Квазигиперболические отображения и их обобщения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Латфуллин, Тагир Гумерович

• Латфуллин, Тагир Гумерович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Латфуллин, Тагир Гумерович

Оглавление

Введение

§1. Квазигиперболическая метрика и

квазигиперболические гомеоморфизмы

§2. Основные вопросы, рассмотренные в диссертации

Топологическая эквивалентность отображений

Пространства Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями. Эллиптические уравнения и квазигиперболические отображения

Глава 1. Основные определения и примеры

§1. Квазиизометрические отображения метрических

пространств

§2. Расширение понятия квазиизометрического отображения областей пространства Яп

Распространение понятия квазиизометричности на

неинъективные отображения

§3. Отображения с ограниченным искажением

§4. Емкость конденсаторов

§5. Примеры

Глава 2. Расширение класса

квазигиперболических отображений

§1. Оценки квазигиперболического расстояния в областях §2. Критерий квазигиперболичности гомеоморфизма

§3. Определение отображений класса С^Н

Эквивалентные определения отображений класса (¿Н. Достаточные условия, с которыми принадлежность

классу С^Я влечет принадлежность классу С^Н

О коэффициенте искажения отображений класса QH

§4. Некоторые свойства отображений класса QH

Композиция квазигиперболических отображений

Равномерная локальная инъективность отображений

класса QH

Глава 3. Топологическая эквивалентность

отображений

§1. Эквивалентность квазиконформных и

квазигиперболических гомеоморфизмов

§2. Квазиконформность соединяющего гомеоморфизма . 69 §3. Эквивалентность регулярных функций комплексного

переменного отображениям классов QI и QH

эквивалентные отображениям класса QH

Регулярные локально-инъективные функции,

эквивалентные отображениям класса QI

Топологическая эквивалентность многочленов и

квазиизометрических отображений плоскости

§4. Покрытия областей шарами

§5. Топологическая эквивалентность локально квазиконформных отображений и отображений класса QH

Операторы аппроксимации

Операторы замены переменного

Глава 4. Топологическая эквивалентность квазиконформных и квазиизометрических инволюций Rn

§1. История вопроса

§2. Отталкивание союзных точек квазиконформных инволюций

§3. Покрытия области U

§4. Операторы аппроксимации

§•5. Построение квазиизометрической инволюции

Глава 5. Пространства С.Л.Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями

§1. Постановка задачи. Определения

§2. Пробные конденсаторы

§3. Оценка искажений отображений, порождающих

изоморфизмы пространств без веса

§4. Оценки для весовых пространств

§5. Пространства, связанные с квазигиперболическими

отображениями

§6. Подобие весовых пространств Соболева в плоских

областях

§7. Эллиптические уравнения и квазигиперболические

отображения

Список основных обозначений

Предметный указатель

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазигиперболические отображения и их обобщения»

Введение

§1. Квазигиперболическая метрика и квазигиперболические гомеоморфизмы

В диссертации рассмотрены некоторые проблемы теории квазигиперболических отображений, то есть отображений, ограниченно изменяющих квазигиперболическое расстояние между точками. Класс квазигиперболических отображений {С^Н) занимает промежуточное положение между классами квазиконформных (С^С) и квазиизометрических ((^1) отображений. То есть, С)1 С С^Н С ЦС, кроме того, граничное поведение квазигиперболических гомеоморфизмов такое же как у квазиконформных гомеоморфизмов, а ограничение любого гомеоморфизма / класса ЦВ. на компактную подобласть области определения / принадлежит классу (¿1. Сказанное будет уточнено в последующем тексте.

Квазигиперболические отображения как самостоятельный объ ект изучения привлекли к себе внимание математиков после работы Тукиа и Вяйсяля 1981 года [76], в которой они обосновали возможность аппроксимации квазиконформных отображений квазигиперболическими. Термин "квазигиперболический" принадлежит Тукиа и Вяйсяля [77].

Квазигиперболические гомеоморфизмы обычно использовались как инструмент при изучении квазиизометрических гомеоморфизмов. Их применение основано на эффекте обнаруженном Л.Альфорсом [2, с. 70], заключающемся в том, что квазигиперболический гомеоморфизм, квазиизометрический на границе (в случае достаточно протяженной границы) является квазиизометрическим. Позднее этот эффект был использован в работах автора [15], [16], [17], П.Тукиа и Ю.Вяйсяля [77], Д.С.Джерисона и С.Е.Кенига [61], Ю.Вяйсяля [73].

Класс в современной конфигурации теории отображений играет вспомогательную роль при изучении классов ЦС и (^1. В силу включения С С^С все, что верно для квазиконформных отображений верно и для квазигиперболических отображений. Теория квазиконформных отображений и их обобщений — отображений с ограниченным искажением имеет богатую историю и хорошо разработана, поэтому постановка вопросов специфических для отображений класса С^Н — задача не простая. Однако, класс этот (С^Н) привлекает к себе внимание именно сочетанием свойств, присущих отображениям классов (¿С и Будучи близким к классу С^С он состоит из отображений, у которых отсутствуют некоторые "неудобные" свойства квазиконформных отображений. Например, любая локально спрямляемая кривая переходит в локально спрямляемую при (^-^-отображениях, этим свойством не обладают квазиконформные отображения; частные производные первого порядка компонент (^.^-отображения ограниченны на компактных подобластях области определения. С}Н-гомеоморфизмы наследуют больше свойств конформных отображений плоских областей, чем (^С-гомеоморфизмы. Родственность классов (¿С и }Н выражается также тем, что любой квазиконформный гомеоморфизм является грубо квазигиперболическим (по терминологии Вяйсяля) и любой квазиконформный гомеоморфизм можно аппроксимировать с любой точностью квазигиперболическими гомеоморфизмами.

Перейдем к более точным формулировкам.

Определение 1. Пусть Б - область в пространстве Яп и ее граница дВ — непустое множество, такие области называют собственными подобластями Яп.

Для точек Х\,Х2 из Б квазигиперболическим расстоянием

между ними называется величина

к0(х 1,г2) = т£

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым 7, соединяющим х\ их 2 в И, интеграл — криволинейный первого рода, з — натуральный параметр, 5и(х)~ евклидово расстояние от х

Напомним, что если для любых двух точек х и у некоторого множества X определено расстояние между ними а(х,у), то функция а : X х X —>• Я называется метрикой.

Определение 2. Пусть Б и С - собственные подобласти Яп и (р - гомеоморфизм И на К > 1 - постоянная. Гомеоморфизм ср называется К-квазигиперболическим, если для любых х\,х2 Е В выполнено

Определение 3. Гиперболическое расстояние между точками круга В = {2 £ С : \г\ < 1} комплексной плоскости определя ется выражением

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим в В точки и г2.

Гиперболическая метрика является традиционным объектом теории функций комплексного переменного. Гиперболическое расстояние не изменяется при дробно-линейных автоморфизмах круга Б [12, с. 391]. Посредством конформных отображений круга на

до дВ.

-кП(хих2) < кс((р(х1),(р(х2)) < Ккв(хьх2).

односвязные собственные подобласти плоскости производится пе ренос гиперболической метрики.

Пусть И односвязная собственная подобласть Си/ — кон формное отображение В на В. Для точек £ь%2 Е & положим

Такое определение расстояния в Б корректно, так как оно не зависит от выбора гомеоморфизма /. Действительно, пусть ¡\ и /2 — два конформных отображения В на И. Тогда найдется дробно-линейный автоморфизм (р круга такой, что /2 = /1 о а так как гиперболическое расстояние в В инвариантно при дробно-линейных преобразованиях, то для любых 2:1,22 Е I)

Из определения гиперболической метрики с помощью форму лы замены переменной в интеграле можно получить представле ние

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим в И точки и хч- / — конформное отображение И на В. Функцию

называют плотностью гиперболической метрики, она не зависит от выбора отображающей функции / [12, с. 420].

Происхождение термина "квазигиперболическая метрика" объ ясняется тем, что гиперболическая и квазигиперболическая метрики эквивалентны, то есть, существует постоянная С > 1 такая, что для любой пары точек 2:1,22 Е И выполнено

0£> (21,22) = <7в(/ 'Ы).

1

В следующей теореме устанавливается универсальная оценка постоянной С.

Теорема 1. Пусть Б - односвязная собственная подобласть комплексной плоскости С, тогда для любых точек и из Б выполнено

1

-огв(гиг2) < кв(г1,г2) < 2(т0(гиг2) (1)

Доказательство. Пусть г е И и / - конформное отображение Б на круг В = {\г\ < 1}, /(г) = 0 . Функция д(г) = {Г\г) -г)/'(г), г Е В, отображает В на область Б* = (Б — г)/'(г), д'(0) = 1, д(0) = 0. Тогда по теореме Кёбе [10, с. 51] область Б* содержит круг В (г, 1/4). Но так как Б* подобна И с коэффициентом подобия область Б содержит круг В(г, 1/(4|/'(г)|), следовательно 8 о (г) > 1/(4|/'(г)|).

Так как =0

1

^(г) = 2Ц'(г)\>

2 6П(г)

(2)

Рассмотрим теперь функцию ф(£) = ¡(8и(г)1 + г), £ Е С, |£| < 1. Так как ф(0) = ¡(г) = 0 и ф(г) Е /(и), то есть \ф(г)\ < 1, выполнены условия леммы Шварца [10, с.29], согласно которой |^(0)| < 1.Это неравенство означает, что 8^{г) |/' (г) \ < 1, поэтому

2|/'М1

= 2|/'(*)1<

Из оценок (2) и (3) следуют неравенства (1).

(3)

Следствие. Любое конформное отображение круга на область комплексной плоскости является 4-квазигиперболическим. Доказательство. Пусть / : В -> В — конформное отображение. По теореме 1

Согласно определению метрики а£> верно равенство

= (Гв(2ъг2) ■

Снова применив оценки из теоремы 1, получим

< 2кв(хьг2) .

Таким образом,

М/С* 1)5/Ы) < 4кв(гъг2) .

С помощью оценок снизу теоремы 1, подобные рассуждения приводят к неравенству

1

Верен и более общий результат (см., например,[2, с. 75])

Теорема 2. Пусть И и С собственные подобласти комплексной плоскости и / конформно отображает И на тогда / является 4-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Пусть г Е И, и) = f(z). Функция

¡„мм ~тг К|< '

удовлетворяет условиям теоремы Кёбе, то есть 99(0) = 0, <£>'(0) = 1, следовательно образ круга {|£| < 1} содержит круг радиуса 1/4, поэтому

60(<ш)>1-50(г)\Г(г)\

или

\П*)\

<

4

5с(и)) " 5в{г)

При помощи обратной функции д = /~1, получим неравенство

8в{х) > (6с(и))\д'(ги)\)/4. Однако, д'(ю) = 1/(/'(г)), поэтому

6с(т) ~ 48в(г)'

>

Переходя к инфинитезимальным обозначениям, получим

Ыг\ \Г(хШг\ Ыг\

А8в(г) ~ 5с{т) ~ 60(г)7

<

<

что и означает 4-квазигиперболичность /.

Замечание. Более формальное окончание доказательства можно получить с использованием теоремы 1.1 главы 1, если заметить, что А(/,с) = А(/, г) = |/'(г)|, где

главные растяжения отображения / в точке

Согласно теореме Лиувилля [41] конформные отображения областей пространства Яп — суть ограничения мёбиусовых отображений Ж1 на себя. Для таких отображений верна теорема 3, аналогичная теореме 2.

Лемма 1. Пусть (р(х) = х/\х\2 — инверсия пространства В4 и Б — область в Яп , такая, что О ^ Б. Тогда ограничение (р на О является 2-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Пусть х £ И. Через 5 обозначим сферу с центром в точке х радиуса г = 6о{х). Через К обозначим расстояние от <р{х) до <¿>(5). Так как <¿>(<5) — сфера (или гиперплоскость, когда О £ 5 ), число Я легко вычисляется.

Если г < \х\ , то

и

г — и)

Л =

1

1

г

х\ + г МО^! + г)

и если г = |.т|, то

й=ы-

Известно (см., например, [3, с. 19]), что при х ф О матрица Якоби инверсии <р является конформной, то есть (р' = ¡л • к, где /х > О, А- — ортогональная матрица. Группу ортогональных матриц обозначим 0(п)

0(п) = {А : А ■ Ат = I или А ■ А = 1} .

Так как, ||у/(:г)|| = 1/М2? из конформности матрицы р'(х) следует, что для всех х ф 0 имеют место равенства

\{<р,х)=А(?,х) = \\<р'(х)\\ = 1/\х\2.

Обозначим О = так как §с(<р(х)) > Л, получим оценки: при Г < |х'|

• 80{х) ^ г _ г|ж|(|ж| + г) _ |ж| + г

¿с((р(х)) ~~ \х\2Я \х\2г |ж|

и при Г = |х'|

Л(<£,х) ■ ^ г г|ж|(|ж| + г) г • 2\х\ ^

~ \х\2Я \х\2г \х\2

Итак, для любой точки х £ Б

А((р. х) 2 , ч

60(<р(х)) 6в(х) Так как = ср, то для любой точки у Е С = выполнено

У) < 2

М^Ы) ¿о{у)'

Пусть х — (р(у), тогда х £ И и А(<р, у) = 1/А(<^,ж), поэтому

1 2 <

Л (<р,х)5п(х) $с((р(х))

или

6С(Ф)) - 25о{х) •

\{(р}х) 1

(5)

Неравенства (4) и (5) означают, что ограничение отображения (р на область В является 2-квазигиперболическим отображением (см. следствие к теореме 1.1).

Определение 4. [41, с. 15]. Отображение / пространства Я на себя называется мёбиусовым, если оно представляет собой композицию конечного числа преобразований подобия и инверсий относительно сфер.

Теорема 3. Пусть / — мёбиусово отображение Яп, /(^о) = оо. Если область В С Яп такова, что х^ ^ В, то ограничение f на В являет,ся 2-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Согласно теореме 1.3 [41, с. 31] / представимо в виде а о д, где а — инверсия относительно некоторой сферы 5п_1(жо5гК 9 — движение Яп. Заметим, что

где (р — инверсия относительно единичной сферы 5П *((); 1). Обо значим (3(х) = г-ж, ^{х) = х + ^о- Тогда

бражения а и Ь суть линейные конформные преобразования Яп, то есть они представимы в виде композиции движений и гомотетий Яп с центром в нуле. Очевидно, что ограничения линейных

а = ~/о[Зо(ро/3 1 о 7

-1

конформных преобразований на собственные области Rn являются изометричными в квазигиперболической метрике отображениями. Инверсия ср по лемме 1 есть 2-квазигиперболическое отображение области 6(D), следовательно и отображение / является 2-квазигиперболическим отображением области D.

Заметим, что определения конформного (мёбиусова в случае п > 2) отображения не используют понятия "квазигиперболическая метрика", однако такие отображения оказываются квазигиперболическими.

Поясним значение термина "грубо квазигиперболическое отображение" .

Определение 5. [75, р. 12]. Гомеоморфизм собственной области D на собственную область G называется грубо квазигиперболическим (coarsely quasyhyperbolic), если существуют постоянные М и С, такие, что для любых двух точек х,у Е D выполнено

{kD{x,y) - С)/М < kG(f(x)J(y)) < Мкр(х, у) + С. (6)

Предложение 1. Гомеоморфизм f : D G является грубо квазигиперболическим тогда и только тогда, когда существуют две постоянные d и L, такие, что для любых двух точек х,у Е D, удовлетворяющих условию kjj(x,y) > d выполнено

kD(x,y)/L < kG(f(x),f(y)) < LkD(x,y). (7)

Доказательство. Пусть / грубо квазигиперболическое отображение, то есть, для любых двух точек х,у Е D справедливо неравенство (6). Положим d = 2С и возьмем две точки х, у Е D, удовлетворяющие условию ко (х, у) > d. Так как ки(х,у) = кр(х,у)/2+ кг>(х,у)/2 > ко{х, у)/2+С, получаем оценку кв(х,у)—С > кр{х,у)/2 С другой стороны, Мкц(х,у) + С < (М + 1/2)кп(х,у). Объединив найденные оценки, получим ко(х,у)/(2М) < кс(/(х),/(у)) <

(M+l/2)kD{x,y). Заметим, что в (6) М > 1, поэтому 2М > М+1/2 и верно неравенство кп(х,у)/(2М) < kc(f(x), f(y)) < 2Mk]j(x,y). То есть, выполнено (7) с L = 2М.

Пусть теперь гомеоморфизм / таков, что если k]j(x,y) > d, то выполнено неравенство (7). Покажем, что для любых х,у Е D справедлива оценка

(kD(x,y)-d)/L < kG(f(x)J(y)) < LkD(x,y) + Ld. (8) Действительно, если ки(х,у) > d, то оценки

/Ы) < LkD(x,y) < LkD(x,y) + Ld

и

М/М./М) > kD(x}y)/L>((kD(x,y)-d)/L очевидны. Если же кр(х,у) < d, то также очевидна оценка

{kD{x,y)-d)/L<0<kG(f(x)J(y)).

С другой стороны, из гомеоморфности / следует, что kc(f(x)if(y)) < Ld, откуда, в свою очередь следует неравенство кс{1{х),/{у)) < Ld < ко(х,у) + Ld. Таким образом, неравенство (8) доказано, значит отображение / является грубо квазигиперболическим с постоянными М = L и С = Ld. Предложение доказано.

Оказывается, любой квазиконформный гомеоморфизм собственных областей Rn является грубо квазигиперболическим (см., например [75, теорема 4.7]). Взяв определение грубой квазигиперболичности в форме предложения 1, можно понять связь между классами квазигиперболических и квазиконформных гомеоморфизмов: если "рассматривать квазиконформное отображение издалека", его не отличить от квазигиперболического.

Замечание. В теореме 4.7 цитированной работы Вяйсяля [75] доказывается более общее утверждение: любой целый (solid) гомеоморфизм собственных областей нормированного пространства является грубо квазигиперболическим.

Гомеоморфное отображение собственных подобластей называется целым, если прямое и обратное отображение равномерно непрерывно относительно квазигиперболической метрики. Отображения с таким свойствами в работе Ефремовича В.А. и Тихомировой Е.С. [13] 1964 года были названы эквиморфизмами.

§2. Основные вопросы, рассмотренные в диссертации

В диссертации рассмотрены три задачи.

Первая задача — определить расширение класса квазигиперболических гомеоморфизмов так, чтобы новый класс содержал и негомеоморфные отображения.

Вторая задача — установить топологическую эквивалентность отображений с ограниченным искажением и отображений класса

QH.

Третья задача — найти функциональные пространства "естественно" связанные с гомеоморфизмами класса QH.

Дадим краткое описание методов решения этих задач.

Расширение класса квазигиперболических отображений

В главе 2 определяется расширение класса квазигиперболических отображений на негомеоморфный случай. Там устанавливается, что гомеоморфизм /' областей D и G пространства Rn является квазигиперболическим тогда и только тогда, когда существует непрерывная функция Ф : [0, оо) —» [1,оо), с которой для любых

точек х,у Е D выполнено

Л(/,аг) <Ф{кв(х,у))Х(/,у) (9)

Класс отображений, подходящих под это определение обозначается QH.

Доказывается эквивалентность разных определений отображений класса QH.

Гомеоморфизмы класса QH областей пространства jR2, были рассмотрены К.Астала и Ф.Герингом в работе [48], О.Мартио распространил понятие для произвольной конечной размерности и на негомеоморфный случай, он назвал такие отображения квазиподобиями (quasisimilarities) [64]. Автором диссертации этот класс переоткрыт [28], новым по отношению к результатам Марио является то, что доказана эквивалентность классов квазигиперболических гомеоморфизмов и класса гомеоморфных квазиподобий.

Топологическая эквивалентность отображений

В 3 главе изучается проблема топологической эквивалентности отображений с ограниченным искажением отображениям класса QH. Рассматриваются несколько определений эквивалентности отображений, однако основным является следующее.

Отображения / и д называются сильно эквивалентными, если существует гомеоморфизм р> : D —»• D тождественный на границе области D1 такой, что д = f op.

Тождественным на границе называется такой гомеоморфизм (р : D —)• .D, что для любой точки х £ D выполнено кр(х, <р(х)) < t, где £ — постоянная.

Согласно работе финских математиков Тукиа и Вяйсяля [76] любой квазиконформный гомеоморфизм / : D —Rn, D и G — области из Rn, п ф 4 можно аппроксимировать с любой точностью

квазигиперболическим гомеоморфизмом. Точнее, \/е > 0, найдется квазигиперболический гомеоморфизм д : И —> С, такой, что для любой точки х Е I) выполнено

ко{'1(х),д(х)) < е.

Ясно, что / и д сильно эквивалентны (92 = /~[од — гомеоморфизм области И на себя тождественный на границе и д = / о ср ).

Для негомеоморфных отображений с ограниченным искажением формулировка теоремы об аппроксимации, аналогичной цитированной теореме Тукиа-Вяйсяля, выглядела бы громоздко, поэтому задачу об аппроксимации отображений заменяем задачей о топологической эквивалентности отображений.

Устанавливается, что любое локально инъективное отображение с ограниченным искажением /:!)—>■ Л", п ф 4, является сильно эквивалентным некоторому отображению класса С^Н (теорема 3.16). Доказательство этого факта проводится применением алгоритма пошаговой локальной аппроксимации. Этот алгоритм есть упрощенный вариант алгоритма аппроксимации, использованного в статье автора [33] об инволюциях.

Следует отметить, что алгоритм пошаговой локальной аппроксимации похож на алгоритм разбиения единицы, применяемый при изучении числовых функций (см., например, [43]).

Для размерности пространства п = 2 решается задача о топологической эквивалентности регулярной функции отображению класса ЦН или класса (теорема 3.8 и теорема 3.11). Теорема 3.11 представляет собой пример использования квазигиперболических отображений как инструмента исследования.

Доказывается, что комплексные многочлены топологически эквивалентны отображениям комплексной плоскости класса (теорема 3.13) и, что любое отображение с ограниченным искажением комплексной плоскости, имеющее в окрестности беско-

нечности степенной рост топологически эквивалентно некоторому многочлену (теорема 3.12).

Результаты, связанные с двумерными отображениями опубликованы в работах [25], [27].

В главе 4 доказывается, что любая квазиконформная инволюция (р пространства Я71, п ф 4, топологически эквивалентна квазиизометрической инволюции с тем же самым множеством неподвижных точек, что и инволюция ср. Идея доказательства состоит в применении эффекта, замеченного Л.Альфорсом, состоящего в том, что непрерывная инволюция оказывается квазиизометрической, если ее ограничение на дополнение множества неподвижных точек есть квазигиперболическое отображение [2, с. 70]. Предложенное решение задачи очень громоздкое, построение квазиизометрической инволюции происходит при помощи метода пошаговой локальной аппроксимации, приспособленного для инволюций. По мнению автора в данном случае результат оправдывает средства. Теорема о квазиизометрической инволюции опубликована в [33].

Пространства Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями. Эллиптические уравнения и квазигиперболические отображения.

Хорошо изучена связь соболевских пространств Ь\ и квазиконформных гомеоморфизмов, см. например, [7], [9], [39]. Квазиконформное отображение (р : Б —» индуцирует изоморфизм пространств

Ар : Ь^в) -> по формуле А9{!){х) = /(<р{х)),

где / £ Ь^О). С другой стороны, если изоморфизм А^ является изоморфизмом пространств Ь1п(С) и Ь^И), то / — квазиконформ-

ное отображение.

Подобная связь есть между квазиизометрическими гомеоморфизмами и пространствами Ь1р1 р ф п [8], [9].

В пятой главе диссертации указаны пространства Соболева хорошо связанные с квазигиперболическими отображениями — это весовые пространства. Устанавливается вид весов, с которыми данное отображение индуцирует изоморфизм функциональных пространств и вычисляется вид весов, с которыми любое квазигиперболическое отображение индуцирует соответствующий изоморфизм.

В этой главе, в отличие от других глав вычисляются точные оценки искажения отображений, достигается это применением специальной техники пробных конденсаторов.[21]

Отдельно рассмотрен двумерный случай. Решается следующая задача. Какими должны быть веса в односвязных собственных подобластях В и С комплексной плоскости, чтобы любое конформное отображение ц> : Б —>• С индуцировало подобие соболевских пространств Рд) и Ь1{(}, ид) - Естественно предположить, что эти веса являются функциями плотности гиперболической метрики. Предположение это подтверждается вычислениями. Этот результат опубликован в [22].

Примыкает к изложенным задачам задача о уравнениях эллиптического типа связанных с квазигиперболическими отображениями. Задача о представлении решений эллиптических уравнений в виде композиции решения некоторого уравнения с него-меоморфными отображениями была впервые рассмотрена Ю.Г.Ре-шетняком в [40], позже к ней обращались авторы работы [58]. Проблема состоит в следующем: указать класс уравнений, решения которых можно представить в виде композиции решения некоторого уравнения и негомеоморфного отображения класса С^Я.

Глава 1. Основные определения и примеры

§1. Квазиизометрические отображения метрических пространств

Пусть (Х,кх) и (У,/су) — метрические пространства, и ку — метрики. Обычно пользуются следующим определением квазиизометрического отображения.

Определение 1.1. Отображение / : X —» У называется К-квазиизометрическим , К > 1, если для любых двух точек Х\,Х2 Е X выполнено

1кх(х1,х2) < Ку(/(ж1),/(ж2)) < Ккх(х 1,х2) ■

Иногда это определение будет неудобно использовать, поэтому сделаем более тонкое определение и по-другому определим понятие К-квазиизометричности.

Определение 1.2. Пусть 0 < а < Ь < оо, отображение назовем (а, Ь)-квазиизометрическим, если для любых двух точек Х\,Х2 Е X выполнено

акх{х1,х2) < ку(/(ж1),/(ж2)) <

Отображение / назовем квазиизометрическим, если оно является (а, Ь)-квазиизометрическим отображением при некоторых а и Ъ, 0 < а < Ъ < оо.

Ясно, что если / удовлетворяет определению 1.1, то / удовлетворяет определению 1.2 с а = 1/К и 6 = К; если / удовлетворяет определению 1.2, то / удовлетворяет определению 1.1 с /С = тах(6,1 /а).

Для объяснения мотивации следующих определений рассмотрим пример.

Пусть / : Яп —> Яп — Л'-квазиизометрическое отображение в смысле определения 1.1. Для положительного числа С положим

если х\,х2 Е Яп• Представляется естественным отделить в этом примере постоянную С от постоянной К. Приходим к следующему определению.

Определение 1.3. Пусть / : X —> У — (а, Ь)-квазиизометрическое отображение. Параметром отображения /' назовем число С — л/аЬ; коэффициентом квазиконформности отображения f назовем число К = \]Ь/а. Подобным К-квазиизометрическому будем называть (а, Ь)-квазиизометрическое отображение с коэффициент,ом квазиконформности К.

§2. Расширение понятия квазиизометрического отображения областей пространства Яп

Определение 1.4. Пусть В - область в Яп и и : И —> Я -

непрерывная положительная функция.

Для любых двух точек х\^х2 из Б положим

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым 7, соединяющим х\ их2 в И. Функция к : И х Б —> Я называется конформно-плоской метрикой с плотностью и [53].

Для некоторых конформно-плоских метрик есть стандартные названия.

Если со(х) = I, для всех х то метрика называется внутренней [1], обозначим ее рр.

Б{х) = С • /(х). Тогда С,

х\ - х2\ < \Fixi) ~ ^(^2)! < КС\х\ — х2

7

Если ш{х) = 1 /5п(х), где 5о{х) — евклидово расстояние от точки х до границы области Б , то метрика называется квазигиперболической, обозначение — ко-

Если Б — односвязная собственная подобласть комплексной

формное отображение Б на круг {|ги| < 1}; то метрика называется гиперболической, обозначим ее а о.

Метрическое пространство — область Б с заданной на ней метрикой ко будем обозначать как пару (Б^ко).

Определение 1.5. Пусть И и С области пространства Л" и / : Б —)• (7. Для любой точки х £ Б определим главные растяжения отображения /:

Заметим, что главные растяжения могут принимать в некоторых точках бесконечные значения.

Теорема 1.1. [25]. Пусть в областях И и заданы плотности сир и и)д конформно плоских метрик ко и к.д. Гомеоморфизм $ \ В С является (а, Ь) -квазиизометрическим отображением метрических пространств (Б,ко) и (С, к с) тогда и только тогда, когда для любой точки х £ Б

Доказательство. Необходимость. Пусть / - (а, 6)-квазиизо-метрическое отображение (В, к,о) на (G,kg)- Из непрерывности плотностей со о и со с следует, что Vx Е В и Ve > 0 найдется такая окрестность U точки ж,что Vу Е U

плоскости С, и w(z) = 2|/'(z)|/(l — |/(,г)|2), где f некоторое кон-

(1)

(1 - e)wD(x) < üjd(ij) < (1 + £)ujd(x)

(1 - фС(/(х)) < ис(Ну)) < (1 + фС(/(х-)). Из определения метрик «д и кд следует, что для у Е £/

(1 - £)иП(х)\х -у | < КВ(х,у) < (1 +£)иВ(х)\х ~ у |,

(1-е)ис(/(х)Шх)-Ну)\< <

<(1+£)иС(Г(х)Шх)-Г(у)\.

Из этих оценок получаем (1 -е)к,си(х)Лу))ив(х) < |/(х)-/(у)| <

1

г )KD{x1ij)cjG{f(x))

<

\х - уI

(l+e)KG(f(x)J(y))uD(x)

(1 - e)KD(x,y)uG(f(x)) Однако, / является (а, 6)-квазиизометрическим, следовательно

а <

< Ь.

K>D(x,y)

Применяя эту оценку к предыдущей, получим

д (1-ФрМ < I/M-/WI <b (1 + e)uD{x

+ ~ \х-уI " (1-е)шс(/(х))

Так как £ произвольно, заключаем,что для любой х £ И

Kit Ud(X) \ ( f \ v. UD(x)

A(f,x)<b— \(f,x) > а-

Доказательство достаточности. Пусть гомеоморфизм / удовлетворяет условию (1). ДЛЯ произвольных Х\,Х2 Е I) и е > О найдется спрямляемая кривая 7, соединяющая точки х\ и Х2 в V, с которой выполнено

J uu(x)ds < kd(x 1,^2) +

Из определения искажений Л и Л, из определения плотностей со о и üjq и из того, что / гомеоморфизм, следует, что для любого 6 > О

и любой точки х Е Б найдется ее окрестность V(х) такая, что, для любой точки у £ У(х) выполнено

1/М-/Ы1

\х - у\

< (1 + £)Л(/, х).

1

(2)

> - у|, (3)

ко(№,т) < (1 + 6)ш0(/(х)Мх) - /(у)|. (4)

Фиксируем £ £ (0,1). В силу компактности кривой 7, ее можно разбить точками жо — ...,хп = у, которые упорядочены вдоль неё и расположены так, что для любого к = 0,1,..., (и — 1) хь+1 £ У(хк). Из неравенства треугольника для метрики к,<з следует, что

п к=1

Согласно выбору точек хк1 из неравенства (4) следует, что

«£?(/М,/(у)) < (1 + 6) ± - /Ы1 (5)

к=1

Применив неравенство (2), получим

|/(жА_1) - ¡(хк)\ < (1 + -

(6)

По условию теоремы

Л(/,я*-1) < Ь-

1)

ис{1(хк-1)) Учитывая (6) и (7), из (5) находим, что

п Аг=1

Согласно (3) 0^(^-1)1^-1 - < (1 + 6)кП)(хк-1, хк), поэтому

п

кс(/(я),/М) < 6(1 -Н <5)3 £

(7)

А=1

Обозначим через дугу кривой 7, заключенную между точками хк-1 и хк, тогда

кв(хк-1,хк) < I ш0{х)йз.

1к

Таким образом,

/(у)) < Ъ(1 + б)3 £ / шп(х)йз = 6(1 + ¿)3 / иВ(х)й8.

Вспомнив как была выбрана кривая 7, заключаем, что

кс(Нх),т)<Ь(1 + 6)*(к0(х,у) + е). Так как ей 6 произвольны,

кс{1{х)Лу))<Ькг,(х,у), (8)