Математическое моделирование водного и солевого режимов в почвах с фрактальной организацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Беданокова, Саида Юрьевна

• Беданокова, Саида Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беданокова, Саида Юрьевна

Введение

1 Математическое моделирование движения влаги в почвах с фрактальной организацией

1.1 Уравнения движения почвенной влаги и сопутствующие им начально-краевые условия.

1.2 Математическая модель влагосодержания слоя и обобщенное уравнение Филипа.

1.3 Модель влагосодержания слоя, основанная на уравнении Аллера, и анализ ее чувствительности.

1.4 Математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя.

1.5 Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса.

2 Математические модели солевого режима почв с фрактальной структурой

2.1 Основные уравнения модели и определение начально-краевых условий

2.2 Установившийся модельный вариант распределения солей в почвенном слое.

2.3 Нестационарная математическая модель солепереноса

3 Задача Коши и нелокальная краевая задача для обобщенного дробно осцилляционного уравнения

3.1 Обобщенная модель Ричардса движения почвенной влаги

3.2 Задача Коши для обобщенного осцилляционного уравнения

3.3 Нелокальная краевая задача для обобщенного осцилляционного уравнения

3.4 Задача Коши для дробного осцилляционного уравнения с флуктуирующей силой, линейно зависящей от объемной влажности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование водного и солевого режимов в почвах с фрактальной организацией»

В настоящее время достигнут определенный успех в разработке компьютерно реализуемых математических моделей процессов фильтрации в пористых средах с фрактальной организацией и памятью. Стало реальностью, что в основе этих моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка как по временной, так и по пространственной переменной, и их разностные аналоги. Этим обусловлен рост внимания исследователей к фрактальному анализу, дробному исчислению и актуальность развития методов решения начальных и краевых задач для таких уравнений, выступающих в качестве математических моделей процессов переноса в средах с фрактальной структурой [8], [9], [11], [12], [20].

Существуют различные определения фрактала [8,с. 194], [17,с. 15]. Более физическим и наглядным является определение Б. Мандельброта фрактала как структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому, образно говоря, выглядят одинаково, в каком бы масштабе её ни наблюдать. Коллоидное капиллярно-пористое тело поликапиллярной структуры, в особенности та его часть, которая образует эффективное поровое пространство, является примером системы, близкой к фрактальной.

Значительный интерес представляет разработка физически обоснованных математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры почвы на их водный и солевой режимы.

Влажность почвы является одним из наиболее быстро изменяющихся во времени t свойств почвы.

На важность математического моделирования процессов поступления влаги и растворимых солей в почву, их перераспределение, расходование и совместное движение обратили внимание многие исследователи: Аверьянов С.Ф. [1], Нахушев A.M. [10], Сербина Л.И. [19], Нерпин С.В. [14], Полубаринова-Кочина П.Я. [15], [16]. Основы рассмотрения водного режимов были заложены Г.Н. Высоцким [23, с.230].

Водно-солевой режим почв выступает важнейшей подсистемой системы автоматизированного проектирования мелиоративных и водохозяйственных систем [1], [2].

Известно, что почвенный раствор представляет собой структруиро-ванные фрактальные коллоидные образования, наличие которых существенно влияет на многие свойства почв, в том числе на их инфильтра-ционные и фильтрационные характеристики. Известно также влияние влажности, одной из важнейших характеристик почв, на фрактальные свойства почвенных коллоидов [21], [22].

Диссертация, состоящая из введения, трех глав и заключения, посвящена разработке и исследованию математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией.

В первой главе предложены математические модели водного режима в почвах, содержащих фрактальные коллоидные структуры, и алгоритмы их исследования. Эта глава содержит пять параграфов.

В §1.1 выводятся базовые уравнения движения почвенной влаги и сопутствующие им начальные и краевые условия. Здесь на основе модификации известной в физике почв схеме М. Аллера, приводящей к уравнению диффузии, которая дает истолкование наличия потоков против потенциала влажности, и посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности получены новые уравнения влагопереноса, учитывающие фрактальные свойства почвенных коллоидов.

Показано, что основное уравнение движения влаги имеет следующий вид: где w(x,t) - влажность (в долях единицы) в точке х слоя 0 < х < г в момент времени t от начального t = 0 до расчетного t = Т, <9^ -регуляризованный оператор Римана-Лиувилля порядка а б]0,1], D(w) -коэффициент диффузитивности, к^ - обобщенный коэффициент Аллера; а сопутствующие ему локальные и нелокальные краевые условия заданы формулами: w{x:t)dx = S(a)(t), 0 < а < 1; wx(r,t) = i/>r(t); wx(0,t) - wx(r,t) = f^t);

Wx(0,t) = f0(t). где wx(x, t) =

Здесь и далее регуляризованный оператор Римана-Лиувилля <9^ или оператор дробного в смысле М. Капуто [32] дифференцирования порядка а по временной переменной t определяется следующим образом.

Пусть L[О, Т] - множество функций <p(t), абсолютно суммируемых на временном сегменте [О, Т]; [а] - целая часть действительного числа а; .Dot ~ оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля интегродифферен-цирования порядка | а | с началом в начальный момент времени t = 0, а с концом в текущий момент t > 0, который действует на функцию (p(t) £ L[0,T] по формуле (см.[8, с.28])

Щч> =

1 fJPil)dr n г(—q) J {t-T)°+l' " U' = o, дат Dot <p, a > 0, где

00 вд=£ k=0 l)fc 1 A;! 2 + &

00

J f'hxpi-tfdt, хф 0,-1,-2,.

- гамма-функция Эйлера. Тогда по определению

ЯТ1 Щп - 1 < а < n = 1,2,.

Если п = 1, 0 < а < 1, то (см.[32,с.236])

Выражение часто называют производной Капуто от функции ip(t) порядка а.

В этом же параграфе для прогнозирования динамики объемной влажности почвы в = 9 (ж, t) (запас влаги в точке х в момент времени t) предложено линейное уравнение смешанного типа д20 д29 cosign{U -1) - t\p -jj-p, 0 < t < T, с нелокальным краевым условием г д [

Do— / 9(я, t)dx = cr\t- U\p sign(U -1), где со, р, Do и сг - параметры модели, t* - время, когда объемная влажность достигает максимально допустимое значение.

В §1.2 разработана математическая модель влагосодержания почвенного слоя и предложено обобщенное уравнение Филипа для почв с фрактальной характеристикой а.

Задача нахождения влагосодержания слоя S(t) по начальному условию <£(0) = Jo эквивалентно сведена к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода с оператором Римана-Лиувилля , которое входным данным c(t), f(t) сопоставляет единственное решение 5(t), определяемое методом итерации с любой наперед заданной точностью.

В случае, когда c(t) = с = const, влагосодержание почвенного слоя в любой момент времени вычисляется по следующей весьма эффективной формуле

ОД - D^c(t)S(t) = 6о + D~maf (т) х 0 где о

- функция Миттаг-Леффлера [3, с. 117].

Основной результат §1.2 сформулирован в виде следующей теоремы: Теорема 1.1. Для почв с фрактальной организацией с коэффициентом диффузитивности D(w) = /3(1 + jw), (3 = const, 7 = const и с нелокальным краевым условием wx(0,t) —wx(r,t) = е в качестве математической модели влагосодержания почвенного слоя 0 < х < г можно принять уравнение

ЗДт) - efa6(t) = Ре с начальным условием $(0) = £0 > единственное решение которого задается формулой

S(t) = S0Ea[s^ta] + PetaElla[shta\а + 1]. В этой теореме функция

00 и zk

E1/a[z; а + 1] = У] k=О

- означает функцию типа Миттаг-Леффлера.

Из теоремы 1.1 следует, что суммарную инфильтрацию Q(t, а) можно вычислить по обобщенной формуле

W'a> Г(а+1) Г(2а + 1) ' которая существенным образом обобщает известное уравнение Филипа.

В §1.3 предложена математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера dw д (pdw d2w' dt дх V дх dxdt и проведен анализ её чувствительности по Адамару. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.2. Для почв с фрактальной организацией и с постоянным коэффициентом диффузитивности и коэффициентом Аллера, с уравнением движения влаги d2w{x,t) d2w(x,r) д{lw(x, г) = D дх2 + Vot дх2 ' начальным условием w(x, 0) = 0 < х < г, и граничным условием второго рода wx(0,t) = fi{t), wx(r,t) = 0, 0 < t < Т в качестве математической модели влагосодержания почвенного слоя 0 < х < г можно принять решение задачи Коти <5(0) = <5о для уравнения dSt8(T) = -Df1(t)-kfldSMr)1 единственное и устойчивое решение которого задается формулой

S(t) = 50- DD^hir) - Mji(t)

Если градиент влажности представим в виде п fl(t) = y^Ajfj, Aj = const, £ = const,

J=0 mo 5(t) определяется формулой

5(t) = S0- DtaEye[Xt£-, 1 + a}- Xk.fE^lXf; 1 + e], если же fi(t) = Ey£[Xt£', 1], mo

S(t) =SQ- DtaEl(e[Xt£; 1 + a}- Xk^E^Xf; 1 + e],

5{t) = 80-(D-{- Хк^аЕ1/а[Х1а- 1 + a], e = a.

Здесь

- полином Миттаг-Леффлера.

В параграфе 1.4 рассматривается математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя 0 < х < г. Главным результатом §1.4 является

Теорема 1.3. Единственное решение w(x,t) начально-краевой задачи: w(0,t) = f0(t)

W — f ( ) — О дх ж=о дх х=г г О для уравнения

Эдг) = WlM дх2 задается формулой /ой + + !(r,)+ о где

F01(t) = зад (t) + д&кМч) +

В последнем параграфе первой главы построена математическая модель запаса почвенной влаги, которая основана на линеаризованном уравнении Ричардса д2и Л + Signy\y\P—- = 0, 0 < X < Г, с нелокальным условием г

Ид.(г, J/) - иж(0, у) = X J и(х, y)dx, Т < у < Т+, где

У = (t~ U)y/cH, и(х, у) = 0(я, tt + у/у/со),

А = const > 0, T- = -tty/qi, Т+ = Т — U\fc.

Основной результат §1.5 можно сформулировать следующим образом: уравнение Aytf(y) = 0, Т.<у<Т+ представляет собой уравнение движения запаса почвенной влаги и его решение можно записать в виде

Ai{z)+

0) 2tf'(0)

Bi(z) № где z = —y\/~\, A{(z) и Bi(z) - функции Эйри первого и второго рода соответственно:

Г (к + 2/3) 92/3Г(& + 4/3)

ВД = £

1-j 9*+1/зГ(Л + 1)

1 г

Г(к + 2/3) 92/3Г(А: + 4/3)

Функцию Эйри первого рода можно записать и в следующем виде [6, с. 175]: 2 А зт(Щк + 1)) / z .

Объектом исследования второй главы, состоящей из трех параграфов (§2.1-2.3), являются математические модели солевого режима в почвах с фрактальной структурой.

Первый параграф посвящен базовым уравнениям математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры на солевой режим. В качестве уравнения движения солей предложено дифференциальное уравнение дробного порядка следующего вида: g = D}dSXU) - + F[n], где и = u(x,t) - концентрация c(x,t) почвенного раствора в точке х почвенного слоя 0 < х < г в момент времени t > 0; а = Co/mi фактическая скорость движения воды в порах грунта; со - постоянная скорость фильтрации; mi - порозность; ит - предельная концентрация насыщения; F(u) = b(um — и) или F(u) = b[um — <5(t)];

- среднее солесодержание почвенного слоя мощности г; Df и b - коэффициент фрактальной диффузии и коэффициент растворимости соответственно; предполагается, что число а принадлежит полусегменту ]п — 1 , n], п = 1,2,. и пропорционален (или равен) фрактальной размерности почвенного слоя.

В §2.1 проведен качественный анализ уравнения в частных производных дробного порядка а как базового уравнения математической модели движения солей для всех а £]п — 1, п], сделав особый акцент на случай зональных почв с фрактальной размерностью D, 2.4 < D < 3.22 и 2.4 < а < 3.22, получена эффективная формула для определения среднего солесодержания 6(t).

В §2.2 рассмотрен модельный вариант стационарного распределения солей в почвенном слое, в основе которого лежит уравнение

Главный результат этого параграфа - алгоритм поиска решения задачи Коши для этого уравнения и эффективная формула позволяющая определить градиент концентрации солей в любой точке х г О ао>(0 - шаи'{х) = 0, 0 <х<г, где иоа = a/Df. и'(х) = v(x) = Ea-i[u)axa !]С1 + хЕща1)[иаха х; 2]с2, почвы с фрактальной размерностью а €]2,3[. Здесь с\ = i>(0), С2 = г/(0), п=оо и

Еща-Ф\21 = Г(2 + к(а - 1))

К—и

- функция, названная М.М. Джрбашяном [3, с. 117] функцией типа Миттаг-Леффлера.

В §2.3 предлагается и исследуется нестационарная математическая модель солепереноса, для которой уравнение $'(t) = Dfd$xu(Z, t) - аих, 1 < а < 2 с граничным условием

D/ux(0,t) = <p(t), 0 < t < Т является базовым. Пусть /3 = а — 1, г т = - J r(x)dx1 т(х) = и(х, 0) о

- среднее значение концентрации почвенного раствора в начальный момент времени.

Основным результатом этого параграфа является следующая формула:

TE1W[As"; 2 + /?] /ss/w ( D,t \

BW[Ar";3 + (3] \r) 6XP 1 + /?]/' определяющая распределение солей в почвенном слое мощности г.

В третьей главе рассматривается обобщенное дробное осцилляцион-ное уравнение, которое является важным вариантом модельного уравнения движения почвенной влаги, и даются алгоритмы его решения. Данная глава состоит из четырех параграфов.

-16В §3.1 предложена обобщенная математическая модель движения почвенной влаги, которая вытекает из обобщенного уравнения Ричардса

HQ Dd&Gfat), 0 <х<г, п — 1 < а < п = 1,2,., для объемной влажности Q(x, t), и задается следующей системой уравнений:

9{x,t) = u(x)v(t), v'(t) = Dv(t)[\ - ev(t)l m daQxu(i) + uiau(x) = \jDZu(t) + ip{x), 0 < x < r,

3=1 где ui = const >0, Xj = const, aj = const, e = const, cp(x) - "флуктуирующая сила".

Объектом исследования параграфа 3.2 является задача Коши для неоднородного обобщенного осцилляционного уравнения

Lau = <90>(г) + иаи(х) = f(x), (0.1) которое является важным вариантом математической модели, предложенной в §3.1. Основной результат этого параграфа сформулирован следующей теоремой:

Теорема 3.1. Пусть функция f(x) имеет суммируемую производную порядка п — а с началом в точке 0 и концом в точке х 6 [0, г] и lim DQ~a~1f(t) = 0. Тогда любое регулярное решение и(х) уравнения х-ьО

0.1) представимо в виде п-1 и(х) = ]Г\<*>(0 к + 1]+ к=О

1 (х- t)a~1Ei/a[-uja(x - t)a; a]f{t)dt. о

Теорема 3.1 позволяет найти эффективную формулу решения задачи Коши для уравнения (0.1).

Для формулировки основных результатов §3.3 введем в рассмотрение следующие функции: функции названные в работе [33, с. 77] обобщенными тригонометрическими функциями; функция Хевисайда Н(х).

В §3.3 для обобщенного однородного осцилляционного уравнения Lau = 0, где сформулирована задача с нелокальными краевыми условиями и найдены необходимые и достаточные условия её однозначной разрешимости; доказана справедливость следующих двух теорем: Теорема 3.2. Пусть у(х) - решение уравнения функция типа Миттаг-Леффлера Еур[г-, ц]-,

Lau = dQXu(t) + шаи(х),

Lay = 0, удовлетворяющее условиям у( 0) = 0, 1^(0) = ^), тогда у(х) = 0 при 1 < а < 2. Если а = 2, то у(х) = 0, тогда и только тогда, когда г ф ^к, к = 0,1,2,.

Теорема 3.3. Пусть 1 < а < 2 и при а = 2 соблюдено условие 27Г, тф—к, к = 0,1,2,. со

Тогда единственное решение и(х) однородной краевой задачи и(0) = 0, и'(0) - «'(г) для уравнения

Lau = дцхи(Ь) + а/*и(ж) = /(ж), 0 < ж < г, о; = const > О, с правой частью f(x) Е С[0, г] задается формулой г и(х) = J G(x,t)f(t)dt, о где sinQ(wa:) 2 w[l — cosa(o;r)]

Последний параграф 3.4 посвящен уравнению Lau = F(u) с флуктуирующей силой т

Р(ч) = ^\з(х)Ва0>хи(1) + <р(х), где Лj(x) и (р(х) - заданные функции из класса C[0,r], ay - отрицательные числа, а\ < аз < . < ат. Здесь методом редукции к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, доказана следующая теорема единственности и существования решения задачи Коши для уравнения Lau = F(и).

Теорема 3.4. Задача Коши:и^(0) = а*, к = 0,1 , .,n- 1 для уравнения Lau = F(u) имеет и притом единственное решение.

В заключении сформулированы девять основных научных результатов диссертационной работы, выносимых на защиту.

Метод доказательства теоремы 3.4 одновременно дает эффективный алгоритм построения решения задачи Коши для осцилляционного уравнения с флуктуирующей силой, линейно зависящей от объемной влажности. Метод сводит задачу к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода с непрерывными ядром и правой частью, решение которого можно найти с любой наперед заданной точностью.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Беданокова, Саида Юрьевна

Заключение

В диссертации впервые разработаны и исследованы качественно новые математические модели движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией.

Основными научными результатами являются:

1. Вывод базовых уравнений движения почвенной влаги и описание сопутствующих им начально-краевых условий.

2. Математическая модель влагосодержания почвенного слоя, содержащего фрактальные коллоидные структуры, и эффективные формулы для вычисления влагосодержания слоя, а также суммарной инфильтрации, существенно обобщающая формулу Филипа.

3. Исследование на разрешимость и чувствительность математической модели влагосодержания почвенного слоя, основанной на уравнении Аллера и теорема об единственном и устойчивом решении задачи Коши.

4. Математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя и теорема об алгоритме её разрешимости.

5. Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса смешанного эллиптико-гипербо-лического типа, и конструктивная формула для его вычисления, содержащая функции Эйри первого и второго рода.

6. Качественный анализ базового уравнения математических моделей солевого режима в почвах с фрактальной структурой и алгоритм решения задачи Коши для его стационарного варианта.

7. Разработка схемы построения аналитического решения начально-краевой задачи для нестационарного нагруженного уравнения солепереноса, основанной на формуле Хилле-Тамаркина.

8. Вывод обобщенного осцилляционного уравнения движения почвенной влаги, основанного на модифицированной модели Ричардса и доказательство теоремы об аналитическом представлении его решения через функцию Миттаг-Леффлера.

9. Теорема об интегральном представлении решения нелокальной задачи для неоднородного осцилляционного уравнения движения почвенной влаги и теорема об однозначной разрешимости задачи Коши для этого уравнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беданокова, Саида Юрьевна, 2007 год

1. Аверьянов С. Ф. Борьба с засолением орошаемых земель. М.: Колос,1978.- 288 с.

2. Веригин Н.Н., Шержуков Б. С., Шапинская Г.П. К расчету промывания засоленных почв при действии дренажа //. Тр. коорд. совещ. по гидротехн.35. 1967. С.27-36.

3. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

4. Ионкин И.Н., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения.1979. Т. 15, 7. С. 1294-1297.

5. Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д., Гордеев Л.С., Вертегел А.А. Нелинейная динамика термодинамики необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия, 2001.-408с.

6. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физма-тлит, 1963.-358 с.

7. Михайлов В.П. О базисах Рисса в Ь2(0,1) // ДАН СССР. 1962. Т. 144, 5. С. 981 984.

8. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш.шк., 1995.-301 с.

9. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 59 с.

10. Нахушева В. А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса // Автореферат кандидатской диссертации. -Нальчик, Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 1998.

11. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 526 с.

12. Нерпин С.В., Чудковский А.Ф. Энерго и массообмен в системе растение-почва-воздух. Л.: Гидрометиздат, 1975.-358 с.

13. Полубаринова-Кочина П.Я., Пряженская В. Т., Эмих В.Н. Математические методы в вопросах орошения. М.: Наука, 1969.

14. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

15. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Университетская книга, 2005.-848 с.

16. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. - 688 с.

17. Сербина Л. И. Об одной математической модели переноса субстанции во фрактальных средах // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. 9. С. 17-28.

18. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой // Автореферат докторской диссертации. Нальчик, Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 2002.

19. Федотов Г.Н., Третьяков Ю.Д., Иванов В.К., Куклин А.И., Пахо-мов Е.И., Исламов А.Х., Початкова Т.Н. Фрактальные коллоидные структуры в почвах различной зональности // ДАН. 2005. Т. 405. 3. С. 351-354.

20. Федотов Г.Н., Третьяков Ю.Д., Иванов В.К., Куклин А.И., Пахо-мов Е.И., Исламов А.Х., Початкова Т.Н. Влияние влажности на фрактальные свойства почвенных коллоидов // ДАН. 2006. Т. 409. 2. С. 199-201.

21. Шеин Е.В. Курс физики почв. М.: Издательство МГУ, 2005.-432с.

22. Barett J.H. Differential equation of non-integer // Canad. J. Math. 1954. V.6. 4. P. 529-541.

23. Hallaire Leon et productios vegetabl. Institut National de la Reche Agronomique, 9, 1964.

24. Беданокова С.Ю. Задача Коши и нелокальная краевая задача для обобщенных дробно осцилляционных уравнений // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. 2005. Т. 8. 1. С. 9.

25. Беданокова С.Ю. Математическое моделирование солевого режима почв с фрактальной структурой // Вестник Самарского государственного технического университета.Серия "Физико-математические науки." № 1 (15 2007).

26. Беданокова С.Ю. Математическое моделирование солевого режима почв с фрактальной структурой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. 2005. Т. 8. № 2. С. .90.

27. Беданокова С.Ю. Уравнение движения влаги и математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Адлера // Вестник Адыгейского государственного университета (принято к печати).

28. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. 272 с.

29. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

30. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИИЛ, 1957. 443 с.- 10235. Псху А.В. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. Т. 77, 4. С. 592-599.

31. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.