Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Кириченко, Светлана Викторовна

• Кириченко, Светлана Викторовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кириченко, Светлана Викторовна

Содержание

Введение

Глава 1. Краевые задачи с нелокальными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа

1.1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода

1.2 Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода

1.3 Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода

1.4 Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа

Глава 2. Задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического и псевдогиперболического уравнения

2.1 Задача с нелокальным интегральным условием второго рода для гиперболического уравнения

2.2 Нелокальная задача для псевдогиперболического уравнения в цилиндре

2.3 Нелокальная задача для псевдогиперболического уравнения в параллелепипеде

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типов»

ВВЕДЕНИЕ

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, бурно развивающимся в последнее время, является теория нелокальных задач. Их исследование вызвано не только теоретическими интересами, но и практической необходимостью. При математическом моделировании различных процессов физики, биологии, химии, экологии и многих других явлений возникают задачи, в которых вместо классических условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри нее. Задачи с условиями такого типа называются нелокальными.

Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались многими авторами. Отметим работы Стеклова В.А. [83], Самарского A.A. [6, 81], Бицадзе A.B. [5, 6], Гущина А.К. [17], Михайлова В.П. [17, 55], Ильина В.А. [21], Моисеева Е.И. [21, 56], Жегалова В.И. [19, 20], Нахушева А.М. [59, 61], Скубачевского А.Л. [82], Кожанова А.И. [39, 40, 41], Репина O.A. [77], Сабитова К.Б. [79, 80].

Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для доказательства разрешимости нелокальных задач стандартные методы, обычно применяемые при изучении начально-краевых задач [22, 73]. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.

Большой интерес среди нелокальных задач представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие условия могут возникать в ситуациях, когда граница области протекания реального процесса недоступна для непосредственных измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

Нелокальным задачам с интегральными условиями последние годы уделяется пристальное внимание. Краевые задачи с такими условиями встречаются во многих приложениях. К нелокальным задачам с интегральными условиями приходят при изучении явлений, происходящих в плазме [81], процессов распространения тепла [1, 22, 23, 90], некоторых технологических процессов [57], процессов влагопереноса в пористых средах [60, 10], в задачах математической биологии при описании динамики численности популяции особей [61], в задачах демографии [4], а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики [24, 25].

Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений. Систематическое исследование нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными началось в 60-х годах 20 века со статей Дж.Р.Кэннона (J.R. Cannon,[90]) и Л.И. Камынина [23]. J.R. Cannon в работе [90] рассматривает задачу с

интегральным условием для уравнения теплопроводности

щ(х, £) = ихх(х,Ь), (0.1)

которая состоит в отыскании решения уравнения (0.1), удо-

влетворяющего условиям Ф)

j и{х, = Е(г),х(г) > о, г > 0; о

и(х, 0) = (р(х),х > 0,

где ¿?(£), (р(Ь) — заданные непрерывные функции в [0, оо), причем

хо

Е(0) — / (р(х)(1х,хо = х(0). о

В работе Л.И. Камынина [23] рассмотрена задача с интегральными условиями для общего уравнения параболического типа:

д^и ди ди

Ьи = а(х,1)— + 6(ж,г) — + с(х,£)и- — = /(М)-

Ищется решение и(х,Ь), удовлетворяющее начальному условию

и(х, 0) = /г(ж), Хх(0) < х < Х2(0),

краевым условиям

т)

У д(х, Ь)и(х, Ь)<1х = Е(Ь), 0 < £ < Г,

и условиям согласования х2(0)

У д(х, 0>)ь,{х)(1х = Е{0), Д(Х2(0)) = <р(0).

Позже в статье [81] A.A. Самарский приводит формулировку другой задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности (0.1) как пример одной из качественно новых постановок задач теории дифференциальных уравнений, возникающих при изучении современных проблем физики плазмы. Эта задача состоит в нахождении решения параболического уравнения (0.1) в области 0<.т<1,£>0с классическими начально-краевыми и интегральным

условиями. Такого рода условия возникают при решении задач, описывающих процесс диффузии частиц в турбулентной плазме. Нелокальное условие (0.2) в настоящее время принято называть условием Самарского.

Исследования задач с интегральными условиями для параболических уравнений были продолжены в работах Н.И. Юрчука [88], А.И. Кожанова [40], Н.И. Юрчука и С.М. Алексеевой [1], Л.А. Муравья и A.B. Филиновского [57, 58], Л.С. Пулькиной [69], З.А. На-хушевой [63], A.B. Картынника [27] и других авторов.

Началом систематических исследований нелокальных задач для эллиптических уравнений стала статья, ставшая классической, A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [6], которая возбудила интерес к таким задачам и стала отправной точкой большинства исследований в этом направлении. В этой работе впервые были изучены математические модели, возникающие в прикладных вопросах и приводящие к рассмотрению нелокальных краевых задач для эллипти-

1

(0.2)

о

ческих уравнений. Впоследствии задача, сформулированная в [6], была названа задачей Бицадзе-Самарского.

Значительные результаты по исследованию нелокальных задач для эллиптических уравнений были получены в работах А.К. Гущина и В.П. Михайлова [17], А.Л. Скубачевского [82].

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали объектом исследования несколько позже, но в настоящее время активно изучаются. Систематическое исследование задач с интегральными нелокальными условиями для гиперболических уравнений началось в конце 20 века. Отметим здесь среди первых работ в этом направлении статьи Л.С. Пулькиной [70, 72], А. Воиг1аш [89], Д.Г. Гордези-ани и Г.А. Авалишвили [16]. Отметим некоторые работы наиболее близкие по постановке задач к изучаемым в представленной диссертационной работе.

В статье Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. [16] поставлены и исследованы нелокальные начально-краевые задачи как для уравнения колебания струны, так и для телеграфного уравнения с классическими начальными данными и интегральными условиями. Доказано существование единственного классического решения сведением задач к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода специального вида.

В работе Кожанова А. И. [41] изучается задача для одномерного гиперболического уравнения

Щь - ихх + с(х,Ь)и = /(ж, ¿) (0.3)

с граничным условием Бицадзе-Самарского с переменными коэф-

фициентами.

В статье Кожанова А. И., Пулькиной Л.С. [43] исследуются некоторые нелокальные краевые задачи для уравнения (0.3), где краевые условия представляют собой комбинацию нелокального граничного условия Самарского с переменными коэффициентами и условия интегрального вида. А в работах Пулькиной Л.С., Дюжевой А.В. [66, 67, 68, 74, 18] для этого же уравнения рассматриваются задачи с нелокальными условиями I и II рода.

Проведенные к настоящему времени исследования позволили классифицировать нелокальные задачи в зависимости от вида нелокальных условий. Здесь мы коснемся только задач с интегральными условиями, которые образуют важный класс нелокальных задач.

Первый класс составляют задачи, которые принято называть интегральным аналогом задачи Гурса. Отличительной особенностью таких задач является задание нелокальных условий в виде интегралов вдоль характеристик уравнения, а решение задачи ищется в характеристической области. Задачи этого класса исследованы в работах [62, 70, 71].

Ко второму классу отнесем задачи, которые являются нелокальным аналогом начально-краевых, решение которых ищется в цилиндрических областях, а нелокальные условия заданы вместо краевых либо начальных условий. Если нелокальные условия заданы вместо краевых, то такие задачи принято называть пространственно нелокальными. Если же нелокальные условия заданы вместо начальных условий, то такие задачи называют нелокальными по

времени.

Отметим, что большинство работ, посвященных нелокальным задачам, содержат результаты исследования задач с нелокальными по пространственным переменным интегральными условиями.

В предлагаемой диссертации первая глава посвящена изучению нелокальных по времени задач.

Результаты исследований в этом направлении отражены в работах А. А. Керефова [28], J. Chabrowski [91, 92], В.В. Шелухина [87], А.И. Кожанова [39], Д. Г. Гордезиани , Г. А. Авалишвили [14, 15], Б.Е. Кангужина [26], Г.А. Лукиной [50, 51], Н.Р. Пинигиной [65], A.M. Кузь, Б.И. Пташник [48] и других авторов. Заметим, что основное внимание авторов упомянутых работ посвящено исследованию задач для параболических и псевдопараболических уравнений. В представленной диссертации изучены нелокальные по времени задачи для гиперболических уравнений.

Также в данной работе представлен качественный анализ нелокальных задач для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа в прямоугольной области.

Возникшая в начале двадцатого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа положено в работах Ф. Трикоми [85], где впервые поставлены и исследованы задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ф. Франкль [86] обнаружил приложение задачи Трикоми в теории сопел Лаваля и в других разделах тран-

сзвуковой газовой динамики. Классические задачи для этих уравнений систематизированы в монографиях [84, 78].

Одним из современных направлений исследования задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений являются нелокальные задачи, отправной точкой которых является статья Ф. Франкля ([86], стр. 449 - 458). Важный вклад в изучение таких задач внесли работы В.И. Жегалова [19, 20], Л.С. Пулькиной [75, 76], С.Н. Глазатова [13], Е.И. Моисеева [56], К.Б. Сабитова [78, 79, 80] и других авторов.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию разрешимости нелокальных по пространственным переменным задач для гиперболического и псевдогиперболического уравнения.

Краевые задачи для уравнений соболевского типа высокого порядка изучаются в настоящее время многими авторами. Отметим монографию [46] и статьи [11, 12, 47, 64, 42], в которых основное внимание уделено псевдогиперболическим уравнениям с классическими начально-краевыми условиями.

Псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарных внутренних волн в стратифицированных и во вращающихся жидкостях, при описании процесса движения электронов в системе «сверхпроводник — диэлектрик с туннельной проводимостью — сверхпроводник», в теории упругости (задача о продольном колебании упруго-вязкого неоднородного стержня).

Некоторые нелокальные краевые задачи для псевдогиперболических уравнений изучены в работах [2, 7, 53, 54].

Отметим, что в большинстве работ, посвященных нелокальным задачам с интегральными условиями, изучены задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для уравнений второго порядка. Однако исследования нелокальных задач выявили их тесную связь с обратными задачами, условия переопределения в которых заданы в виде интеграла по переменной времени, в связи с чем возрос интерес и к прямым задачам с нелокальными по времени условиями. Обратные задачи с условием переопределения в интегральном виде рассмотрены в работах [24, 25, 8, 9, 3, 45].

Исследования задач с нелокальными условиями выявили их связь с задачами для нагруженных уравнений, которые наиболее точно описывают многие теплофизические и диффузионные явления: процессы фильтрации, механику вязкоу пру гости, а также возникают при изучении нелинейных уравнений, задач управления, обратных задач для уравнений теплопроводности и массопереноса, численного решения краевых задач. Отметим только, что особый вклад в исследование нагруженных уравнений внес A.M. Нахушев. В монографиях A.M. Нахушева [59, 60] приведен полный обзор работ, посвященный нагруженным уравнениям, установлена их тесная связь с нелокальными задачами для уравнений с частными производными, предложен способ решения краевых задач для дифференциальных уравнений, который состоит в замене уравнения специальным образом подобранным нагруженным дифференциальным уравнением такого же типа и порядка.

Целыо настоящей работы является разработка методов исследования разрешимости краевых задач с нелокальными по времени интегральными условиями для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также задач с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического, псевдогиперболического уравнений и уравнений смешанного типа в цилиндрических областях.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Первая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена исследованию в области (5т = '• 0 < х < < £ < Т} нелокальных по времени задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.

В первом параграфе исследуется задача с интегральным условием первого рода для гиперболического уравнения.

В области С^т рассматривается уравнение

Щь ~ ихх + с(х,г)и = /0,£) (0.4)

и ищется его решение, удовлетворяющее условиям

м(0,£) = и{1,г) = 0 (0.5)

и(я,0) = (р(х), (0.6)

т

! к{г)и(х,г)(й = о. (0.7)

о

Функция К{Ь) задана на [0, Т], ср(х) на [0,1], причем К(0) ф 0.

Доказано, что при выполнении условий K{t) £ С2 [О, Т], К(Т) = = К'(Т) = 0 задача (0.4) — (0.7) эквивалентна задаче с интегральным условием второго рода:

т

ut(x, 0) + 7 J К{х, t)udt = д(х). (0.8)

о

Здесь обозначено 7 = — -щу, K(x,t) = K"(t) + K(t)c(x,t),

д(х) = 7(J K(t)f(x,t)dt - К'(0)ф)). о

Введено определение обобщенного решения, базирующееся на выведенном интегральном тождестве.

Определение 1.1. Обобщенным решением задачи (0.4) — (0.6),

о 1

(0.8) будем называть функцию u(x,t) £ WKQtOD (0, Z), удовлетворяющую условию и(х1 0) = (р(х) и тождеству т I

J J\—Utvt + uxvx + c(x, t)uv)dxdt-sr о 0

IT T I I

+7 J v(x,0) J K(x,t)udtdx = J J f(x,t)vdxdt + J v(x,0)g(x)dx

00 00 0

о 1

для любой функции v(x, t) G WHQt) П 0-

Основным результатом параграфа является доказательство следующих утверждений:

Теорема 1.1. Если выполняются условия: c(x,t) £ C(Qт)^ f(x,t) £ L2(Qt), K(x,t) £ C(Qt), to для значений T, удовлетворяющих неравенству Т < + 1), существует не более одного обобщенного решения задачи (0.4) — (0.6), (0.8).

Теорема 1.2. Если выполняются условия теоремы 1.1, а также

о 1

ср(х) (0>0> т0 обобщенное решение задачи (0.4) — (0.6), (0.8)

о 1

и(х, £) е \¥2 (<5т) П (0, 0 существует.

Теорема 1.2.1. Если выполнены условия теоремы 1.2 и кроме

О 1

того<^(ж) е Ш$(0,1)и\¥2 (0,/), е С(<2т), ТО для п.в. (х, £) 6

€ Ят существует решение задачи (0.4) — (0.7).

Во втором параграфе исследуется задача с интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения. Рассматривается в области (5т уравнение

ии-ихх +с(х,г)и = ¡(х,Ь) (0.9)

с краевыми условиями

и(0,Ь) = и(1,г) = 0 (0.10)

и нелокальными условиями

т

и(я,о) + J м1{х,1)и{х,г)<а = о, (о.и)

о

т

°) + У М2(Ж' ¿М^ = (°-12)

о

Показана эквивалентность задачи (0.9)—(0.12) и задачи для нагруженного уравнения

т

Уи-Ухх + с(х,Ь)у + J Р(х,г,т)и{х,т)(1т+

о

т т

+2 J^х{х^,т)их(х,т)(1т- J1\т(х,Ь,т)ит{х,т)(1т = Р{х,г) (0.13) о о

с условиями

v(Q,t) = v{l,t) = 0, v{x,Q) = 0, vt{x,0) = 0, (0.14)

а функции u(x,t), v(x,t) связаны равенством

т

v(x, t) = u(x: t) + J N(x,t1T)u(x,T)dr. (0.15)

о

Здесь функции N(x,t^r)1 P(x,t,r), F(x,t) определяются через заданные функции c(x,t), f(x,t), Mi(x,t)(i = 1,2).

Введено определение обобщенного решения, базирующееся на выведенном интегральном тождестве.

Определение 1.2. Обобщенным решением задачи (0.13)^(0.15) будем называть функцию v(x, t) G W(Qt), удовлетворяющую условию v (х, 0) = 0 и тождеству т I

/ I+ Vx71x +

о о

tit т I

+ 11 J[Pu+2Nxiix-NTuT]dTdxdt = J J F(x,t)rj(x,t)dxdt,

ООО 00

в котором u(x,t) и v{x,t) связаны соотношением (0.15). Обозначим ро = \\P\\l2(d),

щ = тах{||ЛГ|и2(1)),\\Щ\ып), ||ЛУ 1^), НЛ^^, ||ЛГТ|и2(я)}-

Основным результатом параграфа является доказательство следующих утверждений:

Теорема 1.3. Пусть с(х,£) 6 С(<5т), с±{х^) Е С(С}т), с{х,Ь) > > Со > 0, И{х, г), Их{х, г), Щх, ¿, г), Ихх{х, г), ЛГт(ж, Ь, т) е

Е С(С}т х [О,Г]), € ^((^г), щ < 1. Тогда можно указать

такие соотношения между Т,1,щ,ро,Со, при выполнении

которых задача (0.13) — (0.15) однозначно разрешима.

Теорема 1.4. Если выполняются условия теоремы 1.3, то существует единственное решение задачи (0.9) — (0.12).

В третьем параграфе первой главы изучается задача с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения. Рассматривается в области (5т уравнение (0.9) и для него ставится задача с граничными условиями (0.10) и нелокальными начальными условиями

т

! Щ{г)и{х,1)<И = 0, г = 1,2. (0.16)

о

Показана возможность перехода от исследования задачи (0.9), (0.10), (0.16) к изучению задачи с интегральными условиями II рода. Доказана следующая:

Лемма 1.2. Если А = Пг(0)Щ(0) - #2(0)#{(0) ф 0, функции Е С2((^)т), то условия (0.16) эквивалентны нелокальным условиям второго рода

т

и(х, 0) = аги(х, Т) + Ь\щ(х, Т) — / М\{х, ¿)и(ж, Ь)(И + д\{х),

0

I г

щ(х, 0) = а2и(х, Т) + Ь2щ(х, Т) - / М2(х, г)и(х, + д2(х),

о

где аг-, 6г-, Мг(х, £), д{(х) выражены через Яг(£), с(ж, ¿), /(ж, £).

Рассмотрен случай, когда Н^Т) = Н[{Т) = Н"{Т) = 0, дг{х) = 0, что приводит к задаче (0.9) — (0.12), разрешимость которой доказана во втором параграфе.

В четвертом параграфе дан качественный анализ нелокальных задач для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.

В области С^т рассматривается уравнение

К(х, г)ии - (а{х)их)х + Ъ{х, + с(х, Ь)и = /(х, £), (0.17)

где К(х,Ь) может обращаться в нуль как при £ = 0 или £ = Т, так и внутри а также менять знак в области (5т- Функция и{х,£) удовлетворяет условиям

т

их(о,£) = их{1,г) = о, /и(х,г)<а = о, щ{х,г)|5о = о. Здесь — множество точек отрезка (0,/), £ = 0, где К(х,0) ф 0.

Также рассматривается задача с пространственно нелокальными условиями для уравнения

К(г)ии - {а{х)их)х + Ъ(£)щ + с(х, £)и = /(х, £), (0.18)

решение которого в <5т удовлетворяет условиям

I

их(1, £) = 0, и(х, 0) = 0, / и(х, £)<& = 0, щ(х, £) = 0. Найдены условия иа коэффициенты, при выполнении которых нелокальная задача для уравнений (0.17), (0.18) может быть сведена к задаче с классическими начальными и краевыми условиями.

Вторая глава, которая состоит из трех параграфов, посвящена изучению задач с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического и псевдогиперболического уравнений.

В первом параграфе в области (5т = П х (0, Т), где О С В!1— — ограниченная область с гладкой границей дО,, рассматривается

уравнение

utt - (aij(x, t)uxJXj + с(я, t)u = /(ж, i), (0.23)

где коэффициенты а^(х^) удовлетворяют условию

п п

7 > 0, t) =

i,j=1 г=1

что гарантирует гиперболичность уравнения (0.23).

Постановка задачи: в области Qj> найти решение уравнения (0.23), удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = <р{х), щ(х, 0) = ф(х) (0.24)

и нелокальному условию

+ K{x,y,t)u{y,t)dy = 0, {x,t) е ST. (0.25)

ft

В (0.25) функция К(х, у: t) задана в Г2 х QT, St = дП х (0, Т),

ди

а = const, ^ = aijux%l'ji гДе v ~ вектор внешней нормали к Oil i,j=1

в текущей точке.

Вводится понятие обобщенного решения задачи (0.23) — (0.25). Определение 2.1. Обобщенным решением задачи (0.23)—(0.25) будем называть функцию u(x,t) £ (Qr)? такую, что и (я, 0) = = <р(х), которая удовлетворяет тождеству т т

J j(—utvt+aijuxtvxi+c(x,t)uv)dxdt+J Jv(x,t) J K(x,y,t)udydsdt-f

0ft 0 5ft ft

T T

+a J J uvdsdt = J J f(x,t)vdxdt + J v(x,Q)ip(x)dx

0 дП 0ft ft

для любой функции у{х,£) 6 И

Доказано следующее утверждение:

п

Теорема 2.1. Если выполнены условия ^ >

¿¿=1

>7Е£?,7>0, /ОМ) еь2{Ят), ф(х)еЬ2(П),

i=l

с(м) е С(0т), аф^) е С{Ят), е С(<3т), к(х,у,г)

непрерывна в области определения и интегрируема с квадратом по (5т для почти всех х £ то существует единственное обобщенное решение задачи (0.23) — (0.25).

Во втором параграфе в цилиндре (5т = О х (0,Т), где С Я2— — ограниченная область с гладкой границей дП рассматривается задача для уравнения д2

- Аи) - аихх - Ьиуу + с(ж, у, £)и = /(ж, у, £) (0.26) с начальными условиями

и(х,у,0) = (р(х,у), щ(х, у, 0) = ф(х, у) (0.27)

и нелокальным условием д2 дгг

др

+ аихсоз{ь/, ж) + Ьиусоз(у, ?/)+

+1 ту, х, у, г], *)<№) = (0.28)

Здесь а, 6 положительные постоянные, функция К(^,Т),х,у,1)

задана вЙх <5т, £т = ^^ х (0, Т), г/ = (^х, — вектор внешней нормали к в текущей точке.

Определение 2.2. Обобщенным решением задачи (0.26) - (0.28) будем называть функцию и{х,у, £) 6 И^((5т)) удовлетворяющую

19

условию и(х, у, 0) = <р(х, у) и тождеству т

{—utvt + auxvx + bUyVy - UxtVxt - uytvyt + c(:r, ?/,

o n

J Jv J K(£,r),x,y,t)ud£dr]dsdt — J ^(x,y)v(x,y,0)dxdy~

т

+

о оа п п

т

(фх(х, у)ух(х, у, 0))+г/>у(а;, у, 0)))dxdy=! J/(ж, у, t)vdxdydt

п о о

для любой функции у(х,у,£) Е Щ<Эт).

Основным результатом данного параграфа является приводимое ниже утверждение:

Теорема 2.2. Если /(х,у,Ь) Е Ь2{Ят), (р(х,у),'ф(х,у) Е с (ж, г/, £) € С((дт), ?7, х, у, £) непрерывна в области определения и интегрируема с квадратом по Для почти всех (ж, ?/) € О, то существует единственное обобщенное решение задачи (0.26) - (0.28).

В третьем параграфе третьей главы задача (0.26) - (0.28) исследуется в области Пт = (0,/) х (0,р) х (0, Г), что не позволяет при доказательстве разрешимости использовать неравенства, которые применялись во втором параграфе в силу негладкости границы.

Доказана следующая:

Теорема 2.3. Пусть с{х,у,Ь) Е С(Пт), /(ж,у,г) Е Ь2{Пт), К(х,у,€,г1,г) Е С(П х Пг), <р(х,у),ф(х,у) € ТО существует

единственное обобщенное решение задачи (0.26) - (0.28).

Подводя итоги, сформулируем основные положения, выносимые на защиту.

1. Доказательство существования и единственности обобщенного решения задач с интегральными условиями по временной переменной первого и второго рода для гиперболических уравнений.

2. Анализ методов исследования разрешимости нелокальных задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.

3. Доказательство существования и единственности обобщенного решения задачи с интегральным нелокальным по пространственным переменным условием для гиперболического уравнения.

4. Доказательство существования и единственности обобщенного решения задач с интегральным нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения.

Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Л.С. Пулькиной за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты докладывались на:

- межвузовском научном семииаре «Неклассические задачи математической физики» под руководством доктора физико-математических наук, профессора Пулькиной Л.С. в Самарском государственном университете в 2010-2014 гг;

- Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2009») (г. Самара, 2009);

- второй Всероссийской научно-практической конференции «Ин-тегративный характер современного математического образования» (г. Самара, 2009);

- всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Стер-литамак, 2011);

- восьмой Всероссийской научной конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», посвящённой 75-летию Ю. П. Самарина (г. Самара, 2011);

- международной научной конференции, посвящённой 120-ой годовщине Ст. Банаха (г. Львов, 2012);

- Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2013);

- четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, 2013);

- международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Белгород, 2013);

- XI Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г. Казань, 2013).

Основные результаты опубликованы в работах автора [29] — [38],

193].

Глава 1. Краевые задачи с нелокальными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа

В этой главе рассмотрены задачи с нелокальными по времени условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа в прямоугольной области. Исследование задач с нелокальными по времени интегральными условиями показало, что размер области, в которой ищется решение, имеет значение.

1.1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода

Обозначим Qt = {(ж, t) : 0 < х < 1,0 < t < Т} я рассмотрим уравнение

ии ~ иХх + c(x,t)u = f(x,t). (1.1)

Задача 1.1. Найти решение уравнения (1.1) в области Qt, удовлетворяющее условиям

u{0,t)=u{l,t) = 0, (1.2)

и(х,0) = tp(x), (1.3)

т

J K(t)u{x, t)dt = 0. (1.4)

о

Функция K(t) задана на [0, Т], (р(х) на [0,£].

Условие (1.4) является нелокальным интегральным условием I рода. Как известно из работы Пулькиной JI.C. [66J, такие условия

вносят серьезные трудности при исследовании разрешимости задачи. Покажем это на простом примере. Одним из методов, применяемых к изучению нелокальных задач, является метод вспомогательных задач [73, с. 15-21]. Он состоит в следующем: сначала рассматривается задача с классическими условиями. В нашем случае вместо условия (1.4) будем рассматривать

щ(х, 0)=ф(х). (1.5)

При заданной функции ф(х) задача (1.1)-(1.3), (1.5) представляет собой первую начально-краевую задачу, которая хорошо изучена. В [49, с. 209-215] доказана ее однозначная разрешимость для любого числа п пространственных переменных. Следующим шагом в реализации метода вспомогательных задач является применение нелокального условия к решению вспомогательной задачи. Попытка осуществить этот шаг в нашем случае приводит к операторному интегральному уравнению первого рода относительно неизвестной функции ф(х).

В [66] предложен метод преодоления возникающих трудностей, связанных с наличием нелокальных интегральных условий I рода, для задач с нелокальными по пространственной переменной условиями. Этот метод основан на том, что при выполнении условий согласования входных данных можно перейти от задачи с нелокальными условиями I рода к эквивалентной ей задаче с нелокальными условиями II рода.

Применим его здесь для исследования задачи с нелокальным по времени условием.

Обозначим

7 = --щ, К(х, t) = K"(t) + K(t)c(x, t),

т

g(x) =7(J K(t)f(x, t)dt -

о

Лемма 1.1. Если K{t) e С2[0,Г], ^ О, K{T) = =

= 0, то задача 1.1 эквивалентна задаче (1.1)—(1.3) с интегральным условием II рода

г

ii4(x,0)+7 J К(x,t)udt = д(х). (1.7)

о

Доказательство.

Пусть u(x,t) — решение задачи 1.1. Умножим равенство (1.1) на K(t) и проинтегрируем по t от 0 до Т. Получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кириченко, Светлана Викторовна, 2014 год

Список литературы

[1] Алексеева, С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием /С.М.Алексеева, Н.И.Юрчук //Дифференциальные уравнения- 1998.-T.34.-N4.-C.495-502.

[2] Бейлина, Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения /Н.В.Бейлина // Вестник СамГУ. 2008.-№2(61).-С.22-28.

[3] Бейлина, Н.В. Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения /Н.В.Бейлина // Вестник СамГУ. 2008.-№6(65).-С.28-39.

[4] Белавин, И.А. Математическая модель глобальных демократических процессов с учетом пространственного распределения /H.A.Белавин, С.П.Капица, С.П.Курдюмов //Журнал вычислительной математики и математической физики.—1998.—Т.38.—№6.—С.885-902.

[5] Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B.Бицадзе.-М.:Наука. 1981.-448с.

[6] Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач /А.В.Бицадзе, А.А.Самарский //Доклады АН СССР.-1969.-Т.185.-№4.-С.739-740.

[7] Васильева, А.Н. Разрешимость пространственно нелокальной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения /А.Н.Васильева //Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": математика.-НГУ.Новосибирск.2011,—С.38.

[8] Валитов, И.Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени /И.Р.Валитов, А.И.Кожанов //Вестник НГУ.—2006.—Т.6.—Вып. 1.—С.43-59.

[9] Валитов, И. Р. О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами /И.Р.Валитов, А.И.Кожанов //Математические заметки ЯГУ.—2007.—Т. 14.—№1,—С.3-16.

[10] Водахова, В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса /В.А.Водахова //Дифференциальные уравнения.—1982.—Т. 18.—№2.—С.280-285.

[11] Габов, С.А. Математические основы линейной теории ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме /С.А.Габов //Математическое моделирование.-1989. -Т. 1. —№ 12.-С.133-148.

[12] Габов, С.А. К нестационарной теории внутренних волн /С.А.Габов, Б.Б.Оразов, А.Г.Свешников //Журнал вычисли-

тельной математики и математической физики. 1986.-Ne8.-T.-26.-С.1223-1233.

[13] Глазатов, С. Я. Нелокальные краевые задачи для некоторых уравнений смешанного типа в прямоугольнике /С.Н.Глазатов //Сиб. мат. журнал.-1985.-Т.26.-Ж».-С. 162-164.

[14] Гордезиани, Д. Г. Нелокальные по времени задачи для уравнений типа Шредингера. I. Задачи в абстрактных пространствах /Д.Г.Гордезиани, Г.А.Авалишвили //Дифференциальные уравнения.-2005.-Т.41.-№5.-С.670-677.

[15] Гордезиани, Д. Г. Нелокальные по времени задачи для уравнений типа Шредингера. II. Результаты для конкретных задач /Д.Г.Гордезиани, Г.А.Авалишвили // Дифференциальные уравнения,- 2005.-Т.41.-№6.-С.813-819.

[16] Гордезиани Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды /Д.Г.Гордезиани, Г.А.Авалишвили //Матем. моделирование.-2000.-Т.12.-№1.-С.94-103.

[17] Гущин, А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка /А.К.Гущин, В.П.Михайлов //Математический сборник.-1994.-Т.185.-№1.-С. 121-160.

[18] Дюжева, A.D. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения /A.B.Дюжева //Вестник СамГУ.-2010.-№4.-С.56-64.

[19] Жегалов, В.И. Задача Франкля со смещением /В.И.Жегалов //Известия ВУЗов. Математика.-1979.-№9.-С. 11-20.

[20] Жегалов, В. И. К краевым задачам со смещениями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе /В.И.Жегалов //Известия ВУЗов. Математика.-1986.-№3.-С.61-64.

[21] Ильин, В. А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями /В.А.Ильин, Е.И.Моисеев //Дифференциальные уравнения.-2000.-Т.36.-№5.-С.656-661.

[22] Ионкин, Н.И. Об одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием /Н.И.Ионкин //Дифференциальные уравнения.-1977.-Т.13.-№2.-С.294-304.

[23] Камынин, Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями /Л.И.Камынин //Журнал вычислительной математики и математической физики.-1964.-Т.4.-№6.-С. 1006-1024.

[24] Камынин, В. Л. О предельном переходе в обратных задачах для параболических уравнений с условием интегрального переопределения /В.Л.Камынин //Дифференциальные уравнения.-1996.-Т.32.-№5.-С.620-626.

[25] Камынин, В.Л. Нелинейная обратная задача для параболического уравнения высокого порядка /В.Л.Камынин, М.Саролди

//Журнал вычислительной математики и математической физики.-1998.-Т.38.-№10.-С. 1683-1691.

[26] Кангуэюин, Б.Е. О единственности решения нелокальной по времени задачи для уравнения теплопроводности /Б.Е.Кангужин //Международный семинар "Неклассические уравнения математической физики"посв. 60-ю В.Н. Врагова.Новосибирск.2005.-С. 130-132.

[27] Картынник, A.B. Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка /А.В.Картынник //Дифференциальные уравнения.-1990.-Т.26.-№9.-С.1568-1575.

[28] Керефов, A.A. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений /А.А.Керефов //Дифференциальные уравнения.-1979.-Т.5.-№1.-С. 74-78.

[29] Кириченко, C.B. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения /С.В.Кириченко //Тезисы докладов конференции "СамДифф-2009".Самара.2009.-С.62.

[30] Кириченко, C.B. Нелокальная задача для гиперболического уравнения /С.В.Кириченко //Сборник научных трудов по материалам второй Всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования". Самара.2009.-С. 33.

[31] Кириченко, C.B. Сведение нелокальной задачи для уравнения смешанного типа к задаче для нагруженного уравнения /С.В.Кириченко //Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи".Самара.2011.-С.93-95.

[32] Кириченко, C.B. Задача для параболического уравнения с нелокальным по времени условием /С.В.Кириченко //Материалы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы".Воронеж.2013.-С. 115-116.

[33] Кириченко, C.B. Краевая задача для гиперболического уравнения с нелокальным по времени условием /С.В.Кириченко //Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева.Москва.2013.-С.203-204.

[34] Кириченко, C.B. Задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения /С.В.Кириченко //Сборник материалов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород. 2013.-С.91.

[35] Кириченко, C.B. Нелокальная задача для псевдогиперболического уравнения /С.В.Кириченко //Сборник материалов XI международной Казанской летней научной школы-

конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы».Казань. 2013.-С.240.

[36] Кириченко, C.B. Задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения /С.В.Кириченко //Вестник СамГУ.-2013.-№ 6(107).-С.30-36.

[37] Кириченко, C.B. Задача с нелокальным интегральным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка /С.В.Кириченко //Вестник СамГУ.-2014.-№3(114).-С.42-51.

[38] Кириченко, C.B. Задача с нелокальными начальными данными для одномерного гиперболического уравнения /С.В.Кириченко, Л.С.Пулькина //Известия ВУЗов. Математика.-2014.-№9.-С. 17-26.

[39] Кожанов, А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений /А. И.Кожанов //Сибирский журнал индустриальной математики.-2004.-T.VII.(17).-С.51-60.

[40] Коэ/санов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений /А.И.Кожанов //Вестник СамГТУ.Сер. физ.-мат. наук.-2004.-№ ЗО.-С.63-69.

[41] Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых краевых задач с условием Бицадзе-Самарского для линейных гиперболиче-

ских уравнений /А.И.Кожанов //Современная математика и ее приложения.Тбилиси.2010.-Т.67.-С.84-96.

[42] Коз/санов, А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами /А.И.Кожанов //Вестник ЧелГУ. Сер. мат. и мех.1999.-С.31-47.

[43] Кожанов А.И. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений /А.И.Кожанов, Л.С.Пулькина //Математический журнал. Ал-маты. 2009.-Т.9.-№2.-С.78-92.

[44] Кожанов А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений /А.И.Кожанов, Л.С.Пулькина // Дифференциальные уравнения.-2006.-Т.42.-№9.-С. 1233-1246.

[45] Колтуновский, O.A. Обратные задачи для гиперболических уравнений с неизвестным коэффициентом в случае интегрального переопределения /О.А.Колтуновский // Математические заметки ЯГУ.-2008.-Т.15.-№1.-С.55-74.

[46] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях /М.О.Корпусов //М.: URSS.2010-237c.

[47] Корпусов М.О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн /М.О. Корпусов, Ю.Д.Плетнер, А.Г.Свешников //Журнал вычислительной математики и математической физики.-1997.-Т.37.-№5.-С.617-620.

[48] Кузъ, A.M. Задачи с интегральными условиями по временной переменной для гиперболических уравнений /А.М.Кузь, Б.И.Пташник //Тезисы докладов конференции "СамДифф -2011 ".Самара.2011.-С.64-65.

[49] Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики /0,А.Ладыженская.-М.:Наука.1973.-408с.

[50] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка /Г.А.Лукина //Математические заметки ЯГУ.-2010.-Т.17.-Вып.2.-С.75-97.

[51] Лукина, Г.А. О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка /Г.А.Лукина //Математические заметки ЯГУ.-2010.-Т.17.-Вып.1.-С.35-46.

[52] Масленникова, В. Я. Дифференциальные уравнения в частных производных /В.Н.Масленникова.-М.:Издательство РУДН.-1997.-445С.

[53] Мегралиев, Я. Т. Обратная задача с интегральными условиями для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка /Я.Т.Мегралиев //Вестник Бакинского университета.Серия физ.-мат. наук.-2010.-№3.-С.5-12.

[54] Мегралиев, Я. Т. Решение одной нелокальной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка

/Я.Т.Мегралиев, Э.И.Азизбеков //Журнал "Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук". Физ.-мат. науки.-2010.-JVM.-C.11-17

[55] Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных /В.П.Михайлов.-М.:Наука.1976.-391с.

[56] Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи /Е.И.Моисеев //Дифференциальные уравнения.-1999.-Т.35.-№8.-С. 1094-1100.

[57] Муравей, Л.А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения /Л.А.Муравей, А.В.Филиновский //Матем. заметки.-1993.-Т.54.-№4.-С.98-116.

[58] Муравей, Л.А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения /Л.А.Муравей, А.В.Филиновский //Матем. заметки.-1991.-Т.182.-№10.-С.1479-1512.

[59] Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных /A.M.Нахушев.-М.:Наука.2006.-287с.

[60] Нахушев, A.M. Нагруженные уравнения и их применения /А.М.Нахушев.-М.:Наука.2012.-232с.

[61] Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии /А.М.Нахушев.-М.:Высшая школа. 1995.-301с.

[62] Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных /З.А.Нахушева //Дифференциальные уравнения.-1986.-Т.22.-Ж.-С. 171-174.

[63] Нахушева, З.А. Первая и вторая краевая задача в интегральной постановке для параболических уравнений второго порядка /З.А.Нахушева //Дифференциальные уравнения.-1990,-Т.26.-№11.-С. 1982-1992.

[64] Номировский, Д.А. О единственной разрешимости псевдогиперболических уравнений с сингулярными правыми частями /Д.А.Номировский //Математические заметки.-2006.-Т.80.-Вып.4.-С.582-595.

[65] Пинигина, Н.Р. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного типа /Н.Р.Пинигина //Математические заметки ЯГУ.-2010.-Т.17.-Вып.1.-С.100-106.

[66] Пулькина, Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода /Л.С.Пулькина //Известия ВУЗов. Математика.-2012.-№4.-С.74-83.

[67] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости /Л.С.Пулькина //Неклассические уравнения математической физики.-2007.-С.232-236.

[68] Пулькина, Л. С. Нелокальные задачи с интегральными условиями для одномерного волнового уравнения /Л.С.Пулькина

//Докл. Адыгейской (Черкесской) Международной АН.-2010.-Т.12.-№2.-С.52-59.

[69] Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности /Л.С.Пулькина //Неклассические уравнения математической физики. Изд-во ИМ СО РАН. Новосибирск.2005.-С. 231-239.

[70] Пулъкина, Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения /Л.С.Пулькина //Дифференциальные уравнения.-2000.-Т.36.-№2.-С. 279-280.

[71] Пулъкина, Л. С. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения /Л.С.Пулькина //Вестник СамГУ.-1998.-№ 2(8).-С.64-69.

[72] Пулъкина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения /Л.С.Пулькина //Матем. заметки.-2003.-Т. 74.-№3.-С.435-445.

[73] Пулъкина, Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений /Л.С.Пулькина. - Самара: изд. "Самарский университет". 2012. - 194с.

[74] Пулъкина Л.С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с интегральными условиями первого рода /Л.С.Пулькина, А.В.Дюжева //Вестник СамГУ.-2011.-№5.-С.29-36.

[75] Пулькина, Л. С. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения /Л.С.Пулькина //Известия ВУЗов. Математика.-1991.-№11.-С.48-51.

[76] Пулькина, Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения /Л.С.Пулькина //Матем. заметки.-1992.-Т.51.-№3.-С.91-96.

[77] Репин, О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом /О.А.Репин //Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки.-2005.-Вып.34.-С.5-9.

[78] Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного типа /К.Б.Сабитов.-Palmarium Academic Publishing, Deutschland.2012.-327с.

[79] Сабитов, К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием /К.Б.Сабитов //Дифференциальные уравнения.-2010.-Т.46.-№10.-С. 1468-1478.

[80] Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для уравнения парабол о-гиперболического типа в прямоугольной области /К.Б.Сабитов //Мат. заметки.-2011.-Т.89.-Вып.4.-С.596-602.

[81] Самарский, А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений /А.А.Самарский //Дифференциальные уравнепия.-1980.-Т.16.-№11 .-С. 1925-1935.

[82] Скубачевский, А.Л. Неклассические краевые задачи. I /А.Л.Скубачевский // Современная математика. Фундаментальные направления.-2007.-Т.26.-С.З-132.

[83] Стеклов, В.А. Основные задачи математической физики /В.А.Стеклов.-М.:Наука.1983.-433с.

[84] Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа /М.М.Смирнов,-М.:Наука. 1970.-156с.

[85] Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа /Ф.Трикоми.-М.:Гостехиздат.1947.-192с.

[86] Фрш тль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике /Ф.И.Франкль.-М.:Наука.1973.-324с.

[87] Шелухин, В. В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципыЯ:дисс. д-ра физ.-мат. наук:01.01.02 /В.В.Шелухин. -Новосибирск. 1992.-254с.

[88] Юрчук, Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений /Н.И.Юрчук //Дифференциальные уравнения.-1986.-Т.22.-№12.-С.2117-2126.

[89] Bouziani, A. Strong solution to an hyperbolic evolution problem with nonlocal boundary conditions /А.Bouziani //Maghreb Math. Rev.-2000-V.9.-l-2.-p.71-84.

[90] Cannon, J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy /J.R.Cannon //Quart. Appl. Math.-1963.-V.21.-№2.-P. 155-160.

[91] Chabrowski, J. On nonlocal problems for parabolic equations /J.Chabrowski //Nagoya Math. J.-1984.-№.93.-P.109-131.

[92] Chabrowski, J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation /J.Chabrowski //Funkcial. Ekvac. Ser. Intern.-1984.-№.27.-P. 101-123.

[93] Kirichenko, S. Boundary value problem with non-local conditions in time for hyperbolic equation /S.Kirichenko //"International conference dedicated to the 120th anniversary jf Stefan Banach" .Lviv.2012.-P.207-208.