Неравенства для рациональных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Данченко, Владимир Ильич

  • Данченко, Владимир Ильич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 1984, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 92
Данченко, Владимир Ильич. Неравенства для рациональных функций: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Москва. 1984. 92 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данченко, Владимир Ильич

ЗВЕДЕШЕ

ЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 1*1. Основные определения.

§ 1.2. Некоторые свойства подобластей Грина

§ 1.3. Теорема о покрытии подобластями Грина

§ 1.4. Интегральные оценки ядер Коши.

7ЛАВА 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ШЗКЦИЙ

§ 2.1» Основные определения.

§ 2*2. Допустимые классы кривых .»

§ 2.3» Оценки производных рациональных составляющих на произвольных континуумах.

§ 2.4. Континуумы типа SE « Оценки производных рациональных составляющих на континуумах типа SE.

§ 2.5* Оценки вариаций рациональных функций на рационально спрямляемых кривых

§ 2»6. Интегральные оценки производных рациональных функций на континуумах положительной площади.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства для рациональных функций»

Экстремальные задачи на множестве рациональных функций (р.ф.) и неравенства между различными нормами р.ф. и их производных представляют одно из основных направлений исследований в теории аппроксимаций рациональными дробями.

В 1940 году А.Дж.Макинтайером и В.Г.Дж.Фуксом Г11 была рассмотрена задача об оценке логарифмической производной р.ф. на подмножествах комплексной плоскости. Систематическое изучение дифференциальных свойств р.ф. как аппарата приближения началось в 50-х, 60-х годах в работах

A.А.Гончара [2,3] и Е.П.Долженко . В этих работах }для получения так называемых обратных теорем теории рациональных аппроксимаций был разработан ряд ноеых методов оценок производных р.ф. одной и нескольких вещественных переменных. Примечателен тот факт, что в отличие от производной многочлена производная р.ф. Л не может быть оценена во всех точках заданного (основного) множества EI только через норму И в и степень "R . На подмножествах, сколь угодно близких по мере к основному множеству, точные неравенства для производных рациональных дробей были установлены Е.П.Долженко 16] (рассмотрены и вещественные,и комплексные р.ф.). На всем основном множестве (отрезок или прямая) экстремальные оценки производных дробей через мажорантные функции определенного вида были получены

B.С.Виденским [7] и В.Н.Русаком [23^ .

Существенную часть исследований составляют экстремальные задачи и неравенства для р.ф. и их производных в интегральных метриках. Результаты в этом направлении были опубликованы в работах Е.П.Долженко [5,8,12,18,19,20,24,26,14 1, Е.А.Севастьянова [11,12,22] , В.И.Данченко [19] , В.Н.Русака [23] , А. А.Пекарсюго [251 , В.В.Андриевского[271 В этих работах были получены оценки тейлоровских остатков в метриках , многомерных вариаций и интегральных модулей непрерывности (р.ф. нескольких вещественных переменных) [5,11,12,14,19,24,26] , неравенства для производных в метриках Ly и метриках Харди и Литтлвуда в областях комплексной плоскости [8,18] , оценки производных на спрямляемых кривых в метриках L^ , интегральных модулей непрерывности ■ на кривых, коэффициентов Лорана и Фурье [8,23,20,22,24,25, 26,27] .

Значительный интерес вызывают задачи об оценках норм голоморфных и рациональных составляющих мероморфных функций на континуумах, разделяющих особенности этих функций. При наличии достаточно жестких ограничений на разделяющий континуум (именно, когда континуум - окружность или аналитическая кривая) оценки норм составляющих были получены В.Э.Кацнельсоном [9,10], А.М.Бочтейном [10] , С.И.Поредой, З.Б.Саффом, Г.С.Шапиро [13]. Для случая произвольных разделяющих континуумов оценка нормы была получена

А.Гончаром, Л.Д.Григоряном [16] . Точные по порядку оценки были найдены Л.Д.Григоряном [17] , А.А.Пекарским [25] в rex случаях, когда разделяющие континуумы являются жордано-зыми спрямляемыми кривыми, на которые наложены некоторые *ополнительные ограничения.

Ооновное содержание данной работы группируется вокруг неравенств для производных р.ф» комплексной переменной и оценок норм рациональных составляющих мероморфных функций.

Первая глава посвящена изучению некоторых свойств конформных отображений произвольных односвязных областей на единичный круг. Результаты этой главы являются вспомогательными и используются при доказательстве теорем гл. 2 и 3. Вторая глава посвящена оценкам производных рациональных дробей» Все основные результаты этой главы можно разбить на три группы : 1) оценки на произвольных континуумах и континуумах определенных классов через мажорантные функции, представляющие собой суммы модулей производных простейших дробей, .нормированных на рассматриваемом континууме (теоремы 3,4); Z) интегральные оценки на кривых предельно широкого класса (теорема 5) ; 3) интегральные оценки в областях и на континуумах положительной площади (теоремы 6,7). В третьей главе установлены оценки для максимума модуля рациональной составляющей мероморфной функции £ в случае произвольности континуума, разделяющего особенности £ (теорема 8).

Перейдем к подробному обэору содержания диссертации по главам и параграфам.

Как уже говорилось, первая глава является вспомогательной. В первом параграфе даются необходимые определения.

Пусть От - произвольная односвязная область замкнутой комплексной плоскости С о границей , содержащей более одной точки, - какое-либо конформное однолистное отображение области Сг на единичный крур U = < Л } с условием = 0 .

Подобластями Грина области Gr будем называть области вида 1-й? ? где i , 0<-k< d > при этом будем писать ТСС©) = & .Во втором параграфе устанавливается ряд свойств подобластей Грина. Результаты этого параграфа применяются при доказательстве следующей основной в гл. 1 теоремы из § 3 о покрытии подобластями Грина И - точечного подмножества области &

Теорема 1. Пусть У1 - точечное множество Й " fQ± п. \ содержится в односвязной области G и > d , точки <Xj не обязательно геометрически различны) , £> 0 . Тогда Н можно покрыть конечной совокупностью подобластей Грина (М 4 ЛСогч области G- со свойствами :

М . кг—• 4- £+£

1) 2х —« Л(п yiUt (en-) ; ж= 1 ) п

I i TVl

2) гз 1 при всех UGn U Sw

Здесь и всюду ниже через АС-) , AjC") обозначаются положительные конечные величины, зависящие только от указанных в скобках аргументов, через А

- положительные константы.

-h

B последнем четвертом параграфе гл.1 установлено неравенство

Г coff«,9&» Iе®' со (Pi) Pi

Э® ; j-1 где 3) - подобласть Грина произвольной односвязной области Gr ( с границей DG- , содержащей более одной точки) , со(х-) ( х > 0 ) - положительная невозрастающая функция, £3 - некоторые точки из G- , количество }(£>) которых зависит лишь от G и Ф и не превосходит А/КС20 , fj = (f - евклидово расстояние), уч. =1,2,.

Вторая глава посвящена оценкам производных р.ф. В первом параграфе даются необходимые определения.

Пусть Г - локально спрямляемая кривая на С . Для р.ф. Л , полюсы которой не лежат на I1 , через VcytCR?r)= обозначим полное изменение 32. вдоль Г . При П = 1,2,. положим , где супремум берется по всем р.ф. R с и ШИссг) ^ ^ •

Пусть YCr) = Mf> [Vaл(1,Г) : г(50»а/С56-0,ягцССг)^1 } . Определим некоторые классы кривых Г • 1) Г £ V » е°ли n £ .clef Гя1едА(Гл2>)

YCD < «о в 2) Г е S , если Шг) = шр —-— оо где 3 - произвольный открытый круг на плоскости, dicmi Ь его диаметр, а тпей1(Гп^>) - длина той части кривой Г которая лежит в <Ь (с учетом кратности точек Р в случае самопересечений Г ). 3) Г е , если

4) Класс Ф определим следующим образом. Обозначим через ^^ % то значение Ач^ % , для которого -%<evt(j(£%, ^ <31 . Пусть - параметрическое уравнение кривой Г от натурального параметра л. и

ФСгО ^ SUP [ Ц cutj^ I ^ где СуПр8МуМ берется j i ^ по всем конечным разбиениям = C^-j ^ кривой V в порядке возрастания значений натурального параметра л,

А А

Считаем, что Г £ Ф , если ^(Г) < 00 . (Класс ^ иногда называют классом Радона - см.напр. книгу Й.И.Данилюка I

15] .) Отметим, что если Г - гладкая кривая, то Ф(Г) = класс кривых Ляпунова) , С если модуль непрерывности <огС-д} единичного вектора касательной к V как функции натурального параметра удовлетворяет УСЛОВИЮ 5 ООрС-4-) (1-й. < оо

Во втором параграфе в основном рассматриваются задачи о соотношениях между определенными выше классами кривых. Для этого устанавливается ряд неравенств для функций "V , Si , "ST , • Например, доказывается, что всегда

УОЛ^ЯСгО , ACrVttYao/4 • "УСг)«2С<Зс+^,Сг')) ; если Г е L , то ; если р - кусочно гладкая кривая (пишем Ге С ), то ilCD < . Отсюда получаются включения : Z с фс 'S с V , ^ с $ , С с ^

Достаточно сложное доказательство неравенства ^СГ* Е Г^ + ^СГ)) в случае замкнутой кривой Г1 £ Ф имеется в [15]. В §2 приводится элементарное доказательство этого неравенства для произвольной кривой Г С $

Отметим, что в теореме 5 гл.2 устанавливаются неравенства V^cr) ^ А5 зг £ц3(<гю VCГО ( л= 1,2,.), из которых вытекает, что V является максимальным классом тех кривых Г , на каждой из которых полное изменение произвольной р.ф. Л может быть оценено только через ■ ИИ С его и степень функции "Н

Пусть Е - произвольный континуум на С , разбивающий С (т.е. С ^ Е распадается не менее чем на две связные компоненты), А - какая-либо конечная совокупность попарно различных областей, каждая из которых является компонентой множества С 4 Е . Скажем, что функция £ принадлежит классу АдСеО , если она мероморфна в каждой области совокупности А и определена и непрерывна в некоторой окрестности континуума Е . Пусть £ -^л^®^ • Через £д обозначим сумму главных частей лорановских разложений ■£ относительно всех полюсов dP , лежащих в объединении областей совокупности А , а через

- степень р.ф. :£д . Будем называть fA рациональной составляющей функции f относительно совокупности А .

В третьем параграфе доказано следующее предложение. Теорема 3. Для функции "В. е в объединении областей совокупности А найдутся точки ij в количестве )3 « А3 эгл(30 €nsCe такие, что при всех и всех р. — 1,2,. (а в случае неограниченности дополнения к каждой области & £ А - также и при уч =■ О ) будет

Если Ц является р.ф. , то для некоторой совокупности А имеем И'-Л'^ и, следовательно, из последнего неравенства получается также оценка производной самой функции Л . Эту теорему интересно сравнить со следующим результатом, принадлежащим В.Н.Русаку [23] . Пусть "р it многочлен степени ж > 1 , Л(х) =Тоо/ Я l^-^jl , где

J=i

- комплексные числа с \ж 4s- 0 . Тогда при х((-«о®)

Л \ Згт ■ 1 имеем IR ^ № II nf Л -; при каждом п Iйсуществует функция указанного вида, для которой это неравенство превращается в равенство при некоторых х с С-«о,00} .

В четвертом параграфе рассматривается класс SE всех континуумов ЕI , обладающих следующими свойствами : каждая связная компонента G-.Cej") дополнения к имеет границу ^G-j(E') 9 являющуюся подмножеством некоторой кривой 1\СО класса 5 > причем величина ЦО^СЕ")) (см.выше определение класса S ) зависит лишь от Е , но не от j= . Для континуумов класса SE теорема 3 распространяется на метрики Ly

На основании результата третьего параграфа в пятом параграфе устанавливаются оценки полных изменений рациональных составляющих мероморфных функций вдоль спрямляемых кривых. Доказано, в частности, следующее .

Для любой локально спрямляемой кривой J7 имеют место неравенства ;

Л7 СГ) * А5 л&гЧеЮ VClO ( 7L ~ 1,2,. .).

Ранее Е.П.Долженко Г8,20] были установлены точные по порддку неравенства VuCr) sACDot. в случае достаточной гладкости кривой V ; вместе с тем показано, что спрямляемость и жордановость кривой Г и даже, плюс к тому, существование касательной в каждой её точке еще не гарантирует какой-либо оценки полного изменения вдоль V р.ф. только через ее степень и норму в CCD . В связи с этим им (см. 1201 ) были поставлены следующие задачи: описать максимальный класс кривых, допускающих оценки этого типа; найти зависимость оценок величин V^CD от ж и Г в общем случае. Как видно из приведенных оценок величин У^СЮ через п и VCr") , класс У является максимальным в указанном смысле. Это утверждение в качестве гипотезы было подсказано автору Е.П.Долженко. Справедливость гипотезы была доказана независимо автором и В.В.Андриевским [271 , получившим следующее неравенство: V (Г) УСГ)

В [31] показано, что множитель Ап^ здесь можно при любом £ > 0 заменить на А. На кривых некоторого подкласса класса V точные по порядку Я оценки Уи(Г") были получены также А.А.Пекарским [25] . в случае дуги Г окружности Е.П.Долженко [20] доказано равен

С"" ство УЛ(Г) = . Точные неравенстве для вариаций рациональных составляющих мероморфных функций на окружности, разделяющей особенности этих функций, были найдены Е.А.Севастьяновым [22] . Автором в [29] было показано, что V^Cr) ^

Отметим, что с учетом указанных выше соотношений между величинами У , SL , М7 , «Ф из оценок величин через Т1 и VCD получаются следующие неравенства

AntnW)-1 Vn(D ^ IHD < ЯЧ700Д

В шестом параграфе для производных р.ф. найдены оценки в метриках Харди и Литтлвуда в областях с границами класса S и некоторые интегральные оценки на континуумах положительной площади. Пусть G- произвольная односвязная область, граница "5G которой является кривой класса 5 • Фиксируем произвольно точку а е От , и при 0< ч. < через G^- обозначим связную компоненту открытого множества >4 j , содержащую точку OL . Нетрудно показать, что G^ является жор-дановой областью, граница которой принадлежит классу 5 • Пусть функция 1 определена и непрерывна в области G- э , ^ > 1 , yf<rt<f(a^G:)J при

Т г и

A^C^f ) = О при .

Пусть также 0 < oL < °° , 0 < .X « . Положим

Функционал И^ ^ , называют нормой Харди и Литтлвуда.

Основной результат шестого параграфа - теорема б об об оценке величины WTl'll^ ^ через норму Iffil/^c^ > 1 ) р.ф. 12 в зависимости от соотношений между параметрами oi. , f д. f G . Здесь мы приведем один такой результат при критическом соотношении между этими параметрами : <1 - d+

Предложение. Пусть G- - область, ограниченная кривой ^^ класса S , И - р«ф» степени , аналитическая на G- » 4 00 ,i<f<oo , я>о , «I = 1 + d/f~ .

Тогда т

1*де Л^^ид))'4,

Ранее Е.П.Долженко [18"] в случае области G- с достаточно гладкой границей и j> - °° было, в частности, показано, что

Г f ' 8СЛИ ^^

AU,<p-ilLh^ < j ht(eon , если л = ±, ц1-^ ? если 1-1/г<о1<1. и что при eZ. < i- никакой оценки для \\~R'Й^ ^ ^ & /hr через не существует .Было также показано [8],что при эта оценка остается в силе и в критическом случае оС = ±- . в связи с этим Е.П.Долженко поставил вопрос о существовании такой оценки в критическом случае oi=4- > ф £ . Как мне сообщила С.Н.Николаева, его получены в случае единичного круга ИЧ'й!4! неравенства для q х \j С аналогичные неравенствам теоремы б , соответствующим случаю J. > 1+, но без логарифмического множителя в правой части) и показано, что при и < 4 + -величина III?' )| «1,^,0.,и не может быть оценена только через <п. и № II л^сэи) • Этот результат С.Н.Николаевой приведен в обзорном докладе Е.П.Долженко [26] нэ международной конференции по теории приближений (Киев,1983). Критический случай же d = d/j> - V^ оставался полностью неизученным (исключая лишь упомянутый выше случай =

Ранее автором [28] было показано, что при л = имеем: * f > 1 , » 1 ).

В заключительном седьмом параграфе гл.2 без доказа1 тельств приводятся приложения некоторых результатов гл.2 к обратным теоремам теории рациональных аппроксимаций. Доказательства не приводятся ввиду их стандартности.

Третья глава посвящена оценкам норм в метрике ССЕ} ( Е произвольный континуум, разбирающий плоскость) рациональных составляющих ( Л=ЛСе") ) функций класса ЛЛ(ЕП (определения см. Еыше). Основным результатом главы является следующая теорема из первого параграфа.

Теорема 8. Пусть С - континуум на С , разбивающий С , А произвольная конечная совокупность связных компонент множества С^ С , каждая из которых имеет неограниченное дополнение, -?еЛ1А(0 } ог = . Тогда г

ССЕП nln(en) И^сСЮ '

Ранее задача об оценке нормы рациональной составляющей мероморфной функции в случае, когда совокупность А состоит из одной области , рассматривалась

В.Э.Кацнельсоном [9,10] А.М.Бочтейном [10] (в случае, когда Е - окружность, a GCE) - ее внутренность) : "f^CCE)* f С.И.Поредой, Е.Б.Саффом и Г.С.Шапиро [13] ( Е - аналитическая кривая, GCG) - ее внутренность) : порядок роста АСЕ,01) не указывается) ; без наложения каких-либо дополнительных ограничений на область GCE) А.А.Гончаром и Л.Д.Григоряном [1б1 было установлено неравенство

Л«ССЕ) 4А51 К!

ССЕП •

Автором в [31] показано, что множитель Л^ здесь

А. +■ £ можно заменить при любом £ > 0 на Л(£) эт Точные по порядку П оценки вида получены Л.Д.Григоряном [17] (для произвольных жордановых гладких кривых E=3G(e)) и А.А.Лекарским \25] (для класса кривых Е , определяемого через свойства конформного отображения области G-СнО на единичный круг и содержащего, в частности, радоновы кривые без точек заострения).

Во втором параграфе рассматриваются некоторые приложения теоремы 8 к теории рациональных аппроксимаций.

В заключение отметим, что во всех приведенных выше оценках, содержащих множитель Зц (е?П , этот множитель можно заменить на Сеог") при любом £>0 .

Результаты диссертации получены и опубликованы в статьях [28-311 без соавторства. Кроме того, некоторые результаты отмечены со ссылкой на автора в докладах Е.П.Должен-ко на всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимаций функций в комплексной области (Уфа, 1980) и на международной конференции по теории приближений (Киев, 1983). Результаты диссертации докладывались автором на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством проф. Е.П.Долженко , на научно-технической конференции во Владимирском политехническом институте (1983) и на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль, 1984). S

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянову за постоянное внимание и помощь в работе.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данченко, Владимир Ильич, 1984 год

1. Machityxe A J., Fucks W.H.J. 1.i^ualities for ike logariikvnic derivatives of polmomialJ.London ^ji.Soc.,i940?i5,tf%l&2-l£8.

2. Гончар А. А. О наилучших приближениях рациональными функциями. ДАН СССР, 1955, т.100, № 2, с.205-208.

3. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях на замкнутых множествах.- ДАН СССР, 1959, т.128, № 1, с.25-28.

4. Долженко Е.П. О свойствах функций нескольких переменных, достаточно хорошо приближаемых рациональными дробями.Известия АН СССР. Серия матем., 1962, т.26, с.641-652.

5. Долженко Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций.- Матем. сб., 1962,т.56, №4,с. 403-432.

6. Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций.-Известия АН СССР. Серия матем., 1963, т. 27, о. 9-28.

7. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей. Известия АН СССР. Серия матем., 1962, т.26, с. 610-617.

8. Долженко Е.П. Рациональные аппроксимации и граничные свойства аналитических функций. Матем. сб., 1966, т. 69(111), с. 497-524.

9. Кацнельсон В.Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями Теория функций, функциональный анализ и их применения. ^Харьков, 1967, Ш 4, с. 58-66.

10. Бочтейн A.M., Кацнельсон В.Э. Оценки нормы проекторав одном пространстве аналитических функций. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1970, № 42, с. 81-85.

11. Севастьянов Е.А. Некоторые оценки производных рациональных функций в интегральных метриках. Матем. заметки, 1973, т. 13, № 4, с. 499-510.

12. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Приближения рациональными функциями в интегральных метриках и дифференцируе-мость в среднем. Матем. заметки, 1974, т. 16, № 5,с. 801-811.

13. Poreda S.\.fSaU ЕВ.and SU|iro Gr.S. Fundamental Constants lor rational functions. Trans. Amer. Math,. See. 9 1924, v. 489 , у 351-358,

14. Долженко Е.П. О связи между свойствами функций и скоростью их приближения рациональными функциями со свободными полюсами и полиномами. В кн.: JY республиканская конференция математиков Белоруссии. (Минск, 1975). Тез. докл. Ч .II , 1975, с. 119-120.

15. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1965.

16. Гончар А.А., Григорян Л.Д. Об оценках нормы голоморфной составляющей мероморфной функции. Матем. сб., 1976, т. 99(141), с. 634-638.

17. Григорян Л.Д. Оценки нормы голоморфных составляющих мероморфных функций в областях с гладкой границей. -Матем. сб., 1976, т. 100(142), с. 156-164.

18. Данченко В.И. Об одной интегральной оценке производной рациональной функции. Известия АН СССР. Сер. матем., 1979, т. 43, №2, с. 277-293.

19. Данченко В.И. Оценки вариаций рациональных функций на спрямляемых кривых; Владим. политехи, ин-т, Владимир, 21 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 08.08.80, Jf? 3515-80 Деп.

20. Данченко В,И. Некоторые интегральные и локальные оценки модулей производных рациональных функций; Владим. политехи, ин-т, Владимир, 26 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 06.10.82, Ш 5098-82 Деп.

21. Данченко В.И. Оценки производных рациональных функций на континуумах; Владим. политехи, ин-т, Владимир, 13 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 26.11.82, № 5886-82 Деп.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.