Нестационарные волновые процессы в упругих двусвязных областях, ограниченных сферическими поверхностями и плоскостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Шукуров, Амон Мусурманович

• Шукуров, Амон Мусурманович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шукуров, Амон Мусурманович

Введение.

Глава 1. Основные соотношения теории нестационарной гидроупругости.

§1.1. Линейная теория упругости.

§ 1.2. Акустическая среда.

§ 1.3. Уравнения движения тонких упругих оболочек.

§ 1.4. Начально-краевые задачи для двусвязных областей.

§ 1.5. Некоторые свойства модифицированных сферических функций

Бесселя и полиномов Лежандра.

Глава 2. Распространение нестационарных волн от сферического включения в упругом полупространстве.

§ 2.1. Распространение кососимметричных волн сдвига от сферического включения в полупространстве.

§ 2.2 Распространение осесимметричных волн от сферической полости в упругом полупространстве.

§ 2.3 Алгоритм обращения преобразования Лапласа и примеры расчетов.

Глава 3. Нестационарные колебания упругого полупространства с включением в виде сферической оболочкой или шара.

§ 3.1. Распространение в упругом полупространстве нестационарных волн от сферической полости, подкрепленной тонкой сферической оболочкой.

§ 3.2. Дифракция нестационарных волн на тонкой сферической оболочке в упругом полупространстве.

§ 3.3. Результирующая сила на неподвижном абсолютно жестком

1 "':> шаре в упругом полупространстве.

§ 3.4. Численные результаты.

Глава 4. Нестационарные колебания упругого пространства с двумя сферическими включениями.

§ 4.1. Нестационарное поведение упругого пространства с двумя сферическими полостями.

§ 4.2. Нестационарные колебания упругого пространства, содержащего сферическую полость и шар.

§ 4.3. Нестационарные колебания упругого пространства со сферической полостью или абсолютно жестком шаром и оболочкой. t

§ 4.4. Нестационарные колебания упругого пространства с двумя тонкими сферическими оболочками.

§ 4.5. Численные результаты.

Глава 5. Динамика упругой среды, ограниченной двумя тонкими эксцентричными сферическими оболочками.

§ 5.1. Нестационарное поведение тонкой сферической оболочки, заполненной упругой средой с эксцентричной расположенной сферической полостью. v»

§ 5.2. Нестационарное колебание упругой среды сферической формы с внутренней эксцентричной сферической оболочкой.

§ 5.3. Нестационарные колебания системы двух эксцентрично распопа ложенных тонких сферических оболочек.

§ 5.4. Численные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные волновые процессы в упругих двусвязных областях, ограниченных сферическими поверхностями и плоскостью»

Развитие различных областей техники и создание новых конструкций, работающих при нестационарных динамических воздействиях, современные задачи самолетостроения, судостроения, геофизики и сейсмологии, а также ряд других тенденций научно-технического характера способствуют повышению актуальности проблем динамики деформируемых тел. К числу таких проблем относятся вопросы распространения и дифракции ударных волн на различного типа неоднородностях (включения, полости и т. д.). Их исследование связано, как правило, с большими сложностями, как в силу математических проблем, возникающих при решении соответствующих начально-краевых задач, так и физической трактовки результатов, что привлекает внимание физиков, математиков и механиков актуальностью, сложностью и многообразием явлений, связанных с различными механическими и физическими процессами.

Рассмотрению возникающих при изучении этой проблемы разнообразных вопросов посвящены многочисленные публикации в периодической научной литературе, а также монографии В. М. Александрова и Е. В. Коваленко [1], В. И. Буйвола [17], А. С. Вольмира [23], Ш. У. Галиева [24, 25], А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [34, 35], Э. И. Григолюка и А. Г. Горшкова [48, 49], А. Н. Гузя и В.Т. Головчана [50], А. Н. Гузя и В. Д. Кубенко [52], Б. В. Замышляева и Ю. С. Яковлева [58], В. Д. Кубенко [65], Е. Н. Мнева и А. К. Перцева [80], Ш. Маматкулова [77], Ш. Наримова [82], У. К. Нигула, Х.А. Метсавээра, Н. Д. Векслера и М. Э. Кутсера [84], Г. И. Петрашеня [89], В. Б. Поручикова [91], X. А. Рахматулина, Я. У. Саатова, И. Г. Филиппова и Т. У. Артыкова [92], Т. Рашидова [93], Т. Рашидова, Г. X. Хожметова и Б. Мардонова [94], Я. У. Саатова [96], И.Г. Филиппова, Т. Ш. Ширинкулова и С. Миркабилова [106], Е. И. Шемякина [107, 108], Ю. С.

Яковлева [119], Y. Н. Pao, С.-С. Mow [141], Н. Huang'a, Y. P. Lu и Y. F .Wang'a [131] и других.

Обширную библиографию, посвященную исследованиям этого направления, можно найти в обзорных статьях и монографиях А.Г. Горшкова [29],

A. Г. Горшкова и В.И. Пожуева [31], А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [33], А. Н. Гузя и В. Д. Кубенко [52], А. В. Вестяка, А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [19, 20].

В настоящее время достаточно полно изучены вопросы о распространении и дифракции нестационарных ударных волн на единичном препятствии типа полости или инородного включения в безграничных упругой и акустической средах. Этой тематике посвящены монографии и работы Ш.У. Галиева [24], Э. И. Григолюка и А. Г. Горшкова [48, 49], А.Г. Горшкова и Д.

B. Тарлаковского [34], А. Н. Гузя и В. Д. Кубенко [52], Б. В. Замышляева и Ю. С. Яковлева [58], В. Д. Кубенко [65], С. С. Кохманюка, Е. Г. Янютина и J1. Г. Романенко [62], Е. Н. Мнева и А. К. Перцева [80], У. К. Нигула, X. А. Мет-савээра, Н. Д. Векслера и М. Э. Кутсера [84], А. К. Перцева и Э. Г. Платонова [88], В. Б. Поручикова [91], Л. И. Слепяна [100], И. Г. Филиппова и О. А. Егорчева [105], Y. Н. Pao, С.С. Mow [141], Н. Huang'a, Y. P. Lu, Y. F. Wang'a [131], Н. Huang'a, Y. F. Wang'a [132] и других авторов.

Область приложений результатов, полученных в нестационарной аэро-гидроупругости тонкостенных конструкций, непрерывно расширяется. Например, в монографии Горшкова А.Г., Морозова В.И., Пономарева А.Г. и Шклярчука Ф.Н. [30] излагается постановки и методы решения самых разнообразных задач из области аэрогидроупругости в приложении к летательным и подводным аппаратам различного назначения, а в монографии Бадалова Ф.Б. и Хашимова Ж. [12] приведены решения задач и расчеты, используемые в области гидроупругости пластин и оболочек.

В монографии [2] приведены методы и результаты решения для неклассических пространственных задач механики контактных взаимодействий упругих тел, полуограниченных и ограниченных размеров. Задачи рассмотрены в рамках линейной теории упругости, решения которых построены численно-аналитическими методами.

Ниже приводится кроткий обзор литературы, содержащей исследования по двум направления: 1) стационарные и 2) нестационарные волновые процессы в многосвязных областях, занятых упругой или акустической средой.

Большое число публикаций посвящено задачам о распространении и дифракции стационарных волн в многосвязных областях. Полученные результаты по этому вопросу приведены в монографиях А.Н. Гузя и В.Т. Головчана [50], А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко и А.Э. Бабаева [51], В.Н. Буйвола [17], В.Т. Головчана, В.Д. Кубенко, Н. А. Щульги, А.Н. Гузя и В.Т. Гринченко [28] и опубликованы в работах [3, 16, 56, 57, 66, 73, 75, 87, 95, 97]. В статье В.Д. Кубенко [66] изложен подход к решению задач о рассеянии стационарных акустических волн на двух непараллельных круговых цилиндрах, расположенных в безграничной среде. В результате получена бесконечная система интегроалгебраических уравнений. Влияние полуограниченности акустического пространства при падении плоской волны на тонкую упругую сферическую оболочку изучено в [95]. Искомое давление представляется в виде разложений в ряды по сферическим функциям. Получена бесконечная система алгебраических уравнений с использованием метода мнимых источников и теоремы сложения для сферических волновых функций. В [87] приведено решение задачи об установившихся колебаниях сферической оболочки в идеальной жидкости со свободной поверхностью. Определяется влияние свободной поверхности жидкости на частоты колебаний сферической оболочки. И. В. Савиной [97] исследовано взаимодействие плоских акустических волн с гидроупругой системой коаксиальных бесконечно длинных цилиндрических пьезокерамических оболочек, лежащих вблизи плоской границы полупространства. Задача сведена к решению бесконечной линейной алгебраической системы с комплексными коэффициентами.

С. А. Лунева [75] изучила волновые поля, возникающие в результате дифракции плоской продольной волны на двух параллельных частично защемленных круговых цилиндрах. В [73] методом разделения переменных в эллиптических координатах решена задача о рассеянии плоских волн при нормальном падении на бесконечную решетку одинаково ориентированных идеально податливых эллиптических цилиндров. Л. А. Алексеевой [3] получено аналитическое решение задачи о стационарной дифракции волн на круговом отверстии в упругой полуплоскости. Использованы метод разделения переменных, переразложения цилиндрических функций на плоские волны и метод многократных отражений. В [56, 57] рассмотрены взаимодействия двух твердых тел при дифракции плоской акустической волны в неограниченной идеальной жидкости. С использованием теоремы сложения сферических функций задача сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Колебания упругого полупространства с цилиндрической полостью под действием подвижной нагрузки, приложенной на плоской границе, изучены в [85]. Поверхность полости свободна от напряжений. Исследовано изменение во времени поля напряжений вокруг полости. Соответствующая система уравнений в частных производных, записанная в биполярной системе координат, проинтегрирована численным методом С. К. Годунова. В [120] рассмотрено однократное отражение продольных и поперечных упругих волн от цилиндрической полости, расположенной в упругом полупространстве, на плоской границе которого приложено нормальное давление.

Дифракция стационарной плоской упругой волны сдвига на цилиндрических полостях в изотропном полупространстве рассмотрена в [16]. Краевая задача сводится по решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно амплитудных коэффициентов рассеянных волн. Задача о дифракции сдвиговых волн на полостях и жестких включениях в полупространстве с защемленной и свободной от сил границей исследована также в [81]. Расчеты проводились для цилиндрических полостей и жестких включений эллиптического сечения. Дифракция стационарной сферической волны на системе двух сферических полостей разного диаметра, находящихся в безграничной однородной изотропной упругой среде изучена в [133]. Поверхности полостей свободны от напряжений. Напряженное состояние среды определяется путем суперпозиции потенциалов отраженных волн от обеих полостей. Потенциалы отраженных волн представлены в виде рядов по функциям Ханкеля и полиномам Лежандра. Определяется динамический коэффициент концентрации напряжений в окрестности полостей.

В [123] исследована дифракция пульсирующей волны Релея на сферической полости в упругом полупространстве. Подобная задача для цилиндрической полости рассмотрена также в работе [125].

В статье [124] изучена дифракция упругих стационарных волн на системе жестких параллельных цилиндров, находящихся в неограниченной упругой изотропной среде. Численные результаты приведены для случая двух цилиндров. Аналогичная задача для двух параллельных цилиндрических полостей исследована в [143, 144]. В первой работе получено решение задачи, во второй - приведены численные результаты и их анализ. В работе [122] исследована дифракция волны сдвига в неограниченной изотропной упругой среде, содержащей N параллельных жестких цилиндров. В [130, 147] рассмотрены гармонические колебания упругого полупространства с цилиндрической полостью. Плоская граница полупространства свободна от напряжений. В [147] полагается, что к поверхности полости приложены нормальные и касательные напряжения. Решения волновых уравнений определяются методом многократных отражений. В работах [121, 145] изучена динамическая реакция упругого изотропного полупространства со сферической полостью. В [121] на поверхности полости задано давление.

Потенциалы продольных и поперечных волн раскладываются в ряды по функциям Ханкеля и полиномам Лежандра. В [146] решение задачи получено с использованием метода многократных отражений волн от плоской границы и от поверхности полости.

В работе [126] изучена задача о дифракции волны на некруговой цилиндрической полости, расположенной в круговом цилиндре. Краевая задача решалась с использованием комбинированного метода конечных элементов. Найдены динамические напряжения и перемещения в окрестности некруговой полости.

В [139] рассмотрено отражение стационарной сферической продольной волны, излучаемой сферическим источником, от плоской границы упругого полупространства.

В настоящее время актуальными, но малоизученными являются задачи о распространении и дифракции нестационарных ударных волн в многосвязных областях. В частности, представляют интерес исследования переходных процессов в областях с системой отражающих тел, границы которых не принадлежат к одному семейству координатных поверхностей. Результаты исследований закономерностей распространения и дифракции нестационарных волн в акустическом полупространстве с преградами (жесткая сфера, сферические и цилиндрические оболочки), приведены в монографии А. Э. Бабаева [7] и публикациях [5, 6, 8, 9, 10, 27, 61, 67, 90]. В [7] изложен аналитический метод решения нестационарных задач аэрогидроупругости и гидроэлектроупругости, позволяющий сводить их к интегральным уравнениям Вольтерра с запаздывающими аргументами, и приведены решения задач о дифракции акустических ударных волн на полых цилиндрической или сферической оболочках, находящихся вблизи плоской границы. Исследовано влияние жесткой стенки и свободной границы полупространства на напряженно-деформированное состояние сферической и цилиндрической оболочек. Обоснована правомерность применения к полученной бесконечной системе интегральных уравнений метода редукции.

Взаимодействие плоской акустической ударной волны давления с системой двух жестких параллельных круговых цилиндров разного радиуса рассмотрено в [5]. Начально-краевая задача решается методом, предложенным в [6]. Исследование задачи о дифракции нестационарной волны давления на жесткой сфере, расположенной вблизи свободной поверхности, приведено в [67]. Получена формула для гидродинамического давления.

Наряду с аналитическими и полуаналитическими подходами наблюдается развитие и широкое использование численных методов: конечно-разностных, конечного элемента, характеристик и др., что обусловлено повышением технических возможностей современных ЭВМ. При исследовании переходных процессов в сплошных средах они применялись В.Г. Баженовым [13, 14], В.Д. Кубенко, М.В. Степаненко [68, 69], Ш.У. Галиевым [24], А.И. Бабичевым [11] и др. Численные методы привлекают своей универсальностью и позволяют проводить расчеты с учетом нелинейных эффектов для сред с разрывными параметрами (сильные ударные волны) и в случае границ раздела сложного очертания. Несмотря на универсальность численных схем, они нуждаются в проверке достоверности с помощью тестовых примеров, что подтверждает целесообразность развития аналитических методов.

В работе [138] приведены решение задачи о распространении нестационарных волн от полости в акустическом полупространстве и сравнение с результатами, полученными авторами работы [36]. В первой статье эта задача решена методом конечных элементов, а во второй решение построено аналитическим методом.

Численное решение задач о нестационарном действии ударных волн на тонкостенные оболочки, расположенные вблизи жесткой стенки акустического полупространства, дано в [10]. Движение жидкости описывается системой нелинейных уравнений газовой динамики, а динамическое поведение оболочек — уравнениями геометрической нелинейной теории оболочек типа С. П. Тимошенко. Напряженно-деформированное состояние неограниченной упругой изотропной среды с двумя сферическими полосями рассмотрено в [28]. Полагалось, что на поверхностях полостей заданы нормальные и касательные напряжения.

В статье [53] изучены нестационарные колебания упругого полупространства, содержащего бесконечно длинное жесткое цилиндрическое тело. Плоская граница свободна от напряжений. Движение тела задано. Соответствующая начально-краевая задача, представленная в биполярной системе координат, интегрировалась методом конечных разностей.

Публикации [61, 74, 78, 83, 107, 148] посвящены исследованию отражения волн от свободной поверхности упругого полупространства, содержащего сферический и точечный источники. В [61] построено поле смещений, возникающее в результате отражения от свободной границы упругого полупространства падающей на нее осесимметричной упругой волны, излучаемой внутренней сферической полостью. Полученные результаты справедливы лишь до того момента времени, пока отраженные волны не дошли до сферы. Напряжения в упругом полупространстве, возникающие под действием нестационарного линейного источника, распределенного вдоль прямой линии, параллельной плоской границе, исследовано в статье [74]. Решение получено с использованием преобразований Лапласа по времени и Ханкеля по радиальной координате. В [83] изучено распространение малых возмущений в слоистом полупространстве при действии нормальных симметричных сжимающих напряжений на поверхности сферического источника. Интегрирование системы уравнений в частных производных выполняется численным методом.

Методом источников и стоков проведено исследование отражения сферической волны от свободной поверхности упругого полупространства в работе [78]. Волна генерируется давлением, заданным на поверхности сферической полости. В [107] получены формулы, позволяющие провести исследования поля перемещений на поверхности упругой среды. Методом граничных элементов приведен анализ перемещений поверхности полупространства и процессов распространения волн от сферического источника в [148].

В работах [86, 142] изучено колебание упругого полупространства под действием внутренних точечных источников возмущений. Статьи [59, 89] посвящены исследованию распространения возмущений в упругом полупространстве, покрытым слоем жидкости. Точечный источник возмущения находится в полупространстве.

В [79] рассмотрено распространение нестационарных возмущений от сферического источника в слое жидкости. Слой находится в контакте с упругим полупространством. Численным методом решена задача о распространении волн в упругой полуплоскости с неоднородностями (прямоугольные отверстия) при воздействии динамических нагрузок на границе в [55]. Исследовано влияние неоднородностей на волновое поле.

В [72] рассмотрены движения, возникающие в полупространстве, заполненном сжимаемой жидкостью, с включенной жесткой сферой под воздействием импульса, заданного на плоской границе. В работе [129] решалась плоская динамическая задача теории упругости для однородной изотропной полуплоскости с круговым отверстием. К границе отверстия мгновенно прикладываются нормальные и касательные усилия, являющихся функциями точки контура и остающиеся постоянными во времени. Граница полуплоскости свободна от усилий. Решения волновых уравнений разыскиваются в виде суперпозиции и последовательных отражений волны от границы полуплоскости и от контура отверстия. Распространение волн в упруго-вязкопластическом полупространстве с цилиндрической полостью исследовано в [140]. На границе полости задано переменное по времени и по пространственной координате давления.

Распространения нестационарных волн от полости в упруго-пористом полупространстве рассмотрены в работах [109, 112], а в [102, 110] изучены задачи о дифракции нестационарных волн на сферических включениях в упруго-пористом полупространстве. Решения задач построены с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений получены бесконечные системы алгебраических уравнений.

Метод граничных элементов используется для решения динамической задачи для упругого полупространства с цилиндрической полостью в [137]. К поверхности цилиндрической полости внезапно приложено давление. Динамические напряжения в окрестности цилиндрической полости, расположенной в неограниченной упругой полосе с осью, параллельной плоским границам, во время прохождения плоской нестационарной волны напряжения рассмотрены в [135]. Плоские границы полосы и поверхности полости свободны от напряжений. Начально-краевая задача решена с использованием преобразований Лапласа по времени и Фурье по углу, а также с применением метода ортогонализации Шмидта. Переход к оригиналам осуществляется численным методом. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными другими авторами.

Аналогичные нестационарные задачи рассматриваются в работах [134, 136]. Первая статья посвящена исследованию концентрации напряжений на круговом отверстии в неограниченной плоской полосе. Во второй работе изучалась дифракция плоской ударной волны на двух круговых цилиндрических полостях. В статье [128] исследовано распространение нестационарного возмущения от сферического источника, расположенного в упругом слое.

Широкое распространение получил метод разделения пространственных переменных в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа по времени. При этом неизвестные величины определяются в виде ряда по собственным формам колебаний. Основные трудности возникают при инверсии полученных формул. Существуют различные приближенные способы перехода в пространство оригиналов, как например: численное обращение преобразования Лапласа; использование различных аппроксимаций в области изображений; применение приближенных схем вычисления интеграла обращения (в частности - метод перевала); представление оригинала в виде асимптотически эквивалентного (степенного) ряда. В ряде исследований инверсия полученных формул осуществлялась на основании теории вычетов.

Из приведенного выше анализа литературных источников следует, что к настоящему времени ряд нестационарных задач динамической теории упругости для полупространства, содержащего сферические границы раздела, мало изучен: распространение возмущений от сферической полости в упругом полупространстве; дифракция плоской волны на жесткой сфере, расположенной в полупространстве; динамика упругой сферы ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями и т. д. Аналитические решения этих задач и их частных случаев и являются предметом исследования в данной диссертации.

Во многих практических задачах, как правило, окружающая среда имеет плоскую границу (жесткая стенка или свободная поверхность), влияние которой часто приводит к изменению напряженно-деформированного состояния среды. Постановка задач данного класса, разработка эффективных методов их решения и влияние закономерностей распространения и дифракции с учетом влияния многократно отраженных от системы преград волн, представляют важную и актуальную проблему современной механики.

Цель работы заключается в постановке и исследовании новых задач о распространении и дифракции нестационарных волн на преградах (сферическая полость, жесткая сфера, тонкая сферическая оболочка), находящихся в упругом или акустическом полупространстве, а также в изучении динамики упругой среды, ограниченной эксцентричными сферическими поверхностями.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шукуров, Амон Мусурманович

Основные результаты диссертационной работы следующие:

1. Получены аналитические решения нового класса нестационарных задач теории линейной упругости для двусвязных областей, ограниченных сферическими поверхностями и плоскостью, имеющих важное общетеоретическое и прикладное значение.

2. Разработан аналитический метод решения осесимметричных задач указанного класса. Он основан на переразложении рядов Фурье по полиномам Лежандра и Гегенбауэра из одной сферической системы координат в другую (теоремах сложения для функций Бесселя). В результате задачи сводятся к бесконечной системе алгебраических уравнений в пространстве преобразований Лапласа по времени. Решение этой системы строится в виде рядов по экспонентам, что приводит к рекуррентным соотношениям и позволяет избежать использования метода редукции. Показано, что коэффициенты последних рядов являются рациональными функциями параметра преобразования Лапласа и оригиналы искомых функций достаточно просто вычисляются с помощью вычетов.

3. Подробно исследованы задачи для различных вариантов геометрии двусвязных областей: полупространство со сферическим включением, пространство с двумя сферическими включениями и область, ограниченная двумя эксцентричными сферами.

4. Для каждой из двусвязных областей рассмотрены различные типы граничных условий: свободная или неподвижная поверхность, обобщенный контакт с тонкой упругой оболочкой, позволяющий предельным переходом прийти к условиям свободного проскальзывания или абсолютно жесткого сцепления.

5. Для задачи о распространении кососимметричных возмущений от сферического включения в полупространстве получен класс граничных условий на поверхности полупространства, обеспечивающий существование сдвиговых волн.

6. Предельным переходом из найденных решений для упругой среды получены решения всех рассмотренных задач для акустической среды.

7. Построен и реализован алгоритм численной реализации предложенного аналитического метода, позволяющий учитывать в решении необходимое число членов рядов Фурье. Даны примеры расчетов напряженно-деформированного состояния среды и контактирующих с ней оболочек. Проведены соответствующие параметрические исследования. Указано на совпадение результатов с известными решениями для частных случаев рассмотренных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шукуров, Амон Мусурманович, 2004 год

1. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. - 334 с.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. — М.: «Факториал», 1998. 288 с.

3. Алексеева JI.A. Стационарная дифракция волн на круговом отверстии в упругой полуплоскости // ПММ. 1985. Т. 49, № 2. - С. 299-306.

4. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. -272 с.

5. Бабаев А.Э. Задача взаимодействия нестационарной волны давления с системой двух цилиндров в акустической среде // Мат. Исслед. «Приближенные и численные методы решения краевых задач». Кишинев, 1988. -Вып. 101.-С .3-9.

6. Бабаев А.Э. Задачи дифракции нестационарных волн на оболочках, расположенных вблизи плоской границы // Прикл. мех. 1989. - Т. 25, №1. -С. 71-83.

7. Бабаев А.Э. Нестационарные волны в сплошных средах с системой отражающих поверхностей. Киев: Наук, думка, 1990. - 176 с.

8. Бабаев А.Э., Годенко В.П. Задача дифракции плоской нестационарной волны на сфере, расположенной вблизи плоской границы // В кн.: Задачи механики деформируемого твердого тела. Киев. Ун-т, 1985. -С. 32-41. -Деп. в Укр. НИИНТИ. 14.05.85, № 1021, ук-85 Деп.

9. Бабаев А.Э., Годенко В .П., Кубенко В.Д. Определение гидродинамических нагрузок на жесткой сфере, расположенной вблизи плоской границы // Тез. Докл. IV науч.-тех. конф. «Совершенствование эксплуатации и ремонта судов». Калининград, 1986. - С. 75.

10. Бабаев А.Э., Жирнов М.В., Кубенко В.Д. Взаимодействие подводных ударных волн с оболочками, расположенными вблизи жесткой стенки //

11. Тез. докл. Всесоюз. конф. «Численная реализация физ.-мат. задач прочности».- Горький, 1987. С. 18-19.

12. Бадалов Ф.Б., Хашимов Ж. Решение неоднородных и линейных краевых задач теории пластин и оболочек методом сведения к задачам Коши. Ташкент: Фан, 1988. - 184 с.

13. Баженов В.Г., Кочетков А.В., Михайлов Г.С. Численное решение плоских и осесимметричных задач взаимодействия упругопластических оболочек с ударными волнами // Прикл. пробл. просчности и пластичности. -1977. Вып. 7.-С. 55-63.

14. Баженов В.Г., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977. - 274 с.

15. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1974.-295 с.

16. Бераха Р. Дифракция сдвиговой волны на цилиндрических полостях в изотропном упругом полупространстве // Акустический журнал. 1974. Т. 20, №5. - С. 779-782.

17. Буйвол В.Н. Колебание и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев: Наук, думка, 1975. -190 с.

18. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. -М.: ИЛ, 1949. Т.1. 800с.

19. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарные взаимодействия деформируемых тел с окружающий средой // Итоги науки и техн.: Мех. деф. тверд, тела. Т. 15. -М.: ВИНИТИ, 1983. С. 69-148.

20. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарные колебания упругих (акустических) сред со сферическими границами раздела // Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом. М.: Наука, 1984.-С. 3-26.

21. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. -М.: Наука, 1979. 320 с.

22. Галиев Ш.У. Динамика взаимодействия элементов конструкций с волновой давления в жидкости. Киев: Наукова думка, 1977. - 172 с.

23. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем. Киев: Наукова думка, 1981. - 286 с.

24. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: ИЛ, 1952.-476 с.

25. Годенко В.П. Действие плоской акустической волны на сферическую оболочку, расположенную вблизи жесткой стенки // Прикл. мех., 1986. -Т. 22, №9.-41-47.

26. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга Н.А., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: В 6-ти т. -Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Нуакова думка, 1986. - 286 с.

27. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техн.: Мех. деформируем, тверд, тел, т. 13. М.: ВИНИТИ, 1980.-С. 105-186.

28. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2000. - 592 с.

29. Горшков А.Г., Пожуев В.И. Стационарные задачи динамики для пластин и оболочек, взаимодействующих с инерционными средами // Итоги науки и техн.: Мех. деформируем, тверд, тела, т. 20. -М.: ВИНИТИ, 1989. — С. 125-131.

30. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. М.: Наука, 2000.- 214 с.

31. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи для деформируемого полупространства // Итоги науки и техн.: Мех. деформируем. тверд, тела, т. 21.- М.: ВИНИТИ, 1990. С. 76-131.

32. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1990. — 264 с.

33. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. -М.: Наука, Физматлит, 1995.-352 с.

34. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Распространение волн от сферической полости в акустическом полупространстве // ПММ. -1991. Т. 55. №1.-С. 172-174.

35. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Распространение упругих волн от полости, подкрепленной тонкой сферической оболочкой// Геометрия и прочность в САПР изделий. М.: МАТИ, 1990. - С. 103-107.

36. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в упругом полупространстве // Изв. РАН. МТТ. 1992. № 5. - С. 43-47.

37. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Нестационарные колебания упругой среды ограниченной двумя эксцентричными сферическими поверхностями // ПММ. 1994. № 2. - С. 85-92.

38. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Нестационарные волны от сферической оболочки в упругом полупространстве // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 4. - С. 70-75.

39. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Нестационарные волны в упругом пространстве с двумя сферическими включениями // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 2. - С. 52-58.

40. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Нестационарные колебания двух тонких упругих сферических оболочек в акустическом пространстве // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 6. - С. 128-133.

41. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров A.M. Распространение нестационарных волн сдвига от сферического включения в упругом полупространстве // Изв. РАН. МТТ. 2004. №6. (В печати).

42. Горшков А.Г., Шукуров A.M. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в упругом полупространстве // Тезисы докладов 3 -Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур. Львов, 17-19 сент. 1991 г. Львов, 1991. - С. 87.

43. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физ.-матгиз, 1962. 1108 с.

44. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. Д.: Судостроение, 1976. - 200 с.

45. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974. - 208 с.

46. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наукова думка, 1972. - 254 с.

47. Гузь А.И., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек. Киев: Вища школа, 1984. - 208 с.

48. Гузь А.И., Кубенко В.Д. Методы расчета оболочек, т. 5. -Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев: Наукова думка, 1983. - 400 с.

49. Дашевский М.А. Распространение волн при колебаниях тоннелей метро // Строит, мех. и расчет сооружений. 1974, № 6. - С. 29-34.

50. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.

51. Жук А.П. Взаимодействие двух сферических тел в идеальной жидкости при прохождении акустической волны // Докл. АН УССР. Сер. А. -1989,№5.-С. 30-33.

52. Жук А.П. Взаимодействие двух параллельных круговых цилиндров в идеальной жидкости при прохождении акустической волны // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989, № 8. - С. 28-33.

53. Замышляев Б.В., Яковлев Ю.С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. Л.: Судостроение, 1967. - 387 с.

54. Зволинский Н.В. Распространение возмущений от точечного импульса в упругом полупространстве, покрытом слоем жидкости // ДАН СССР. 1948, т. 59, № 6. - С. 1081-1084.

55. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. — Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

56. Камень В.Б. Об одной задаче отражения для упругого полупространства // Дифференциальные уравнения и их прилож. Днепро-петровск, 1986.-С. 78-84.

57. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев: Наукова думка, 1980 .-231 с.

58. Кочин Н.С., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2 ч. М.: Физматгиз, 1963. -Ч. 1. 583 е.; Ч. 2. 727 с.

59. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962. - 768 с.

60. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наукова думка. 1979. - 184 с.

61. Кубенко В.Д. Задача дифракции акустических волн на двух не параллельных круговых цилиндрах // Прикл. мех. -1989. Т. 25, № 1. - С. 4351.

62. Кубенко В.Д., Бабаев А.Э., Годенко В.П. Взаимодействие нестационарной волны давления с жидкой сферой, расположенной вблизи свободной поверхности // Гидромеханика. 1988. -Вып. 57. С. 10-15.

63. Кубенко В.Д., Степаненко М.В. Численное решение нестационарной задачи о динамике оболочки с жидкостью при действии внутреннего источника. -М.: ЦЕТИ «Волна», 1980. С. 149-154.

64. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1985.423 с.

65. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

66. Лазаренко М.А. Дифракция и рассеяние акустической волны на сфере, помещенной в полупространстве // Геофизика и астрономия. Инф. Бюл. -1966, № 9. С. 24-28.

67. Лейко А.Г., Маяцкий В.И. Дифракция плоских звуковых волн на бесконечной решетке из идеально податливых эллиптических цилиндров // Акустический журнал. 1974. Т. 20, № 3. - С. 420-425.

68. Лобовик С.Б. Напряженное состояние в упругом полупространстве от действия сосредоточенного импульса // Сб. «Приближ. методы мат. анализа». Киев, 1976. - С. 63-65.

69. Лунева С.А. Дифракция и излучение упругих волн системой из двух цилиндров при смешанных граничных условиях // Акуст. и ультразвук, тех. — 1987. Вып. 22.-С. 74-79.

70. Ляв А.Э.Х. Математическая теория упругости. М. -Л.: ОНТИ, 1935.-674 с.

71. Маматкулов Ш. Колебания и волны в гидроупругих и грунтовых средах. Ташкент: Фан, 1987. - 102 с.

72. Мардонов Б., Валиджанов X., Мансуров Ф. Решение задачи об отражении сферической упругой волны от свободной поверхности методом источников и стоков // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. 1976, № 3. - С. 4043.

73. Маркова К.И., Шемякин Е.И. Распространение нестационарных возмущений в слое жидкости, находящемся в контакте с упругим полупространством // ПММ. 1957. Т. 21, № 1. - С. 57-66.

74. Мнев Е.Н., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1970.-366 с.

75. Назаренко A.M. Динамические задачи о продольном сдвиге полупространства с неоднородностями // Динам, сист. 1990, № 9. - С. 47-54.

76. Наримов Ш. Волновые процессы в насыщенных пористых средах. — Ташкент: Мехнат, 1988. 303 с.

77. Немчинов В.В., Чередниченко РА. Распространение в слоистом полупространстве упругих волн, вызванных сферически симметричным источником возмущений // Газ и волнов. динам. 1979, № 3. - С. 163-166.

78. Нигул У.К., Метсавээр Я.Г., Векслер Н.Д., Кутсер М.Э. Эхо-сигналы от упругих объектов. Т. 2. Таллинн: Ин-т кибернетики АН СССР, 1974.-345 с.

79. Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью // Изв. АН СССР. МТТ. -1984, №3.- С. 93-99.

80. Огурцов К.И., Петрашень Г.И. Динамические задачи для упругого полупространства в случае осевой симметрии // Уч. Зап. ЛГУ, № 149. Сер. матем. наук. 1951. Вып. 24.-С. 3-117.

81. Палько Л.С. Осесимметричные колебания сферической оболочки в сжимаемой жидкости со свободной поверхностью // Прикл. мех. 1970. - Т. 6, № 8. - С. 82-88.

82. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987. - 317 с.

83. Петрашень Г.И. Колебания упругого полупространства, покрытого слоем жидкости // Уч. зап. ЛГУ, № 149, Сер. матем. наук. 1951. Вып. 24. -С. 118-171.

84. Поддубняк А.П., Пороховский В.В. Дифракция звукового импульса на сферическом теле, находящемся вблизи дна // Тезисы докл. 3 -Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур, Львов, 17-19 сент. 1991.-Львов, 1991.-С. 254.

85. Поручиков В.В. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.-328 с.

86. Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Филиппов И.Г., Артыков Т.У. Волны в двухкомпонентных средах. Ташкент: Фан, 1974. - 266 с.

87. Рашидов Т. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Фан, 1973. - 179 с.

88. Рашидов Т., Хожеметов Г.Х., Мардонов Б. Колебания сооружений, взаимодействующих с грунтом. Ташкент: Фан, 1975. - 175 с.

89. Рябуха Ю.Н. О решении трехмерной стационарной задачи дифракции плоской волны на сферической оболочке в акустическом полупространстве // Прикл. мех. 1985. Т. 21, № 8. - С. 40-45.

90. Саатов Я.У. Плоские задачи механики упруго-пористых сред. -Ташкент: Фан, 1975. 251 с.

91. Савина И.В. Взаимодействие акустических волн с электроупругой системой коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащей вязкую жидкость и расположенной вблизи плоской границы // Прикл. мех. -1990. Т. 26, № 10.-С. 36-45.

92. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х т. Изд. 4-ое, испр. и доп. - М.: Наука, 1984.

93. Слепян JI.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972.-374 с.

94. Солиев А.А., Шукуров A.M. Изотропик мухитда ностационар тул-кинларнинг таркалиши ва дифракцияси // Услубий кулланма. Тошкент, 1997 й. 24 с.

95. Солиев А.А., Шукуров A.M. Дифракция упругих нестационарных волн на сферической полости в упруго-пористом пространстве // Тез. докл. международ, конф. «Пробл. воп. мех. и машстроение» 25-27 мая 1993 г. ТашГТУ, г.Ташкент. С. 71-72.

96. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами // Под ред. М.Абрамовича, И.Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

97. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М.: Машиностроение, 1977. -304 с.

98. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзакабилов С. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред. Ташкент: Фан, 1979.-236 с.

99. Шемякин Е.И. Задача Лемба для внутреннего источника // ДАН СССР. 1961. Т. 140, № 4. - С. 780-782.

100. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во Новосиб. Ун-та, 1968. - 336 с.

101. Шукуров A.M. Распространение нестационарных волн от сферической полости расположенной в упруго-пористом полупространстве // Фантехника тараккиети: Муаммолар ечимлар. КаршиДУ А.Темур тавалудининг 660 й. 12-15 сент. 1995 й. Тошкент, 1996. С. 68.

102. Шукуров A.M. Дифракция нестационарных волн на шаре в упруго-пористом полупространстве // Илм-фан равнаки: Мауммолар ечимлар. (КаршиДУ проф. укитувчилар. Узбек-н Респуб. мустк. 7-йиллиги багиш утказ. илм. конф. материаллари). Тошкент, 1998. - С. 29.

103. Шукуров A.M. Нестационарное вращение шара в упругом полупространстве // Тезисы конф., посвященной 10-ти летию КаршиГУ, 17-18 мая, 2002 г. Карши, 2002. - С. 229-232.

104. Шукуров A.M. Распространение нестационарных волн сдвига от сферической полости в пористо-упругом полупространстве // Сб. КаршиГУ: физ.-мат. ва астрономиянинг долзарб муаммолари. г.Карши, 2002. С. 66-67.

105. Шукуров A.M. Алгоритм решения задачи о нестационарном вращении шара в упругом полупространстве // Проблемы информатики и энергетики АН РУз. 2003. №3. - С. 55-57.

106. Шукуров A.M. Нестационарные колебания упругого полупространства при вращении жесткого шара // Проблемы механики АН РУз. -2003. №4.-С. 49-52.

107. Шукуров A.M. Результирующая сила на неподвижном шаре в упругом полупространстве // Материалы X международ, симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», т. 1. М.: Изд. МАИ, 2004. - С. 53.

108. Шукуров A.M. Дифракция нестационарных волн на шаре в упругом полупространстве // Материалы международ, конф. «Проблемы механики и сейсмодинамика сооружений». 27-28 мая 2004 г. ИМиСС АН РУз. -Ташкент: Фан, 2004. С. 275-278.

109. Яковлев Ю.С. Гидродинамика взрыва. JL: Судпромгиз, 1961.313 с.

110. Ямщиков B.C., Данилов В.Н. Об отражении продольных и поперечных упругих волн от цилиндрической полости в полупространстве // Дефектоскопия. 1984, № 4.-С. 3-11.

111. Ben-Menahem A., Cisternas A. The dynamic response of on elastik half-space to an explosion in a spherical cavity // J. Math, and Phys. 1963. V. 42, No. 2.-P. 112-125.

112. Bosk S.K., Mai A.K. Axial shear waves in a edium withe randomly distributed cylinders // J. Acoust. Soc. Amer. 1974. V. 55, No. 3. - P. 519-523.

113. Bostrom A., Kristensson G. Scattering of a pulsed Rayleigh wake by a spherical cavity in an elastic half-space // Wave Motion 1983. V. 5, No. 2. - P. 137-143.

114. Cheng S.L. Multiple scatting of elastic waves by parallel cylinders // J. Appl. Mech. 1969. V. 36, No. 3. - P. 523-527.

115. Datta S.K., El-Akily N. Diffraction of elastic waves by cilindrical cavity in half-space // J. Acoust. Soc. Amer. 1978. V. 64, No. 6. - P. 1692-1699.

116. Datta S.K., Wong К. C., Shah A.H. Dynamic stresses and displacaments around cylindrical cavities of arbitrary shape // J. Appl. Mech. -1984. V. 51, No. 4. P. 798-803.

117. Friedman В., Russek J . Addition theorems for spherical waves, quart of Appl. Math. 1954. V.12, No. 1. - P. 13-23.

118. Ghosh S.K. The transient disturbance produced in a elastic layer by a burid spherical source // Pure and applied geophysic's. 1973. V.105, No.4. - P. 781-801.

119. Ghost S. K. On transient disturban in an elastic half-plans with a circular cavity // Indian J. Pure and Appl. Math. 1983. V. 14, No. 11. - P. 14121423.

120. Gregory R.D. An expansion theorem applicable to problems of wave propagation in an elastic half-space containing a cavity // Proc.Camb. Philos. Soc. 1967. V. 63.-P. 1341-1367.

121. Huang H., Lu Y. P., Wang Y.P. Transient interaction of spherical acoustic waves and a spherical elastic shell // J. Appl. Mech. 1971. V. 38, No. 1. -P. 71-74.

122. Huang H., Wang Y. F. Transient stress concentration by a spherical cavity in an elastic medium // J. Appl. Mech. 1972. V. 39, No. 4. - P. 1002-1004.

123. Itou S. Dynamic stress concentration around a circular hole in an infinite elastic strip // J. Appl. Mech 1983. V. 50, No. 1. - P. 57-62.

124. Itou S. Diffraction of a stress wave by a cylindrical cavity in an infinite elastic streip // Lett. Appl Eng. Sci. 1984. V. 22. - P. 475-490.

125. Itou S. Diffraction of a stress wave by two circular cylindrical cavities in an infinite elastic step // Comput. and struct. 1989. V. 31, No. 2. - P. 131-137.

126. Kontoni D.P.N., Beskos D. E. An approximate BEM for wave propagation in the half plane // Baundary Elem IX: Int. Conf. Stuttgart, Aug. 31st- Sept. 4th, 1987. Vol. 3. - Southampton, 1987.-P. 149-166.

127. Lee M. Finite element modeling of the acoustic wave propagation from a cavity near a free-surface // Journal of Fluids Engineering, March 1999, vol. 121.-P. 205-207.

128. Murphy J. R. Calculated compressional wave arrivals from underground nucklear detonations // Bull. Seismol. Soc. Amer. - 1972. V. 62, No. 4.-P. 991- 1016.

129. Nowacki W.K. Comportement dynamique d'une cavite dans Ie semi -espace // Bull. Acad. Pol. Ser. Sci. techn. 1975. V. 23, No. 1. - P. 23-28.

130. Pao Y. H., Now C.-C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations. New York: Crane and Russak, 1973. - 694 p.

131. Pekeric C.L., Lifson H. Motin of the surface of a uniform elastic half -space praduced by a buried pulse // J. Acoust. Soc. Amer. 1957. V. 29, No. 11. -P. 1233-1238.

132. Sancar S., Pao Y. H. Spectral analysis of elastic pulses backscattered from two cylindrical cavities a solid. Part I. // J. Acoust. Soc. Amer. - 1981. V. 69, No. 6.-P. 1591-1596.

133. Sancar S., Sachse W. Spectral analysis of elastic pulses backscattered from two cylindrical cavities in a solid. Part II. // J. Acoust. Soc. Amer. 1981. V. 69, No. 6.-P. 1597-1609.

134. Stein S. Addition theorems for spherical wave functions // Quart. Appl. Math. 1961. V. 19, No. l.-P. 15-24.

135. Thiruvenkatachar V.R., Viswanathan K. Dynamic response of an elastic half-space to time dependent surface traction's over an embedded spherical cavity // Proc. Poy. Soc. 1965. A. 287, No. 1411. - P. 549-567.

136. Thiruvenkatachar V.R., Viswanathan K. Dynamic response of an elastic half-space with cylindrical to time-dependent surface traction's over the boundary of the cavity // J. Math. Mech. 1965. V. 14, No. 4. - P. 541-571.

137. Tianxiong Z., Zhiynak C. Nuclear explosion wave propagation in an elastic half-space // Earthquake Eng. and Eng. Vibr. 1988. V. 8, No. 2. - P. 8-16.