Низкоэнергетические эффективные действия и многоразрезные решения матричных моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Васильев, Дмитрий Викторович

• Васильев, Дмитрий Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Дмитрий Викторович

0.1 Общая характеристика работы.

0.2 Содержание диссертации.

0.3 Основные результаты диссертации.

0.4 Благодарности.

1 Эффективное действие

1.1 Суперсимметричные теории.

1.2 N = суперсимметричные теории и теория Зайберга Виттена.

1.3 Нарушенная JV" = теория.

1.4 "Пертурбативное" вычисление суперпотенциала для Af = теории.

2 Многоразрезные решения матричной модели

2.1 Матричные интегралы и резольвенты.

2.2 Решение в роде ноль.

2.3 Матричная модель в представлении собственных значений.

2.4 Система Зайберга-Виттена-Уизема.

2.5 Свободная энергия как препотенциал системы ЗВУ.

2.6 Вторые производные свободной энергии.

3 Уравнение ВДВВ

3.1 Формула вычетов.

3.2 Доказательство условий ВДВВ.

3.3 Уравнения ВДВВ и пертурбативное разложение J-'q.

4 Вычисление непланарных вкладов

4.1 Решение петлевых уравнений в старших родах.

4.2 Вычисления в роде один.

4.3 Свободная энергия в роде один и детерминантное представление.

4.4 Связь с топологической В-моделью.

Глава О

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Низкоэнергетические эффективные действия и многоразрезные решения матричных моделей»

0.1 Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению многоразрезных решений матричной модели и их приложению к изучению низкоэнергетических эффективных действий для суперсимметричной калибровочной теории.

Матричные модели [1] в приложении к изучению физических явлений появились в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона. В этих работах изучалась связь между распределением ядерных уровней и собственных значений случайных матриц. В течение последней четверти двадцатого века матричные модели были применены во многих физических и математических задачах, включая распределение энергетических уровней в сложных системах, квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста, квантовую гравитацию, теорию струн, интегрируемые системы, теорию чисел, комбинаторику графов на поверхностях, инварианты Громова-Виттена и многое другое.

Как в случае Л/" = 2, так и в случае Л/" = 1 теории ответ может быть описан в терминах интегрируемых систем. При этом фазовое пространство динамической системы совпадает с пространством модулей, возникающим при описании низкоэнергетического действия. В диссертации показана связь многоразрезных решений матричной модели с иерархиейУизема [19] (см. также [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]), возникающей в теории солитонов. Можно ожидать, что существует соотношение между статистической суммой в планарном пределе и квазиклассической или уиземовской иерархией хотя бы уже по той причине, что матричные интегралы сами по себе являются тау-функциями иерархий интегрируемых уравнений типа КП/Тоды [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].

Диссертация содержит вывод уравнений Виттена-Диджкграафа-Вер-линде-Верлинде (ВДВВ) для первого члена в разложении свободной энергии матричной модели по 1 /N [34]. Уравнения ВДВВ [35, 36, 37] впервые были получены для топологических теорий (то есть теорий, в которых корреляторы не зависят от метрики), и их появление свидетельствует о существовании топологической теории, соответствующей данным решениям матричной модели.

Хотя матричная модель является точно решаемой, явные представления для корреляторов найти довольно сложно. В связи с этим важной задачей является вопрос о вычислении резольвент - производящих функций для корреляторов матричной модели, также имеющих разложение по 1/iV. В диссертации показано, что двухточечная резольвента совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой [38].

Предполагается [39, 40, 41], что непланарные вклады в свободную энергию матричной модели описывают голоморфные члены, отвечающие за взаимодействие калибровочной теории с гравитацией. В связи с этим представляется важным получить явные представления для данных вкладов. В работе предъявлено новое детерминантное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию. Это представление позволяет связать диаграммную технику, возникающую в уравнениях ВДВВ, с вычислением старших членов в разложении свободной энергии матричной модели [38, 42].

Цель работыЦелью диссертации является:• изучение низкоэнергетического поведения суперсимметричных калибровочных теорий;• изучение предела N —► оо, д —> 0 в матричных моделях и вычисление старших вкладов в свободную энергию;• связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уи-зема;• изучение связи матричных моделей с топологическими теориями и вывод уравнения ВДВВ в многоразрезных решениях матричных моделей.

Научная новизнаОсновные результаты работы являются новыми. Среди них:• построение системы Уизема, соответствующей многоразрезным решениям эрмитовой матричной модели;• представление двухточечной резольвенты через ядро бидифферен-циала Бергмана;• вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели;• вывод детерминатного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели.

Практическая и научная ценность• Получен новый пример описания низкоэнергетического действия суперсимметричных калибровочных теории в терминах иерархии Уизема.• Получены явные представления для производящих функций корреляторов матричной модели.• Показано, что планарный предел свободной энергии матричной модели удовлетворяет уравнениям ВДВВ, что подтверждает связь матричной модели с топологическими теориями.• Изучен вопрос о вычислении старших вкладов в статсумму матричной модели. Получены новые явные формулы для первого непла-нарного вклада.

Апробация диссертации и публикацииРезультаты диссертации докладывались на международных конференциях: Quantum Groups and Integrable Systems, Прага, Чехия, июнь, 2003; Quantum Fields and Strings, Домбай, Россия, август, 2003; 65th Workshop on General Algebra, Потсдам, Германия, март, 2003; Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems, Монреаль, Канада, июнь-июль, 2005; научном семинаре Центра Нелинейных Исследований Лос-Аламосской Национальной Лаборатории, США, 2003; физико-математическом семинаре математического факультета университета г. Анжер, Франция, март, 2003. По материалам диссертации опубликовано 4 научные работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Дмитрий Викторович, 2005 год

1. Madan Lai Mehta. Random matrices. 3rd ed. Pure and Applied Mathematics 142. Amsterdam: Elsevier, xviii, 688 p., 2004.

2. N. Seiberg and Edward Witten. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in n=2 supersymmetric qcd. Nucl. Phys., B431:484-550, 1994. hep-th/9408099.

3. N. Seiberg and Edward Witten. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in n=2 supersymmetric yang-mills theory. Nucl. Phys., B426:19-52, 1994. hep-th/9407087.

4. Nikita A. Nekrasov. Seiberg-witten prepotential from instanton counting. Adv. Theor. Math. Phys., 7:831-864, 2004.

5. Nikita A. Nekrasov. Seiberg-witten prepotential from instanton counting. 2003. hep-th/0306211.

6. N. A. Nekrasov. Solution of n=2 gauge theory. Prog. Theor. Phys. Suppl., 152:73-79, 2004.

7. F. Cachazo, Kenneth A. Intriligator, and Cumrun Vafa. A large n duality via a geometric transition. Nucl. Phys., B603:3-41, 2001. hep-th/0103067.

8. Freddy Cachazo and Cumrun Vafa. N = 1 and n = 2 geometry from fluxes. 2002. hep-th/0206017.

9. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa. Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories. Nucl. Phys., B644:3-20, 2002. hep-th/0206255.

10. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa. On geometry and matrix models. Nucl Phys., B644:21-39, 2002. hep-th/0207106.

11. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa. A perturbative window into non-perturbative physics. 2002. hep-th/0208048.

12. Kresimir Demeterfi, Nivedita Deo, Sanjay Jain, and Chung-I Tan. Multiband structure and critical behavior of matrix models. Phys. Rev., D42:4105-4122, 1990.

13. J. Jurkiewicz. Regularization of the one matrix models. Phys. Lett., B245:178-184, 1990.

14. Cedomir Crnkovic and Gregory W. Moore. Multicritical multicut matrix models. Phys. Lett., B257:322-328, 1991.

15. Jan Ambjorn and G. Akemann. New universal spectral correlators. J. Phys., A29:L555-L560, 1996. cond-mat/9606129.

16. Gabrielle Bonnet, Francois David, and Bertrand Eynard. Breakdown of universality in multi-cut matrix models. J. Phys., A33:6739-6768, 2000. cond-mat /0003324.

17. A. Alexandrov, A. Mironov, and A. Morozov. Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory, i: Finite size hermitean 1- matrix model. Int. J. Mod. Phys., A19:4127-4165, 2004. hep-th/0310113.

18. G. Veneziano and S. Yankielowicz. An effective lagrangian for the pure n=l supersymmetric yang-mills theory. Phys. Lett., B113:231, 1982.

19. I. M. Krichever. The r-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories. Commun. Pure Appl. Math., 47(4):437-475, 1992. hep-th/9205110.

20. A. Gorsky, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov. Rg equations from whitham hierarchy. Nucl. Phys., B527:690-716, 1998. hep-th/9802007.

21. A. Marshakov and A. Mironov. Seiberg-witten systems and whitham hierarchies: A short review. 1998. hep-th/9809196.

22. A. Marshakov. Seiberg-Witten theory and integrable systems. Singapore, Singapore: World Scientific, 1999. 253 p.

23. H.W.(ed.) Braden and I.M.(ed.) Krichever. Integrability: The Seiberg-Witten and Whitham equations. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, ix, 276 p., 2000.

24. L. Chekhov and A. Mironov. Matrix models vs. seiberg-witten/whitham theories. Phys. Lett., B552:293-302, 2003. hep-th/0209085.

25. Vladimir A. Kazakov and Andrei Marshakov. Complex curve of the two matrix model and its tau- function. J. Phys., A36:3107-3136, 2003. hep-th/0211236.

26. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov. Matrix models of 2-d gravity and toda theory. Nucl. Phys., B357:565-618, 1991.

27. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Orlov, and A. Zabrodin. Matrix models among integrable theories: Forced hierarchies and operator formalism. Nucl. Phys., B366:569-601, 1991.

28. A. Marshakov. Integrable structures in matrix models and physics of 2-d gravity. Int. J. Mod. Phys., A8:3831-3882, 1993. hep-th/9303101.

29. A. Mironov. 2-d gravity and matrix models. 1. 2-d gravity. Int. J. Mod. Phys., A9:4355-4406, 1994. hep-th/9312212.

30. A. Mironov. Matrix models of two-dimensional gravity. Phys. Part. Nucl., 33:537-582, 2002.

31. A. Morozov. Integrability and matrix models. Phys. Usp., 37:1-55, 1994. hep-th/9303139.

32. A. Morozov. Matrix models as integrable systems. 1995. hep-th/9502091.

33. L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov, and D. Vasiliev. Dv and wdw. Phys. Lett., B562:323-338, 2003. hep-th/0301071.

34. Edward Witten. On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity. Nucl. Phys., B340:281-332, 1990.

35. Robbert Dijkgraaf, Herman L. Verlinde, and Erik P. Verlinde. Topological strings in d < 1. Nucl. Phys., B352:59-86, 1991.

36. A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov. Wdvv-like equations in n = 2 susy yang-mills theory. Phys. Lett., B389:43-52,1996. hep-th/9607109.

37. L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov, and D. Vasiliev. Complex geometry of matrix models, hep-th/0506075, 2005. hep-th/0506075.

38. Albrecht Klemm, Marcos Marino, and Stefan Theisen. Gravitational corrections in supersymmetric gauge theory and matrix models. JEEP, 03:051, 2003. hep-th/0211216.

39. Robbert Dijkgraaf, Annamaria Sinkovics, and Mine Temurhan. Matrix models and gravitational corrections. Adv. Theor. Math. Phys., 7:11551176, 2004. hep-th/0211241.

40. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, H. Ooguri, C. Vafa, and D. Zanon. Planar gravitational corrections for supersymmetric gauge theories. JEEP, 04:028, 2004. hep-th/0310061.

41. D. Vasiliev. Determinant formulas for matrix model free energy. To appear in JETP Letters, 2005. hep-th/0506155.

42. Robbert Dijkgraaf, Sergei Gukov, Vladimir A. Kazakov, and Cumrun Vafa. Perturbative analysis of gauged matrix models. Phys. Rev., D68:045007, 2003. hep-th/0210238.

43. Chekhov and Yu. Makeenko. The multicritical kontsevich-penner model. Mod. Phys. Lett., A7:1223-1236, 1992. hep-th/9201033.

44. John D. Fay. Theta functions on Riemann surfaces. Lecture Notes in Mathematics. 352. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 137 p. DM 16.00; $ 6.60 , 1973.

45. A. A. Belavin, Alexander M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory. Nucl. Phys., B241:333-380, 1984.

46. V. G. Knizhnik. Analytic fields on riemannian surfaces. Phys. Lett., B180:247, 1986.

47. V. G. Knizhnik. Analytic fields on riemann surfaces. 2. Commun. Math. Phys., 112:567-590, 1987.

48. V. G. Knizhnik. Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry. Sov. Phys. Usp., 32:945-971, 1989.

49. D. Lebedev and A. Morozov. String partition functions and hyperelliptic surfaces. Nucl. Phys., B302:163, 1988.

50. A. Morozov. Two loop statsum of superstring. Nucl. Phys., B303:343, 1988.

51. V. A. Kazakov, A. Marshakov, J. A. Minahan, and K. Zarembo. Classical / quantum integrability in ads/cft. JHEP, 05:024,2004. hep-th/0402207.

52. A. Marshakov. Quasiclassical geometry and integrability of ads/cft correspondence. Theor. Math. Phys., 142:222-236, 2005. hep-th/0406056.

53. A. Mironov. Wdvv equations and seiberg-witten theory. 1998. hep-th/9903088, in 23].

54. К. Hoevenaars, P. H. M. Kersten, and R. Martini. Generalized wdw equations for f(4) pure n = 2 super-yang- mills theory. Phys. Lett., B503:189-196, 2001. hep-th/0012133.

55. Francois David. Nonperturbative effects in matrix models and vacua of two- dimensional gravity. Phys. Lett., B302:403-410, 1993. hep-th/9212106.

56. Olaf Lechtenfeld. On eigenvalue tunneling in matrix models. Int. J. Mod. Phys., A7:2335-2354, 1992.

57. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov. Generalized kontsevich model versus toda hierarchy and discrete matrix models. Nucl. Phys., B397:339-378, 1993. hep-th/9203043.

58. E. W. Barnes. The theory of the double gamma function. Phil. Trans.Roy.Sос., A196:265-387, 1901.

59. Michio Jimbo and Tetsuji Miwa. Qkz equation with |q|=l and correlation functions of the xxz model in the gapless regime. J. Phys., A29:2923-2958, 1996. hep-th./9601135.

60. Erdelyi A. Bateman H. Higher transcendental functions. Vol. III. New York: McGraw-Hill Book Co., 1955. Bateman Manuscript Project, California Institute of Technology.