Интегрируемые структуры в теории струн и суперсимметричных теориях поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Гуков, Сергей Геннадиевич

• Гуков, Сергей Геннадиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гуков, Сергей Геннадиевич

Оглавление

1 Введение

2 4(1 калибровочные теории и XXX спиновые цепочки

2.1 Простой пример: теория Янга-Миллса

2.2 51(2) спиновые цепочки и их вырождения

2.3 Произведение калибровочных групп

2.4 Ультрафиолетово-конечные теории

2.5 Возврат к чистой калибровочной теории

3 Пятимерные теории и XX ^ спиновые цепочки

3.1 Спектральные кривые из струнных моделей

3.2 Твистованые XXZ спиновые цепочки

3.3 Вырождение в релятивистскую цепочку Тоды

3.4 ¿>£(р) спиновая цепочка

4 ХУ2 спиновые цепочки и теории в шести измерениях

5 Калибровочные теории и решение Зайберга-Виттена

5.1 Пертурбативный препотенциал

5.2 Точные ^-функции

6 Эллиптические модели

6.1 Суперсимметричные вакуумы

6.2 Вырождение в цепочку Тоды и два представления оператора Лакса

6.3 Новые теории - новые решения

6.4 " Теории поля" не имеющие Лагранжевой формулировки

7 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые структуры в теории струн и суперсимметричных теориях поля»

1 Введение

Теория струн появилась в конце 60-х годов как попытка объяснения сильного взаимодействия кварков в нуклоне [1]. Пока не увенчавшись успехом в своей первоначальной цели, эта идея привела к созданию самостоятельной области теоретической и математической физики. Сейчас теория струн имеет приложения от черных дыр в общей теории относительности до Великого Объединения [2]. Действительно, все ранние попытки объединения взаимодействий в одну теорию нашли наилучшую реализацию в теории струн. Естественным образом включая в себя гравитацию, она является согласованной квантовой теорией. С другой стороны, при низких энергиях динамика струн сводится к действию Янга-Миллса, которое является необходимой составляющей при построении реалистичных моделей взаимодействия.

Многочисленные факты в Стандартной Модели указывают на то, что при высоких энергиях теория элементарных частиц обладает суперсимметрией. Следовательно, если реальные взаимодействия передаются струнами, то они также должны быть суперсимметричными. В отличии от обилия суперсимметричных теорий поля, известно только пять "различных" теорий суперструн, согласованное квантование которых возможно лишь в критической размерности 10. Мы будем обсуждать только теории струн с двумя 16-компонентными суперзарядами одинаковой (в теории ИВ) или разной (в теории ПА) киральности. Как мы теперь видим, задача построения реалистичных моделей состоит из двух частей: (а) получить четырехмерную теорию из 10 измерений и (б) нарушить суперсимметрию. Оба пункта решаются с помощью механизма компактификации дополнительных б измерений, предложенного Калуцей и Кляйном еще задолго до изобретения суперсимметрии. Существует множество компактификаций, которые дают сколь угодно близкое описание четырехмерного мира. Но, так как большинство интересующих нас вопросов (как, например, невылетание кварков) относится к режиму сильной связи, мы сталкиваемся с другой проблемой: чем больше нарушена суперсимметрия, тем меньше ограничений на динамику теории. По этой причине долгое время была известна только непертурбативная динамика (которая, к сожалению, тривиальна) калибровочных теорий с 16 суперзарядами.

Ситуация существенно изменилась около пяти лет назад, во время так называемой Второй Струнной Революции, когда было сделано много важных открытий в теории суперструн. Ключевую роль играют дуальности (для введения см. [3]). Например, пять "различных" теорий суперструн, о которых шла речь в предыдущем параграфе, на самом деле описывают просто разные точки на пространстве моду-

лей некоторой общей (М-)теории, так что из одной точки можно попасть в другую непрерывно меняя параметры. Более того, в некоторых случаях начальная и конечная теории физически эквивалентны, т.е. дуальны. Предполагая существование дуальности на основании косвенных аргументов, часто удается ответить на вопросы вне теории возмущений с помощью эквивалентного описания в более "удобной" области пространства модулей. Аналогией из статистической физики может служить дуальность Крамерса-Ванье, согласно которой теория на дуальной решетке определена при обратной температуре Т О ^ [4]. Предположив существование лишь одной особой точки, можно угадать точку фазового перехода Т = 1, где теория самодуальна.

Именно дуальность сильной-слабой связи в N = 2 калибровочных теориях легла в основу знаменитой работы Э.Виттена и Н.Зайберга [5]. В теориях с 8 действительными суперзарядами суперсимметрия еще не столь велика, чтобы динамика была полностью тривиальной, но, с другой стороны, достаточна для точного описания вакуума в теории. Например, калибровочные константы связи перенормируются только в одной петле. С помощью этого факта, а так же дуальности и симметрии теории, Виттену и Зайбергу удалось точно описать пространство модулей (и ВР5 состояний) в кулоновской фазе теории, где калибровочная группа спонтанно нарушена до максимальной абелевой подгруппы. Если ранг калибровочной группы равен г, то скалярные суперпартнеры фотонов параметризуют Кэлерово пространство модулей М. комплексной размерности г — 1. Основной результат [5, 6] состоит в том, что Л4 совпадает с пространством модулей алгебраических кривых рода (г — 1) — спектральных кривых некоторой классической интегрируемой системы, как было найдено позднее в работах [7, 8]. Далее исследования развивались в двух направлениях:

• поиск интегрируемых структур в теориях с 8 суперзарядами [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], обобщая результат Зайберга-Виттена;

• использование интегрируемости для вычисления непертурбативных эффектов в калибровочных теориях, см. например [16, 17, 18, 19].

Основная часть диссертации посвящена первому направлению, точнее систематическому подходу к поиску интегрируемых структур с помощью теории струн. В 1996 году в работах [20] и [21] были предложены два разных подхода к построению (и решению) АГ = 2 Ы калибровочных теории из теории суперструн типа ПА. Оба метода позволяют достаточно легко получить уравнение спектральной кривой: в первом случае - с помощью одиннадцатимерной М-теории, во втором -

с помощью локальной зеркальной симметрии многообразий Калаби-Яу 1. До некоторой степени, эти два метода были обобщены на пятимерные теории в статьях [22, 23, 24, 25]. Руководствуясь принципом, что все вакуумы в теории струн (следовательно, и в теории поля) с 8 суперзарядами имеют интегрируемую структуру, мы покажем эквивалентность подходов с помощью интегрируемых систем, В-бран в теории типа И и локальной (сингулярной) геометрии Калаби-Яу. Удобно представить общую картину в виде таблицы:

Интегрируемая Теория Поля Конфигурация Сингулярность

Система с 8 суперзарядами В-бран в Калаби-Яу

Цепочка Тоды Би(ЛГС) теория Рис. 2 (а). А\'с-1 в

с периодом АГС Янга-Миллса ПА теории

XXX ЯЦр) Ш=1 зи{кнс) Рис.4 Рис.5(6)

спиновая цепочка Ы теория в ПА теории

XX2 БЦр) п рк1\Би(кНс) Рис.6 Рис.5(6)

спиновая цепочка ос1 теория в М-теории

хуг бь(р) 6(1 калибровочная Рис.8 ?

спиновая цепочка теория

Системы Теории с тензорной Рис.10, 11 , 12 —

Хитчина материей

Основное утверждение состоит в том, что вышеперечисленные объекты (в одной строке таблицы) имеют одинаковое пространство модулей, которое совпадает с пространством модулей алгебраических кривых определенного рода. Поскольку не для всех интегрируемых систем удается описать одной фразой класс соответствующих объектов во 2-ом, 3-ем и 4-ом столбце таблицы, то зачастую мы приводим лишь типичные примеры, в то время как детали соответствия содержатся в основной части текста. В 3-ем столбце указаны ссылки на соответствующие рисунки.

Казалось бы, можно только удивляться тому, как низкоэнергетическое действие теории поля с бесконечным числом степеней свободы оказывается зависящим от конечного числа степеней свободы, и более того интегрируемым. На самом деле,

1 Обычная версия зеркальной симметрии предполагает, что компактные многообразия Калаби-Яу имеют партнеров с "зеркальными" числами Ходжа, так что комплексная структура исходного многообразия отображается в Кэлерову структуру партнера, и наоборот. В комплексной размерности 1 и 2 все многообразия Калаби-Яу (торы и КЗ) самозеркальны.

не следует забывать, что мы имеем дело с вакуумом, где нет никаких возбуждений. После этого конечность степеней свободы не выглядит столь удивительной 2. Только в последней главе мы приблизимся к "объяснению" интегрируемости в эллиптических N = 2 моделях с помощью теории струн, тогда как для исходных (рациональных) моделей Зайберга-Виттена интегрируемость действительно остается загадкой. Интегрируемость некоторой системы означает наличие большой группы симметрий. С другой стороны, теория струн обычно позволят "увидеть" только геометрические объекты, в данном случае — спектральную кривую. Важным шагом в "алгебраическом" направлении является следующее наблюдение [26]: каждой теории поля и струнной модели во второй строчке таблицы на стр.4 можно однозначно сопоставить колчан К. Более того, эквивалентные физичские модели, которые имеют одинаковую интегрируемую структуру, имеют одинаковый колчан. К сожалению, это лишь малая часть полной группы симметрии. Первый подраздел в следующей главе не случайно написан в этом духе, и рекомендуется как естественное продолжение введения.

Содержание диссертации повторяет структуру приведенной выше таблицы. Как правило, каждая глава посвящена определенному типу интегрируемых систем, их вырождениям и соответствующим моделям в теории поля и в теории струн.

Глава 2 посвящена наиболее хорошо изученному случаю калибровочных теорий в четырех измерениях. Ключевое наблюдение о соответствии XXX спиновых цепочек и Л/" = 2 конформных теорий с произведением калибровочных групп было сделано в статье [13]. Без струнных моделей [20] и [27] было бы достаточно сложно найти точное решение таких теорий для сколь угодно большой калибровочной группы. С другой стороны, представляя Л/* = 2 теории с помощью Б4-бран в теории типа ПА, квантовое пространство модулей четырехмерной теории можно получить из классического пространства модулей пятибраны в М-теории. Эффективность Б-бранных моделей обусловлена тем, что непертурбативные эффекты в теории поля соответствуют классической динамике в ПА/М теории. Аналогичная идея лежит в основе геометрического подхода [27], где калибровочная теория получается за счет компактификации ПА теории на сингулярное некомпактное многообразие Калаби-Яу. На этот раз непертурбативные эффекты становятся пертурбативными в геометрии зеркального многообразия Калаби-Яу. В качестве независимой проверки эквивалентности этих моделей и XXX магнетиков мы убедимся, что они имеют правильные вырождения в теории с материей в фундаментальном представлении калибровочной группы. В XXX системе это связано с нетривиальном

Аналогичная картина типична для сигма-моделей.

свойством спектральной кривой.

В главе 3 обсуждаются пятимерные теории поля (с одним компактным измерением), которые можно получить "поднимая" струнные конструкции на одну размерность выше. Геометрический подход [23, 24] соответствует компактифи-кации М-теории на такие же многообразия Калаби-Яу, которые обсуждались в главе 2. Поскольку геометрия в М-теории всегда классическая 3, мы ожидаем, что в пределе декомпактификации пятого измерения, препотенциал определяется классическим индексом пересечений. Это действительно так [24]. Пятимерные теории с 8 суперзарядами могут быть получены в пределе низких энергий из сетки (р, ^)-пятибран в теории типа ПВ [25]. В отличии от четырехмерного случая, геометрический подход оказывается более наглядным и прямым для получения спектральных кривых пятимерных теорий с произведением калибровочных групп [14, 28]. Эти спектральные кривые совпадают со спектральными кривыми XXZ спиновых цепочек [14].

Следуя логике в 4с? и 5(1 случаях, в главе 4 мы обсудим естественное предположение о том, что интегрируемая структура шестимерных калибровочных теорий описывается ХУ^ спиновыми цепочками [14]. Отсутствие геометрического подхода существенно ограничивает проверку этого предположения 4. Но, с другой стороны, это позволят по достоинству оценить 4с! и 5с1 струнные компактифика-циях. К сожалению, отсутствие вырождения в "эллиптическую систему Тоды" не позволяет полагаться на физическую интуицию.

Чтобы не усложнять изложение в главах 2, 3 и 4, мы отложили вычисление физических величин в теориях поля с 8 суперзарядами до главы 5, где обсуждаются применения найденных интегрируемых структур.

Глава 6 посвящена интегрируемым моделям типа Хитчина с эллиптической затравочной спектральной кривой Е. В этой части программа струнного "объяснения" интегрируемой структуры в теориях поля с 8 суперзарядами выполнена, пожалуй, наиболее полным образом. Дело в том, что интегрируемая структура строго следует из условия суперсимметрии струнных компактификаций на (дуальный) тор Е [33]. Эффективность предложенного метода будет продемонстрирована на примере новых калибровочных теорий, характерной чертой которых является наличие материи в тензорном представлении. Несмотря на то, что неко-

3Инстантонные поправки отсутствуют, так как в М-теории нет струн. При компактификации на окружность, в пределе теории ПА, мембраны на й1 становятся легкими струнами. Поэтому, при конечном радиусе Б1 инстантонные поправки, вообще говоря, не равны нулю.

4Б-бранные модели, предложенные в статьях [29, 30], позволяют проверить лишь совпадение дискретных параметров: аномалий и размерности пространства модулей.

торые теории не имеют даже микроскопического Лагранжиана, мы покажем как пространство модулей низкоэнергетической теории может быть получено с помощью теории струн [34].

В заключении (глава 7) мы подведем итоги и перечислим нерешенные задачи. Благодарности

Хотя многие эффекты в теории поля кажутся довольно абстрактными, часто их можно увидеть на эксперименте в физике твердого тела: спонтанное нарушение симметрии в фазовых переходах второго рода, дуальность в квантовом эффекте Холла, и т.д. Я благодарен своим первым учителям Е.А. Дорофееву, B.C. Доцен-ко, В.В. Лебедеву, П. Калугину, А.Ю. Китаеву, Н.Б. Копнину, В.Е. Кравцову, Е.А. Кузнецову, В.Г. Марихину, В.П. Минееву, А.Я. Паршину, М.В. Фейгельма-ну, Д. Цуи и Л.Н. Щуру, которые воспитали во мне дух школы Льва Давыдовича Ландау.

Я многому обязан И.В. Полюбину и А.Ю. Морозову, которые помогли мне сделать первые шаги в теории струн и позволили увидеть всю красоту точнорешае-мых систем.

Мне также приятно поблагодарить Э. Ахмедова, A.A. Белавина, А. Забродина, К. Зарембо, И.Р. Клебанова, И.М. Кричевера, М. Лашкевича, А. Левина, А. Лосева, А. Маршакова, А. Михайлова, Н. Некрасова, М.А. Олынанецкого, A.M. Полякова, Я. Пугая, А. Рослого, В. Рубцова, К. Селиванова, С. Харчева, С. Хорошкина, А. Червова, Л. Чехова и многих других за поддержку и интересные научные дискуссии. Я узнал много новых и интересных вещей на семинарах ИТФ, ИТЭФ и ИФП.

Несколько лет назад, когда струнные методы были еще не столь хорошо развиты, часто приходилось "угадывать" интегрируемую структуру, что требует хорошей физической интуиции. Ее мне помогли развить многочисленные беседы с А.Горским, А.Капустиным и А.Мироновым, совместно с которыми были получены многие результаты.

Я благодарен Е.С.Сусловой и А.Крапивину за помошь и техническую поддержку при подготовке текста.

Рис. 1: Интегрируемая структура эффективной теории поля может быть найдена при помощи связи с теорией струн.

2 4с1 калибровочные теории и XXX спиновые цепочки

Наиболее хорошо изученными примерами, где известна интегрируемая структура, являются N = 2 калибровочные теории в четырех измерениях. В данной главе будет показано, что низкоэнергетическая динамика теорий с достаточно общей калибровочной группой и материей в (би)фундаментальном представлении имеет интегрируемую структуру XXX спиновой цепочки 5. Этот результат обобщает решение Зайберга-Виттена [5, 6] на теории, Кулоновская ветвь которых имеет большую размерность, симметрию и структуру сингулярностей. В таких случаях практически невозможно получить метрику на пространстве модулей (спектральную кривую) из теоретико-полевых аргументов [5], и теория струн приходит на помощь. Ключевая идея состоит в представлении N = 2 теории поля в Кулонов-ской фазе как низкоэнергетической теории некоторой конфигурации в теории ПА так, чтобы непертурбативный режим в теории поля соответствовал классическому режиму в теории струн. Ниже обсуждаются две таких реализации: с помощью Б-бран [20] и компактификации на (сингулярное) многообразие Калаби-Яу. В следующем подразделе мы покажем что эти две реализации эквивалентны (дуальны) и приводят к одинаковой интегрируемой структуре.

5 Мы рассмотрим калибровочные группы, состоящие из произведения произвольного числа унитарных факторов. Обобщение на 50 и 5р группы очевидно. Мы подразумеваем, что состав полей материи приводит к асимптотически-свободной теории.

2.1 Простой пример: теория Янга-Миллса

Для простоты изложения, рассмотрим первую строчку таблицы на стр.4. Основное утверждение удобно сформулировать в следующем виде: для заданного Nc (диаграммы Дынкина К для группы SU(NC)),

• J\f = 2 SU(NC) теория Янга-Миллса,

• конфигурация D-бран на Рис.2 (а) и

• компактификация теории ПА на многообразие Калаби-Яу вблизи сингулярности типа -Адгс_ 1

• при низких энергиях описывают эквивалентные эффективные теории и имеют спектральную кривую Дгс-периодической цепочки Тоды.

Разобьем доказательство на несколько этапов, каждый из которых представлен стрелкой на Рис.1. Мы специально не показали прямую стрелку от теории поля к интегрируемой структуре, которая соответствовала бы решению Зайберга-Виттена. Несмотря на то, что анализ симметрий и сигулярностей квантового пространства модулей, аналогичный [5], еще допускает обобщение на SU(NC) калибровочную группу, теоретико-полевой подход становится практически не осуществим, когда калибровочная группа содержит более одного простого фактора. Так как именно такие теории будут интересовать нас в дальнейшем, то мы поясним только струнные методы, которые столь же хорошо применимы для произвольных калибровочных теорий.

Теория Поля —> D-браны: Дирихле-браны (или просто D-браны, как мы будем называть их далее) представляют собой подмногообразия в десятимерном пространстве-времени, на которых могут заканчиваться открытые струны. Следовательно, в конформной теории на мировой поверхности струны они соответствуют замене граничных условий Неймана граничными условиями Дирихле. Такое простое описание позволило довольно подробно изучить взаимодействие D-бран с другими струнными состояниями в первых порядках теории возмущений [2]. Мы будем изучать только BPS D-браны, которые сохраняют половину суперсимметрии. Такие D-браны заряжены относительно (р + 1)-форм Рамон-Рамоновского сектора [36], где пространственная размерность р-браны может принимать лишь четные (нечетные) значения в теории ПА (IIB). Соответствующие решения супергравитации также были подробно изучены ранее (краткий обзор содержится в

И)-

X

4,5

В4

а

а

■ X

М5

N85

(а) (б)

Рис. 2: (а) Конфигурация В-бран в теории ПА, соответствующая 5[/(А7с) теории Янга-Миллса. Вертикальные и горизонтальные линии обозначают К85-браны и В4-браны, соответственно. Та же конфигурация в М-теории (б) представляется одной М5-браной с нетривиальной геометрией.

С помощью пертурбативных методов в теории струн легко показать, что самые легкие возбуждения Вр-браны образуют безмассовый векторный мультиплет, так что вакуумные средние скалярных полей описывают положение В-браны в поперечном пространстве. Поэтому, низкоэнергетическая теория одной Вр-браны является 11( 1) калибровочной теорией в (р + 1) измерениях. Действие такой теории (пока явный вид (6.1) нам будет не важен) инвариантно относительно действия 16 действительных суперзарядов, не нарушенных Вр-браной. Соответственно, общая конфигурация Ис параллельных Вр-бран приводит к II(1)Яс калибровочной теории. Такое рассуждение не применимо в особой ситуации, когда положение некоторых бран совпадает. Тогда длина открытой струны, начинающейся на одной Вр-бране и заканчивающейся на другой, становится равной нулю, так что некоторые ее возбуждения могут стать безмассовыми. Эти состояния заряжены относительно [/(1) Чан-Патоновских факторов совпадающих бран и удобно записываются при помощи А^хТУс матрицы. Таким образом, калибровочная симметрия низкоэнергетической теории Мс совпадающих Вр-бран увеличивается до группы Е/(ЛУ.

Поскольку мы хотим построить калибровочную теорию с 8 суперзарядами, надо нарушить еще половину суперсимметрии, для чего необходимо привлечь еще один тип бран. Одна из возможностей была предложена Виттеном [20] и показана на Рис.2(а). Для того, чтобы нарушить именно 1/4 суперсимметрии, браны должны

быть ориентированы следующим образом:

0 1 2 3

£>4 + + + +

+ + + +

4 5 6 7 8 9 - - +--- (2.1)

Здесь знак "+" обозначает продольное направление браны. Важное свойство Б4-бран состоит в том, что они могут оканчиваться на солитонных пятибранах 6. Так как В4-браны имеют конечный размер в направлении ж6, то при низких энергиях (в длинноволновом пределе) теория четырехмерна. Таким образом, мы построили конфигурацию Б-бран в теории ПА, которая при низких энергиях воспроизводит А''* = 2 суперсимметричную теорию Янга-Миллса. Так как в низкоэнергетическом пределе 17(1) фактор отщепляется [20], то калибровочная группа равна 311(МС).

Давайте восстановим полное соответствие параметров. Когда В4-браны находятся в разных точках вдоль А = ж4 + гж5, калибровочная группа нарушена до максимальной абелевой подгруппы, 11(1)Мс~1. Поэтому, положения В4-бран Аг играют роль Кулоновских модулей. Расстояние между пятибранами соответствует калибровочной константе связи в теории поля [20], так что пертурбативный режим описывается далеко отстоящими КЭб-бранами, как показано на Рис.2(а).

Спектральная кривая из конфигурации В-бран получается поднятием Рис.2(а) в М-теорию [20]. Если мы обозначим ж10 координату на окружности, на которую компактифицирована М-теория, то и Б4, и ХЗо-браны в теории ПА поднимаются в М5-браны в М-теории:

4 5 6 7 8 9 10 -- + ---+ (2.2)

0 1 2 3

МБ + + + +

мъ + + + +

На Рис.2(б) мы показали этот процесс заменяя В4-браны тонкими трубками с радиусом Д10. Добавляя две точки на бесконечности, мы получаем компактную Риманову поверхность С вложенную в Ц3 х Б1 = {ж4, ж5, ж6, ж10}. Ее род д = Ыс — 1 следует непосредственно из Рис.2(б).

Для того, чтобы получить явное выражение для кривой С, выберем комплексные координаты:

А = ж4 + ¿ж5, и> = ехр(—--). (2.3)

лю

6Это легко показать, исходя из аналогичного свойства БЗ-бран в ПВ теории: конец БЗ-браны в объеме Б5-браны индуцирует магнитный поток 11(1) поля на В5-бране [44]. в-дуальность не меняет ВЗ-брану и преобразует В5 в №5-брану. Т-дуальность вдоль ж3 приводит к В4-бране оканчивающейся на К85-бране.

Так как имеются только две МЭо-браны и Мс В4-бран, то наиболее общее выражение для С выглядит как полином от го и Л степени 2 и Мс, соответственно:

А(А)т2 + В(А)ю + С (А) = 0 (2.4)

Решения (Л, и>) этого полинома задают положение М5-браны в М-теории, а так же положение бран в ПА теории, когда 7?.и1 —>■ 0. Так как конфигурация на Рис.2(а) не содержит полубесконечных В4-бран, то (2.4) не должно иметь решений с конечными Л при х6 —» ±оо. Знак "+" соответствует пределу ни ° ^ сю* и) ~ и мы видим, что полином А(А) должен быть константой. Аналогично, в пределе х6 —» —оо, ги —> 0 получаем 'ш « — С(А)/В(А), т.е. полином С (А) должен быть константой. Простые масштабные преобразования, после которых переменные Л и ии в (2.4) совпадают с координатами на Рис.2(а), приводят к уравнению для кривой С:

и>2 + ВНс{ А)ад + Л2^Ь = 0, (2.5)

которое совпадает с уравнением спектральной кривой цепочки Тоды.

Ниже мы получим (2.5) вырождением спектральной кривой для 5Х(2) спиновой цепочки. В таком подходе уравнение спектральной кривой С:

N0

■ш2 + Тг Д Шт + А%СГ) = 0 (2.6)

г=1

записывается через оператор Лакса цепочки Тоды:

(2.7)

Ъ; —

(а К%св4

у —е-9® О

Пока мы не будем вдаваться в детали интегрируемой системы, а лишь заметим, что в пертурбативном пределе, Адео —>■ 0, спектральная кривая вырождается в две сферы касающиеся друг друга в Ыс точках, которые являются нулями полинома ВМс{А). В согласии с моделью предложенной в [20], в пертурбативном пределе эти нули равны рг и описывают положение концов В4-бран на плоскости А = ж4 + ixь.

Пятибрана —> Теория Поля: Теперь мы проделаем обратный путь от конфигу-

рации В-бран на Рис.2 к N = 2 теории поля и покажем, что низкоэнергетическое действие описывается д = — 1 векторными мультиплетами с эффективными константами взаимодействия Т^, которые образуют матрицу периодов кривой С.

Мы будем пользоваться конфигурацией в М-теории, см. Рис.2(6). Эффективное действие на поверхности М5-браны описывается тензорным полем, напряженность которого И самодуальна в 5+1 измерениях (т.е. на поверхности М5-браны). Так

как интересующая нас М5-брана имеет компактные направления, то действие самодуального тензорного поля для одной пятибраны можно записать через Фурье гармоники. Мы будем следить только за нулевыми гармониками с^ е //'(С, С), так как ожидаем, что именно они войдут в низкоэнергетическое эффективное действие.

Давайте, например, посмотрим во что перейдет слагаемое

Б = [ В Л *£> + ... (2.8)

в действии М5-браны при разложении В — Л и/, -I- .... Из замкнутости В на мировом объеме Мо-браны, Н4 х С, и на С следует, что 2-форма К^ замкнута в четырехмерном пространстве-времени И1 • Редукция действия (2.8) приводит к М действию:

+ = + (2.9)

■>1з ■'К 'Ш.

где т^ € Нх(С), а Тц обозначает матрицу периодов на кривой С. Как и предполагали, получаем действие для (А^с — 1) векторных мультиплетов: 2-форма Fi играет роль напряженности С/(1)г калибровочного поля. Аналогичная редукция других членов в действии поля В должна привести к полному эффективному действию БII(7УС) суперсимметричной теории Янга-Миллса. Насколько известно автору, такой анализ не был проделан в полной форме.

Конфигурации Б-бран и сингулярности в Калаби-Яу связаны преобразовани-

ем Т-дуальности [71]. Мы кратко напомним основные аргументы [71]. Рассмотрим компактификацию ПВ теории на двумерное сингулярное многообразие Калаби-Яу. Так как вся физика определяется окрестностью сингулярности, то достаточно рассмотреть некомпактное АЫ? (асимптотически локально плоское) многообразие комплексной размерности 2. Представим его как эллиптическое расслоение над Р1. Если и) - локальная координата на Р1, а {х, у} - аффинная карта слоя, то вблизи изолированной сингулярности

ху~ (ю- и>о) = е2™т (2.10)

слой вырождается, и при обходе вокруг точки ги0 модулярный параметр испытывает монодромию т —> г + 1. При преобразовании Т-дуальности т отображается в антисимметричное поле В из сектора Невье-Шварца [71]. При обходе сингулярной точки го, поле В имеет монодромию В —> В + 27г. Мы хотим показать, что после преобразования дуальности, в теории ПА, сингулярность переходит в единичный заряд относительно поля Н = йВ. Для этого проинтегрируем напряженность Н

по 3-циклу, состоящему из слоя Т2 и образа окружности S1 вокруг точки wo'-

Li H=i !®=М|Я1=1 (2.11)

27г Jt2 xS1 JT'-xS1 2тг 2тг 1 х

Таким образом, сингулярность в IIB/IIA теории, где слой вырождается, Т-дуальна заряду относительно поля Н, т.е. NSS-бране в теории IIA/IIB. Аргументы легко обобщаются на случай более чем одной сингулярной точки. Именно, п совпадающих NS-5-бран Т-дуальны ALF многообразию:

ху = РпН (2.12)

Параметры полинома Pn(w) степени п представляют комплексные деформации сингулярностью типа

Дважды выполняя преобразования Т-дуальности, легко показать, что конфигурация D-бран на Рис.2 дуальна компактификации ПА теории на некомпактное многообразие Калаби-Яу комплексной размерности 3:

ху = w2 + PNc(X)w + 1 (2.13)

которое является расслоением А^с-\ сингулярного ALF над JP1 7. В свою очередь, 1Р1 получилось разрешением А\ сингулярности, Т-дуальной NSö-бранам. При уменьшении расстояния между пятибранами (в непертурбативном режиме J\f = 2 теории), база стягивается в А\ сингулярность.

Сингулярность в Калаби-Яу —> Теория Поля: Выше, преобразованием Т-ду-альности, мы связали конфигурацию D-бран с сингулярностью в трехмерном многообразии Калаби-Яу X: Y —> X —> JP1. Так как мы уже пояснили как получать теорию поля из бран, то, в принципе, следуя по стрелкам на Рис.1, мы уже имеем рецепт, как из ^4jvc-i сингулярности получить эффективное действие N" = 2 теории Янга-Миллса. Существует более короткий и простой путь.

Как уже было замечено ранее, пертурбативный режим N = 2 теории соответствует большому объему базы расслоения: VoliJP1) ~ 1 /д2. Разрешение Амс-\ сингулярности в слое приводит к вклеиванию Nc — 1 рациональных кривых С*, см. Рис.3. Теория струн типа НА содержит В2-браны, которые, наматываясь на кривые Ci, приводят к iVc — 1 точечным частицам. В сингулярном пределе, когда кривые Ci стягиваются, эти частицы становятся безмассовыми. Согласно [21], это — U(1) фотоны эффективной N = 2 теории. Заметим, что такая интерпретация согласуется с математическим выводом [23] калибровочной группы

7 А обозначает координату в слое. Как мы увидим в далее, такой выбор обозначений не случаен.

Рис. 3: Разрешение сингулярности.

С = Н2{\\ К)/Я2(У, Ж), который мы сейчас кратко повторим в интересующем нас случае.

Обозначим с, форму объема кривой С*. Тогда, при компактификации теории ПА на Калаби-Яу X, 4-форма относительно которой заряжены Б2-браны, имеет нулевые моды А^ = А с,.. Как и раньше, замкнутая 2-форма ¿^ будет играть роль напряженности U{l)i калибровочного поля в четырехмерном пространстве-времени. При этом, кинетический член для А^ в действии ПА супергравитации приобретает вид:

5= [ ъл*ъ [ + = + (2.14)

■>¥ •'Ж •'К

где эффективные константы связи Т^ равны индексу (само)пересечения С* и С^. Эти рассуждения верны только когда объем базы УоК^Р1) ~ 1 / д2 велик. В противном случае имеются инстантонные поправки, которые можно найти с помощью локального преобразования зеркальной симметрии [21, 27].

Сингулярность в Калаби-Яу —Спектральная Кривая: Для того чтобы пояснить последнюю связь на Рис.1, мы используем торическую структуру многообразия X:

X = (€Яс+2 - Л/ССТ^1.

где Т С С^4"2 обозначает множество неподвижных точек относительно действия (С*)^-1. Далее мы будем встречаться только с торическими многообразиями X, которые можно представить в виде голоморфного частного. На языке АГ = (2,2) линейной сигма-модели [72], каждое действие (С* определяется вектором 11(1) зарядов:

сг = (#,..., &е+2), (2.15)

которые удовлетворяют линейным соотношениям:

= 0 (2.16)

Здесь uj € N = Z3 обозначают вектора трехмерной решетки.

Во всех наших примерах мы будем изучать только те многообразия Калаби-Яу, которые содержат разрешаемые сингулярности Горенштейна. Такие сингулярности обладают одним важным свойством: все вершины векторов uj лежат в одной плоскости Н, (//j, h) = 1, на решетке N. Без потери общности, предположим, что h = (1,0,0) и Pj — (1, mj, nj). Более того, для того, чтобы Кэлеров конус а был гладкий в начале координат, он должен иметь единичный объем: Vol [сг] = 1. При этих условиях, вершины векторов uj образуют торический многогранник А = {//j} на решетке N (примеры А изображены на Рис.5). Все гладкие многообразия имеют выпуклый торический многогранник А. Как мы увидим далее, для более сложных калибровочных групп условие выпуклости А совпадает с условием положительности /i-функции. Поскольку мы рассматриваем только асимптотически свободные калибровочные теории, то соответствующие торические многообразия X автоматически будут удовлетворять критерию гладкости.

Для компактных X, зеркальное многообразие определяется как торическое многообразие на дуальной решетке М [39], где дуальный Кэлеров конус о С М образован такими векторами /л € а, что для любого и € а выполняется условие Yya Hava > 0. Зеркальное многообразие также оказывается многообразием Калаби-Яу, заданным уравнениями П./ у'/ — 1- Для некомпактных торических X, локальная версия зеркальной симметрии приводит не к трехмерному комплексному многообразию, а к алгебраической кривой [27]:

(2.17)

которая и есть искомая спектральная кривая.

Для чистой SU(Nc) теории Янга-Миллса, Ах состоит из Nc + 1 целых точек на прямой mj = 0 (Anc_i слой) и двух точек и = (1,±1,0) (рациональная база). Локальная зеркальная симметрия приводит к уравнению спектральной кривой:

(2.18)

которое уже фигурировало ранее при комплексных деформациях X. Конечно, это не случайно, так как при зеркальной симметрии Кэлеровы деформации X отображаются в комплексные деформации зеркального многообразия, и наоборот. Из обсуждения выше следует, что именно Кэлеровы модули щ рациональных кривых Ci являются скалярными компонентами U(l) векторных мультиплетов, т.е. Куло-новскими модулями. Следовательно, пространство модулей эффективной N = 2 теории (— пространство Кэлеровых деформаций X) совпадает с пространством

С: bj\mjwnj — 0 j

w2 + PNC(X)W + 1 = 0

модулей комплексных деформаций зеркального многообразия (= пространство модулей Римановых поверхностей С).

Теперь, описав связь струнных и полевых моделей и мотивировав их интегрируемость в простейшем случае теории Янга-Миллса, мы перейдем к подробному обсуждению интегрируемых структур в более сложных случаях.

2.2 2) спиновые цепочки и их вырождения

Неоднородный БЬ(2) XXX магнетик Гейзенберга представляет собой цепочку из п взаимодействующих спинов, находящихся в узлах одномерной решетки. Динамика спина на г-ом узле определяется 2x2 матрицей Лакса:

з

1,(Л) = (А + Аг)-1 + ^5;,г--а"' (2.19)

а=1

где мы ввели стандартное обозначение оа для матриц Паули, и Аг - для неод-нородностей цепочки. Линейная задача для спиновой цепочки имеет следующий вид:

£г(А)ФДА) = Фш(А) (2.20)

Ф,;(А) обозначает двухкомпонентную функцию Бейкера-Ахиезера. Мы будем рассматривать периодическую спиновую цепочку, где функция Бейкера-Ахиезера удовлетворяет граничным условиям

Ф<+П(А) = -юЩХ) (2.21)

с диагональной матрицей из играющей роль свободного параметра. Введем определение трансфер-матрицы сдвигающей г-ый узел в (г + п)-ый:

Т(Х) = Ьп(Х)...Ь1(Х) (2.22)

Трансфер-матрица позволяет записать уравнение спектральной кривой в компактном виде:

¿ег(Т(Х) + ю • 1) = 0 (2.23)

и порождает полный набор интегралов движения.

ТДттгпат^ГЧТТГЧЧГ/^Л/ГГЧПППТ^ Т О Т/ГЛТТ Г>ТПТТУГ\Т>Г\ТХ ТТЛТТГЧТТТУ'ТТ Г* ТТ/21 ТТХГ/^ГП тто Т/ТЭР ттткотчтттит^ ПГ\Г\ГТУ_

ЛХПАЪ! ин и V ^/Ш^/О 1 О 1 (ХЛиП ЦинипЛп С I Ъ()1ЪД V ЪД. ЯО Лойд кУС1 X Х± Т-ЙША ^иих

ношений

{ЬДА) ® А')} = <% [г(А - А'), ¿<(А) (8) ^(Л')] (2.24)

с рациональной г-матрицей

1 3

г (А) = т £ а" ® а'1 (2.25)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Гуков, Сергей Геннадиевич

7 Заключение

В настоящей диссертации мы показали, как теория струн помогает найти интегрируемую структуру (решение Зайберга-Виттена) эффективных калибровочных теорий с 8 суперзарядами. В качестве основных примеров рациональных моделей, мы рассмотрели Щ=1 311(кп) суперконформные калибровочные теории в пространстве-времени Ц4 х Та~4, й = 4, 5, 6. Так как все остальные теории с произвольным составом полей материи в (би)-фундаментальном представлении и отличной от нуля бета-функцией могут быть получены вырождениями таких теорий, мы назвали их исходными. Реализуя исходные теории при помощи струнных моделей, в главе 2, 3 и 4 мы показали, что теории в четырех, пяти и шести измерениях имеют интегрируемую структуру XXX, ХХ2 и XYZ спиновых цепочек длины к, соответственно. Отсюда, в частности, следует, что соответствующие кривые Зайберга-Виттена даются выражениями (2.60), (3.38) и (4.14). В 4-ех и 5-и измерениях нам удалось проверить эти результаты изучая различные вырождения интегрируемых систем.

В последней главе мы исследовали струнные модели, которые приводят к эллиптическим интегрируемым системам типа Хитчина. Как правило, такие модели получаются компактиикацией на тор, который дуален затравочной спектральной кривой системы Хитчина. Мы не пытались реализовать никакую калибровочную теорию в теории струн. Наоборот, исходя лишь из соображений суперсимметрии, показано, что наиболее общий вакуум в теории струн с 8 суперзарядами обладает интегрируемой структурой системы Годена. С помощью серии дуальностей, легко показать, что некоторые примеры таких теорий эквивалентны четырехмерным эллиптическим моделям изученным в [20]. Интересным аспектом такого преобразования дуальности является наличие двух представлений оператора Лакса для цепочки Тоды. Теория струн позволяет не только лучше понять уже существующие теории, но и найти новые. Так, при помощи орбифолдов М-теории, в конце главы 6 мы построили новые N = 2 суперконформные теории в четырех измерениях и нашли их решения. Эти теории имеют затравочные спектральные кривые кривые вида Т2/йп, где п может принимать одно из значений 2, 3, 4, или 6. Причем, в последних трех случаях новые теории не имеют микроскопического Лагранжиана. Тем не менее, это не помешало нам найти кривые Зайберга-Виттена (6.44) струнными методами.

Помимо прямого применения в вычислении непертурбативных эффектов в теории поля (как, например, в главе 5) результаты могут оказаться полезными и для других аспектов моделей в таблице на стр.4, где элементы одной строки обладают одинаковым пространством модулей. Например, для рациональных моделей, которые допускают геометрическое описание с помощью компактификации на сингулярное многообразие Калаби-Яу, такое соответствие помогает классифицировать и физически описать сингулярности в трехмерных многообразиях Калаби-Яу в духе программы Мори. Связь П£=1 311 (щ) калибровочных теорий со спиновыми цепочками может быть также полезна и для интегрируемых систем. Например, нетривиальное свойство спектральной кривой XXX магнетика в конце раздела 2.4 нашло наглядную интерпретацию в терминах Б-бран и эффекта Ханани-Виттена.

В заключении мы перечислим нерешенные задачи:

1. Изложение в последней главе указывает на то, что суперсимметрия играет ключевую роль. Поэтому, наиболее сложной и привлекательной задачей является объяснение интегрируемой структуры во всем классе калибровочных теорий с 8 суперзарядами. Возможно, соответствующий класс интегрируемых систем не ограничивается одномерными моделями. С другой стороны, пример N — 2 эффективной теории без интегрируемой структуры на Кулоновской ветви (если таковой вообще существует) также был бы чрезвычайно интересен. В любом случае, полное решение задачи должно включать описание симметрии (или доказательство ее отсутствия), которая обеспечивает интегрируемость.

2. Необходимым шагом на пути к решению предыдущего вопроса является обобщение соответствия (в таблице на стр.4) на .Л/* = 4 трехмерные калибровочные теории. Известно [74, 44], что пространство модулей таких теорий на Кулоновской ветви совпадает с пространством модулей магнитных монополей, которое, в свою очередь, связано со спиновыми цепочками [13, 77]. При этом, многие абстрактные объекты соответствующей четырехмерной теории (спектральная кривая С, колчан /С, и т.д.) становятся "видны" в трехмерной тории. Предположительно, компактификация 4(1 М = 2 теории до трех измерений приводит к добавлению аффинного узла к колчану /С (диаграмме Дынкина) четырехмерной теории. В торической геометрии Калаби-Яу это означало бы добавление еще одного исключительного дивизора.

3. В разделе 2.1 мы набросали основные идеи вывода низкоэнергетического эффективного действия из действия пятибраны. Так как часть мирового объема пятибраны (именно, С) компактна, то такой вывод в принципе возможен, хотя технически может быть нелегко осуществим. Насколько известно автору, такое вычисление не было проделано в полной форме.

4. Обобщение на шестимерные модели в главе 4 во многом затруднено аномалиями в калибровочных теориях, которые сильно ограничивают круг доступных примеров. Реализация 6(1 теорий с помощью копактификации Б-теории на многообразия Калаби-Яу (как мы это делали для (1 = 4 и (1 = 5) так же требует привлечения новых моделей, гарантирующих наличие эллиптического сечения. Имеются проблемы и в ХУ 2 спиновых цепочках, которые, предположительно, описывают низкоэнергетическую динамику 6(1 теорий. Например, не ясно какое вырождение соответствует отщеплению материи и переходу к чистой теории Янга-Миллса.

5. Обобщение на произвольные калибровочные группы может привести к новым интегрируемым структурам, сингулярнастям в Калаби-Яу или свойствам В-бран. Первые шаги в этом направлении уже были сделаны в работе [70].

6. Интересно обобщить построение новых нелагранжевых теорий в последней главе на орбифолды М-теории с п > 2, когда некоторые выколотые точки находятся в фиксированных точках орбифолда. По аналогии с изложенным п — 2 случаем, это должно приводить к полюсам Ф в этих точках. Вспомним, что выколотая точка не совпадающая с фиксированной точкой и ее (п — 1) изображениями соответствует М5'-бране намотанной на базу, ]R2/7Ln. Тогда, прокол находящийся в фиксированной точке орбифолда должен соответствовать l/n-ой от обычной М5'-браны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гуков, Сергей Геннадиевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] G.Veneziano, Nuovo Cim. 57А (1968) 190

[2] J.Polchinski, "String Theory", Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998

[3] С.Гуков, УФН 168 (1998) 705

[4] JI.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, "Теоретическая Физика", Т.5, М.: Физматлит, 1995

[5] N.Seiberg and E.Witten, Nucl.Phvs. B426 (1994) 19

[6] N.Seiberg and E.Witten, Nucl.Phvs. B431 (1994) 484

[7] A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B355 (1995) 466

[8] R.Donagi and E.Witten, Nucl.Phys. B460 (1996) 299

[9] A. Hanany and Y. Oz, Nucl. Phys. B452 (1995) 283

[10] A.Gorsky, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett. B380 (1996) 75

[11] I.M.Krichever and D.H.Phong, J.Diff.Geom. 45 (1997) 349

[12] N.Nekrasov, Nucl.Phys. B531 (1998) 323

[13] A.Gorsky, S.Gukov and A.Mironov, Nucl.Phys. B517 (1998) 409

[14] A.Gorsky, S.Gukov and A.Mironov, Nucl.Phys. B518 (1998) 689

[15] A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, "More evidences for the WDVV equations in N=2 SUSY Yang-Mills theory", hep-th/9701123

[16] P.C.Argyres and A.D.Shapere, Nucl.Phys. B461 (1996) 437

[17] A. Klemm, W. Lerche and S. Theisen, Int. J. Mod. Phys. All (1996) 1929

[18] J.A. Minahan and D. Nemeschansky, hep-th/9601059.

[19] P.C. Argyres, M.R. Plesser, N. Seiberg, and E. Witten, Nucl. Phys. B461, 71-84 (1996).

[20] E.Witten, Nucl.Phys. B500 (1997) 3

[21] S. Katz, A. Klemm, C. Vafa, Nucl.Pliys. B497 (1997) 173

[22] N.Seiberg, Phys.Lett. B388 753

[23] K.Intriligator, D.R.Morrison and N.Seiberg, Nucl.Phys. B497 (1997) 56

[24] N.Seiberg and D.Morrison, Nucl.Phys. B483 (1997) 229

[25] O.Aharony, A.Hanany, Nucl.Phys. B504 (1997) 239

[26] M. Douglas and G. Moore, "D-Bran es, Quivers, and ALE Instant, oris," hep-th/9603167.

[27] S.Katz, P.Mayr and C.Vafa, Adv.Theor.Math.Phys. 1 (1998) 53

[28] O.Aharony, A.Hanany and B.Kol, JHEP 9801 (1998) 002

[29] I.Brunner and A.Karch, Phys.Lett. B409 (1997) 109

[30] U.H.Daniellson, G.Ferretti, J.Kalkkinen and P.Stjernberg, Phys.Lett. B405 (1997) 265

[31] O.Ganor,N.Seiberg and D.Morrison, Nucl.Phys. B487 (1996) 93

[32] E.Witten, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 61

[33] S. Gukov, "Seiberg-Witten Solution from Matrix Theory", hep-th/9709138.

[34] S. Gukov, A. Kapustin, Nucl.Phys. B545 (1999) 238

[35] S. Gukov, I. Polyubin, Phys.Lett. B391 (1997) 115

[36] J. Polchinski, Phys.Rev.Lett. 75 (1995) 4724

[37] L.Faddeev and L.Takhtadjan, Hamiltonian Approach to the Theory of Solitons, 1986

[38] A.Klemm, W.Lerche, P.Mayr, C.Vafa and N.Warner, Nucl.Phys. B477 (1996) 746

[39] V.V.Batyrev, Duke.Math. J 69 343; J. Alg.Geom. 3 493;

V.V.Batyrev and D. non Straten, Comm.Math.Phys. 168 493

H.Batman and A.Erdelyi, Higher transcendental functions, vol.3, 1955

I.Merola, O.Ragnisco and Tu Gui-Zhang, "A novel hierarchy of integrable lattices", solv-int/9401005; A.Kundu and O.Ragnisco, J.Phys. A27 (1994) 6335

S.Kharchev, A.Mironov and A.Zhedanov, Int.J.Mod.Phys. A12 (1997) 2675

B.Dubrovin, I.Krichever and S.Novikov, "Integrable systems - I", Sovremennye problemy matematiki (VINITI), Dynamical systems - 4 (1985) 179

A. Han any and E.Witten, Nucl.Phys. B492 (1997) 152

E.K.Sklyanin, "Separation of variables. New trends", solv-int/9504001

A.Brandhuber, N.Itzhaki, J.Sonnenschain, S.Theisen and S.Yankielowicz", Phys.Lett. B415 (1997) 127

A.Gorsky, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, "A note on spectral curve for the periodic homogeneous XYZ spin chain", hepth/9604078

A.Kundu, "Generation of a quantum integrable class of discrete time or relativistic periodic Toda chains", hep-th/9403001

S.Kharchev, "Twisted systems of the XXZ type", preprint ITEP, 1996

A.Levin and A.Beilinson, "Elliptic polylogarithms", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol.55, Part 2 (1994) 126-196

V.Kuznetsov, F.Nijhoff and E.Sklyanin, Commun.Math.Phys. 189 (1997) 855

A. Gorsky, N. Nekrasov, V. Rubtsov, "Hilbert Schemes, Separated Variables, and D-Branes", hep-th/9901089

E.Sklyanin, Func.Anal & Apps. 16 (1982) 27; E.Sklyanin, Func.Anal & Apps. 17 (1983) 34

T. Banks, W. Fischler, S.H. Shenker and L. Susskind,Phys.Rev. D55 (1997) 5112 O. Ganor, S. Ramgoolam and W. Taylor, Nucl.Phys. B492 (1997) 191 T. Banks, N. Seiberg and S. Shenker, Nucl.Phys. B490 (1997) 91

[57] W. Fischler, E, Halyo, A. Rajaraman and L. Susskind, Nucl.Phys. B501 (1997) 409

[58] N. Hitchin, Duke Math.Jour. 54 (1987) 91

[59] N. Hitchin, Proc. Lond. Math. Soc. 55 (1987) 59

[60] E. Markman, Comp.Math. 93 (1994) 255

[61] N. Nekrasov, Comm.Math.Phys. 180 (1996) 587

[62] P.-M. Ho, M. Li and Y.-S. Wu, Nucl.Phys. B525 (1998) 146

[63] W. Taylor, Nucl.Phys. B508 (1997) 122

[64] T. Banks, W. Fischler, N. Seiberg and L. Susskind, Phys.Lett. B408 (1997) 111

[65] A. Gorsky and N. Nekrasov, Nucl.Phys. B 414 (1994) 213

[66] A. Gorsky and A. Marshakov, Phys.Lett. B375 (1996) 127

[67] M. Bershadsky, A. Johansen, V. Sadov and C. Vafa, Nucl. Phys. B448 (1995) 166

[68] A.Marshakov, A.Mironov, Nucl.Phys. B518 (1998) 59

[69] J. Polchinski, Phys.Rev. D55 (1997) 6423

[70] A.Gorsky, A.Mironov, "Solutions to the reflection equation and integrable systems for N=2 SQCD with classical groups", hep-th/9902030

[71] H. Ooguri, C. Vafa, Nucl.Phys. B463 (1996) 55

[72] E. Witten, Nucl.Phys. B403 (1993) 159

[73] A. Lawrence, N. Nekrasov, Nucl.Phys. B513 (1998) 239

[74] N. Seiberg and E. Witten, "Gauge Dynamics and Compactification to Three Dimensions," hep-th/9607163

[75] K. Intriligator, Nucl. Phys. B496 (1997) 177; J.D. Blum and K. Intriligator, Nucl. Phys. B506 (1997) 223

[76] A. Kapustin and S. Sethi, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 571

[77] P.M.Sutcliffe, Phys.Lett. B381 (1996) 129