Орбиты, представления и характеры унипотентных групп. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Игнатьев, Михаил Викторович

• Игнатьев, Михаил Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Игнатьев, Михаил Викторович

Введение.

Глава 1. Максимальные унипотентные подгруппы групп Шевалле.

§1. Основные обозначения.

1.1. Группы Шевалле.

1.2. Максимальные унипотентные подгруппы.

§2. Метод орбит.

2.1. Метод орбит для конечных групп.

2.2. Примеры коприсоединённых орбит.

2.3. Полупрямое разложение и метод Г. Макки.

Глава 2. Орбиты, ассоциированные с ортогональными подмножествами систем корней.

§3. Общие результаты.

3.1. Определения и основная теорема.

3.2. Системы корней с простыми связями.

3.3. Системы корней с кратными связями.

§4. Классические системы корней.

4.1. Поляризации для канонических форм.

4.2. Формула для размерности.

4.3. Размерности неприводимых представлений группы U(q).

Глава 3. Субрегулярные характеры унитреугольной группы.

§5. Определения и примеры.

5.1. Пример: характеры основной серии.

5.2. Субрегулярные орбиты.

§6. Формула для характеров.

6.1. Классы сопряжённости.

6.2. Основная теорема: формулировка.

6.3. Основная теорема: доказательство.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Орбиты, представления и характеры унипотентных групп.»

Одной из самых важных и красивых областей современной алгебры является теория представлений. В начале XX века её роль сводилась к изучению представлений конечных групп и конечномерных ассоциативных алгебр, но постепенно круг проблем, изучаемых теорией представлений, расширялся в связи с задачами анализа, геометрии и физики. В настоящее время теория представлений имеет обширные приложения в теории групп и алгебр Ли, теории алгебраических групп, гармоническом анализе, квантовой механике. По словам Д.П. Желобенко, "масштабы теории представлений уже сопоставимы с масштабами всей математики" [4, с. 6].

Нас будут интересовать представления некоторого класса алгебраических групп над конечными полями. К наиболее изученным в этом контексте относятся конечные группы типа Ли (конечные подгруппы групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики), см., например, [12], [30]. Ключевую роль здесь играет связанная с ^-адическими когомологиями теория характеров Делиня-Люстига ([31], см. также [50], [51], [52]).

Другой интереснейший класс — конечные унипотентные группы (точнее, максимальные унипотентные подгруппы в группах Шевалле над конечными полями); именно им и посвящена настоящая работа. Основным инструментов в теории представлений таких групп является созданный А.А. Кирилловым в 1962 г. метод орбит. Ввиду его исключительной важности для наших целей остановимся более подробно на истории вопроса.

Первоначально этот метод использовался для описания неприводимых (бесконечномерных) унитарных представлений вещественных нильпотентных групп Ли в комплексных гильбертовых пространствах. Первые общие результаты о таких представлениях были получены Ж. Диксмье [32]—[37]. Решающим продвижением стала статья Кириллова [13], в которой было показано, что неприводимые представления связной односвязной нильпотентной группы Ли однозначно соответствуют орбитам её коприсоединённого представления. (По определению, это сопряжённое представление к присоединённому представлению группы Ли в своей алгебре Ли.) Позже выяснилось, что метод орбит работает — с некоторыми поправками — и для других типов групп Ли, а с помощью коприсоединённых орбит можно построить множество важных примеров интегрируемых систем [14, лекции 9-11].

Сейчас имеются сотни работ, посвящённых тем или иным аспектам метода орбит; перечислить здесь их все нет никакой возможности. Оригинальная версия метода подробно изложена в книге [14]; краткий обзор содержится I в [46]. Различные версии метода орбит (например, геометрическое квантование) и его приложения в геометрии и физике обсуждаются в сборнике [38]; там же можно найти множество дальнейших ссылок.

Мы же переходим к краткому изложению основных результатов настоI ящей работы. Пусть Ф — приведённая система корней, р — простое число, I достаточно большое по сравнению с рангом Ф (например, р>гкФ + 2-|Ф|). Пусть Fp, F9 — поля жз р и q = pr, г ^ 1, элементов соответственно, Лг = IFp — алгебраическое замыкание поля Fp. Пусть U (соответственно, U(q)) — максимальная унипотентная подгруппа в группе Шевалле с системой корней Ф над полем к (соответственно, над полем ¥д), отвечающая некоторому множеству положительных корней Ф+; подробности см. в пунктах 1.1, 1.2.

Поскольку U(q) — конечная группа, классическая задача теории представлений звучит так: описать все неприводимые конечномерные комплексные представления U(q) с точностью до изоморфизма. М. Боярченко и В. Дрин-фельд пишут: "The fact that the orbit method works in this context was probably clear as soon as the original method over R was discovered"1 [28, p. 14].

1 "Видимо, то, что метод орбит работает в этом контексте, стало ясно сразу же, как только был создан оригинальный метод над R".

Более точно, в статье Д. Каждана [44] (см. также подробное изложение в [57, Chapter VII]) было показано, что метод орбит действительно позволяет решить сформулированную выше задачу в терминах орбит коприсоединённо-го представления в следующем смысле.

Обозначим через u, и(д) алгебры Ли групп U, U(q) соответственно, а через u*,u*(g) — сопряжённые к ним пространства над к, F9 соответственно. Каждая из групп естественно действует на своей алгебре Ли с помощью присоединённого представления; двойственное представление в сопряжённом пространстве называется коприсоединённым. Оказывается, имеется взаимно однозначное соответствие между множеством орбит u*{q)/U{q) и множеством классов изоморфных неприводимых комплексных представлений группы U(q). Более того, целый ряд вопросов, связанных с представлениями U(q) допускает естественную трактовку в терминах орбит, см, пункт 2.1.

Удобно одновременно рассматривать орбиты группы U в пространстве и*, чтобы иногда переходить в "геометрическую" ситуацию; к тому же, эти орбиты тесно связаны с орбитами группы U(q). Например, если через Оси* и £l{q) С u*(q) обозначить орбиты одного и того же элемента / е u*(q) С и* I относительно коприсоединённого представления групп U и U(q) соответственно, то \£l(q)\ = причём dimfi всегда будет чётным числом. I

При этом размерность неприводимого представления Т группы U(q), соответствующего орбите £l(q), равна dimcT = qdimQ/2 =

Изучению орбит тех или иных унипотентных групп над конечным полем, разумеется, также посвящено огромное число работ; отметим хотя бы статьи Кириллова [45], [47] и работу Кириллова и А. Мельниковой [48], где обсуждаются различные асимптотические задачи, связанные с числом орбит данной размерности. Дело в том, что задача описания всех неприводимых I представлений группы U (q), будучи переформулированной в терминах орбит, не становится от этого проще. Описание множества коприсоединённых орбит в общем случае неизвестно и представляется чрезвычайно трудной проблемой даже для Ф — Ап, не говоря уже об остальных системах корней; С другой стороны, некоторые специальные серии Орбит изучены достаточно хорошо.

Так, например, в самой первой работе по методу орбит [13] было получено описание всех орбит максимальной размерности (так называемых регулярных орбит) унитреугольной группы Un{№) — группы всех унипотентных треугольных матриц (над М); оно остаётся верным и в нашей ситуации, когда характеристика основного поля достаточно велика. Орбиты предмакси-мальной размерности этой группы (мы будем называть их субрегулярными) были полностью описаны А.Н. Пановым в работе [5]. В статьях К. Андре и A.M. Нето [21]—[26] развивается теория так называемых базисных характеров, или суперхарактеров группы U(q) в случае классической системы кор' . i . ней Ф (См. также диссертацию Н. Яна [60],) В частности, из полученных там результатов вытекает описание регулярных орбит для Сп и элементарных орбит (орбит одного корневого ковектора) для всех классических систем корней; см/также [54] для. случая Вп и Dn. Упомянем ещё работы И.М. Ай-зекса [41] и Дж. Сангрониза [55], в которых речь идёт о характерах подгрупп Un(¥q) специального вида (так называемых algebra groups).

В пункте 2.2 показано, что практически все изученные к настоящему времени примеры укладываются в весьма общую схему. А именно,, пусть D — произвольное ортогональное (то есть состоящее из попарно ортогональных корней) подмножество множества положительных корней Ф4". Для произвольного корня а € договоримся через еа обозначать соответствующий корневой вектор в алгебре Ли, а через е* — двойственный ему ковектор в сопряжённом пространстве. Выберем произвольное отображение (3 из D в к* для группы U (соответственно, в F* для группы U(q)) и пусть / = ~ элемент и* (соответственно, и* (д)) вида

Обозначим, наконец, через Q С u*, 0(g) С и*(д) его орбиты относительно коприсоединённых представлений групп С/, U(q) соответственно.

Определение. Будем говорить, что орбита Г2 (или fl(q)) ассоциирована с ортогональным подмножеством D (и отображением £).

Оказывается, что почти все упомянутые выше орбиты (и не только они) ассоциированы с теми или иными ортогональными подмножествами в системах корней. Изучение этого класса орбит и является одной из основных задач данной работы. Более точно, нас будет интересовать вопрос о размерности таких орбит: удаётся доказать, что она не зависит от выбора отображения и оценить её сверху (а для классических групп — получить точную формулу) в терминах группы Вейля системы корней Ф.

А именно, пусть W = Ж(Ф) — группа Вейля; рассмотрим в ней инволюцию (элемент второго порядка) а = а в вида где гр - отражение, соответствующее корню (3 (порядок, в котором берутся отражения, не имеет значения, ибо они коммутируют ввиду ортогональности подмножества D). Обозначим через 1(a) и s(a) длины этой инволюции в простых и произвольных отражениях соответственно. (Другими словами, 1(a) = G Ф+ | аа 6 Ф"} и s(cr) = \D\.)

Один из двух основных результатов работы заключается в следующей теореме (см. теорему 3.3 для систем корней с простыми связями, теорему 4.13 для классических систем корней и пункт 3.3 для F4 и G2)'

Теорема 1. Размерность орбиты О не зависит от выбора отобраоюеI ния £ и не превосходит числа 1(a) — s(a). Иначе говоря, dim О = 1(a) — s(a) — 2$, где 'д € Z^o зависит только от подмножества D (но не от Более того, для классических систем корней $ задаётся формулой (2.14).

Отметим, в частности, что $ = 0 всегда, если Ф = Ап или Ф = Сп (для Ап этот результат был ранее получен Пановым [16, теорема 1.2]). С другой стороны, есть примеры, когда получается строгое неравенство, то есть # ф О (см. пример 4.19). Подчеркнём, что автоматически мы получаем информацию о количестве точек на орбита Q(q) (оно равно \£l{q)\ = gdimQ) и о размерности соответствующего неприводимого комплексного представления Т группы U(q) (она равна dimcT = gdim<V2 = у/Щд)~\).

Использую эту связь между размерностями орбит и представлений, мы получаем ответ на вопрос, какую размерность в принципе может иметь непри-водимо представление группы U(q) в случае классической системы корней. Точнее говоря, обозначим через 2ц максимально возможную размерность ко-присоединённой орбиты группы U; для классических группы она задаётся формулой (2.17). Вот точная формулировка результата (см. следствие 4.21): Следствие. Пусть система корней Ф относится к типу Вп, Сп или Dn. I

Группа U(q) обладает неприводимым представлением размерности N тогда и только тогда, когда N = ql, где 0 ^ I ^ fi. (Для Ап это доказано в [43] и легко выводится из результатов [16].)

В явной конструкции неприводимого представления, соответствующего данной коприсоединённой орбите, ключевую роль играют так называемые поляризации (см. пункт 2.1). Напомним, что поляризацией линейной формы Л G и* называется подалгебра р С и, являющаяся одновременно Х-изотропным подпространством (то есть удовлетворяющая условию А|[р р] = 0) и максимальная по включению среди всех таких подпространств. Классическая конструкция М. Вернь показывает, что поляризации всегда существуют ([59], см. также [3, §1.12]). Оказывается, представление U(q), соответствующее орбите ft(q), индуцировано с некоторого одномерного представления подгруппы ехрр С U(q), где exp: u(q) —► U(q) — экспоненциальное отображение, ар — любая поляризация для любой точки на Cl(q).

Для классических систем корней мы предъявляем процедуру, позволяющую по ортогональному подмножеству D С Ф+ построить некое подпространство р, которое, как выясняется, будет поляризацией для канонической формы (то есть для элемента / = /д^) на орбите (или на ассоциированной с ортогональным подмножеством D (см. теорему 4.5):

Теорема 2. Пусть система корней Ф относится к типу Вп, Сп или Dn. Подпространство р в алгебре Ли, построенное с помощью правила (2.9), является поляризацией для линейной формы /.

Это прямое обобщение конструкции для Ап, предложенной Пановым в [16, теорема 1.1]. Вообще, само понятие орбиты, ассоциированной с ортогональным подмножеством, обобщает на случай произвольной системы корней введённое в [16] понятие орбиты, ассоциированной с инволюцией, для случая Ап. Отметим, что в этом случае Пановым получены, кроме всего прочего, точные уравнения, описывающие произвольную орбиту такого вида как аффинное многообразие [16, теорема 1.4].

Второй основной результат работы связан с нахождением явной формулы для характеров группы XJ{q) определённого вида. С одной стороны, метод орбит доставляет формулу, позволяющую — в принципе — найти значение неприводимого характера х, соответствующего данной орбите П(д) на данном элементе g Е U(q), см. формулу (1.5): где х £ u(g), g — ехр(ж) € U(q), а 9: F —> С* — произвольный фиксированный нетривиальный гомоморфизм.

С другой стороны, чтобы посчитать х{о) по этой формуле, нужно суммировать значения некоторых функций по орбите, что уже при сравнительно небольших rk Ф и q является серьёзной вычислительной проблемой, а с ростом этих параметров превращается в практически неразрешимую для современных компьютеров проблему. Тем самым, даже если известно описание какой-то орбиты или класса орбит, нахождение явной формулы, позволяющей для произвольного д находить является отдельной важной задачей.

Конкретизируем эти рассуждения. Остановимся на случае Ф = Ап-г, то есть на случае унитреугольной группы U = Un(k) (соответственно, U(q) = Un(¥q) — Un(q)). Её алгебра Ли un (соответственно, un(g)) состоит из всех нильпотентных (нижне) треугольных матриц. Для произвольного характера х его носителем Supp(x) назовём объединение классов сопряжённости группы U(#), значение % на которых отлично от нуля. Понятно, что задача заключается в том, чтобы найти явные уравнения, задающие произвольных класс сопряжённости ^ С Supp(%) как аффинное многообразие, I и вычислить значение х на любом таком классе сопряжённости

Как мы уже отмечали выше, регулярные орбиты унитреугольной группы были описаны ещё в [13], а описание субрегулярных содержится в [5]. В то же время, характеры, соответствующие регулярным орбитам (они называются характерами основной серии) были описаны Андре лишь в 2001 г. (точнее, формула для характеров основной серии является частным случаем результатов [23]). Мы же доказываем аналогичную формулу для субрегулярных характеров — неприводимых характеров Un(q), соответствующих субрегулярным орбитам, то есть орбитам предмаксимальной размерности.

А именно, пусть £2(q) С u*(q) — произвольная субрегулярная орбита унитреугольной группы Un(q), / — каноническая форма на ней (точные определения см. в пункте 5.2), а х ~~ соответствующий неприводимый хаарктер. Мы предъявляем ряд элементов хо{ф) £ U(q) и находим уравнения, задающие их классы сопряжённости %в(у>) С U(q) как аффинные многообразия, см. пункт 6.1. Кроме этого, для каждого такого элемента мы определяем целое число тв, см. (3.25). Напомним, что через 9: —> С* мы обозначили произвольный нетривиальный фиксированный гомоморфизм; пусть также ln обозначает единичную матрицу размера п х п. Точная формула для вычисления субрегулярного характера % доставляется следующей теоремой (см. теорему 6.9): . '. . ;

Теорема 3. Носитель характера.х состоит из всех классов сопряжённости Xd(<p)/ удовлетворяющих дополнительному условию (3.24). Значение х на произвольном элементе д, леоюащем в ОСd(<p) C,Supp(x), равно x(9):=<r°-oXf(xD(tp)-in)).'

Опишем структуру работы. Первая глава носит вводный характер; в ней собраны необходимые определения и обозначения, а также некоторые общеизвестные факты, которые используются в дальнейшем. В параграфе 1 мы очень кратко напоминаем ряд определений, связанных с системами корней, группами Щевалле (пункт 1.1) и их максимальными унипотентными подгруппами (пункт 1.2). Параграф. 2 посвящён сжатому изложению метода орбит для унипотент-ных групп над конечными полями. В пункте 2.1 даётся определение копри-соединённого.представления (см. формулу (1.4)) и формулируется теорема, выражающая суть метода орбит (теорема 2.2). В пункте 2.2 мы приводим ряд важных примеров коприсоединённых орбит и показываем, что все они ассоциированы с некоторыми ортогональными подмножествами в системах корней. Кроме этого, в пункте 2.3 излагается метод F. Макки, сводящий вычисление неприводимых характеров конечной группы, представленной в виде полупрямого произведения своих подгрупп, к вычислению характеров сомножителей (он. будет использован в главе 3 при вычислении субрегулярных характеров унитреугольной группы).

Глава 2 посвящена изучению коприсоедйнённых орбит, ассоциированных с ортогональными подмножествами систем корней. В параграфе 3 мы доказываем несколько фактов о таких орбитах в общем случае, а в параграфе 4 уточняем их для классических систем корней. Подробнее, в пункте 3.1 даётся точное определение орбиты, ассоциированной с произвольным ортогональным подмножеством D С Ф+, и формулируется основная теорема о размерности таких орбит (теорема 3.3). Там же показано, что при доказательстве этой теоремы можно ограничиться неприводимыми системами корней (лемма 3.5) и ортогональными подмножествами, удовлетворяющими некоторому дополнительному условию (лемма 3.7).

В следующем пункте 3.2 мы доказываем основную теорему для неприводимых систем корней с простыми связями (то есть для Ап, Dn, Eq, Е? и Е%). Утверждение теоремы непосредственно вытекает из предложений 3.14 и 3.15.

Рассуждения основываются на индукции по рангу системы корней Ф. В пунк1 те 3.3 мы проверяем, что основная теорема верна для систем корней типа и 6?2. (Случай (j?2 почти тривиален, а в случае F4 часть ортогональных подмножеств рассматриваются единообразно, а оставшиеся подмножества приходится изучать по отдельности.)

Таким образом, нерассмотренными остаются системы корней типа Вп и Ст но их естественно изучать в рамках общей схемы для классических систем корней, к чему мы и переходим в параграфе 4. Пункт 4.1 посвящён построению поляризации р для канонической формы / на орбите Q, ассоциированной с каким-то ортогональным подмножеством. Конструкция подпространства р содержится в (2.9). Теорема 4.5 утверждает, что р является поляризацией для /; её доказательство сразу следует из определения поляI ризации и предложений 4.9 и 4.10.

В пункте 4.2 мы уточняем основную теорему о размерности орбиты О для классических систем корней: оценка сверху на dim Г2 превращается в точную формулу, см. теорему 4.13 и формулу (2.14). Доказательство, по сути, основано вновь на индукции по гкФ. Как следствие, мы в пункте 4.3 описываем все возможные размерности неприводимых комплексных представлений группы U(q), см. следствие 4.21.

В главе 3 доказана точная формула для вычисления субрегулярных характеров унитреугольной группы Un(q). Сначала, в пункте 5.1 параграфа 5 мы доказываем аналогичную формулу для характеров основной серии этой группы (теорема 5.7). Это доказательство отличается от оригинального доказательства Андре из статьи [23]: нашей целью было продемонстрировать, как в данном контексте работает метод полупрямого разложения Макки, описанный в пункте 2.3, который мы затем применяем и для описания субрегулярных характеров. В этом же параграфе, в пункте 5.2, мы даём определение канонической формы на субрегулярной орбите (определение 5.14) и формулируем теорему классификации таких орбит.

Наконец, параграф б содержит доказательство интересующей нас формулы для субрегулярного характера х- Точнее говоря, в пункте 6.1 находятся уравнения, задающие произвольный класс сопряжённости Хв(<р) С Supp(%) (предложение 6.7). В пункте 6.2 мы формулируем основной результат (теорему 6.9), который затем доказываем в пункте 6.3. Доказательство проводится индукцией по п (шаг индукции делается с помощью метода полупрямого разложения Макки, см. предложение 6.13). Множество субрегулярных характеров распадается на классы, которые нумеруются натуральным числом 5. В леммах 6.14, 6.15 теорема доказывается в случае 5 — 1, а в леммах 6.16, 6.17 — в случае S > 1 (эти случаи различаются технически). В каждом из случаев первая лемма в паре посвящена описанию носителя характера, а вторая — вычислению его значения на произвольном классе сопряжённости, попадающем в носитель. I

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [6]-[11], [40]. I

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.Н. Панову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Игнатьев, Михаил Викторович, 2010 год

1. Борель А. Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1972. - 272 с.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV-VI. — М.: Мир, 1972. 334 с.

3. Диксмье Ж. Универсальные обвёртывающие алгебры. — М.: Мир, 1978. 408 с.

4. Желобенко Д.П. Основные структуры и методы теории представлений. М.: МЦНМО, 2004. - 448 с.

5. Игнатьев М.В., Панов А.Н. Коприсоединённые орбиты группы UT(7, К), // Фунд. и прикл. матем., т. 13, вып. 5, 2007, с. 127-159, см. также arXiv: math. RT/0603649v3 (2006).

6. Игнатьев М.В. Субрегулярные характеры унитреугольной группы над конечным полем. // Фунд. и прикл. матем., т. 13, вып. 5, 2007, с. 103-125, см. также arXiv: math.RT/0801.3079v2 (2008).150

7. Игнатьев М.В. Базисные подсистемы в системах корней Вп и Dn и ассоциированные коприсоединённые орбиты. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, т. 3.(62), 2008, с. 124-148.

8. Игнатьев М.В. Ортогональные подмножества классических систем корней и коприсоединённые орбиты унипотентных 'групп. // Мат. заметки, т. 86, вып. 1, 2009, с. 65-80, см. также arXiv: math.RT/0904.2841v2 (2009). : \ 'I ■

9. Картер Р.У. К теории представлений конечных групп! типа Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 77 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М., 1991.-с. 5-143.

10. Кириллов А.А. Унитарные представления . нильпотентных групп Ли.// УМН,/г. 17, 1962, с. 57-110.

11. Кириллов. А.А. Лекции по. методу орбит. — Новосибирск: Научная ' книга (ИДМИ), 2002. 290 с. ! "151 :

12. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1. — М.: Мир, 1988. 430 с.

13. Панов А.Н. Инволюции в Sn и ассоциированные коприсоединённые орбиты. // Зап. научн. сем. ПОМИ, т. 349, вып. 16, 2007, с. 150-173, см. также arXiv: math.RT/0801.3022vl (2008).

14. Спрингер Т.А. Линейные алгебраические группы. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 55 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М., 1989. с. 5-136.

15. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975. — 262 с.

16. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. 399 с.

17. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — М.: МЦНМО, 2003. 216 с.

18. Andre С.А.М. Basic sums of coadjoint orbits of the unitriangular group. J. Algebra, v. 176, 1995, p. 959-1000.i

19. Andre C.A.M. Basic characters of the unitriangular group. J. Algebra, v. 175, 1995, p. 287-319.

20. Andre C.A.M. The basic character table of the unitriangular group. J. Algebra, v. 241, 2001, p. 437-471.

21. Andre C.A.M. Basic characters of the unitriangular group (for arbitrary primes). Proc. Amer. Math. Soc., v. 130, №2, 2002, p. 1943-1954.

22. Andre C.A.M., Neto A.M. Super-characters of finite unipotent groups of types Bn, Cn and Dn. J. Algebra, v. 305, 2006, p. 394-429.

23. Andre С.A.M., Neto A.M. A supercharacter theory for the Sylow p-subgroups of the finite symplectic and orthogonal groups. J. Algebra, v. 322, 2009, p. 1273-1294.

24. Boyarchenko M. Characters of unipotent groups over finite fields, arXiv: math. RT/0712.2614vl (2007).

25. Boyarchenko M., Drinfeld V. A motivated introduction to character sheaves and the orbit method for unipotent groups in positive characteristic, arXiv: math. RT/0609769vl (2006).

26. Boyarchenko M., Drinfeld V. Character sheaves on > unipotent groups in positive characteristic: foundations, arXiv: math. RT/0810.0794vl (2008).

27. Carter R.W. Simple groups of Lie type. — London, Wiley, 1972. 364 p.

28. Deligne P., Lusztig G. Representations of reductive groups over a finite field. Ann. Math., v, 103, 1973. p. 103-161.

29. Dixmier J. Sur les representations unitaries des groups de Lie nilpotents I. Amer. J. Math., v. 81, 1959, p. 160-170.

30. Dixmier J. Sur les representations unitaries des groups de Lie nilpotents II. Bull. Soc. Math. France, v. 85, 1957, p. 325-388.

31. Dixmier J. Sur les representations unitaries des groups de Lie nilpotents III. Canad J. Math., v. 10, 1958, p. 321-348.

32. Dixmier J. Sur les representations unitaries des groups de Lie nilpotents IV. Canad. J. Math., v. 11, 1959, p. 321-344.

33. Dixmier J. Sur les representations unitaries des groups de Lie nilpotents V. Bull. Soc. Math. France, v. 87, 1959, p. 65-79.

34. Dixmier J. Sur les representations unitaries des groups de Lie nilpotents VI. Canad. J. Math., v. 12, 1960, p. 324-352.

35. Duval C., Guieu L., Ovsienko V (eds.). The orbit method in geometry and physics (In honour of A.A. Kirillov). Progr. in Math., v. 213. — Boston, Birkhauser, 2003, p. 243-258.

36. Dynkin E.B., Michenko A.N. Projective root systems, enhanced Dynkin diagrams and Weyl orbits, prerpint (2009), see http: //www. math. Cornell. edu/~andreim/EDD. pdf.

37. Isaacs M. Characters of groups associated with finite algebras. J. Algebra, v. 177, 1995, p. 708-730.

38. Isaacs M. Counting characters of upper triangular groups. J. Algebra, v. 315, 2007, p. 698-719.

39. Huppert B. Character theory of finite groups. — New York/Berlin, de Gruyter. — 618 p.

40. Kazhdan D. Proof of Springer's hypothesis. Israel J. Math., v. 28, 1977, p. 272-286.

41. Kirillov A.A. Variations on the triangular theme. Amer. Math. Soc. Transl., v. 169, 1995, p. 43-73.

42. Kirillov A.A. Merits and demerits of the orbit method. Bull. Amer. Math. Soc., v. 36, 1999, p. 433-488.

43. Kirillov A.A. Two more variations on the triangular theme. // Duval C., Guieu L., Ovsienko V (eds.). The orbit method in geometry and physics (In honour of A.A. Kirillov). Progr. in Math., v. 213. — Boston, Birkhauser, 2003, p. 243-258.

44. Kirillov A.A., Melnikov A. On a remarkable sequence of polynomials. Publ. Soc. Math. France, no. 2, 1996, p. 35-42.

45. Lehrer G.I. Discrete series and the unipotent subgroup. Compositio Math., v. 28, fasc. 1, 1974, p. 9-19.

46. Lusztig G. On the unipotent characters of the exeptional groups over finite fields. Invent. Math., v. 60, 1980, p. 173-192.

47. Lusztig G. Unipotent characters of the symplectic and odd orthogonal groups over a finite field. Invent. Math., v. 64, 1981, p. 263-296.

48. Lusztig G. On the character values of finite Chevalley groups at unipotent elements. J. Algebra, v. 104, 1986, p. 146-194.

49. Mackey G.W. Infinite dimensional group representations. Bull. Amer. Math. Soc., v. 69, 1963, p. 628-686.

50. Mukherjee S. Coadjoint orbits for B+ and arXiv: math.RT/051332vl (2005).

51. Sangroniz J. Irreducible characters of large degree of Sylow p-subgroups of classical groups. J. Algebra, v. 321, 2009, p. 1480-1496.

52. Srinivasan B. Representations of finite Chevalley groups. Lecture Notes in Math., v. 764. — New York/Berlin, Springer, 1979. 177 p.

53. Steinberg R. Conjugacy classes in algebraic groups. Lecture Notes in Math., v. 366. — New York/Berlin, Springer, 1974. — 159 p.

54. Vergne M. Construction de sous-a^bres subordonn^es к un 6lement du dual d'une algfcbre de Lie resoluble. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, v. 270, 1970, p. A173-A175.

55. Yan N. Representation theory of finite unipotent linear groups. Ph.D. thesis, Department of Math., University of Pennsylvania, 2001.