Теория струн и непертурбативные эффекты в суперсимметричных калибровочных теориях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Пестун, Василий Сергеевич

• Пестун, Василий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пестун, Василий Сергеевич

1 Введение

2 Низкоэнергетическое эффективное действие на D-бранах

2.1 Связь между статистической суммой двумерной струнной сигма-модели и эффективным действием для полей в пространстве-времени

2.2 Случай N параллельных D-бран.

2.3 Вычисление статистической суммы.

2.4 Эффективное действие для полей Ф.

3 Дуальность теории струн на фоне метрики AdS^ х S5 и N = 4 суперсимметричной U(N) калибровочной теории Янга-Миллса

3.1 Коррелятор вильсоновской петли в теории струн.

3.2 Однопетлевое вычисление в SYM.

3.3 Струнная сигма-модель.

3.4 Экспоненциирование.

4 Суперсимметричная матричная модель Янга-Миллса для произвольной простой калибровочной группы

4.1 Локализация.

4.2 Вычисление локализованной статистической суммы матричной модели Янга-Миллса.

4.3 Результаты явного вычисления статистической суммы матричной модели Янга-Миллса

Граничный вклад в индекс Виттена и гипотеза о виде общей формулы для статистической суммы матричной модели Янга-Миллса в случае SO(2iV + 1), Sp(2iV + 1) и SO(2iV) калибровочных групп

5 О вакууме в эффективной низкоэнергетической суперсимметричной Л/" = 1 калибровочной теории Янга-Миллса

5.1 Доказательство соотношения наЛА = 1 эффективный препотенциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория струн и непертурбативные эффекты в суперсимметричных калибровочных теориях»

Теория струн [1-4], возникшая из амплитуды Венициано [5] как попытка описать динамику сильных взаимодействий (квантовую хромодинамику — КХД), в настоящее время является главным кандидатом на самосогласованную фундаментальную квантовую теорию, включающую в себя идеи Великого Объединения, квантовой гравитации, суперсимметрии, компактификадии дополнительных измерений, топологических теорий, обобщенных сигма-моделей, дуальности и многие другие. Теория струн как фундаментальная теория еще далека от завершения, однако за время своего развития она проявила чрезвычайно богатую структуру, и методы, которые были разработаны в процессе ее развития, могут быть с успехом применены к решению традиционных задач квантовой теории поля.

Одной из главных задач в квантовой теории поля является описание ее эффективной динамики, которая остается после частичного исключения степеней свободы. Обычно при этом подразумевается исключение высокоэнергетических степеней свободы фм, и тогда речь идет соответственно о низкоэнергетической эффективной динамике степеней свободы ф1Ш!. В формализме функционального интеграла это означает выполнение частичного интегрирования в статистической сумме теории по степеням свободы фы и приводит к понятию эффективного действия [6-8]. Действительно, пусть

Тогда, если известно эффективное действие Sefffyiow], то чтобы найти среднее значение от любой функции /(0;ош)), достаточно выполнить только интегрирование z = yWsw = / где саний одной и той же физической системы1. То есть существования взаимооднозначного отображения между пространством состояний и существование дуального действия, генерирующего эквивалентную динамику. Если оказывается, что режим сильной связи в исходном описании соответствует режиму слабой связи в новом описании, то такое дуальное описание становится мощным средством исследования непертурбативной динамики исходной системы. Действительно, для непертурбативного вычисления амплитуд в исходной теории достаточно сделать преобразование состояний в дуальную теорию, и провести вычисления в ней , справедливо пользуясь теорией возмущений. Классическим примером такой дуальности является дуальность Крамерса-Ванье для двумерной модели Изинга, меняющая местами высоко- и низкотемпературный режимы е-2/3 = th р.

Исторически теория струн была сформулирована в первично квантованном виде, то есть в виде правил, определяющих амплитуды рассеяния, заданные фей-нмановскими диаграммами. Отличие от традиционной теории поля заключалось в том, что фейнмановские диаграммы состояли не из одномерных линий, а из двумерных поверхностей. Формулировка теории была в сущности пертурбативной, поскольку не постулировалось никакое пространственно-временное действие, теория возмущений для которого генерировала бы ряд струнных амплитуд. Из требования сокращения квантовых аномалий [17] были выведены ограничения на размерность пространства-времени и вид дополнительных структур на струнных поверхностях. В 80-е годы было показано существование пяти пертурбативно разных типов суперструн в критической размерности пространства-времени 10 — Type I, НА, ИВ, Het SO(32) и Het х Eg [2,4]. Однако, после открытия D-бран был замечен ряд так называемых струнных дуальностей. Предположительно, что разные типы теорий струн являются просто разными рядами теории возмущений в дуальных описаниях одной, окончательно еще не сформулированной "М-теории" [18-20].

Существенную роль в формулировке струнных дуальностей [10-13] сыграли Dp-браны (солитоноподобные непертурбативные объекты в секторе замкнутых струн, имеющие р протяженных пространственных направлений) [4,21]. С точки зрения открытых струн D-браны выглядят как некоторые р + 1-мерные подмногообразия в пространстве-времени, фиксирующие граничные условия для мировой поверхности струны. Чтобы найти низкоэнергетическое описание динамики D-бран можно проинтегрировать по массивным струнным модам и получить эффективное действие для полей безмассового сектора [18,21-26]. Оказывается, что

1 Естественно, что понятие дуальности может быть обобщено на понятие п-альности, подразумевая существование п альтернативных описаний в лидирующем порядке по о! (натяжению струны), низкоэнергетическая динамика одной D-браны может быть описана U(l) калибровочной теорией со скалярными полями, характеризующим флуктуации D-браны в трансверсальных направлениях. В случае же нескольких совпадающих D-бран калибровочная симметрия расширяется до группы U(IV). Если размерность браны максимальна, то низкоэнергетическим эффективным действием является N = 1 суперсимметричное действие Янга-Миллса. Действие на бранах меньшей размерности можно получить с помощью размерной редукции, сводящейся к замене ковариантной производной на скалярное поле в присоединенном представлении. Таким образом, бозонный сектор эффективной теории N БЗ-бран содержит 6 скалярных полей, а полное действие является J\f = 4 суперсимметричным действием Янга-Миллса. Оказалось, что низкоэнергетическая теория N БЗ-бран может быть описана двумя разными способами, и возникающая дуальность [27-29] похожа на старые идеи [30,31] описать КХД с помощью глюонных струн.

С точки зрения полей сектора замкнутых струн, Бр-браны заряжены по отношению к R-R полям Ар.|i (р + 1-формам в окружающем объеме) [4]. В описании супергравитации D-брана является протяженной заряженной черной дырой. Из-за суперсимметрии заряд и масса D-браны связаны так, что получающееся решение для метрики вблизи D-браны соответствует решению для метрики вокруг экстремально заряженной черной дыры, в котором горизонт совпадает с физической сингулярностью. Решение для метрики в координатах г € б М4,^ € S5 выглядит следующим образом: ds2 = (1 + R4/r4)-V2dx2 + (1 + i?4/r4)^2(dr2 + r2dn25). (1.1)

Вблизи горизонта г —> 0 удобно записать асимптотику метрики, заменив коорди-я? нату г на у = ds2 = R2dx2 + dy2 +r4q2 Г

Итак, метрика вблизи D3 браны является метрикой пространства AdS$ х 55. За AdS$ обозначено симметрическое пространство постоянной отрицательной кривизны (псевдосфера/пространство Лобачевского/Анти-де-Ситтера). Абсолютное значение радиуса кривизны в обоих факторах совпадает и равно R. Заметим, что граница пространства AdS у = 0 изоморфна R4.

Примечательная AdS/С FT гипотеза [27-29] заключается в том, что существует точное соответствие/дуальность между теорией, определенной на границе пространства AdS — четырехмерной Af = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса

SYM) и теорией суперструн типа IIB в объеме AdS. При этом константа связи т'Хофта Л = NgyM соответствует натяжению струны как Т = — где R = y/c/(gyMN)г — радиус кривизны пространства AdS$ х S5, причем струнная константа связи gs = еф = Ажд'уМ. Легко видеть, что планарный предел т'Хофта [30] (N —> оо, А = const) соответствует невзаимодействующим струнам — планарным поверхностям, имеющим простейшую топологию. Идея т'Хофта [30] о том, как U(N) калибровочная теория Янга-Миллса может упроститься в пределе большого числа цветов N, заключается в следующем. Введем обозначения двойных линий для пропагаторов глюонов так, что каждая из линий соответствует одному матричному индексу калибровочного поля. Тогда фейнмановские диаграммы будут представлять из себя ориентируемые ленточные графы, а цветовой фактор для каждой диаграммы будет равен NF, где F — число замкнутых индексных петель. Сопоставим теперь каждому такому ленточному графу двумерную поверхность, на которой он может быть нарисован без самопересечений. Это задаст разбиение двумерной поверхности на F граней, которые будут склеены между собой по Е ребрам, соответствующим пропагаторам глюонов. Пусть константа связи д\м входит в действие Янга-Миллса как — — TYF2. Определим параметр т'Хофта А = NgyM. Тогда вес фейнмановской диаграммы с V вершинами, Е пропагаторами (ребрами) и F индексными петлями (гранями) равен NF V■ Воспользовавшись определением эйлеровой характеристики х = 2 — 2д = F — Е + V, где д — род двумерной поверхности, получим вес диаграммы в виде N2~29\E~V. Зависимость полной амплитуды А от N можно записать в виде разложения А — N2~2aFg, где Fg соответствует сумме всех диаграмм рода д. Теперь заметим, что разложение по родам мировых поверхностей для струнных амплитуд имеет точно такой же вид, если отождествить 1 /N со струнной константой связи gs = еф (где Ф — поле дилатона, входящее в действие для струнной сигма-модели как ASy = %Ф).

Таким образом, при больших N поверхности со сложной топологией подавлены, а главный вклад вносят только планарные диаграммы с простейшей топологией сферы. То есть, режим больших N отвечает пределу слабосвязанных струн. Конечно, для настоящей КХД пока остается загадкой, какая именно струнная модель соответствует данной картине. В случае же N = 4 суперсимметричной калибровочной теории существует предположение [27-29], что такая теория в точности дуальна теории струн типа IIB на фоне метрики AdS5 х S5. Четыре — максимально возможное число суперсимметрий для калибровочной теории поля*в четырех измерениях. Кроме калибровочного поля, рассматриваемая теория содержит четыре фермиона и шесть скалярных полей в присоединенном представлении калибровочной группы. Лагранжиан теории полностью определяется требованиями суперсимметрий. Он обладает глобальной R-симметрией SU(4), отвечающей за вращения суперзарядов между собой, а также конформной симметрией, которая в четырех измерениях является группой SO(4,2). Данные симметрии можно увидеть и в дуальной струнной картине. Действительно, сфера S5 симметрична относительно вращений группы SO(6), изоморфной SU(4). Пространство AdS5 изометрично относительно действия группы 5*0(4,2), причем это действие продолжается до действия конформными преобразованиями на границе AdS5. В свою очередь, граница AdS*> изоморфна пространству Ж4, на котором определена J\f = 4 SYM.

Как было сказано выше, метрика AdS5 х S5 является метрикой вблизи N совпадающих БЗ-бран. При этом возможны два режима описания динамики системы. Описание низкоэнергетических флуктуаций стопки из N БЗ-бран определяется Af = 4 суперсимметричной U(N) калибровочной теорией Янга-Миллса. С другой стороны, в низкоэнергетическом приближении с точки зрения гравитации/теории струн в объеме AdS существенный вклад вносит только область вблизи горизонта бран за счет эффекта инфракрасного смещения. Это позволяет предположить [27-29], что если, с одной стороны, заменить точное решение для метрики на его асимптотический предел вблизи горизонта бран, и, с другой стороны, ограничиться низкоэнергетическим приближением к описанию динамики бран, то эквивалентность сохранится. В режиме маленькой эффективной константы связи QyMN хорошо работает пертурбативная калибровочной теория. Но когда константа связи А = дум^ стремится к бесконечности, радиус кривизны пространства времени R — ^/ос'^дум^)1^ становится намного больше струнного масштаба, и тогда возможно приближение низкоэнергетической супергравитации, в то время, как пертурбативное описание на стороне калибровочной теории вообще теряет смысл.

Таким образом, получается пример дуальности между калибровочной теорией и гравитацией, что само по себе является интереснейшим эффектом. Казалось бы, что калибровочная теория и гравитация имеют совершенно разное описание, и, наивно, не могут быть отождествлены. Но дело как раз в том, что данная дуальность меняет местами режим сильной и слабой связи. Таким образом первая теория в режиме сильной связи может быть описана второй теорией в режиме слабой связи, и наоборот. Это, с одной стороны, позволяет сделать нетривиальные предсказания о непертурбативной динамике каждой из них, с другой делает сложным строгое доказательство самой дуальности. Конечно, в данной дуальности имеется важное отличие от желаемого дуального описания настоящей КХД, обусловленное прежде всего наличием Af = 4 суперсимметрии. Тем не менее, многие эффекты могут быть похожими. Следует подчеркнуть, что речь идет о точно сформулированной дуальности, а не о приближенном эмпирическом описании. Одной из задач работы является изучение данной дуальности.

Итак, дуальность, меняющая местами режимы слабой и сильной связи оказывается мощным инструментом для описания непертурбативной динамики систем. С другой стороны, в силу своего определения она не может быть доказана пертур-бативно — необходимы другие методы. Один из таких непертурбативных методов точного вычисления функционального интеграла — метод локализации интеграла на критических точках действия [32-35]. Если удается найти, например, два разных способа локализации интеграла, то появляется два дуальных описания одной теории. Скажем, зеркальная симметрия (mirror symmetry) — это пример локализации в топологических моделях отображений римановых поверхностей в target-пространство на голоморфные отображения (А-модели) и на постоянные отображения (В-модели) [36].

Суперсимметричные матричные модели Янга-Миллса (SYMM) [18,19, 37, 38] (размерная редукция D-мерной калибровочной теории в ноль измерений, с действием S ос [Xi,Xj]2) как раз принадлежат к такому классу, где метод локализации может быть успешно изучен [26,39,40]. Кроме того, данные матричные модели интересны также по следующим причинам. Калибровочную теорию в D измерениях можно реализовать с помощью SYMM бесконечно большого ранга [37]. Далее, динамика N D(—1)-бран в D измерениях канонически описывается такой же матричной моделью, и существует гипотеза [19], что в случае десяти измерений и предела бесконечного ранга матриц SYMM является непертурбативным определением десятимерной теории суперструн типа ИВ. Наконец, D(—1) браны также можно интерпретировать как инстантоны в калибровочной теории. Действительно, ADHM [41] конструкция предъявляет явное описание пространства модулей к инстантонов с помощью к х к матриц, и мера на пространстве модулей инстантонов в Л/" = 2 SYM схематично дается действием SYMM [42]. Таким образом, с небольшими изменениями (добавление матриц, соответствующих струнам, оканчивающимся на N D3 и к D(—1)-бранах, и преобразующихся в бифундамен-тальном представлении U(N) х U(к)) такая матричная модель описывает вклад к инстантонов в J\f = 2 эффективный низкоэнергетический предпотенциал [42-46].

Методы теории струн — геометрическое конструирование с помощью D-бран и дополнительных измерений четырехмерных калибровочных теорий, а также идеи зеркальной симметрии, позволили решать задачи, которые могли быть сформулированы в рамках обычной четырехмерной теории поля, но при этом их решение традиционными методами было неизвестно. Сначала оказалось, что точный низкоэнергетический эффективный N = 2 предпотенциал U{N) калибровочной теории, включающий все непертурбативные вклады может быть описан с помощью геометрии комплексных гиперэллиптических кривых [14,47-49]. Затем, также геометрическими методами [15,50-53] был найден точный низкоэнергетический эффективный суперпотенциал для полей глюинного конденсата в Af = 1 теориях. Не случайно, что свойство точной решаемости данных суперсимметричных теорий было связано с наличием в них структур интегрируемых систем [42,54-58,58] Кроме того, оказалось, что Af = 1 точный суперпотенциал, включающий все непертурбативные вклады, может быть вычислен с помощью голоморфной одноматричной модели с действием, заданным таким же полиномом, как и древесный суперпотенциал в калибровочной теории [59-63]. Структура точных решений в Af = 1 и Af = 2 теориях и их связь с матричными моделями [64-66] является интересным объектом для исследования.

Итак, сформулируем цели работы.

• Исследование динамики непертурбативных объектов теории струн — D-бран.

• Исследование дуальности между теорией струн на фоне метрики AdS5 х S*, и Л/" = 4 суперсимметричной калибровочной теорией Янга-Миллса с помощью вычисления одних и тех же корреляторов дуальными методами.

• Исследование методов локализации функционального интеграла в приложении к квантовой динамике взаимодействия нескольких D-инстантонов (нульмерная калибровочная матричная модель Янга-Миллса) и обобщение вопроса на случай произвольной простой калибровочной группы.

• Исследование вакуумной конфигурации в низкоэнергетической теории, полученной из Af = 1 суперсимметричной калибровочной теории с материей в присоединенном представлении и заданным древесным суперпотенциалом.

Диссертация имеет следующую структуру.

В главе 2 изучена связь между статистической суммой для двухмерной струнной сигма-модели [1,4,67] и древесным эффективным действием для соответствующих безмассовых струнных полей. Струнная сигма-модель является производящим функционалом для всех древесных струнных амплитуд рассеяния. При преобразовании Лежандра вычитаются амплитуды, которые соответствуют обмену струнными полями, входящими в эффективное действие. Рассмотрена древесная статистическая сумма г[А,Ф] = (ТгРехр (АкдтХк + 1Ф{дпХ') dr^ (1.3) для открытых струн, оканчивающихся на N совпадающих D-бранах. Здесь Ак с лоренцевым индексом к вдоль бран — U(N) калибровочные поля, а Ф* с лоренце-вым индексом в перпендикулярных направлениях — поля безмассовых скаляров, характеризующих флуктуации положения D-бран. Статистическая сумма

Z[J] = J VX[a}e-s^We~s^x'J\ (1.4) вычисляется с действием Полякова свободной струны в конформной калибровке

SfreeiX] = 4^7 ^ даХ»даХ» d2a, (1.5) при этом эффект присутствия D-бран сводится к замене граничных условий струны в соответствующих направлениях с условий Неймана на условия Дирихле.

В результате прямого вычисления, в лидирующем порядке по Ы получается действие U(N) калибровочной теории, редуцированной нар + 1 измерение [18,21]. Дополнительно также вычисляется первая поправка в разложении по а' [68].

В главе 3 в рамках соответствия струны в AdS5 х S5 и J\f = 4 SYM [29] выпол-' няется вычисление коррелятора (W(C)Oj) вильсоновской петли W(C) с оператором Оj, имеющим большой заряд J по отношению к действию U(l) подгруппы группы Д-симметрии 50(6): где Z = Фх + гФ2 - линейная комбинация двух из шести скалярных полей N = 4 калибровочной теории.

Коррелятор (W(C)Oj) пропорционален весу, с которым Oj входит в локальное операторное разложение вильсоновской петли. В дуальной картине вес определяется амплитудой перехода между состоянием замкнутой струны, рожденной из вильсоновской петли, и состоянием супергравитации, построенным по оператору О j [69].

На стороне теории струн квазиклассическое вычисление выполняется [26] для произвольной вильсоновской петли в первых двух ненулевых порядках по Л, что соответствует двухпетлевому приближению в калибровочной теории. В калибровочной теории коррелятор вычисляется в однопетлевом приближении, а также показывается, что вклад из всех порядков от диаграмм с наибольшим комбинаторным весом имеет экспоненциальную форму, в соответствии с дуальным вычислением. С точностью используемого приближения результаты вычислений полностью совпадают, подтверждая гипотезу дуальности.

В главе 4 изучено обобщение квантовой статистической суммы для суперсимметричной матричной модели на произвольную калибровочную группу [70], действие которой является в лидирующем порядке по а' действием, полученным в главе 2 при описании набора Б(-1)-бран (D инстантонов), то есть является полной размерной редукцией суперсимметричного действия Янга-Миллса [18] ш = шШ / dXdAdDe~SYU • Р-7' где

Sym

Тг Л]2 + АА] - 2D2) . (1.8)

Оказывается, что данную статистическую сумму можно вычислить точно для произвольной калибровочной группы, вне рамок теории возмущений. Используется метод локализации [32, 33], который в [39] был применен в случае группы U(N). Статистическая сумма сводится к контурному интегралу от рациональной функции

1ГЪ) - fdu2. fdu' Ц-^, (1.9)

J с J с J с [2me)T ax au + e где {a} — множество корней алгебры g, a {as} — множество простых корней.

Суть метода состоит в деформации подынтегрального выражения на полную производную так, чтобы значение интеграла не менялось, но в то же время квазиклассическое приближение (сумма по критическим точкам действия от соответствующих детерминантов) становилось точным. Этого можно добиться, используя нильпотентный генератор суперсимметрии Q и деформируя действие на (3-точные члены. Альтернативно, данное вычисление можно быть представлено в формализме вычисления эквивариантных когомологий. Оператор Q = d + iu является эквивариантным дифференциалом, где ги - векторное поле, генерируемое калибровочным преобразованием и, деформированное действие - отображение моментов, а результат вычисления - эквивариантный объем фактора конфигурационного пространства модели по действию калибровочной группы. Вычисление контурного интеграла в виде суммы по вычетам равносильно суммированию вкладов от критических точек действия.

Результатом главы 4 является таблица значений статистической суммы для всех калибровочных групп до ранга 11 включительно, кроме групп Е7 и Eg (вычислительная сложность в этих случаях существенно выше, чем в остальных). Ответ для серии Ап был известен [39], а для всех остальных классических серий Bn,Cn,Dn выдвигается гипотеза общей формулы.

В главе 5 рассматривается вопрос о вычислении низкоэнергетического эффективного действия для Af = 1 и Af = 2 суперсимметричных четырехмерных калибровочных теорий.

Доказывается [71], что в экстремуме (Si) эффективного суперпотенциала Weff(Si) свободная энергия матричной модели (она же эффективный предпотенциал Т), подчиняется уравнению

ВТ 2А2" dSi ^(п2-1)' где д2 — коэффициент полинома Wtree.

В заключении подводятся итоги и перечисляются возможные дальнейшие направления для исследования. * *

Благодарности

Многому я обязан своим первым учителям С.Н.Сашову и Л.Д.Парнесу.

Особенно благодарю за поддержку А.Ю.Морозова, постоянно поддерживающему на протяжении нескольких лет мой интерес к работе в области теории струн; а также Е.С.Суслову, без которой научная работа в лаборатории была бы невозможна.

Хотелось бы специально отметить, что некоторые результаты работы мной были получены совместно с А.Я.Дымарским и К.И.Зарембо.

Выражаю также благодарность за научные обсуждения и дискуссии на семинарах ИТЭФ Э.Т.Ахмедову, А.А.Герасимову, А.С.Горскому, А.Л.Городенцеву, А.С.Лосеву, А.В.Маршакову, А.Д.Миронову, М.И.Олынанецкому, К.Г.Селиванову, И.В.Полюбину, А.В.Смилге, Л.О.Чехову, С.М.Харчеву, С.М.Хорошкину; а также

А.С.Александрову, Н.Я.Амбург, И.Е.Анно, Д.В.Васильеву, В.А.Долгущеву, И.В.Гор-делию, А.В.Зотову, Б.А.Качуре, С.Е.Клевцову, С.А.Локтеву, Д.В.Малышеву, Д.Г.Мельникову, В.А.Побережному, А.Соловьеву, А.В.Савватееву, К.А.Сарайкину и А.В.Чер-вову.

Признателен М.И.Высоцкому, М.В.Данилову, Д.И.Казакову, Р.Б.Невзорову, П.Н.Пахлову и К.А.Тер-Мартиросяну за полезные семинары и обсуждения реальных процессов физики элементарных частиц.

Большую моральную поддержку и помощь при подготовке текста оказали А.А.Воронов, Т.С.Медведева, Т.В.Миронова и Т.В.Углов.

Я благодарен А.А.Крапивину за техническую поддержку.

Глава 2

Низкоэнергетическое эффективное действие на D-бранах

На теорию струн можно смотреть как на теорию поля с бесконечным числом полей, соответствующим различным модам возбуждений струны. Струнные амплитуды рассеяния в первично квантованной формулировке задаются суммой по различным вложениям двумерных мировых поверхностей струны в пространство-время. Имеется четкий набор правил для вычисления фейнмановских диаграмм амплитуд рассеяния [1,2,4]. Тем не менее, исходное действие в пространстве-времени для струнных полей неизвестно. Поскольку количество струнных полей бесконечно, и струна не является локальным объектом, действие, конечно, не может быть устроено простым образом. Тем не менее, разумно поставить вопрос об эффективном действии для полей из безмассового сектора в низкоэнергетическом приближении1, которое получается, если проинтегрировать по массивным полям. Все амплитуды, вычисленные с помощью этого эффективного действия, должны совпадать с их определением с помощью суммы по мировым поверхностям. В первом приближении можно попробовать найти классическое эффективное действие для безмассовых полей, от которого требуется воспроизводить только древесные диаграммы.

Это удобно сделать с помощью подхода статистической суммы двумерной струнной сигма-модели [72]. В [73] показано, что эффективное действие для безмассовых

1 Следует иметь ввиду, что под массивным сектором подразумеваются моды в разложении струнных осцилляторов с массами на шкале mpi. При этом на очень низком масштабе энергий по сравнению с mpi поля безмассового сектора могут приобретать экспоненциально малую массу по отношению к mpi за счет непертурбативных эффектов. струнных полей в древесном приближении равно перенормированной статистической сумме сигма-модели. Объяснение этого в отношении эффективного действия для безмассовых полей будет дано ниже. Однако данное утверждение не верно в отношении поля тахиона [74-79], которое, безусловно, должно быть включено в низкоэнергетическое описание, поскольку оно имеет наименьший квадрат массы. В данной главе будет произведено явное вычисление статистической суммы до членов вида Ф6 включительно, где Ф — неабелевы скалярные поля, характеризующие флуктуации D-бран в трансверсальных направлениях. Полученный результат согласуется с вычислениями [25], где потенциал был получен с помощью двухпетлевых вычислений /^-функции в сигма-модели и требования того, чтобы ее зануление (3(Ф) = 0 было эквивалентно [1] уравнениям движения в пространстве-времени для полей Ф. Результат также подтверждается с помощью преобразования Т-дуальности, действие которого сводится к замене Фг на соответствующую ковариантную производную V^ [23,80-82].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пестун, Василий Сергеевич

Заключение

Итак, в данной работе были продемонстрированы несколько подходов к описанию непертубативных эффектов низкоэнергетической эффективной динамики калибровочных теорий. В главе 2 с помощью пертурбативных методов теории струн было получено описание низкоэнергетической динамики ее непертурбативных объектов — D-бран, которые играли ключевую роль в последующих построениях. В главе 3 речь шла о дуальности "калибровочные поля - струны" в стиле струнного описания КХД, конструкция которой обеспечивалась с помощью N D3 бран в десятимерной теории суперструн типа IIB. Эти браны создают в своей окрестности метрику AdS5 х S5 , которая является фоном для суперструн типа IIB. Вместе с тем, динамика бран также может быть описана N = 4 суперсимметричной U(N) калибровочной теорией. Благодаря мощным симметриям динамика теорий с обеих сторон дуальности сильно ограничена, и это позволило сделать предположение о точном соответствии. Тем не менее, строгого доказательства данного соответствия пока не существует, хотя возможны лишь нетривиальные аналитические проверки, одна из которых и была проведена в данной работе. В главе 4 изучался непертурбативный подход к вычислению функционального интеграла, задающего динамику системы в конечномерном случае нульмерной калибровочной теории поля (матричной модели Янга-Миллса). Оказывается, что, опять же, благодаря нескольким симметриям, динамика теории ограничена настолько, что позволяет произвести точное вычисление статистической суммы. Использовавшийся метод локализации достаточно общий, и его обобщение может быть применено и к настоящим (в нескольких пространственно-временных измерениях) или решеточным теориям поля. В главе 5 исследовалась структура, возникающая при описании низкоэнергетической динамики N = 1 суперсимметричной теории поля с заданным древесным суперпотенциалом. Решение данной задачи быстро развивалось за последние несколько лет, при этом существенную роль сыграло геометрическое конструирование четырехмерных теорий с помощью реализаций их в десятимерной теориях суперструн, скомпактифицированных на подходящие шестимерные многообразия Калаби-Яу в присутствии определенных конфигураций D-бран. А недавно было замечено, что можно получить сильные теоретико-полевые непер-турбативные результаты с помощью достаточно простых пертурбативных вычислений в матричных моделях. Все это заслуживает внимания и стоит изучения.

Существенную роль в данной работе играла суперсимметрия. Хотя теории, описывающие наблюдаемые процессы, не обладают суперсимметрией на низких энергиях, очевидны причины, по которым все же стоит изучать суперсимметричные теории. Во-первых, все реалистичные модели Великого объединения предполагают наличие суперсимметрии на масштабах более высоких энергий с последующим нарушением на масштабе энергий, доступных современному эксперименту. Во-вторых, суперсимметричные теории хорошо подходят для теоретических исследований, поскольку их динамика может быть ограничена настолько, чтобы допускать точные решения, и в то же время оставаться нетривиальной. Возможно, что после того, как будет получен полный контроль над непертурбативной динамикой суперсимметричных теорий, обладающих свойствами точной решаемости, удастся построить описание динамики несуперсимметричных теорий, в котором разложение будет идти по параметру, характеризующему отклонение от суперсимметрии, а не по традиционной константе связи.

В заключение приведем явные результаты, полученные в данной работе.

• Показана связь между статистической суммой сигма-модели для струн, оканчивающихся на N совпадающих бранах, и наведенным действием на них.

• Вычислен потенциал для неабелевых скалярных полей Ф на N совпадающих Г>-бранах с точностью до членов шестого порядка в случае бозонной струны и суперструны Невье-Шварца-Рамона.

• В рамках вопроса о дуальности "калибровочные поля - струны" вычислен коррелятор между вильсоновской петлей и оператором Oj с большим R-зарядом в N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса, а также соответствующая дуальная струнная амплитуда. То есть, вычислена в квазиклассическом приближении амплитуда струны на фоне AdS5 х S5 с границей мировой поверхности, заданной вильсоновской петлей, испускающей состояние, дуальное оператору Oj. Результаты вычисления совпадают, что подтверждает описанную дуальность.

Показан метод вычисления квантовой статистической суммы обобщения многоматричной модели с действием неабелевых скалярных полей на нескольких бранах на произвольную калибровочную группы. Статистическая сумма вычислена явно для всех простых калибровочных групп до ранга 11 включительно, кроме случаев групп Е7 и Eg.

Выдвинута гипотеза об общей формуле для статистической суммы для всех классических серий Bn,Cn,Dn.

Описано приложение полученных результатов к решению задачи о вычислении индекса Виттена для квантовой механики DO-бран. Как дополнительный результат получены явные выражения для формулы В.Каца и А.Смилги, описывающей граничный вклад в индекс Виттена в случае произвольной калибровочной группы.

Найдено уравнение на эффективный низкоэнергетический предпотенциал для суперсимметричных Af = 1 калибровочных теорий, выполняющееся в точке экстремума соответствующего эффективного суперпотенциала. также укажем возможные направления развития затронутых тем:

К главе 2. Получить полный непертурбативный во всех порядках по силе поля потенциал для неабелевых скалярных полей на D-бранах, и с помощью преобразования Т-дуальности восстановить непертурбативное неабелево действие Борна-Инфельда.

К главе 3. Найти деформацию дуальных теорий (Af = 4 SYM и струна в AdSs х S5 ) к теориям более общего положения.

К главе 4. Дальнейшее исследование методов локализации в калибровочных теориях. Обобщение на случай редукции из 10 пространственно-временных измерений. Обобщение на случай производящей функции с ненулевыми источниками. Обобщение на случай калибровочных теорий, описываемых матричными моделями бесконечного ранга.

К главе 5. Выход в описании эффективной низкоэнергетической динамики Af = 1 за пределы кирального кольца, а также включение ненулевых мод в эффективной теории. Дальнейшее развитие матрично-модельного подхода для описания динамики калибровочных теорий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пестун, Василий Сергеевич, 2003 год

1. Polyakov А. М. Gauge fields and strings. — Chur, Switzerland: Harwood, 1987. — 301 pp.

2. Green M. В., Sehwarz J. H., Witten E. Superstring theory. — Cambridge, Uk: Univ. Pr., 1987.- 469 pp.

3. Morozov A. Y. String theory: What is it? // Sov. Phys. Usp. — 1992. Vol. 35. — Pp. 671-714.

4. Polchinski J. String theory. Vol. 1: An introduction to the bosonic string.— Cambridge, UK: Univ. Pr., 1998.- 430 pp.

5. Veneziano G. Construction of a crossing symmetric, regge behaved amplitude for linearly rising trajectories // Nuovo. Cim. — 1968. — Vol. A57. — Pp. 190-197.

6. Gell-Mann M., Low F. E. Quantum electrodynamics at small distances // Phys. Rev. 1954. - Vol. 95. - Pp. 1300-1312.

7. Polchinski J. Renormalization and effective lagrangians // Nucl. Phys. — 1984. — Vol. B231.- Pp. 269-295.

8. Wilson K. G. Renormalization group methods. — CLNS-269.

9. Wess J., Bagger J. Supersymmetry and supergravity. — Princeton, USA: Univ. Pr., 1982.- 259 pp.

10. Giveon A., Porrati M., Rabinovici E. Target space duality in string theory // Phys. Rept. 1994. - Vol. 244. - Pp. 77-202.

11. Hosono S., Klemm A., Theisen S. Lectures on mirror symmetry. — 1994.

12. Cox D. A., Katz S. Mirror symmetry and algebraic geometry. — Providence, USA: AMS, 2000.- 469 pp.

13. Katz S., Mayr P., Vafa C. Mirror symmetry and exact solution of 4d n = 2 gauge theories, i // Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - Vol. 1. - Pp. 53-114.

14. Seiberg N., Witten E. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in n=2 supersymmetric yang-mills theory // Nucl. Phys. — 1994. — Vol. B426. - Pp. 19-52.

15. Cachazo F., Intriligator K. A., Vafa C. A large n duality via a geometric transition // Nucl. Phys. 2001,- Vol. В603,- Pp. 3-41.

16. Intriligator K. A., Seiberg N. Phases of n=l supersymmetric gauge theories in four- dimensions // Nucl. Phys. 1994. - Vol. B431. - Pp. 551-568.

17. Green M. В., Schwarz J. H. Anomaly cancellation in supersymmetric d=10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. — 1984.— Vol. B149.— Pp. 117— 122.

18. Witten E. Bound states of strings and p-branes // Nucl. Phys. — 1996.— Vol. B460. Pp. 335-350.

19. A large-n reduced model as superstring / N. Ishibashi, H. Kawai, Y. Kitazawa, A. Tsuchiya // Nucl. Phys. 1997. - Vol. B498. - Pp. 467-491.

20. M theory as a matrix model: A conjecture / T. Banks, W. Fischler, S. H. Shenker, L. Susskind // Phys. Rev. 1997. - Vol. D55. - Pp. 5112-5128.

21. Polchinski J. Lectures on d-branes. — 1996.

22. Tseytlin A. A. On non-abelian generalisation of the born-infeld action in string theory // Nucl. Phys. 1997. - Vol. B501. - Pp. 41-52.

23. Brecher D., Perry M. J. Bound states of d-branes and the non-abelian born-infeld action // Nucl. Phys. 1998. - Vol. B527. - Pp. 121-141.

24. Garousi M. R., Myers R. C. World-volume interactions on d-branes // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B542. - Pp. 73-88.

25. Khorsand P., Taylor T. R. Renormalization of boundary fermions and world-volume potentials on d-branes // Nucl. Phys. — 2001.— Vol. B611.— Pp. 239252.

26. Pestun V. N = 4 sym matrix integrals for almost all simple gauge groups (except e(7) and e(8)) // JHEP. 2002. - Vol. 09. - P. 012.

27. Maldacena J. M. The large n limit of superconformal field theories and supergravity // Adv. Theor. Math. Phys. 1998.- Vol. 2,- Pp. 231-252.

28. Polyakov A. M. String representations and hidden symmetries for gauge fields // Phys. Lett. 1979. - Vol. B82. - Pp. 247-250.

29. Atiyah M. F., Bott R. The moment map and equivariant cohomology // Topology. 1984. - Vol. 23. - Pp. 1-28.

30. Duistermaat J. J., Heckman G. J. On the variation in the cohomology of the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. — 1982. — Vol. 69. — Pp. 259-268.

31. Szabo R. J. Equivariant localization of path integrals. — 1996.

32. Cordes S., Moore G. W., Ramgoolam S. Lectures on 2-d yang-mills theory, equivariant cohomology and topological field theories // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1995. - Vol. 41. - Pp. 184-244.

33. Witten E. Mirror manifolds and topological field theory. — 1991.

34. Eguchi Т., Kawai H. Reduction of dynamical degrees of freedom in the large n gauge theory // Phys. Rev. Lett. — 1982, — Vol. 48.- P. 1063.

35. Krauth W., Staudacher M. Finite yang-mills integrals // Phys. Lett.— 1998.— Vol. B435. Pp. 350-355.

36. Moore G. W., Nekrasov N., Shatashvili S. D-particle bound states and generalized instantons // Commun. Math. Phys. — 2000. — Vol. 209. — Pp. 77-95.

37. Kazakov V. A., Rostov I. K., Nekrasov N. A. D-particles, matrix integrals and kp hierarchy // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B557. - Pp. 413-442.

38. Construction of instantons / M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld, Y. I. Manin // Phys. Lett. 1978. - Vol. A65. - Pp. 185-187.

39. The calculus of many instantons / N. Dorey, T. J. Hollowood, V. V. Khoze, M. P. Mattis // Phys. Rept. 2002. - Vol. 371. - Pp. 231-459.

40. Nekrasov N., Okounkov A. Seiberg-witten theory and random partitions. — 2003.

41. Nekrasov N. A. Seiberg-witten prepotential from instanton counting. — 2002.

42. Multi-instanton calculus and equivariant cohomology / U. Bruzzo, F. Fucito, J. F. Morales, A. Tanzini // JHEP. 2003. - Vol. 05. - P. 054.

43. Flume R., Poghossian R. An algorithm for the microscopic evaluation of the coefficients of the seiberg-witten prepotential // Int. J. Mod. Phys. — 2003.— Vol. A18. — P. 2541.

44. On the monodromies of n=2 supersymmetric yang-mills theory / A. Klemm, W. Lerche, S. Yankielowicz, S. Theisen. — 1994.

45. Lerche W. Introduction to seiberg-witten theory and its stringy origin // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997.- Vol. 55B.- Pp. 83-117.

46. D'Hoker E., Phong D. H. Lectures on supersymmetric yang-mills theory and integrable systems. — 1999.

47. A geometric unification of dualities / F. Cachazo, B. Fiol, K. A. Intriligator et al. // Nucl. Phys. 2002. - Vol. B628. - Pp. 3-78.

48. Cachazo F., Vafa C. N = 1 and n = 2 geometry from fluxes. — 2002.

49. Ooguri H., Vafa C. Worldsheet derivation of a large n duality // Nucl. Phys. — 2002. Vol. B641. - Pp. 3-34.

50. Vafa C. Superstrings and topological strings at large n // J. Math. Phys. — 2001. Vol. 42. - Pp. 2798-2817.

51. Itoyama H., Morozov A. Integrability and seiberg-witten theory: Curves and periods // Nucl. Phys. 1996.- Vol. B477. - Pp. 855-877.

52. Itoyama H., Morozov A. Prepotential and the seiberg-witten theory // Nucl. Phys. 1997.- Vol. B491.- Pp. 529-573.

53. Marshakov A., Martellini M., Morozov A. Insights and puzzles from branes: 4d susy yang-mills from 6d models // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B418. — Pp. 294302.

54. Martinec E. J., Warner N. P. Integrable systems and supersymmetric gauge theory // Nucl. Phys. 1996. - Vol. B459. - Pp. 97-112.

55. Integrability and seiberg-witten exact solution / A. Gorsky, I. Krichever, A. Marshakov et al. // Phys. Lett. — 1995. — Vol. B355. — Pp. 466-474.

56. Dijkgraaf R., Vafa C. A perturbative window into non-perturbative physics.— 2002.

57. Dijkgraaf R., Vafa C. Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories // Nucl. Phys. — 2002. — Vol. B644. Pp. 3-20.

58. Dijkgraaf R., Vafa C. On geometry and matrix models // Nucl. Phys. — 2002. — Vol. B644. Pp. 21-39.

59. Perturbative analysis of gauged matrix models / R. Dijkgraaf, S. Gukov, V. A. Kazakov, C. Vafa // Phys. Rev. 2003. - Vol. D68. - P. 045007.

60. Perturbative computation of glueball superpotentials / R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam et al. — 2002.

61. Matrix model as a mirror of chern-simons theory / M. Aganagic, A. Klemm, M. Marino, C. Vafa. 2002.

62. Naculich S. G., Schnitzer H. J., Wyllard N. The n = 2 u(n) gauge theory prepotential and periods from a perturbative matrix model calculation // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B651. - Pp. 106-124.

63. Klemm A., Marino M., Theisen S. Gravitational corrections in supersymmetric gauge theory and matrix models // JHEP. 2003. - Vol. 03. — P. 051.

64. Tseytlin A. A. Born-infeld action, supersymmetry and string theory. — 1999.

65. Pestun V. On non-abelian low energy effective action for d-branes // JHEP. — 2001,-Vol. 11.-P. 017.

66. The operator product expansion for wilson loops and surfaces in the large n limit / D. Berenstein, R. Corrado, W. Fischler, J. M. Maldacena // Phys. Rev. — 1999. — Vol. D59. P. 105023.

67. Pestun V., Zarembo K. Comparing strings in ads(5)xs(5) to planar diagrams: an example // Phys. Rev. 2003. - Vol. D67. - P. 086007.

68. Dymarsky A., Pestun V. On the property of cachazo-intriligator-vafa prepotential at the extremum of the superpotential // Phys. Rev. — 2003. — Vol. D67. — P. 125001.

69. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Quantum string theory effective action // Nucl. Phys. 1985. - Vol. B261. - Pp. 1-27.

70. Tseytlin A. A. Vector field effective action in the open superstring theory // Nucl. Phys. 1986. - Vol. B276. - P. 391.

71. Witten E. On background independent open string field theory // Phys. Rev. — 1992. Vol. D46. - Pp. 5467-5473.

72. Witten E. Some computations in background independent off-shell string theory // Phys. Rev. 1993. - Vol. D47. - Pp. 3405-3410.

73. Shatashvili S. L. Comment on the background independent open string theory // Phys. Lett. 1993. - Vol. B311. - Pp. 83-86.

74. Shatashvili S. L. On the problems with background independence in string theory. 1993.

75. Gerasimov A. A., Shatashvili S. L. On exact tachyon potential in open string field theory // JHEP. 2000. - Vol. 10. - P. 034.

76. Andreev O. Some computations of partition functions and tachyon potentials in background independent off-shell string theory // Nucl. Phys. — 2001.— Vol. B598.- Pp. 151-168.

77. Scherk J., Schwarz J. H. Dual models for nonhadrons // Nucl. Phys. — 1974.— Vol. B81. — Pp. 118-144.

78. Tseytlin A. A. Renormalization of mobius infinities and partition function representation for string theory effective action // Phys. Lett. — 1988. — Vol. B202.-P. 81.

79. Behrndt K. Open superstring in nonabelian gauge field. — In *Ahrenshoop 1989, Proceedings, Theory of elementary particles* 174-180.

80. Andreev О. More about partition function of open bosonic string in background fields and string theory effective action // Phys. Lett. — 2001.— Vol. B513.— Pp. 207-212.

81. Frolov S. A. On off-shellstructure of open string sigma model // JHEP. — 2001. — Vol. 08. P. 020.

82. Gerasimov A. A., Shatashvili S. L. On non-abelian structures in field theory of open strings // JHEP. 2001. - Vol. 06. - P. 066.

83. Akhmedov E. T. Non-abelian structures in bsft and rr couplings. — 2001.

84. Andreev O. D., Tseytlin A. A. Partition function representation for the open superstring effective action: cancellation of mobius infinities and derivative corrections to born-infeld lagrangian // Nucl. Phys.— 1988.— Vol. B311.— P. 205.

85. Dorn H., Otto H. J. Strings in general background fields. — In *Ahrenshoop 1986, Proceedings, Theory Of Elementary Particles*, 89-100.

86. A new double-scaling limit of n = 4 super yang-mills theory and pp-wave strings / C. Kristjansen, J. Plefka, G. W. Semenoff, M. Staudacher // Nucl. Phys.— 2002. Vol. B643. - Pp. 3-30.

87. Gross D. J., Mikhailov A., Roiban R. Operators with large r charge in n = 4 yang-mills theory // Annals Phys. — 2002. — Vol. 301. Pp. 31-52.

88. Constable N. R. et al. Pp-wave string interactions from perturbative yang-mills theory // JHEP. 2002. - Vol. 07. - P. 017.

89. Santambrogio A., Zanon D. Exact anomalous dimensions of n = 4 yang-mills operators with large r charge // Phys. Lett. — 2002.— Vol. B545.— Pp. 425429.

90. Maldacena J. M. Wilson loops in large n field theories // Phys. Rev. Lett.— 1998. Vol. 80. - Pp. 4859-4862.

91. Rey S.-J., Yee J.-T. Macroscopic strings as heavy quarks in large n gauge theory and anti-de sitter supergravity // Eur. Phys. J. — 2001. — Vol. C22. — Pp. 379394.

92. Semenoff G. W., Zarembo K. Wilson loops in sym theory: From weak to strong coupling // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2002. — Vol. 108. - Pp. 106-112.

93. Zarembo K. Open string fluctuations in ads(5) x s(5) and operators with large r charge // Phys. Rev. 2002. - Vol. D66. - P. 105021.

94. Semenoff G. W., Zarembo K. More exact predictions of susym for string theory // Nucl. Phys. 2001. — Vol. B616. - Pp. 34-46.

95. Bianchi M., Green M. В., Kovacs S. Instanton corrections to circular wilson loops in n = 4 supersymmetric yang-mills // JHEP. — 2002. — Vol. 04. — P. 040.

96. Erickson J., Semenoff G. W., Zarembo K. Bps vs. non-bps wilson loops in n = 4 supersymmetric yang- mills theory // Phys. Lett. — 1999. — Vol. B466. — Pp. 239-243.

97. Drukker N., Gross D. J. An exact prediction of n = 4 susym theory for string theory // J. Math. Phys. 2001. - Vol. 42. - Pp. 2896-2914.

98. Erickson J. K., Semenoff G. W., Zarembo K. Wilson loops in n = 4 supersymmetric yang-mills theory // Nucl. Phys.— 2000.— Vol. B582.— Pp. 155-175.

99. Makeenko Y. M. Polygon discretization of the loop space equation // Phys. Lett. 1988. - Vol. B212. - P. 221.

100. Zarembo K. Supersymmetric wilson loops // Nucl. Phys. — 2002. — Vol. B643. — Pp. 157-171.

101. Tseytlin A. A., Zarembo K. Wilson loops in n = 4 sym theory: Rotation in s(5) // Phys. Rev. 2002. - Vol. D66. - P. 125010.

102. Drukker N., Gross D. J., Ooguri H. Wilson loops and minimal surfaces // Phys. Rev. 1999. - Vol. D60. - P. 125006.

103. Tseytlin A. A. Semiclassical quantization of superstrings: Ads(5) x s(5) and beyond // Int. J. Mod. Phys. 2003. - Vol. A18. - Pp. 981-1006.

104. Smilga A. V. Calculation of the witten index in extended supersymmetric yang-mills theory. // Yad. Fiz.- 1986.- Vol. 43.- Pp. 215-218.

105. Green M. В., Gutperle M. D-instanton partition functions // Phys. Rev.— 1998. Vol. D58. - P. 046007.

106. Green M. В., Gutperle М. D-particle bound states and the d-instanton measure // JHEP. 1998. - Vol. 01. - P. 005.

107. Sethi S., Stern M. D-brane bound states redux // Commun. Math. Phys.— 1998. Vol. 194. - Pp. 675-705.

108. Кас V. G., Smilga A. V. Normalized vacuum states in n = 4 supersymmetric yang-mills quantum mechanics with any gauge group // Nucl. Phys. — 2000. — Vol. В571,- Pp. 515-554.

109. Witten E. Constraints on supersymmetry breaking // Nucl. Phys. — 1982. — Vol. B202. P. 253.

110. Austing P. Yang-mills matrix theory. — 2001.

111. Yi P. Witten index and threshold bound states of d-branes // Nucl. Phys.— 1997. Vol. B505. - Pp. 307-318.

112. Staudacher M. Bulk witten indices and the number of normalizable ground states in supersymmetric quantum mechanics of orthogonal, symplectic and exceptional groups // Phys. Lett. 2000. - Vol. B488. - Pp. 194-198.

113. Krauth W., Nicolai H., Staudacher M. Monte carlo approach to m-theory // Phys. Lett. 1998. - Vol. B431. - Pp. 31-41.

114. Seiberg N., Witten E. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in n=2 supersymmetric qcd. — 1994.

115. Griffiths P., Harris J. Principles of algebraic geometry. — New York, USA: John Wiley and Sons, Inc., 1994.

116. Argyres P. C., Douglas M. R. New phenomena in su(3) supersymmetric gauge theory // Nucl. Phys. 1995. - Vol. B448. - Pp. 93-126.

117. Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory / F. Cachazo, M. R. Douglas, N. Seiberg, E. Witten // JHEP. 2002. - Vol. 12. - P. 071.

118. Cachazo F., Seiberg N., Witten E. Phases of n = 1 supersymmetric gauge theories and matrices // JHEP. 2003. - Vol. 02. - P. 042.

119. Cachazo F., Seiberg N., Witten E. Chiral rings and phases of supersymmetric gauge theories // JHEP. 2003. - Vol. 04. - P. 018.

120. Lazaroiu С. I. Holomorphic matrix models // JHEP. 2003. - Vol. 05. — P. 044.

121. Itoyama H., Morozov A. Experiments with the wdvv equations for the gluino-condensate prepotential: The cubic (two-cut) case // Phys. Lett. — 2003. — Vol. B555. Pp. 287-295.

122. Itoyama H., Morozov A. Calculating gluino condensate prepotential // Prog. Theor. Phys. 2003. - Vol. 109. - Pp. 433-463.

123. Itoyama H., Morozov A. The dijkgraaf-vafa prepotential in the context of general seiberg-witten theory // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B657. — Pp. 53-78.

124. Massive vacua of n = 1* theory and s-duality from matrix models / N. Dorey, T. J. Hollowood, S. P. Kumar, A. Sinkovics // JHEP. 2002. - Vol. 11. - P. 040.

125. Exact superpotentials from matrix models / N. Dorey, T. J. Hollowood, S. Prem Kumar, A. Sinkovics // JHEP. 2002. - Vol. 11. - P. 039.

126. Aganagic M., Vafa C. Perturbative derivation of mirror symmetry. — 2002.

127. Berenstein D. Quantum moduli spaces from matrix models // Phys. Lett.— 2003. Vol. B552. - Pp. 255-264.

128. Ferrari F. On exact superpotentials in confining vacua // Nucl. Phys. — 2003. — Vol. B648. Pp. 161-173.

129. Ferrari F. Quantum parameter space and double scaling limits in n = 1 super yang-mills theory // Phys. Rev. 2003. - Vol. D67. - P. 085013.

130. Dorey N., Hollowood T. J., Kumar S. P. S-duality of the leigh-strassler deformation via matrix models // JHEP. 2002. - Vol. 12. - P. 003.

131. Exact superpotentials for theories with flavors via a matrix integral / R. Argurio, V. L. Campos, G. Ferretti, R. Heise // Phys. Rev.- 2003.- Vol. D67.-P. 065005.

132. Baryonic corrections to superpotentials from perturbation theory / R. Argurio, V. L. Campos, G. Ferretti, R. Heise // Phys. Lett.- 2003.- Vol. B553. -Pp. 332-336.

133. McGreevy J. Adding flavor to dijkgraaf-vafa // JHEP.- 2003.- Vol. 01.-P. 047.138139140141142143144145146147148149150

134. Suzuki H. Perturbative derivation of exact superpotential for meson fields from matrix theories with one flavour // JHEP. — 2003. — Vol. 03. — P. 005.

135. Bena I., Roiban R. Exact superpotentials in n = 1 theories with flavor and their matrix model formulation // Phys. Lett. 2003. - Vol. B555. — Pp. 117-125.

136. Demasure Y., Janik R. A. Effective matter superpotentials from wishart random matrices // Phys. Lett. 2003. - Vol. B553. - Pp. 105-108.

137. Demasure Y., Janik R. A. Explicit factorization of seiberg-witten curves with matter from random matrix models // Nucl. Phys.— 2003.— Vol. B661.— Pp. 153-173.

138. Tachikawa Y. Derivation of the konishi anomaly relation from dijkgraaf- vafa with (bi-)fundamental matters // Phys. Lett. 2003. - Vol. B573. - Pp. 235-238.

139. Feng B. Geometric dual and matrix theory for so/sp gauge theories // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B661. - Pp. 113-138.

140. Feng В., He Y.-H. Seiberg duality in matrix models, ii // Phys. Lett. — 2003. — Vol. B562. Pp. 339-346.

141. Feng B. Seiberg duality in matrix model. — 2002.

142. Kazakov V. A., Marshakov A. Complex curve of the two matrix model and its tau- function // J. Phys. 2003. - Vol. A36. - Pp. 3107-3136.

143. Dijkgraaf R., Sinkovics A., Temurhan M. Matrix models and gravitational corrections. — 2002.1.a H., Nieder H., Oz Y. Perturbative computation of glueball superpotentials for so(n) and usp(n) // JHEP. 2003. - Vol. 01. - P. 018.

144. Bena I., Roiban R., Tatar R. Baryons, boundaries and matrix models. — 2002.

145. Ookouchi Y. N = 1 gauge theory with flavor from fluxes. — 2002.

146. Ohta K. Exact mesonic vacua from matrix models // JHEP. — 2003. — Vol. 02. — P. 057.

147. Hollowood T. J. New results from glueball superpotentials and matrix models: The leigh-strassler deformation // JHEP. 2003. - Vol. 04. — P. 025.153154155156157158159

148. Janik R. A., Obers N. A. So(n) superpotential, seiberg-witten curves and loop equations // Phys. Lett. 2003. - Vol. B553. - Pp. 309-316.

149. Seki S. Comments on quiver gauge theories and matrix models // Nucl. Phys. — 2003. Vol. B661. - Pp. 257-272.

150. Balasubramanian V. et al. Multi-trace superpotentials vs. matrix models // Commun. Math. Phys. 2003. - Vol. 242. - Pp. 361-392.

151. Bena I., de Haro S., Roiban R. Generalized yukawa couplings and matrix models // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B664. - Pp. 45-58.

152. Hofman C. Super yang-mills with flavors from large n(f) matrix models // JHEP. 2003. - Vol. 10. - P. 022.

153. Morozov A. Integrability and matrix models // Phys. Usp. — 1994. — Vol. 37. — Pp. 1-55.

154. Alexandrov A., Mironov A., Morozov A. Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory, i: Finite size hermitean 1- matrix model. — 2003.

155. Unoriented strings, loop equations, and n = 1 superpotentials from matrix models / S. K. Ashok, R. Corrado, N. Halmagyi et al. // Phys. Rev. — 2003.— Vol. D67. P. 086004.

156. Seiberg N. Adding fundamental matter to 'chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory' // JHEP. 2003. — Vol. 01. — P. 061.