Условия Вирасоро в матричных моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Александров, Александр Сергеевич
- Специальность ВАК РФ01.04.02
- Количество страниц 125
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Александров, Александр Сергеевич
1 Введение
2 Эрмитова матричная модель
2.1 Введение.
2.2 Статистическая сумма как функциональный интеграл.
2.2.1 Понятие статистической суммы.
2.2.2 Матричная модель как простейшая струнная модель.
2.3 Статистическая сумма как Р-модуль
2.3.1 Понятие статистической суммы.
2.3.2 Условия Вирасоро для ЭММКР.
2.3.3 Условия Вирасоро и петлевые операторы.
2.3.4 Рекуррентное решение условий Вирасоро.
2.3.5 Независимые переменные затравочного потенциала.
2.4 О количестве решений.
2.4.1 Типы зависимости от д
2.4.2 Сдвиги переменных t и происхождение параметров /: сверхпростой пример
2.4.3 Оператор эволюции и базис в гильбертовом пространстве решений
2.5 Гауссова статистическая сумма
2.6 Формулы разложения типа формулы Гивенталя для негауссовых статистических сумм КИВ-ДВ.
2.7 Препотенциал КИВ-ДВ.
2.8 Непрерывные пределы.
3 Оператор эволюции
3.1 Введение.
3.2 Корреляционные функции и чек-операторы.
3.2.1 Полные связные корреляционные функции.
3.2.2 От корреляторов К к операторам R.
3.2.3 От К к р- несколько примеров.
3.2.4 От К к р- общие результаты
3.2.5 От Кир назад к К и р.
3.2.6 Операторы, соответствующие числам заполнения.
3.3 Обращение с оператором у
3.3.1 Алгебра, генерируемая dkW{z) и &R{z).
3.3.2 Интегральное представление оператора у и его степеней.
3.3.3 Модельный пример дальнейших вычислений.
3.3.4 Распутывание экспонент.
3.3.5 Действие оператора у и его степеней
3.4 Резюме: гипотезы.
4 Формулы разложения
4.1 Введение.
4.2 Основные ингредиенты.
4.3 Связь между уравнениями Сонга и Вирасоро.
4.4 От квадратичного уравнения к линейному.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК
Матричные модели и геометрия пространства модулей2000 год, доктор физико-математических наук Чехов, Леонид Олегович
Матричные модели и интегрируемость2024 год, кандидат наук Мишняков Виктор Викторович
Теория струн и непертурбативные эффекты в суперсимметричных калибровочных теориях2003 год, кандидат физико-математических наук Пестун, Василий Сергеевич
Многочастичные системы и непертрубативная теория поля1998 год, доктор физико-математических наук Горский, Александр Сергеевич
Некоторые вопросы квантовых полевых матричных моделей2007 год, кандидат физико-математических наук Шишанин, Андрей Олегович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия Вирасоро в матричных моделях»
Матричные модели являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. Исторически матричные модели впервые возникли в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона в 50-е годы прошлого века при описании спектров сложных атомов и молекул. С тех пор матричные модели заняли достойное место в арсенале теоретической физики. Матричные модели являются достаточно простыми и, в тоже время, богатыми по набору интересных свойств объектами, которые возникают во многих областях физико-математических наук. Особенно интересны матричные модели с точки зрения теории струн, в которой они являются базисным элементом для построения множества более сложных моделей и возникают, в частности, при описании конформных теорий, топологических теорий, двумерной гравитации, суперсимметрии, интегрируемых систем. В различных задачах возникают различные матричные модели, и изучение взаимосвязи между ними позволяет получать нетривиальные утверждения о связях различных теорий.
Наиболее широко используемой является одновременно и наиболее простая матричная модель - эрмитова, которая описывается интегралом
Z№) = тгг- / d*ехр ( iу;ТгФ*) , где Ф - эрмитова матрица размером N х N, а мера интегрирования - просто произведение дифференциалов всех матричных элементов N П ЛФц. ij=1
Как было показано еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, интегралы такого типа можно значительно упростить, а именно, проинтегрировав по угловым переменным, свести #2-кратный интеграл к JV-кратному интегралу по собственным значениям. При этом мера интегрирования становится нетривиальной. В случае эрмитова интеграла эта мера равна квадрату определителя Ван-дер-Монда от собственных значений матрицы.
Другим важным шагом в изучении матричных моделей было осознание того факта, что матричный интеграл удовлетворяет бесконечному набору условий, которые являются для него просто тождествами Уорда, и называются условиями Вирасоро или петлевыми уравнениями. Эти условия представляются в виде дифференциальных уравнений
LnZ(t\N) = О, п > -1, где операторы Ln имеют вид д ^ д2 = ktk^i— + У. ъгы— t^o dtk+n t^o и образуют подалгебру алгебры Вирасоро.
Для того, чтобы доопределить расходящийся матричный интеграл, в потенциале необходимо выделить конечную затравочную часть оо оо
J2 ** ъ фк Stk ^ ф* - ^ к=0 Л=0 где W(<&) = X)fc=o ткфк обычно является полиномом, и считать статистическую сумму Z(t\N) формальным рядом по константам связи При этом зависимость от параметров затравочного потенциала Т* может быть сложной и, вообще говоря, сингулярной. Простейшим примером потенциала является гауссов потенциал ТУ(Ф) = Для гауссового интеграла существует диаграммная техника, которая позволяет вычислять различные корреляционные функции. Диаграммы являются толстыми графами, лежащими на римановых поверхностях. При этом, как показал т'Хофт, у статистической суммы в такой теории существует естественное разложение по родам, то есть вклады кривых старших родов подавлены по константе связи g:
ZgW) = exp (Х>2А-2^л>(<|5)) . л=о /
Здесь S - т'Хофтовская константа связи. Но технически оказывается проще не вычислять вклады от отдельных диаграмм, а ввести производящие функции для бесконечного набора диаграмм, например резольвенты
TV—Ц-.TV—i—>,
Zi-Ф Zm-$ которые достаточно просто вычислять с помощью условий Вирасоро.
Негауссовы интегралы, как обычно, сложнее и интереснее, и именно они чаще всего возникают в физических задачах. В частности, в серии работ Р.Дижкграафа и К.Вафы была обнаружена нетривиальная связь между низкоэнергетическим эффективным точным препотенциалом в М =■ 1 четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Милса и так называемыми многоразрезными решениями (или, что тоже самое, решениями ДижкграафагВафы (ДВ)) эрмитовой матричной модели с размером матрицы N —> оо. Эти решения имеют интегральные представления в виде специальным образом переопределенного эрмитовою матричного интеграла. А именно, матричный интеграл берется с помощью метода перевала, при этом рассматривается вклад только одного, произвольного, экстремума, а не сумма по всем экстремумам. Этот экстремум задается числами заполнения Si, i = l,.,n — 1, определяющими количества собственных значений вблизи экстремумов потенциала W(x). Таким образом, получившаяся производящая функция (решение ДВ) зависит от дополнительного набора параметров. Эти параметры вместе с параметрами затравочного потенциала задают гиперэллиптическую кривую y(z)2 — W'(z)2 — f(z), играющую важную роль в построении статистической суммы. В частности, резольвенты являются мультидифференциалами на этой римановой кривой, а числа заполнения равны контурным интегралам на ней
Si = j> y{z)dz.
Для планарного и первого непланарного вклада в свободную энергию также существуют выраг жения в терминах контурных интегралов на этой кривой.
У определенного таким образом решения ДВ и исходного матричного интеграла есть важное общее свойство - они удовлетворяют условиям Вирасоро. Таким образом возникают вопросы: какие еще решения есть у условий Вирасоро, как устроены эти решения, что между ними общего и чем решения ДВ выделены. Интересным классом решений являются решения, имеющие разложение по рсдам. Оказывается, что при построении таких решений тоже возникают гиперэллиптические кривые, и свойства резольвент на этих кривых универсальны.
В настоящее время исследование свойств решений условий Вирасоро для эрмитовой матричной модели, в частности, решений ДВ, является важной и активно разрабатываемой темой в теории струн.
Еще одним важным примером матричной модели является модель Концевича, возникшая в 90-е годы при исследовании связи двумерной топологической теории гравитации и интегрируемой иерархии Картевега де Вриза (КдВ), которая является представителем важного класса обобщенных моделей Концевича:
ZK= Г «tte-^vw+TVA*
УлГхАГ
Здесь Л - произвольная эрмитова матрица, следы от отрицательных степеней которой играют роль констант связи, а У"(Ф) - потенциал, который для модели Концевича просто равен Ф3. Модель Концевича может быть получена из эрмитовой матричной модели в специальном (двойном скейлинговом) пределе. Но в литературе, в частности, в работах Л.Чехова и И.Костова есть указания на то, что существует нетривиальная точная связь между двумя этими моделями. Эта связь должна основываться на формулах разложения, являющихся аналогами формул разложения, которые известны в топологической теории струн. Топологические теории поля и струн активно изучались в конце 80-х - начале 90-х годов прошлого века, в частности, в работах Э.Виттена и Р.Дижкграафа были получены важные результаты, которые определяют связь топологических теорий с геометрией пространств модулей римановых кривых и интегрируемыми иерархиями. Топологические теории образуют важный класс моделей теории струн, многие общие свойства которых очень похожи на свойства матричных моделей. В некоторых случаях известно явное отождествление, в частности, для простейших топологических теорий струн -теорий для точки и для многообразия <CPi- статистические суммы задаются матричными интегралами.
Формулы разложения позволяют выразить статистические суммы нетривиальных теорий через произведение т-функций Концевича, связанных друг с другом некоторыми дифференциальными операторами. Существование формул разложения в топологических теориях является нетривиальным и до конца не понятым фактом, который позволяет вычислять корреляционные функции в этих теориях. Эти корреляционные функции являются важными геометрическими инвариантами пространств модулей римановых кривых с отмеченными точками и их отображений.
Содержание диссертации
Введение обосновывает актуальность изучения рассматриваемых задач, содержит обзор литературы и методов решения.
В первой главе описывается общая конструкция построения статистической суммы эрмитовой матричной модели. Излагается новый подход к матричным моделям, а именно, предлагается рассматривать матричную модель как D-модуль, описывающий все решения условий Вирасоро со сложной структурой ветвей, особенностей и т.д. Такая конструкция основывается на решении уравнений Вирасоро, которые являются тождествами Уорда для матричного интеграла. Эти условия приводят к рекуррентным соотношениям на вклады отдельных родов в мультирезольвен-ты. В диссертации представлено несколько первых шагов рекурсии и получены выражения для мультирезольвент младших родов. Исследована иерархическая структура решений и показано, что для физически важного класса решений, а именно для решений, обладающих т'Хофтовским разложением по родам, произвол в решении определяется функцией от коэффициентов потенциала и константы связи д: Z(0\T) — exp g2h~2F^(Т)), удовлетворяющей двум условиям согласованности: iZ(0|T) = О, L0Z{0\T) = 0.
То есть, решение, статистическая сумма которого имеет разложение по родам, задается произвольной функцией от п — 1 коэффициента затравочного потенциала. Для важного подкласса решений (решений Дижкграафа-Вафы, возникающих при описании N = 1 суперсимметричной теории Янга-Милса в d = 4) получена формула разложения, нетривиальным образом связывающая статистические суммы этих решений со статистическими суммами простейших (гауссовых) эрмитовых матричных моделей: zSr** mo) = II,=1V1 UW) П <*T"j П П^П ZG{ e(<) m с операторами
6 - «CD (i V f + ^ d 'i otij = ац — aj, где сц - экстремум потенциала W{x) и wW(**i) d i = exp J -J2 k>3 где W^^(x) = d*W(x). При этом переменные tj^ задаются соотношениями
00 / п \ п / оо \
X; tЛ Е ^(«»+M')fc) = Е Е ^ МП • к=0 \«=1 / «=1 \*=0 /
Получены явные формулы для корреляционных функций для гауссовой и общей негауссовой эрмитовых матричных моделей. Оказывается, что особенности всех корреляционных функций, в том числе для старших родов, определяются гиперэллиптической кривой у (z), которая возникает уже в простейшей резольвенте
Из того факта, что процедура восстановления зависимости от констант связи t не зависит от конкретного решения, сделан вывод о существовании универсального оператора эволюции. Это универсальный оператор эволюции, который восстанавливает зависимость от бесконечного набора времен по произвольной функции от коэффициентов затравочного потенциала,
Z{t\T) = tf(i)Z(0|T).
Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве решений, то есть произвольное решение можно представить в вида интеграла от решения ДВ с некоторым весом /(5): адг) = J HdSif{S)ZDV(T\t\S).
Во второй главе исследуются свойства универсального оператора эволюции. Явно предъявлено несколько первых коэффициентов разложения этого оператора по константам связи: z)v{z)dz + £ k^2\zi, z2)v{z\)v{z2)dz]dz2 +.
Здесь v{z) = о tkZk- Выражения для этих коэффициентов являются непосредственными опе-раторозначными аналогами выражений для корреляционных функций. Эти операторозначные коэффициенты и различные их комбинации называются чек-операторами. Выражения для первых коэффициентов этого ряда оказываются значительно проще, чем выражения для соответствующих корреляционных функций. Например, выражение для вклада рода д = 2 в одноточечную резольвенту имеет вид
2|i)/■ ■> (RFW)2 + (R2fW) jRy)(RFV) , (RFW) (&y) Pw 3 - +— ^4- +
11(%)2 2y"(Ry) (.Ry") y»(RFV) 1 # ( {Ry) , ,
4 у5 + у5 у4 у4 гуЗ6^ 2y2 + у J^
5 (У*)2 1 «а (У"\ 1 У(4)
16 у5 8у2° \y2J 8 у4 ' в то время как соответствующий оператор гораздо проще:
Kw W-le ^ 88 Г
У''
На этом основании формулируется гипотеза о том, что универсальный оператор может быть выражен полностью через операторы
Rw{z) = - £ (а + 6 + 2)Ta+b+2za^r, о,6=0 y(z;g) = yjw'W -4g2R(z), и это выражение (с точностью до упорядочения некоторых членов, которое полностью не фиксируется) воспроизводит выражение для статистической суммы гауссовой эрмитовой матричной модели. При этом гиперэллиптическая кривая, которая определяет особенности всех мультире-зольвент, определяется по свободной энергии для рода д — 0, а именно,
Показано, что можно определить чек-операторы как для связанных, так и для несвязанных муль-тирезольвент. Далее показано, что по коэффициентам разложения универсального оператора эволюции можно построить бесконечный набор операторов, для которых решения ДВ являются собственными функциями с определенными собственными значениями, в частности, у операторов
Si = 92<f №4') JAi lAi собственными числами являются числа заполнения 5*. Высказана и проверена в лидирующем порядке по константе связи гипотеза о коммутативности этих и сопряженных к ним операторов: р2 f ХЩг),д* f К^Цг)
JAi JBj 92Sij.
В главе 3 исследуется предложенная А.Гивенталем формула разложения, которая задает статистическую сумму для топологической теории струн на многообразии М. Топологические теории поля по сравнению с обычными теориями имеют малое число степеней свободы и обладают дополнительными симметриями, что делает их похожими на матричные модели. В частности, статистические суммы топологических теорий удовлетворяют уравнениям Виттена-Дижкграафа-Верлинде-Верлинде. Ограничение формул разложения на малое фазовое пространство имеет вид е£9>1 = П т. (ПА,; *?>,.)] г («)
Здесь sl - координаты на малом фазовом пространстве для многообразия М, a Dm{s) - дифференциальный оператор, действующий на константы связи h °° ■ » л • • k I где Vу (s), Aj(s) и Tk(s) - некоторые функции, которые строятся по свободной энергии для рода ноль Fj{p(8). В правой части этой формулы разложения стоит произведение т-функций Конце-вича. Эта т-функция интегрируемой иерархии КдВ, которая удовлетворяет дополнительному условию - струнному уравнению (одному из условий Вирасоро) и является статистической суммой для простейшей топологической теории струн - топологической гравитации. Она описываг ется матричным интегралом Концевича, разложение которого задает триангуляцию римановых поверхностей. В случае многообразия CP1, статистическая сумма для которого описывается некоторым матричным интегралом, формула разложения проверена с точностью до третьего порядка по константе связи с использованием условий Вирасоро, которым удовлетворяет т-функция Концевича. Высказана гипотеза об общей связи между дифференциальными операторами, входящими в формулы разложения и условиями Вирасоро, и гипотеза о связи формул разложения с уравнениями Хироты, которые имеют аналогичную структуру. Эти гипотезы также проверены с точностью до третьего порядка по константе связи.
В заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.
В приложении приводятся некоторые полученные формулы и таблицы.
Благодарности
Я выражаю искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения Н. Амбург, Э. Ахмедову, Д. Васильеву, И. Горделию, В. Долотину, А. Дымарскому, А. Зотову, С. Клевцо-ву, С. Локтеву, А. Лосеву, Д. Малышеву, А. Маршакову, Д. Мельникову, В. Насретдиновой, Г. Нозадзе, В. Пестуну, В. Побережному, А. Соловьеву, Т. Султанову, А. Червову.
Я многим обязан своему научному руководителю А.Ю.Морозову, который помог мне сделать первые шаги в области матричных моделей. Я искренне признателен ему не только за предложенные задачи и большое внимание к моей научной работе, но и за ряд бесценных жизненных уроков.
Также я хочу выразить особую благодарность А.Д.Миронову за поддержку и многочисленные разъяснения научных вопросов. Его помощь в работе была незаменима.
Мне приятно поблагодарить Е.С.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.
Глава 2
Эрмитова матричная модель
2.1 Введение
Одна из целей общей теории струн [1] состоит в том, чтобы идентифицировать свойства статистических сумм различных струнных моделей. По определению статистические суммы являются производящими функциями всех корреляционных функций в квантовой теории. Существуют три различных описания/определения статистической суммы: в виде матричного элемента, в виде решения системы линейных дифференциальных уравнений (то есть как элемента £>-модуля) и в виде (функционального) интеграла по траекториям в конфигурационном и/или фазовом пространстве (по полевым конфигурациям), которые аналогичны трем существующим формулировкам квантовой механики (в виде линейной алгебры операторов в гильбертовом и фо-ковском пространствах, через волновые функции, через интеграл по путям). Эти совершенно непохожие определения подчеркивают различные свойства статистических сумм. Из их эквивалентности проистекают глубокие и нетривиальные соотношения и симметрии. Среди таких следствий важную роль играют свойства интегрируемости статистических сумм, из которых следует, что они принадлежат к классу обобщенных т-функций [2], удовлетворяющих бесконечному набору совместных нелинейных разностно-дифференциальных уравнений (обобщенных уравнений Хиротпы). Более того, статистические суммы различных моделей часто бывают связаны через дуальности и/или симметрии типа зеркальной. Несмотря на общие определения и симметрии, статистические суммы редко выражаются через стандартные специальные функции, но при этом обладают сложными аналитическими свойствами с всевозможными особенностями и ветвлениями.
Все это - универсальность, богатые симметрии и невозможность свести задачу к известным функциям - означает, что статистические суммы (т-функции) струнных моделей являются естественными кандидатами на роль следующего поколения специальных функций: они должны быть изучены безотносительно к их конкретным применениям, их свойства должны быть исследованы и описаны, интересные частные случаи (при специальных значениях параметров, в асимптотиках, на специальных ветвях) должны быть найдены, перечислены и сведены в таблицы - и в конце концов собраны в справочниках по специальным функциям. Эта задача является очень естественной, поскольку, по аналогии с обыкновенными специальными функциями (из семейств гипергеометрических, эллиптических и Римановых тета-функций), все т-функции тесно связаны с теорией представлений алгебр и групп Ли [2]. Важно отметить, что, хотя статистические суммы обычно являются т-функциями, обратное - неверно; статистические суммы образуют очень специальный подкласс среди т-функций - с дополнительными структурами и глубокими свойствами (ситуация хорошо моделируется соотношением между римановыми и общими тетагфункциями: первые, представляя усеченные статистические суммы свободных полей на римановых поверхностях, обладают дополнительными, очень важными, свойствами - такими, например, как тождества Фэя, которые следуют из теоремы Вика для свободных полей). Другими словами, интегрируемость является важной и естественной, но лишь малой, не исчерпывающей, частью теории статистических сумм.
В данной главе мы представляем первую итерацию предложенного выше анализа/изучения простейшей и очень важной специальной функции теории струн: статистической суммы эрмитовой одноматричной модели с матрицами конечного размера (ЭММКР) [3]-[7]. Общая схема рассуждений применима и к любой другой матричной модели. Очевидные примеры, которые следует проанализировать аналогичным образом - колчанные (конформные) матричные модели [8]-[10] (отметим также недавний прогресс в двухматричных (нормальных) моделях [11]) и (обобщенные) модели Концевича [12]-[17]. После этого можно будет перейти к геометрическим r-функциям, связанным с топологическими сигма-моделями и моделями квантовой гравитации в различных фоновых полях. Однако из всех статистических сумм естественнее всего начать именно с относящихся к матричным моделям (различные аспекты матричных моделей изложены в [18]-[20]). Можно ожидать, что они не только являются простейшими примерами, но и представляют элементы для построения многих других r-функций. Пример разложения геометрической статистической суммы (а именно, в случае СРп топологической сигма-модели) в композицию элементарных функций (в данном случае это - n + 1 т-функция Концевича), линейную по всем элементам, был получен А.Гивенталем [21]-[22] (смотри также [10]). В данной работе будет рассмотрена более простая формула разложения для ЭММКР (которая, на самом деле, была получена уже в [23]).
• В стандартной теории специальных функций принято различать два уровня общности: общее решение дифференциального уравнения и частные решения (ветви), обычно связанные с характерными интегральными представлениями (и/или специальными представлениями возникающей алгебры Ли). В качестве тривиального примера можно рассмотреть цилиндрическую функцию [24] (Х?-модуль, связанный с оператором z2d% + zdz + (z2 — i/2)) и ее специальные ветви: функции Бесселя и Неймана или функции Ганкеля. Любая пара этих ветвей образует базис в пространстве решений (в 17-мсщуле) и может быть зафиксирована с помощью выбора контуров интегрирования.
То же самое верно и для специальных функций теории струн - специальные (функциональные) интегралы описывают специальные ветви общей статистической суммы, которая определяется набором тождеств Уорда (уравнений ШвингерагДайсона) - причем разница между ветвями может оказаться более отчетливой, чем в элементарном случае. Мы детально разберем это явление на примере ЭММКР: сначала рассмотрим наивный матричный интеграл в §2.2.2, затем рассмотрим его обобщение как произвольное решение условий Вирасоро в §§2.2.3-2.2.4 (хотя сейчас мы очень мало можем сказать про решения, не обладающие разложением по родам) и в конце вернемся к специальным решениям: гауссовой т-функции -Z^f (i) в §2.2.5 и КИВ-ДВ т-функции ZDv[T\S](t) в §2.2.6. С помощью формул разложения, аналогичных формулам из работы Гивен-таля (§2.2.6), КИВ-ДВ т-функция строится из полилинейной комбинации гауссовых т-функций, и, как показано в §2.4.3, такие функции можно рассматривать как базис в линейном пространстве всех решений условий Вирасоро (примерно так же, как егрх в пространстве всех функций от х; другими словами, так же, как и е,рх, Zdv[T 1*5] задает ядро интегрального преобразоваг ния функций переменных Т к функциям переменных S). К сожалению, до сих пор не ясно, чем выделен этот базис, хотя он имеет очевидные преимущества: а именно, он задается формулами разложения, аналогичными формулам Гивенталя, и связан с теорией Уизема-Зайберга-Виттена.
• Результаты данной главы можно разбить на четыре пункта:
- Мы формулируем задачу, состоящую в описании свойств матричномодельных и геометрических т-функций, определенных как D-модули, то есть как общие решения системы условий, типа условий Вирасоро, в виде формальных рядов, и даем предварительный вариант такого описания для ЭММКР.
- Мы утверждаем, что описание сложной структуры фаз (ветвей) т-функции является очень важной - и до сих пор недооцененной и неисследованной - составной частью этой программы и делаем попытку такого описания для ЭММКР.
- Мы вводим иерархическое описание фаз. Во-первых, с помощью струнной константы связи д, мы вводим градуировку по степеням переменных t (констант связи или времен) и используем ее для того, чтобы выделить фазы, обладающие разложением по родам, для которых логарифм статистической суммы (препотенциал) допускает разложение в полу-бесконечный ряд по степеням д. Во-вторых, сдвиг конечного числа переменных t, t —t t — Т позволяет нам ввести различные виды t-разложений (фаз) с различными величинами (на самом деле, разностями aij = оц — <>j корней полинома степени п, W'(z) = = ПГ=1(г — а»))> возникающими в знаменателях. Полином W(<j>) степени п + 1 играет роль древесного суперпотенциала в контексте теории ДижкграафагВафы [25]. В третьих, каждая из этих фаз расщепляется в бесконечно-параметрическое семейство с различными положениями особенностей (точек ветвления) полиплотностей1 pw(zu. ,zm) = П I I (2-1-1) i=l \ft>0 Zi K ) где Zw{t) = es7^^ - это статистическая сумма ЭММКР. Это семейство фаз параметризуется произвольной функцией Fw(g) = F(T,g) = J-~w(t = 0, g) от параметра j ип переменных
- Мы утверждаем, что альтернативный подход к описанию ветвей может основываться на формулах разложения, аналогичных формулам Гивенталя, представляющих матричномодель-ные/геометрические т-функции с помощью оператора, действующего на произведение "элементарных т-функций". В случае ЭММКР "элементарными т-функциями" являются гауссовы, и формулы разложения приводят к КИВ-ДВ т-функциям ZDv[T\S](t). Если задан W(z), то общая статистическая сумма, построенная по произвольной функции Z[T\ = с помощью оператора эволюции Uw(t) (смотри §2.4.3),
Zw(t,T) = Uw(t)Z(T) (2.1.2) может быть представленна через КИВ-ДВ т-функции
Zw(t,T) = J ZDV[T\S](t)C[S\dS, (2.1.3) где коэффициенты С[5] определяются разложением "начальной" Z[T] в линейную комбинацию ZDV[T\S] = eF"vPW92 = ZDV[T\S](t = 0),
Z[T\ = J ZDV\T\S\C[S\dS. (2.1.4)
Похожие диссертационные работы по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК
Интегрируемость и дуальности двумерной конформной теории поля2018 год, доктор наук Белавин Владимир Александрович
Симметрии пространства состояний в квантовых интегрируемых моделях2006 год, доктор физико-математических наук Пакуляк, Станислав Здиславович
Пространства модулей кривых в теории струн и топологических теориях поля2014 год, кандидат наук Дунин-Барковский, Петр Игоревич
Эффективные модели для топологических дефектов в теории поля1998 год, кандидат физико-математических наук Ахмедов, Эмиль Тофик оглы
Квантование бран или к геометризации теории поля2009 год, доктор физико-математических наук Ахмедов, Эмиль Тофик оглы
Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Александров, Александр Сергеевич
Заключение
В качестве итога приведем основные результаты диссертации
• Поставлена и решена задача об описании матричной модели с помощью условий Вирасоро. Получена классификация решений, вычислены некоторые корреляционные функции для производящих функций общего вида.
• Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве всех решений условий Вирасоро.
• Показано, что существует универсальный оператор эволюции, который не зависит от выбранной ветви производящей функции. Получены явные выражения для коэффициентов разложения этого оператора в ряд по константам связи. Сформулированы гипотезы о связи таких операторов в гауссовом и негауссовом случаях.
• Получены операторы, для которых решения ДВ являются собственными функциями. Проверена коммутативность этих операторов в лидирующем порядке. Получена формула разложения для решений ДВ.
• Формула разложения для CPi топологической теории струн проверена до третьего порядка точности с использованием условий Вирасоро.
Результаты диссертации могут быть использованы для исследования различных задач из области матричных моделей. В частности, интересно было исследовать связь формул разложения для эрмитовой матричной модели и других подобных моделей с алгебрами Кричевера-Новикова на римановых кривых старших родов с выколотыми точками. Такая связь прослеживается для гауссовой модели, но для потенциалов старшей степени она не ясна. Другим направлением исследований является связь матричных моделей с конформными теориями поля. Одним из интересных вопросов в этой области связан с существованием конфорной теории, статистическая сумма которой совпадала бы с статистической суммой матричной модели в нетривиальном бэкграунде. О такой возможности говорит существование интересной диаграмной техники для многоразрезного решения. Интересен вопрос о наличии в матричных моделях структур топологической теории струн таких, например, как соотношения топологической рекурсии и детерминантные выражения для непланарных вкладов в свободную энергию. Особенно интересно было бы увидеть эти структуры в многоразрезном случае.
Глава 6
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Александров, Александр Сергеевич, 2005 год
1. A.Polyakov, Gauge Fields and Strings, Chur, Switzerland: Harwood (1987) 301 p. (Contemporary Concepts in Physics, 3)
2. M.Green, J.Shwarz and E.Witten, Superstring Theory, v.1,2, Cambridge, Uk: Univ. Press (1987) (Cambridge Monographs On Mathematical Physics)
3. A.Morozov, Sov.Phys.Usp. 35 (1992) 671-714 (Usp.Fiz.Nauk 162 (1992) 83-176 J.Polchinski, String Theory, v.1,2, Cambridge, UK: Univ. Press (1998) A. Marshakov, Phys. Usp. 45, 915 (2002) Usp. Fiz. Nauk 172, 977 (2002).
4. A.Gerasimov, S-Khoroshkin, D.Lebedev, A.Mironov and A.Morozov, Int.J.Mod.Phys. A10 (1995) 2589-2614, hep-th/9405011
5. A.Mironov, A.Morozov and L.Vinet, Theor.Math.Phys. 100 (1995) 890-899 (Teor.Mat.Fiz. 100 (1994) 119-131)
6. S.Kharchev, A.Mironov and A.Morozov, Theor.Math.Phys. 104 (1995) 129-143
7. A.Mironov, Theor.Math.Phys. 114 (1998) 127
8. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B524 (2002) 217-226
9. Mehta M.L., Random matrices, (2nd ed., Academic Press, New York, 1991)
10. Brezin E., Itzykson C., Parisi G., and Zuber J.B., Commun.Math.Phys. 59 (1978) 35
11. Bessis D., Commim.Math.Phys. 69 (1979) 147
12. Bessis D., Itzykson C., and Zuber J.B., Adv.Appl.Math. 1 (1980) 1091.zykson C. and Zuber J.-B., J. Math.Phys. 21 (1980) 411
13. A.Gerasimov, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and A.Orlov, Nucl.Phys. B357 (1991) 565618
14. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Orlov and A.Zabrodin, Nucl.Phys. B366 (1991) 569601
15. A. Morozov, Phys. Usp. (UFN) 37 (1994) 1 arXiv:hep-th/9303139].
16. A.Mironov, Int.J.Mod.Phys. A9 (1994) 4355-4405; Fiz.Elem.Chast.Atom.Yadra 33 (2002) 10511145; Phys.Part.Nucl. 33 (2002) 537-582; hep-th/9312212;
17. K. Kostov, arXiv:hep-th/9907060.
18. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B265 (1991) 99-107
19. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and S.Pakuliak, Nucl.Phys. B404 (1993) 717750
20. A.Mironov, S.Pakuliak, Theor.Math.Phys. 95 (1993) 604-625 (Teor.Mat.Fiz. 95 (1993) 317-340)
21. I.Kostov, Phys.Lett. B297 (1992) 74-81
22. J. Alfaro and I. K. Kostov, "Generalized Hirota Equations in Models of 2D Quantum Gravity," arXiv:hep-th/9604011.
23. M.Mineev-Weinstein, P.B.Wiegmaim and A.Zabrodin, Phys.Rev.Lett. 84 (2000) 5106-5109
24. K. Kostov, I. Krichever, M. Mineev-Weinstein, P. B. Wiegmann and A. Zabrodin, "r-function for analytic curves," Proceedings of MSRI Workshop "Matrix Models and Painlev£ Equations", Berkeley (USA) 1999 Math.Sci.Res.Inst.Publ. 40 (2001) 285-299
25. A. Boyarsky, A. Marshakov, O. Ruchayskiy, P. Wiegmann and A. Zabrodin, Phys.Lett. B515 (2001) 483-492
26. Krichever, A. Marshakov and A. Zabrodin, Commun. Math. Phys. 227 (2002) 131-153
27. Kontsevich M.L., Funk.AnaLPrilozh. 25 (1991) v. 2, p. 50 (in Russian)
28. A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B274 (1992) 280
29. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov and A.Zabrodin, Nucl.Phys. B380 (1992) 181-240; Phys.Lett. B275 (1992) 311-314
30. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Nucl.Phys. B397 (1993) 339-378
31. S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Mod.Phys.Lett. A8 (1993) 1047-1061
32. L.Chekhov and Yu.Makeenko, Phys.Lett. B278 (1992) 271-278
33. Chekhov, "Matrix Models and Geometry of Moduli Spaces," arXiv:hep-th/9509001. S. Kharchev, Amer. Math. Soc. Transl. (2) 191 (1999) 119-162
34. Wigner E.P., Ann.Math. 53 (1951) 36
35. Dyson F.J., J.Math.Phys. 3 (1962) 140
36. Gross D. and Witten E., Phys.Rev. D21 (1980) 446 Eguchi T. and Kawai H., Phys.Rev.Lett. 48 (1982) 1063
37. Voiculescu, D.V., Dykema, K.J., Nica, A.:Free Probability Theory. A Noncommutative Probability Approach to Free Products with Applications to Random Matrices, Operator Algebras and
38. Harmonic Analysis on Free Groups. CRM Monograph Series. 1. Providence, RI:American Mathematical Society, v, 70 (1992)
39. Di Francesco P., Ginsparg P., and Zinn-Justin J., Phys.Rep. 254 (1995) 1
40. F. David, Nucl. Phys. В 257, 45 (1985).
41. Kazakov V.A., Kostov I.K., and Migdal A.A., Phys. Lett. B157 (1985) 295
42. A.Givental, Semisimple IVobenius structures at higher genus. math.AG/0008067
43. J. S. Song and Y. S. Song, "Notes from the underground: A propos of Givental's conjecture," arXiv:hep-th/0103254.
44. F. David, Phys.Lett. B302 (1993) 403-410, hep-th/9212106;
45. G. Bonnet, F. David, B. Eynard, J.Phys. A33 (2000) 6739-6768, cond-mat/0003324 A.Klemm, M.Marino and S.Theisen, JHEP 0303 (2003) 051
46. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, 5th ed., Academic, London, U.K., 1994.
47. R. Dijkgraaf and C. Vafa, Nucl.Phys. B644 (2002) 3-20; NucLPhys. B644 (2002) 21-39; hep-th/0208048
48. Migdal A.A., Phys.Rep. 102 (1983) 199
49. Ambj0rn J., Jurkiewicz J., and Makeenko Yu., Phys.Lett. B251 (1990) 517
50. E.Witten, Nucl.Phys. B460 (1996) 335-350
51. I.A.Batalin and G.A.Vilkovisky, Phys.Lett. B102 (1981) 27-31; Phys.Lett. B120 (1983) 166-170; Phys.Rev. D28 (1983) 2567-2582; Nucl.Phys. B234 (1984) 106-124; J.Math.Phys. 26 (1985) 172-18429. See for a review:
52. M.Henneaux and C.Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1992 J.Gomis, J.Paris and S.Samuel, Phys.Repfc. 259 (1995) 1-145
53. E.S.Fradkin and G.A.Vilkovisky, Phys.Lett. B55 (1975) 224 LA.Batalin and G.A.Vilkovisky, Phys.Lett. B69 (1977) 309-31231. See for a review:
54. M.Henneaux, Phys.Rept. 126 (1985) 1
55. E.Witten, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 487
56. A.S.Schwarz, Comm.Math.Phys. 155 (1993) 249-260
57. J.Polchinski, Nucl-Phys. B231 (1984) 269
58. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B490 (2000) 173-179
59. N.Seiberg and E.Witten, Nucl.Phys. B426 (1994) 19
60. David F., Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1019
61. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B252 (1990) 47-52 Ambj0rn J. and Makeenko Yu., Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1753
62. H.Itoyama and Y.Matsuo, Phys.Lett. 255B (1991) 202 A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Phys. Lett. В 274, 280 (1992) arXiv:hep-th/9201011.
63. Fukuma M., Kawai H., and Nakayama R., Int.J.Mod.Phys. A6 (1991) 1385 Dijkgraaf R-, Verlinde H., and Verlinde E., Nucl.Phys. B348 (1991) 435
64. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz and Y. M. Makeenko, Phys. Lett. В 251, 517 (1990).
65. Makeenko Yu., Marshakov A., Mironov A., and Morozov A., Nucl.Phys. B356 (1991) 574
66. H. Itoyama and A. Morozov, Int. J. Mod. Phys. A 18, 5889 (2003)
67. J.Harer and D.Zagier, Invent.Math. 85 (1986) 457-485
68. S.K.Lando and A.K.Zvonkin, Embedded graphs, Max-Plank-Institut fur Mathematik, Preprint Series 2001 (63), Bonn
69. C.Itzykson and J.-B.Zuber, Comm.Math.Phys. 134 (1990) 197-208
70. E. Witten, Nucl. Phys. B340 (1990) 281
71. R. Dijkgraaf, H. Verlinde and E. Verlinde, Nucl. Phys. B352 (1991) 59
72. R. Dijkgraaf and E. Witten, Nucl. Phys. В 342, 486 (1990). В. Dubrovin, Geometry of 2D topological field theories, Integrable Systems and Quantum Groups, Lecture Notes in Math., vol. 1620, Springer, Berlin, 1996, pp. 120-348
73. A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Phys. Lett. B389 (1996) 43; Mod.Phys.Lett. A12 (1997) 773-787; Int.J.Mod.Phys. A15 (2000) 1157-1206
74. A. Losev, JETP Lett. 65, 386 (1997) Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 65, 374 (1997)]. K.Ito and S.-K.Yang, Phys.Lett. B433 (1998) 56-62
75. G.Bertoldi and M.Matone, Phys.Rev. D57 (1998) 6483-6485 A.Morozov, Phys.Lett. B427 (1998) 93-96
76. A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett., B424 (1998) 48-52
77. H.W. Braden, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B448 (1999) 195 A.Veselov, Phys.Lett. A261 (1999) 297-302
78. J.MJsidro, Nucl.Phys., B539 (1999) 379-402
79. A. Mironov, "WDW equations and Seiberg-Witten theory," Integrability: the Seiberg-Witten and Whitham equations, Gordon and Breach Science Publishes, 2000, 103-122 A. Marshakov, Theor.Math.Phys. 132 (2002) 895 (Teor.Mat.Fiz. 132 (2002) 3)
80. F. Cachazo, K. Intriligator and C. Vafa, Nucl.Phys. B603 (2001) 3-41
81. F. Cachazo and C. Vafa, "N = 1 and N = 2 geometry from fluxes," arXiv:hep-th/0206017.
82. N. Dorey, Т. J. Hollowood, S. Prem Kumar and A. Sinkovics, JHEP 0211 (2002) 039; ibid., 040; ibid., 0212 (2002) 003
83. F. Ferrara, Nucl.Phys. B648 (2003) 161-173; Phys.Rev. D67 (2003) 085013
84. D. Berenstein, Phys.Lett. B552 (2003) 255-264
85. R. Dijkgraaf, S. Gukov, V. Kazakov and C. Vafa, Phys.Rev. D68 (2003) 045007
86. A. Gorsky, Phys.Lett. B554 (2003) 185-189
87. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa and D. Zanon, Phys. Lett. В 573, 138 (2003).
88. B. Feng, "Seiberg duality in matrix model," arXiv:hep-th/0211202.
89. B. Feng, Nucl. Phys. В 661, 113 (2003) F. Cachazo, M. R. Douglas, N. Seiberg and E. Witten, JHEP 0212 (2002) 071
90. F. Cachazo, N. Seiberg and E. Witten, JHEP 0302 (2003) 042; JHEP 0304 (2003) 018 A. Dymarsky and V. Pestun, Phys.Rev. D67 (2003) 125001 R.Boels, Jan de Boer, R.Duivenvoorden, J.Wijnhout, hep-th/0305189
91. G. Bonelli, Nucl. Phys. В 649, 130 (2003) arXiv:hep-th/0209225].
92. H. Suzuki, JHEP 0303, 005 (2003) arXiv:hep-th/0211052., JHEP 0303, 036 (2003) [arXiv:hep-th/0212121].
93. Bena and R. Roiban, Phys. Lett. В 555, 117 (2003) arXiv:hep-th/0211075.
94. Y. Demasure and R. A. Janik, Phys. Lett. В 553, 105 (2003) arXiv:hep-th/0211082. R. Gopakumar, JHEP 0305, 033 (2003) [arXiv:hep-th/0211100].
95. Bena, R. Roiban and R. Tatar, Nucl. Phys. В 679, 168 (2004) arXiv:hep-th/0211271. Y. Tachikawa, Phys. Lett. В 573, 235 (2003) [arXiv:hep-th/0211189],Prog. Theor. Phys. 110, 841 (2003) [arXiv:hep-th/0211274].
96. Y. Ookouchi, JHEP 0401, 014 (2004) arXiv:hep-th/0211287.
97. S. K. Ashok, R. Corrado, N. Halmagyi, K. D. Kennaway and C. Romelsberger, Phys. Rev. D 67,086004 (2003) arXiv:hep-th/0211291.
98. K. Ohta, JHEP 0302, 057 (2003) arXiv:hep-th/0212025.
99. RR. A. Janik and N. A. Obers, Phys. Lett. В 553, 309 (2003) arXiv:hep-th/0212069. S. Seki, Nucl. Phys. В 661, 257 (2003) [arXiv:hep-th/0212079].
100. C. Hofman, JHEP 0310, 022 (2003) arXiv:hep-th/0212095.
101. C. h. Ahn and S. Nam, Phys. Lett. В 562, 141 (2003) arXiv:hep-th/0212231. C. h. Ahn, Phys. Lett. В 560, 116 (2003) [arXiv:hep-th/0301011]. S. Aoyama and T. Masuda, JHEP 0403, 072 (2004) [arXiv:hep-th/0309232].
102. A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B355 (1995) 466477
103. E.Martinec and N. Warner, Nucl.Phys. 459 (1996) 97
104. R.Donagi and E.Witten, Nucl.Phys. B460 (1996) 299-334
105. A.Gorsky, A.Mironov, A.Marshakov and A.Morozov, Nucl.Phys. B527 (1998) 690-716 H.Itoyama and A.Morozov, Nucl.Phys., B477 (1996) 855-877; Nucl.Phys., B491 (1997) 529-573; "Integrability and Seiberg-Witten theory," arXiv:hep-th/9601168.
106. E. D'Hoker and D. H. Phong, "Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems," arXiv:hep-th/9912271.
107. A.Marshakov, Seiberg-Witten Theory and Integrable Systems, Singapore, Singapore: World Scientific (1999) 253 p.
108. H.W.Braden and LM.Krichever (Eds.), Integrability: The Seiberg-Witten and Whitham Equations, Gordon and Beach, 2000
109. A. Gorsky and A. Mironov, "Integrable many-body systems and gauge theories," arXiv:hep-th/0011197.
110. L.Chekhov and A.Mironov, Phys.Lett. B552 (2003) 293-302 V.Kazakov and A.Marshakov, J.Phys. A36 (2003) 3107-3136
111. H. Itoyama and A. Morozov, NucLPhys. B657 (2003) 53-78; Phys.Lett. B555 (2003) 287-295;
112. H. Itoyama and A. Morozov, Prog.Theor.Phys. 109 (2003) 433-463
113. L.Chekhov, A.Marshakov, A.Mironov and D.Vasiliev, Phys.Lett. B562 (2003) 323-338 A.Mironov, Fortsch.Phys. 51 (2003) 781-786
114. Ambj0m J., Chekhov L., Kristjansen C.F., and Makeenko Yu., NucLPhys. B404 (1993) 127 Ambj0rn J., Chekhov L., and Makeenko Yu., Phys.Lett. B282 (1992) 34154. 't Hooft G., NucLPhys. B72 (1974) 461
115. Veneziano G., NucLPhys. B117 (1976) 519
116. D. De Wit and G. 4 Hooft, Phys.Lett. 69 (1977) 61
117. Witten E., 'The 1/N expansion in atomic and particle physics', in Recent developments in gauge theories, eds. G. 't Hooft et аI (Plenum, New York, 1980) p. 403 Wadia S.R., Phys.Rev. D24 (1981) 970
118. A.Mironov, A.Morozov and G.Semenoff, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031-5080
119. B.Eynard, JHEP 0301 (2003) 051; hep-th/0309036
120. Вгёгш E. and Kazakov V.A., Phys.Lett. B236 (1990) 144
121. Gross D. and Migdal A.A., Phys.Rev.Lett. 64 (1990) 127; NucLPhys. B340 (1990) 333 Douglas M. and Shenker S., NucLPhys. B335 (1990) 635
122. D.Berenstein, J.Maldacena and H.Nastase, JHEP 0204 (2002) 013
123. N.R.Constable, D.Z.Freedman, M.Headrick and S.Minwalla, JHEP 0210 (2002) 068
124. D. J. Gross, A. Mikhailov and R. Roiban, "Operators with large R charge in N = 4 Yang-Millstheory," Annals Phys. 301, 31 (2002) arXiv:hep-th/0205066. ; JHEP 0305 (2003) 025
125. N.Beisert, С.Kristjarisen, J.Plefka, G.W.Semenoff and M.Staudacher, Nucl.Phys. B643 (2002) 3-30; ibid., B650 (2003) 125-161
126. G.Akemann, Nucl.Phys. B482 (1996) 403 L.Chekhov, hep-th/0401089
127. B.Eynard, JHEP 0411 (2004) 031, hep-th/0407261
128. J.-P.Serre, "Lie Algebras and Lie Groups", LNM 1500 (1992)
129. A.Morozov and L.Vinet, Int.J.Mod.Phys. A13 (1998) 1651, sec.B.7, hep-th/9409093
130. E. Witten, Commun. Math. Phys. 118, 411 (1988).
131. E. Witten, Nucl. Phys. В 340, 281 (1990).,
132. R. Dijkgraaf and E. Witten, Nucl. Phys. В 342, 486 (1990).
133. A. Morozov, "Matrix models as integrable systems,"
134. Proceedings of CRM-CAP Summer School "Banff 1994, Particles and Fields" (1995) 127-210
135. M. Kontsevich and Y. Martin, Commun. Math. Phys. 164 (1994) 525 arXiv:hep-th/9402147].
136. T. Eguchi and S. K. Yang, Mod. Phys. Lett. A 9, 2893 (1994) arXiv:hep-th/9407134]., K. Hori, Nucl. Phys. В 439, 395 (1995) [arXiv:hep-th/9411135]. T. Eguchi, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 45BC, 149 (1996).
137. T. Eguchi, K. Hori and C. S. Xiong, Int. J. Mod. Phys. A 12, 1743 (1997) arXiv:hep-th/9605225].
138. M. Fukuma, H. Kawai and R. Nakayama, Commun. Math. Phys. 143, 371 (1992). M. Fukuma, H. Kawai and R. Nakayama, Commun. Math. Phys. 148, 101 (1992).
139. M. R. Douglas, Phys. Lett. В 238, 176 (1990).
140. M. Kontsevich, Commun. Math. Phys. 147 (1992) 1.
141. E. Getzler, arXiv:alg.geom/0108108.
142. T. Eguchi, M. Jinzenji and C. S. Xiong, Nucl. Phys. В 510, 608 (1998) arXiv:hep-th/9709152].
143. E. Getzler, arXiv:alg.geom/9612004.
144. E. Getzler, arXiv:math.ag/9805114.
145. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara and T. Miwa, RIMS-394 In *Stone, M. (ed.): Bosonization* 427-507.
146. L. Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov and D. Vasiliev, arXiv:hep-th/0506075.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.