Неустойчивость гравитационных фронтов пропитки и процессы пальцеобразования в ненасыщенной пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Гоголашвили, Булат Эдуардович

• Гоголашвили, Булат Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гоголашвили, Булат Эдуардович

Введение

1 Определение гидравлических функций пористой среды

1.1 Модели невзаимодействующих капилляров.

1.1.1 Модель связки цилиндрических капилляров.

1.1.2 Модель Туллера-Ора.

1.2 Модель взаимодействующих капилляров.

1.2.1 Решетка

1.2.2 Капилляры.

1.3 Гидравлические функции при дренаже.

1.3.1 Капиллярная кривая.

1.3.2 Относительная фазовая проницаемость.

1.3.3 Верификация модели по экспериментальным данным для дренажа.

1.4 Гидравлические функции при пропитке.

1.4.1 Капиллярная кривая.

1.4.2 Относительная фазовая проницаемость.

1.5 Кривая первичной пропитки.

2 Теоретический анализ релаксационной модели влагопереноса

2.1 Устойчивость уравнений влагопереноса: общие результаты

2.1.1 Модель Ричардса.

2.1.2 Анализ устойчивости модифицированной модели Ричардса

2.2 Релаксационная модификация модели Ричардса.

2.2.1 Термодинамический анализ.

2.2.2 Модели Р- и S-релаксации.

2.2.3 Учёт гистерезиса в релаксационной модели.

2.3 Анализ релаксационных моделей на решениях типа бегущей волны.

2.3.1 Модель Р-релаксации.

2.3.2 Модель 5-релаксации.

2.4 Анализ устойчивости модели Р-релаксации.

2.5 Двумерное моделирование процесса пальцеобразования

3 Верификация релаксационной модели Ричардса

3.1 Эксперименты D. A. DiCarlo.

3.2 Модель.

3.3 Определяющие уравнения

3.4 Конкретизация гидравлических функций К и Р.

3.5 Решение типа бегущей волны.

3.6 Определение коэффициента релаксации.

3.7 Результаты расчётов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неустойчивость гравитационных фронтов пропитки и процессы пальцеобразования в ненасыщенной пористой среде»

Угроза поверхностного заражения подземных вод токсичными веществами при авариях на промышленных предприятиях и складах химических продуктов является в наше время актуальной экологической проблемой. Попавшие на дневную поверхность водорастворимые загрязнения мигрируют с потоком влаги через зону аэрации к зеркалу грунтовых вод и могут в конечном итоге нанести непоправимый ущерб природным экосистемам обширного региона. Защитные свойства зоны аэрации, связанные с адсорбцией загрязнителя частицами почвы, во многом определяются режимом фильтрационных потоков.

Многочисленные эксперименты [55, 45, 83, 64] свидетельствуют о том, что в ненасыщенных грунтах движимый гравитацией однородный фронт пропитки, как правило, распадается на устойчиво развивающуюся систему потоков («пальцев»). Понимание причин, вызывающих неустойчивость таких фронтов, и учёт этого эффекта необходимы для верного предсказания интенсивности переноса влаги и водорастворимых загрязнений от дневной поверхности к зеркалу грунтовых вод. Действительно, наличие предпочтительных путей, порождаемых распадом фронта пропитки на отдельные пальцы, существенно уменьшает время миграции влаги в зоне аэрации, снижая тем самым её защитную роль.

Практическая важность и научная значимость феномена пальцеобразо-вания диктуют необходимость разработки адекватной математической модели этого явления. К сожалению, традиционные модели влагопереноса (например модель Ричардса) оказываются в данной ситуации малопригодными, так как не принимают в расчёт динамических эффектов, играющих значительную роль при образовании и развитии пальцев. Многочисленные попытки релаксационной модификации модели Ричардса дали определённое понимание некоторых аспектов проблемы, однако построение целостной модели остаётся всё ещё делом будущего.

Одной из характерных особенностей пальцев, отмечаемой всеми экспериментаторами, является немонотонность профилей давления и насыщенности в их поперечном сечении. Эта немонотонность приводит к тому, что насыщенность в теле пальца оказывается значительно выше, чем насыщенность вне его. В то же время поток влаги, определяемый градиентом давления, оказывается направлен к оси пальца. В этой ситуации высоконасыщенный палец не отдает влагу окружающей пористой среде, а, напротив, иссушает её.

На самом деле возможность движения влаги в пористой среде в направлении градиента влажности (т. е. из областей с малой влажностью — в области с большой) была впервые обнаружена не в экспериментах по паль-цеобразованию, хотя и приблизительно в то же время. По-видимому первые наблюдения этого явления были сделаны в работах Абрамовой [1,2] и Аллера [47, 48, 49]. Позднее опыты Абрамовой по сути были повторены Collis-George et al. [35]; аналогичные явления наблюдались в экспериментах Дмитриева [14] и Бондаренко [5], а также были воспроизведены Роде и Романовой [24]. Именно эти эксперименты впервые поставили под сомнение применимость модели Ричардса для описания переноса влаги в ненасыщенной пористой среде.

Опишем вкратце суть поставленных экспериментов. Во всех них исследователи изучали движение «подвешенной» (по терминологии А. Ф. Лебедева [19]) влаги в вертикальной колонке, заполненной образцом природного грунта. Грунт в колонке промачивали водой, после чего с её верхней поверхности было организовано испарение (как при помощи нагрева электрической лампой, так и естественным путём без нагревания при комнатной температуре). Давление снималось при помощи ряда установленных с определённым шагом тензиометров, влажность определялась по исследованию взятых с разной глубины образцов почвы.

Во всех экспериментах исследователи отмечали восходящее движение влаги из глубины почвы к поверхности испарения, которое, в особенности на первых стадиях процесса, совершалось при отсутствии градиента влажности и иногда даже в направлении возрастающей влажности.

Описанные эксперименты не могли быть объяснены в рамках традиционно используемой в почвоведении диффузионной теории. Согласно ей, перенос влаги в ненасыщенной пористой среде описывается уравнением Ричардса [77, 78]:

Здесь s — влажность, t — время, х — пространственная координата, D(s) — коэффициент диффузивности, D(s) = Кдф/Os, где К — коэффициент вла-гопроводности, ip = i/)(s) — капиллярный потенциал влажности.

Кроме натурных экспериментов, о неприменимости диффузной теории по крайней мере для нестационарных процессов свидетельствуют и резульО таты численного моделирования. В качестве примера можно сослаться на работу Бондаренко и др. [6], в которой исследовалась степень отклонения численно рассчитанных по уравнению (1) значений влажности s от экспериментально наблюдаемых значений на различных стадиях сушки. Из сравнения этих величин видно, что расчётные значения даже качественно не совпадают с экспериментом на первых стадиях процесса.

Аллер был также первым, кто попытался теоретически обосновать описанный феномен [49, 50]. Для этого он модифицировал уравнение (1), заменив в нём капиллярный потенциал ф на так называемый эффективный потенциал влажности t,bc. Этот эффективный потенциал конструируется в виде суммы где А — некий варьируемый коэффициент. После этой подстановки уравнение (1) принимает вид

Предложение Аллера вызывает два естественных вопроса: а) воспроизводит ли указанная модификация экспериментально наблюдаемые факты и б) насколько данная модификация является теоретически обоснованной.

Что касается первого вопроса, то ответ на него можно считать положительным. Численные эксперименты [22, 26], проведённые по модели Аллера для значений А = 0 и А — 100 показали, что при А = 100 происходит поток влаги вдоль градиента влажности, в то время как при А — 0 этот эффект не наблюдается. В другой работе [7] численные расчёты по модели Аллера сравнивались с экспериментальными профилями влажности на различных стадиях сушки. При А — const экспериментальные и рассчитанные кривые демонстрируют неплохое согласование на начальных стадиях процесса. При этом было отмечено, что величина А не остаётся постоянной в процессе сушки, хотя никаких предположений о виде зависимости А от времени не было сделано.

Несмотря на всё сказанное, против модели Аллера были выдвинуты многочисленные возражения. Критики указывали на то, что уравнение (2) и рассуждения, приводящие к нему, аналогичны таким, которые обычно используются для описания движения жидкости в трещиновато-пористых средах. Однако обычная почва имеет существенно более однородную структуру, и в ней едва ли можно выделить крупные транспортные каналы и мелкие питающие капилляры, как это сделал Аллер.

По мнению Роде [25], теоретическое обоснование, выдвигаемое Алле-ром, является чисто умозрительным. Роде считает, что Аллер попросту не фе = ф + А — , принял в расчёт гистерезис зависимости влажности от давления. Между тем отчётливо показано [66, 99, 15], что после того, как инфильтрация сменяется испарением, распределение давления вследствие влияния гистерезиса должно сразу же измениться. Это создаёт предпосылку к передвижению влаги к испаряющей поверхности не только без появления соответствующего градиента влажности, но даже в направлении этого градиента, хотя и против градиента давления. Имеются теоретические расчёты [17], показывающие, что обычная модель Ричардса с гистерезисом ij->{s) даёт движение воды в направлении градиента влажности.

Среди других подходов к модификации модели Ричардса нельзя не упомянуть работы А. В. Лыкова [20, 21]. Лыков исходит из совершенно других соображений, чем Аллер, хотя его уравнение также предназначено для более полного учёта нестационарности. Вывод Аллера базируется на рассмотрении капиллярной модели, тогда как Лыков получает своё уравнение на основе методов термодинамики необратимых процессов. Он рассматривает релаксационные процессы в бесконечно малом элементе среды и записывает уравнение движения жидкости в пористой среде в виде:

Кулик [18] исследовал уравнения Аллера и Лыкова с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований. Его анализ показывает, что ни то, ни другое уравнение нельзя принять в качестве универсального уравнения движения влаги в почве. Модель Аллера, созданная специально для объяснения экспериментов по оггоку влаги при испарении, оказывется неспособна описать приток влаги в почву при пропитке. В то же время модель Лыкова, исходящая из экспериментов по инфильтрации жидкости в горизонтальную колонку, входит в противоречие с другой группой экспериментов. Кулик видит выход из этой ситуации в привнесении в модель гистерезисных свойств. По его мнению для того, чтобы быть равно пригодной как для пропитки, так и для дренажа, в модели Аллера коэффициент А должен испытывать очень сильный гистерезис. Коэффициент Лыкова At должен либо быть очень малым, либо также быть подвержен сильному гистерезису. Кулик также предлагает своеобразный гибрид уравнений (2) и (3) в следующем виде: где коэффициенты Л и Л] должны испытывать очень сильный гистерезис.

3)

Возрождение интереса к модификации уравнения Ричардса было связано с появлением большого количества экспериментальных фактов, касающихся экспериментов по пальцеобразованию. Как и в случае с ранними экспериментами по движеиию влаги в природных грунтах, описать этот феномен в рамках традиционной модели не оказалось возможным. Интересно отметить, что и в этом случае при построении модели весьма продуктивным оказалось привлечение термодинамических соображений, а также учёт в явном виде гистерезиса гидравлических функций. Наибольший вклад в теорию нестационарных течений в ненасыщенных пористых средах в настоящее время принадлежит S. Majid Hassanizadeh. В серии работ [51, 52, 53, 54] он последовательно применяет методы неравновесной термодинамики к процессам перераспределения влаги в поровом пространстве. Записывая балансовые соотношения для свободной энергии Гельм-гольца на границе раздела фаз, Hassanizadeh получает необходимое ограничение, накладываемое на возможные релаксационные модификации модели Ричардса в виде энтропийного неравенства

Им также была предложена одна из таких модификаций, известная как модель Я-релаксации:

Тщательный математический анализ этой модели был выполнен Cuesta et al. [36]. Предполагая, что зависимости P(s) и K(s) имеют степенной характер, ими было доказано существование и единственность решения типа бегущей волны уравнений (1), (4). Также был получен критерий немонотонности таких решений и исследовано их поведение при стремлении начальной водонасыщенности среды к нулю.

Привнесение гистерезисных свойств в предложенную Hassanizadeh модель было выполнено в работе Беляева и Hassanizadeh [30]. Авторы использовали простейшую модель гистерезиса (так называемую "play-type"), в которой все сканирующие кривые представляли собой вертикальные отрезки s = const.

Анализ устойчивости решения типа бегущей волны уравнения Ричардса, а также некоторых её модификаций (релаксационной и стефановского типа) был проведён Егоровым и Даутовым [13]. Они доказали, что модель Ричардса в своём исходном виде абсолютно устойчива, а её стефановская модификация — абсолютно неустойчива и, следовательно, оба этих случая не подходят для моделирования пальцев. В отличие от них, релаксационная модификация демонстрирует условную неустойчивость, т. е. устойчи

Ds

L(p-P(s))> 0. dt

4) вость на высокочастотных возмущениях и неустойчивость на низкочастотных. Это приводит к наличию минимума на дисперсионной кривой, положение которого определяет характерный масштаб системы пальцев, генерируемых изначально однородным фронтом пропитки. Эти же авторы предложили иную возможность релаксационной модификации модели влагопереноса — модель S-релаксации. Вместо зависимости (4) в этом случае используется релаксационный закон вида ds

Tdi = S(P) ~ 3' (5)

Разумеется, всякая математическая модель должна быть тщательно протестирована и верифицирована по результатам натурных экспериментов. Только после этого можно делать окончательное заключение о её достоверности и практической применимости. С другой стороны, даже самый скрупулезный и аккуратный лабораторный эксперимент немного стоит без надёжного теоретического фундамента и непротиворечивых моделей. Накопленный массив экспериментальных данных с одной стороны и достижения теоретиков с другой позволяют в настоящее время значительно приблизиться к построению законченной модели влагопереноса в сухих средах.

Изложенное выше определяет основную цель данной работы, заключающуюся в построении и верификации математической модели влагопереноса в ненасыщенном грунте, способной адекватно описать процессы образования и развития пальцев.

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Она состоит из введения, трёх глав, заключения, 61 рисунка, 7 таблиц. Список использованной литературы содержит 99 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гоголашвили, Булат Эдуардович

Заключение

Представленные в диссертационной работе результаты показывают, как мы надеемся, возможные пути совершенствования существующих моделей влагопереноса в пористых средах. Необходимость такого совершенствования стала совершенно очевидной перед лицом многочисленных новых экспериментальных фактов, касающихся процессов пропитки изначально сухих грунтов (к которым относится и феномен пальцеобразования).

К этим путям относится, например, построение более реалистичных микромоделей пористых сред. Реалистичность здесь может достигаться через отказ от слишком идеализированного представления о пористой среде как о связке невзаимодействующих капилляров цилиндрического поперечного сечения. Привлечение более тонких моделей геометрии внугрипоро-вого пространства и учёт взаимодействия пор друг с другом позволяет принять во внимание дополнительные механизмы переноса жидкости, такие, например, как её транспорт через систему плёнок и уголковых менисков. Это, в свою очередь, расширяет диапазон применимости моделей в область малых насыщенностей, где эксперименты, как правило, не всегда могут предоставить исчерпывающую информацию.

Другим способом повышения адекватности существующих моделей должен стать учёт релаксационных свойств среды при записи уравнений переноса влаги. Необходимость этого шага на самом деле становится очевидной на этапе построения гидравлических функций пористой среды, когда обнаруживается зависимость этих функций от темпа и направления протекания процесса.

Теоретические исследования показали, что одновременный учёт динамических (релаксация) и статических (гистерезис) эффектов памяти может быть подходящим путём для описания феномена пальцеобразования. Гистерезис обеспечивает сохранность и устойчивое развитие пальцев, в то время как релаксация эти пальцы генерирует. Представленные результаты расчётов показали адекватность моделей такого рода для весьма представительного набора экспериментальных данных.

К сожалению, отсутствие прямых лабораторных измерений коэффициента релаксации затрудняет прямое математическое моделирование физических экспериментов. Поэтому полученные результаты необходимо всё же воспринимать с некоторой долей осторожности, отдавая себе отчёт в том, что они в большой степени носят качественный характер. Они, как нам кажется, адекватно воспроизводят основные особенности феномена пальцеобразования, но для окончательного заключения о пригодности предлагаемой математической модели необходима дополнительная, главным образом экспериментальная, работа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гоголашвили, Булат Эдуардович, 2008 год

1. Абрамова М. М. Опыты по изучению передвижения капиллярно-подвешенной влаги при испарении / М. М. Абрамова // Почвоведение.- 1948. -№ 1.

2. Абрамова М. М. Передвижение воды в почве при испарении / М. М. Абрамова // Труды Почв, ин-та им. В. В. Докучаева. — М., 1953. -Т. 41.

3. Бондаренко Н. Ф. Расчетные методы прогноза водного режима и его регулирование / Н. Ф. Бондаренко, С. С. Корчунов, С. В. Нерпин, И. И. Судницып, А. И. Якобе // Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. М.: Наука, 1964. - С. 32-43.

4. Бондаренко Н. Ф. О переносе влаги к фронту испарения при сильно нестационарном процессе / Н. Ф. Бондаренко, С. В. Нерпин, С. М. Пак-шина // Сб. трудов по агрономической физике. — JL, 1967. — Вып. 14.

5. Бондаренко Н. Ф. Физика движения подземных вод / Н. Ф. Бондаренко.

6. JL: Гидрометеоиздат, 1973.

7. Даутов Р. 3. Моделирование неустойчивости влагопереноса в ненасыщенных пористых средах / Р. 3. Даутов, А. Г. Егоров // Исследования по прикладной математике и информатике. — Казань: Казанский Государственный Университет, 2003. — Вып. 24. — 180 с.

8. Дмитриев С. И. К вопросу о применимости уравнения диффузии для изучения явления влагопроводности в почвогрунтах / С. И. Дмитриев, В. К. Нечаев // Труды ЛГМИ. 1962. - Вып. 13.

9. Долгов С. И. Гидросорбционный гистерезис почв / С. И. Долгов, А. А. Житкова, Г. Б. Виноградова // Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. — М.: Наука, 1964. — С. 62-70.

10. Егоров А. Г. Вычисление гидравлических функций на решётчатой модели пористой среды в приближении среднего поля / А. Г. Егоров, Б. Э. Гоголашвили // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2005. Т. 147. - Кн. 3. - С. 57-74.

11. Кулик В. Я. Исследование закономерностей движения воды в почво-грунтах: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Я. Кулик — JL: ГГИ, 1968.

12. Лебедев А. Ф. Роль парообразной воды в режиме почвенных и грунтовых вод / А. Ф. Лебедев // «Труды Южно-Русского мелиорационного съезда в Киеве»: отд. оттиск. — 1912.

13. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена / А. В. Лыков // Инженерно-физический журнал. — 1965. — Т. 9. — № 3.

14. Лыков А. В. Эффект инерционности в тепломассообменных явлениях / А. В. Лыков // Инженерно-физический журнал. — 1965. — Т. 9. — № 3.

15. Нерпин С. В. О расчёте нестационарного движения влаги в почве / С. В. Нерпин, Г. И. Юзефович, В. А. Янгарбер // Доклады ВАСХНИЛ. 1966.-№ 6.

16. Панфилов М. Б. Осреднённые модели фильтрационных процессов с неоднородной внутренней структурой / М. Б. Панфилов, И. В. Панфилова. — М.: Наука, 1996. 383 с.

17. Роде А. А Изменение всасывающего давления в почве в процессе испарения подвешенной влаги / А. А. Роде, Г. И. Романова // Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. — М.: Наука, 1964. -С. 54-61.

18. Роде А. А. Основы учения о почвенной влаге / А. А. Роде. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1965. — Т. 1. — 663 с.

19. Юзефович Г. И. Исследование нелинейного уравнения влагопереноса / Г. И. Юзефович, В. А. Янгарбер // Сб. трудов по агрономической физике. — Л., 1967. — Вып. 14.

20. Alt W. On nonstationary flow through porous media / W. Alt, S. Luckhaus, A. Visintin // Ann. Math. Рига Appl. J. 1984. - Vol. 136. - P. 303-316.

21. Bakke S. 3-D pore scale modelling of heterogeneous sandstone reservoir rocks and quantitative analysis of the architecture, geometry and spatial continuity of the pore network / S. Bakke, P. 0ren // Soc. Pet. Eng. — 1996.-SPE paper 35479.

22. Bauters T. W. J. Soil water content dependent wetting front characteristics in sands / T. W. J. Bauters, D. A. DiCarlo, T. S. Steenhuis, J.-Y. Parlange // J. Hydrol. 2000. - Vol. 231-232. - P. 244-254.

23. Beliaev A. Y. A theoretical model of hysteresis and dynamic effects in the capillary relation for two-phase flow in porous media / A. Y. Beliaev, S. M. Hassanizadeh // Transp. Porous Med. 2001. - Vol. 43. - P. 487510.

24. Beliaev A. Y. Analysis of a new model of unsaturated flow in porous media / A. Y. Beliaev, R. J. Schotting // Computational Geosciences. — 2002. — Vol. 5. P. 345-368.

25. Biggar J. W. Some aspects of the kinetics of moisture flow into unsaturated soil / J. W. Biggar, S. A. Taylor // Soil Sci. Soc. Am. Proc. — 1960. -Vol. 24. P. 81-85.

26. Blunt M. J. Pore-level modeling of wetting / M. J. Blunt, H. Scher // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 52(6). - P. 6387-6403.

27. Brooks R. H. Hydraulic properties of porous media / R. H. Brooks, A. T. Corey // Hydrol. Pap. 3 / Colorado State Univ. Fort Collins, 1964.

28. Collis-George N. Etude du mecanisme de la dessication des sols par evaporation / N. Collis-George, S. Henin, J. A. Kelley // C. R. Ac. Sc. Sc. 1963.-Vol. 257.

29. Cuesta C. Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: travelling waves / C. Cuesta, C. J. van Duijn, J. Hulshof // Euro. Jnl of Appl. Math. 2000. - Vol. 11. - P. 381-397.

30. Dautov R. Simulation of two-dimensional gravity-driven unstable flow / R. Dautov, A. Egorov, J. Nieber, A. Sheshukov // Proc. 14th Int. Conf. on Сотр. Meth. in Wat. Resour. (Delft, The Netherlands). Delft, 2002. -Vol. 1. - P. 9-16.

31. Davidson J. M. The dependence of soil water uptake and release upon the applied pressure increment / J. M. Davidson, D. R. Nielsen, J. W. Biggar // Soil. Sci. Soc. Am. Proc. 1966. - Vol. 30. - P. 298-304.

32. DiCarlo D. A. Experimental measurements of saturation overshoot on infiltration / D. A. DiCarlo// Water Resour. Res. 2004. - Vol. 40(4).

33. DiCarlo D. A. Modeling observed saturation overshoot with continuum additions to standard unsaturated theory / D. A. DiCarlo // Advances in Water Resources. 2005. - Vol. 28. - P. 1021-1027.

34. Dimcnt G. A. Stability analysis of water movement in unsaturated porous materials: 3. Experimental studies / G. A. Diment, К. K. Watson // Water Resour. Res. 1985. - Vol. 21. - P. 979-984.

35. Egorov A. Stability analysis of gravity-driven infiltrating flow / A. Egorov, R. Dautov, J. Nieber, A. Sheshukov // Water Resour. Res. — 2003. -Vol. 36. No 6. - P. 1266-1278.

36. Geiger S. L. Infiltration in homogeneous sands and a mechanistic model of unstable flow / S. L. Geiger, D. S. Durnford // Soil Sci. Soc. Am. J. — 2000. Vol. 64. - P. 460-469.

37. Glass R. J. Mechanism for finger persistence in homogenous unsaturated, porous media: Theory and verification / R. J. Glass, T. S. Steenhuis, J.-Y. Parlange // Soil Sci. 1989. - Vol. 148. - P. 60-70.

38. Gogolashvili В. E. Hydraulic functions of variably saturated porous media: Upscaling from single-pore to sample-scale model / В. E. Gogolashvili, A. G. Egorov, J. L. Nieber // Eos Trans. AGU, Fall Meet. Suppl. 2004.- 85(47). Abstract H31D-0435.

39. Hallaire M. Soil water movement in the film and vapor phase under the influence of evapotranspiration / M. Hallaire // Highw. Res. Board. — 1958.- Sp. Rep. Vol. 40.

40. Hallaire M. Diffusion de l'eau a l'etat vapeur et liquide en voisinage de la surface d'evaporation / M. Hallaire // UGGI. Assemblee Gen. — Toronto, 1958. — Vol. 11.

41. Hallaire М. The moisture potential of soil and availability of water to plants / M. Hallaire // Ann. Phys. Veg. 1960. - Vol. 2.

42. Hallaire M. Le potenciel efficace de l'eau daus le sol en regime de dessechement / M. Hallaire // „L'eau et la production vegetale". Institut National de la Recherche Agronomique. — Paris, 1964. — № 9.

43. Hassanizadeh S. M. Mechanics and thermodynamics of multiphase flow in porous media including interphase boundaries / S. M. Hassanizadeh, W. G. Gray // Adv. Water Resour. 1990. - Vol. 13. - P. 169-186.

44. Hassanizadeh S. M. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media / S. M. Hassanizadeh, W. G. Gray // Water Resour. Res. — 1993. — Vol. 29. P. 3389-3405.

45. Hassanizadeh S. M. Dynamic effects in the capillary pressure-saturation relationship / S. M. Hassanizadeh // 4th Int. Conf. on Civil. Eng. — Teheran, Iran, 1997. Vol. 4. - P. 141-149.

46. Hassanizadeh S. M. Dynamic effect in the capillary pressure-saturation relationship and its impacts on unsaturated flow / S. M. Hassanizadeh, M. A. Celia, H. K. Dahle // Vadose Zone J. 2002. - No. 1. - P. 28-57.

47. Hill S. Chanelling in packed columns / S. Hill // Chem. Eng. Sci. 1952. -No. l.-P. 247-253.

48. Hughes R.G. Pore scale modeling of rate effects in imbibition / R.G. Hughes, M. J. Blunt // Transport in Porous Media. — 2000. -Vol. 40(3). P. 295-322.

49. Iwamatsu M. Capillary condensation and adhesion of two wetter surfaces / M. Iwamatsu, K. Horii // J. Colloid Interface Sci. 1996. - Vol. 182. -P. 400-406i.

50. Kacimov A. R. Nonmonotonic moisture profile as a solution of Richards' equation for soils with conductivity hysteresis / A. R. Kacimov, N. D. Yakimov // Advances in Water Resources. — 1998. — Vol. 21(8). -P. 691-696.

51. Kirkham D. Some testes of the diffusion theory, and laws of capillary flow, in soils / D. Kirkham, L. Feng // Soil Sci. 1949. - Vol. 67. - P. 29^10.

52. Kirkpatrick S. Percolation and conduction / S. Kirkpatrick // Rev. Mod. Phys. 1973. - Vol. 45. - P. 574-588.

53. Lenormand R. Mechanisms of the displacement of one fluid by another in a network of capillary ducts / R. Lenormand, C. Zarcone, A. Sarr // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 135. - P. 337-353.

54. Lenormand R. Role of roughness and edges during imbibition in square capillaries / R. Lenormand, C. Zarcone // Proceeding of 59th SPE Annual Technical Conference and Exhibition — Houston, TX, 1984. — paper SPE 13264.

55. Lenormand R. Liquids in porous media / R. Lenormand // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. - Vol. 2. - P. 79-88.

56. Liu Y. Formation and persistence of fingered flow fields in coarse grained soils under different moisture contents / Y. Liu, T. S. Steenhuis, J.-Y. Parlange // J. Hydrol. 1994. - Vol. 159. - P. 187-195.

57. Mason G. Capillary behavior of a perfectly wetting liquid in irregular triangular tubes / G. Mason, N. R. Morrow // J. Colloid Interface Sci. -1991.-Vol. 141.-P. 262-274.

58. Miller R. D. Field capacity in laboratory columns / R. D. Miller, E. F. McMurdie // S. S. S. Am. Pr. 1953. - Vol. 17.

59. Mualem Y. A conceptual model of hysteresis / Y. Mualem // Water Resour. Res. 1974. - Vol. 10. - P. 514-520.

60. Nieber J. L. Modelling finger development and persistence in initially dry porous media / J. L. Nieber // Geoderma. 1996. - Vol. 70. - P. 207-229.

61. Nieber J. Dynamic Capillary Pressure Mechanism for Instability in Gravity-Driven Flows; Review and Extension to Very Dry Conditions / J. Nieber, R. Dautov, A. Egorov, A. Sheshukov // Transport in Porous Media. — 2005. Vol. 58. - P. 147-172.

62. Nielsen D. R. Experimental consideration of diffusion analysis in unsaturated flow problems / D. R. Nielsen, J. W. Biggar, J. M. Davidson // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1962. - Vol. 26. - P. 107-111.

63. Morel-Seytoux H. J. Soil water retention and maximum capillary drive from saturation to oven dryness / H. J. Morel-Seytoux, J. R. Nimmo // Water Resour. Res. 1999. - Vol. 35(7). - P. 2031-2041.

64. Or D. Liquid retention and interfacial area in variably saturated porous media: Upscaling from pore to sample scale model / D. Or, M. Tuller // Water Resour. Res. 1999. - Vol. 35. - No. 12. - P. 3591-3605.

65. Or D. Flow in unsaturated fractured porous media: Hydraulic conductivity of rough surfaces / D. Or, M. Tuller // Water Resour. Res. — 2000. — Vol. 36.-No. 5.-P. 1165-1177.

66. Otto F. О -contraction and uniqueness for unstationary saturated-unsaturated water flow in porous media / F. Otto // Adv. Math. Sci. Appl.- 1997. № 7. - P. 537-553.

67. Patzek T. W. Verification of a complete pore network model of drainage and imbibition / T. W. Patzek // Soc. Pet. Eng. 2000. - SPE paper 59312.

68. Prazak J. M. Oscillation phenomena in gravity-driven drainage in coarse porous media / J. M. Prazak, M. Sir, F. Kubik, J. Tywoniak, C. Zarcone // Water Resour. Res. 1992. - Vol. 28. - P. 1849-1855.

69. Richards L. A. The usefullness of capillary potential to soil moisture and plant investigations / L. A. Richards // J. Agr. Res. — 1928. — Vol. 37.

70. Richards L. A. Capillary conduction of liquids through porous mediums / L. A. Richards // Physics. 1931. - Vol. 1. - P. 318-333.

71. Ritsema C. J. Preferential flow mechanism in a water-repellent sandy soils / C. J. Ritsema, L. W. Dekker, J. M. N. Hendrickx, W. Hamminga // Water. Resour. Res. 1993. - Vol. 29. - P. 2183-2193.

72. Roberts J. N. Grain consolidation and electrical conductivity in porous media / J. N. Roberts, L. M. Schwartz // Phys. Rev. B. 1985. - Vol. 31.- P. 5990-5997.

73. Ross P. J. Equation for extending water-retention curves to dryness / P. J. Ross, J. Williams, K. L. Bristow // Soil. Sci. Soc. Am. J. 1991.- Vol. 55. P. 923-927.

74. Schroth M. H. Characterization of Miller-similar silica sands for laboratory hydraulic studies / M. H. Schroth, S. J. Ahearn, J. S. Selker, J. D. Istok // Soil Sci. Soc. Av. J. 1996. - Vol. 60. - P. 1331-1339.

75. Selker J. S. Fingered flow in two dimensions: 2. Predicting finger moisture profile / J. S. Selker, J.-Y. Parlange, T. S. Steenhuis // Water Resour. Res.- 1992. Vol. 28. - P. 2523-2528.

76. Smiles D. E. A test of the uniqueness of the soil moisture characteristic during transient, non-hysteretic flow of water in a rigid soil / D. E. Smiles, G. Vachaud, M. Vauclin // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1971. - Vol. 35. — P. 535-539.

77. Stauffer F. Cyclic hysteretic flow in porous medium column: model, experiment, and simulations / F. Stauffer, W. Kinzelbach // Journal of Hydrology. 2001. - Vol. 240. - P. 264-275.

78. Tuller M. Adsorption and capillary condensation in porous media-liquid retention and interfacial configurations in angular pores / M. Tuller, D. Or, L. M. Dudley // Water Resources Research. 1999. — Vol. 35(7). -P. 1949-1964.

79. Tuller M. Hydraulic conductivity of variably saturated porous media: Film and corner flow in angular pore space / M. Tuller, D. Or // Water Resour. Res. 2001. - Vol. 37. - No. 5. - P. 1257-1276.

80. Tuller M. Unsaturated hydraulic conductivity of structured porous media: A review of liquid configuration-based models / M. Tuller, D. Or // Vadose Zone Journal. 2002. - Vol. 1. — P. 14-37.

81. Ustohal P. Measurement and modeling of hydraulic characteristics of unsaturated porous media with mixed wettability / P. Ustohal, F. Stauffer, T. Dracos // Journal of Contaminant Hydrology. — 1998. — Vol. 33. — P. 5-37.

82. Wanna-Etyem C. Static and dynamic water content-pressure head relations of porous media. Ph. D. diss / C. Wanna-Etyem; Colorado State University. Fort Collins, CO, 1982.

83. Watson К. К. System dependence of the water content-pressure head relationship / К. K. Watson, F. D. Whisler // Soil. Sci. Soc. Am. Proc. 1968. - Vol. 32. - P. 121-123.

84. Wildenschild D. Flow rate dependence of soil hydraulic characteristics / D. Wildenschild, J. W. Hopmans, J. Simunek // Soil Sci. Soc. Am. J. — 2001.-Vol. 65. — P. 35-48.

85. Wong P.-Z. Flow in porous media: permeability and displacement patterns / P.-Z. Wong // MRS Bulletin. 1994. - Vol. 19(5). - P. 32-38.

86. Yanuka M. Percolation processes and porous media / M. Yanuka, F. Dullien, D. Enick // J. Colloid Interface Sci. 1986. - Vol. 112. - P. 24-41.

87. Youngs E. G. Redistribution of moisture in porous materials after infiltration / E. G. Youngs // S. S. 1958. - Vol. 86. - № 3-4.