Нелокальные задачи со смещением и интегральными условиями первого рода для гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Дюжева, Александра Владимировна

• Дюжева, Александра Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дюжева, Александра Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Нелокальная задача с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения

1.1 Постановка задачи с динамическим

смещением

1.2 Разрешимость задачи со смещением

1.2.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи со смещением

1.2.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи со смещением

Глава 2. Нелокальные задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения

2.3 Постановка задачи с двумя интегральными условиями

первого рода

2.3.1 Эквивалентность нелокальных условий первого и второго рода

2.4 Разрешимость нелокальной задачи с двумя интегральными условиями

2.4.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи

2.4.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи

2.5 Постановка нелокальной задачи с одним интегральным условием

2.5.1 Эквивалентность нелокальных условий первого и второго рода

2.6 Разрешимость нелокальной задачи с одним интегральным условием

2.6.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи

2.6.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи со смещением и интегральными условиями первого рода для гиперболических уравнений»

Введение

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при решении классических задач математической физики, возникших при моделировании различных процессов, и многие разделы к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические задачи для уравнений в частных производных классифицированны и хорошо изучены. Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. В настоящее время широко изучаются математические модели таких физических процессов, граница области протекания которых недоступна для непосредственного измерения, но возможно получение информации о некоторых его свойствах во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Такие задачи были названы нелокальными задачами. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

По-видимому, термин "нелокальные условия "был впервые введен A.A. Дезиным в работе [12]. Задолго до начала систематических исследований появились работы, в которых рассмотрены задачи с нелокальными условиями различного вида. В книге Я.Д. Тамаркина [76] поставлена задача с интегральными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения. В.А. Стеклов в своей работе

[74] рассмотрел задачу об охлаждении неоднородного стержня, которая состоит в нахождении решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям, заданным в виде линейной комбинации значений искомой функции и ее производных в различных точках границы:

aiux{Q, t) + a2ux(l, t) + a3u(0, t) + a4u(l, t) = 0,

(0.1)

hux(0,t) + b2ux(l,t) + bzu(Q,t) + b4u{l,t) = 0, которые впоследствии стали называть условиями смещения.

Задачи со смещением для уравнений различных типов, в том числе для уравнений смешанного типа и уравнений высокого порядка, изучались в работах Ф.И. Франкля [77], A.M. Нахушева [51], В.И. Жегалова [25], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [28, 29], Н.И. Ионкина и Е.И. Моисеева [31], А.Н. Зарубина [5, 27], Н.И. Ионкина [33, 32], H.JI. Лажетича [43, 44], L. Byszewski [81], А.П. Солдатова [73]. Большой вклад в развитие теории задач со смещением внесли работы A.M. Нахушева [49, 51] и его учеников [52, 53, 7, 69], в которых не только получены важные теоретические результаты, но и приведены обоснования математических моделей, содержащих нелокальные условия.

Начало систематических исследований нелокальных задач с интегральными условиями восходит к работам Д. Кэннона [83] и Л.И. Камынина [34], в которых рассматривались параболические уравнения. В статье [83] рассматривалась задача нахождения классического решения уравнения теплопроводности, когда одно из граничных условий задается в виде интеграла от искомого решения. В статье

[34] изучена задача для общего параболического уравнения на плоскости с двумя интегральными условиями.

Дальнейшее иследование задач с интегральными условиями для параболических уравнений было продолжено в работах Н.И Ион-кина [30] - [33], JI.A. Муравья и A.B. Филиновского [47], [48], С.А. Алексеевой и Н.И. Юрчука [1], [2], А.И. Кожанова [38], А. Бузиани [80], JI.C. Пулькиной [58], A.B. Картынника [35] и других авторов.

Начало систематического исследования нелокальных задач для эллиптических уравнений положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [4]. Дальнейшие глубокие результаты исследования разрешимости и качественных свойств решений нелокальных задач для эллиптических уравнений были получены в работах А.К. Гущина [9], А.К. Гущина и В.П. Михайлова [10], [11], A.JI. Скубачевского [70]-[72].

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали исследоваться позже, но к настоящему времени уже имеется значительное число работ, посвященных изучению нелокальных задач для уравнений гиперболического типа, как с условиями смещения, так и с нелокальными интегральными условиями. Среди последних можно выделить три класса задач:

- интегральные аналоги задачи Гурса, в которых нелокальное условие задается в виде интеграла вдоль характеристик;

- смешанные задачи с классическими начальными условиями и пространственно нелокальными интегральными условиями;

- задачи с нелокальными по времени условиями.

В представленной диссертации рассмотрены задачи, относящиеся ко второму классу. Смешанные задачи с пространственно нелокальными интегральными условиями рассматривались в работах Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [8, 82], А. Бузиани [80], А.И. Кожанова [40], Л.С. Пулькиной [56] - [65], С.А. Бейлина [3, 79], В.Б. Дмитриева [13].

Уточним, что под нелокальными интегральными условиями мы понимаем соотношения между значениями искомого решения или его выводящей производной на боковой границе области фт = (0,1) х (0, Т) и интегралом от искомого решения:

I

А 1и + ! К(х,1)и(х,Ь)(1х = 0, (0.2)

о

где "граничный оператор", например, 1и = аи(0, + ¡Зих{ Если А ф 0, то (0.2) называется нелокальным интегральным условием второго рода. Если же А = 0, — то первого.

Заметим, что в большинстве упомянутых работ изучались задачи с интегральными условиями второго рода.

Исследования нелокальных задач показали, что наличие нелокальных условий любого вида в большинстве случаев не позволяет использовать хорошо известные стандартные методы, такие, например, как метод Фурье и методы, опирающиеся на свойства сопряженных операторов. Интегральные условия первого рода вносят дополнительные трудности в исследование разрешимости задач с такими условиями, поэтому вопрос разработки методов доказательства разрешимости нелокальных задач остается актуальным.

В предлагаемой работе рассмотрены задачи с динамическими условиями смещения В.И. Стеклова и задачи с нелокальными условиями первого рода. Заметим, что оба класса задач, рассмотренных в работе, тесно связаны между собой.

Первая глава посвящена исследованию задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения:

Задача 1. Найти в области Qt = (О, I) х (О, Т) решение уравнения

utt-uxx + c(x,t)u = f(x,t), (0.3)

удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х) (0.4)

и условиям смещения

ai(t)ux(ü}t) + a2(t)ux{l,t) +a3(t)u(0,t) + a4(t)u(l,t) = 0,

(0.5)

6i(íK(0,í) + b2(t)ux{l,t) + bz{t)u{0,t) + b4(t)u(l,t) = 0. Особенностью этой задачи является зависимость коэффициентов в условиях (0.5) от переменой i, что весьма существенно. В частном случае щ = const, = const задачу с условиями В. А. Стеклова для уравнения

utt ~ ихх + q(x)u(x, t) = f(x, t)

исследовал H.JI. Лажетич [43, 44].

Им доказана однозначная разрешимость этой задачи в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций. Основным инструментом исследования был метод Фурье. При этом существенным условием является самосопряженность оператора —v"(x) +

д(х)у(х) = 0 с областью определения, порожденной условиями смещения.

Задачу с динамическими условиями В.А. Стеклова для параболического уравнения рассматривал А.И. Кожанов в [39] и доказал её разрешимость методом регуляризации и продолжения по параметру.

В настоящей работе доказано существование единственого решения задачи 1 с динамическими условиями смещения (0.5) для гиперболического уравнения в пространстве И^Ч^т)-

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

Н1. с(х^)еС(<2т), ф(х) е Ь2(0,1), е Ь2(Ят),

Я2. с*(*), А№ е Сх[0,71, аг(г) > о, /з2(г) < О, яз. а!(*)й + (&(*) - а2й)66 - > о,

НА. а2(*)+АОО = о V* е [о,Т].

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (0.3) - (0.5).

Здесь обозначено:

азМЫ*) ~ ог(*)Ьз(*) а^Ыг) - а2(1)Ь(1)

а1\Ч = -д-> а2{1) = -д-,

Обобщенное решение понимается как функция и(х, £) £ И^Ог)? удовлетворяющая условию и(х, 0) = (р(х) и тождеству т I т

^ !(—щУ1 + ихух + сиу)с1хсИ + J V(0, ¿)[а1 (¿)и(0, + /31(£)и(7, 0 0 о

т I Т I

- I у(1,г)[а2^)и(0^)+(32^)и(1,г)](И = I Ф(х)у{х, 0)dx+J I/у(1х(И,

о ООО

для любой v е У/КЯт), у(х, Т) = 0.

Во второй главе рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями I рода:

Задача 2. Найти в области С}т = (0,1) х (0, Т) решение уравнения

Щь-ихх + с(х^)и = /(ж,*), (0.6)

удовлетворяющее начальным данным

и(ж,0) = щ(х,0) = ф(х) (0.7)

I г I

J Кг(х, Ь)ийх + У У Щх, т)ийх(1т = 0, ъ = 1, 2, (0.8)

и нелокальным условиям

I г I

= 0, г = 1, 2, О 0 0

где Нг(х^), заданы в

Отметим особенности поставленной задачи, связанные с видом нелокального условия (0.8). Одним из разработанных к настоящему времени методов исследования нелокальных задач с итегральными условиями является метод вспомогательных задач, основная идея которого заключается в применении нелокального условия к решению некоторой классической задачи с неоднородными граничными условиями. Однако реализация этого метода в случае нелокального условия I рода приводит к операторному уравнению I рода относительно неизвестных граничных условий вспомогательной задачи, что делает невозможным применение теории Фредгольма. Это затруднение может быть преодолено, если интегральное условие I рода

удается свести к интегральному условию II рода. При этом оказывается весьма существенным, зависит ли ядро интегрального оператора, входящего в нелокальное условие, от переменной t. Специальный вид условия (0.8), не ограничивающий общности, позволяет выявить особенности исследования разрешимости поставленной задачи как в случае ядра, зависящего только от пространственной переменной, так и в случае зависимости его и от переменной t. В обоих случаях задача с нелокальными условиями I рода сводится эквивалентным образом к задаче с нелокальными интегральными условиями II рода специального вида, содержащими итегральный оператор и оператор смещения. К изучению разрешимости полученной задачи удалось применить метод компактности. Реализация этого метода в данном случае существенно опирается на результаты, полученные в первой главе.

Если в условиях (0.8) 2 К и 4- Hi = 0, то справедлива Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

Я1.с(м) 6 c(qr), Ф) е ^(0,0, Ф{х) е l2(o,Q, /ОМ) е L2(QT),

Ki(x,t) € C\QT)nC(QT), Hi(x,t) € C\QT)nC(QT), Kixxt G C(QT);

H2. «,•(*),&(*) eC%T\; ЯЗ. aiO%2 + ШШ2 - Ml > o, v* e [0, T];

HA. a2(i)+/3i(<) = 0 Mt 6 [0,T], Тогда существует, единственное обобщенное решение задачи 2.

Здесь обозначено:

= - К2х(1^)К1{1,1))

д

а2(г)

_ ~(к1х(1,1)к2{ъ,1) - к2х(1,г)кг(<д,г))

А

= (-^ММЖзСМ - ^(0^)^1(0,^))

А

Решение понимается как функция е УУ2(€}Т), удовлетворяю-

щая условию и(х,0) = ср(х) и интегральному тождеству т I т т

J J(-utvt-\-uxvx + cuv)dxdt-J Ф2(*)г;(М)сЙ + ! Фх^МО, г)(И =

о о

i т т т i

= J Ф(х)у(х,0)(1х + J д2у(1^)сИ + ! дгу(+ J ^ ¡уйхсИ, О О О 0 0

где обозначено

I

о

г = 1,2.

Если 2Кц(х,Ь) + Нг(х^) Ф 0, то в нелокальных условиях второго рода, к которым сводятся условия (0.8), содержится производная щ(х, ¿). Получение априорной оценки в этом случае может привести к дополнительным условиям на входные данные. Однако удалось так модифицировать процесс сведения нелокальных условий I рода к условиям II рода, что этих трудностей не возникает. Для того,

чтобы избежать слишком громоздких преобразований, рассмотрена задача с одним нелокальным условием.

Задача 3. Найти в области QT = (0,1) х (О, Т), I, Т < оо решение уравнения

utt ~ Uxx + с(х)и = f(x,t), (0.9)

удовлетворяющее начальным данным

и(ж,0) = 0, щ(х, 0) = 0 (0.10)

и условиям

u*(0,f)=0, (0.11)

/ t I

J jK(x,t)u(x,t)dx + J J H(x,r)u(x:t)dxdr = 0. (0.12) 0 0 0

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

K(x,t)eC2(QT), KxxteC(QT),

Kx(o,t) = o, K(i,t)^ovte[o,T], H(x,t) 6 C(QT), Hxx e C(QT), /(®,f) G L2(Qr). Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 3.

Целью настоящей работы является исследование смешанных задач с нелокальными условиями, содержащими оператор смещения и интегральный оператор для гиперболических уравнений.

В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств C.JI. Соболева.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения.

2. Разработан метод сведения интегральных условий первого рода к интегральным условиям второго рода специального вида и доказана их эквивалентность.

3. Доказана однозначная разрешимость двух задач с интегральными условиями первого рода.

По теме дисертации опубликовано 12 работ [14] — [24], [57], отражающие ее основные результаты, которые докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2008, 2009гг. (руководитель - д.ф-м.н., профессор О.П. Филатов);

- научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета "Неклассические задачи математической физики". 2010-2011 г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор Пулькина Л.С.);

научном семинаре кафедры математического анализа физико-математического факультета Поволжской государственной социально-гуманитарной академии в 2010г. (руководитель -д.ф-м.н., профессор К.Б. Сабитов);

- Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX "Современные методы теории краевых задач". Воро-

неж, 2008;

- VII школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик - Хабез. Июнь, 2010;

- международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль. Июль 2010;

- девятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2010". Казань, октябрь 2010;

- Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXII". Воронеж, май 2011;

- IX школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик, май, 2011;

- конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", СамДиф - 2011. Самара, июнь 2011;

- международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, октябрь, 2011;

- международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик, 2011.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дюжева, Александра Владимировна, 2012 год

Список литературы

[1] Алексеева, С.М., Юрчук, Н.И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегралънымю краевым условием.// Дифференц. уравнения, 1998, Т.34, № 4, с.495-502.

[2] Алексеева, С.М., Юрчук, Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений.// Дифференциальные уравнения, 1986, Т.22, № 12, с.2117-2126.

[3] Бейлин, С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием. Матем. заметки ЯГУ, 2004, Т. 11, № 2. С. 22-29.

[4] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических краевых задач.// Доклад АН СССР, 1969, т. 185, №4, с. 739-740.

[5] М. В. Бурцев, Зарубин А.Н. Теорема единственности смешанной задачи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по обеим переменным// Матем. моделирование и краев, задачи, 2007, N« 3, с. 42-44.

[6] Васильева, А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М: Физматлит, 2004, с. 159.

[7] Водахова, В.А. Краевые задачи с нелокальным условием A.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопе-реноса.Ц Дифференц. уравнения, 1982, t.XVIII, № 2, с. 280-285.

[8] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды.// Матем. моделир. 2000. Т. 12. т. С. 94-103.

[9] Гущин, А.К. Условия компактности одного класса операторов и его применение к исследованию нелокальных задач для эл-лептических уравнений.// Матем. сборник, 2002, Т. 193, № 5, с. 17-36.

[10] Гущин, А.К., Михайлов В.П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения.// Матем. сборник, 1995, Т. 186, № 2, с. 37-58.

[11] Гущин, А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка.// Матем. сборник, 1994, Т. 185, № 1, с. 121-160.

[12] Дезин, A.A. Простейшие разрешимые расширения для псевдо-парабалического и ультрогиперболического операторов.// ДАН СССР, 1963, Т. 148, №5, с. 1013-1016.

[13] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения.// Вестник СамГУ, 2006, № 2, С. 12-27.

[14] Дюжева A.B. Нелокальная задача для уравнения гиперболического типа.// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XIX «Современные методы теории краевых задач», 2008, с.85-86.

[15] Дюжева A.B. О некоторых задачах с нелокальными условиями I рода.// Материалы VIII школы Молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Хабез, июнь, 2010, с. 40-41.

[16] Дюжева A.B. Об одной нелокальной задаче с переменными по времени краевыми условиями для гиперболического уравнения./ / Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль, июль 2010, с. 78.

[17] Дюжева A.B. О некоторых нелокальных задачах с интегральными условиями первого рода.// Труды Математического центра им. Лобачевского. Казань, 2010, с. 125-128.

[18] Дюжева A.B. Об одной краевой задаче для уравнения высокого порядка.// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». Воронеж, май 2011, с. 60-61.

[19] Дюжева A.B. Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения четвертого порядка.// Материалы IX Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Кабардино-Балкария, Нальчик, май 2011, с. 41-45.

[20] Дюжева A.B. Об одной смешанной задаче с нелокальными условиями I рода.// Тезисы докладов конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (СамДиф-20011 ), Самара, июнь 2011, с.41-42.

[21] Дюжева A.B. Нелокальные задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения.// Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, октябрь 2011, с. 50.

[22] Дюжева A.B. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями первого рода.// Материалы международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, декабрь 2011, с. 105-107.

[23] Дюжева A.B. Нелокальная задача с интегральными условиями I рода для гиперболического уравнения.// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия, 2011, №5(86), с.29-36.

[24] Дюжева A.B., Пулькина J1.C. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральным условием 1-го рода.//

Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. Вып 26. №5(124).

[25] Жегалов, В.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии.// Ученые записки Казанского университета, 1962, т 122, № 3, с. 3-16.

[26] Жегалов, В.И. Задача Франкля со смещением. //Известия Вузов. Математика. 1979. N0 9(208). С. 11-20.

[27] Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения и запаздывающим аргументом в производной// Дифференц.уравнения, 2010, Т. 46, № 12, с. 1710-1721.

[28] Ильин, В. А., Моисеев Е. А. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувиля в дифференциальной и разностной трактовке.// Дифференц. уравнения, 1987, Т.23, № 7, с.1198-1207.

[29] Ильин В. А., Моисеев Е. А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями.// Дифференц. уравнения, 2000, Т.36, № 5, с.656-661.

[30] Ионкин, Н.И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевым условием.// Дифференц. уравнения, 2000, Т.36, № 7, с.884-888.

[31] Ионкин, Н.И., Моисеев Е. А. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями.// Дифференц. уравнения, 1979, Т.ХУ, № 7, с.1284-1295.

[32] Ионкин, Н.И. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием.// Дифференц. уравнения, 1979, Т.1, № 4, с.1279-1284.

[33] Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием.// Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, № 2, с.294-304.

[34] Камынин, Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условиями.// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, Т. 4, 6, с. 1006-1924.

[35] Картынник, А.В Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка.// Дифференц. уравнения, 1990, Т.26, К0- 9, с. 1568-1575.

[36] Кечина, О.М., Пулькина JI.C. Нелокальная задача для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.// Вестник СамГУ, 2008, № 8(2), с.203-211.

[37] Колмогоров А. Н., Фомин О. П. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968.

[38] Кожанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальными граничными условиями для линейных параболических уравнений.// Вестник Самарского государственного технического университета,естественнонаучная сеоия, 2009, № 6 (72), с. 5157.

[39] Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных задач для линейных параболических уравнений.// Вестник СамГУ, 2008, № 3(62), с. 165-174.

[40] Кожанов А.И., Пулькина JI.C. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений.// Математический журнал. 2009, Т9, №2(23), с. 7892.

[41] Кузь, A.M., Пташник, Б.И. Задачи с интегральными условиями по временной переменной для гиперболических уравнений./ / Тезисы докладов конференции СамДиф 2011 "Дифференциальные уравнения и их приложения", 2011, с. 65-66.

[42] Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики. М: Наука, 1973.

[43] Лажетич, Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка.// Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 8, с. 1072-1077.

[44] Лажетич, Н.Л. О существовании классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка.// Дифференц. уравнения, 1998, Т. 34, № 5, с. 682-694.

[45] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М: Из-во иностранной литературы, 1961, с. 120.

[46] Михлин, С. Г. Курс математической физики. М: Наука, 1968, с. 462-468.

[47] Муравей, Л.А., Филиновский, A.B. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения.// Матем. заметки, 1993, Т. 54, № 4, с. 98-116.

[48] Муравей, Л.А., Филиновский, A.B. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. Матем. сборник, 1991, Т. 182, № 10, с. 1479-1512.

[49] Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии. М: Высшая школа, 1995, с. 135.

[50] Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро- дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. Дифференц. уравнения, 1979, т 15, № 1, с. 96- 105.

[51] Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М: Наука, 2006.

[52] Нахушева, З.И. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных.

Дифференц. уравнения, 1986, Т.22, № 1, с. 171-174.

[53] Нахушева, В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006, 174 с.

[54] Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений М:Издательство Московского университета, 1984.

[55] Понтрягин JT. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М: Наука, 1965.

[56] Пулькина JI. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения.

Матем. заметки, 2003, Т. 74, № 3, с. 435-445.

[57] Пулькина Л.С., Дюжева A.B. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения

Вестник СамГУ, 2010, № 4(78), с.56-64.

[58] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности.

Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск, 2005, с. 231-239.

[59] Пулькина, Л.С. смешанная задача с интегральными условием для гиперболического уравнения.

Мат. заметки., 2003, Т. 74, вып. 3, с. 435-445.

[60] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения.

Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 7, с. 887-892.

[61] Пулькина, JI.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями на плоскости.

ИМ СО РАН, Новосибирск, 2007, с. 232-236.

[62] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода для многомерного гиперболического уравнения. Доклады РАН, 2007.

[63] Пулькина, Л.С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения.

Дифференц. уравнения, 2008. Т. 44, № 8, с. 1084-1089.

[64] Пулькина, Л.С. Об одной краевой задаче со смещением для гиперболического уравнения.

Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, тнория приближений", Новосибирск. 2008.

[65] Пулькина, Л.С. Нелокальные задачи с интегральными условиями для одномерного волнового уравнения.

Доклады АМАН, 2010. Т. 12, № 2.

[66] Пулькина, Л.С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. Дифференц. уравнения, 2000, Т.36, № 2, с. 279-280.

[67] Репин, O.A. Нелокальные задачи A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа.

Вестник СамГТУ. Физ-мат. науки. 2001, вып. 12. с. 5-9.

[68] Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений.

Дифференц. уравнения, 1980, т 16, 1, с. 1925- 1933.

[69] Сербина, Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007, с. 165.

[70] Скубачевский, А.JI. Неклассические краевые задачи.I. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 26(2007), с.3-132.

[71] Скубачевский, А.Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач.

Матем. сборник, 1982, Т. 117(159), № 4, с. 548-558.

[72] Скубачевский, А.Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями Бицадзе- Самарского.

Дифференц. уравнения, 1985, Т.21, № 4, с. 701-706.

[73] Солдатов, А.П., Шхануков, М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием A.A. Самарского для псевдопараболического уравнения высокого порядка.

ДАН, 1987, Т. 297, №3.

[74] Стеклов, В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела.

Сообщения Харьковского мат. общества. Сер.2. 1896. Т.5, №3-4, с. 136-181.

[75] Стеклов, В.А. Основные задачи математической физики. М: Наука, 1983.

[76] Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряд. Петроград, 1917.

[77] Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся скачком уплотнения.

ПММ 20, вып. 2, 1956, с. 196-202.

[78] Чабакаури Г. Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нели-

нейным нелокальным граничным условием. Дифференц. уравнения, 2004, том 40, № 1, с. 77-81.

[79] Beilin S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions.

Electronic Journal of Differentiol Equations, 2001, T. 2001, p. 1-8.

[80] Bouziani, A. Solution forte d'un problème mixte avec conditions non locales pour une classe d'équations hyperboliques. Bull.Cl.Sci., Acad.Roy.Belg. 1997, № 8, p. 53-70.

[81] Byszewski L. Existence and uniqueness of solutions of nonlocal problems for hyperbolic equation. //Journal of Applied Math, and Stochastic Analysis. 1990. Vol.3, №3. Pp. 163-168.

[82] Gordeziani, D., Avalishvili G. On Integral Nonlokal Boundary Value Problems for some Partial Differential Equations.

Bulletin of the Georgian national Akademy of Sciences, 2011, №5, c. 31-37.

[83] Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy.

quaxt.Appl.Math, 1963, T. 21. № 2. P. 155-160.