Реализация конформных, некоммутативных и калибровочных симметрий в теории струн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сарайкин, Кирилл Анатольевич

• Сарайкин, Кирилл Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сарайкин, Кирилл Анатольевич

Введение

1 Двумерные конформные теории как теории свободных по

1.1 Введение.

1.1.1 Общие сведения

1.1.2 Конформный бутстрап.

1.1.3 Уравнения Книжника-Замолодчикова.

1.1.4 Алгебраические уравнения.

1.1.5 Бозонизация: лагранжев подход.

1.1.6 Алгебры Ли: представления со старшим весом.

1.1.7 Свободные поля и алгебры Каца-Муди

1.2 Вычисление корреляторов и конформных блоков.

1.2.1 Производящая функция примарных полей.

1.2.2 Конформные блоки: з1(2)

1.2.3 Конформные блоки: общий случай.

1.2.4 Корреляционные функции. 1.2.5 Тест результатов и новые интегральные тождества

1.3 Обсуждение.

2 Описание швингеровских процессов при помощи конфигураций бран

2.1 Введение.

2.2 Конфигурации бран, описывающие рождение пар во внешнем поле. ф 2.2.1 Предварительные сведения.

2.2.2 Рождение пар Ж-бозонов в 11(2) калибровочной теорий с точки зрения теории струн.

2.2.3 Рождение материи в фундаментальном представлении

2.2.4 Рождение монополь-антимонопольных пар.

2.2.5 Рождение пар при конечной температуре.

2.3 Распад БПС-частиц во внешних полях

2.4 Рождение пар в калибровочных теориях в пределе больших N и АсШ/СРТ соответствие

2.4.1 Режим сильной связи в Л/* = 4 калибровочной теории и

Л супергравитация.

2.4.2 Образование пар в N = 4 теории с калибровочной группой и(Ы)х11(1).

2.4.3 Образование пар в N = 4 теории с калибровочной группой и(Г*)хи(2).

2.5 Обсуждение.

3 Некоммутативные деформации в теории струн и квантовой теории поля

3.1 Введение.

3.2 Неабелева деформация 11(1) калибровочной симметрии.

4 3.2.1 Предел Зайберга-Виттена.

3.2.2 Тест: приближение квадратичных полей.

3.2.3 Переопределение полей.

4 Эквивалентность Мориты

4.1 Обозначения

4.2 Двумерный тор. и(1)\в=м. -»• и(Ы)

4.3 Тё. и(1)\в-+и(Ю х . х и№).

4.4 Т*.и(1)\в->и(1У).

4.5 Некоммутативная и обычная теории Янга-Миллса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реализация конформных, некоммутативных и калибровочных симметрий в теории струн»

Актуальность темы. Роль симметрий в современной теоретической физике трудно переоценить. Классический пример среди теорий, построеных на основе принципа симметрий - это теория гравитации Эйнштейна, инвариантная относительно локальных преобразований координат. В квантовой теории поля симметрия лагранжиана диктует вид взаимодействий, определяет типы элементарных частиц и их заряды. Фундаментальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц играют калибровочные симметрии, например, калибровочная группа 11(1) в КЭД и £77(3) в КХД. Однако, стандартные методы квантовой теории поля, такие как теория возмущений, зачастую оказываются недостаточными для описания наиболее интересных, непертур-бативных эффектов в калибровочных теориях, которые требуют знания поведения теории в режиме сильной связи. Здесь на помощь приходит терия струн, предоставляющая целый арсенал новых методов для исследования калибровочных теорий.

Теория струн (суперструн) является самосогласованной квантовой теорией, естественным образом объединяющей терию поля и гравитацию, и в настоящий момент насчитывает более чем тридцатипятилетнюю историю. В 1995 году, после появления работы Польчинского [1], произошла так называния вторая струнная революция. В результате был достигнут впечатляющий прогресс в понимании непертурбативных явлений и поведения теории струн в области сильной связи, основанный на внутренних симметриях, так называемых дуальностях, теории струн. При этом после появления работы Виттена [2] калибровочные терии получили простое геометрическое представление в виде конфигураций £)-бран разных размерностей. В частности, калибровочной группе £/(ЛГ) в 4 измерениях соответствует стопка из N параллельных .ОЗ-бран. Правильность такого подхода была продемонстрирована в работах Мальдасены [3], Губсера, Клебанова и Полякова [4], и Виттена [5] на примере так называемого АёЭ/СГТ соответствия, позволяющего описывать четырехмерную N = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса при помощи теории струн типа ИВ на фоне метрики АйБ^ х 55. Естественно, эти примеры -только первые шаги на пути к полной картине, описывающей физику калибровочных теорий на языке теории струн. Таким образом, развитие струнного подхода к калибровочным теориям представляет актуальную и многообещающую проблему для исследования.

Помимо прогресса в описании калибровочных теорий, теория струн возродила интерес к конформным и некоммутативным симметриям. Напомним, что действие теории струн - это двумерная сигма-модель, описывающая отображения римановых поверхностей в ¿-мерное пространство-время. Среди симметрий этого действия есть и инвариантность относительно конформных преобразований. Группа конформных симметрий в двух измерениях бесконечномерна, и это накладывает очень сильные ограничения на теории с такой симметрией. Воспользовавшись этим, в 1984 году Белавин, Поляков и Замолодчиков [6] сформулировали новый подход к конформным теориям, в котором точные ответы, например, корреляционные функции, получаются как решения специальных уравнений, следующих из конформной симметрии. В физике конформная симметрия часто проявляется в точках фазового перехода термодинамических систем, например, в критической точке ферро-магнетных систем и более общих спиновых систем на решетках. Огромный интерес конформные теории вызывают у математиков, поскольку приводят к интересным бесконечномерным алгебрам: алгебрам Каца-Муди, вершинным алгебрам и др. Методы конформной теории поля, разработанные в контексте теории струн, находят здесь обширное применение.

В 1999 году, благодаря работе Зайберга и Виттена [7], стали активно изучаться некоммутативные симметрии в теории поля. Такие симметрии возникают при рассмотрении пространств, координаты на которых не коммутируют. Классической пример некоммутативного пространства - фазовое пространство квантовой механики: обобщенные координаты подчиняются соотношению неопределенности [р, д] = С точки зрения теории струн квантовые теории поля на таких пространствах возникают при выборе специальной регуляризации. Помимо изучения новых нетривиальных свойств теорий с некоммутативной симметрией представляет непосредственный интерес вопрос об их связи с обычными калибровочными теориями, которые можно получить из теории струн при стандартной регуляризации струнной сигма-модели. Действительно, физические свойства теории не должны зависеть от выбора регуляризации, поэтому можно ожидать, что есть соответствие между некоммутативными и обычными калибровочными симметриями. Оказывается, что в некоторых случаях (например, для квазипериодических граничных условий) можно предъявить примеры, когда такое соответствие удается построить явно. Кроме того, интересно проследить эту связь и на уровне действия струнной сигма-модели.

Целью работы являлось:

1. Изучение корреляционых функций в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и вычисление конформых блоков - голоморфных составляющих корреляционых функций, при помощи бозонизации.

2. Исследование процессов Швингеровского типа в калибровочных теориях с точки зрения теории струн и представление непетурбативных процессов рождения частиц во внешних полях при помощи конфигураций бран.

3. Изучение связи между регуляризацией сигма модели для открытых струн и калибровочной симметрией ее эффективного низкоэнергетического лагранжиана.

4. Исследование некоммутативной теории Янга-Миллса на торе. Построение явного преобразования, переводящего поля и наблюдаемые некоммутативной теории в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории Янга-Миллса с группой симметрии II (Ы).

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Описана двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. При этом корреляционные функции автоматически представляются в виде комбинаций голоморфных составляющих - конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.

2. Разработано описание непертурбативных процессов рождения частиц в калибровочных теориях поля с точки зрения бранных конфигураций в теории струн.

3. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.

4. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсоновские открытые петли ИИКК [8].

Структура диссертации такова:

В Главе 1 выведена двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. Конформные блоки, из которых состоят корреляционные функции, вычислены при помощи бозонизации и совпадают с решениями уравнений Книжника-Замолодчикова, найденнными Шехтманом и Варченко. Получены интегральные выражения для корреляторов в случае алгебры в1(2) и описан метод их вычисления для простых алгебр Ли.

В Главе 2 разработано описание процессов рождения пар заряженных частиц (\¥-бозонов, монополей и др.) во внешних полях припомощи конфигураций £>-бран в теории струн типа ПВ. Получено выражение для вероятности процесса с учетом струнных поправок с экспоненциальной точностью. Дется геометрическое представление процессов рождения материи в фундаментальном представлении и при конечной температуре. Описаны процессы индуцированного распада БПС-частиц во внешних полях, например переход И^-бозона в дион и анти-монополь в постоянном магнитном поле. Исследовано поведение вероятности рождения пар в режиме сильной связи при помощи АсШ/СРТ соответствия. Получено неявное выражение для вероятности рождения пар для калибровочной группы II(Ы) х 11(2) в режиме сильной связи в терминах эллиптических интегралов.

В Главе 3 обсуждается связь между регуляризацией струнной сигма-модели и калибровочными симметриями эффективного низкоэнергетического действия. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели и переопределение полей, позволяющие интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей, описывающем наинизшие возбуждения бозонной струны

В Главе 4 исследованы некоммутативные калибровочные симметрии в рамках квантово-полевого подхода. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе с периодическими граничными условиями при рациональном значении параметра некоммутативности, в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. С точки зрения некоммутативной геометрии эта связь является проявлением эквивалентности Мориты. Показано, что при этом поляковские петли обычной теории Янга-Миллса переходят в некоммутативные вильсоновские петли, введенные Ишибаши, Исо, Каваи и Китазавой [8].

В Заключении сформулированы результаты работы.

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Основные результаты диссертации докладывались на научных семина-« рах ИТФ им. Л.Д. Ландау, ИТЭФ, ФИАН и ИЯИ; международной школе "Симметрии и интегрируемые системы "(Дубна, 1999), Международной летней школе-семинаре по современым проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), Бретанской конференции по физике высоких энергий (Гидель, Франция 2000). Л По теме диссертации опубликовано три работы, список которых приведен в конце диссертации. т

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сарайкин, Кирилл Анатольевич

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Выведена двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять п-точечные корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере при произвольном значении уровня к. Предложено выражение для производящей функции примарных полей. Конформные блоки, из которых состоят корреляционные функции, вычисленные при помощи производящих функций, совпадают с решениями уравнений Книжника-Замолодчикова, найденнными Шехтманом и Варченко. Получены явные интегральные выражения для корреляторов в случае алгебры в1(2) и описан метод их вычисления для простых алгебр Ли. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.

2. Разработано описание процессов рождения пар заряженных частиц (\¥-бозонов, монополей и др.) во внешних полях при помощи конфигураций И-бран в теории струн типа ПВ. Получено выражение для вероятности процесса с учетом струнных поправок с экспоненциальной точностью. Дано геометрическое представление процессов рождения материи в фундаментальном представлении и при конечной температуре. Описаны процессы индуцированного распада БПС-частиц во внешних полях, например переход И^-бозона в ди-он и анти-монополь в постоянном магнитном поле. Исследовано поведение вероятности рождения пар в режиме сильной связи при помощи Ас18/СРТ соответствия. Получено получено неявное выражение для вероятности рождения пар для калибровочной группы и(./V) х 11(2) в режиме сильной связи в терминах эллиптических интегралов.

3. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризаций струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.

4. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсоновские петли ИИКК [8].

Благодарности

Я глубоко благодарен своему научному руководителю И.В. Полюбину за всестороннюю поддержку, без которой было бы невозможным создание дис-. сертации. *

Я многому обязан1 А.Ю. Морозову, постоянное внимание которого и подробное обсуждение многих вопросов, связанных с темой диссертации, оказали сильное влияние на мою работу.

Я признателен своим учителям в ИТФ: A.A. Белавину, С.Н. Вергелесу, A.C. Иоселевичу, A.B. Кашубе, С.А. Крашакову, Е.А.Кузнецову, М.Ю. Дашкевичу, В.В Лебедеву, В.Г. Марихину, В.П. Минееву, М.А. Скворцову, М.А. Фейгельману и Л.Н.Щуру за расширение кругозора в теоретической физике.

Отдельно хочется поблагодарить A.C. Горского и К.Г. Селиванова, в соавторстве с которыми были получены результаты главы 2, а также A.A. Герасимова, А.Д. Миронова и A.C. Лосева за внимание к работе и ценные советы.

Я признателен Э.Т. Ахмедову, Д.М.Белову, И.С. Бурмистрову, С.Г. Гу-кову, В.А. Долгушеву, A.B. Забродину, И.Р. Клебанову, А.Ю. Котову, Д.Р. Лебедеву, A.M. Левину, С.А. Локтеву, Ю.М. Макеенко, H.A. Некрасову, М.А. Олыпанецкому, П.М. Островскому, A.A. Рослому, С.М. Харчеву, С.М. Хо-рошкину, A.B. Червову, и многим другим за интересные научные дискусии.

Мне приятно поблагодарить Е.С. Суслову за техническую поддержку и создание рабочей атмосферы, а также мою жену Ирину за помощь и понимание.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке грантов РФФИ №98-02-16575 и №01-02-17488; Президента РФ №00-15-99296; INTAS №99-590; фонда Landau Scholarship от Forschungszentrum Jülich.

Публикации автора по теме диссертации

1. A. S. Gorsky, К. A. Saraikin, К. G. Selivanov, Schwinger type processes via branes and their gravity duals, Nucl.Phys. В 628 270-294, (2002).

2. К. А. Сарайкин, Комментарии к Морита-эквивалентности, ЖЭТФ 91, 755 (2000).

3. К. А. Сарайкин, Конформные блоки и корреляторы в бозонизованой модели ВЗНВ, Письма в ЖЭТФ, 70 вып. 10, 648 (1999).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сарайкин, Кирилл Анатольевич, 2004 год

1. J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995).

2. E. Witten, Nucl. Phys. В 460, 335 (1996).

3. J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998).

4. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and А. M. Polyakov, Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

5. E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).

6. А. A. Belavin, А. M. Polyakov and А. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. В 241, 333 (1984).

7. N. Seiberg and E. Witten, JHEP 9909, 032 (1999).

8. N. Ishibashi, S. Iso, H. Kawai and Y. Kitazawa, Nucl. Phys. В 573, 573 (2000).

9. К. А. Сарайкин, Письма в ЖЭТФ, 70 вып.Ю, 648 (1999). 10] А. Polyakov, JETP Lett, 12 538 (1970).

10. И. А. Polyakov, JETP, 66 23 (1974).

11. Е. Witten, Comm. Math. Phys. 92 455 (1984).

12. С. Новиков, УМН 32 3 (1982)

13. А. Polyakov, Р. Wiegmann Phys. Lett. 131В 121 (1983)

14. A. Polyakov, P. Wiegmann, Phys. Lett. 141B 223 (1984)

15. V. Knizhnik, A. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B247 83 (1984)

16. P. Goddard, A. Kent, D. Olive, Phys. Lett. 152B 88 (1985)

17. В. Дринфельд, В. Соколов, Соверменные проблемы математики, (ВИНИТИ СССР), с. 24, 81 (1984)

18. G. Мооге, N. Seiberg, Phys. Lett. В220 422 (1989)

19. Е. Witten, Commun. Math. Phys. 121, 351 (1989)

20. K. Gawedzki, Nucl. Phys. B328, 733 (1989).

21. K. Gawedzki, Karpacz 1989, Proc., "Functional integration, geometry and strings", 277-302.

22. D. Gepner, E. Witten, Nucl. Phys. B278 493 (1986)

23. K. Gawedzki, ArXiv: hep-th/9904145.

24. D. Bernard, Nucl. Phys. B303 77 (1988)

25. D. Bernard, Nucl. Phys. B309 145 (1988).

26. D. Ivanov, Int.J.Mod.Phys. A10 (1995) 2507.

27. N. Nekrasov, Commun. Math. Phys. 180 587 (1996)

28. D. Ivanov, ArXiv: hep-th/9610207

29. А. Маршаков, А. Миронов, Двумерные конформные теории 6 лет прогресса (Материалы XXV зимней школы ЛИЯФ), ЛИЯФ, 1990

30. VI. Dotsenko, Adv. Stud, in Pure Math. 16 123 (1988).

31. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Morozov, M. Olshanetskii, S. Shatashvili, Int. J. Mod. Phys. A5 2495 (1990)

32. J. Rasmussen, Ph.D. thesis, ArXiv: hep-th/9610167

33. J. Petersen, J. Rasmussen and M. Yu, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 49 (1996) 27

34. J. Petersen, J. Rasmussen and M. Yu, Nucl. Phys. B502 (1997) 649

35. R. Flume, Proc. of Int. Summer School on Conformal Invariance String Theory, Brasov, Romania, Sep 1-12, 1987.

36. A. Zamolodchikov, V. Fateev, Sov. J. Nucl. Phys. 43 657 (1986), Yad. Fiz. 43 1031 (1986)

37. A. Alekseev, S. Shatashvili, Nucl. Phys. B323, 719 (1989).

38. VI. Dotsenko, V. Fateev, Nucl. Phys. B240 312 (1984)

39. VI. Dotsenko, V. Fateev, Nucl. Phys. B251 691 (1985)

40. B. Feigin, D. Fuks, Funct. Anal. Appl. 17 241 (1983)

41. V. Schechtman, A. Varchenko, Invent. Math., 106 139 (1991)

42. V. Schechtman, A. Varchenko, Lett. Math. Phys. 20 279 (1990).

43. P. Etingof, I. Frenkel, A. Kirillov, Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations

44. H. Awata, Prog. Theor. Phys. Suppl. 110 (1992) 303

45. H. Awata, A. Tsuchiya and Y. Yamada, Nucl. Phys. B365 (1991) 680;

46. G. Felder, R. Silvotti, Phys. Lett. B231 411 (1989)

47. B. Feigin, V. Schechtman, A. Varchenko, Comm. Math. Phys. 163,173 (1994)

48. M. Olshanetsky and A. Perelomov, Inv. Math. 31 (1976) 93.

49. J. Schwinger, Phys. Rev. 82, 664 (1951).

50. I. K. Affleck and N. S. Mantón, Nucl. Phys. B 194, 38 (1982).

51. J. D. Brown and C. Teitelboim, Phys. Lett. B 195 (1987) 177.

52. F. Dowker, J. P. Gauntlett, G. W. Gibbons and G. T. Horowitz, Phys. Rev. D 53, 7115 (1996) ArXiv: hep-th/9512154.

53. C. P. Burgess, Nucl.Phys. B294 (1987) 427.

54. C. Bachas and M. Porrati, Phys. Lett. B 296, 77 (1992)

55. J. Ambjorn, Y. M. Makeenko, G. W. Semenoff and R. J. Szabo, ArXiv: hep-th/0012092.

56. I. K. Affleck and F. De Luccia, Phys. Rev. D 20, 3168 (1979).

57. I. K. Affleck, O. Alvarez and N. S. Manton, Nucl. Phys. B 197, 509 (1982).

58. K.Selivanov and M.Voloshin, ZHETP.Lett. 42 (1985) 422

59. I. Krive and A. Rozhavsky, Sov.J.Low.Temp. 6 (1980) 1272

60. A. Gorsky and V. Kiselev, Phys.Lett. B 304 (1993) 214

61. A. Gorsky and K. Selivanov, Nucl. Phys. B 571, 120 (2000)

62. R. C. Myers, JHEP 9912, 022 (1999)

63. A. S. Gorsky, K. A. Saraikin, K.G. Selivanov, Nucl.Phys. B 628 270-294, (2002).

64. J. Maldacena, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 4859

65. S. J. Rey and J. Yee, ArXiv: hep-th/9803001.

66. J. K. Erickson, G. W. Semenoff and K. Zarembo, Nucl. Phys. B 582, 155 (2000)

67. N. Drukker and D. J. Gross, ArXiv: hep-th/0010274

68. D. J. Gross and H. Ooguri, Phys. Rev. D 58, 106002 (1998)

69. K. Zarembo, Phys. Lett. B 459, 527 (1999)

70. P. Olesen and K. Zarembo, ArXiv: hep-th/0009210,

71. K. Zarembo, JHEP 0103, 042 (2001)

72. J. Polchinski, String Theory, Vol. 1,2. Cambridge, UK: Univ. Pr. (1998).

73. Abouelsaood, A., Callan, C.G., Nappi, C.R., and Yost, S.A. 1987, Nucl. Phys. B, 280 FS 18], 599.

74. S. Gukov, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 423, 64 (1998)

75. A. Sen, "F-theory and Orientifolds," Nucl. Phys. B 475 (1996) 562

76. A. Hashimoto and N. Itzhaki, Phys. Lett. B 465, 142 (1999)

77. J. M. Maldacena and J. G. Russo, Class. Quant. Grav. 17 (2000) 1189.

78. D. Berenstein, R. Corrado, W. Fischler and J. Maldacena, Phys. Rev. D 59, 105023 (1999)

79. N. Drukker, D. J. Gross and H. Ooguri, Phys. Rev. D 60, 125006 (1999)

80. Chapter 17, "Elliptic Integrals"of M. Abramowitz and I. Stegun, "Handbook of Mathematical Functions." Dover Publications Inc., New York, 1046 p., (1965).

81. A. Connes, M. R. Douglas and A. Schwarz, JHEP 9802, 003 (1998)

82. N. Nekrasov and A. Schwarz, Commun. Math. Phys. 198, 689 (1998)

83. M. Kontsevich, ArXiv: q-alg/9709040.

84. A. S. Cattaneo and G. Felder, Commun. Math. Phys. 212 (2000) 591

85. A. Schwarz, Nucl. Phys. B534, 720 (1998)

86. G. Landi, F. Lizzi and R. J. Szabo, ArXiv: hep-th/991213088 89 [90 [91 [92 [93 [94 [9596