Нелокальные краевые задачи для некоторых классов уравнений нечетного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лукина, Галина Александровна

• Лукина, Галина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукина, Галина Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

§1.1 Пространственно нелокальные краевые задачи с граничными условиями A.A. Самарского для уравнений третьего порядка

§1.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка.

§1.3 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза.

2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАВОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§2.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений.

§2.2 Краевая задача с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные краевые задачи для некоторых классов уравнений нечетного порядка»

Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов механики, физики, биологии нередко приводит к задачам, называемым в последнее время нелокальными. Более точно, нелокальными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо обычных точечных ("локальных") граничных условий задается связь значений решения и (или) его производных в различных точках граничных и внутренних многообразий. Простейшим примером нелокальной задачи является задача нахождения периодических решений, более интересными и значительно трудными представляются задачи, называемые задачами Бицадзе - Самарского [5]. Уже давно было замечено, что нелокальные краевые задачи обладают особенностями, которых нет у обычных, локальных краевых задач. Так, например, в нелокальных краевых задачах для параболических уравнений с условиями Бицадзе - Самарского, обобщающих первую, вторую и третью начально - краевые задачи, возникает эффект понижения гладкости (подобный эффект для классических локальных задач отсутствует), нелокальные интегральные условия могут существенно изменить скорость убывания решений параболических уравнений и т. д.

При математическом моделировании тех или иных процессов может возникнуть ситуация, когда граница области протекания реального процесса недоступна для измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения или же в виде интегралов от решения. С точки зрения математики такая ситуация приводит к новым нелокальным задачам с интегральными условиями.

Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall [67], Г.М. Кесель-мана [22], A.A. Шкаликова [64].

В статье A.JI. Скубачевского и Г.М. Стеблова [56] рассмотрена задача о

2 С{ спектре дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами

Fu — Xu = — a${x)u"{x) + ai(x)ur(x) -f- а,2(х)и(х) — Хи(х) = f(x) с нелокальными условиями в виде интегралов Римана: 1

Краевые задачи с подобными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений изучались также в работах Ю.Т. Сильченко [51, 53].

Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon [76] и К. Rektorys [82], опубликованные в 1963 году. В статье [76] доказано существование и единственность классического решения одномерного уравнения теплопроводности

Исследование нелокальных по пространственным переменным задач для параболических уравнений были продолжены в работах Л.И. Камынина [20], Н.И. Ионкина [19], J1.A. Муравья и A.B. Филиновского [36, 37], С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука [3], A. Bouziani и N-E. Benouar [68, 69], A. Bouziani [70, 72], Н.И. Иванчова [18], J.R. Cannon и Van der Hoek [74, 75], З.А. Нахуше-вой [41, 42], Ю.Т. Сильченко [50, 52, 83], А.И. Кожанова [24], JT.C. Пулькиной о

Щ = ихх, х > 0, t > 0, удовлетворяющего условиям и(х, 0) = <р(х), х > 0, о

В статье [82] интегральное условие имеет вид о

В 1964 году Л.И. Камынин [20] рассмотрел краевую задачу для линейного одномерного параболического уравнения второго порядка общего вида с неклассическими граничными условиями вида x2(t) j g(x:t)u(x,t)dx = E(t), Xi (t) где Xi, i = 1,2, g(x,t), E(t) - заданные функции. Здесь автор доказывает существование единственного, непрерывного вплоть до границы решения.

В 1977 году Н.И. Ионкин [19] рассмотрел задачу с интегральным условием другого вида для уравнения теплопроводности: щ — ихх + F(x,t), 0 < ж < 1, 0 <t<T, и(ж,0) = ip(x), 0 < ж < 1, u(0,t) = 0 < t < Т, 1

J и(х, t)dx = ß(t), 0 < t < Т. (*) о

В этой статье доказано существование единственного непрерывного в замкнутой области решения.

В обзорной статье A.A. Самарского [49] приведены примеры задач, при математическом моделировании которых возникает условие (*), которое принято теперь называть условием A.A. Самарского.

В статье JI.A. Муравья и A.B. Филиновского [37] рассмотрена задача с интегральными условиями, связанными со значениями искомого решения в точках границы: щ = k(t)uxx, 0 < ж < 1, 0 < t < Т, и(0,х) = щ(х), 0 < х < 1, мж(^0) = 0, 0 <t<T, 1 1 p(t)u(t, 1) + J u(t, x)dx = poqo + J u0(x)dx, ie(0,T), о о где щ(х), &(t), p{t) - заданные функции, % ~ заданные числа. В работе решен вопрос о существовании обобщенного решения и зависимости свойств решения от гладкости.

В работе A. Bouziani и N-E. Benouar [68] рассмотрена следующая задача: vt - (ф, t)vx)x + Ъ(х, t)vx + с{х, t)v = f(x,t), 0 <х<1, 0 <t<T, v(x,0) = <р(х), 0 < х < I, l l о о а в работе З.А. Нахушевой [42] изучена задача для одномерного однородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике D — {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < 6} с классическим начальным условием и двумя интегральными: а д д у о а д О <у<ъ, 0 < а < а,

J u(x, y)dx = ф(у), 0 < у <Ь, 0 <ß<a.

В работе А.И. Кожапова [24] методами регуляризации и продолжения по параметру исследована разрешимость некоторых пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского для линейных параболических уравнений.

Краевые задачи с нелокальными по времени условиями для параболических уравнений были изучены в работах А. А. Керефова [21], J. Chabrowski [77, 78], B.B. Шелухина [62, 63], Г.М. Либермана [31], А.И. Кожанова [23], М.В. Уваровой [61].

Нелокальные условия общего вида и(ж,0) = Ви + щ{х), где В - некоторый линейный оператор, были предложены в следующих работах. В статье А.И. Кожанова [23] изучена разрешимость краевых задач для линейных параболических уравнений щ - alj(x,t)uXiXt + al(x,t)uXi + a(x,t)u = f(x,t).

Методом продолжения по параметру доказано существование регулярного решения, а также решения обладающего свойством ограниченности. В статье М.В. Уваровой [61] рассмотрен вопрос о разрешимости нелокальных краевых задач для операторно - дифференциальных уравнений вида щ- Lu + ju = f, где L - позитивный оператор и 7 - вещественный параметр. Доказаны теоремы о существовании и единственности решений при определенных условиях на параметр.

Начало систематических исследований нелокальных начально - краевых задач для эллиптических уравнений было положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [5]. Весьма глубокие результаты в разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений получили А.К. Гущин и В.П. Михайлов [8], А.К. Гущин [9, 10], Б.И. Панеях [43], A.JI. Скубачевский [54, 55], Е.М. Галахов и A.JL Скубачевский [6].

Одним из источников задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений явилась работа A.B. Лыкова [34], посвященная моделированию некоторых процессов тепло- и массообмена. В работах А.М.Нахушева [38, 39] выявлена тесная связь нелокальных задач для гиперболических уравнений с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи с интегральными граничными условиями для гиперболических уравнений весьма активно исследуются, отметим работы A. Bouziani [71], S. Mesloub и

A. Bouziani [81], Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [7, 79], С.А. Бейлина [66], JI.C. Пулькиной [44, 45, 47], А.И. Кожанова и JI.C. Пулькиной [27, 28],

B.Б. Дмитриева [13].

Большой вклад в развитие теории, нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии A.J1. Скубачевско-го [84] и A.M. Нахушева [40].

Резюмируя, можно сказать так. Нелокальные краевые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями представляют собой новый класс задач для уравнений с частными производными. На этот класс не всегда напрямую переносятся методы, использованные ранее при исследовании локальных краевых задач. Актуальность исследований, связанных с построением теории нелокальных краевых задач объясняется как потребностями математики, так и потребностями математического моделирования. Отметим еще один аспект, поясняющий актуальность тематики, связанной с нелокальными задачами: подобные задачи часто возникают при исследовании разрешимости линейных и нелинейных обратных коэффициеитных задач для уравнений математической физики.

В настоящей диссертации исследуется разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями по времени для уравнений третьего порядка, а также краевых задач с интегральными граничными условиями по пространственным переменным и с нелокальными по одной временной переменной условиями для ультрапараболических уравнений.

Для (2т+1)-параболических уравнений локальные краевые задачи достаточно хорошо изучены в работах Ю.А. Дубинского [14, 15], И.Е. Егорова и В.Е. Федорова [17], исследования же, связанные с нелокальными задачами, только начались. В 2007 году A.M. Абдрахманов, А.И. Кожанов [1], в 2010 году A.M. Абдрахманов [2] изучили для таких уравнений разрешимость нелокальных краевых задач с интегральными по пространственным переменным условиями. Нелокальные задачи с заданием связи-решения и его производных на линиях t = 0 и t = Т для уравнений третьего порядка рассматривались в работах А.П. Львова [32, 33]. Также нелокальные задачи для операторно-дифференциальных уравнений нечетного порядка были рассмотрены в монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [16].

В работе A.M. Абдрахманова и А.И. Кожанова [1] для уравнений нечетного порядка рассматривалась краевая задача с заданием граничного условия функционального (в частности, интегрального) вида, и была установлена разрешимость исследуемой задачи при выполнении условия взаимной однозначности линейного оператора, построенного по граничному условию (в случае граничного условия интегрального вида этот оператор является оператором Фредгольма второго рода).

В статье A.M. Абдрахманова [2] исследована разрешимость краевой задачи для уравнений нечетного порядка с заданием на границе условия, связывающего значения конормальной производной со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Кроме цитированных выше работ [1, 2], можно отметить лишь работы A. Bouziani [70, 69], в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках.

Уравнения с кратными характеристиками активно изучаются в школе академика АН Республики Узбекистан Т.Д. Джураева [11, 12]. Но нелокальные задачи, в частности, задачи с интегральными условиями для таких уравнений ранее не исследовались.

В настоящей диссертации исследуется разрешимость краевых задач с интегральными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза.

Краевые задачи для ультрапараболических уравнений были изучены в работах С.А. Терсенова [57, 58, 59], С.Г. Пяткова [48], М.М. Лаврентьева [29].

В работе А.И. Кожанова [25] рассмотрена задача моделирования популяций, которая сведена к исследованию разрешимости нелокальной краевой задачи для квазилинейного ультрапараболического уравнения с астрономическим временем t и биологическим временем а, т. е. возрастом. Доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений.

Работ, посвященных разрешимости краевых задач с граничными условиями интегрального вида для ультрапараболических уравнений практически нет, можно отметить лишь работы А. Bouziani [70, 73], в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках.

Нелокальные краевые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями как по времени, так и по пространственной переменным, для ультрапараболических уравнений ранее не изучались.

Цель работы. Доказательство теорем существования и единственности, изучение свойств решений нелокальных краевых задач для новых классов уравнений нечетного порядка - (2т+1)-параболических уравнений, ультрапараболических уравнений, уравнений с кратными характеристиками.

Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, метод регуляризации, а также метод априорных оценок.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• доказана разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского для уравнений третьего порядка;

• доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка;

• доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза;

• доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений;

• доказана разрешимость краевой задачи с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа имеет фундаментально - теоретическое значение. Все полученные результаты являются новыми. Область их практического применения - теория краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Более конкретная задача, на решение которой направлена данная работа - построение^ теории разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений -в частности, для (2т+1)-параболических уравнений, для уравнений с кратными характеристиками (аналогичных линеаризованным уравнениям Кортевега - де Фриза) и ультрапараболических уравнений. В число перспективных направлений применения результатов для дальнейших исследований, можно отметить постановку и исследование новых краевых задач для неклассиче1 ских уравнений математической физики. Полученные результаты могут применяться в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию 1 разрешимости нелокальных краевых задач для уравнений третьего порядка.

Пусть Q есть интервал (0,1) оси Ож, Q есть прямоугольник х (0,Т), 0 < Т < +оо.

В §1.1 рассмотрены пространственно нелокальные краевые задачи для уравнения um + uxx - fj,(x,t)u = f(x,t) (1) s, с интегральными условиями A.A. Самарского с переменными коэффициентами их(0,t) = ai(í)«(0,t) + a2(í)«(l,*), О < t < T, либо u(0,t) = aiWtixíO,*) + a2(íK(M), 0 < í < T, где jn(x,t), f(x,t), c¿i(t), a:2(t), /?i(t), /32í) - заданные функции, определенные при я G П, í е [О,Г].

Краевая задача 1: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (2), а также условия и(х, 0) = щ(х, 0) = и(х, Т) — 0, жбП. (4)

Краевая задача 2: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (2), а также условия и{х: 0) = щ(х, 0) = utt(x, Т) = 0, х е П. (5)

2 3

Обозначим для краткости через Vo пространство W2}x t(Q). Теорема 1. Пусть выполняются условия ji{x,t) е CX(Q), n(x,t)>n о>0 при (x,t)eQ\ o¿i(t) Е с3([о, т]), AM е с3([о,т]), ¿ = i,2; a2(f)+ &(*)< 2 Vi G [0, T]; i ml + Ы*) - - Шй >° при te [о, т], fe, е Д2; f(x,t)eL2{Q), Ux,t)eL2{Q).

Тогда краевая задача 1 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству Vq.

Теорема 2. Пусть выполняются условия fj.(x,t) е Cl(Q), fi(x,t) > fio > 0, при (x,t) е Q;

Oi(t) eC3([0,T]), ft(i)GC3([0,T]), ¿ = 1,2; a2(*)+&(*)< 2 Vie [0,71; M*) - A(*)]&& - h{t)& > 0 ^ * e [0, П 6) e я2; f{x,t) g l2(Q), fx{x,t) e L2(Q).

Тогда краевая задача 2 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству Vq.

Разрешимость краевых задач с условиями (3) удалось установить, к сожалению, лишь в случае аг-, Д = const, г = 1,2.

Краевая задача 3: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (4) и u(o,t) = alUx(Q,t) + «2^(1, г), о < г < т,

Краевая задача 4: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (5) и (3*).

Теорема 3. Пусть выполняются условия fi(x,t) е Cl(Q), fi(x,t) > ¡j,о>0 при (x,t)eQ; а2 + /32 < 2; ttitf + [а2 - - > о при Gi?2; f{x,t)eL2{Q), Mx,t) е L2(Q).

Тогда краевая задача 3 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству Vq.

Теорема 4. Пусть выполняются условия p{x,t) £ Cl(Q), > А^о > 0 при (ж,t) е Q] а2 + 132 < 2; «itf + [«2 - - > 0

11

М) €¿2«», Л(М)

Тогда краевая задача 4 имеет решение и(х,{), принадлежащее пространству

В §1.2 рассмотрены нелокальные краевые задачи с интегральными условиями по времени для уравнения (1).

Пусть К2(х, заданные функции, определенные при ж бП, £ <Е [0,Т].

Краевая задача 5: найти функцию и{хявляющуюся в прямоугольнике (5 решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия и(0, г) = и{ 1,^ = 0, 0 < í < Т, (6)

Т т и(х, 0) = J щ(х,0) = У К2(х^)и(х^)сИ, о о т и(х,т) = у к3(х,г)и(х^)<н, х е о. о

Краевая задача 6: найти функцию и{х^), являющуюся в прямоугольнике <5 решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (6) и

Т т и ии(х,Т) = У К3(х^)и(х^)сИ, х €Е о

Краевая задача 7: найти функцию и{хявляющуюся в прямоугольнике ф решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (6) «

Т т и щ(х,Т) = У Къ(х,1)и(х,£)<й, хбП. о

Пусть (В{и)(х) есть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами т

В{и)(х) = J Кг(х,т)и(х,т)с1т, 2=1,3. о

Теорема 5. Пусть выполняются условия

ММ) е с3©), ММ) > мо > о при е <2; ш(М) > 0, /Ае:с(М) < 0, /ММ) < О, при (М) ^

Т) > О при х Е

ЯМ) е£2(<Э); пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода ю(М) = ММ) - - ^ №«)(*) - (* - №«)(*) - ^(В3«)(*) однозначно обратимо и число Т мало. Тогда краевая задача 5 имеет решение и(х,£), принадлежащее пространству

Уточним, что ниже (в §1.2) условия на число Т будут указаны точно.

Теорема 6. Пусть выполняются условия

ММ) £ С3©), ММ) > До > 0 при Е <3; Мш(М) > 0, /¿хх(М) < 0, /ММ) < О пргг (ж,£)еф;

М®,Т)>0, /хй(я,Т)> О, |^(®,Г)| < ^л/М*^), К0<^, х Е П; пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода 2 г<;

М) = ММ) " (В1м)(я;) - *(В2«)(ж) однозначно обратимо и число Т мало. Тогда краевая задача 6 имеет решение u{x,t), принадлежащее пространству Vq. Пусть V\ есть пространство

Vx = {v(x, t) : v(x, t) G Vo, v(x, 0) = vt(x, 0) = vt(x, T) = 0, xG Q, v(0,t) = v(l,t) =0, t E (0,T)}.

Введем обозначения: Пусть А есть фиксированное число такое, что А > Т.

Hi = max \fix(x, M2 = max\ц(х, t)|; Q Q fi0 = mmj/ifa;, t)-(A- t)m(x, £)); = т^о ~ 2AT2^; Q 2

С,- = 6A2(Miz)2T + ЗМ23 +

A2

A - T ¿ = 1,3;

Q+3 = 6a(l + ^) + ^M2T, ¿ = 1,3; = 4(Сг + а+3), » = 1,3; Rq = max(i?i, iî2 + R3).

Постоянные Mi3, M-3 i = 1,3, определяются функциями /i(rc,i), i = 1, 3, и числом T (см. §1.2).

Теорема 7. Пусть выполняются условия i{x,t) e C\Q), Щ > 0;

До < 1; Ki{x,t) eC2(Q), г = 173; f(x,t) G L2(Q)\ пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода w(x,t) = u(x,t) - (BlU)(x) - (t - (B2u)(x) - ^(B3u)(x) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 7 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V\.

В §1.3 исследуется разрешимость краевых задач с интегральными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза.

Краевая задача 8: найти функцию и{х^), являющуюся в прямоугольнике ф решением уравнения щ + иххх - /х(х, г)и = /(ж, £) (7) и такую, что для нее выполняются условия м(аг,0) = 0, хеП, (8)

1 1 14(0, = У К1(х^)и(х^)с1х, и{ 1,£) = £ К2(х^)и(х^)с1х,

1,г) = !к3(х,г)и(х,o<t<т. о

Краевая задача 9: найти функцию и(хявляющуюся в прямоугольнике решением уравнения (7) и такую, что для нее выполняются условие (8); а также условия

1 1 ихх(0,4) = £ К1(х,1)и(х^)с1х1 м(1,£) = £ К2(х:1)и{х,Ь)(1х, их 1

1,*) = £ Къ{х^)и{х^)йх, о < г < т. о

Обозначим для краткости

Пусть В{и есть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами 1

В{иЩ = £ Кг{у, Ь)и(у, % = 173. о

Теорема 8. Пусть выполняются условия

К{{ 0,*) = Кг( 1,*) = ^„(0,*) = 0, * = 1,3, м) <Е СЪ(С}), -¿¿(ж,£) > /20 > 0 при (ж,£)е(2; /^(ж,Т) < 0 при а; € П;

Щх^) г = Т73; пусть интегральное уравнение Фредголъма второго рода и(ж,£) ~{х- 1)2(Вги)(*) + х{х - 2)(В2и)(€) - ж(ж - 1)(£3и)(£) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 8 имеет решение м(ж,£), принадлежащее пространству Уо.

Теорема 9. Пусть выполняются условия

Кг(1,Ь) = К1у( 0,*) = К{уу{ О,*) = 0, » = ТД ж,*) е С3(д), -/¿(ж,г) > [10 > о при (ж,г) е <2; ¿¿¿(ж,Т) < 0 при х £ Г2;

- ЛЬ > 0; С3®), г = 173; ж,*) е£2(<2); пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода ы(х,€) = и(ж,£) - ~(х - 1 )2(ВтЩ - (в2и)(*) -{х- 1)(53«)Й однозначно обратимо. Тогда краевая задача 9 имеет решение и{х,Ь), принадлежащее пространству Ц.

Постоянные N1, N2 определяются функциями //(ж,£), К{(х, т), г = 1,3. Во второй главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость нелокальных краевых задач для ультрапараболических уравнений.

§2.1. Пусть О есть интервал (0,1) оси Ох, Я = О, х (0, Тг) х (0, Т2), 0 < Гт < +оо, 0 < Т2 < +оо. Далее, пусть с(ж,£,т), /(ж,£, т), ^(ж,^, т), К2(х^,т) -заданные функции, определенные при ж € Г2, £ 6 [0, г € [0,Тг].

Краевая задача 10: найти функцию являющуюся в параллелепипеде <5 решением уравнения щ -1- ит - ихх + с(х^:т)и = /(ж,£,т) (9) и такую, что для нее выполняются условия и(х,о,г) = о, хеа, те(о,т2), (ю) и(х,^о) = о, хеп, ге(о,тг), (и) 1 и[ i и(М,т) = J К2(х,Ьт)и(х,Ьт)с1х, t € (0,^), г € (0,Т2). о

Краевая задача 11: найти функцию г), являющуюся в параллелепипеде ф решением уравнения (9) и такую, что для нее выполняются условия (10); (11); а также условия 1 г^(0, т) = J К\{х, т)и{х, г)с?ж, 0 1 г^(М,т) = ! К2{х^т)и{х^т)йх, «€(0,Т1), Г6(0,Т2). о

Краевая задача 12: найти функцию и(х,Ь,т), являющуюся в параллелепипеде ф решением уравнения (9) и такую, что для нее выполняются условия (Ю); (11), а также условия 1 и(0^,т) = У К\{х, т)и(х, т)(1х, о и. 1

1,*,?-) = !К2(х,г,г)«(я?,г,т)<ь, г е (о,ц), те (о,т2).

Обозначим для краткости Ц = И^^

17

Пусть В{и есть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода т) = и(х, г) — (1 — х)(В\и){1, г) — х(В2и){Ь, г) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 10 имеет решение и(х, т), принадлежащее пространству Ц).

Теорема 11. Пусть выполняются условия однозначно обратимо. Тогда краевая задача 11 имеет решение и(х, г), принадлежащее пространству Уо.

Теорема 12. Пусть выполняются условия 1 о

Теорема 10. Пусть выполняются условия с(х,Ьт) Е С1 (Я), к^х^т) Е С2(д), * = 1,2;

0М,т) Е ¿2(д), 1т(х^,т) е Ь2(Я)\ с(х,Ьт) Е С\0), К{(х,г:т) Е С2(д), г = 1,2; с(я,*,т) Е С^д), Е С2(д), г = 1,2; и)(х, т) = и(х, т) — (Бх^)^, г) — х(В2и)(Ь,т) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 12 имеет решение и(х^,т), принадлежащее пространству Уо

Как пример использования полученных результатов, рассмотрим нелокальную задачу для ультрапараболических уравнений с чисто интегральными условиями.

Пусть РзХж), -^(ж) - заданные функции, определенные при х Е Г2, t Е [О,ТУ, т € [0,Г2].

Нелокальная задача: найти функцию и(х^,т), являющуюся в параллелепипеде ф решением уравнения (9) и такую, что для нее выполняются условия (10), (11), а такж.е условия 1

J Р1(х)и(х^,т)с1х = 0, о 1

Jр2(х)и(х,г,т)дх = о, ге(о,Тг), те(о,т2). о

При выполнении определенных условий, которые указаны в §2.1, данная нелокальная задача сводится к краевым задачам 10, 11 или 12. Имея разрешимость исследованных задач, получим разрешимость рассматриваемой нелокальной задачи.

Пусть £2 есть ограниченная область пространства В!1 с границей Г, С} = О х (0,Т1) х (0,Т2), 0 < Тг < +оо, 0 < Т2 < +оо, <3 = х (0 ,Т2), 5 = дП х (0х (0, Т2). Далее, пусть г), т) — заданные функции, определенные при ж £ П, 4 £ [О,^], г £ [0, СГг], А - оператор Лапласа по переменным . ,хп, В есть линейный оператор, ставящий в соответствие функции функцию (Ву)(х^,т), точные условия на которого будут указаны ниже.

Краевая задача 13: найти функцию и(х^,т), являющуюся в ф решением уравнения щ + ит — А и + с(ж, т)и = /(ж, т) и такую, что для нее выполняются условия и(х, 0, т) = Ви + щ(х, г), ж£0, тЕ(0,Т2), м(а;,*,0) = 0, t £ (О^Тг), г)|5 = о, te(p,т1), те(о,г2). (12)

Теорема 13. Пусть выполняются условия с(ж,т) <Е С1^), с(ж,г) > с0 > 0 при (ж,¿,т)еПх [О,Тх] х [О,Т2]; и пусть оператор В имеет вид Ви — В\и -+- В2и, В\, В2 есть линейные операторы, определенные на пространстве Уо, для которых выполняются условия

Вги\\12{с) < МЧ^ОДЪЫС))» п

11(0,Г1 (СО) 1111 ¿2 (0,тг (С))' г=1 д д

Ви) = + Б2нт + В3н, ||в3гг|||2((?) < ЫУЧ^ОД^С)) + 1М112(б?))>

Ви = 0 при х Е Г, г Е (О, Т2) любой функции г) из пространства

Уо такой, что для нее выполняются условия (12); ^ (Ви) = 0 при х Е г = Т2 для любой функции г>(ж, т) из пространства Уо, Вг> = 0 при х € г = 0 для любой функции г) из пространства Уо]

2&1 <1, 62 < 1, 63 < с0; т) € Х2(д), /т(®,*,г) Е £2(<Э); н0(ж, г) 6 И/21(С),0) = 0,ног(ж,Т2) = 0 при жбП, но (ж, г) = 0 при X Е Г, г Е (0,Т2).

Тогда краевая задача 13 имеет решение и(х, t, г), принадлежащее пространству Уо.

Замечание. В рассмотренных задачах все граничные или начальные условия, в основном, были однородными, случай неоднородных граничных или начальных условий легко сводится к случаю однородных, условия разрешимости соответствующих краевых задач легко указываются.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры общей математики МПТИ (ф) СВФУ под руководством д.ф.-м.н. М.Г. Гадоева, профессора С.А. Исхокова (Мирный, 2010, 2011), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики "Института математики СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2011), на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными "НИИ математики СВФУ профессора И.Е. Егорова (Якутск, 2011), на Всероссийской научной конференции и Всероссийской школе - семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации"(Якутск, 2009), на Всероссийской научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире" (Мирный, 2009, 2010), на ХЬУШ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2010), на V и VI Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2007, 2011).

Работа выполнена при поддержке гранта ЯГУ для студентов и аспирантов (2010 г.), ФЦП' "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг. по мероприятию-1.3.1. и при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, № 02.740.11.0609.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах: 4 статьях и 5 тезисах докладов [85] - [93].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 5 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 92 страницы. Список цитируемой литературы содержит 93 наименования. Формулы, теоремы и замечания в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Лукина, Галина Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены новые задачи и доказаны теоремы разрешимости:

• пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского для уравнений третьего порядка;

• краевых задач с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка;

• краевых задач с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза;

• краевых задач с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений;

• краевой задачи с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений.

Результаты диссертации носят теоретический характер и являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. В число перспективных направлений применения результатов для дальнейших исследований, можно отметить постановку и исследование новых краевых задач для неклассических уравнений математической физики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукина, Галина Александровна, 2011 год

1. Абдрахманов, A.M. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка /A.M. Абдрахманов, А.И. Кожанов // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №5. - С.3-12.

2. Абдрахманов, A.M. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнения нечетного порядка / A.M. Абдрахманов // Математические заметки. 2010. - Т.88. №2. -С. 163-172.

3. Алексеева, С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием / С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференц. уравнения.- 1998. Т.34, т. - С. 495-502.

4. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // ДАН СССР. 1969. - Т.185, №4.- С.739-740.

5. Галахов, Е.И. Об одной нелокальной спектральной задаче / Е.И. Галахов, A.J1. Скубачевский // Дифференц. уравнения. 1997. - Т.ЗЗ, №1. - С. 25-32.

6. Гордезиани, Д. Г. Решение нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Матем. моделирование. -2000. Т. 12, №1. - С. 94-103.

7. Гущин, А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка / А.К. Гущин, В.П. Михайлов // Матем. сборник. 1994. - Т.185, №1. - С. 121-160.

8. Гущин, А.К. Условие полной непрерывности операторов, возникающих в нелокальных задачах для эллиптических уравнений / А.К. Гущин // ДАН. 2000. - Т.373, №2. - С.161-163.

9. Гущин, А.К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений / А.К. Гущин // Матем. сборник. 2002. - Т.193, №5.- С. 17-36.

10. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов / Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. - 240 с.

11. Джураев, Т.Д. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками / Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. - Т.15, №2.- С.18-26.

12. Дмитриев, В.Б. Краевые задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений: Автореферат дисс. . канд. физ. мат. наук / В.Б. Дмитриев. - Казань, 2006.

13. Дубинский, Ю.А. Квазилинейные эллиптико-параболические уравнения / Ю.А. Дубинский // Матем. сборник. 1968. - Т.77, №3. - С. 470-496.

14. Дубинский, Ю.А. Краевые задачи для некоторых классов диференциально-операторных уравнений высокого порядка / Ю.А. Дубинский // ДАН СССР. 1971. - Т.196, Ж. - С. 32-34.

15. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов. Новосибирск: Наука, 2000. -336 с.

16. Егоров, И.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка / И.Е. Егоров, В.Е. Федоров. Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1995. - 131 с.

17. Иванчов, Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями / Н.И. Иванчов // Дифференц. уравнения. 2004.- Т.40, т. С. 547-564.

18. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т.13, №2. - С. 294-304.

19. Камынин, Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л.И. Камынин // ЖВМиМФ.- 1964. Т.4, т. - С. 1006-1024.

20. Керефов, A.A. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений / A.A. Керефов // Дифференц. уравнения. 1979. - Т.5, №1.- С. 74-78.

21. Кесельман, Г.М. О спектральности возмущенного оператора Штурма-Лиувилля с нелокальными краевыми условиями / Г.М. Кесельман // Дифференц. уравнения. 1985. - Т.21, №3. - С. 494-499.

22. Кожанов, А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Сибирский журнал индустриальной математики. Январь-март, 2004. - Том VII, (17). - С. 51-60.

23. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия.- 2008. №3(62). - С. 165-174.

24. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем / А.И. Кожанов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. XII, №4(40). - С. 64-78.

25. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальными интегральными условиями для параболических уравнений / А.И. Кожанов //Нелинейные граничные задачи. Донецк: Институт прикладной математики и механики HAH Украины, 2010. - Т. 20. - С. 54-76.

26. Кожанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, JT.C. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2006. Т.42, т. - С. 1166-1179.

27. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, JI.C. Пулькина // Математический журнал. Алматы, 2009. - Т.9, №2 (32). - С. 78-92.

28. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. -М.: Наука, 1973.

29. Либерман, Г.М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений / Г.М. Либерман // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы: В честь акад. O.A. Ладыженской. Новосибирск, 2002. - Т.1. - С. 233-254.

30. Львов, А.П. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени / А.П. Львов // Математические заметки ЯГУ. 2002. - Т.9, вып.2. - С. 91-95.

31. Львов, А.П. О гладкости решения нелокальных краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / А.П. Львов // Математические заметки ЯГУ. 2004. - Т.11, вып.2. -С. 51-56.

32. Лыков, A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- массообмена / A.B. Лыков // Инженерно -физический журнал. 1965. - Т. IX, №3. - С. 287-304.

33. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. М.: Наука, 1976.

34. Муравей, Л.А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения / Л.А. Муравей, A.B. Филиновский // Ма-тем. сборник. 1991. - Т.182, №10. - С. 1479-1512.

35. Мураве й, Л.А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения / Л.А. Муравей, A.B. Филиновский // Математические заметки. 1993. - Т.54, №4. - С. 98-116.

36. Нахушев, A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод /A.M. Нахушев // Дифферент уравнения. - 1982. - Т.18, №1. - С. 72-81.

37. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. -М.: Наука, 1995.

38. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных /A.M. Нахушев. М.: Наука, 2006.

39. Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения. 1986. - Т.22, №1. - С. 171.

40. Нахушева, З.А. Первая и вторая краевые задачи для параболического уравнения второго порядка / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения.- 1990. Т.26, №11. - С. 1982-1992.

41. Панеях, Б.П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов / Б.П. Панеях // Математические заметки. 1984. - Т. 35, вып. 3. - С. 425-434.

42. Пулькина, JI.C. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений: Автореферат дисс. . д-ра физ. мат. наук / JI.C. Пулькина. - Москва, 2003.

43. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Дифференц. уравнения.- 2004. Т.40, №7. - С. 887-892.

44. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности / JI.C. Пулькина // Неклассические уравнения математической физики. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. С. 231-239.

45. Пулькина, JI.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости / JI.C. Пулькина //Неклассические уравнения математической физики. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 2007. С. 232-236.

46. Пятков, С.Г. Разрешимость краевых задач для одного ультрапараболического уравнения / С.Г. Пятков // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. науч. тр. СО АН СССР. Новосибирск: Изд- во Ин-та математики, 1990. С. 182—197.

47. Самарский, A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / A.A. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т.16, №11. - С. 1925-1935.

48. Сильченко, Ю.Т. Эволюционные уравнения с неплотно заданным операторным коэффициентом / Ю.Т. Сильченко // Сибирский матем. журнал. 1993. - Т.34, №2. - С. 166-169.

49. Сильченко, Ю.Т. Обыкновенный дифференциальный оператор с нерегулярными граничными условиями / Ю.Т. Сильченко // Сибирский матем. журнал. 1999. - Т.40, Ж. - С. 183-190.

50. Сильченко, Ю.Т. Уравнение параболического типа с нелокальными условиями / Ю.Т. Сильченко // Современная математика. Фундам. направления. 2006. - Т. 17. - С. 5-10.

51. Сильченко, Ю.Т. Собственные значения и функции дифференциального оператора с нелокальными граничными условиями / Ю.Т. Сильченко // Дифференц. уравнения. 2006. - Т.42, №6. - С. 764-768.

52. Скубачевский, A.JI. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач / A.JI. Скубачевский // Матем. сборник. 1982. -Т.117(159), Ш. - С. 548-557.

53. Скубачевский, А.Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / А.Л. Скубачевский // Матем. сборник. 1983. - Т.121(163), №2(6). -С. 201-210.

54. Скубачевский, А.Л. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в 1) / А.Л. Скубачевский, Г.М. Стеб-лов // ДАН СССР. 1991. - Т.321, №6. - С. 1158-1163.

55. Терсенов, С.А. О краевых задачах для одного класса ультрапараболических уравнений и их приложения / С.А. Терсенов // Матем. сборник. -1987. Т.133, №4. - С. 539-555.

56. Терсенов, С.А. О корректности краевых задачах для одного уравнения ультрапараболического типа / С.А. Терсенов // Сибирский матем. журнал. 1999. - Т. 40, №6. - С. 1364-1377.

57. Терсенов, С.А. О корректности краевых задачах для одного уравнения ультрапараболического типа / С.А. Терсенов // Сибирский матем. журнал. 2001. - Т. 42, №6. - С. 1413-1430.

58. Треногин, В.А. Функциональный анализ / Треногин В.А. М.: Наука, 1980.

59. Уварова, М.В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений / М.В. Уварова // Математические труды. 2010. -Т.13, №2. - С. 179-207.

60. Шелухин, В.В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений / В.В. Шелухин // Сибирский матем. журнал. 1991. - Т.32, №2. - С. 154-165.

61. Шелухин, В.В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы: Дисс. . д-ра физ. мат. наук / В.В. Шелухин. - Новосибирск, 1992.

62. Шкаликов, А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / А.А. Шкаликов // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1982.- т. С. 12-21.

63. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. Баку: Элм, 1985.

64. Beilin, S. Existence of solutions for one dimentional wave equations with nonlocal conditions / S. Beilin // Elektronic J. of Differential Equations. -2001. - №76. - P. 1-8.

65. Brown, R.C. Ordinary differential operators under Stieltjes boundary conditions / R.C. Brown, A.M. Krall // Trans. Amer. Math. Soc. 1974.- 198. P. 73-92.

66. Bouziani A. Problème mixte avec conditions intégrales pour une classe d'équations paraboliques / A. Bouziani, N-E. Benouar // C.R.Acad.Sci. -Paris, 1995. T.321, S.l. - P. 1177-1182.

67. Bouziani, A. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation / A. Bouziani, N-E. Benouar // Kobe Journal of Mathematics. 1998. - V.15, №1. - P. 47-58.

68. Bouziani, A. Strong solution for a mixed problem with nonlocal condition for certain pluriparabolic equation / A. Bouziani //Hiroshima Mathematical Journal. 1997. - V.27, №3. - P. 373-390.

69. Bouziani, A. Solution forte d'un problem mixte avec conditions non locales pour une classe d'équations hyperboliques / A. Bouziani // Bulletin de la Classe des Sciences. Academie Royale de Belgique. 1997. - Tome VIII. - P. 53-70.

70. Bouziani, A. On a class a parabolic equations with a nonlocal boundary-condition / A. Bouziani // Bulletin de la Classe des Sciences. Academie Royale de Belgique. 1999. - 6 serie, Tome X. - P. 61-77.

71. Bouziani, A. On the solvability of nonlocal pluriparabolic problems / A. Bouziani // Electronic Journal of Differential Equations Vol. 2001. -№ 21. - P. 1-16.

72. Cannon, J.R. The classical solution of the one dimentional two - phase Stefan problem with energy spesification / J.R. Cannon, J. Van der Hoek // Ann. Math. Pura ed Appl. - 1982. - 130. - P. 385-398.

73. Cannon, J.R. The one phase Stefan problem subject to the spesification of energy / J.R. Cannon, J. Van der Hoek //J. Math. Anal, and Appl. - 1982.- V.86, №1. P. 281-291.

74. Cannon, J.R. The solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. 1963. - 21. - P.155-160.

75. Chabrowski, J. On nonlocal problems for parabolic equations / J. Chabrowski // Nagoya Math. J. 1984. - N.93. - P. 109-131.

76. Chabrowski, J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation / J. Chabrowski //Funkcial. Ekvac. Ser. Intern. 1984. - N.27.- P. 101-123.

77. Gordeziani, D. Investigation of the nonlocal initial boundary value problem for some hyperbolic equations / D. Gordeziani, G. Avalishvili // Hirosima Math. J. 2001. - V.31, №3 - P. 345-366.

78. Krall, A.M. The development of general differential operators and general differential boundary systems / A.M. Krall // Rochy Mountain J. Math. -1975. № 4. - P. 493-542.

79. Mesloub, S. On a class of singular hyperbolic equation with weighted integral condition / S. Mesloub, A. Bouziani // Internat. J. Math, and Math. Sei. -1999. V.22, т. - P. 511-519.

80. Rektorys, K. Die Losung der gemischten Randwertaufgabe und des Problems mit einer Integralbedingung "im Ganzen "für eine nichtlineare parabolische Gleichung mit der Netzmethode / K. Rektorys // Чехосл. матем. ж. 1963.- т. С. 189-208.

81. Sil'chenko, Yu. Т. А parabolic equation with nonlocal conditions / Yu. T. Sil'chenko // J. of Math. Sciences. 2008. - V.149, №6. - P. 1701-1707.

82. Skubachevskii, A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications / A.L. Skubachevskii // Operator Theory Advances and Applications. Birkhauser Verlag, 1997. - Vol.91.

83. Лукина, Г.А. О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // Математические заметки ЯГУ. Якутск, 2010. - Т. 17, вып.1. — С. 35-46.

84. Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка / Г.А. Лукина // Математические заметки ЯГУ. Якутск, 2010. - Т. 17, вып.2. - С. 75-97.

85. Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений / Г.А. Лукина // Математические заметки ЯГУ. Якутск, 2011. - Т.18, вып. 2. - С. 113-127.48.1. С. 53-62.