Непертурбативные явления в квантовой теории поля во внешних полях и при конечной температуре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Заякин, Андрей Викторович

• Заякин, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Заякин, Андрей Викторович

Введение

0.1 Мотивация.

0.2 Разнообразие непертурбативных методов и результатов.

0.3 Эффективные действия Гейзенберга-Эйлера.

0.4 Соответствие между калибровочными теориями и гравитацией.

0.5 Электрические и магнитные степени свободы в кварк-глюонной плазме

1 Коррелятор петель Вильсона - 'т Хоофта

1.1 Доминирующая конфигурация при нулевой температуре

1.2 Конечно-температурный анализ.

1.3 Результаты.

2 Киральный конденсат в магнитном поле

2.1 Мотивация.

2.1.1 Киральный конденсат.

2.1.2 Ограничения стандартного подхода.

2.2 Модель D3/DT в метрике Констебля-Майерса с полем Кальба-Рамона

2.3 Конденсат и спектры.

2.3.1 Конденсат

2.3.2 Мезоиныо спектры.

2.4 Результаты.

3 Квазиклассическая динамика электрических и магнитных степеней свободы во внешних условиях

3.1 Введение.

3.1.1 Монополи: непертурбативные и нелокальные объекты.

3.1.2 Индуцированные и спонтанные распады.

3.2 Распад магнитного монополя в переменном внешнем поле.

3.2.1 Спонтанные и индуцированные процессы в переменных полях

3.2.2 Квазиклассическое приближение для континуального интеграла

3.2.3 Экспоненциальный фактор.

3.2.4 Экстремальные условия в природе.

3.2.5 Результаты.

3.3 Префактор для индуцированного распада.

3.3.1 Монополь в четырехмерии.

3.3.2 Связанное состояние в двумерии

3.3.3 Результаты.

3.4 Электрические и магнитные степени свободы при конечной температуре.

3.4.1 Мотивация.

3.4.2 Швингеровские процессы при конечной температуре.

3.4.3 Результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непертурбативные явления в квантовой теории поля во внешних полях и при конечной температуре»

0.1 Мотивация

Взаимодействие электрических и магнитных степеней свободы в КХД представляет огромный интерес для современной физики в связи с развитием экспериментальных установок, в- частности LHC, которые позволят уже в ближайшем будущем выяснить свойства кварк-глюонной-плазмы при экстремальных условиях, сравнительно недавно казавшихся за пределами,возможного. С одной стороны, кварк-глюонная плазма при высоких температурах станет "окном" в монополь-доминированную фазу КХД. При этом актуален вопрос, является ли она жидкостью, ионной жидкостью или газом. Для теоретического предсказания поведения'кварк-глюонной плазмы требуется понимать, как устроены корреляции между электрическими и магнитными степенями свободы. С другой стороны, получение кварк-глюонной плазмы при столкновениях тяжелых ионов предполагает возможность наличия в ней сильных (сверхкритических) магнитных полей, которые проявляют себя через швингеровские эффекты. Поэтому необходимо также понимать, как меняется фазовая диаграмма КХД в зависимости от наличия внешнего магнитного поля. Попыткой ответа на эти вопросы является настоящая работа. Несомненно, обычная теория возмущений по природе своей не может описать интересующую нас КХД в режиме сильной связи. Поэтому в данной работе в качестве рабочих инструментов применяется ряд непертурбативных методов, к которым относятся метод AdS/CFT соответствия (дуальности между калибровочными теориями и гравитацией) и метод эффективных действий Гейзенберга-Эйлера [1]. Эти методы, несмотря на кажущееся их различие, обладают общей типологической чертой — и тот, и другой, в том пределе, который используется здесь, основаны на квазиклассическом приближении; впервые на общность между ними указано в [2].

Структура работы

Работа состоит из вводной главы и трех глав, содержащие оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во вводной главе в разделе 0.2 я делаю общий обзор существующих непертурбативных методов и результатов. В разделе 0.3 я провожу обзор спонтанных и индуцированных процессов рождения пар во внешних полях и методов получения эффективных действий типа Гейзенберга-Эйлера-Швингера. В разделе 0.4 я привожу основы метода AdS/CFT соответствия. Далее, в разделе 0.5 рассматриваются основные свойства эффективного магнитного монополя в КХД, и обсуждается его важность для описания КХД в ее различных фазах. В последующих главах, составляющих оригинальную часть работы, описанные методы применяются к анализу конкретных физических ситуаций. В главе 1 исследуется коррелятор петель Вильсона-'т Хоофта (т.е. электрического и магнитного зарядов) с точки зрения метода дуальности. В главе 2 устанавливается поведение кваркового конденсата во внешнем магнитном ноле. Затем в главе 3 изучается смещение равновесия между электрическими и магнитными степенями свободы во внешнем поле и при конечной температуре.

0.2 Разнообразие непертурбативных методов и результатов

Теория возмущений в квантовой теории поля является мощным инструментом познания объективного мира. Проверка пертурбативной КЭД для таких величин как лэмбовский сдвиг или аномальный магнитный момент [3] дает рекордную на нынешний день точность согласования теории с экспериментом. Стандартная модель электрослабых взаимодействий физики элементарных частиц также демонстрирует удивительное совпадение вычислений, сделанных в рамках теории возмущений, с экспериментальными результатами.

Однако, несмотря на всю свою эффективность, теория возмущений ограничена в области своей применимости. Эти ограничения связаны как с ростом сложности петлевых вычислений в каждом следующем порядке теории возмущений, так и с принципиальным отличием пертурбативного и непертурбативного спектров теории. В КХД не представляется возможным обойтись одними пертурбативными вычислениями в силу наличия явления конфайнмента и большой величины, константы связи в инфракрасной области. Тот факт, что ск(0) » 1, не позволяет придать смысл разложению в ряд по а. Отсутствие цветных степеней свободы в фазе конфайнмента делает и вовсе бессмысленным всякое описание в терминах кварков и глюонов.

Некоторые явления в КХД в области высоких энергий все же допускают пертурбативный анализ. Например, подтверждаются экспериментом перту рбативные предсказания для распадов связанных состояний, бьоркеновского скейлинга в процессах глубоко-неупругого рассеяния электронов, аннигиляции е+е в адроны.

В то же время, принципиально не находят объяснения в рамках традиционной фейнмановской диаграммной техники такие физические явления как конфайнмент зарядов [4], линейное поведение межкваркового потенциала на больших расстояниях [5], спектр адронов [6], вид партонных функций распределения. Не имеет также адекватного описания и поведение бегущей константы связи КХД в низкоэнергетической области. В целом, подавляющая часть феноменов в низкоэнергетической области должны быть отнесены к категории непертурбативных.

Если рассмотреть суперсимметричные теории, то в их динамике также оказываются важными непертурбативные эффекты. Так, в Af = 2 суперсимметричной теории имеет место SL(2, Z) симметрия между обычными калибровочными бозонами, присутствующими на уровне теории возмущений, и непертурбативными объектами - монополями; это позволяет вычислять геометрию пространства модулей теории и полное эффективное действие [7]. Другим замечательным свойством [8] суперсимметричных теорий является возможность выписать точную (в известном смысле непертурбативную) /^-функцию.

Разнообразные феноменологические подходы позволяют извлечь частичную непертурбативную информацию о процессах рассеяния в КХД с использованием партонных функций распределения, известных из эксперимента. Правила сумм [9] и уравнения эволюции, которым удовлетворяют партонные функции распределения (например, уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи[10, 11, 12]) -примеры такого подхода. Другой пример частичного восстановления непертурбативной информации о поведении теории - пересуммирование асимптотических рядов в теории поля, развивавшееся в работах Д.В. Ширкова и соавторов [13, 14]; сходные идеи высказывались в [15, 16]. Попыткой обойти полюс Ландау в инфракрасной области является так называемая "аналитическая теория возмущений", в которой строится альтернативный подход к пертурбативному разложению [17].

Один из возможных способов выхода за рамки стандартной теории возмущений в калибровочных теориях — переход к пределу Nc = оо, предложенный 'т Хоофтом [18]. В этом пределе неиланарные диаграммы подавлены как > гДе X ~~ род поверхности, в которую вкладывается диаграмма. Этот подход позволяет выделить ведущие вклады по новому параметру малости. Данная идея привела в конечном итоге к появлению такого мощного инструмента, как соответствие между калибровочной теорией в пределе Nc —> оо и теорией струн в режиме слабой связи, которую можно изучать квазиклассически.

Гипотеза об AdS/CFT соответствии является важным современным примером развития непертурбативных идей [19, 20], и формулируется (в слабой форме) как утверждение об эквивалентности квантовой (суперсимметричной) калибровочной теории на границе многообразия и классической теории (супер)гравитации на данном многообразии. Сильная форма гипотезы о соответствии состоит в том, что полная квантовая теория JV = 4 суперсимметричного Янга-Миллса на границе эквивалентна полной квантовой теории струн типа ИВ в объеме многообразия. Хотя в настоящее время данное отождествление носит статус гипотезы и имеет отношение преимущественно к суперсимметричным теориям, есть основания предполагать, что именно AdS/CFT соответствие станет надежным источником информации о непертурбативной КХД [21].

Решеточные расчеты также являются источником полноценной непертурбативной информации о низкоэнергетической КХД. Численные расчеты полей внутри барионных конфигураций [22], поведения вильсоновских петель [23], энергетической зависимости константы связи в недоступной для уравнения ренормгруппы области [24], нарушения киральной симметрии [25], энтропии перепутывания [26], образования кластеров магнитных монополей [27] - все это демонстрируют нам расчеты на решетках.

Одно из наиболее общих утверждений, которое можно сделать относительно непертурбативной физики — утверждение о ее связи с квазиклассическим приближением.

В классической динамике чрезвычайно интересно и важно изучить точные решения нелинейных полевых уравнений. Общим свойством нетривиальных классических решений в теории поля является то, что на квантовом уровне они соответствуют непертурбативной физике. Это бывает связано либо с нетривиальным спектром возбуждений вблизи классического фона, либо со свойствами самого решения, рассматриваемого как состояние в гильбертовом пространстве теории.

Например, Ъч дуальность Монтонена-Олива [28] между монополями и калибровочными бозонами в неабелевых теориях есть явление существенно непертурбативной природы. Взаимодействия монополей, рождение дионов в столкновении монополей [29, 30] - эти явления не находят объяснения в стандартной теории возмущений. Все явления богатой инстантонной физики: снятие вырождения с классически вырожденных вакуумных состояний [31], образование инстантонного газа [32], взаимодействия инстантонов — возможны только вне рамок теорию возмущений. В более общем плане, динамика систем вблизи нетривиальных классических решений (солитоны, монополи, вихри, кинки, инстантоны, мероны) и их связанных состояний, проявляют свойства, не имеющие объяснения в теории возмущений.

Важно сознавать, что выявление указанных свойств достаточно часто становится возможным благодаря применению квазиклассического приближения к квантово-полевым задачам. Поэтому можно говорить о том, что в каком-то смысле теория возмущений по степеням константы связи и квазиклассическое приближение, дающее результат в виде суммы по всем возможным классическим решениям, "двойственны" : область применимости первого д —> 0, второго - д —> оо. Поэтому квазиклассические методы являются естественными для получения непертурбативных результатов. Условие д —> оо можно воспринимать как условие применимости метода перевала (в разных его аспектах), что делает метод перевала естественным формализмом для получения результатов, недоступных для теории возмущений. Мы убедимся неоднократно и в обзорной, и в оригинальной частях работы, что это утверждение находит самое непосредственное применение в расчетах.

0.3 Эффективные действия Гейзенберга-Эйлера

Исторически первым результатом в теории поля, выходящим за пределы теории возмущений, стало получение эффективного действия Гейзенберга-Эйлера [33]. Первый вывод для вероятности рождения электрон-позитронных пар был произведен Эйлером и Гейзенбергом в [1]. Для монополей подобная работа была проделана существенно позже [34]. Описание рождения пар в терминах континуального интеграла и квазикласической динамики было дано в работе Швипгера [35]. Основная концептуальная новизна работы Швингера легла в основу развития многих направлений в квантовой теории поля — именно, в ней было описано соответствие между теоретико-полевой динамикой эффективного действия и одночастичной динамикой в пространстве на единицу большей размерности. Квазиклассическое описание одночастичной динамики открыло огромные возможности сравнительно простого получения результатов для рождения пар. Вместе с тем, задачи о рождении пар изучались с успехом и без применения квазиклассического подхода, как было сделано Никишовым и Нарожным для импульса поля специфической формы [36]. Тем не менее, этот результат еще раз показывает, что точная разрешимость задачи есть, как правило, уникальное явление, и что правильное направление развития данной области состоит в создании хорошо контролируемых квазиклассических методов. Для разнообразных форм внешнего электромагнитного поля, представляющих интерес с точки зрения их реализации в лазерной физике это было проделано B.C. Поповым в [37, 38]. Общий формализм для полуклассического описания распадов нестабильных состояний был разработан в [39]. Существенное развитие получила квазиклассическая техника в работах [40, 41] в рамках так называемого метода инстантонов на мировых линиях. Сходным образом связь эффективных действий и формализма Бериа-Штрасслера была успешно продемонстрирована в работе [42]. Квазиклассическое описание нестабильности вакуума во внешнем хромомагнитном поле было достигнуто в [43].

Сходной, а в двумерии — тождественной областью исследований является изучение распада ложного вакуума. Первое общее систематическое описание подобного рода явлений было произведено в [44]. Далее поведение ложного вакуума и его спонтанный распад было в деталях изучено в работах [45, 46]. Индуцированный распад впервые привлек к себе внимание в [47]; далее идея индуцированного распада развивалась в [48]. Понятие индуцированного распада предполагает наличие возбуждений в начальном состоянии системы. На квантово-полевом языке это означает, что мы изучаем теперь не вакуум-вакуумные процессы, а процессы с реальными частицами в начальном и конечном состоянии. Соответствующее индуцированным процессам описание собственных энергий и поляризации вакуума во внешних полях было дано в [49, 50, 51]; радиационный сдвиг массы кварка во внешнем хромомагнитном поле был посчитан в [52]; расширение данной техники на случай конечной температуры было проделано в [53].

0.4 Соответствие между калибровочными теориями и гравитацией

Дуальность как феноменологическая модель

Одной из наиболее бурно обсуждаемых в последние 10 лет теоретических гипотез является гипотеза о соответствии между (суперсимметричными) неабелевыми калибровочными теориями и (супер)гравитацией/теорией суперструн, также известном как "AdS/CFT соответствие" [19, 54, 55]. В главах 1, 2 эта гипотеза будет нашим основным рабочим инструментом. В данной работе я не стремлюсь вынести суждение относительно того, справедлива эта гипотеза или нет. Я исследую гипотезу в том виде, как она существует, и применяю ее к калибровочной теории при сильной связи, где обычные пертурбативные методы теории поля перестают работать. Сравнение предсказаний модели AdS/CFT с предсказаниями обычных теоретико-полевых моделей (киральной теории возмущений, КХД) и их обеих с экспериментом позволит в долгосрочной перспективе разрешить этот волнующий всех вопрос. В этом смысле можно сказать, что в данной работе AdS/CFT соответствие - рабочая феноменологическая модель.

Полный обзор состояния данной гипотезы можно найти в [56, 57], в качестве краткого обзора можно рекомендовать [58]. Здесь будут изложены основные элементы AdS/CFT соответствия, следуя, в частности, этим обзорам. Возьмем для начала теорию замкнутых суперструн в десятимерии. Низкоэнергётическим пределом этой теории будет Af = 8 супергравитация с действием

SsUGRA = SNS + Sr + Schem—Simons Sf ermions i (1) где сектор Неве-Шварца содержит метрику, дилатон и 3-форму, и устроен как

Chern—Simons

Sns=2hi {R+4|d$|2 - ^|Яз|2|' (2) рамоновский сектор содержит l-,3- и 5-формы и устроен как "i / + l^l2 + l^l2} ' где h = F3-C0AHs, (4) и

F5 = F5 - С2 A F3 - B2 A F3. (5)

Черн-саймоновский вклад в действие, как правило, неважен, поскольку он является граничным членом, он приводится ниже для полноты ЛС4 А ЯЗ A F3' (6)

Кроме того, необходимым элементом описания динамики IIB супергравитации является условие самодуальности, наложенное на 5-форму

F = Fb. (7)

Это условие необходимо наложить уже на уровне решений, а не уровне полей в действии. Поэтому, строго говоря, динамика теории IIВ не является в строгом смысле слова лагранжевой. Спектр теорий типа IIA, IIВ показан в таблице 1, в ней же разъяснены обозначения Ф, Яз, Fi, F3, F§, Со, С2, В2. Связь вектор-потенциалов и напряженностей имеет вид

Я3 = dB2

F\ - dCo /яч

F3 = dA2 (8)

F5 = dA4

Таблица 1: Спектр теорий типа IIA,IIB.

Поле IIA JIB

Скаляры (дилатон или дилатон и аксион) Ф Ф + гСо

Вектор (гравифотон) Ам А^

Метрика (гравитон) G^ G^

NS-NS антисимметричный тензор ранга 2 В2ци В<2,ш + iA2flu

Антисимметричный тензор ранга 3 А^р —

Антисимметричный тензор ранга 4 — А+

Гравитино Дилатино ф± rua At Ф± tfia At

У уравнений движения для действия (1) имеются нетривиальные решения, устроенные как ds2 = Г1/Чх2 + fll\dr2 + гЧО%)

-1

1 + *)dtdxidx2dxsdf ф

9s = еф

А = В = О = 1 + £

R4 = 4TTffsaf2N (9)

Со = const

Fi = dC0-=0

Я3 = dB2 = 0 F3 = dA2 = 0

Можно заметить, что в такой геометрии ди ф const, поэтому энергия

Е, измеренная при г —> оо и Ег — энергия, измеренная наблюдателем с координатой г, связаны соотношением

Е = Г*ЕГ. (10)

Это означает, что один и тот же объект, по приближении его к границе г —> 0, для наблюдателя на бесконечности кажется имеющим все меньшую энергию.

Геометрия

Вид этого решения показан на рис. 1. Очевидно, что при г —» оо это решение описывает плоскую геометрию, в то время как при г —> 0 оно описывает в точности AdS$ х 55. Данное решение известно как D3-брана (точнее, совокупность Nc штук 123-бран, расположение которых тождественно совпадает). Отметим, что D3-6paHa существует не только как решение низкоэнергетического сектора теории струн, но и как непертурбативный объект в полной теории струн, необходимый в силу сохранения унитарности теории при совершении над ней преобразования Т-дуальности; на D-бране могут заканчиваться открытые струны, отсюда название (обозначение "D" указывает на граничное условие Дирихле). Стоит отметить и другое свойство Добраны — она является BPS объектом, то есть нарушает ровно половину суперсимметрий. Другим классом бран, не рассматриваемых здесь, являются Fp-браны, которые соответствуют граничным условиям Неймана. Dp-браны

Рис. 2: Пространство AdS как универсальная накрывающая гиперболоида. являются магнитно-заряженными объектами, Fp-браяы — электрически-заряженными.

Опишем вкратце, что представляет из себя геометрия пространства AdS$, метрика которого совпадает с метрикой D3—браиы, указанной в 9, в пределе г —► оо. Его можно изобразить как 5-мерный гиперболоид с сигнатурой (—I- + —), задаваемый уравнением

X2 + X2 - Xl - Х\ - Х\ - Х\ = R2 (11) вложенный в плоское 6-мерное пространство с метрикой ds2 = -dXl - dXl + dX\ + dX\ + dXl + dXl (12) схематически изображенный на рис. 2. Очевидно, что AdS5 является симметричным по отношению к группе движений SO(2,4). Удобным координатами на AdS$ являются так называемые глобальные координаты

Хо = R cosh р sin г Xi = R sinh р sin 9 cos ф

Х2 = R sinh p sin в sin ф , .

Xs = R sinh p cos в cos </? X4 = R sinh p cos 0 sin ip k X5 = R cosh p sin т

В них метрика данного пространства устроена как ds2 = R2 (- cosh2 pdr2 + dp2 + sinh2 pdQ2). (14)

Взяв г в пределах (0,27г), мы покроем гиперболоид ровно один раз полностью, поэтому данные координаты и называются глобальными. Чтобы получить пространство, в котором имеет место принцип причинности, следует избежать замкнутых во времени геодезических, поэтому мы рассматриваем универсальную накрывающую гиперболоида —оо < т < +оо, в которой не проводится отождествления точек, разнесенных друг от друга на один период.

Также полезной в дальнейшем будет следующая система координат на

AdSb: v 1+u2(R2+5?-X%) А0 — -2и

Х{ = Ruxi, i = 1,2,3 ^^ р.ч v nl-u2{R2-5?+xp 4 - Л-2u

X5- Rux0 В ней метрика устроена как ds2 = R2 + u\-dxl + dx2)^j . (16)

В такой форме записи удобно видеть, что сечением AdS§ при и = const является плоское пространство с метрикой Минковского R3'1. Также будет использоваться форма метрики, получаемая после преобразования z = ds2 = R2dz2~dxl + dx\ (17)

Z2

Наконец, форма метрики, которая наилучшим образом выявляет место пространства анти-де Ситтера в классификации космологических решений, устроена как ds2 = i-dr2 + dO2 + sin2 ednj) , (18) cos v 7 получаемую путем преобразования tg9 = sinhp, 9 € (0,7г/2). (19)

Эта метрика аналогична, после преобразования Вейля к виду ds2 —> —dr2+ d02 + sin2 метрике статической вселенной Эйнштейна, в 3+1-мерии устроенной как ds2 - -dr2 + d92 + sin2 9dQ?2, (20) при этом AdSs имеет на единицу большую размерность, а сферический угол 9 живет в интервале (0,7г). Тот факт, что в пространстве AdS 9 пробегает вполовину меньший интервал, делает пространство анти-де Ситтера незамкнутым, следовательно, у него имеется граница. Эта граница и является "местом" , где живет конформная теория, т.е. конформной компактфикацией R3'1.

Формулировка гипотезы о дуальности

БЗ-браны выступает в роли источника для (магнитного) поля — dA4, и его поток через поэтому фиксируется параметрами браны Nc. (21)

ИВ теория допускает также решения типа D5 и D7, а также двойственные к ним D1 и D{—1) решения. Они отличаются формой функции /, а также дилатона. Ниже из них нам понадобится, помимо 1)3-браны, только D7 брана, поэтому мы не выписываем наиболее общий вид решения.

Теория открытых струн, заканчивающихся на стопке Nc D3-бран, в низкоэнергетическом пределе эквивалентна теории N = 4 суперсимметричного SU(NC) Янга-Миллса. Это легко понять интуитивно вспомнив, что брана нарушает половину генераторов суперсимметрии. Действие этой теории устроено как f [Ф«, Ф/ + gCfXa Аб] + gCiabXa [Ф4, Aft]] , где коэффициенты С£ь, С^ь приходят из теории представлений SO(6) (они сворачивают два спинорных и одно векторное представление SO(6) в скаляр). Этот спектр содержит векторное поле (глюон) Ац, 4 вейлевских спинора (глюино) Ха, а = 1. 4, и 6 скалярных полей Фг, г = 1. 6. Такой спектр является единственно возможным в секторе со спином s < 1. Его можно также понимать как J\f = 2 теорию с одним гипермультиплетом материи в присоединенном представлении, или JV = 1 теорию с тремя гипермультиплетами материи в присоединенном представлении. Полная группа симметрий теории устроена как 5'?7(2,2|4), она включает в себя группу сдвигов и вращений Пуанкаре, дилатации, специальные

Таблица 2: Генераторы алгебры £{7(2,2|4)

Генератор Физический смысл

D Дилатация

Р. Сдвиг к» Специальная конформная симметрия

Lju, вращение

Qaa Преобразование суперсимметрии gaa Суперконформное преобразование па Кр Изотопическая (R) симметрия конформные преобразования, еуперсимметричные и суперконформные преобразования, флейворную R-симметрию.

Все операторы данной теории принадлежат мультиплетам SU(2, 2|4). Ее представления характеризуются шестью квантовыми числами: двумя лоренцевскими SO(3,1) вращениями si, S2, размерностью А и флейворными квантовыми числами г1,г2,гз, соответствующими изотопическим SU(4) ~ S'0(6) вращениям четырех спиноров или шести скаляров. Важным фактом является то, что эта же симметрия является симметрией решения супергравитации типа AdS§ х Оказывается, что классификация операторов по представлениям SU(2,2|4) в N = 41 теории совпадает с классификацией решений в теории струн в фоновой геометрии AdS§ х S°. При этом на струнной стороне si, S2, А, п, Г2, гз становятся интегралами движения для струнных решений: А, становится полной энергией Е, лоренцевы спины отождествляются с моментами количества движения Ji, J2 в гиперплоскости М3,1, ограничивающей AdS$, а г1,г2,гз соответствуют угловым моментам количества движения на сфере.

Ниже приводится краткое описание того, как именно устроены представления алгебры £77(2,2|4) (т.е. операторы в Af = 4), и, соответственно, струнные решения в изучаемой метрике. Полный набор генераторов алгебры SU(2, 2|4) перечислен в табл. 2. Нет необходимости выписывать структурные соотношения между бозонными генераторами Р, L, D,K конформной группы £0(2,4), так как они общеизвестны. Имеет смысл выписать лишь бозон-фермионные и фермион-фермионные соотношения (анти)коммутации:

01,$Л = 2 а^РЛ (24)

SU,^} = 2 а^КЛ

Qaa,SPb} = ea^D + Щ) + i^VS

Полезно записать размерности генераторов симметрии и полей: й = [щ = [да = о

Р"] - 1 [i^j = -1

Q] и = ф*] = 1

Ш = 2

5 х (25)

К] = |

В конформно-инвариантной теории отсутствуют асимптотические состояния и S—матрица, поэтому единственно интересным объектом изучения в них являются операторы. Произвольный калибровочно-инвариантный оператор в теории строится из полей Фг, Аа, и ковариантной производной Отсюда очевидно, что операторов с отрицательной размерностью быть не может. Следовательно, число операторов с размерностью, не превышающей некоего заданного числа, всегда конечно. Последовательно коммутируя любой оператор с генератором S, всегда можно прийти к нулевому оператору, ибо операторов отрицательной размерности нет, a S размерность понижает:

S, О] = 0. (26)

Оператор О в данном построении играет роль оператора старшего веса для некоего мультиплета операторов. Очевидно, начиная с этого оператора можно построить весь мультиплет, неприводимый под действием SU(2,2|4), действуя на него операторами Q. Такой оператор О называют суперконформным примарным оператором. Всякий оператор Ополученный путем действия на него Q или Р = [Р,0], [ } будем именовать суперконформным оператором-потомком (descendant). Суперконформный примарный оператор никогда не является коммутатором Q с другими полями. Очевидно, что суперконформными примарными операторами могут быть только комбинации скалярных полей, потому что напряженность векторного поля и поле глюино могут быть получены путем коммутации Q с глюино, скаляром или глюоном. Наиболее простой для анализа класс суперконформных примарных операторов — операторы с одним следом. Простейшие известные суперконформные примарные операторы с одним трейсом — это мультиплет Кониши

Другим классом суперконформных примарных операторов являются операторы с множественными следами. Изучение их сводится к изучению тензорных произведений операторов с одним следом. Операторы с одним следом в калибровочной теории соответствуют одночастичным состояниям в гравитации, с многими спинами — многочастичным. Состояния с многими следами оказываются подавленными по поэтому их изучение не столь важно, как изучение операторов с одним следом.

Классификация унитарных неприводимых представлений группы SU(2,2|4) полностью эквивалентна классификации суперконформных примарных операторов. Рассмотрим более подробно классификацию примарных суперконформных операторов. Оказывается, что они распадаются на четыре серии в зависимости от значений квантовых чисел гх,г2,гз,д. Первые три серии являются дискретными. Они называются (1, |)-BPS состояниями (киральными), в зависимости от соотношений между квантовыми числами Г1,Г2,ГЗ,Д. Мультиплеты, построенные на этих суперконформных примарных операторах, не получают квантовых поправок. Четвертая серия является непрерывной. Она называется не-BPS (некиральной). Такие операторы нетривиально преобразуются под действием преобразований ренормгруппы. Наиболее общее примарное представление суперконформной алгебры имеет 216 примарных операторов (имеется 16 независимых действительных

Ок = ЪФгФг

28) и мультиплет супергравитации

OsUGRA =

29) зарядов Q), над каждым из которых построена башня представления конформной алгебры. При этом если спиральность исходного состояния (некирального суперконформного примарного вектора) есть А, то спиральности остальных примарных векторов представления будут пробегать диапазон от А — 4 до А + 4. Представления, в которых живут BPS-операторы являются "укороченными" . Это означает, что вместо 16 независимых зарядов, только 8 будут действовать на исходный (киральный суперконформный примарный) вектор ненулевым образом. Поэтому в таком мультиплете будет находиться только 28 примарных операторов, над каждым из которых строится соответствующая башня. Спиральности примарных состояний такого мультиплета пробегают значения от А — 2 до А + 2.

Из рассмотренных нами суперконформных операторов мультиплет супергравитации является 1/2 BPS, оператор Кониши — не-BPS. Можно показать, что 1/2 BPS мультиплет супергравитации в точности соответствует мультиплету полей из спектра IIB супергравитации, откуда и получает свое название. Общий киральный примарный суперконформный вектор строится как

Oh"In =tr (V71.<//">) (30) где Ii пробегают значения 1. 6 в фундаментальном мультиплете скаляров SO(6), скобки {.} означают симметризацию и вычитание следа по любой данной паре Ij, Ik- По отношению к группе SO(6) такой оператор является вектором представления с весами (0, п, 0). Такое представление содержит, как правило, ~^п2(п2 — 1) примарных векторов, половина из которых - бозоны, половина - фермионы. Для п = 2, 3 эти представления еще короче. Например, для п = 2 примарными операторами являются токи суперконформной алгебры. Вес п может пробегать значения от п = 2 до п — Nc, так как для более высоких п оператор О11"1" можно выразить в терминах других операторов. Тем самым расклассифицированы все возможные короткие представления операторов в J\f = 4 суперсимметричной калибровочной теории.

Чтобы сделать любое конкретное вычисление в AdS/CFT, надо знать, как именно связаны операторы (точнее, вакуумные средние их произведений) в 4-мерии и поля (точнее, коэффициенты перед модами классических решений) в 10-мерии. Возьмем какое-то поле Ф в 10-мерии.

Разложим его по сферическим гармоникам на сфере Sb:

Ф = $>д(я,г)Уд (у), ' (31) д где подразумевается, что сферические гармоники Y снабжены индексами х — (ж0, ж1, ж2, ж3) — координата на границе, г = \ — координата AdS, у — координаты на сфере. В свою очередь, вблизи границы верно:

Фб{х, г) = фо(х)г4~А + Аф(х)г~А (32)

Теперь имеется необходимый инструментарий, чтобы сформулировать гипотезу об AdS/CFT соответствии. Она выглядит так:

Zym[Ja] = Zstring^ A\dAds] (33) где статсумма калибровочной теории вычисляется в присутствии четырехмерных токов 7д, являющихся источниками для неких операторов Од размерности Д.

Zym[JA.1 = (34)

При этом ток J и оператор О принадлежат одному и тому же мультиплету SU{2,2|4) и снабжены одними и теми же индексами; для краткости мы не выписываем весь набор индексов. Статсумма теории струн/супергравитации Zstring [Фа ( ж, z) l^yirfS1] считается с граничными условиями JA{x). (35)

Мода поля 0д(ж, z) на стороне супергравитации в своем супермультиплете полей занимает такое же место, как ток <7д(ж, z) — в своем мультиплете токов. Масса т скалярного поля ф$ и полная(нормальная+аномальная) размерность А оператора О связаны соотношением

А = 2 + у/А + m2R2 (36)

Для вакуумных ожиданий (конденсатов) операторов имеем выражения через регулярные (нормируемые) моды полей в AdS: 0(х) >= Аф(х). (37)

Корреляторы полей связаны с ненормируемыми модами полей в AdS:

AdS/CFT соответствие относится к максимально суперсимметричной калибровочной теории. Каким образом можно распространить результаты дуального рассмотрения на реальный несуперсимметричньтй мир?

Одной из наиболее ранних идей в этом направлении было рассмотреть (2,0) суперконформную теорию в шести измерениях, реализованную на N штуках параллельных М5-бран [59]. Компактификация этой теории на окружность приводит к пятимерной теории, чьим низкоэнергетическим пределом является максимально суперсимметричная калибровочная теория. Для того, чтобы нарушить суперсимметрию, мы производим дальнейшую компактификацию на окружность, и налагаем антипериодические условия на фермионы. Также следует потребовать, чтобы типичный масштаб масс полученной КХД был существенно меньше, чем соответствующие масштабы компактификации.

Другой способ получить КХД заключается в том, что в конструкцию вводятся дополнительные элементы — браны. В известном смысле описанный выше процесс может быть также интерпретирован на языке бран. Именно, можно сказать сказать, что имеется картина со стопкой D4 бран. нагретой до температуры, соответствующей радиусу компактификации [60]. Заметим, что пока что это есть чистая глюодинамика. В такой КХД можно предсказать массы glue-ЬаП'ов, глюонный конденсат, топологическую восприимчивость вакуума, конфайнмент-деконфайнмент. Понятно, что для предсказания спектров барионов, мезонов, кирального конденсата, необходимо ввести степени свободы, соответствующие кваркам и монополям. В этой модели это делается с помощью М2 и D2 бран соответственно, концы которых закреплены на границе D4 браны, а другие концы объединены в тройной вертекс.

Другим вариантом дуальной КХД является теория типа ОД О В на 1)3-бранах [61]. Она возникает благодаря некиральной проекции Льоцци-Шерка-Олива (Gliozzi-Scherk-Olive). Состав полей такой теории такой же, как в теории типа IIA, IIВ соответственно, притом, что фермионы в спектре отсутствуют, а рамон-рамоновские формы присутствуют в удвоенном количестве. Удвоение числа рамон-рамоновских форм приводит к тому, что теперь брана несет двойной заряд, электрический и магнитный. Наличие шести скалярных полей позволяет с определенной свободой ввести параметры теории.

Почему гипотеза об AdS/CFT соответствии может оказаться верной?

Результаты, получаемые в теории поля, устроены как ряд по константе 'т Хоофта Л = g2Nc, в то время, как в дуальности в пределе 'т Хоофта мы имеем разложение по = при Л —» оо. Поэтому, даже если можно соединить гладкой кривой два этих режима, отсюда не следует, что дуальность тем самым обоснована. Однако в теории есть ряд свойств, которые не зависят от константы связи. Совпадение их еще не означает полной квантово-механической идентичности теорий, однако является сильным аргументом в ее пользу. К таким свойствам относятся:

1. Глобальная симметрия теории SU(2,2|4) совпадает на обеих сторонах соответствия. Также совпадает симметрия дуальности SL(2, Z), действующая на комплексной константе связи г = ^ + 9 как г —> ат+Ь ст+d'

2. Некоторые корреляционные функции не получают квантовых поправок и поэтому не зависят от константы связи.

3. Спектр киральных операторов не зависит от константы связи и может также быть сопоставлен на обеих сторонах соответствия.

4. Структура пространства модулей теории также не зависит от константы связи.

0.5 Электрические и магнитные степени свободы в кварк-глюонной плазме

Начнем с того, что определим, что мы имеем в виду, когда говорим о монополях в КХД. Очевидно, что явное решение типа 'т Хоофта -Полякова [62, 63] в буквальном смысле слова в КХД отсутствует, так как оно требует наличия скалярного поля с потенциалом типа Хиггса. Однако решеточные вычисления однозначно указывают на то [64], что в КХД присутствуют вихреобразные конфигурации, соединяющие электрические заряды. Эти конфигурации удивительно хорошо описываются трубками тока типа решения Абрикосова [65, 66] для действия Гинзбурга - Ландау абелевой модели Хиггса. Вокруг таких трубок тока вращаются монополи. Это соответствует конфайнменту зарядов и конденсации монополей. Мы можем определить монополь на решетке как положение концов сингулярных струн Дирака путем расчета полного магнитного потока через через замкнутую поверхность:

Эти объекты широко наблюдаются в решеточных вычислениях [67, 68]. Монополи и вихри являются хорошо изученными на решетке объектами [69]. Известны решеточные результаты по связи монополей и конфайнмента [70, 71], образованию конденсата монополей [72], кластеризации, монополей [73, 74], взаимодействию монополь-антимонополь [75, 76]'.

Дираковская струна [77], безусловно, является объектом, зависящим от калибровки, поэтому какое-то время существовало мнение, что наблюдение подобного рода монопольных конфигураций является артефактом решетки. Однако независимость наблюдаемой, плотности монополей и их корреляций от параметров решетки убеждает в том, что мы имеем дело, с физической реальностью, а не с артефактом.

При высоких температурах кварк-глюонной плазмы мы можно дать еще одно интуитивно ясное объяснение понятию "монополь в КХД" . Именно, при высокой температуре можно редуцировать теорию до 2+1 измерений, при этом мы получим модель Джорджи-Глэшоу, в которой место скалярного потенциала ф займет Aq.

В последнее время в связи с успешными экспериментами по соударениям тяжелых ионов значительный интерес представляет динамика магнитных монополей в кварк-глюонной плазме. Монополи, наряду с кварками, оказываются важнейшими элементами динамической картины вблизи фазового перехода. Широко известна картина дуальной сверхпроводимости, также наблюдаемая на решетках [78]. Фаза конфайнмента в ней характеризуется конденсацией монополей и образованием трубок тока хромоэлектрического поля между

39) о кварками [79]. Обычная сверхпроводимость предполагает наличие трубок тока магнитного тока между монополями/вихрями и конденсацию зарядов, отсюда понятно, почему происходящее в КХД носит название дуальной сверхпроводимости. Последнее время активно исследовался вопрос о влиянии внешних абелевых и неабелевых полей [80], внешних полей и химического потенциала [81, 82], внешних полей и температуры [83] и метрики пространства [84] на дуальную сверхпроводимость и переходы между ее фазами.

Фаза деконфайнмента устроена как газ свободных кварков, монополей и глюонов. Большой интерес представляет вопрос, является ли газ/конденсат монополей действительно газом или взаимодействие между отдельными монополями и зарядами достаточно сильно, чтобы считать его жидкостью [85]?

На этот вопрос в настоящее время нет однозначного ответа. Существует ряд частных ответов, как модельных, так и решеточных [86, 87].

Аналогично, концентрация монополей в кварк-глюонной плазме является также интересной физической величиной, которая не вполне хорошо изучена [88]. Также представляет большой- интерес взаимоотношение абелевых/неабелевых монополей в КХД [89], в том числе в ее суперсимметричных обобщениях [90, 91]

Все эти факты свидетельствуют о необходимости более глубокого понимания сложного взаимодействия магнитных и электрических степеней свободы в кварк-глюонной плазме.

На сегодняшний* день принято говорить о кварк-глюонной плазме вблизи точки фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент [92] в режиме сильной связи. Безусловный интерес представляет выяснение того, на какой диапазон можно распространить представление о подобной картине плазмы с большой константой связи. Феноменологически этот режим представляет большой интерес, так как в режиме сильной связи кварк-глюонная плазма ведет себя как идеальная жидкость [93], т.е. соотношение вязкости к энтропии ^ достигает минимума [94]. Важным является то, что, как предполагается, это минимальное значение, и, соответственно, наибольшее сходство кварк-глюонной плазмы с жидкостью, достигается не в точности на Т = Тс, т.е. не в точке перехода конфайнмент-деконфайнмент, а в точке перехода между так называемой монополь-доминированной и кварк-доминированной т

1.4 Т,

Т. О

Рис. 3: Фазовая диаграмма КХД и монополи степенями свободы [85].

Обычно, говоря о фазах КХД, основное внимание уделяется переходу конфайнмент-деконфайнмент. Однако существует широко обсуждающийся в настоящее время подход, в котором ключевую роль для различения между различными, фазами КХД играет взаимная динамика монополей и зарядов [85], как показано на рис. 3. Малые температуры Т и малые химические потенциалы \i соответствуют фазе, в которой доминируют монополи, т.е. они являются основным типом частиц, образующих плазму. При больших температурах или больших химических потенциалах имеет место кварк-доминированная фаза, т.е. основной объект в плазме — кварки. В случае монополь-доминированной фазы ее можно разделить на (низкотемпературную) фазу, в которой кварки подвергнуты конфайнменту, и (высокотемпературную) фазу, в которой кварки сильно скоррелированы. Аналогично, в кварк-доминированной фазе имеют место две фазы: (низкотемпературная) фаза в которой монополи находятся в состоянии конфайнмента, и (высокотемпературная) фаза, в которой монополи сильно скоррелированы. Сильно-скоррелированная фаза предполагает, что конфайнмент уже отсутствует, но частицы все еще соединены трубками тока (хромоэлектрическими для зарядов, хромомагнитными для монополей). Границу между монопольно-доминированной и зарядово-доминированной фазами можно определить по равенству электрической и магнитной констант связи:

2 о -г е д" 1

40) he he 2

Эта граница в известном смысле является аналогом кривой маргинальной стабильности, при всей условности применения этого понятия к несуперсимметричной теории. Напомним, что в N = 2 теории кривая маргинальной стабильности описывает равновесие в следующем процессе

Глюон ^ дион + монополь (41)

По одну сторону от кривой маргинальной стабильности глюоны отсутствуют как частица, поэтому описание системы следует проводить в терминах магнитных степеней свободы. По другую сторону кривой маргинальной стабильности имеют место глюоны и кварки, т.е. мы имеем дело с кварк-гюонной плазмой. В главе 3 мы описываем влияние внешнего поля на упрощенную систему (абелевых) зарядов, монополей и дионов, которая призвана моделировать сходные процессы, происходящие в кварк-глюонной плазме. Находясь вне фазы конфайнмента, т.е. когда монополи и дионы отсутствуют, мы можем привнести в систему некоторое количество монополей и дионов за счет внешнего поля. Это будет модифицировать вид фазовой кривой.

Физический смысл кривой перехода между зарядово-доминированной и монополь-доминированной фазами состоит в том, что на данной кривой монополи и кварки вносят одинаковый вклад в термодинамические коэффициенты переноса.

Следующий аргумент может быть приведен в пользу применения методов и результатов J\f — 2 теории для описания реальной КХД. Зайберг и Виттен описали [7], как меняется физическое содержание теории в зависимости от вакуумного ожидания абелевой проекции скалярного поля, множество значений которого образует пространство модулей. Ими рассчитан точный вид препотенциала, что позволяет показать, как в одних областях пространства модулей в спектре теории доминируют монополи и заряды, а в других — дионы. Симметрия между монополями, зарядами и дионами в N = 2 теории известна как дуальность Зайберга-Виттена. В пространстве модулей имеется точка, вблизи которой масса монополя стремится к нулю. Это позволяет для магнитных степеней свободы написать и решить уравнение безмассовой ренормгруппы. Решение его будет точным, ибо известно, что /^-функция в N = 2 состоит только из однопетлевого вклада. Как следствие, возникает полюс Ландау, и электрический сектор теории становится сильно-связанным, е —> оо, в то время как магнитный сектор становится свободным т —► 0 в силу условия квантования Дирака

При сравнении ситуации с несуперсимметричной КХД, видно, что в ней присутствуют все упомянутые в этом параграфе элементы конструкции. Монополи в КХД наблюдаются как эффективные объекты на решетке; условие квантования Дирака и полюс Ландау также наличествуют. Сам факт того, что рассматривается суперсимметричная теория, не отразился на предшествующих рассуждениях. Поэтому можно считать, что суперсимметричную теорию вполне разумно использовать для описания КХД.

Все разделы данной работы посвящены разным аспектам настоящей проблемы: вычислению коррелятора электрической и магнитной петель, выяснению поведения кваркового конденсата в магнитном поле, квазиклассической динамике распада монополя на заряд и дион.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Заякин, Андрей Викторович

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Установлена возможность существования связных конфигураций, описывающих взаимодействие петель Вильсона и- 'т Хоофта при конечной температуре. Показано, что в системе вильсоновская петля — 'т хоофтовская петля имеет место фазовый переход 'взаимодействующая фаза — невзаимодействующая (инертная) фаза'. Показано, что при больших температурах фазовый переход имеет место при соотношении радиусов петли 'т Хоофта и петли Вильсона, обратно пропорциональном температуре, а при малых температурах — при известном постоянном значении этого соотношения.

2. Получена зависимость кваркового конденсата от внешнего поля и массы кварка в рамках дуальной несуперсимметричной модели КХД. Показано, что дуальная модель предсказывает квадратичный рост конденсата во внешнем магнитном поле.

3. Продемонстрирована применимость метода континуальных интегралов по мировым линиям к индуцированным распадам во внешнем переменном поле. Выяснено, что метод перевала по швингеровскому параметру является эффективным способом перехода к квазиклассическому приближению в формализме первичного квантования.

4. Показано, что этим методом можно рассчитать префактор для ширины индуцированного распада магнитного монополя во внешнем постоянном электрическом поле.

5. Разработан метод дуального ряда для температурной теории индуцированных распадов. Показано, что учет конечной температуры дает нетривиальные поправки к мнимой части эффективного действия Гейзенбсрга - Эйлера и ширинам запрещенных распадов во внешнем поле.

Благодарности

В завершение работы мне хотелось бы выразить свою признательность моим научным руководителям Д.В. Ширкову и А.С. Горскому за их постоянную поддержку, мудрость и жизненный опыт, которыми они делились со мной на протяжение всего времени нашей совместной работы. Мне также хотелось бы принести особую благодарность А.К. Монину (University of Minnesota) за многочисленные дискуссии, совместную работу и плодотворный обмен идеями. Хочется поблагодарить сотрудников МГУ, ИТЭФ, ОИЯИ, ИЯИ, МИАН, CERN, Freie Univer-sitat zu Berlin, Princeton University, Ludwig-Maximillians-Universitat zu Miinchen, в частности, И.Я. Арефьеву, Э. Ахмедова, И.В. Воловича, А. Жибоедова, В.Ч. Жуковского, X. Кляйнерта, П. Коротеева, А.Крикуна, Д. Левкова, Р. Майера, Ю.М. Макеенко, Д. Малышева, Д. Мельникова, А.Д. Миронова, А.Ю. Морозова, О. Павловского, Р. Пасечника, В.А. Рубакова, Г. Рубцова, С. Сибирякова, А. Стрельченко, Е.С. Суслову, М. Трусова, обсуждавших со мной разнообразные научные сюжеты и помогавших мне в тех или иных аспектах моей деятельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Заякин, Андрей Викторович, 2009 год

1. W. Heisenberg and H. Euler, "Consequences Of Dirac's Theory Of Positrons," Z. Phys. 98, 714 (1936).

2. A. Gorsky and V. Lysov, "From effective actions to the background geometry," Nucl. Phys. В 718, 293 (2005) arXiv:hep-th/0411063].

3. W. M. Yao et al. Particle Data Group], "Review of particle physics," J. Phys. G 33 (2006) 1.

4. K. G. Wilson, "Confinement of Quarks," Phys. Rev. D 10, 2445 (1974).

5. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "Confinement and short distance physics," Phys. Lett. В 475, 303 (2000) arXiv:hep-ph /0003006].

6. И.М. Народецкий, M.A. Трусов "Тяжелые барионы в непертурбативном струнном подходе," ЯФ 65, 949 (2002), arXiv:hep-ph/0104019].

7. N. Seiberg and E. Witten, "Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory," Nucl. Phys. В 426, 19 (1994) Erratum-ibid. В 430, 485 (1994)] [arXiv:hep-th/9407087].

8. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "Exact Gell-Mann-Low Function Of Supersymmetric Yang-Mills Theories From Instanton Calculus," Nucl. Phys. В 229, 381 (1983).

9. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "QCD And Resonance Physics. Sum Rules," Nucl. Phys. В 147, 385 (1979).

10. В. H. Грибов, JI. Н. Липатов, "Глубоко-неупругое (е,р)-рассеяние в теории возмущений," ЯФ 15, 781 (1972)].

11. G. Altarelli and G. Parisi, "Asymptotic Freedom In Parton Language," Nucl. Phys. В 126, 298 (1977).

12. Y. L. Dokshitzer, "Вычисление структурных функций для глубоко-неупругого рассеяния и е+е~ аннигиляции по теории возмущений в квантовой хромодинамике". ЖЭТФ 73 (1977) 1216.

13. D. I. Kazakov and D. V. Shirkov, "Asymptotic Series Of Quantum Field Theory And Their Summation," Fortsch. Phys. 28 (1980) 465.

14. D. I. Kazakov, D. V. Shirkov and О. V. Tarasov, Д. И. Казаков, О. В. Тарасов, Д. В. Ширков "Аналитическое проолжение пертурбативных результатов в модели дф4 в область д > 1". ТМФ 38, 15 (1979).

15. JL Н. Липатов, "Расходимость асимптотических рядов и квазиклассическая теория," ЖЭТФ 72, 411 (1977).

16. J. Zinn-Justin, "Perturbation Series At Large Orders In Quantum Mechanics And Field Theories: Application To The Problem Of Resumma-tion," Phys. Rept. 70, 109 (1981).

17. D. V. Shirkov, "Analytic perturbation theory in analyzing some QCD observables," Eur. Phys. J. С 22, 331 (2001) arXiv:hep-ph/0107282],

18. G. 't Hooft, "A Planar Diagram Theory for Strong Interactions," Nucl. Phys. В 72, 461 (1974).

19. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from non-critical string theory," Phys. Lett. В 428, 105 (1998) arXiv:hep-th /9802109].

20. J. M. Maldacena, "Wilson loops in large N field theories," Phys. Rev. Lett. 80, 4859 (1998) arXiv:hep-th/9803002].

21. T. Sakai and S. Sugimoto, "Low energy hadron physics in holographic QCD," Prog. Theor. Phys. 113, 843 (2005) arXiv:hep-th/0412141].

22. A. G. Bornyakov, M. N. Chernodub, H. Ichie, Y. Mori, M. I. Polikarpov, G. Schierholz and T. Suzuki, "Structure of the gauge fields inside baryon," Phys. Atom. Nucl. 68 (2005) 616 Yad. Fiz. 68 (2005) 647].

23. P. V. Bulvidovich and M. I. Polikarpov, "Random walks of Wilson loops in the screening regime," Nucl. Phys. В 790, 28 (2008) arXiv:0704.3367 [hep-ph.]. '

24. V. G. Bornyakov, V. K. Mitrjushkin and M. Muller-Preussker, "Infrared behavior and Gribov ambiguity in SU(2) lattice gauge theory," arX-iv:0812.2761 hep-lat.

25. P. V. Buividovich, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Finite-temperature chiral condensate and low-lying Dirac eigenvalues in quenched SU(2) lattice gauge theory," Phys. Rev. D 78, 074505 (2008) arXiv:0809.3075 [hep-lat.].

26. P. V. Buividovich and M. I. Polikarpov, "Entanglement entropy in lattice gauge theories," arXiv:0811.3824 hep-lat.

27. V. G. Bornyakov, P. У. Boyko, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "Monopole clusters at short and large distances," Nucl. Phys. В 672, 222 (2003) arXiv:hep-lat/0305021.

28. C. Montonen and D. I. Olive, "Magnetic Monopoles As Gauge Particles?," Phys. Lett. В 72, 117 (1977).

29. G. W. Gibbons and N. S. Manton, "Classical and Quantum Dynamics of BPS Monopoles," Nucl. Phys. В 274, 183 (1986).

30. M. F. Atiyah and N. J. Hitchin, "Low-energy scattering of non-Abelian magnetic monopoles," Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 315, 459 (1985) .

31. N. Seiberg, "Supersymmetry And Nonperturbative Beta Functions," Phys. Lett. В 206, 75 (1988).

32. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, В. А. Новиков, М. А. Шифман, "Инстантонная азбука", УФН 136, 553 (1982).

33. V. Weisskopf, "The Electrodynamics Of The Vacuum Based On The Quantum Theory Of The Electron," In: Miller, A.I., "Early quantum electrodynamics" 206-226

34. K. Affleck and N. S. Manton, "Monopole Pair Production In A Magnetic Field," Nucl. Phys. В 194, 38 (1982).

35. J. S. Schwinger, "On Gauge Invariance And Vacuum Polarization," Phys. Rev. 82, 664 (1951).

36. H. Б. Нарожный, А. И. Никишов, "Простейшие процессы в электрическом поле, порождающем пары", ЯФ 11, (1970) 1072.

37. В. С. Попов, "Рождение пар е+е~ в переменном внешнем поле," Письма в ЖЭТФ 13 (1971) 261.

38. B. С. Попов, М. С. Маринов "Рождение пар е+е~ в переменном электрическом поле," ЯФ, 16, 809 (1972).

39. М. Stone, "Semiclassical Methods For Unstable States," Phys. Lett. В 67, 186 (1977).

40. G. V. Dunne and C. Schubert, "Worldline instantons and pair production in inhomogeneous fields," Phys. Rev. D 72, 105004 (2005) arXiv:hep-th/0507174.

41. G. V. Dunne, Q. H. Wang, H. Gies and C. Schubert, "Worldline instantons. II: The fluctuation prefactor," Phys. Rev. D 73, 065028 (2006) arXiv:hep-th /0602176J.

42. M. G. Schmidt and C. Schubert, "On the calculation of effective actions by string methods," Phys. Lett. В 318, 438 (1993) arXiv:hep-th/9309055.

43. C. С. Агаев, А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, П. Г. Мидодашвили, "Квазиклассическое описание нестабильности вакуума во внешнем неабелевом калибровочном поле", Известия ВУЗов, сер. физическая 26 (1983) 459.

44. J. S. Langer, "Statistical theory of the decay of metastable states," Annals Phys. 54, 258 (1969).

45. S. R. Coleman, "The Fate Of The False Vacuum. 1. Semiclassical Theory," Phys. Rev. D 15, 2929 (1977).

46. C. G. Callan and S. R. Coleman, "The Fate Of The False Vacuum. 2. First Quantum Corrections," Phys. Rev. D 16, (1977) 1762.

47. I. К. Affleck and F. De Luccia, "Induced Vacuum Decay," Phys. Rev. D 20, 3168 (1979).

48. Волошин М.Б., Селиванов К.Г. "Разрушение метастабильного вакуума массивными частицами", Письма в ЖЭТФ, 42, 342-345 (1985).

49. И. А. Баталин, Э. С. Фрадкин, "Квантовая электродинамика во внешних полях", ТМФ 5, 190 (1970).

50. В. О. Папанян, В. И. Ритус, "Поляризация вакуума и расщепление фотона в интенсивном внешнем поле", ЖЭТФ 61, 2231 (1971).

51. В. Ч. Жуковский, И. Б. Морозов, А. В. Борисов, "Радиационая поправка к энергии фермиона во внешнем калибровочном поле", Изв. ВУЗов, сер. физическая 25, 1066 (1982).

52. В. Ч. Жуковский, И. Б. Морозов, А. В. Борисов, "Радиационный сдвиг массы кварка во внешнем хромомагнитном поле", ЯФ 37, 698 (1983).

53. С. П. Гаврилов, Д. М. Гитман, Э. С. Фрадкин "Квантовая электродинамика при конечных температурах в присутствии внешнего поля, нарушающего стабильность вакуума,"1. ЯФ 46, 172 (1987).

54. J. М. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998) Int. J. Theor. Phys. 38, 1113 (1999)] [arXiv:hep-th/97U200].

55. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998) arXiv:hep-th/9802150],

56. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz, "Large N field theories, string theory and gravity," Phys. Rept. 323, 183 (2000) arXiv:hep-th/9905111].

57. E. D'Hoker and D. Z. Freedman, "Supersymmetric gauge theories and the AdS/CFT correspondence," arXiv:hep-th/0201253.

58. A. Gorsky, "Gauge theories as string theories: The first results," УФН 48, 1093 (2005) arXiv:hep-th/0602184.

59. N. Seiberg, "Notes on theories with 16 supercharges," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 67, 158 (1998) arXiv:hep-th/9705117.

60. D. J. Gross and H. Ooguri, "Aspects of large N gauge theory dynamics as seen by string theory," Phys. Rev. D 58, 106002 (1998) arXiv:hep-th/9805129.

61. R. Klebanov and A. A. Tseytlin, "D-branes and dual gauge theories in type 0 strings," Nucl. Phys. В 546, 155 (1999) arXiv:hep-th/9811035.

62. A. M. Поляков, "Спектр частиц в квантовой теории поля", Письма в ЖЭТФ 20, вып. 6, (1974) 430-433.

63. G. 't Hooft, "Magnetic Monopoles in Unified Gauge Theories," Nucl. Phys. В 79, 276 (1974).

64. M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, "Abelian projections and monopoles," arXiv:hep-th/9710205.

65. H. B. Nielsen and P. Olesen, "Vortex-Line Models for Dual Strings," Nucl. Phys. В 61, 45 (1973).

66. А. А. Абрикосов, "О магнитных свойствах сверпроводников второго рода" ЖЭТФ 32, 1442 (1957).

67. P. V. Buividovich and М. I. Polikarpov, "Center vortices as rigid strings," Nucl. Phys. В 786, 84 (2007) arXiv:0705.3745 [hep-lat.].

68. A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn and V. I. Zakharov, "Interplay of monopoles and P-vortices," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129, 665 (2004) arXiv:hep-lat/0309032.

69. V. Bornyakov et al, "On the dynamics of color magnetic monopoles in full QCD," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 634 (2002) arXiv:hep-lat/0111042.

70. T. L. Ivanenko, A. V. Pochinsky and M. I. Polikarpov, "Extended Abelian monopoles and confinement in the SU(2) lattice gauge theory," Phys. Lett. В 252, 631. (1990).

71. К. Ishiguro et al., "Towards SU(2) invariant formulation of the monopole confinement mechanism," PoS LAT2005, 307 (2006) arXiv:hep-lat/0509089.

72. V. A. Belavin, M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, "On projection (in) dependence of inonopole condensate in lattice SU(2) gauge theory," Письма в ЖЭТФ, 83, 308 (2006) arXiv:hep-lat/0403013.

73. V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "Geometry of the monopole clusters at different scales," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129, 668 (2004) arXiv:hep-lat/0309021.,

74. P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "Geometry of percolating monopole clusters," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 119, 724 (2003) arXiv:hep-lat/0209075.,

75. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "Heavy monopole potential in gluodynamics," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 625 (2002) arXiv:hep-lat/0110084.

76. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "On the heavy monopole potential in gluodynamics," Phys. Lett. В 514, 88 (2001) arXiv:hep-ph/0101012.

77. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, "Dirac strings and monopoles in the continuum limit of SU(2) lattice gauge theory," Nucl. Phys. В 592, 107 (2001) arXiv:hep-th/0003138.

78. A. Di Giacomo, "Confinement and dual superconductivity of QCD vacuum," arXiv:0710.1174 hep-lat.

79. К. I. Kondo, "Dual superconductivity, monopole condensation and confining string in low-energy Yang-Mills theory: I," arXiv:hep-th/0009152.

80. B. Ч. Жуковский, К. Г. Клименко, В. В. Худяков, Д. Эберт, "Хромомагнитный катализ цветовой сверхпроводимости", Письма в ЖЭТФ 74 (2001) 595-600.

81. D. Ebert, V. V. Khudyakov, К. G. Klimenko, Н. Toki and V. С. Zhukovsky, "Chromomagnetic catalysis of chiral symmetry breaking and color superconductivity," arXiv:hep-ph/0108185.

82. D. Ebert, V. V. Khudyakov, V. C. Zhukovsky and K. G. Klimenko, "The influence of an external chromomagnetic field on color superconductivity," Phys. Rev. D 65 (2002) 054024 arXiv:hep-ph/0106110].

83. D. Ebert, K. G. Klimenko, H. Toki and V. C. Zhukovsky, "Chromomagnetic catalysis of color superconductivity and dimensional reduction," Prog. Theor. Phys. 106, 835 (2001) arXiv:hep-th/0106049].

84. D. Ebert, A. V. Tyukov and V. C. Zhukovsky, "Color superconductivity in the static Einstein universe," Phys. Rev. D 76 (2007) 064029 arXiv:hep-th/0703213].

85. J. Liao and E. Shuryak, "Strongly coupled plasma with electric and magnetic charges," Phys. Rev. С 75, 054907 (2007) arXiv:hep-ph/0611131].

86. B. A. Gelman, E. V. Shuryak and I. Zahed, "Ultracold strongly coupled gas: A near-ideal liquid," Phys. Rev. A 72 (2005) 043601 arXiv:nucl-th/0410067].

87. J. Liao and E. Shuryak, "Magnetic Component of Quark-Gluon Plasma is also a Liquid!," Phys. Rev. Lett. 101 (2008) 162302 arXiv:0804.0255 [hep-ph]].

88. M. N. Chernodub, K. Ishiguro and T. Suzuki, "Monopole gas in three dimensional SU(2) gluodynamics," Prog. Theor. Phys. 112, 1033 (2004) arXi v: hep-lat /0407040].

89. Ю. А. Симонов, "Кластерное разложение, неабелева теорема Стокса и магнитные монополи", ЯФ 50, 213 (1989).

90. A. Gorsky, М. Shifman and A. Yung, "N = 1 supersymmetric quantum chromodynamics: How confined non-Abelian monopoles emerge from quark condensation," Phys. Rev. D 75, 065032 (2007) arXiv:hep-th/0701040].

91. M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian string junctions as confined monopoles," Phys. Rev. D 70, 045004 (2004) arXiv:hep-th/0403149].

92. C. Ratti and E. Shuryak, "The role of monopoles in a Gluon Plasma," arXiv:0811.4174 hep-ph].

93. G. E. Brown, С. H. Lee and M. Rho, "The ideal liquid discovered by RHIC, infrared slavery above and hadronic freedom below T(c)," arXiv:nucl-th/0507011.

94. P. Kovtun, D. T. Son and A. 0. Starinets, "Viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics," Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 111601 arXiv:hep-th/0405231].

95. K. Zarembo, "Wilson loop correlator in the AdS/CFT correspondence," Phys. Lett. В 459, 527 (1999) arXiv:hep-th/9904149].

96. P. Olesen and K. Zarembo, "Phase transition in Wilson loop correlator from AdS/CFT correspondence," arXiv:hep-th/0009210.

97. A. S. Gorsky and V. I. Zakharov, "Flux-Tube Formation and Holographic Tunneling," Phys. Lett. В 669, 186 (2008) arXiv:0805.0636 [hep-th]].

98. N. Drukker, D. J. Gross and H. Ooguri, "Wilson loops and minimal surfaces," Phys. Rev. D 60, 125006 (1999) arXiv:hep-th/9904191].

99. D. E. Berenstein, R. Corrado, W. Fischler and J. M. Maldacena, "The operator product expansion for Wilson loops and surfaces in the large N limit," Phys. Rev. D 59, 105023 (1999) arXiv:hep-th/9809188].

100. H. Kim, D. K. Park, S. Tamarian and H. J. W. Muller-Kirsten, "Gross-Ooguri phase transition-at zero and finite temperature: Two circular Wilson loop case," JHEP 0103, 003 (2001) arXiv:hep-th/0101235].

101. I. R. Klebanov, D. Kutasov and A. Murugan, "Entanglement as a Probe of Confinement," Nucl. Phys. В 796, 274 (2008) arXiv:0709.2140 [hep-th]].

102. D. N. Kabat, К. M. Lee and E. Weinberg, "QCD vacuum structure in strong magnetic fields," Phys. Rev. D 66, 014004 (2002) arXiv:hep-ph/0204120].

103. V. A. Miransky and I. A. Shovkovy, "Magnetic catalysis and anisotropic confinement in QCD," Phys. Rev. D 66, 045006 (2002) arXiv:hep-ph/0205348].

104. В. L. Ioffe and A. V. Smilga, "Nucleon Magnetic Moments And Magnetic Properties Of Vacuum In QCD," Nucl. Phys. В 232, 109 (1984). http://www.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=NUPHA,B232,109

105. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Numerical study of chiral symmetry breaking in non-Abelian gauge theory with background magnetic field," arXiv:0812.1740 hep-lat],

106. V. P. Gusynin, V. A. Miransky and I. A. Shovkovy, "Catalysis of dynamical flavor symmetry breaking by a magnetic field in (2+1)-dimensions," Phys. Rev. Lett. 73, 3499 (1994) Erratum-ibid. 76, 1005 (1996)] [arXiv:hep-ph/9405262].

107. V. P. Gusynin, V. A. Miransky and I. A. Shovkovy, "Dimensional reduction and dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in (3+l)-dimensions," Phys. Lett. В 349, 477 (1995) arXivrhep-ph/9412257].

108. I. A. Shushpanov and A. V. Smilga, "Chiral perturbation theory with lattice regularization." Phys. Rev. D 59, 054013 (1999) arXiv.hep-ph/9807237].

109. J. Gasser and H. Leutwyler, "Chiral Perturbation Theory: Expansions In The Mass Of The Strange Quark," Nucl. Phys. В 250, 465 (1985).

110. H. О. Агасян, И. А. Шушпанов, "Кварковый и глюонный конденсат в магнитном поле", Письма в ЖЭТФ 70; 711 (1999).

111. S. P. Klevansky and R. Н. Lemmer, "Chiral Symmetry Restoration in the Nambu-Jona-Lasinio Model with a Constant Electromagnetic Field," Phys. Rev. D 39 (1989) 3478.

112. T. D. Cohen, D. A. McGady and E. S. Werbos, "The chiral condensate in a constant electromagnetic field," Phys. Rev. С 76, 055201 (2007) arXiv:0706.3208 [hep-ph]].

113. B. JI. Иоффе, "Конденсаты в квантовой хромодинамике" ЯФ 66, 32 (2003), arXiv:hep-ph/0207191].

114. О. Aharony, "The non-AdS/non-CFT correspondence, or three different paths to QCD," arXiv:hep-th/0212193.

115. D. Mateos, "String Theory and Quantum Chromodynamics," Class. Quant. Grav. 24, S713 (2007) arXiv:0709.1523 [hep-th]].

116. J. Erlich, E. Katz, D. T. Son and M. A. Stephanov, "QCD and a holographic model of hadrons," Phys. Rev. Lett. 95, 261602 (2005) arXiv:hep-ph/0501128].

117. V. G. Filev, С. V. Johnson, R. C. Rashkov and K. S. Viswanathan, "Flavoured large N gauge theory in an external magnetic field," JHEP 0710, 019 (2007) arXiv:hep-th/0701001].

118. T. Albash, V. G. Filev, С. V. Johnson and A. Kundu, "Finite Temperature Large N Gauge Theory with Quarks in an External Magnetic Field," arXiv:0709.1547 hep-th].

119. T. Albash, V. G. Filev, С. V. Johnson and A. Kundu, "Quarks in an External Electric Field in Finite Temperature Large N Gauge Theory," arXiv:0709.1554 hep-th],

120. J. Erdmenger, R. Meyer and J. P. Shock, "AdS/CFT with Flavour in Electric and Magnetic Kalb-Ramond Fields," JHEP 0712, 091 (2007) arXiv:0709.1551 [hep-th]]. http://arxiv.org/pdf/0709.1551

121. С. V. Johnson and A. Kundu, "External Fields and Chiral Symmetry Breaking in the Sakai-Sugimoto Model," arXiv:0803.0038 hep-th],

122. O. Bergman, G. Lifschytz and M. Lippert, "Response of Holographic QCD to Electric and Magnetic Fields," arXiv:0802.3720 hep-th].

123. K. Y. Kim, S. J. Sin and I. Zahed, "Dense and Hot Holographic QCD: Finite Baryonic E Field," arXiv:0803.0318 hep-th].

124. E. G. Thompson and D. T. Son, "Magnetized baryonic matter in holographic QCD," arXiv:0806.0367 hep-th].

125. O. Bergman, G. Lifschytz and M. Lippert, "Magnetic properties of dense holographic QCD," arXiv:0806.0366 hep-th],

126. A. Karch and E. Katz, "Adding flavor to AdS/CFT," JHEP 0206, 043 (2002) arXiv:hep-th/0205236].

127. J. Erdmenger, N. Evans, I. Kirsch and E. Threlfall, "Mesons in Gauge/Gravity Duals A Review," arXiv:0711.4467 hep-th].

128. J. Babington, J. Erdmenger, N. J. Evans, Z. Guralnik and I. Kirsch, "Chiral symmetry breaking and pions in non-supersymmetric gauge / gravity duals," Phys. Rev. D 69, 066007 (2004) arXiv:hep-th/0306018].

129. A. Dymarsky and D. Melnikov, "Comments on BPS bound state decay," Phys. Rev. D 69, 125001 (2004) arXiv:hep-th/0303200].

130. P. A. M. Dirac, "The Theory Of Magnetic Poles," Phys. Rev. 74, (1948) 817.

131. P. A. M. Dirac, "Quantised singularities in the electromagnetic field," Proc. Roy. Soc. Lond. A 133, 60 (1931).

132. D. Zwanziger, "Local Lagrangian quantum field theory of electric and magnetic charges," Phys. Rev. D 66, 010001 (2002).

133. L. P. Gamberg and K. A. Milton, "Dual quantum electrodynamics: Dyon dyon and charge monopole scattering in a high-energy approximation," Phys. Rev. D 61, 075013 (2000) arXiv:hep-ph/9910526].

134. R. Rajaraman, Solitons And Instantons. An Introduction To Solitons And Instantons In Quantum Field Theory, (North Holland Publishing Company, 1982).

135. J. Frohlich and P. A. Marchetti, "Gauge-invariant charged, monopole and dyon fields in gauge theories," Nucl. Phys. В 551, 770 (1999) arXiv:hep-th/9812004],

136. J. Polchinski, String theory. Vol. 2: Superstring theory and beyond, (Cambridge, UK: Univ. Pr., 1998).

137. A. S. Gorsky, K. A. Saraikin and K. G. Selivanov, "Schwinger type processes via branes and their gravity duals," Nucl. Phys. В 628, 270 (2002) arXiv: hep-th/0110178].

138. G. V. Dunne, "Heisenberg-Euler effective Lagrangians: Basics and extensions," arXiv: hep-th/0406216.

139. М.Б.Волошин, И.Ю.Кобзарев, JI.Б.Окунь, "Пузыри в метастабильном вакууме", ЯФ 20, 1229 (1974).

140. М. Б. Волошин, "Распад ложного вакуума в (1+1) измерениях", ЯФ 42, 1017 (1985).

141. A. Gorsky and М. В. Voloshin, "Particle decay in false vacuum," Phys. Rev. D 73, 025015 (2006).

142. P. J. Steinhardt, "Monopole And Vortex Dissociation And Decay Of The False Vacuum," Nucl. Phys. В 190, 583 (1981).

143. В. Г. Киселев, К. Г. Селиванов, "Вычисление функционального детерминанта в задаче о взрыве вакуума", Письма в ЖЭТФ 39, 72 (1984).

144. S. Levit and U. Smilansky, "A New Approach To Gaussian Path Integrals And The Evaluation Of The Semiclassical Propagator," Annals Phys. 103, 198 (1977).

145. G. V. Dunne and T. Hall, "On the QED effective action in time dependent electric backgrounds," Phys. Rev. D 58, 105022 (1998) arXiv:hep-th/9807031],

146. M. P. Fry, "Fermion determinant for general background gauge fields," Phys. Rev. D 67, 065017 (2003) arXiv:hep-th/0301097].

147. А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. "Квантовая электродинамика", Москва, Физматгиз, 1959, 656 стр.

148. В. С. Попов, "О швингеровском механизме рождения электрон-позитронных пар из вакуума полем оптических и рентгеновских лазеров", Письма в ЖЭТФ 74, 151-156 (2001).

149. А. К. Monin, "Monopole decay in the external electric field," JHEP 0510, 109 (2005)

150. A. K. Monin and A. V. Zayakin, "Monopole decay in a variable external field," Письма в ЖЭТФ 84, (2006) 5 arXiv:hep-ph/0605079].

151. А. К. Monin and А. V. Zayakin, "Nonperturbative decay of a monopole: The Semiclassical preexponential factor," Phys. Rev. D 75, 065029 (2007) arXiv:hep-th/0611038].

152. V. G. Kiselev and K. G. Selivanov, "Quantum Correction to Monopole Mass," Phys. Lett. В 213, 165 (1988).

153. G. W. Gibbons and N. S. Manton, "The Moduli space metric for well separated BPS monopoles," Phys. Lett. В 356, 32 (1995) arXivrhep-th/9506052],

154. I. K. Affleck, O. Alvarez and N. S. Manton, "Pair Production At Strong Coupling In Weak External Fields," Nucl. Phys. В 197, 509 (1982).

155. S. R. Coleman, "The Magnetic Monopole Fifty Years Later," HUTP-82/A032 (unpublished).

156. W. Dittrich, "Effective Lagrangians At Finite Temperature," Phys. Rev. D 19, 2385 (1979).

157. M. Loewe and J. C. Rojas, "Thermal effects and the effective action of quantum electrodynamics," Phys. Rev. D 46, 2689 (1992).

158. P. Elmfors, D. Persson and B. S. Skagerstam, "QED effective action at finite temperature and density," Phys. Rev. Lett. 71, 480 (1993) arXiv:hep-th/9305004].

159. H. Gies, "QED effective action at finite temperature," Phys. Rev. D 60, 105002 (1999) arXiv:hep-ph/9812436].

160. H. Gies, "QED effective action at finite temperature: Two-loop dominance," Phys. Rev. D 61, 085021 (2000) arXiv:hep-ph/9909500].

161. J. Garriga, "Instantons for vacuum decay at finite temperature in the thin wall limit," Phys. Rev. D 49, 5497 (1994) arXiv:hep-th/9401020],

162. К. V. Zhukovsky and P. A. Eminov, "Electron Selfenergy In (2+1) Topo-logically Massive QED At Finite Temperature And Density," Phys. Lett. В 359, 155 (1995).

163. В. Ч. Жуковский, П. Г. Мидодашвили, П. А. Эминов, "Мнимая часть массового оператора электрона в постоянном поле при конеч- ной температуре и плотности," ЖЭТФ 106, 929 (1994).

164. В. Ч. Жуковский, А. В. Курилин, П. А. Эминов, "Температурный сдвиг массы нейтрино в магнитном поле", Известия ВУЗов, серия физическая 30, 1001 (1987).

165. В. Ч. Жуковский, А. В. Курилин, П. Г. Мидодашвили, П. А. Эминов, "Сдвиг энергии массивного нейтрино в магнитном поле при конечной температуре", Вестник МГУ, физика и астрономия 29 №3, 81 (1988).

166. М. В. Федорюк, "Метод перевала", М., "Наука", 1970, 362 стр.