Непертурбативные эффекты в квантовой теории поля и инварианты узлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Милехин Алексей Геннадьевич

• Милехин Алексей Геннадьевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Милехин Алексей Геннадьевич

1.1 Введение

1.2 Решение Зайберга-Виттена

1.2.1 Иерархия Уизема

1.2.2 Цепочка Тоды

1.3 Обзор результатов Аргиреса-Дугласа

1.4 Супер КЭД и инварианты узлов

1.4.1 Инварианты узлов и квантовая теория поля

1.4.2 Формула Джонса-Россо

1.4.3 Пятимерная КЭД и Омега-деформация

1.5 Формулы Некрасова

1.6 СР(Ж - 1) модель

1.7 Цели и задачи диссертационного исследования

1.8 Результаты, выносимые на защиту диссертации

1.9 Содержание диссертации

1.10 Публикации по теме диссертации

2 Уиземовская динамика и интегрируемые системы

2.1 Точка Аргиреса-Дугласа и Гамильтонова динамика

2.1.1 Цепочка Тоды возле точки Аргиреса-Дугласа

2.1.2 Суперконформные критические индексы

2.1.3 Точка Аргиреса-Дугласа и Уиземовская динамика

2.2 Квантование

2.2.1 Разные квантования и кривая маргинальной стабильности

2.2.2 Квантование и соотношение Дюнна-Унсала

2.2.3 Обобщённые уравнения Бете

3 Теория Зайберга—Виттена и инварианты узлов

3.1 Введение

3.1.1 Вырожденный суперполином и числа Каталана

3.1.2 Суперполином и пятимерная супер-КЭД

3.1.3 Вырождения в полиномы ХОМФЛИ, Александера, Джонса

3.2 Киральное кольцо и Лагранжева брана

3.3 Поверхностный оператор и торические узлы

3.3.1 Узлы как голоморфные инстантоны

3.3.2 Стабильный предел

3.4 Инварианты узлов и SU(2) теория

3.4.1 От Лагранжевой браны к SU(2) теории с 4 флейворами

3.4.2 Редукция в 4D

3.5 Дробная теория Черна-Саймонса

3.6 Обсуждение

3.7 Лагранжева брана и формула Д-Р

4 Z2d-4d = (Z2 d)4d

4.1 Введение

4.2 Взаимодействие 2d и 4d

4.2.1 Свободные 2d мультиплеты

4.2.2 Общая формула

4.3 Сравнение с известными результатами

5 CP(N — 1) сигма модель на конечном интервале

5.1 Введение

5.2 Обобщённые седловые уравнения

5.3 D-N граничные условия: две фазы

5.4 D-D и N-N граничные условия: одна фаза

5.5 Заключение

6 Заключение

Глава

Непертурбативные решения в квантовой теории поля (Вместо Введения)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непертурбативные эффекты в квантовой теории поля и инварианты узлов»

1.1 Введение

С открытием квантовой хромодинамики (КХД) стало понятно, что не все физические явления можно описать в рамках теории возмущений по константе связи. Можно выделить четыре главных направления в изучении непертурбативных эффектов:

• Пертурбативное разложение не по константе связи, а по какому-либо нестандартному параметру. Например, по обратному угловому моменту, если он большой, или по обратному числу цветов.

• Нахождение нетривиальных седловых точек в континуальном интеграле, которые были бы ответственны за различные эффекты.

• Использование нетривиальных симметрий: например, суперсимметрии или интегрируемости.

• Голографический подход, также известный как ЛвБ/СЕТ соответствие.

Данная работа посвящена двум из этих направлений: разложению по числу цветов (1/Ж разложение) и интегрируемости в так называемой суперсимметричной теории Зайберга-Виттена.

Разложение по числу цветов может быть очень успешно применено в так называемой СР(Ж — 1) сигма модели[1, 2]. СР(Ж — 1) модель обладает многими свойствами калибровочных теорий: возникновение динамического масштаба, асимптотическая свобода, конфайнмент, нетривиальная зависимость от топологического угла в. Более того, в пределе низких энергий возникает динамическое калибровочное поле, которое не видно в ультрафиолетовом Лагранжиане. Все эти нетривиальные свойства могут быть продемонстрированы посредством разложения по 1/Ы. Этой модели посвящён раздел 1.6 данной главы. Не смотря на всё это, СР (Ж — 1) всё-таки далека от реальной КХД, где подобное 1/Ы разложение до сих пор не было получено. Это связано с тем, что в СР (Ж — 1) имеются только векторные по N поля, в то время как в калибровочных теориях возникают Ж х Ж матрицы. Из-за этого возникает сумма по Римановым поверхностям, которую трудно посчитать. Стоит отметить, что совсем недавно было обнаружено [3, 4], что в тензорных моделях, например в теориях с полями с тремя индексами фаЬс, предел больших Ж оказывается промежуточным по сложности между векторными и матричными моделями, и система уравнений Дайсона-Швингера для диаграмм Фейнмана может быть точно решена. Хотя решение намного сложнее, чем в векторном случае.

Во второй половине прошлого века большое распространение получили суперсимметричные теории. В таких теориях из-за расширенной симметрии многие величины могут быть вычислены точно. Одним из первых таких примеров является точное вычисление бета-функции [5] и глюинного конденсата [6] в калибровочных теориях Янга-Миллса. Эти два примера иллюстрируют две широкоиспользуемые техники: вычисление бета-функции возможно из-за частичного сокращения старших петель, а вычисление глюинного конденсата из-за голоморфной зависимости от таких величин как массы или константы связи. Более того, суперсимметричная локализация позволяет точно просуммировать инстантонный ряд [7] в N = 2 суперсимметричном случае. Однако голоморфность оказывается настолько сильным условием, что весь инстантонный ряд можно найти без явных вычислений. Именно это было сделано Зайбергом и Виттеном [8, 9] в 1994 году. Их решение мы обсудим в следующем разделе.

1.2 Решение Зайберга—Виттена

Хорошо известно, что в четырёх измерениях N = 2 суперсимметрия (т.е. 8 действительных суперзарядов) почти однозначно фиксирует действие. Для чисто калибровочной теории без материи действие определяется голоморфной функцией одной переменной - препотенциалом. Для стандартной N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса препотенциал имеет вид:

Р (Ф) = у Ф2 (1.1)

где то = 4? + 2п - комплексифицированная константа связи и в - топологический угол.

Если калибровочной группой является Би(Ы), то в пределе низких энергий эта теория течёт в и(1)^-1 калибровочную теорию. Интересно найти эффективное действие этой теории, т.е. в данном случае найти препотенциал. На пертурбативном уровне вклад даёт лишь одна петля [10]:

г , Ф2

РреП = 2Пф2 1<Э§ Д2 ^2)

Однако также имеются непертурбативные вклады в форме (л!)4".

В 1994 Зайберг и Виттен [8, 9] используя голомофность препотенциала, а также некоторые предположения о спектре, предложили явный ответ для препотенциала. Ответ при этом записывается неявно, используя вспомогательную одномерную комплексную кривую. Опишем их конструкцию в простейшем Би(2) случае без материи. Обозначим за а вакуумное среднее поля Хиггса ф = diag(a, —а), а переменная и обозначает калибровочно-инвариантное вакуумное среднее:

и =1 <Тг ф2) (1.3)

Кривая Зайберга-Виттена является в данном случае тором:

Л4 2

т +--= х2 — и (1.4)

т

Тор при этом "вырезается" в пространстве С2 вспомогательных переменных (т,х).

Что бы увидеть, что это тор, удобно ввести новую переменную у = т — . Тогда кривая перепишется в виде:

у2 = (х2 — и)2 — 4Л4 (1.5)

Тор имеет два нестягиваемых цикла. В плоскости х имеется электрический А цикл [у/и — 2Л2, ^й + 2Л2] и магнитный В цикл [—V и — 2Л2 У и — 2Л2]. Последним этапом является введение мероморфного дифференциала Зайберга-Виттена на этой кривой:

= х— (1.6)

Ш

Тогда препотенциал как функция а находится следующим неявным образом:

dSsw, — Ф dSsw

A JB

dF (a)

Гипотеза Зайберга-Виттена была подтверждена Некрасовым [7] в 2002 году явным инстантонным вычислением.

Заметим также следующее обстоятельство [11]. При замене переменных x — p,w — Л2вя, кривая Зайберга-Виттена приобретает вид условия сохранения энергии для классической частицы в потенциале cosh q:

2Л2 cosh q — p2 - u (1.8)

А дифференциал Зайберга-Виттена становится укороченным действием pdq. Это наблюдение можно обобщить и на SU(N) случай, в котором возникает так называемая цепочка Тоды: N частиц с Гамильтонианом

N+1 p2

н — + Л25^exp(qi- qi+i), qi+N — q% (1.9)

i=1 i

Хорошо известно, что эта система является классически интегрируемой. Т.е. решение Зайберга-Виттена оказывается связанным с некоторой классической интегрируемой системой! С тех пор эта связь была интенсивно изучена. Более того, имеется дополнительная, менее известная, вторая интегрируемая система типа Уизема, которую мы рассмотрим в следующем разделе.

1.2.1 Иерархия Уизема

В этом разделе мы приведём некоторые факты из теории иерархии Уизема, которые понадобятся нам в дальнейшем (см. [12] для более полного обзора). С

математической точки зрения нам придется иметь дело с одномерными комплексными кривыми и дифференциалами на них. Зафиксируем некоторые обозначения. Гиперэллиптическая кривая определяется следующим уравнением

У2 = Р2М (х) (1.10)

где Р2^(х) - полином степени 2Ы. Это кривая рода д, соответственно имеется 2д = 2Ы — 2 1-циклов Л^, = 1...д. Они могут быть выбраны так, что их индексы пересечения имею вид (Л^, Л^) = 0, (ББ^) = 0, (Л^, Б^) = . Для гиперэллиптической кривой рода д имеется ровно д голоморфных абелевых дифференцилов первого рода ши. Стандартная нормировка для них:

Ши = 5ук (1.11)

А;

Дифференциалы шк могу быть выражены через д дифференциалов ¿х/у, ...,хд-1йх/у. Матрица периодов кривой дается интегралами по Б-циклам:

Ши = (1.12)

'В;

На практике удобнее работать с ненормированными дифференциалами ¿Ук = хк¿х/у: Тогда матрица периодов равна:

д

Т3и = ^2 ША Шгк (1.13)

1=1

где ш и шП даются:

шы = Ф йУи (1.14)

¿Аг

ш?и = ф ¿юк (1.15)

■>1к = У аук

' Вг

Введем мероморфные абелевы дифференциалы второго рода ¿О. Они удовлетворяют следующим условиям:

Нормировка:

'Ак

Поведение возле отмеченной точки:

= 0 (1.16)

¿о «(е--1 + о(1)ж, е ^ о (1.17)

Дифференциал dQo обычно называют абелевым дифференциалом третьего рода -он имеет 2 простых полюса с вычетами +1, —1 соответственно.

Мы будем часто использовать билинейное тождество Римана для мероморфных дифференциалов ш1,ш2:

У^ ® £>! ф ш2 — ч> Ч> й2) = (d-1¿Dl)¿D2 (1.18)

3=1 V ^ ) ро1ез

Далее нам понадобятся следующие общие факты про динамику Уизема. Хорошо известно, что в классической механике переменные действия аг не зависят от времени. Однако часто интересно рассмотреть ситуацию когда какие-либо параметры системы (константа связи, например) адиабатический меняются со временем. Адиабатическая теорема говорит о том, что переменные действия аг всё равно остаются постоянными(с экспоненциальной точностью). Для интегрируемых систем, когда решение уравнений движения можно записать явно, можно задаться более тонким вопросом. Конечнозонные решения часто могут быть выражены через тау-функцию:

т = 1,3 (1.19)

3

где д(г |т) - тета-функция на спектральной кривой:

°(7\т) = ^ ехр((7, к) + пг(к) тк)) (1.20)

к

Если Ьг исходные времена, то удобно ввести "медленные"(Уиземовские) времена Тг: Ьг = еТг, е ^ 0. Уравнения Уизема это условия того, как могу меняться модули спектральной кривой, чтобы тау-функция (1.19) всё ещё давала решение в лидирующем порядке по е [13],[14]. Эти уравнения могут быть переписаны в виде уравнений "нулевой кривизны" [14]:

дdQг дdQj

дТ, дТг

1.21)

Следствием этих уравнений является существование дифференциала dS такого что:

ш da (1.22)

дТг

Определяя аг = dS получаем адиабатическую теорему:

да

дТ,

0 (1.23)

Полная иерархия Кричевера-Уизема (1.21) имеет множество решений. Любая форма dS удовлетворяющая (1.22) даёт решение.

1.2.2 Цепочка Тоды

В данной работе нас будет в основном интересовать случай замкнутой цепочки Тоды. Остановимся подробнее на этом случае. Гамильтониан цепочки из N частиц даётся:

N+1 р2

+ Л2'

2

н = ^ Т + ехР(Ч - &+1 ), q¿+N = Яг (1.24)

г=1

И спектральная кривая может быть записана как:

у2 = Р2 (х) - 4А^ (1.25)

PN(х) - полином степени N который определяет значения интегралов движения. В системе центра масс где ^рг = 0, он равен:

PN(х) = xN - иХ-2 + ■ ■ ■ (1.26)

Коэффициент и равен энергии. Спектральная кривая может быть переписана в следующем виде:

ш +-= PN (х) (1.27)

Ш

Мы видим, что имеются две отмеченные точки, ш = 0 и ш = то. Соответственно, имеются 2 серии абелевых дифференциалов 2-го рода <О+, и отвечающие им времена Т+ ,Т-. Однако оказывается так, что уравнения Уизема самосогласованны если только мы наложим ограничения Т+

= Тг . Другими словами, мы будем работать только с линейной комбинацией = <О+ + <Ю-.

Мероморфный дифференциал Зайберга-Виттена «Бвш имеет следующий вид:

хР'ьт (х)<х <Ш

йБвщ =-г^— = х— (1.28)

у(х) Ш

Он удовлетворяет следующему уравнению означает в данном случае "с точностью до полной производной"):

~-~ Ко1отогрЫс (1.29)

отоашг

Этот дифференциал голоморфный кроме двух точек ш = 0 и ш = то, где он имеет полюс второго порядка.

Мы очень часто будем пользоваться его периодами:

a = ® dSsw (1.30)

JAi

= Ф dSsw

JBi

dQi = dSsw — шk

к

а также нам понадобится знаменитый препотенциал Зайберга-Виттена Г (а) определяемый как:

дГ (а) п , ч

= аП (1'31)

В дальнейшем также будет полезно ввести вектора и(:?):

= i 1 da> (1;32)

f.i,) = — I

которые удовлетворяют следующему уравнению:

и(1) = аап - та. (1.33)

Ключевое наблюдение о связи теории Зайберга-Виттена с иерархией Уизема было сделано в [11]:

ао (1.34)

д log Л

Что означает, что дифференциал Зайберга-Виттена dS даёт решение Уизема где время определено как T1 = log Л. Из этого уравнения легко можно вывести соотношение Матона:

dF

4niNu (1.35)

дТ1

В дальнейшем мы не будем писать индекс БШ.

Второе важное наблюдение состоит в том, что <<Б совпадает с укороченным действием рйч для цепочки Тоды. Действительно, в случае 2-х частиц N = 2 спектральная кривая даётся:

Л4

ш +--= х2 — и (1.36)

ш

Делая замену переменных х = р,ш = Л2 ехр(ч) мы получаем

2Л2 совЬ(д) = р2 - и (1.37)

и <б = р<ч

В принципе, можно включить несколько старших времён:

те

^ = ^ % (1.38)

г=1

где % удовлетворяют следующим условиям:

% Но1отогрЫе (1.39)

ОтойиИ А также:

^ % = (Г%-1 + 0(1)К (1.40)

В работе [15] была выдвинута гипотеза, что старшие времена отвечают добавлению в ультрафиолетовый препотенциал:

1 ^ Тк

Fuv = то^г Ф2 + ^ — 1гФк+1 (1.41)

к>0

Это согласуется с тем, что Т1 - УФ константа связи. В разделе 2.2.3 основного текста мы обсудим спектральную кривую для этого случая и выведем соответствующие уравнения движения (уравнения Бете-анзаца) сразу в квантовом случае.

1.3 Обзор результатов Аргиреса—Дугласа

В этом разделе мы дадим обзор результатов Аргиреса-Дугласа [16] и, следуя [17], покажем, как можно вычислять суперконформные индексы в этой точке. Феномен Аргиреса-Дугласа состоит в том, что низкоэнергетическая теория Зайберга-Виттена, которая не является конформной теорией, в некоторой специальной точке на пространстве модулей становиться конформной.

С случае Би(Ы) теории ЗВ спектральная кривая имеет род (Ы — 1). В отсутствие материи она имеет вид:

у2 = Р (х)2 — 4Л2М (1.42)

N

Р(х) = xN — ^ hгxN-г (1.43)

%=2

Для Б и (2) имеем просто тор:

у2 = (х2 — и + 2Л2)(х2 — и — 2Л2) (1.44)

где и = Когда и2 = 4Л4 кривая вырождается - один из циклов сжимается в точку. Массы БПС-частиц пропорциональны периоду дифференциала ЗВ по

соответствующему циклу. Когда один из циклов вырождается, это означает, что монополь или дион становятся безмассовыми. Но при это только одна частица безмассовая - второй цикл остаётся невырожденным.

Более интересная ситуация возникает в случае Би(3) [16] когда:

Р(х) = х3 - их - V (1.45)

для и = 0^2 = 4Л6 кривая становится сингулярной:

у2 = х3(х3 ± 4Л3) (1.46)

В этом случае два пересекающихся цикла сжимаются в точку - это означает, что 2 частицы, электрически заряженная и магнитно заряженная, становятся безмассовыми. В [16] была выдвинута гипотеза, что соответствующая сильновзаимодействующая низкоэнергетическая теория становится конформной. Похожий феномен может произойти и в Би(2) случае при добавлении материи [17].

Вкратце, аргументы, почему возникает конформная симметрия, следующие: Обозначим

8и = и = 3е2р, 8v = V - 2Л3 = 2е3 (1.47)

р безразмерно, е имеет размерность массы и определяет масштаб энергии. Поэтому спектральная кривая разделяется на "маленький" тор:

у2 = х3 - 8их - 8V (1.48)

с модулярным параметром т11 = т(р) + O(8v/A3) + О(8и/Л2), массами частиц

а3,аП « е5/2/Л3/2 ^ 0 (1.49)

и периодами ш8,ш8в ~ 1/а ^ то. Модулярный параметр "большого"тора у2 = х(х3 - 8их + 8v + 4Л3) равен т = т22 = ежг/:3 + О(8и/Л2) + О^/Л3). Для простоты мы будем использовать индекс "э"для маленького тора и "1"для большого тора. Можно проверить, что матрица периодов становится диагональной (с точностью до O(8u,8v) членов):

7т (р)з 0

I (1.50)

0 впг/3)

Ключевое наблюдение состоит в том, что модулярный параметр малого тора не зависит от масштаба энергии е. Из-за диагональной формы матрицы периодов мы

имеет две невзаимодействующие и(1) теории. "Маленькая" и(1) теория (с массами частиц порядка ^^ е5/2/Л3/2) отщепляется от "большой" и(1) теории (с массами порядка ~ Л). Поэтому логично предположить, что мы остаёмся с конформной точкой с константой связи т3 = е2пг/3. Это утверждение и составляет феномен Аргиреса-Дугласа.

Аномальные размерности некоторых операторов можно посчитать следующим образом [17]. Кэлеровый потенциал 1т(аао) обязан иметь размерность 2, поэтому а и а о имеют размерность 1. Из (1.48) мы можем извлечь относительные размерности Д(х) : П(8и) : п(8у) = 1:2:3. Это соотношение можно получить либо из условия самосогласованности Я—заряда, либо из факта присутствия кубической сингулярности. Из (1.49) мы видим что Д(е) = 2/5, поэтому

Б(х) = 2/5 (1.51)

Б(5и) = 4/5 б(8у) = 6/5

1.4 Супер КЭД и инварианты узлов

1.4.1 Инварианты узлов и квантовая теория поля

Классическая работа Виттена [20] положила начало связи между квантовой теорией поля и инвариантами узлов. В этой работе было показано, что вакуумное среднее Вильсоновской петли в форме узла К в представлении Я для Би(2) теории Черна-Саймонса на Б3 равно полиному Джонса 3(д) для этого узла:

(ШЯ(К )> = 3 (д) (1.52) Уровень Черна-Саймонса к и переменная д связаны так:

/ 2П \

д = еХР ^к+2) (1.53)

С тех пор это соотношение было рассмотрено с точки зрения топологических струн[21], поскольку известно, что открытая А-модель на Т*Б3 дуальна теории Черна-Саймонса на Б3. При этом узел вырезается на Б3 Лагранжевой браной. Также инварианты узлов были исследованы с точки зрения теории на этой Лагранжевой

бране[22, 23]. Также было показано, как обобщить его на гомологии Хованова-Розанского[24] и суперполином[25]. Однако многие аспекты до сих пор остаются неясными.

Все известные соответствия, по сути, основаны на уравнении (1.52) - т.е. стат-сумма заданной теории равна полиному одного конкретного узла. В этой работе мы исследуем пример, когда статсумма равна производящей функции для определенного семейства узлов. В нашем случае торических узлов - эти узлы могут быть нарисованы на 2-торе без самопересечений. При этом узел задается 2 взаимнопросты-ми числами (и,т), которые отвечают числу намоток на 1-циклы тора. Неожиданно, теория, в которой возникают эти узлы, является пятимерной N =1 супер квантовая электродинамикой. В отсутствие Омега-деформации это свободная теория, однако, при включении Омега-деформации в теории появляются инстантоны. Эту теорию мы рассмотрим ниже.

1.4.2 Формула Джонса-Россо

Обобщением полинома Джонса является полином ХОМФЛИ Ид(Л, д), который зависит от представления Я и двух переменных Л и д. Не давая общего определения, скажем лишь, что он даётся вакуумным средним Вильсоновской петли в теории Черна-Саймонса с калибровочной группой Би(Ж). Точнее, имеется следующее соотношение:

Ия(дм ,д) = ШС8 (1.54)

где в правой части среднее от Вильсоновской петли вычисляется в Би (Ж) Черне-Саймонсе на Б3. Связь уровня Черна-Саймонса к и переменной д тоже немного модифицируется:

д =ехр (кгж) (1.55)

Формула Джонса-Россо(Д-Р) для полинома ХОМФЛИ, раскрашенного в представление Я, для (и, т) торического узла выглядит следующим образом[26]:

Ип'г)(Л,д)= ^ д"Е^(а-Чхл(р*) (1.56)

Лей®"

где:

• Я - Диаграмма Юнга, определяющая представление

с\ - коэффициенты Адамса, определяемые действием операции Адамса на полиномы Шура хДр):

Х>(п)) = Е с>п(Р) (1-57)

В наших обозначениях мы пишем аргументы полиномов Шура через полиномы степенных рядов рк = хк + х% + .... И

РП = Рпк = хПк + хП + ... (1.58)

Наконец, р* определяют специальный выбор этих полиномов:

кк

(—А)к - (-А)

Рк =-к--к--(1-59)

дк — д к

Перепишем формулу Д-Р (1.56) в более явном виде. Хорошо известно[27] , что при специальном выборе р* (1.59), полиномы Шура даются формулой:

П (1+ Ад1'-"')

*л(р*'=д "п (1—д"+'+1> (1'60)

Если мы ограничимся фундаментальным представлением Я = □, тогда есть следующая явная формула для коэффициентов Адамса[28]:

П°,°(1 — дГ—<")

^ = ?Е"(1 — дп) П(1 — д"+,+1) (^ч

Собирая все факторы вместе, мы получаем следующую формулу для полинома ХОМФЛИ в фундаментальном представлении для (п, г) торического узла (мы опустили тривиальный множитель (1 + А)):

П°'°(1 — д1'—а/) П°,°(1 + Ад1'-"') _ д"+1+1 )2

н(п,т) = (-, дп) ^ д252 "дПЕ(а—1)—_"_1_7 " "_"_1_1 (1 62)

"□ =(1 — д'¿Пд д П(1 — д"+'+1)2 (1.62)

Или эквивалентно:

г°,°/1 „а"- /'\тт °,°П I аЛ-а

1 — дп , г+„ — д"'-'')П и,"(1 + М-—)

\\\=п

□ ( ,д) ( ) дп £=п П(д-/-1 — д")(д-1 — д"+г)

1.63)

1.4.3 Пятимерная КЭД и Омега-деформация

Пятимерная N =1 квантовая электродинамика состоит из векторного поля Ла, 4-х компонентного Дираковского спинора Л и скалярного поля Хиггса ф. Все они лежат в присоединённом представлении и(1). Лагранжиан выглядит следующим образом:

1 1 1 _

С = -—г ЯАв яаб + - (Злф)2 + -л1азал 4д д2 д2

'1.64)

, Л = 1,..., 5 - пятимерные гамма матрицы. Поскольку присоединённое действие и(1) тривиально, это свободная теория.

Для регуляризации инстантонных вычислений Некрасовым [29] был предложен так называемый П-фон который отвечает включению гравифотона, чья кривизна равна угловым скоростям вращения е1,е2 двух трансверсальных плоскостей в К4. Позднее, в разделе 1.5, когда мы будем обсуждать Некрасовскую статсумму, мы более подробно объясним происхождение Омега-деформации. Пока нас интересует лишь явный вид Лагранжиана.

Обсудим для начала чисто калибровочную теорию N =2 супер Янга-Миллса в присутствии П-фона в четырёх измерениях. Состав полей в теории следующий: векторное поле Лт, комплексный скаляр <р,ф и 2 Вейлевских фермиона А^, АО, , все лежат в присоединённом представлении и (1). Здесь индексы т = 1,..., 4, I = 1, 2 есть индексы по Би(2)/ И,-симметрии, а, а - спинорные индексы Би(2)^ х Би(2)я. Для включения П-фона можно рассмотреть нетривиально расслоение К4 над тором Т2 [29],[30] с кривой шестимерной метрикой:

¿в2 = 2(гСх + (¿хт + Пт(г + Пт(г)2 , (1.65)

где - комплексные координаты на торе и 4-х мерный вектор Пт определён как:

( 0 ¿61 0 0 ^

Пт

пти

и и

Пт

2л/2

-¿61 0 0 0 0 0 0 -¿е2

1.66)

у 0 0 ¿62 0 у

В общем случае, когда Пти не (анти-)самодуально суперсимметрия нарушена. Однако можно вставить Вильсоновскую петлю по И,-заряду чтобы восстановить часть суперсимметрии [30]:

Л1! = - 1-Пти (от% ¿г - 1пти (<тти)Ы ¿г. (1.67)

Наиболее компактный способ написать Лагранжиан состоит в введении 'длинных' скаляров (не путать с N =1 суперполем):

Ф = <р + гПтВт, Ф = ф + гП тБт, (1.68)

Бозонный сектор теории выглядит следующим образом:

1 1 1 - 2

СП = - 4д2Рти^ + -2 ДтФ^тФ + 2д2 [Ф Ф] 2

ти 1 и т ти и 1 т т

РтиРти + ^(дтф + РтиПи)(5тф - РтиПи) + — (гПтдтф + гПт&тф)

ти т ти -

4д2 д2 2д2

(1.69)

Мы можем добавить в эту теории фундаментальный гипермультиплет, который состоит из 2-х скаляров д, д, 2-х Вейлевских фермионов ф и ф, и характеризуется 2 массами: т и т, поскольку N =2 гипермультиплет строится из 2-х N =1 гипер-мультиплетов с противоположными зарядами. При включении материи бозонная часть Лагранжиана выглядит так:

1 1

Ст = РтиРти +^(дтф + РтпПП)(дтф - РтиПи) +

4д2 ти д2

1 1 2 _ (1.70)

21^тд|2 + 21^т?|2 + д^(гдт(Птф + Птф) + д2(дд -гдд))2+

2|(ф - т - гПтДт)д|2 + 21(ф - т - гПт^т)д|2 + 2д2|ад|2

Общая П-деформация сохраняет только одну суперсимметрию[30]. Удобно произвести топологический твист[29] и взять Би^(2) и диагональную часть Би^(2) х Би/(2) за Лоренцеву группу. Тогда АО, станет скаляром ц и самодуальным тензором \ы, станет вектором ф/, и ф,ф превратятся в 9, ит,шти. Суперзаряды имеют похожую судьбу. Скалярный суперзаряд Q при этом и есть ненарушенная часть суперсимметрии.

1.5 Формулы Некрасова

В этом разделе мы дадим небольшой обзор результатов Некрасова [7] о явном инстантонном вычислении препотенциала в теории Зайберга-Виттена. Статсумма X

в Омега-деформированной теории связана с N =2 препотенциалом F следующим образом:

F = — lim 6162 log Z

'1.71)

Напишем явное выражение для Z. Нас будет интересовать колчанная теория типа А с калибровочными факторами и(N1), 1 < г < V, с соответствующими бифундамен-тальными гипермультиплетами и(Ni) х и(N¿+1) для 0 < г < V. и(N0) и и(Ау+1) -флейворные симметрии. Соответствующая 11А бранная диаграмма представлена на рисунке 1.1.

NS5

D4

Л1

Л2

Лз

Рис. 1.1: Бранная конструкция для и(3) х и(5) х и(2) N = 2 калибровочной теории. Самая левая и(3) имеет 2 фундаментальных гипермультиплета и самая правая и(2) имеет один фундаментал.

Каждая калибровочная группа имеет свою собственную константу связи и динамический масштаб Лг. Мы будем рассматривать эти теории в Кулоновской фазе. Пространство модулей это фазы параметризуется вакуумным средним Хиггса аг = [а\,..., агм.} для 1 < г < V. Далее, в разделе 4.2 мы будем обозначать

iEг + 61 +262. Также в частном случае двух калибровочных групп мы буде

м

писать E, E' вместо E1, E2.

Некрасовская статистическая сумма равна эквивариантному объёму пространства модулей инстантонов. В IIA конструкции инстантоны реализуются как D0 браны протянутые между NS5. Поэтому инстантонная статсумма равна статсум-ме теории, живущей на D0 бранах. В данном случае это так называемая ADHM матричная-модель, т.е. просто 0-мерная теория. Скажем несколько слов, почему необходима Омега-деформация. ADHM-модель включает в себя две матрицы B1,B2, параметризующие положение инстантонов, и потенциал

V = Tr[BbB2]2

'1.72)

a

Очевидно, он имеет плоские направления, поэтому статсумма определена плохо. Суть Омега-деформации состоит в добавлении гармонического члена:

АУ = 61 Тг + б2 Тг Е\ (1.73)

Нетрудно видеть, что он отвечает рассмотрению системы во вращающейся системе отсчёта.

Не вдаваясь больше в детали, напишем ответ для интересующего нас случая:

z 4d

Zinstanton

dK фг

Л К

Ш-1 ПК 1 ПК+11 sJ - Ф1)

П=1 [(¿+2)к П1<и<кг S(Ф1 - ФЬ)]

x A ff П NL-11 (Ф1 - aA-1 + 61 + 62)U Ni+11 K+1 - Ф1) (174)

¿=w=i Ш - ал + 61 + e2)(aA - Ф1)] )

где мы опустили факторы 2ni, и S(Ф) определено как:

С (JA (Ф + 61)(Ф + 62) n

S(Ф) = -J-V • (1'75)

Ф(-Ф - 61 - 62)

В терминах IIA конструкции, факторы S(Ф) отвечают за взаимодействия D0 бран с разных сторон NS5, а факторы 1/S^) - за D0 с одной стороны. Знаменатель во второй строчке ответственен за взаимодействие с D4 бранами с той же стороны, что и D0, а числитель - за D0 и D4 с разных сторон. Контур интегрирования включает в себя полюса:

{Ф1 | 1 < I < Кг} = {aA + (r - 1)61 + (s - 1)62 | (r, s) G AAI (1.76)

что отвечает набору диаграмм Юнга AA, 1 < i < V, 1 < A < Мг где 1|AA| = Кг. Перестановки переменных Фг1 сокращают факторы Кг\.

1.6 СР (Ы — 1) модель

За последние 10 лет неабелевы струны стали важным элементом среди топологических дефектов в суперсимметричных и несуперсимметричных калибровочных теориях [31, 32, 33]. Хорошо известная струна Абрикосова-Нильсена-Ольсена, возникающая в и(1) калибровочной теории, имеет только 2 модуля, параметризующие её положению в пространстве. Неабелева струна, помимо этих двух модулей, обладает ещё 2(Ы — 2) модулями, которые отвечают за вложение магнитного потока в калибровочную группу Би(Ы). Низкоэнергетическая динамика на мировой поверхности струны, связанная с этими модулями, описывается СР(Ы — 1) сигма моделью.

Эта сигма модель может быть точно решена в пределе больших N. Покажем, как это может быть сделано.

Лагранжиан для двумерной СР(Ж - 1) сигма модели может быть записан в виде:

С = Ж(д, - гЛ^)иг(д» + гЛ,)и*г - Л(и*иг - 1) (1.77)

д2

Где Л и Л, - лагранжевы множители, интеграл по которым можно взять явно. Л налагает условие и*иг = 1, а Л, отвечает за наличие и(1) симметрии. После интегрирования по нему возникает нелинейный член (и*д,иг)2.

Интеграл по иг гауссов. Общая стратегия состоит в том, чтобы проинтегрировав по иг, получить эффективное действие для Л, Л,:

X = У ЪЛЪХОигЪи*г ехр ^г I (2х ^- Жиг (д, + гЛ,)2и*г - Л(иги*г - 1)^

(1.78)

После перескалирования иг:

X = I ЪЛЪЛ ехр ^ - ЖТт (д, + гЛ,)2 - т2) + г ^ (2х(1.79)

2 л-2

где т2 —

N

Гладкий предел больших N получается при наложении условия g = const, N ^ то. Поэтому каждый член в действии пропорционален N - значит интеграл можно взять методом перевала. Это эквивалентно тому, что петлевые диаграммы ведут себя как N-L, где L-число петель. В силу Лоренц- и трансляционной инвариантности, перевальная точка имеет вид m = const, A^ = 0. Варьируя ур. (1.79) по m2, получаем уравнение

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Милехин Алексей Геннадьевич, 2018 год

Список литературы

[1] A. D'Adda, M. Luscher h P. Di Vecchia. «A 1/n Expandable Series of Nonlinear Sigma Models with Instantons». B: Nucl. Phys. B146 (1978), c. 63—76. DOI: 10.1016/0550-3213(78)90432-7.

[2] Edward Witten. «Instatons, the quark model, and the 1/N expansion». B: Nuclear Physics B 149.2 (1979), c. 285 —320. ISSN: 0550-3213. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/0550-3213(79)90243-8. URL: http://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/0550321379902438.

[3] Edward Witten. «An SYK-Like Model Without Disorder». B: (2016). arXiv: 1610.09758 [hep-th].

[4] Igor R. Klebanov h Grigory Tarnopolsky. «Uncolored random tensors, melon diagrams, and the Sachdev-Ye-Kitaev models». B: Phys. Rev. D95.4 (2017), c. 046004. DOI: 10.1103/PhysRevD.95.046004. arXiv: 1611.08915 [hep-th].

[5] V.A. Novikov h gp. «Instanton Effects in Supersymmetric Theories». B: Nucl.Phys. B229 (1983), c. 407. DOI: 10.1016/0550-3213(83)90340-1.

[6] Mikhail A. Shifman h A. I. Vainshtein. «On holomorphic dependence and infrared effects in supersymmetric gauge theories». B: Nucl. Phys. B359 (1991), c. 571—580. DOI: 10.1016/0550-3213(91)90072-6.

[7] Nikita A. Nekrasov. «Seiberg-Witten prepotential from instanton counting». B: Adv.Theor.Math.Phys. 7 (2004). hep-th/0206161, c. 831—864. DOI: 10.4310/ATMP. 2003.v7.n5.a4.

[8] N. Seiberg h Edward Witten. «Electric - magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory». B: Nucl.Phys. B426 (1994). hep-th/9407087, c. 19—52. DOI: 10.1016/0550-3213(94)90124-4.

[9] N. Seiberg h Edward Witten. «Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD». B: Nucl.Phys. B431 (1994). hep-th/9408099, c. 484-550. DOI: 10.1016/0550-3213(94)90214-3.

[10] Nathan Seiberg. «Supersymmetry and Nonperturbative beta Functions». B: Phys. Lett. B206 (1988), c. 75-80. DOI: 10.1016/0370-2693(88)91265-8.

[11] A. Gorsky h gp. «Integrability and Seiberg-Witten exact solution». B: Physics Letters B 355 (^p. 1995). arXiv:hep-th/9505035, c. 466-474. DOI: 10.1016/ 0370-2693(95)00723-X.

[12] A. Marshakov h A. Mironov. «Seiberg-Witten systems and Whitham hierarchies: A Short review». B: (1998). hep-th/9809196.

[13] Olivier Babelon, Denis Bernard h Michel Talon. Introduction to classical integrable systems. Cambridge University Press, 2003.

[14] I. M. Krichever. «The $\tau$-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories». B: ArXiv High Energy Physics - Theory e-prints (Man 1992). arXiv:hep-th/9205110.

[15] A. Marshakov h N. A. Nekrasov. «Extended Seiberg-Witten theory and integrable hierarchy». B: Journal of High Energy Physics 1, 104 (shb. 2007). arXiv:hep-th/0612019, c. 104. DOI: 10.1088/1126-6708/2007/01/104.

[16] P. C. Argyres h M. R. Douglas. «New phenomena in SU(3) supersymmetric gauge theory». B: Nuclear Physics B 448 (^eBp. 1995). arXiv:hep-th/9505062, c. 93-126. DOI: 10.1016/0550-3213(95)00281-V.

[17] P. C. Argyres h gp. «New N = 2 superconformal field theories in four dimensions». B: Nuclear Physics B 461 (<^eBp. 1996). arXiv:hep-th/9511154, c. 71-84. DOI: 10.1016/0550-3213(95)00671-0.

[18] A. Gorsky h A. Milekhin. «Condensates and instanton - torus knot duality. Hidden Physics at UV scale». B: (2014). arXiv: 1412.8455 [hep-th].

[19] A. Gorsky, A. Milekhin h N. Sopenko. «The Condensate from Torus Knots». B: JHEP 09 (2015), c. 102. DOI: 10. 1007/JHEP09(2015) 102. arXiv: 1506.06695 [hep-th].

[20] Edward Witten. «Quantum Field Theory and the Jones Polynomial». B: Commun.Math.Phys 121 (1989), c. 351-399. DOI: 10.1007/BF01217730.

[21] Hirosi Ooguri h Cumrun Vafa. «Knot invariants and topological strings». B: Nucl.Phys. B577 (2000), c. 419-438. DOI: 10.1016/S0550-3213(00) 00118-8. arXiv: hep-th/9912123 [hep-th].

[22] Tudor Dimofte, Davide Gaiotto h Sergei Gukov. «Gauge Theories Labelled by Three-Manifolds». B: Commun.Math.Phys. 325 (2014), c. 367-419. DOI: 10.1007/s00220-013-1863-2. arXiv: 1108.4389 [hep-th].

[23] Hee-Joong Chung h gp. «3d-3d Correspondence Revisited». B: (2014). arXiv: 1405.3663 [hep-th].

[24] Sergei Gukov, Albert S. Schwarz h Cumrun Vafa. «Khovanov-Rozansky homology and topological strings». B: Lett.Math.Phys. 74 (2005), c. 53-74. DOI: 10.1007/ s11005-005-0008-8. arXiv: hep-th/0412243 [hep-th].

[25] Mina Aganagic h Shamil Shakirov. «Knot Homology and Refined Chern-Simons Index». B: Commun.Math.Phys. 333.1 (2015), c. 187-228. DOI: 10.1007/s00220-014-2197-4. arXiv: 1105.5117 [hep-th].

[26] Marc Rosso h Vaughan Jones. «On the invariants of torus knots derived from quantum groups». B: Journal of Knot Theory and its Ramifications 2.01 (1993), c. 97-112.

[27] Ian Grant Macdonald. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford university press, 1998.

[28] Shamil Shakirov. «ß-Deformation and Superpolynomials of (n,m) Torus Knots». B: (2011). arXiv: 1111.7035 [math-ph].

[29] Nikita A. Nekrasov. «Seiberg-Witten prepotential from instanton counting». B: Adv. Theor. Math. Phys. 7.5 (2003), c. 831-864. DOI: 10.4310/ATMP.2003.v7. n5.a4. arXiv: hep-th/0206161 [hep-th].

[30] Nikita Nekrasov h Andrei Okounkov. «Seiberg-Witten theory and random partitions». B: (2003). arXiv: hep-th/0306238 [hep-th].

[31] A. Gorsky, M. Shifman h A. Yung. «Non-Abelian meissner effect in Yang-Mills theories at weak coupling». B: Phys. Rev. D71 (2005), c. 045010. DOI: 10.1103/ PhysRevD.71.045010. arXiv: hep-th/0412082 [hep-th].

[32] M. Shifman и A. Yung. «Supersymmetric Solitons and How They Help Us Understand Non-Abelian Gauge Theories». В: Rev. Mod. Phys. 79 (2007), с. 1139. DOI: 10.1103/RevModPhys.79.1139. arXiv: hep-th/0703267 [hep-th].

[33] R. Auzzi, M. Shifman и A. Yung. «Studying boojums in N=2 theory with walls and vortices». В: Phys. Rev. D72 (2005), с. 025002. DOI: 10.1103/PhysRevD.72. 025002. arXiv: hep-th/0504148 [hep-th].

[34] A. Gorsky и др. «RG equations from Whitham hierarchy». В: Nuclear Physics B 527 (сент. 1998). arXiv:hep-th/9802007, с. 690-716. DOI: 10.1016/S0550-3213(98)00315-0.

[35] J. D. Edelstein, M. Marino и J. Mas. «Whitham hierarchies, instanton corrections and soft supersymmetry breaking in N=2 SU(N) super Yang-Mills theory». В: Nuclear Physics B 541 (март 1999). arXiv:hep-th/9805172, с. 671-697. DOI: 10.1016/S0550-3213(98)00798-6.

[36] Takahiro Kubota и Naoto Yokoi. «Renormalization group flow near the superconformal points in N=2 supersymmetric gauge theories». В: Prog.Theor.Phys. 100 (1998). hep-th/9712054, с. 423-436. DOI: 10.1143/PTP.100.423.

[37] Michael R. Douglas и Stephen H. Shenker. «Dynamics of SU(N) supersymmetric gauge theory». В: Nucl.Phys. B447 (1995). hep-th/9503163, с. 271-296. DOI: 10.1016/0550-3213(95)00258-T.

[38] Tohru Eguchi и Sung-Kil Yang. «Prepotentials of N=2 supersymmetric gauge theories and soliton equations». В: Mod.Phys.Lett. A11 (1996). hep-th/9510183, с. 131-138. DOI: 10.1142/S0217732396000151.

[39] A. Gorsky, Arkady I. Vainshtein и A. Yung. «Deconfinement at the Argyres-Douglas point in SU(2) gauge theory with broken N=2 supersymmetry». В: Nucl.Phys. B584 (2000). hep-th/0004087, с. 197-215. DOI: 10 .1016/S0550-3213(00)00349-7.

[40] Carl M. Bender и Stefan Boettcher. «Real spectra in nonHermitian Hamiltonians having PT symmetry». В: Phys.Rev.Lett. 80 (1998). arXiv: physics/9712001, с. 5243-5246. DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.5243.

[41] Tobias Gulden и др. «Statistical mechanics of Coulomb gases as quantum theory on Riemann surfaces». В: JETP Vol. 144 (9). 1303.6386, 574 (2013).

[42] A. Gorsky, I.I. Kogan h G. Korchemsky. «High energy QCD: Stringy picture from hidden integrability». B: JHEP 0205 (2002). hep-th/0204183, c. 053. DOI: 10.1088/1126-6708/2002/05/053.

[43] G.P. Korchemsky, J. Kotanski h A.N. Manashov. «Solution of the multi-Reggeon compound state problem in multicolor QCD». B: Phys.Rev.Lett. 88 (2002). hep-ph/0111185, c. 122002. DOI: 10.1103/PhysRevLett.88.122002.

[44] Sergey E. Derkachov h gp. «Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD. 2. Quantization conditions and energy spectrum». B: Nucl.Phys. B645 (2002), c. 237—297. DOI: 10 . 1016 / S0550 - 3213(02 ) 00842 - 8. arXiv: hep-th/0204124 [hep-th].

[45] Nikita A. Nekrasov h Samson L. Shatashvili. «Quantization of Integrable Systems and Four Dimensional Gauge Theories». B: (2009). arXiv:0908.4052.

[46] K. K. Kozlowski h J. Teschner. «Tba for the Toda Chain». B: New Trends in Quantum Integrable Systems. nog peg. B. Feigin, M. Jimbo h M. Okado. arXiv: 1006.2906. Okt. 2011, c. 195—219. DOI: 10.1142/9789814324373_0011.

[47] Heng-Yu Chen h gp. «A New 2d/4d Duality via Integrability». B: JHEP 1109 (2011). arXiv:1104.3021, c. 040. DOI: 10.1007/JHEP09(2011)040.

[48] A. Losev, N. Nekrasov h Samson L. Shatashvili. «Issues in topological gauge theory». B: Nucl.Phys. B534 (1998). hep-th/9711108, c. 549—611. DOI: 10.1016/ S0550-3213(98)00628-2.

[49] Marco Matone. «Instantons and recursion relations in N=2 SUSY gauge theory». B: Phys.Lett. B357 (1995). hep-th/9506102, c. 342—348. DOI: 10.1016/0370-2693(95)00920-G.

[50] Rainald Flume h gp. «Matone's relation in the presence of gravitational couplings». B: JHEP 0404 (2004). hep-th/0403057, c. 008. DOI: 10.1088/1126-6708/2004/ 04/008.

[51] A. Mironov h gp. «Resolvents and Seiberg-Witten representation for Gaussian beta-ensemble». B: Theor.Math.Phys. 171 (2012), c. 505—522. DOI: 10.1007/ s11232-012-0049-y. arXiv: 1103.5470 [hep-th].

[52] A. Mironov, A. Morozov h Sh. Shakirov. «Matrix Model Conjecture for Exact BS Periods and Nekrasov Functions». B: JHEP 1002 (2010). arXiv:0911.5721, c. 030. DOI: 10.1007/JHEP02(2010)030.

[53] Vl.S. Dotsenko h V.A. Fateev. «Conformal algebra and multipoint correlation functions in 2D statistical models». B: Nuclear Physics B 240.3 (1984), c. 312 -348. ISSN: 0550-3213. DOI: http ://dx . doi . org/10 . 1016/0550-3213(84) 90269 - 4. URL: http : / / www . sciencedirect . com/ science / article /pii / 0550321384902694.

[54] A. Mironov h A. Morozov. «Nekrasov Functions and Exact Bohr-Zommerfeld Integrals». B: JHEP 1004 (2010). arXiv:0910.5670, c. 040. DOI: 10.1007/ JHEP04(2010)040.

[55] A. Popolitov. «On relation between Nekrasov functions and BS periods in pure SU(N) case». B: (2010). arXiv:1001.1407.

[56] L. O. Chekhov, B. Eynard h O. Marchal. «Topological expansion of the ^-ensemble model and quantum algebraic geometry in the sectorwise approach». B: Theoretical and Mathematical Physics 166 (<£>eBp. 2011). arXiv:1009.6007, c. 141-185. DOI: 10.1007/s11232-011-0012-3.

[57] J. Zinn-Justin h U.D. Jentschura. «Multi-instantons and exact results I: Conjectures, WKB expansions, and instanton interactions». B: Annals Phys. 313 (2004). arXiv: quant-ph/0501136, c. 197-267. DOI: 10.1016/j.aop.2004.04.004.

[58] Gerald V. Dunne h Mithat Unsal. «Resurgence and Trans-series in Quantum Field Theory: The CP(N-1) Model». B: JHEP 1211 (2012). arXiv:1210.2423, c. 170. DOI: 10.1007/JHEP11(2012)170.

[59] Gerald V. Dunne h Mithat Unsal. «Generating Energy Eigenvalue Trans-series from Perturbation Theory». B: (2013). arXiv:1306.4405.

[60] Gerald V. Dunne h Mithat Unsal. «Uniform WKB, Multi-instantons, and Resurgent Trans-Series». B: (2014). arXiv:1401.5202.

[61] B.M. Karnakov h V.P. Krainov. WKB Approximation in Atomic Physics. Springer, 2012. ISBN: 9783642315589.

[62] A. Gorsky h A. Mironov. «Integrable many body systems and gauge theories». B: (2000). hep-th/0011197.

[63] Rubik Poghossian. «Deforming SW curve». B: JHEP 1104 (2011). arXiv:1006.4822, c. 033. DOI: 10.1007/JHEP04(2011)033.

[64] Nikita Nekrasov h Andrei Okounkov. «Seiberg-Witten theory and random partitions». B: (2003). hep-th/0306238.

[65] K. Bulycheva, A. Gorsky h S. Nechaev. «Critical behavior in topological ensembles». B: (2014). arXiv: 1409.3350 [hep-th].

[66] A.M. Garsia h M. Haiman. «A Remarkable q, t-Catalan Sequence and q-Lagrange Inversion». English. B: Journal of Algebraic Combinatorics 5.3 (1996), c. 191—244. ISSN: 0925-9899. DOI: 10 . 1023/A: 1022476211638. URL: http://dx.doi.org/ 10.1023/A%3A1022476211638.

[67] E Gorsky. «q, t-Catalan numbers and knot homology». B: Zeta functions in algebra and geometry (2012), c. 213—232. arXiv: 1003.0916.

[68] Hiraku Nakajima. Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces. T. 18. American Mathematical Society Providence, 1999.

[69] Amer Iqbal, Can Kozcaz h Cumrun Vafa. «The Refined topological vertex». B: JHEP 0910 (2009), c. 069. DOI: 10.1088/1126-6708/2009/10/069. arXiv: hep-th/0701156 [hep-th].

[70] Amer Iqbal, Can Kozcaz h Khurram Shabbir. «Refined Topological Vertex, Cylindric Partitions and the U(1) Adjoint Theory». B: Nucl.Phys. B838 (2010), c. 422—457. DOI: 10 . 1016/j . nuclphysb . 2010 . 06 . 010. arXiv: 0803 . 2260 [hep-th].

[71] Kenneth A. Intriligator, David R. Morrison h Nathan Seiberg. «Five-dimensional supersymmetric gauge theories and degenerations of Calabi-Yau spaces». B: Nucl.Phys. B497 (1997), c. 56—100. DOI: 10 . 1016/S0550-3213(97) 00279-4. arXiv: hep-th/9702198 [hep-th].

[72] Albrecht Klemm h Piotr Sulkowski. «Seiberg-Witten theory and matrix models». B: Nucl.Phys. B819 (2009), c. 400—430. DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2009.04. 004. arXiv: 0810.4944 [hep-th].

[73] P. Dunin-Barkowski h gp. «Superpolynomials for toric knots from evolution induced by cut-and-join operators». B: JHEP 1303 (2013), c. 021. DOI: 10.1007/ JHEP03(2013)021. arXiv: 1106.4305 [hep-th].

[74] Alexei Oblomkov и Vivek Shende. «The Hilbert scheme of a plane curve singularity and the HOMFLY polynomial of its link». В: Duke Math. J. 161.7 (май 2012), с. 1277-1303. DOI: 10.1215/00127094-1593281. arXiv: 1201.2115. URL: http: //dx.doi.org/10.1215/00127094-1593281.

[75] Mark Haiman. «t, q-Catalan numbers and the Hilbert scheme». В: Discrete Mathematics 193.1 (1998), с. 201-224.

[76] Ksenia Bulycheva и Alexander Gorsky. «BPS states in the Omega-background and torus knots». В: JHEP 1404 (2014), с. 164. DOI: 10.1007/JHEP04(2014)164. arXiv: 1310.7361 [hep-th].

[77] Albion E. Lawrence и Nikita Nekrasov. «Instanton sums and five-dimensional gauge theories». В: Nucl.Phys. B513 (1998), с. 239-265. DOI: 10.1016/S0550-3213(97)00694-9. arXiv: hep-th/9706025 [hep-th].

[78] Andrei S. Losev, Andrei Marshakov и Nikita A. Nekrasov. «Small instantons, little strings and free fermions». В: (2003). arXiv: hep-th/0302191 [hep-th].

[79] N. Nekrasov. «Non-Perturbative Schwinger-Dyson Equations: From BPS/CFT Correspondence to the Novel Symmetries of Quantum Field Theory». В: (2014). Gorsky, Alexander(ed.) and Vysotsky, Mikhail(ed.), Proceedings, 100th anniversary of the birth of I.Ya. Pomeranchuk (Pomeranchuk 100). DOI: 10.1142/9242.

[80] Davide Gaiotto, Sergei Gukov и Nathan Seiberg. «Surface Defects and Resolvents». В: JHEP 1309 (2013), с. 070. DOI: 10.1007/JHEP09(2013)070. arXiv: 1307.2578.

[81] Davide Gaiotto. «Surface Operators in N = 2 4d Gauge Theories». В: JHEP 1211 (2012), с. 090. DOI: 10.1007/JHEP11(2012)090. arXiv: 0911.1316 [hep-th].

[82] Eugene Gorsky, Sergei Gukov и Marko Stosic. «Quadruply-graded colored homology of knots». В: (2013). arXiv: 1304.3481 [math.QA].

[83] E. Gorsky и A. Negut. «Refined knot invariants and Hilbert schemes». В: ArXiv e-prints (апр. 2013). arXiv: 1304.3328 [math.RT].

[84] M. Bershadsky и др. «Kodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes». В: Commun.Math.Phys. 165 (1994), с. 311-428. DOI: 10.1007/BF02099774. arXiv: hep-th/9309140 [hep-th].

[85] Rajesh Gopakumar h Cumrun Vafa. «On the gauge theory / geometry correspondence». B: Adv.Theor.Math.Phys. 3 (1999), c. 1415—1443. arXiv: hep - th/ 9811131 [hep-th].

[86] Nathan M. Dunfield, Sergei Gukov h Jacob Rasmussen. «The Superpolynomial for knot homologies». B: (2005). arXiv: math/0505662 [math.GT].

[87] Hidetoshi Awata h Hiroaki Kanno. «Changing the preferred direction of the refined topological vertex». B: J.Geom.Phys. 64 (2013), c. 91—110. DOI: 10.1016/ j.geomphys.2012.10.014. arXiv: 0903.5383 [hep-th].

[88] Luis F. Alday, Davide Gaiotto h Yuji Tachikawa. «Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories». B: Lett.Math.Phys. 91 (2010). arXiv:0906.3219, c. 167—197. DOI: 10.1007/s11005-010-0369-5.

[89] Hidetoshi Awata h Yasuhiko Yamada. «Five-dimensional AGT Conjecture and the Deformed Virasoro Algebra». B: JHEP 1001 (2010), c. 125. DOI: 10.1007/ JHEP01(2010)125. arXiv: 0910.4431 [hep-th].

[90] Can Kozcaz, Sara Pasquetti h Niclas Wyllard. «A and B model approaches to surface operators and Toda theories». B: JHEP 1008 (2010), c. 042. DOI: 10.1007/JHEP08(2010)042. arXiv: 1004.2025 [hep-th].

[91] Ricardo Schiappa h Niclas Wyllard. «An A(r) threesome: Matrix models, 2d CFTs and 4d N=2 gauge theories». B: J.Math.Phys. 51 (2010), c. 082304. DOI: 10.1063/1.3449328. arXiv: 0911.5337 [hep-th].

[92] Ling Bao h gp. «M5-Branes, Toric Diagrams and Gauge Theory Duality». B: JHEP 1204 (2012), c. 105. DOI: 10.1007/JHEP04(2012)105. arXiv: 1112.5228 [hep-th].

[93] Masato Taki. «Surface Operator, Bubbling Calabi-Yau and AGT Relation». B: JHEP 1107 (2011), c. 047. DOI: 10.1007/JHEP07(2011)047. arXiv: 1007.2524 [hep-th].

[94] Pavel Etingof, Eugene Gorsky h Ivan Losev. «Representations of rational Cherednik algebras with minimal support and torus knots». B: Advances in Mathematics 277.0 (2015), c. 124 —180. ISSN: 0001-8708. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/ j . aim . 2015 . 03 . 003. arXiv: 1304 . 3412. URL: http : //www . sciencedirect . com/science/article/pii/S0001870815000869.

[95] Harry W. Braden h Nikita A. Nekrasov. «Space-time foam from noncommutative instantons». B: Commun.Math.Phys. 249 (2004), c. 431-448. DOI: 10.1007/ s00220-004-1127-2. arXiv: hep-th/9912019 [hep-th].

[96] Evgeny Gorsky. «Arc spaces and DAHA representations». B: Selecta Mathematica 19.1 (2013), c. 125-140. arXiv: 1110.1674.

[97] Eugene Gorsky h gp. «Torus knots and the rational DAHA». B: Duke Math. J. 163.14 (hos6. 2014), c. 2709-2794. DOI: 10.1215/00127094-2827126. arXiv: 1207.4523. URL: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2827126.

[98] Francesco Benini h Stefano Cremonesi. «Partition Functions of N = (2, 2) Gauge Theories on S2 and Vortices». B: Commun. Math. Phys. 334.3 (2015), c. 14831527. DOI: 10.1007/s00220-014-2112-z. arXiv: 1206.2356 [hep-th].

[99] Nima Doroud h gp. «Exact Results in D=2 Supersymmetric Gauge Theories». B: JHEP 05 (2013), c. 093. DOI: 10.1007/JHEP05(2013)093. arXiv: 1206.2606 [hep-th].

[100] Tudor Dimofte, Sergei Gukov h Lotte Hollands. «Vortex Counting and Lagrangian 3-manifolds». B: Lett. Math. Phys. 98 (2011), c. 225-287. DOI: 10.1007/s11005-011-0531-8. arXiv: 1006.0977 [hep-th].

[101] Robbert Dijkgraaf h gp. «Negative Branes, Supergroups and the Signature of Spacetime». B: (2016). arXiv: 1603.05665 [hep-th].

[102] Peter B Kronheimer h Tomasz S Mrowka. «Gauge theory for embedded surfaces, I». B: Topology 32.4 (1993), c. 773-826.

[103] PB Kronheimer h TS Mrowka. «Knot homology groups from instantons». B: Journal of Topology 4.4 (2011), c. 835-918.

[104] N. Michael Davies h gp. «Gluino condensate and magnetic monopoles in supersymmetric gluodynamics». B: Nucl. Phys. B559 (1999), c. 123-142. DOI: 10.1016/S0550-3213(99)00434-4. arXiv: hep-th/9905015 [hep-th].

[105] Yiwen Pan h Wolfger Peelaers. «Intersecting Surface Defects and Instanton Partition Functions». B: (2016). arXiv: 1612.04839 [hep-th].

[106] Hiroaki Kanno h Yuji Tachikawa. «Instanton counting with a surface operator and the chain-saw quiver». B: JHEP 06 (2011), c. 119. DOI: 10.1007/JHEP06(2011) 119. arXiv: 1105.0357 [hep-th].

[107] Rajesh Gopakumar h Cumrun Vafa. «M theory and topological strings. 1.» B: (1998). arXiv: hep-th/9809187 [hep-th].

[108] Rajesh Gopakumar h Cumrun Vafa. «M theory and topological strings. 2.» B: (1998). arXiv: hep-th/9812127 [hep-th].

[109] Vasily Pestun. «Localization of gauge theory on a four-sphere and supersymmetric Wilson loops». B: Commun. Math. Phys. 313 (2012), c. 71—129. DOI: 10.1007/ s00220-012-1485-0. arXiv: 0712.2824 [hep-th].

[110] A. Gorsky, A. Milekhin h N. Sopenko. «The Condensate from Torus Knots». B: JHEP 09 (2015), c. 102. DOI: 10. 1007/JHEP09(2015) 102. arXiv: 1506.06695 [hep-th].

[111] Marcos Marino h Niclas Wyllard. «A Note on instanton counting for N=2 gauge theories with classical gauge groups». B: JHEP 05 (2004), c. 021. DOI: 10.1088/ 1126-6708/2004/05/021. arXiv: hep-th/0404125 [hep-th].

[112] Sergei Gukov h Edward Witten. «Gauge Theory, Ramification, And The Geometric Langlands Program». B: (2006). arXiv: hep-th/0612073 [hep-th].

[113] Davide Gaiotto, Leonardo Rastelli h Shlomo S. Razamat. «Bootstrapping the superconformal index with surface defects». B: JHEP 01 (2013), c. 022. DOI: 10.1007/JHEP01(2013)022. arXiv: 1207.3577 [hep-th].

[114] A. Gorsky h gp. «Surface defects and instanton-vortex interaction». B: Nucl. Phys. B920 (2017), c. 122—156. DOI: 10.1016/j.nuclphysb.2017.04.010. arXiv: 1702.03330 [hep-th].

[115] M. Shifman h A. Yung. «Supersymmetric Solitons and How They Help Us Understand Non-Abelian Gauge Theories». B: Rev. Mod. Phys. 79 (2007), c. 1139. DOI: 10.1103/RevModPhys.79.1139. arXiv: hep-th/0703267 [hep-th].

[116] Chandrasekhar Chatterjee h Kenichi Konishi. «Monopole-vortex complex at large distances and nonAbelian duality». B: JHEP 09 (2014), c. 039. DOI: 10.1007/ JHEP09(2014)039. arXiv: 1406.5639 [hep-th].

[117] A. Milekhin. «CP(N-1) model on finite interval in the large N limit». B: Phys. Rev. D86 (2012), c. 105002. DOI: 10.1103/PhysRevD.86.105002. arXiv: 1207.0417 [hep-th].

[118] Stefano Bolognesi, Kenichi Konishi h Keisuke Ohashi. «Large-NCn 1 sigma model on a finite interval». B: JHEP 10 (2016), c. 073. DOI: 10.1007/JHEP10(2016)073. arXiv: 1604.05630 [hep-th].

[119] Sergey Monin, Mikhail Shifman h Alexei Yung. «Non-Abelian String of a Finite Length». B: Phys. Rev. D92.2 (2015), c. 025011. DOI: 10. 1103/PhysRevD. 92. 025011. arXiv: 1505.07797 [hep-th].

[120] P. Fulde h R. A. Ferrell. «Superconductivity in a Strong Spin-Exchange Field». B: Physical Review 135 (aer. 1964), c. 550-563. DOI: 10.1103/PhysRev.135.A550.

[121] A. I. Larkin h Y. N. Ovchinnikov. «Nonuniform state of superconductors». B: Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47 (1964). [Sov. Phys. JETP20,762(1965)], c. 1136-1146.