < г-Ц А^.

о п 0 п т о п

Учитывая, что по условию теоремы дй гладкая, к последнему слагаемому правой части (1.7) применим неравенство [48] (с. 77):

J V2(х,г)(1в < с!V(х,г) + у2(х,г)]йх дп п

и получим

т т

^^Цv2 (хм < (х,г)+

0 дп 0 п

где с1 = 1 у—с.

Учитывая полученные оценки, умножая обе части (1.7) па 2, получим

У ЬА^ г) + (x, 0)Vx, (x, °К (x, 0)](х + а* Ц и4s.it <

п 0 дп

т т

< (с0 + К0и + с2Т2) ! J и2(х,г)(х(г + 2(а + с1) ^ J V22,(х,г)((х((г, (1.8)

0 п 0 п

где с = 2с1 + с0, сз = 2(а + с1).

0

Введем функцию Wi(x, г) = / иХ1 ¿п- Тогда в силу представления функции v(x,t) будем иметь

Vxi(х,г) = иг(х,г) — и)г(х,Г)^Х.1 (х, 0) = —и)г(х,Г).

Теперь неравенство (1.8) можно записать в виде

т

J[u2(x,т) + а^(х, 0)ищ(х,г)и>Х:) (х,т)](х + а0 ^ J и2(кз(г < п 0 дп

т П т

< 2сJ ^^ и2(х,г)(х(г + (с0 + К0ш + с2Т2) ! J и2(х,г)(х(г+ 0 п г=1 0 п

П

2

/I V

^2и2(х, т)(х.

№

п г=1 21

п

Из условий теоремы следует, что а^гшх. > д^ш2. Для того, чтобы

' 3 ¿=1

перенести последнее слагаемое правой части неравенства в левую, воспользуемся произволом т и выберем его так, чтобы д — 2с3т > Тогда для т € [0, ] выполняется неравенство

mJ [u2(x,r) + w2(x,T )}dx < M [J j ^^ w2(x,t)dxdt + J j u2(x,t)dxdt], ü 0 ü i=1 0 ü

(1.9)

где m = min{l, C}, M = max{c0 + К0ш + C2T2, 2c3}. Применив к (1.9) лемму Гронуолла, приходим к выводу, что u(x,t) = 0 для t G [0, ]. Повторяя эти рассуждения для t G [, L получим, что u(x,t) = 0 и па этом промежутке. Через конечное число шагов убеждаемся в том, что задача (1.1)-(1.3) не может иметь более одного обобщенного решения. Существование обобщенного решения

Доказательство существования обобщенного решения задачи (1.1)-(1.3) проведем по следующей схеме: построим последовательность приближенных решений; покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность; далее покажем, что эта подпоследовательность слабо сходится; на последнем шаге покажем, что предел выделенной подпоследовательности и есть обобщенное решение.

Приближеное решение задачи (1.1)-(1.3) ищем методом Галеркина в виде

m

um(x,t) = Ck(t)wk(x), k=1

где wk G C2(Oí) — фундаментальная система в W2>(Q) и (wk,wl)l2(ü) = , из соотношений

J(umWl + aijum.wiXj + cumw¡)dx + J a(t)u]nwlds+ ü dü

+ ¡wi(x) ¡ ^у^у^ф = ¡ íwidx, (1.Ю)

dü ü ü

которые представляют собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных (г) :

4 (

; (t)+х лы ck (t) +х бы c„ (t) = f (t), (í.ii)

k=i k=i

где

fi (t) = j fwidx, Aki = a(t)j wkwids,

ü dü

Bki = j(atJwkxvnx + cwkwi)dx + ¡ wi(x)j Kwk(y)Лф.

ü dü ü Добавив к (1.11) начальные условия

ck (0) = 0, ck (0) = 0, (1.12)

приходим к задаче Коши. Так как коэффициенты системы (1.11) являются ограниченными функциями в силу условий теоремы, а свободные члены f Е L1(0,T), то эта задача однозначно разрешима и c'k Е L1(0,T) [61] (с. 21).

Получим априорную оценку, необходимую для продолжения доказательства. Умножив (1.10) па ci(t)7 просуммируем полученное равенство от 1 дот, а затем проинтегрируем по t от 0 до т Е [0,T]. Это приведет пас к равенству

у уМum + atJu™um.t + cumurln)dxdt + J J a(t)(u'¡n(x,t))2dsdt+ 0 ü 0 dü

+ ] ] щт(х^)] к(х,у,г)ит(у,г)(у(.в(г = у J 1иът(х(г, 0 дп п 0 п

которое после интегрирования по частям в левой его части примет вид

т

1 J\(и7т(х,т))2 + аг^(х,т)ит.(х,т)ит.(х,т)](х + а(г) ^ J(utm(x,t))2dsdt = п 0 дп

Т

т т

\ 1 д^к и™и™ — I I ситит(х(Ь—

VI .л^з

0 п 0 п

ит ^ Кит(у(з(Ь ^ у ¡^(хЖ. (1.13)

0 дп п 0 п

Оценим первое и второе слагаемые в правой части последнего равенства:

т т

\\ ( [ ^От<гит(х(Ь\ < а ( [{и^ЧхйЬ.

2 дЬ

0 п 0 п

т т

\ У ! ситит(ЫЬ\ < С0 J ![(ит)2 + (ит)2](1х(И. 0 п 0 п

Перейдем к четвертому слагаемому равенства (1.13). Заметим, что аргумент х функции щ(х, Ь) принадлежит дДля того чтобы получить оценку в нужном классе, сначала проинтегрируем это слагаемое по частям

ит(х,Ь) К (х,у,Ь)ит(у,Ь)(у(з(Ь =

н

0 дп п

т

ит(х,Ь) I К(х,у,Ь)ит(у,Ь)(1у(8(И+

0 дп п

т

т

^ у ит(х,Ь) у К(х, у, Ь)ит(у, Ь)(у(8(Ь— 0 дп п

— У ит(х,т) У К(х,у,т)ит(у,т)(у(в. (1.14)

дп п

Оценим слагаемые правой части равенства (1.14), применяя неравенство Ко-пш

т т

\ У У ит У Кит(1у(1в(1Ь \ < Ц I(ит(х1Ь))2(1в(И+ 0 дп п 0 дп

т

/(/ КиТ(у)2(в(Ь. 0 дп п

т

Так как

т

J J {um[x,T))2dsdt < c4 J[ium(x't))2+(um(x>^dxdt,

0 dn 0 n

J J (J Ku^dy )2dsdt < J J (J К 2dy J (um)2dy)dsdt < 0 dn n 0 dn n n

т

m\ 2,

< К0Ш / (um)2dxdt,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савенкова Алеся Евгеньевна, 2016 год

Список литературы

[1] Абашеева, Н. Л. О линейной обратной задаче для параболического уравнения второго порядка / Н. Л. Абашеева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2006. - Т. IX. Л'° 1. С. 4-12.

[2] Абдрахманов, А. М., Кожанов, А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка / А. М. Абдрахманов, А. И. Кожанов // Известия вузов. Математика. -2007. - № 5. - С. 3-12.

[3] Алиханов, А. А. Нелокальная краевая задача В. А. Стеклова второго класса для простейших уравнений математической физики / А. А. Алиханов // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2013. - № 1(30).- С. 15-23.

[4] Алиханов, А. А. Устойчивость и сходимость разностных схем, аппроксимирующих двухпараметрическую нелокальную краевую задачу / А. А. Алиханов // Дифференциальные уравнения. - 2013. -49:7. - С. 826-836.

[5] Амиров, А. X. К вопросу о разрешимости обратных задач / А. X. Амиров // Сибирский математический журнал. - 1987. - Т. XXVIII.

Л" 6. С. 3-11.

[6] Амиров, А. X., Ямамото, М. Времениподобная задача Коши и обратная задача / А. X. Амиров, М. Ямамото // Доклады РАН. - 2005. -Т. 402. - №1. - С. 7-9.

[7] Асанова, А. Т. Признаки однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений со смешанными производными / А. Т. Асанова // Известия вузов. - 2016. - № 5. - С. 3-21.

[8] Бицадзе, А. В., Самарский, А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А. В. Бицадзе, А.

A. Самарский // Доклады Академии наук СССР. - 1969. - Т.185. -№ 4. - С. 739-740.

[9] Бейлин, А. Б., Пулькина, Л. С. Задача о колебаниях стержня с нелинейным затуханием второго порядка / А. Б. Бейлин, Л. С. Пулькина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2015. - № 3(125). - С. 9-20.

[10] Бейлин, С. А. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с интегральным условием /С. А. Бейлин // Математические заметки ЯГУ. - 2004. - Т. И. - № 2. - С. 22-29.

[11] Бейлина, Н. В. Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения / Н. В. Бейлина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - № 6(65). - С. 28-39.

[12] Бейлина, Н. В. О разрешимости обратной задачи для гиперболического уравнения с интегральным условием переопределения / Н.

B. Бейлина // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2011. - № 2(23). - С. 34-39.

[13] Водахова, В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдогиперболического уравнения влагопе-реноса / В. А. Водахова // Дифференциальные уравнения. - 1982.

- Т. XVIII. - № 2. - С. 280-285.

[14] Гордезиани, Д. Г., Авалишвили, Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 1. С. 94-103.

[15] Гущин, А. К. Условие компактности одного класса операторов, его применение к исследованию нелокальных задач для эллиптических уравнений / А. К. Гущин // Математический сборник. - 2002. - Т. 193. - № 5. - С. 17-36.

[16] Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов.

- М.: Изд-во МГУ, 1994. - 207 с.

[17] Денисов, А. М. Обратная задача для гиперболического уравнения / А. М. Денисов // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36. -№ 10. - С. 1427-1429.

[18] Денисов, А. М. Обратная задача для гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент / А. М. Денисов // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18. Л" 1. С. 139-146.

[19] Дмитриев, В. В. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения гиперболического типа / В. В. Дмитриев // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2006. - Т. 42. - С. 35-40.

[20] Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной липни / В. И. Жегалов // Ученые записки Казанского университета. - 1962. - Т. 122. Л'° 3. С. 3-16.

[21] Жегалов, В. И., Уткина, Е. А. Краевая задача со сещениями в R3 / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Матер. III междунар. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математич. биологии, информатики и физики». - Нальчик. - 2006. - С. 118-120.

[22] Жегалов, В. И., Уткина, Е. А. Трехмерная нелокальная задача с нормальными производными в граничных условиях / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. -2006. - № И. - С. 86-87.

[23] Заика, Ю. В. Разрешимость уравнений модели переноса газа сквозь мембраны с динамическими граничными условиями / Ю. В. Заика // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1996. - 36:12. - С. Ю8—120.

[24] Заика, Ю. В. Математическое обоснование модели диффузии с обратимым захватом и динамическими граничными условиями / Ю. В. Заика // Труды ИГУ. Математика. - 1996. Л'° 3. С. 137—171.

[25] Иванчов, Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости / Н. И. Иванчов // Сибирский математический журнал. - 1994. - Т. 35. Л'° 3. С. 612-621.

[26] Иванчов, Н. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении / Н. И. Иванчов // Сибирский математический журнал. - 1998. - Т. 39. Л'° 3. С. 539-550.

[27] Иванчов, Н. И. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении / Н. И. Иванчов // Сибирский математический журнал. - 2002. - Т. 43. - № 2. - С. 406-413.

[28] Ионкин, И. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / И. И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294-304.

[29] Камынин, В. Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения / В. Л. Камынин // Математические заметки. - 2003. - Т. 73. - № 2. - С. 217-227.

[30] Камынин, В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения / В. Л. Камынин // Математические заметки. - 2005. - Т. 77. - Вып. 4. - С. 522-534.

[31] Камынин, В. Л. Об обратной задаче определения старшего коэффициента в параболическом уравнении / В. Л. Камынин // Математические заметки. - 2008. - Т. 84. - Вып. 1. - С. 48-58.

[32] Камынин, В. Л., Костин, А. Б. Две обратные задачи определения коэффициента в параболическом уравнении / В. Л. Камынин, А. Б. Костин // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. Л'° 3. С. 372-383.

[33] Камынин, В. Л. Об обратной задаче определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения / В. Л. Камынин // Математические заметки. - 2013. -Т. 94. - Вып. 2. - С. 207-217.

[34] Камынин, Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л. И. Камынин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1964. _ т. 4. - № 6. - С. 1006-1024.

[35] Кечина, О. М., Пулькина, Л. С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника / О. М. Кечина, Л. С. Пулькина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2009. - № 6(72). - С. 50-56.

[36] Кириченко, C.B. Об одной краевой задаче с нелокальными по времени условиями для одномерного гиперболического уравнения / С. В. Кириченко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2013. - Вып. 6(107). - С. 31—39.

[37] Кожанов, А. И. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения / А. И. Кожанов // Математические заметки ЯГУ. - 2001. - Т. 8. - № 1. - С. 33-49.

[38] Кожанов, А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера / А. И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. -№ 6. - С. 763-774.

[39] Кожанов, А. И. Нелокальная по времени задача для линейных параболических уравнений / А. И. Кожанов // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2004. - Т. 7. - № 1. - С. 51-60.

[40] Кожанов, А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений / А.

И. Кожанов // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2004. - № 30. - С. 63-69.

[41] Кожанов, А. И., Пулькина, Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А. И. Кожанов, Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т.42. Л'° 9. С. 1166-1179.

[42] Кожанов, А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных задач для линейных параболических уравнений / А. И. Кожанов // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2008. - № 3(62). - С. 165-174.

[43] Кокурин, М. Ю., Паймеров, С. К. Об обратной коэффициентной задаче для волнового уравнения в ограниченной области / М. Ю. Кокурин, С. К. Паймеров // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. Т. 48. Л'° 1. С. 115-126.

[44] Кузь, А. М., Пташник, Б. И. Задача з штегральними умовами для ршняння Клейна-Гордона у класа функщй, майже периодичних за просторовими 3X1111 н им и / А. М. Кузь, Б. И. Пташник // Прикл. проблеми мех. 1 мат. - 2010. - Вып. 8. - С. 41-53.

[45] Кумы копи. С. К., Репин, О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа / С. К. Кумы копи. О. А. Репин / / Известия вузов. Математика. - 2013. - № 8. - С. 57-65.

[46] Лаврентьев, М. М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения / М. М. Лаврентьев // ДАН СССР. - 1964. - Т. 157. - №3. -С. 520-521.

[47] Лаврентьев, М. М., Романов, В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов // ДАН СССР. - 1966. - Т. 171. - № 6. С. 1279-1281.

[48] Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. - М.: Наука, , 1973. - 407 с.

[49] Михлин, С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям / С. Г. Михлин. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 232 с.

[50] Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. - М.: Наука, 1983. - 424 с.

[51] Муравей, Л. А., Филиновский, А. В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения / Л. А. Муравей, А. В. Филиновский // Математические заметки. - 1993. - Т. 54. - № 4. С. 98-116.

[52] Нахушев, А. М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги / А. М. Нахушев // ДАН СССР. - 1978. - Т. 242. -№ 5. - С. 1008-1011.

[53] Нахушев, А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложение к динамике почвенной влаги и грунтовых вод / А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения. - 1982. - Т. 18. Л'° 1. С. 72-81.

[54] Нахушев, А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А. М. Нахушев. - М.: Наука, 2006. - 287 с.

[55] Нахушева, В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов./ В. А. Нахушева. М.: Наука, 2006. _ 174 с.

[56] Нахушева, 3. А. Об одной нелокалной задаче для уравнений в частных производных / 3. А. Нахушева // Дифференц. уравнения. -1986. - Т. XXII. Л" 1. С. 171-174.

[57] Нахушева, 3. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений / 3. А. Нахушева. -Нальчик: IIзл-по КБНЦ РАН, 2011. - 196 с.

[58] Павлов, С. С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением / С. С. Павлов // Математические заметки ЯГУ. - 2011.

- Т. 18. - Вып. 1. - С. 81-92.

[59] Павлов, С. С. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением / С. С. Павлов // Математические заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 18. - Вып. 2. - С. 128-153.

[60] Прилепко, А. И., Костин, А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и итегральным наблюдением / А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Математический сборник.

- 1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49-68.

[61] Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / Л. С. Понтрягин. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 311 с.

[62] Прилепко, А. И., Костин, А. Б. Об обратных задачах определения

коэффициента в параболическом уравнении / А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Сибирский математический журнал. - 1993. - Т. 34. - № 5. - С. 147-162.

[63] Прилепко, А. П., Ткачепко, Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А. И. Прилепко, Д. С. Ткачепко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43. - № 4. - С. 1392-1401.

[64] Прилепко, А. П., Ткачепко, Д. С. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А. И. Прилепко, Д. С. Ткачепко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. Т. 43. № 9. - С. 562-570.

[65] Пулькина, Л. С. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Известия вузов. Математика. - 1991. - № 11. - С. 48-51.

[66] Пулькина, Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Математические заметки. - 1992. - Т. 51. - Вып. 3. - С. 91-96.

[67] Пулькина, Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36. - № 2. - С. 279-280.

[68] Пулькина, Л. С. Нелокалная задача с интегральным условием для квазилинейного гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Математические заметки. - 2001. - Т. 70. - Выи 1. - С. 88-95.

[69] Пулькина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения /Л. С. Пулькина // Математические заметки. - 2003. - Т. 74. - Выи 3. - С. 435-445.

[70] Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 887-892.

[71] Пулькина, Л. С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44. - № 8. - С. Ю84—1089.

[72] Пулькина, Л. С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1 рода с ядрами, зависящими от времени / Л. С. Пулькина // Известия вузов. Математика. - 2012. -№ 10. - С. 32-44.

[73] Пулькина, Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений / Л. С. Пулькина. - Самара: Из-по «Самарский университет», 2012. - 193 с.

[74] Пулькина, Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II родов / Л. С. Пулькина // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 4. - С. 74-83.

[75] Пулькина, Л. С., Савенкова, А. Е. Новый метод исследования задач с условиями, содержащими след самого решения, эффективный в случае одной переменной. /Л. С. Пулькина, А. Е. Савенкова // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. - 2016. - № 1, - С. 33-45.

[76] Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического типа / О. А. Репин. - Самара: Самарский филиал издательства Саратовского университета, 1992. - 162 с.

[77] Репин, О. А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / O.A. Репин / / Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31. Л" 1. С. 175-176.

[78] Репин, O.A. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями смешанного типа / О. А. Репин // Доклады РАН. - 1999. -Т. 365. - № 5. - С. 593-595.

[79] Репин, О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лы копи / O.A. Репин / / Дифференциальные уравнения. - 2002.

- Т. 38. - № 10. - С. 1412-1417.

[80] Репин, О. А., Сайганова, С. А. О нелокальной задаче для одного уравнения гиперболического типа / O.A. Репин, С. А. Сайганова / / Известия вузов. Математика. - 2011. Л'° 1. С. 18-21.

[81] Романов, В. Г. Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения / В. Г. Романов // Дифференциальные уравнения. - 1968. -Т. 4. 1. - С. 87-101.

[82] Романов, В. Г. Пример отсутствия глобального решения обратной задачи для гиперболического уравнения / В. Г. Романов // Сибирский математический журнал. - 2003. - Т. 44. - № 5. - С. 1110-1112.

[83] Сабитов, К. Б., Исянгильдин, А. X. Задачи типа Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа / К. Б. Сабитов, А. X. Исянгильдин // Доклады РАН. - 1992.

- Т. 326. Л" 5. - С. 787-791.

[84] Сабитов, К. Б., Исянгильдин, А. X. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми / К. Б. Сабитов, А. X. Исянгильдин // Дифференциальные уравнения. -1996. - Т. 32. Л" 3. С. 409-412.

[85] Савенкова, А. Е. Об одной обратной задаче для уравнения колебания струны / А. Е. Савенкова // СамДифф-2011. Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. Самара: Универс-групп. - 2011. - С. 111.

[86] Савенкова, А. Е. Об одной обратной задаче для гиперболического уравнения / А. Е. Савенкова // СамДифф-2013. Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. Самара: Универс-групп. - 2013. - С. 74.

[87] Савенкова, А. Е. Обратная задача с интегральным условием переопределения для гиперболического уравнения / А. Е. Савенкова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2014. - № 3(114). - С. 83-92.

[88] Савенкова, А. Е. Об одной задаче с динамическим нелокальным условием для гиперболического уравнения / А. Е. Савенкова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2015. - № 3(125). - С. 44-52.

[89] Савенкова, А. Е. Об одной обратной задаче для гиперболического уравнения / А. Е. Савенкова // Труды Математического центра имени И.И. Лобачевского. Казань. Казанское математическое общество. - 2015. - Т. 52. - С. 130-132.

[90] Савенкова, А. Е. Об одной задаче с нелокальным по времени условием для многомерного гиперболического уравнения / А. Е. Савенкова

// Труды десятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ. - 2016. - С. 78-81.

[91] Самарский, А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. / А. А. Самарский // Дифференциальные урравнения. - 1980. - Т. 16. - № 11. - С. 1221-1228.

[92] Сафиуллова, Р. Р. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием при составном переопределении / Р. Р. Сафиуллова // Математические заметки ЯГУ. - 2006. - Т. 13. - Вып. 2. -С. 79-94.

[93] Сафиуллова, Р. Р. Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / Р. Р. Сафиуллова // Вестник ЮУрГУ. Серия математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6. - Вып. 4. - С. 73-86.

[94] Свирежев, Ю. М., Пасеков, В. П. Основы математической генетики / Ю. М. Свирежев, В. П. Пасеков. - М.: Наука, 1982. - 511 с.

[95] Скубачевский, А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / А. Л. Скубачевский // Математический сборник. - 1983. - Т. 121(163). - № 2(6). - С. 201-210.

[96] Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. I / А. Л. Скубачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - Т. 26. - С. 3-132.

[97] Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II / А. Л. Ску-

бачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - Т. 33. - С. 3-179.

[98] Стеклов, В. А. Основные задачи математической физики / В. А. Стеклов. - М.: Наука, 1983. -Т. 121(163). - 443 с.

[99] Стеклов, В. А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела / В. А. Стеклов // Сообщение Харьковского математического общества. - 1986. - Сер. 2. Т. 5. № 3-4. - С. 136-181.

[100] Тихонов, А. Н., Самарский, А. А. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 736 с.

[101] Уткина, Е. А. К задачам со смещением для четырехмерного уравнения Бианки / Е. А. Уткина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - № 8(2). - С. 212— 221.

[102] Уткина, Е. А. О задачах со смещениями в граничных условиях для двух уравнений с частными производными / Е. А. Уткина // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки. - 2006. - Т. 148. - Книга 4. - С. 76—82.

[103] Уткина, Е. А. Об одной краевой задаче со смещением в четырехмерном пространстве / Е. А. Уткина // Известия вузов. Математика. -2009. Л" 3. С. 50-55.

[104] Уткина, Е. А. Задача Неймана для одного уравнения четвёртого порядка / Е. А. Уткина // Вестник СамГТУ. - 2009. - № 2(19). - С. 29^37.

[105] Уткина, Е. А. Задача со смещением для трехмерного уравнения Бп-анки / Е. А. Уткина // Дифференциальные уравнения. - 2010. - № 4. - С. 535 539.

[106] Уткина, Е. А. Об одной задаче со смещениями в граничных условиях / Е. А. Уткина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2011. - № 8(89). - С. 102-107.

[107] Франкль, Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф. И. Франкль // ПММ. - 1956. - Т. 20. - № 2. - С. 196-202.

[108] Bassanini, P., Calaverni, М. Contrazoni multi, sistemi iperbolici, e problema del laser / P. Bassanini, M. Calaverni // Atti Semin. mat. e fis. Univ. Modena. - 1982. - V. 31. ..V" 1. P. 32-50.

[109] Bouziani, A. On the solvability of a nonlocal problem arising in dynamics of moisture transfer / A. Bouziani // Georgian Mathematical Journal. - 2003. - №4. - P. 607-622.

[110] Caffarelli, L. A., Friedman, A., Vistin, A. A free boundary problem describing transition in a superconductor /L. A. Caffarelli, A. Friedman, A. Vistin // SIAM J. Math. Anal. - 1981. - V.12. - № 5. - P. 679-690.

[111] Cannon, J. R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy / J. R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. -№ 21. - P. 155-160.

[112] Cannon, J. R., Duchateau, P. An Inverse Problem for an unknown sourse term in wave equation / J. R. Cannon, P. Duchateau // JSIAM J. APPL. MATH. - 1983. - V. 43. - №3. - P. 553-562.

[113] Cannon, J. R., Lin, Y. An Inverse Problem of Finding a Parameter in a Semi-linear Heat Equation / J. R. Cannon, Y. Lin // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1990. - № 145. - P. 470-484.

[114] Cannon, J. R., Lin, Y. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation / J. R. Cannon, Y. Lin // J. Austral. Math. Soc. Ser. - 1991. - Vol. 33. - № 2. - P. 149^163.

[115] Cannon, J. R., Lin, Y. Determination of a parameter p(t) in some quasilinear parabolic differential equations / J. R. Cannon, Y. Lin // Inverse Problems. - 1998. - Vol. 4. ..V 1. P. 35 45.

[116] Cannon, J. R., Lin, Y., Wang, S. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation / J. R. Cannon, Y. Lin, S. Wang // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. - 1991. - V. 33. - P. 149-163.

[117] Gajewski H. On the asymptotic behavior of a system of reaction-diffussion equations / H. Gajewski // Rept. Acad. Wiss. DDR. Zentralinst. Math, and Mech. - 1980. - № 5. - P. 13-17.

[118] Ganapol B. D., Spiga G. Time dependent radiativ transfer in a semiinfinite medium with a reflecting boundary / B. D. Ganapol, G. Spiga // Z. angew. Math, and Phys. - 1981. - V. 32. - № 5. - P. 555-569.

[119] Gordeziani, D., Avalishvili, G. Investigation of nonlocal initial boundary value problems for some hyperbolic equations / D. Gordeziani, G. Avalishvili // Hirosima Math. .1. 2001. ..V" 1. P. 345-366.

[120] Yamada, A., Funakoshi, H. On a mixed problem for the M'Kendric-von Foerster equation / A. Yamada, H. Funakoshi // Quart. Appl. Math. -1982. - V. 40. - № 2. - P. 165-192.

[121] Bazant, Z. P., Jirasek, M. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: survey of progress / Z. Bazant, M. Jirasek // Journal of Engeneering mechanics. - 2002. - (november). - P. 119-1149.

[122] Zhegalov, V. I. On the Tricomi problem whith non-local boundary conditions / V. I. Zhegalov // Teubneu-Text zur Mathematic. (Dedicated to the memory of F.Y. Tricomi). - 1986. - Bd. 90. -Leipzig:BSB Teubner. - P. 301-312.

[123] Zhegalov, V. I., Chabacaev, R. R. Non-local Cauchy-Goursat problem / V. I. Zhegalov, R. R. Chabacaev // World Scientific Publ. Co. Serie in Pure Math. - V. 2. Topic in Mathematical analysis (A volume dedicated to the memory of A. L. Cauchy). - 1989. - P. 301-312.

[124] Song, J. (J. Sun) Some developments in mathematical demography and their application to the People's Republic of China / J. Song // Theor. Popul. Biol. - 1982. - V. 22. - № 3. - P. 382-391.

[125] Louw, T., Whithney, S., Subramanian, A., Vilijoen, H. Forced wave motion with internal and boundary damping / T. Louw, S. Whithney, A. Subramanian, H. Vilijoen // Journal of Applied Physics. - 111. 014702(2012).