Нестационарные колебания цилиндрических оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Алирзаев, Имран Шири оглы

• Алирзаев, Имран Шири оглы
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алирзаев, Имран Шири оглы

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ТЕЛ, НАХОДЯЩИХСЯ В КОНТАКТЕ С УПРУГОЙ СРЕДОЙ

1.1. Краткий обзор задач, посвященных динамическому контакту

балок и пластин со средой

1.2. Краткий обзор задач, посвященных динамическому контакту

оболочек со средой

1.3. Методы решения динамически^,дай^ктных задач

* Л ^ * * ' 4 *. г' « *

1.4. Постановка задачи и лучевой метод*

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН ОТ ПОЛОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В ТРАНС-ВЕРСАЛЬНО— ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

2.1. Постановка задачи и некоторые основные соотношения

2.2. Рекуррентные формулы лучевого метода в криволинейной системе координат

2.3. Распространение нестационарных упругих волн от цилиндрической полости

2.4. Выводы по второй главе

3. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ВО ВНЕШНЕМ КОНТАКТЕ С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДОЙ

3.1. Постановка задачи и исходные уравнения

3.2. Решение для ортотропной цилиндрической оболочки при скоростном воздействии на ее внутреннюю поверхность

3.3. Решение для ортотропной цилиндрической оболочки при силовом воздействии на ее внутреннюю поверхность

3.4. Решение для ортотропной цилиндрической оболочки и изотропной среды

3.5. Численные результаты

3.6. Выводы по третьей главе

4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ТИПА ТИМОШЕНКО, НАХОДЯЩЕЙСЯ ВО ВНЕШНЕМ КОНТАКТЕ С ТРАНСВЕР-

САЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДОЙ

4.1. Постановка задачи и исходные уравнения

4.2. Решение для цилиндрической оболочки в случае жесткого контакта с упругой средой

4.3. Решение для цилиндрической оболочки в случае скользящего контакта с упругой средой

4.4. Численные результаты

4.5. Выводы по четвертой главе

5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ОСЕВЫМ ПОДЖАТИЕМ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ВО ВНЕШНЕМ КОНТАКТЕ

С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДОЙ

5.1. Постановка задачи и исходные уравнения

5.2. Решение для цилиндрической оболочки при скоростном воздействии на ее внутреннюю поверхность

5.3. Решение для цилиндрической оболочки при силовом воздействии на ее внутреннюю поверхность

5.4. Численные результаты

5.5. Выводы по пятой главе

Основные результаты и выводы по работе

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные колебания цилиндрических оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению нестационарных колебаний цилиндрических оболочек, находящихся во внеш-

о о и о

нем контакте с упругой криволинеино анизотропной средой. В качестве метода решения используется лучевой метод.

Различные вопросы, связанные с нестационарным взаимодействием тел и конструкций со сплошной средой, изложены в работах Горшкова А.Г. [16, 17], Григолюка Э.И. и Горшкова А.Г. [22], Горшкова А.Г. и Тарлаковского Д.В. [19], Гузя А.Н. и др. [25], Кубенко В.Д. [38], Поручикова В.Б. [51], Россихина Ю.А. и Шити-ковой М.В. [106, 108,109], Сагомоняна А .Я. [65], Сеймова В.М. [66], Филиппова И.Г. [75] и других отечественных и зарубежных ученых.

Актуальность темы. Задачи, относящиеся к проблеме нестационарного взаимодействия тонких оболочек с окружающей средой, имеют большое практическое значение. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения приложений к различным отраслям современной механики. С подобными задачами сталкиваются в горном деле при изучении взаимодействия горной выработки с крепью, в транспортном строительстве при решении задач, связанных с перекачкой нефти и нефтепродуктов подземными трубопроводами.

Все более возрастающие потребности инженерной практики выдвинули перед исследователями проблему использования более сложных моделей сплошной среды с учетом различных факторов. Одним из таких факторов при динамическом контактном взаимодействии является учет криволинейной анизотропии, который обуславливает более адекватные представления о качественном характере напряженного состояния упругих тел и позволяет получить более достоверные количественные оценки. Последнее обстоятельство приобретает важное

практическое значение в связи с постоянно расширяющимся применением в различных отраслях промышленности и строительства конструкционных элементов из анизотропных материалов.

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с динамическим контактным взаимодействием упругих тел, вопрос учета криволинейной анизотропии при динамическом контактном взаимодействии до последнего времени остается практически неразработанным. В связи с вышеизложенным исследования по динамическим контактным задачам с учетом криволинейной анизотропии следует признать весьма актуальными.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование нестационарных колебаний цилиндрических оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой;

2) изучение влияния анизотропии окружающей среды и оболочки на распределение контактных напряжений и перемещений;

3) исследование влияния начальных и граничных условий на характер колебательного процесса;

4) учет деформации сдвига и инерции вращения оболочки при динамическом контактном взаимодействии со средой;

5) изучение влияния осевого сжатия на колебательный процесс изотропной упругой цилиндрической оболочки, находящейся во внешнем контакте с криволинейно анизотропной средой.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан их численный анализ для следующих задач:

1) о нестационарных колебаниях ортотропной цилиндрической оболочки, находящейся во внешнем контакте с упругой трансверсально-изотропной средой;

2) о нестационарных колебаниях цилиндрической изотропной оболочки типа Тимошенко, находящейся во внешнем контакте с упругой трансверсально-изотропной средой;

3) о нестационарных колебаниях цилиндрической изотропной оболочки с осевым поджатием, находящейся во внешнем контакте с упругой трансверсально-изотропной средой.

Достоверность полученных результатов определяется правильными математическими выкладками и сопоставлением результатов работы с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертацонной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой, при динамических взаимодействиях, в геофизике, в горном деле, промышленном и транспортном строительстве.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы: -исследование нестационарных колебаний оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой;

-изучение влияния анизотропии окружающей среды и оболочки на характер колебательного процесса;

-изучение влияния осевого сжатия цилиндрической оболочки на характер колебательного процесса;

- изучение влияния краевых условий на распределение контактных напряжений и перемещений.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежской государственной архитектурно-строительной академии в 1995-1999 годах, на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государ-

ственного университета в 1998-1999 годах, на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" в 1996 году в Санкт-Петербурге, на втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике в 1996 году в Новосибирске, на международной конференции "XXXI Polish Solid Mechanics Conference-96" в 1996 году в Польше, на Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" в 1998 году, на Воронежской весенней математической школе в 1999 году.

Публикации. По результатам исследований опубликованы в открытой печати семь научных статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 110 страницах машинописного текста, содержит 20 рисунков, 1 таблицу, список использованных источников из 114 наименований.

Краткое изложение диссертации

В первой главе дан краткий обзор задач динамического контактного взаимодействия тонких упругих тел со сплошными средами. Кроме того, проведен краткий анализ существующих методов решения этих задач. Дана постановка задачи о нестационарных колебаниях тонких оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой, и изложен лучевой метод.

Во второй главе приведены результаты, полученные в работе [108], и на их основе построено решение для трасверсально-изотропной среды с полостью. Полученные рекуррентные уравнения используются в последущих главах при решении задач о нестационарных колебаниях упругих цилиндрических оболочек, находящихся во внешнем контакте с упругой трансверсально-изотропной средой.

В третьей главе рассматриваются неустановившиеся колебания

и V —> - о

ортотропнои цилиндрическом оболочки, находящейся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой. Нестационарные колебания вызываются приложением в начальный момент времени к внутренней поверхности оболочки вектора скорости или силы, которые зависят от криволинейных координат на срединной поверхности оболочки. Для описания движения оболочки используются уравнения, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Проанализировано влияние анизотропии и начальных условий на характер колебательного процесса.

В четвертой главе исследуются нестационарные колебания изотропной цилиндрической оболочки типа Тимошенко, находящейся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой. Контакт между оболочкой и средой принимается жестким или скользящим. Проанализировано влияние граничных условий, деформации поперечного сдвига и инерции вращения на характер колебательного процесса.

В пятой главе рассматриваются нестационарные колебания изотропной цилиндрической оболочки с осевым поджатием, находящейся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой. Исследовано влияние осевого сжатия на характер колебательного процесса.

1. КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ТЕЛ, НАХОДЯЩИХСЯ В КОНТАКТЕ С УПРУГОЙ СРЕДОЙ

Проблема динамического взаимодействия тонких упругих тел со средой представляет собой целое направление исследований, интенсивно развивающееся в последние годы. К данной проблеме относятся, например, нестационарное взаимодействие тонкостенных конструкций с окружающей средой, удар и проникание твердых тел в упругое или акустическое пространство со свободной поверхностью и т. д.

Исследования процессов взаимодействия упругих тел со средой позволяют обнаружить изменение динамических характеристик тел при наличии контакта со средой, а также новые явления, вызванные взаимодействием. Число публикаций по перечисленным выше направлениям непрерывно возрастает, что свидетельствует об актуальности рассматриваемых проблем для инженерной практики [11, 18, 19, 24, 25, 26, 33, 35, 42, 65, 85, 106]. Большинство работ посвящено исследованию гармонических колебаний тонких тел, находящихся в контакте со средой. Поскольку на практике тонкие тела чаще подвергаются нестационарным воздействиям, поэтому большой теоретический и практический интерес представляют исследования, посвященные нестационарным колебаниям тонких тел.

В данном обзоре ограничимся рассмотрением результатов, полученных для нестационарных движений балок, стержней, пластин и оболочек, находящихся в контакте с окружающей средой.

1.1. Краткий обзор задач, посвященных динамическому контакту балок и пластин

со средой

Большая часть исследований в области динамических контактных задач выполнена для балок и пластин, при этом использовались как аналитические, так и численные методы.

Во многих задачах в качестве модели основания применяются модель Винклера и модель с двумя характеристиками [13]. Существенным недостатком этих моделей является их безынерционность. Исследованию нестационарных колебаний балок и пластин, лежащих на таких основаниях, посвящены работы [28, 31, 32, 44, 74].

В статье [18] дан обзор работ, посвященных анализу установившихся движений нагрузок по пластинкам, лежащих на упругом полупространстве.

Нестационарные колебания балок и плит, лежащих на линейно-деформируемом изотропном упругом основании, рассматривались в [78] с применением интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Аналогичные исследования для балок проводились в [15 ].

В работе [8] рассматривались нестационарные колебания пластин, взаимодействующих с разномодульной средой.

В статье [54] рассматривалась задача о нестационарных колебаниях изотропной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом анизотропном полупространстве. Нестационарные колебания вызываются действием на пластину мгновенных нагрузок, что приводит к появлению в упругом анизотропном полупространстве трех типов плоских ударных волн, за фронтами которых решение строится при помощи лучевых рядов. Развиваемый лучевой метод позволяет в аналитической форме получить временную зависимость перемещений пластины, а также исследовать влияние сжимающих усилий, прило-

женных в срединной плоскости пластины, на характер колебательного процесса.

В работе [105] этот же подход применен для анализа нестационарных колебаний упругой трансверсально-изотропной пластинки типа Тимошенко, лежащей на упругом изотропном полупространстве.

К отмеченным выше работам близко примыкают исследования, связанные с ударом. Здесь необходимо отметить монографию [65] и обзорные статьи [114, 96, 106].

1.2. Краткий обзор задач, посвященных динамическому контакту оболочек со средой

Многие элементы конструкций современной техники выполнены в виде цилиндрических и сферических оболочек и находятся под действием динамических нагрузок. Особенности динамических расчетов таких конструкций состоят в том, что приходится учитывать их взаимодействия с окружающей средой.

Ряд работ [91, 92, 93, 94] посвящен исследованию распространения упругих волн от сферической полости при наличии тонкой упругой оболочки, жестко сцепленной с упругой или акустической средой.

Работа [82] посвящена исследованию нестационарного деформирования упругой среды, сферическая полость которой подкреплена замкнутой сферической оболочкой. Рассматриваемая механическая система нагружалась импульсной внутренней нагрузкой, которая вызвала осесимметричное деформирование оболочки и пространства. Был использован метод интегральных преобразований, который приводил к тому, что полученное решение в пространстве изображений можно было обратить только численно.

Поведение бесконечно длинной цилиндрической оболочки в твердой среде изучалось в работах [7, 27].

Осесимметричная задача о распространении упругих волн в пространстве со сферической полостью, подкрепленной тонкой оболочкой, рассмотрено в работе [20]. Решение сведено к интегральным уравнениям Вольтерра.

В [109] исследована динамическая устойчивость цилиндрической оболочки с осевым поджатием, находящейся во внешнем контакте с упругой изотропной средой, по отношению к нестационарным воздействиям. Нестационарные колебания вызываются приложением в начальный момент времени к внутренней поверхности оболочки вектора скорости. В качестве метода решения использован лучевой метод. Исследовано влияние осевого сжатия на характер колебательного процесса.

В работе [8] рассматривались нестационарные колебания оболочек, взаимодействующих с разномодульной средой.

В статье [94] дан анализ гармонических колебаний упругой трансверсально-изотропной сферической оболочки, находящейся в контакте с окружающей средой типа Пастернака. Найдены частоты и формы свободных упругих колебаний оболочки.

В [81] исследовано динамическое поведение цилиндрической оболочки при воздействии внутренней импульсной нагрузки. Оболочка находится в среде, которая моделируется линейно-упругим односторонним безынерционным основанием.

Задача об установившемся движении подвижной нагрузки вдоль образующей бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся в упругом массиве, изучена в работе [49]. В статье [50] исследуется напряженно-деформированное состояние бесконечно длинного подземного трубопровода при действии на него неосесимметричной подвижной внутренней нагрузки. Для решения задачи предложен алгоритм, основанный на разложении заданных и искомых величин в

ряды Фурье по осевой координате с последующим применением преобразования Лапласа по времени. Обращение полученных искомых величин проводилось численно.

Монография [19] посвящена решению динамических контактных задач с подвижными границами. Трудность решения задач подобного рода заключается в том, что необходимо интегрировать системы уравнений, описывающие движение тела и среды, при граничных условиях на неизвестных криволинейных поверхностях раздела. Причем положение этих поверхностей определяется в процессе решения. Поэтому аналитические решения в этой области механики сплошной среды имеются в основном лишь для идеализированных абсолютно жестких тел.

В [10,39] исследуется напряженно-деформированное состояние тонкостенной упругой сферической оболочки и упругого полупространства, возникающее в процессе их соударения. Рассматривается контактная задача с изменяющейся со временем областью контакта. При помощи преобразования Лапласа и метода разложения в ряды по собственным функциям задача сводится к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра II рода. Аналогичная задача для цилиндрических оболочек рассматривалась в [9].

Большая часть исследований выполнена для оболочек, контактирующих с идеально сжимаемой жидкостью. Здесь для решения использовались как аналитические, так и численные методы.

В работе [93] исследовалась реакция армированной цилиндрической оболочки, погруженной в жидкую среду, на осесимметричный импульс.

Вопросы, относящиеся к проблеме проникания упругих оболочек в жидкость, изложены в [22]. В [25] приводятся исследования, связанные с проблемой удара и погружения сферических оболочек в полу-

пространство, занятое жидкостью.

1.3. Методы решения динамических контактных

задач

Процессы нестационарного взаимодействия упругих тел с окружающей средой относятся к числу наиболее сложных задач механики. Необходимость выявления в каждой конкретной задаче тех или иных особенностей процесса взаимодействия обусловили появление различных подходов к их решению.

Существование большого количества методов решения динамических контактных задач объясняется значительными трудностями их решения, поэтому не прекращаются поиски новых, наиболее оптимальных методов.

Аналитические методы. Наиболее часто используемым методом решения нестационарных динамических задач является метод интегральных преобразований. Однако, при таком подходе все трудности переносятся на вычисление оригинала, соответствующего полученному решению в пространстве изображений.

Во многих работах часто используются одновременно преобразования Фурье по координате и Лапласа по времени [21, 34, 46, 68, 69]. Наряду с последними применяются преобразования Ханкеля [12, 17] и Конторовича-Лебедева [51].

В некоторых случаях интегралы обратного преобразования удается вычислить аналитически, используя теорему о вычетах [111]. Для случаев, когда аналитическое определение обратного преобразования затруднительно, существует ряд методов, позволяющих избежать эту трудность. Сюда можно отнести и метод сведения интегралов обратного преобразования к интегральному уравнению Вольтерра первого или второго рода, решаемому затем численно [ 9, 10, 39, 99 ], метод

Винера-Хопфа [51], метод Каньяра [87], методы численного обращения и др.

Применение тех или иных интегральных преобразований к решению динамических задач зависит не только от геометрической формы рассматриваемой граничной поверхности, но и от заданных граничных условий. Среди других аналитических методов решения динамических задач отметим следующие: метод характеристик [53, 70], вариационный метод [36], метод функционально-инвариантных решений [51], использование функций влияния [94], метод конечных интегральных преобразований, асимптотические методы [ 29], в том числе и лучевой метод [1, 4, 5, 6,'12, 40, 47, 48, 55, 56, 57, 58, 59, 76, 83]. Более полный обзор аналитических методов приведен в монографии [51].

Численные методы. Развитие современной вычислительной техники и методов численного анализа позволило решить ряд очень сложных динамических контактных задач. Численные методы являются универсальными в том смысле, что могут быть использованы для границ различной формы. С развитием численных методов стало возможным решение многих динамических контактных задач с подвижными границами [90, 98, 99, 103, 104].

Из последних работ в этом направлении следует отметить [114], в которой дается обзор современного состояния численных методов решения контактных задач, связанных с ударным взаимодействием. В [113] сделан обзор по методам решения подобных задач с трением.

Большая часть численных результатов по динамическим контактным задачам получена на основе метода конечных элементов [86, 88, 89, 95, 100, 101, 112].

Применение метода конечных элементов в комбинации с методом конечных разностей для изучения нестационарного взаимодействия

тонких упругих тел со средой дано в [87, 98].

Из вышеизложенного следует, что, несмотря на многообразие подходов к решению динамических контактных задач, включая аналитические, численно-аналитические, вариационные и численные методы, имеется ограниченное число работ, в которых изучаются кратковременные динамические процессы, связанные с ударом, разрушением, динамической потерей устойчивости и т.д., где за короткий промежуток времени резко меняется состояние изучаемых объектов [106]. Все вышеперечисленные методы мало приспособлены для анализа кратковременных процессов. Рассматриваемый в данной диссертационной работе лучевой метод как нельзя лучше подходит для описания кратковременных динамических процессов, которые сопровождаются зарождением поверхностей или линий сильного и слабого разрывов.

1.3.2. Постановка задачи и лучевой метод

Одной из задач динамической теории упругости, имеющей большое практическое применение, является задача о нестационарных колебаниях тонкостенных оболочек , находящихся во внешнем контакте с упругой средой, обладающей криволинейной анизотропией. Как известно, криволинейная анизотропия имеет место в тех случях, когда материал обладает какой-либо симметрией, но оси симметрии в разных точках тела имеют разные направления [41, 43, 79]. Наибольший практический интерес представляет цилиндрическая анизотропия.

Постановка задачи. Предполагается, что в безграничной трансверсально-изотропной среде расположена полость, поверхность которой подкреплена тонкой упругой оболочкой вращения. Отнесем оболочку к ортогональным криволинейным координатам а, /3,7 (рис 1.1.).

Рис. 1.1. Схема расположения координатных линий в среде с полостью, подкрепленной оболочкой

В дальнейшем будем предполагать, что поверхность полости совпадает с координатной поверхностью /5,7, а координатная линия а направлена по нормали к поверхности полости.

Изучается тонкостенная оболочка, изготовленная из линейно упругого материала, колебания которой описываются уравнениями линейной теории оболочек в рамках моделей Кирхгофа-Лява [52] или Тимошенко [23].

В рамках гипотез Кирхгофа-Лява дифференциальные уравнения колебаний оболочки имеют вид :

д21/а

Ьпиа + + ЬгзЩ +ра =

д2и

Ь21иа + ЬпЩ + ^23^7 +Р/3 =

д2и

Ьпиа + + + р7 = М-^21-

Уравнения колебаний оболочки с учетом инерции вращения и де-

формации поперечного сдвига имеют вид:

д2и

Ь*пиа + Ь*12и/з + Щ77 + Ь*ифр + Ь*15фу +ра = Р^-^Г' Ь*21иа + Ь*22ир + + Ь*мфр + Ц + рр = М-^/, Ь\гиа + + + ЦАфр + Цьф, +Р1 = М^1, (1.2)

12 д^ъЬ

ц^а + ЦзЦр + ц3щ + ь*ифр + Щ5Ф7 + = М-^,

12

+ + Цзи7 + Цдфр + Ц5ф7 + =

где £/а, и^ ти 111 - компоненты вектора перемещений срединной поверхности, фр и ф1 - углы наклона нормали к срединной поверхности, (ь.7 = 1,2,3) и = 1,2,3,4,5) -известные дифференциаль-

ные операторы, содержащие производные по /3 и 7 и соответствующие выбранной математической модели упругой оболочки, р\ - плотность материала оболочки, Н - толщина оболочки, ¿-время,

Ра=Р1-Ра, Рр=Р+р~Р~р, Р~1 = Р7 1

тР = ^(Рр+Р/з), т1 = Т^+Р7),

Ра, рр, р^ - соответственно нормальное и касательные напряжения на внешней (величины, взятые со знаком "+") и внутренней (величины, взятые со знаком "—") поверхностях оболочки .

Контакт между оболочкой и средой принимается жестким

иа = 1/а, ир = 11р, щ = , ,

или скользящим

ТТ г'аа — Ь'а

иа — и&аа — Р~а 1 "На = Р0 = °> "-¡а = Р* = 0>

(1.4)

где щ и о\а (1=а,/3,7) - соответственно компоненты вектора перемещений и тензора напряжений для среды в зоне контакта.

Для оболочки типа Тимошенко второе и третье условия в (1.3а) имеют вид:

и/з = 11/3 + -ф/3, щ = Щ + -фт (1.36)

К внутренней поверхности оболочки в момент времени t = 0 прикладывается внешнее воздействие, которое в дальнейшем остается постоянным, причем, в начальный момент времени задаются либо компоненты вектора скорости, либо компоненты вектора силы, которые

о о

зависят от криволинеиных координат на срединнои поверхности оболочки:

dUi

dt

9Ф3

t=о г !п dt

t=о

Vi

t=о

= (1-56)

где Pf(ß, 7) и (i=a,ß, 7, j=ß, 7)- заданные функ-

ции.

Для оболочки Кирхгофа-Лява второе условие в (1.5а) отбрасывается.

Дальнейший ход решения поставленной задачи можно разбить условно на три этапа:

I) получение решения для среды с полостью,

II) построение решения для оболочек вращения,

III) сшивание двух решений.

Первый этап связан с получением решения для безграничной трансверсально-изотропной среды, которая содержит полость радиусом а. Вектор скорости (1.5а) или силы (1.56), который прикладывается в начальный момент времени к поверхности полости, приводит к тому, что в окружающую среду распространяются со скоростями упругих волн три волны: одна квазипродольная и две квазипоперечные.

Для нахождения решения за фронтами ударных волн, возникающих от действия на границу полости мгновенных нагрузок (1.5), ис-

пользуем лучевой метод, состоящий в представлении искомых функций ZI при каждом фиксированном £ в виде [54]:

3 оо 1 / ч

72—1 к=0

где =

дкг

(п)

тк

М*

а — а

(1.6)

'дкг\{п) (дкг\{п)

) ~ \) "разрывы част_

ных производных к-го порядка функции Z по времени на волновой поверхности, #(£) - единичная функция Хевисайда, С^ - скорость распространения волновой поверхности, гс=1,2,3 - порядковый номер волны, римская цифра I указывает на то, что величины относятся к среде.

Коэффициенты лучевых рядов определяются из уравнений движения среды с точностью до произвольных функций при помощи условия совместности для физических компонентов вектора или тензора [108]:

в

дг

дг

= -{2,

+

&\г

8Ь

где -— производная по Томасу [73]. Ы

При а = а из (1.6) находим

(1.7)

3 оо 1 п=1к=о К-

(п)

¿=0

1к

(1.8)

что соответствует значениям искомых функций на границе полости.

На втором этапе строится решение задачи о колебаниях оболочки в виде степенных рядов по времени t:

оо 1

Я" = Е 77**00,7)** к=0 к-

(1.9)

с неопределенными коэффициентами а*, зависящими от координат (3 и 7. Римская цифра II указывает на то, что искомые величины относятся к оболочке.

На третьем этапе сшиваем полученные решения. Для этого используем условия контакта (1.3) или (1.4), начальные условия (1.5) и уравнения движения оболочки (1.1) или (1.2). Подставляя предполагаемые решения (1.8) и (1.9) в перечисленные уравнения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях на каждом шаге определяем произвольные функции, входящие в выражения типа (1.8) и (1.9).

Такой подход к решению динамических контактных задач впервые был применен Ю.А. Россихиным [54] и затем был использован во многих исследованиях [80]. В работе [100] дан достаточно подробный обзор работ, в которых были решены динамические контактные задачи с применением лучевого метода.

Показано, что применение лучевого метода при решении динамических контактных задач является весьма эффективным, поскольку позволяет получить решения данных задач в аналитической форме. Кроме того, он обладает простотой и наглядностью, которые позволяют легко интерпретировать полученные результаты. К недостатку лучевого метода следут отнести его асимптотический характер, который не дает возможности использовать лучевые ряды для больших промежутков времени.

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН ОТ ПОЛОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Впервые задача о распространении возмущений от сферической полости в бесконечной упругой среде была решена в работе [111]. Предполагалось, что к поверхности полости приложено равномерное давление. Решение этой же задачи для цилиндрической и сферической полостей приведено в [45, 110]. В этих работах решение строилось с применением интегральных преобразований.

В данной главе приведены результаты, полученные в работе [108], и на их основе построено решение для трансверсально-изотропной упругой среды с цилиндрической полостью.

2.1. Постановка задачи и некоторые основные

соотношения

Рассмотрим безграничную трансверсально-изотропную среду со сферической или цилиндрической полостью радиуса а. Уравнения движения упругой среды в ортогональной системе криволинейных координат записываются в виде:

д д д дН2

—(Н2Щааа) + —{Н1Щаа/3) + 7-(#1#2СГа7) - СГ/?/?#3

о \" о" аа / | i/iV 1 « "к/ О V 1 ^ «7/ РР о <■*

да др cry да

„дЩ ггдН, дНг dv

~Gl1' 2~да аар' ~дв~ aai !h~= P!h 1 2 3' д д д дН

щФгНщр) + + —(ЩЩара) - ^Н^-

идНг ггдН, ЭН2 dvp W

0 U

— (Я1Я2СГ77) + —(Я3Я2С7Та) + —{HiHiU1p) - (ТааН2-^-

7 U дНи дН* JL и дН3 и и и

-еррНг— + + оьНг-щ- = р-^-ЩЩЩ,

где а, /3 и 7 - криволинейные ортогональные координаты, Н\, Щ и Я3 - коэффициенты Ламе, cr¿¿ (i,j=a,/3,7) - компоненты тензора напряжений, va, V/з и v1 - компоненты вектора скорости, р -плотность среды.

Уравнения обобщенного закона ГУка для трансверсально-изотропной среды имеют вид:

&аа = Cl^aa + С2 6/?/? + Сзв77, <7/?7 = /л'еру,

= С2баа + с\ерр + с3 е77, <77а = ¿í'e7Q, (2.2)

<т77 = с3еаа + + с4е77, = V еа/з,

где e¿j (i,j=a,(3,7) - компоненты тензора деформаций,

1 1 i/'

с4 = Е'+2г/'сз, 6 =

1 - v Ъ'2

Е Е' '

Е, Е' - модули Юнга в направлениях плоскости изотропии и нормальном к ней, V - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой плоскости, у' - то же при растяжении в направлении, нормальном к плоскости изотропии, ¡ли ц1 - модули сдвига для плоскости изотропии и любой, перпендикулярной к ней.

Для определения тензора деформации в используемой системе координат через перемещения можно воспользоваться известными соотношениями для ортогональных криволинейных координат:

_J_dua 1 дЩ 1 дЩ

6аа ~H¡da + #!#2 д(3 Щ + "Б"ЕГ

1 du/з 1 дН2 ~

еде = жW + Шг"^Г"7 + (2-3)

1 ди7 1 дЩ

в77 — тт ^ -Ь тт ~ ^ Ua -Ь

Н±нъ <97

1 дН2

Я1Я2 да

1 дЩ

Я3 dj ЩНг да Я3Я2 д(3

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алирзаев, Имран Шири оглы, 1999 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ

источников

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа - М.: Наука, 1978 - 351 с,

2. Алирзаев И.Ш. Нестационарные колебания цилиндрической оболочки в упругой трансверсально-изотропной среде// Краткое содержание докладов аспирантов и соискателей по проблемам архитектуры и строительных наук.- Воронеж, 1997.- С. 6-7.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1961.384 с.

4. Ахенбах Дж. Задачи о распространении упругих волн при неразрушаю-щих испытаниях// Маханика деформируемых тел. Направления развития.- М.: Мир, 1983.- С.324-345.

5. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в упругой неоднородной анизотропной среде - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Из-во ЛГУ, 1961. С. 36-46.

6. Бабич В.М., Булдырев В. С., Молотков И. А. Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны.- Л.: Изд-во Ленингр. у-та, 1985 - 272 с.

7. Баженов В. А. Напряженное состояние цилиндрических оболочек типа труб, уложенных в упругой среде// Сопротивление материалов и теория сооружений.-1970.-Вып.10.-С. 23-30.

8. Бешенков С.Н. Нестационарное деформирование пластин и оболочек, контактирующих со взаимодействующей средой// Прикл. механика.-1989.- 25, N5.- С. 122-125.

9. Богданов В.Р., Панов С.Н. Вертикальный удар цилиндрической оболочки об упругое полупространство//Тр. 16 научн. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН Украины, Киев, 21-24 мая, 1991- С. 21-25.

10. Богданов В.Р., Панов С.Н. Вертикальный удар сферической оболочки об упругое полупространство// Тр. 17 научн. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН Украины, Киев, 19-22 июня, 1992 - С. 24-30.

11. Вестяк A.B., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой// Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела.- М., 1983 - Т. 15.- С. 69-148.

12. Вервейко Н.Д. Распространение волн в тонких упруго-вязко-пластических слоях// Прикл. механика - 1985.- 21, N12.- С. 63-67.

13. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: Физматгиз, i960.- 491 с.

14. Ворович Е.И., Пряхина О.Д. Динамическая контактная задача для упругой системы балка-слой//Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела.-1989-N1.-С. 144-148.

15. Гершунов Е.М. О колебаниях балки на упругом основании// Строит, мех. и расчет сооружений.- 1964.- N3.- С.33-36.

16. Горшков А.Г. Динамическое взаимодействие оболочек и пластин с окружающей средой// Изв. АН СССР. МТТ.- 1976.- N2.-C.177-189.

17. Горшков А.Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами// Изв. АН СССР. МТТ.- 1981.- N4.-C.177-189.

18. Горшков А.Г., Пожуев В.И. Стационарые задачи динамики пластинок и оболочек, взаимодействующих с инерционными средами // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика деформируемого твердого тела.- 1989-Т. 20.- С. 3-83.

19. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами.- М.: Физматлит, 1995.- 351 с.

20. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров А.М. Нестационарные волны от сферической оболочки в упругом полупространстве// Изв. АН. Мех. тверд, тела.- 1995 - N4.- С.70-75.

21. Горшков А.Г., Медведский A.JI. Тарлаковский Д.В. Влияние граничных

условий на параметры нестационарной контактной задачи// Изв. РАН. Мех. тверд, тела.- 1993.-N3- С.133-143.

22. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. -JL: Судостроение.-1976.-200 с.

23. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек - М., 1973.- 272 е.- ( Итоги науки и техники/ ВИНИТИ. Сер. Механика твердых деформируемых тел. Т.5).

24. Динамика конструкций при воздействии кратковременных нагрузок/ Кохманюк С.С., Дмитриев A.C., Шелудко Г.А. и др./ - К.: Наук, думка, 1989.- 304 с.

25. Динамика тел, взаимодействующих со средой / Гузь А.Н., Маркуш III., Пуст JI. и др./ Под. ред. А. Н. Гузя - К.: Наук, думка, 1991.- 392 с.

26. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия.— М.: Мир, 1989.- 509 с.

27. Забиров В.И., Рабинович М.С. О колебаниях цилиндрической оболочки в твердой среде// Докл. АН БССР, 1985.- Т.29, N П.- С.987-990.

28. Ишкова А.Г., Безухова H.H. Вынужденные колебания пластинки, лежащей на упругом полупространстве. -В кн.: Исследования по теории

р

сооружений, 19.-М.: Стройиздат.-1972.-С.196-203.

29. Коваленко Е.В., Зеленцев В.Б. Асимптотические методы в нестационарных динамических констактных задачах для упругого полупространства// Прикл. мех.и техн. физ - 1997.- Т.38, N1.- С.111-119.

30. Козерук С.А., Рубцов Ю.К. Нестационарная реакция тонкостенной цилиндрической оболочки в жидкости при действии сосредоточенной импульсной силы //Прикл. MexaHHKa.-1989.-25,N 4. -С. 39-45.

31. Коренев Б.Г. Некоторые вопросы расчета балок и плит, лежащих на упругом основании. -В кн.: Сборник трудов МИСИ им. В.В. Куйбышева-М.: Госстройиздат.-1956.-С. 145-168.

32. Коренев Б.Г., Ручимский М.Н. Некоторые задачи динамики балок, лежащих на упругом основании. -М.: Гостройиздат.-1955.-44 с.

33. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1986.- 175 с.

34. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред.- К.: Наук.думка, 1985.- 176 с.

35. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках - К.: Наук, думка, 1980.- 232 с.

36. Кравчук A.C. Вариационный метод в динамических контактных задачах/ Мех. деформируем, тел и конструкций. Шк.-семинар по теории упругости и вязкоупругости, Цахкадзор, 22-25 ноября, 1982, Ереван, 1985, С. 235-241.

37. Крауклис П.В., Молотков Л.А. О низкочастотных колебаниях пластин на упругом полупространстве// ПММ.- 1963.- Т.27 - N5 - С. 947-951.

38. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой - К.: Наук.думка, 1979.- 260 с.

39. Кубенко В.Д., Богданов В. Р. Осесимметричная задача удара оболочки об упругое полупространство//Прикл. механика - 1995.- Т.31, N 10.- С. 56-61.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными.-М.: Мир, 1964.-830 с.

41. Лехницкий С.Г., Теория упругости анизотропного тела - М.: Наука, 1977.- 415 с.

42. Луговой П.З., Мукоид В.М., Мейш В.Ф. Динамика оболочечных конструкций при взрывных нагрузках.- К.: Наук, думка, 1991.- 278 с.

43. Ляв А. Математическая теория упругости-М., Л.: Гостехиздат, 1935.674 с.

44. Николаев И.А. Колебания неограниченной плиты, лежащей на упругом полупространстве и упругом слое. -В кн.: Вопросы расчета плит на упругом основании -М.: Стройиздат.-1958.-С.63-119.

45. Новацкий В. Теория упругости.- М.: Мир, 1975 - 872 с.

46. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах.-Л.: Наука, 1980.- 280 с.

47. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн -К.: Наук.думка, 1988.-220 с.

48. Подильчук Ю.Н., Рубцов Ю.К. Применение лучевых методов в задачах распространения и рассеяния волн (обзор)//Прикл. механика.-1996.-32, N 12. -С. 3-28.

49. Пожуев В.П., Львовский В.М. Реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие неосесимметричной подвижной нагрузки // Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1976.-Ш.-С. 61-66.

50. Пожуев В.И., Жибигай М. Нестационарная реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие неосесимметричной подвижной нагрузки // Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1991.-К8.-С. 33-36.

51. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости - М.: Наука, 1986.- 328 с.

52. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник под ред. И.А. Бир-гера, Я.Г.Пановко - Т. 1-3 - М.: Машиностроение, 1968.

53. Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках - М.: Физматгиз, 1961.- 399 с.

54. Россихин Ю.А. О нестационарных колебаниях пластин на упругом основании// ПММ.- 1978.- Т.42.- N 2.- С. 333-339.

55. Россихин Ю.А. О влиянии слабой анизотропии на характер распространен цилиндрических и сферических ударных волн.//Прикл. механика-1981.- Т.17 - N 1.- С. 34-37.

56. Россихин Ю.А. Волны в слабо анизотропных средах. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1982.- N 3.- С. 160-162.

57. Россихин Ю.А. Удар жесткого шара по упругому полупространству. // Прикл. механика.- 1986.- Т.22.- N 5.- С. 15-21.

58. Россихин Ю.А. О равномерной пригодности лучевых разложений в за-

дачах, связанных с распространением ударных волн в слабо анизотропной упругой среде// Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1989 - N 6.- С. 131-138.

59. Россихин Ю.А. Методы возмущений в задачах волновой динамики анизотропных тел. Автореф. дис. ... д-р физ.-мат. наук.- Чебоксары, 1991.

60. Россихин Ю.А., Алирзаев И.III. Нестационарные колебания цилиндрической оболочки, находящейся в контакте с упругой средой/ Тез. докл. 2-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ЩРШМ-96), Новосибирск 25-30 июня 1996.- С. 262.

61. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Алирзаев И.Ш. Нестационарные колебания ортотропной цилиндрической оболочки, находящейся во внешнем контакте с упругой средой - М., 1997-Деп. в ВИНИТИ, Ш995-В97.

62. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Алирзаев И.Ш. Нестационарные колебания цилиндрической оболочки, находящейся во внешнем контакте с упругой криволинейно анизотропной средой.- М., 1997.- Деп. в ВИНИТИ, N1277-697.

63. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Алирзаев И.Ш. Нестационарные колебания сферической оболочки, находящейся во внешнем контакте с упругой средой// Тез. докл. Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикладной математики".- Воронеж , 1998.- С. 237.

64. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Алирзаев И.Ш. Нестационарные колебания цилиндрической оболочки, находящейся во внешнем контакте с упругой средой при силовом воздействии // Тез. докл. Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач, "Понтрягинские чтения X ".- Воронеж, 1999 - С. 209.

65. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград-М.: Из-во МГУ, 1988221 с.

66. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи.- К.: Наук, думка, 1976.- 284 с.

67. Сеймов В.М. Применение метода ортогональных многочленов к дина-

мическим контактным задачам //Прикл.мех. -1972.-Т.8, N1.-0.69-77.

68. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны.- Л.: Судостроение, 1972376 с.

69. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики - Л.: Судостроение, 1980.- 344 с.

70. Соболев С. Л. Некоторые вопросы теории распространения колебаний. -В. кн.: Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. 4.2. Л.-М.: ОНТИ, 1937.-Гл. XII, с. 468-617.

71. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем.-М.: Гостехиздат, 1946.532 с.

72. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки - М.: Наука, 1966.- 636 с.

73. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах.- М.: Мир, 1964.- 308 с.

74. Торопова М.М. Одномерные контактные динамические задачи для пластин. Казан, ун-т.- Казань, 1990.- 18 с. Деп в ВИНИТИ 23.01.90, N 483-В90.

75. Филиппов И. Г., Егорычев О. А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах - М.: Машиностроение, 1977.303 с.

76. Фридлендер Ф. Звуковые импульсы.- М.: Изд.-во иностр. лит.,1962.-232 с.

77. Хаселев М.Е. Приближенный динамический метод решения контактной задачи теории упругой устойчивости// Динам.строит, конструкций.-М., 1985.- С.85-95.

78. Цейтлин А.И. Решение нестационарных динамических задач о балках и плитах, лежащих на упругом основании// Строит, мех. и расчет сооружений.- 1964.- N2.- С.35-38.

79. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.- М.: Наука, 1988.- 192 с.

80. Шитикова М.В. Лучевой метод в задачах динамического контактного взаимодействия упругих тел. Автореф. дис. ... д-р физ.-мат. наук.-Минск, 1994.

81. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование цилиндрической оболочки, односторонне контактирующей со средой// Пробл. машиностроения.- 1985.- Вып.23.- С. 6-11.

82. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование упругого пространства, подкрепленного замкнутой сферической оболочкой //Прикл. механика.-1984.-Т.20, N 4. -С. 23-27.

83. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids-Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973.-427 p.

84. Alirzaev I., Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Nonstationary vibrations of cylindrical shells being in contact with an elastic medium// Abst. 31st Polish Solid Mechanics Conf. SolMec'96, Sep.10-14, 1996, Mierki, 35.

85. Anitescu Mihai, Cremer James F., Potra Florian A. Formulating threed-imensional contact dynamic problems// Mech. Struch. and Mach.- 1996-V.24, N4 - P.405-437.

86. Asano Naoki. A new dynamic zooming method for elastoimpact contact stress analysis using finite element method// Mem. Fac. Eng. Tamagawa Univ.- 1984,- N19.- P.51-64.

87. Bajer C., Bogacz R. Dynamic contact problem by means of the space-time element method/ Proc. 5th Int. Symp. Numer Methods Eng., Lausanne. Sept., 11-15, 1989. Vol.1.- Southhampton etc., Berlin etc., 1989 - P. 313318.

88. Borejko P. Application of the generalized rays to transient waves in an

elastic half-space due to a baried line source// Acta mech.- 1987.- V.67,

' J

N1-4.- P.79-90.

89. Chen Bingkui, Li Runfang. Notes on finite element method for dynamic

contact/impact problems// Comput. Struct. Mech. and Appl - 1996 - V.13, N2.- P.248-252.

90. Doyle J. F. Further development in determining the dynamic contact law/ Proc. 5 Int. Congr. Exp. Mech., Montreal, June 10-15, 1984. Brookfield Center, Conn., 1984, 579-583.

91. Duffey T.A.,Johnson J.N. Transient response of a pulsed spherical shell surrounded by a infinite elastic medium// Int.J.-Mech.Sci.- 1981.- V.23, N10.-P.589-593.

92. Forrestal M.J., Sagartz M.J. Radiated pressure in an acoustic medium produced by pulsed cylindrical and spherical shells//J. Appl.Mech. - 1971.-V.38, N4.- P.1057-1060.

93. Garnnet.H., Grouser-Pascal J. Respose of ring-reinforced cylindrical shell, immersed in a fluid medium, to an axisymmetric step pulse // Trans. ASME. Ser.E.J. Appl.Mech.-1972.-V.39, N2.-P.204-211.

94. Haojiang Ding, Weiqiu Chen. Nonaxisymmetric free vibrations of a spherically isotropic spherical shell embedded in an elastic medium //Int. J. Solids and Struct.- 1996.- V.33, N18.- P.2575-2590.

95. Hunek I. Finite element solution of dynamic contact problems// Acta tech. CSAV.- 1991.- V.36, N4.- P.444-466.

96. Jaeger J. Analytical solutions of contact impact problems// Appl.Mech. Rev.- 1994.- Y.47, N2.- P.35-44.

97. Jeffreys H. On the cause of oscillatory movement in seismograms// Moutli Notices Roy. Astron. Sos.: Geophys. Sypl.-1931.-V.2-P.407-417. Rev.-1994.- V.47, N2.- P.35-44.

98. Jingu Tochio, Nezu Kikuo, Sakamoto Kenji. Theoretical analysis and experiment of impact load transmitted into a sphere adjacent to anvil struck by travelling round bar// Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A - 1989 - V.55, N 515.- P. 1669-1673.

99. Keer L.M., Lee I.C. Dynamic impact of an elastically supported beam-large area contact// Int. I. Eng. Sci - 1985.- V.23, N10.- P.987-997.

100. Laursen T. A. Constitutive descriptions and numerical integrators for transient large deformation contact problems// 19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Kyota, Aug. 25-31, 1996. Abstr - Kyoto, 1996.- P. 832.

101. Lee K. A numerical solution for dynamic contact problems statisfying the velocity and acceleration compatibillities on the contact surface// Comput. Mech.- 1994.- V.15, N3.- P. 189-200.

102. Li Zailiang, Liu Diankui. Ray Method of SH wave propagation in an anisotropic medium with a circular cavity// Earthquake Eng. and End. Vibr - 1987.- V.7, N1.- P.l-8.

103. Mendelson D.A., Doong J.M. Transient dynamic elastic frictional contact: a general 2D boundary element formulation with examples of SH motion// Wave Motion.- 1989.- V.ll, N1.- P. 1-21.

104. Rahnejat H. Computational modelling of problems in contact dynamics// Eng., Anal.- 1985.- V.2, N4.- P.192-197.

105. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Nonstationary Vibrations and Dynamic Stability of a Transversely Isotropic Plate on an Elastic Isotropic Half-space// Structural Dynamics: Recent Advances. Proceedings of the 5th International Conference, H.S.Ferguson, H.F.Wolfe and C.Mei, eds, 18-21 July, 1994, Southampton, V. no. 1, P. 130-139.

106. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Ray method for solving dynamic problems connected with propagation of wave surfaces of strong and weak discontinuities// Appl. Mech. Rev.- 1995.- V.48 - N1.- P. 1-39.

107. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Non-stationary vibrations of a plate on an elastic half-space// Sound and Vibration, 1995 - V.181(3).- P. 417-429.

108. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy// Acta Mechanica, 1995.- V.109.- P.49-64.

109. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Dynamic stability of an elastic cylindrical shell being in external contact with an elastic isotropic medium with respect to nonstationary excitations// J. Vibraion and Control, 1999.- V.I.- P. 3-44.

110. Selberg H. Transient compression waves from spherical and cylindrical cavities// Arkivf. Fysik.-1952.-Bd.5, H. 1-2, N7-P.311-321.

111. Sharpe J.H. The production of elastic waves by explosion pressures.I-II// Geophysics.-1942.-V.7, N2.-P.144-154; N3.-P.97-108.

112. Sun S.M., Tzou H.S., Natori M.C. Parametric quadratic programming method for dynamic control problems with friction// AIAA Journal.- 1994-V.32, N2.- P. 371-378.

113. Yeh J.T., Chen W.H. A new finite element technique for dynamic contact problems with friction// J. mec. theor. et appl - 1988.- V.7. N1.- P. 161-175.

114. Zhong Zhu-Hua, Mackerle J. Contact-impact problems: A review with bibliography// Appl. Mech. Rev.- 1994.- V.47, N2.- P.55-76.