Неоднородные крупномасштабные течения вертикально завихренной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Просвиряков, Евгений Юрьевич

• Просвиряков, Евгений Юрьевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Просвиряков, Евгений Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1 Общие проблемы интегрирования уравнений Навье-Стокса

1.2 Определение и классификация точных решений

1.3 Классы точных решений уравнений Навье-Стокса и их использование при описании крупномасштабных вертикально завихренных течений жидкости

1.3.1 Класс течений Громеки-Бельтрами-Тркала

1.3.2 Полиномиальные изотермические точные решения уравнений Навье-Стокса

1.3.3 Полиномиальные точные решения уравнений Навье-Стокса в приближении Буч-си пески

Глава 2. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса в приближении Бусси-

неска

2.1 Уравнения движения жидкой несжимаемой неизотермической вязкой бинарной смеси в классе скоростей линейно зависящих от части координат

2.1.1. Уравнения термодиффузии вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буч-си пески

2.1.2. Инвариантные свойства уравнений термодиффузии

2.1.3. Структура класса точных решений и вывод уравнений движения неоднородной жидкости

2.1.4. Уравнения конвективных течений жидкости, определяемые классом линейно растущих скоростей по части координат

2.1.5. Изотермические движения жидкости, определяемые классом точных решений линейно растущих скоростей по части координат

2.2. Расширение КЛйССО) точных рбшбнии для обобщений уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, описывающих проводящие среды во вращательной декартовой прямоугольной системе координат

2.2.1. Класс точных решений уравнений термодиффузии при наличии источников и стоков

2.2.2. Класс точных решений для уравнений, описывающих течение жидкости во вращающейся системе координат

2.2.3. Класс точных решений для уравнений, описывающих неоднородные проводящие жидкости

2.2.4. Дальнейшие обобщения класса точных решений для скоростей, линейных по координатам

2.3. Точные стационарные решения линеаризованной системы уравнений термодиффузии несжимаемой жидкости

2.3.1. Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления

2.3.2. Стационарная система уравнений Стокса, описывающая термодиффузионные течения, в исследуемом классе точных решений

2.3.3. Исследование экстремальных свойств точных решений системы Стокса

2.4. Стационарное конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жидкости при неоднородном линейном нагреве верхней границы бесконечного слоя

2.4.1. Постановка задачи о плоском обобщенном течении Куэтта

2.4.2. Краевые условия на границах бесконечного слоя

2.4.3. Точное решение, описывающее конвективное течение Куэтта

2.4.4. Анализ и интерпретация решения краевой задачи для температуры

2.4.5. Анализ и интерпретация решения краевой задачи для скоростей

2.4.6. Анализ и интерпретация решения краевой задачи для давления

2.4.7. Область применимости точного решения задачи

2.5. Стационарное конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жид-

кости при неоднородном линейном нагреве нижней границы бесконечного слоя

2.5.1. Точное решение задачи конвективного течения Куэтта при нагреве нижней границы по линейному закону

2.5.2. Анализ гидродинамических полей, описывающих нагрев нижней границы по линейному закону бесконечного слоя

2.6. Конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жидкости при квадратичном нагреве верхней границы

2.6.1. Точное решение конвективного течения Куэтта при нагреве верхней границы

2.6.2. Исследование свойств температурного поля при квадратичном нагреве верхней границы

2.6.3. Исследование свойств поля скоростей при квадратичном нагреве верхней границы

2.6.4. Исследование свойств давления при квадратичном нагреве верхней границы

2.7. Осесимметричная термокапиллярная конвекция Марангони при квадратичном нагреве бесконечного слоя вязкой несжимаемой жидкости

2.7.1. Класс точных решений

2.7.2. Осесимметричная термокапиллярная конвекция Марангони при квадратичном нагреве вязкой несжимаемой жидкости

2.7.3. Анализ поля скоростей плоской конвекции Бенара-Марангони

2.7.4. Анализ поля температуры плоской конвекции Бенара-Марангони

2.7.5. Анализ поля давления плоской конвекции Бенара-Марангони

2.8. Выводы по второй главе

Глава 3. Крупномасштабные стационарные изотермические течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости

3.1. Нелинейные изотермические уравнения, описывающие крупномасштабные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости при постоянном давлении

3.1.1. Постановка

3.1.2. Анализ разрешимости системы

3.2. Неоднородное крупномасштабное стационарное течение Куэтта вертикально завихренной изотермической вязкой несжимаемой жидкости

3.2.1. Постановка краевой задачи

3.2.2. Точное решение неоднородного течения Куэтта

3.2.3. Исследование поля скоростей

3.2.4. Исследование касательных напряжений, завихренности и спираль-ности

3.3. Неоднородное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости, индуцируемое касательными напряжениями на свободной границе

3.4. Сравнение определяющих уравнений крупномасштабных

СЛОИСТЫХ Т6Ч6

ний с уравнениями, определяющими движение Мирового океана

3.5. Стационарное течение Куэтта-Экмана вязкой несжимаемой жидкости в слое конечной толщины при постоянном давлении

3.5.1. Постановка

3.5.2. Точное рвТТТбНИ6 ••••••••

3.5.3. Анализ скоростей

3.6. Крупномасштабное стационарное неоднородное течение Пуазёйля вязкой несжимаемой жидкости

3.6.1. Постановка задачи и точное решение

3.6.2.Анализ поля скоростей

3.7. Трехмерные потенциальные течения типа Куэтта вязкой несжимаемой жидкости

3.7.1. Постановка

3.7.2. Точное стационарное решение

3.7.3. Точное нестационарное решением

3.8 Выводы по третьей главе

Глава 4. Крупномасшатабные конвективные течения вертикально завихренной

вязкой несжимаемой жидкости

4.1. Стационарная слоистая крупномасштабная конвекция Марангони при линейном нагреве одной границы бесконечного слоя вязкой несжимаемой жидкости

4.1.1. Постановка задачи и точное решение

4.1.2. Анализ поля скоростей термокапиллярного течения жидкости при задании горизонтального градиента на верхней границе

4.1.3. Анализ температурного поля термокапиллярного течения жидкости при задании горизонтального градиента на верхней границе

4.1.4. Анализ поля давления термокапиллярного течения жидкости при задании горизонтального градиента на верхней границе

4.2 Стационарная слоистая крупномасштабная конвекция Марангони при задании источника стратификации на обеих Гр с1Н И ЦЕХ бесконечного слоя вязкой несжимаемой жидкости

4.2.1. Постановка задачи и точное решение задачи

4.2.2. Анализ поля скоростей конвекции Марангони при нагреве обеих границ

4.2.3. Анализ температурного поля конвекции Марангони при нагреве обеих границ

4.2.4. Анализ поля давления конвекции Марангони при нагреве обеих границ

4.3. ^^ст^новивхоббся конвективное течение Куэтта вертикально завихренной

вязкой несжимаемой жидкости

4.3.1. Постановка задачи и точное решение

4.3.2. Анализ поля скоростей при крупномасштабной конвекции вертикально завихренной жидкости

4.3.3. Анализ полей температуры и давления при крупномасштабной конвекции вертикально завихренной жидкости

4.4. Выводы по четвертой главе

Глава 5. Нестационарные крупномасштабные течения вязкой несжимаемой жидкости

5.1. Колебания Стокса в завихренной изотермической вязкой несжимаемой жидкости в приближении крупномасштабности

5.1.1. Постановка

5.1.2. Граничные условия

5.1.3. Анализ поля скоростей

5.2. Колебания Стокса в поле сил Кориолиса

5.3. Нестационарные

н еод н о р од н течения Куэтта диссипативной завихренной несжимаемой жидкости

5.4. Выводы

по пятой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неоднородные крупномасштабные течения вертикально завихренной жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

Движение вязкой несжимаемой жидкости, индуцированное различными силовыми полями, как правило, характеризуется геометрической анизотропией. В этом случае для течений жидкости в тонких слоях горизонтальный масштаб I доминирует над вертикальным характерным размером (толщиной слоя Н). Течения,

- л К

характеризующиеся показателем геометрической анизотропии Л = называют крупномасштабными.

Крупномасштабные движения в рамках математического аппарата геофизической гидродинамики, океанологии, динамической метеорологии и других направлений механики несжимаемой жидкости могут быть успешно описаны, как конвективные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае вектор скорости жидкой среды имеет вид:

V = (УХ (х,у,г,г) V (х,у,г,г), 0).

точкой зрения является утверждение о том, что рассматриваемый класс слоистых течений размерности «два с половиной» может удовлетворительно описывать

стратифицированную несжимаемую жидкость. В этом случае пренебрегают изменением вертикальной скорости V и строят различные математические модели движения воды в Мировом океане. Наиболее популярными уравнениями гидромеханики крупномасштабных течений являются определяющие соотношения, полученные из уравнений Навье-Стокса на основе гипотезы турбулентности Сен-Гили. За такими уравнениями закрепилось специальное название: «наивные уравнения», в которых удерживается вертикальная скорость во всех уравнениях Обербека-Буссинеска, за исключением проекции уравнения сохранения импульсов на вертикальную ось, и не учитываются перекрестные дис-сипативные эффекты, вызванные неоднородностью распределения температуры

и концентрации соли. Иными словами, для описания крупномасштабных процессов принимается приближение гидростатики по толщине слоя. Альтернативный подход был разработан в Пермской гидродинамической школе (С. Н. Аристов, В. Д. Зимин, 1986; С. Н. Аристов, П. Г. Фрик, 1987; С. Н. Аристов, К. Г. Шварц, 2011), который заключался в построении квазидвумерных моделей, описывающих вращающиеся массы жидкости с учетом поперечной координаты, и обобщающих классические уравнения мелкой воды Сен-Венана.

Несмотря на чрезвычайную актуальность и важность описания и предсказания поведения крупномасштабных процессов, происходящих в атмосферах и океанах планет, конвективной зоне Солнца, в жидком ядре планеты Земля, течений различных пленок, к настоящему времени известно очень мало точных решений уравнений Навье-Стокса и Обербека-Буссинеска, позволяющих строить новые теоретические и вычислительные модели. К тому же, все известные точные решения описывают течение вращающейся жидкости или ее движение на сфере. Неясным остается вопрос о генерации противотечений в экваториальной зоне мирового океана, где, как известно, сила Кориолиса принимает нулевой значение. Уже в 1960 году Чарни было осознано, что при формировании противотечений в океане, необходимо учитывать силы инерции в уравнениях Навье-Стокса. Им были предложены простейшие решения, которые позволяли оценивать скорость на одной вертикали. В своей статье Чарни обосновал,что при крупномасштабном движении вязких несжимаемых жидкостей у скоростей регистрируются профили с очень сложной топологией по поперечной координате, а в горизонтальном направлении течение практически не отличается от однонаправленного. Важность учета сил инерции при описании экваториальных течений объясняется свойствами точного решения Куэтта, которое описывает движение жидкости со свойствами вязкости. При выполнении условий прилипания на дне (на нижней границе) в нем отсутствуют противочения. Если учесть, что на нижней границе происходит проскальзывание, как было показано в работе Стоммела, противотечение, полученное теоретически,

не наблюдается экспериментально.

При исследовании течений жидкости в экваториальных зонах были обнаружены участки, в которых происходит усиление скорости в сравнении с граничными значениями (например, со скоростью ветра и жидкости на границе океана и атмосферы). Любопытным оказывается тот факт, что формирование максимума профиля скорости довольно часто сопровождается противотечением, тем не менее, усиление скорости по толщине слоя жидкости является самостоятельным физическим эффектом, объяснение которого, как и противотечений, строится в настоящее время только при помощи численного моделирования. Объяснение усилений скоростей в жидкости может обосновать эффекты подсасывания на морском дне, где нсз следует 1 ар иIV!6н.я/х1точное ^зсзтттсзниб Стокса о быстром затухании движения от вибрационного возмущения. В этом направлении современной гидродинамики катастрофически не хватает новых точных решений нелинейных уравнений Навье-Стокса, позволяющих объяснить расслоение гидродинамических полей на зоны положительных и отрицательных значений и существование внутренних экстремальных значений.

Цель диссертационной работы заключается в разработке аналитических методов интегрирования уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска при помощи новых классов точных решений для описания крупномасштабных течений жидкостей, в которых выражены диссипативные свойства; построении новых математических моделей описания слоистых изотермических и конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости, для которых существенными являются инерционные эффекты в отсутствии поля силы Кориолиса; установление условий, при которых в жидкости будет наблюдаться расслоение гидродинамических полей, в частности, существование противотечений, и усиление скоростей в бесконечно протяженной полосе в горизонтальном направлении.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней впервые разработаны математические модели, позволяющие описывать крупно-

масштабные стационарные и нестационарные течения вязкой несжимаемой в однородной и неоднородно стратифицированной жидкости при учете сил инерции и наличии вертикальной компоненты завихренности на экваторе. Основной акцент в исследовании сделан на исследовании локализации и числа нулей точных решений системы Обербека-Буссинеска.

Научная новизна определяется следующими результатами:

1. Впервые получены новые классы точных решений уравнений термодиффузии вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска, в которых скорости являются линейными формами по горизонтальным координатам, а поля давления, температуры и концентрации растворенного вещества описываются квадратичными формами. Коэффициенты линейной и квадратичной форм — функции, зависящие от поперечной (вертикальной) координаты и времени. Показано обобщение открытого класса точных решений для описания движущейся проводящей жидкости в поле сил Кориолиса и произвольных силовых полях при наличии источников и стоков.

2. Впервые приведено условие разрешимости переопределенной системы уравнений Навье-Стокса и ее точные решения для неоднородных крупномасштабных слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости в классе скоростей, линейных по горизонтальным координатам. Показано, что обобщение течения Куэтта при неоднородном распределении скоростей на верхней (свободной) границе возможно при учете диссипативных процессов и сил инерции в жидкости и может описывать экваториальные изотермические противотечения при постоянном давлении в океане конечной глубины. Рассмотрено градиентное крупномасштабное неоднородное движение жидкости в бесконечном слое на примере течение Куэтта (неоднородное течение Пуазёйля). Найдено новое точное решение нелинейной системы уравнений Навье-Стокса, анализ которого позволяет сделать вывод о существовании двух застойных точек при течении жидкости.

3. Приведены обобщения точного решения Остроумова - Бириха для конвективного (концентрационного) слоистого течения Марангони вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном слое, описываемого переопределенной системой Обербека - Буссинеска. Показано, что при задании горизонтальных компонент градиента температуры на разных границах слоя жидкости для конвективного течения не существует преобразования, позволяющего свести исходную двумерную задачу к одномерной. Иными словами, рассматриваемая краевая задача является существенно неодномерной. Найдено точное решение, описывающее неоднородное крупномасштабное конвективное течение Куэтта вязкой несжимаемой жидкости для вертикально завихренного потока. Показано существование нескольких застойных точек (не более двух) у каждой компоненты скорости крупномасштабного конвективного течения Куэтта вязкой несжимаемой жидкости. Исследованы поля давления и температуры, которые могут расслаиваться на три зоны за счет влияния градиента соответствующего поля, поскольку одна из горизонтальных компонент градиента обращается в нуль.

4. Впервые показана возможность усиления колебаний вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое жидкости конечной толщины при наличии поля сил инерции. Данный эффект отсутствует в поле сил Кориолиса. Построены точные ретттениях¿озволя^ютт^и^е описывать нестсьтт^-И онарные экваториальные противотечения при широком классе возмущений верхней границы (базис Фурье), которые возможны благодаря учету параболического ветра.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Открытые новые классы точных решений уравнений Навье-Стокса позволяют исследовать свойства термодиффузионных течений в вертикальных и горизонтальных слоях в широком области постановки начально-краевых и краевых задач и внесут определенный вклад в развитие теоретической

и прикладной гидродинамики, поскольку позволят моделировать неоднородные течения океанических и морских вод посредством учета перекрестных диссипа-тивных эффектов Соре и Дюфора в нелинейной постановке. В настоящее время математические модели с таким свойством отсутствуют в океанологии и геофизической гидродинамике.

13 Ы ТНГ Н 1ЬхГ(3 в диссертационной работе точные решения неоднородного изотермического и конвективного течения Куэтта вертикально завихренной жидкости могут быть положены в основу при объяснении образования экваториальных противотечений в Мировом океане, генерации восходящих закрученных потоков в несжимаемом газе, поскольку они получены при нелинейной постановке задачи без упрощающих гипотез (обобщение течений Экмана и Чарни) как при постоянном давлении, так и в присутствии градиентов давления, температуры и концентрации. Данные решения позволяют описывать непрерывно стратифицированный океан и объясняют многослойные экспериментальные и теоретические модели движения стратифицированной жидкости.

Построение нового точного решения неоднородного течения Пуазёйля вертикально завихренной жидкости может объяснить известное несоответствие между классическим параболическим профилем и экспериментально наблюдаемым движением жидкости в трубах. Данный результат может быть использован при создании нового типа аппаратов ультразвуковой диагностики сердца (эхокардио-графии), поскольку в существующих заложены классические формулы однонаправленных потоков и идеальной жидкости, что входит в противоречие с реологическими свойствами крови и характером ее движения по сердечно-сосудистой системе.

Результаты диссертационного исследования позволяют говорить о возможности постановки задач теории управления и стабилизации по рациональному перемешиванию жидкости при течении в каналах и вращении за счет противотечений, усилению колебаний и открытому эффекту отсутствия трения в произволь-

ном слое при строго определенной (возможно и не единственной) толщине слоя.

Положения, выносимые на защиту. Автор диссертационной работы защищает:

1. Новые классы точных решений уравнений термодиффузии с учетом массовых сил и тепловыми и концентрационными источниками и стоками, описывающих течение проводящей жидкости во вращающейся прямоугольной декартовой и цилиндрической системах координат;

2. Результаты исследования противотечений и регистрации усилений скоростей крупномасштабных течений изотермической вязкой несжимаемой жидкости при постоянном давлении и ненулевых горизонтальных компонентах градиента давления в отсутствии силы Кориолиса;

3. Результаты исследования, позволяющие объяснить формирование противотечений при неоднородном распределении температуры или концентрации в рамках обобщения точного решения Остроумова-Бириха ( линеиная задача по скоростям) и Сидорова-Аристова (учет инерционных эффектов);

4. Результаты исследования возможности усиления колебаний Стокса вязкой несжимаемой жидкости и нестационарные точные решения, описывающие противотечения при отсутствии вращения.

Методы исследования. Для качественного и количественного изучения математических моделей, описывающих линейные и нелинейные эффекты движения изотермических и конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости в инерциальной и вращающейся системах координат, использовался математический аппарат теории уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, математической физики, математического анализа, локализации корней многочленов (проблемы Рауса-Гурвица) и графо-аналитических методов решения задач с параметрами.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается физически обоснованными, непротиворечивыми математическими моделями геофизической и прикладной линейной и нелинейной гидродинамики несжимаемой жидкости, точным выполнением законов сохранения импульсов при течении диссипа-тивных жидкостей в различных силовых полях и высоким уровнем согласованности точных решений уравнений Навье-Стокса с известными экспериментальными данным по экваториальным противотечениям и колебаниям жидкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались На СЛвДуЮТТЩХ конференциях, съездах и семинарах:

- Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения», ПОСВЯЩеН HcL .Я- 70-летию со дня рождения ч л .-корр. РАН В.М. Тешукова (Новосибирск, 2016);

- VII, VIII Всероссийских конференциях, посвященных памяти академика А.Ф. Сидорова, «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2014, 2016);

- X Школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Але-масова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2016);

- XXI-XXV Всероссийских школах конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2012-2016);

- Десятой научно-технической конференции «Люльевские чтения» (Екатеринбург, 2016);

- X Международной конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2016);

- XVIII, XIX Зимних ттт кол ах п о м ехан и ке с п л о ттт н ых с р ед]^ (Пермь, 2013, 2015);

- Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», пос вященн ая 115-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2015);

- XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);

- Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2013);

- Международной научно-технической конференции «Инновационные машиностроительные технологии, оборудование и материалы» (Казань, 2013-2015);

- Четвертой международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2014);

- VIII Всероссийской научно-технической конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2014);

- Забабахинских научных чтениях, (Снежинск, 2014);

- IV Международной школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2014);

- Пятой международной научной школе молодых ученых «Волны и вихри в с лож-Н ЫХ С р бД]^ cLX ^ (Москва, 2014);

- Международной конференции, посвященной памяти академика А. М. Обухова, « Турбулентность, динамика атмосферы и климата» (Москва, 2013);

- Семинаре Института М 6XcL Н И К И СП л о ттт н ых с р СД]^ (руководитель академик РАН В.П. Матвеенко, Пермь, 2014, 2015, 2016);

- Семинаре Института гидродинамики СО РАН «Прикладная гидродинамика» (руководитель член-корреспондент РАН В.В. Пухначёв, Новосибирск, 2015);

- Семинаре отдела динамики атмосферы Института физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН (руководитель академик РАН P.C. Голицын, 2016);

- Семинаре отделения оперативной океанографии Морского гидрофизического института РАН (руководитель член-корреспондент HAH Украины Г.К. Коротаев, 2016);

- Семинаре кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского политехнического университета им. Петра Великого (руководитель профессор A.M. Крив-

цов, Санкт-Петербург, 2015);

- Семинаре Института вычислительной математики «Математическое моделирование в механике» (руководитель профессор В.К. Андреев, Красноярск, 2015);

- Семинаре докторантов Уральского государственного университета путей сообщений (руководитель профессор С.П. Баутин, Екатеринбург, 2015);

- Видеосеминаре по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ - НИИМ МГУ (руководители: член-корреспондент РАН А.И. Егоров, академик РАН В.М. Фомин, профессор Е.М. Смирнов, профессор C.B. Гувернюк, Москва - Новосибирск - Санкт-Петербург, 2015);

- Семинаре по механике сплошных сред (руководители: академик РАН А.Г. Куликовский, член-корреспондент РАН О.Э. Мельник, профессор В.П. Карликов, Москва, 2015, 2016);

- Семинаре по математических вопросам гидродинамики (руководитель профессор М.Ю. Жуков, Ростов-на-Дону, 2015);

- Семинаре ОТДбЛй ПрИКЛ^ДНЫХ Института математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН (руководитель профессор А.И. Короткий, Екатеринбург, 2015);

- Семинаре кафедры аэрогидромеханики Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ (руководитель профессор С.А. Михайлов, 2015);

- Семинаре Института машиноведения УрО РАН (руководитель академик РАН Э.С. Горкунов, 2015).

Исследования по теме диссертационной работы выполнялись в рамках следующих грантов, проектов, программ и государственных заданий:

- Научный проект Российского фонда фундаментальных исследований, поддер-ЖсШНЫИ в 2012-2014 гг., № 12-01-00023-а «Точные решения уравнений свободной конвекции»;

- Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в рамках програм-

мы УМНИК Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере в 2011-2012 гг. «Разработка методов решения задач конвекции и фильтрации вязкой несжимаемой жидкости» ;

- Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в рамках программы СТАРТ Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере в 2013-2014 гг. «Разработка математической модели и программного обеспечения д^ля расчета ад^всктивных и конвективных потоков д^ля гидрометеорологического прогноза»;

- Научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в рамках программы СТАРТ Инвестиционно-венчурного фонда Республики Татарстан в 2013-2015 гг. «Разработка математической модели и программных модулей нахождения точных решений уравнений термодиффузии, описывающих течение вязких бинарных стратифицированных несжимаемых жидкостей»;

- Грант «Проектная часть государственного задания в сфере научной деятельности» (N0 9.1091.2011 К) Министерства образования и науки Российской Федерации в 2015-2016 гг.;

- По теме выполнения государственного задания, ГР № 01201354600 в 2016 г.

Часть результатов диссертационной работы были отмечены премиями:

- Премия за II место в номинации «Информационные технологии» конкурса разработок молодых ученых на Всероссийском форуме молодых ученых Г-ХОАТ Б. Томск, 2014.

- Премия Губернатора Свердловской области для молодых ученых за лучшую работу в области механики и машиноведения «Точные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие крупномасштабные течения и колебания завихренных вязких несжимаемых жидкостей» за 2015 год.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ в статьях, входящих в издания из перечня ВАК [1-16], и 32 работы в материалах конференций.

Личный вклад автора заключается в самостоятельной постановке исследуемых проблем, проведении аналитических исследований и определяющей роли при интерпретации полученных результатов во всех печатных работах по теме диссертации [1-16].

Благодарности. Автор диссертационной работы чрезвычайно признателен научному консультанту С. Н. Аристову (Институт IV! схеь н и к и сп л о ттт н ых с р ед]^ УрО РАН), посвятившему своему ученику последние годы жизни, которые прошли в непрерывном внимании к научным исследованиям, высказыванию конструктивных замечаний и проведении регулярных дискуссий. Автор благодарен всем участникам семинаров и конференций, на которых присутствовал и выступал, и постарался учесть все замечания, высказанные на научных мероприятиях.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы 322 страницы, 67 рисунков. Список литературы состоит из 343 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования и приводится общая характеристика работы.

В первой главе содержится литературный обзор по теме научного исследования. В параграфе 1.1 затрагивается современно состояние вопроса по общим проблемам интегрирования уравнений Навье-Стокса и их обобщения для описания термодиффузионных течений вязкой несжимаемой жидкости, а также показывается важность применения классов точных решений в теоретической и экспериментальной гидродинамике. В параграфе 1.2 обсуждается определение точного решения и дается классификация точных решений. Параграф 1.3 посвящен точным решениям уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, которые используются при описании крупномасштабных течений.

Во второй главе представлены новые классы точных решений уравнений Навье-Стокса, описывающих движения вязкой несжимаемой жидкости в различных силовых полях и рассмотрены обобщения конвективных течений типа Куэтта

с учетом вертикальной скорости и конвекция Бенара-Марангони с учетом геометрической анизотропии. В параграфе 2.1 выводятся уравнения движения термодиффузионных течений вязкой несжимаемой жидкости в рамках нового класса точных решений, в котором скорости линейны по части координат, а другие гидродинамические поля описываются квадратичными формами. В параграфе 2.2 приведено расширение предложенных точных термодиффузионных решений на проводящие жидкости, движущиеся во вращающейся системе координат, на которые действуют массовые силы, а также различные источники и стоки. Параграф 2.3 посвящен исследованию стационарных уравнений термодиффузии в приближении Стокса в рамках открытого класса точных решений. В параграфе 2.4 исследуется обобщение течения Куэтта при неоднородном линейном нагреве верхней границы. Показано, что полученное точное решение может быть справедливо при числе Грасгофа, имеющем порядок 103. Установлено, что при линейной постановке задачи (пренебрежение силами инерции) противотечения в жидкости, для которой выполнено условие прилипания, могут возникнуть только из-за неоднородности температуры. Показано, что при линейном неоднородном тепловом источнике изотермы и изобары всегда имеют бесконечно удаленные точки. В параграфе 2.5 проведено исследование движения при аналогичном нагреве нижней границе. В параграфе 2.6 приведено исследование конвективного движения жидкости при квадратичном тепловом источнике и показано, что в этом случае противотечения генерируются за счет градиента горизонтальной скорости. В параграфе 2.7 сформулирован класс точных решений уравнений термодиффузии в цилиндрической системе координат. Учет термокапиллярного эффекта на свободной недеформи-руемой поверхности позволил построить точное решение конвективного течения, описывающее не только противотечение, но и существование замкнутых изобар.

Третья глава посвящена изучению устоявшихся крупномасштабных течений вертикально завихренной жидкости, движущейся в бесконечном горизонтальном слое, в которых учтены инерционные эффекты. В параграфе 3.1 рассматрива-

ется построение математической модели, позволяющей рассматривать крупномасштабные течения изотермической вязкой несжимаемой жидкости, как нелинейные слоистые движения со сложной топологией течения относительно поперечной координаты. Показано, что в случае действия постоянного (гидростатического) давления система уравнений Навье-Стокса является переопределенной. Установлено условие разрешимости уравнений Навье-Стокса в классе скоростей, линейных по продольным координатам. В параграфе 3.2 приведено точное решение неоднородного течения Куэтта вязкой несжимаемой жидкости при учете нелинейных слагаемых уравнений Навье-Стокса. Найденное точное решение описывает усиление скоростей и наличие противотечений в бесконечно замкнутом слое вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии вращения. Неоднородное течение Куэтта характеризует течение вертикально завихренной жидкости в экваториальной зоне Мирового океана и расслоение касательных напряжений на растягивающие и сжимающие. Параграф 3.3 посвящен изучению крупномасштабного Т6Ч6НИЯ вяз кой несжимаемой жидкости при постоянном давлении под действием касательных напряжений на верхней границе слоя. В параграфе 3.4 проводится сравнение математической модели, предложенной в параграфе 3.1 с общепринятыми уравнениями теории океанических вод. Показывается, что для описания течений при отсутствии сил Кориолиса целесообразно использовать нелинейные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости. В параграфе 3.5 рассмотрено точное решение Куэтта-Экмана. Иными словами, построено решение для вращающейся жидкости в слое конечной глубины при учете растущих экспоненциальных слагаемых. В этом случае выведены уточненные формулы интегрального расхода жидкости. В параграфе 3.6 приведено точное решение неоднородного течения Пуазёйля. Установлено, что обобщенное течение Пуазёйля, в котором учтены неоднородность скорости и силы инерции, является спиральным с двумя застойными точками. В параграфе 3.7 получен новый пример потенциального течения, которое является суперпозицией однонаправленных течений Куэтта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Просвиряков, Евгений Юрьевич, 2016 год

Список литературы

[1] Абрамян, А.К. Моделирование течения Куэтта простой жидкости в плоском канале наноразмерной высоты / А.К. Абрамян, Л.В. Миранцев, А.Ю. Кучмин // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 4. - С. 3-21.

[2] Абрашкин, A.A. Вихревая динамика в лагранжевом описании / A.A. Абриhihihi. Е.И. Якубович. - М.: Физматлит, 2006. - 176 с.

[3] Альшина, Е.А. Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности / Е.А. Альшина, H.H. Калиткин, П.В. Корякин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45. - № 10. - С. 1837-1847.

[4] Андреев, В.К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения / В.К. Андреев. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010. - № 1-10. - 68 с. (Препринт)

[5] Андреев, В.К. Устойчивость неизотермических жидкостей (обзор) / В.К. Андреев, В.Б. Бекежанова // Прикладная механика и техническая физика. -2013. - Т. 54. - № 2. - С. 3-20.

[6] Андреев, В.К. Симметрии неклассических моделей гидродинамики / В.К. Андреев, В.В. Бублик, В.О. Бытев - Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

[7] Андреев, В.К. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии / В.К. Андреев, И.И. Рыжков // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41. - № 4. - С. 508-517.

[8] Андреев, В.К. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами / В.К. Андреев, И.В.

Степанова // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 2. - С. 13-24.

[9] Аристов, С.И. Вихревые течения в тонких слоях жидкости : автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.02.05/ Аристов Сергей Николаевич. - Владивосток: ИАПУ, 1990. 32 с.

[10] Аристов, С.Н. Точное решение задачи о точечном источнике / С.Н. Аристов // Доклады Академии наук. - 1995. - Т. 343. - № 1. С. 50-52.

[11] Аристов, С.Н. Трехмерные конические течения в вязкой несжимаемой жидкости /С.Н. Аристов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 1998. - № 6. - С. 144-148.

[12] Аристов, С.Н. Линейная конвекция Бенара-Марангони при квадратичном нагреве сверху плоского слоя вязкой несжимаемой жидкости /С.Н. Аристов, С.С. Власова, Е.Ю. Просвиряков // Ползуновский вестник. - 2014. - № 4/2. - С. 95-102.

[13] Аристов, С.Н. Квазидвумерные уравнения для тонких стратифицированных слоёв во вращающихся системах / С.Н. Аристов, В.Д. Зимин // Динамика вязкой жидкости: сб. науч. тр. / УрО АН СССР. - Свердловск, 1987. - С. 1519. (Препринт/ УрО АН СССР)

[14] Аристов, С.Н. Течения вязкой жидкости между подвижными параллельными плоскостями / С.Н. Аристов, Д.В. Князев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2012. - № 4. - С. 55-61.

[15] Аристов, С.Н. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственный переменных / С.Н. Аристов, Д.В. Князев, А.Д. Полянин // Теоретические основы химической технологии. - 2009. - Т 43. - № 5. - С. 547-566.

[16] Аристов, С.Н. Нестационарные трехмерные структуры в приповерхностном слое океана / С.Н. Аристов, В.П. Мясников // Доклады Российской Академии наук. - 1996. - Т. 349. - № 4. - С. 457-467.

[17] Аристов, С.Н. Новые классы точных решений уравнений Эйлера / С.Н. Аристов, А.Д. Полянин // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 419. Л'" 3. С. 328 333.

[18] Аристов, С.Н. Точные решения трехмерных нестационарных уравнений На-вье- Стокса / С.Н. Аристов, А.Д. Полянин // Доклады Академии наук. -2009. - Т. 427. - № 1. - С. 35-40.

[19] Аристов, С.Н. Плоская линейная конвекция Бенара-Рэлея при квадратичном нагреве верхней границы слоя вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, В.В. Привалова, Е.Ю. Просвиряков // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2015. - Т. 71. - № 2. - С. 69-75.

[20] Аристов, С.Н. Стационарное неизотермическое течение Куэтта. Квадратичный нагрев верхней границы слоя жидкости /С.Н. Аристов, В.В. Привалова, Е.Ю. Просвиряков // Нелинейная динамика. -2016.-Т. 12. - №2. -С. 167178.

[21] Аристов, С.Н. Волны Стокса в завихренной жидкости / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Нелинейная динамика. - 2014. - Т. 10. - № 3. - С. 309-318.

[22] Аристов, С.Н. Крупномасштабные течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Известия высших учебных заведений. Авиационная т ех н и ке . - 2015. - № 4. - С. 50-54.

[23] Аристов, С.Н. Неоднородное конвективное течение Куэтта / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 5. - С. 3-9.

[24] Аристов, С.Н. Неоднородные течения Куэтта / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просви-ряков // Нелинейная динамика. - 2014. - Т. 10. - № 2. - С. 177-182.

[25] Аристов С.Н. Нестационарные слоистые течения завихренной жидкости / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 2. - С. 25-31.

[26] Аристов, С.Н. Новый класс точных решений уравнений термодиффузии / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Теоретические основы химической технологии. - 2016. - Т. 50. - № 3. - С. 294-301.

[27] Аристов, С.Н. О слоистых течениях плоской свободной конвекции / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Нелинейная динамика. - 2013. - Т. 9. - № 4.

- С. 651-657.

[28] Аристов, С.Н. Об одном классе аналитических решений стационарной осе-симметричной конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». - 2013.

- № 3(32). - С. 101-110.

[29] Аристов, С.Н. Нестационарная конвекция Бенара-Марангони слоистых тс чений вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков, Л.Ф. Спевак //Теоретические основы химической технологии. - 2016. - Т. 50.

- № 2. - С. 137-146.

[30] Аристов, С.Н. Нестационарная слоистая тепловая и концентрационная конвекция Марангони вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, Е.Ю. Просвиряков, Л.Ф. Спевак // Вычислительная 1^схсЬниксЬ сплошных срсд]^. 2015. - Т. 8. - № 4. - С. 445-456.

[31] Аристов, С.Н. Точные решения термокапиллярной конвекции при локализованном нагреве плоского слоя вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Ари-

стов, Е.Ю. Просвиряков // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2014. - № 3. - С. 7-12.

[32] Аристов, С.Н. Об уравнениях вращательно-симметричного движения вязкой несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, В.В. Пухначев // Доклады Академии наук. - 2004. - Т. 334. - № 5. - С. 611-614.

[33] Аристов, С.Н. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости / С.Н. Аристов, П.Г. Фрик. - Свердловск, 1987. 146. - 48 с. (Препринт / УрО АН СССР, Ин-т механики сплошных сред)

[34] Аристов, С.Н. Нелинейные эффекты влияния экмановского слоя на динамику крупномасштабных вихрей в «мелкой воде» / С.Н. Аристов, П.Г. Фрик // Журнал прикладной механики и технической физики. - 1991. - № 2. -С. 49-54.

[35] Аристов, С.Н. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости / С.Н. Аристов, K.P. Шварц. - Пермь: ПГУ, 2006. - 155 с.

[36] Аристов, С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости / С.Н. Аристов, K.P. Шварц. - Киров: ВятГУ, 2011. - 207 с.

[37] Аристов, С.Н. Конвективный теплообмен при локализованном нагреве плоского слоя несжимаемой жидкости / С.Н. Аристов, K.P. Шварц // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2013. - № 3. - С. 53 58.

[38] Аристов, С.Н. Адвективное течение во вращающейся жидкой пленке / С.Н. Аристов, K.P. Шварц // Прикладная механика и техническая физика. - 2016.

1. - С. 216-223.

[39] Арнольд, В.И. Топологические методы в гидродинамике / В.И. Арнольд, Б.А. Хесин. - МЦНМО, 2007. - 392 с.

[40] Арнольд, М.Д. Регулярность решений системы Навье-Стокса на плоскости / М.Д. Арнольд, Ю.Ю. Бахтин, Е.И. Динабург // Успехи математических наук. - 2004. - Т. 59. - № 3(357). - С. 157-158.

[41] Бабкин, В.А. Плоское турбулентное течение Куэтта / В.А. Бабкин // Инженерно-физический журнал. - 2003. - Т. 76. - № 6. - С. 49-51.

[42] Баринов, В.А. Распространение ВОЛН по свободной поверхности вязкой жидкости / В.А. Баринов // Вестник Санкт- Петербургского университета. -2010. - Сер. 10. - Вып. 2. - С. 18-31.

[43] Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. - М.: Наука, 1990. -486 с.

[44] Бекежанова, В.Б. Исследование устойчивости равновесного состояния в модели конвекции с нелинейной зависимостью плотности от температуры и давления / В.Б. Бекежанова // Прикладная механика и техническая физика. - 2007. - Т. 48. - № 2. - С. 66-74.

[45] Бекежанова, В.Б. Неустойчивость равновесного состояния жидкости в системе лед-вода с учетом радиационного нагрева / В.Б. Бекежанова // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2008. - № 6. - С. 614.

[46] Бекежанова, В.Б. Смена типов неустойчивости стационарного двухслойного течения в наклонном канале / В.Б. Бекежанова // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2011. - № 46(4). - С. 525-535.

[47] Беляева, Н.А. Анализ нелинейной динамической модели течения Куэтта структурированной жидкости в плоском зазоре / Н.А. Беляева, К.П. Кузнецов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2012. - № 2. - С. 85-92.

[48] Бетяев, C.K. Асимптотические методы классической динамики жидкости / С.К. Бетяев. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014. - 516 с.

[49] Бирих, Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости / Р.В. Бирих // Прикладная механика и техническая физика. - 1966. -Т. 7. - № 3. - С. 69-72.

[50] Бирих, Р.В. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением поверхностно-активного вещества / Р.В. Бирих, М.О. Денисова, K.P. Костарев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2011. - № 6. - С. 56-68.

[51] Бирих, Р.В. Развитие концентрационно-капиллярной конвекции на межфазной поверхности / Р.В. Бирих, М.О. Денисова, K.P. Костарев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2015. - № 3. - С. 5667.

[52] Бирих, Р.В. Осевое конвективное течение во вращающейся трубе с продольным градиентом температуры /Р.В. Бирих, В.В. Пухначёв // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 436. - № 3. - С. 323-327.

[53] Бирих, Р.В. Конвективное течение в горизонтальном канале с неньютоновской реологией поверхности при нестационарном продольном градиенте температуры / Р.В. Бирих, В.В. Пухначёв, O.A. Фроловская // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2015. - № 1. - С. 192-198.

[54] Биркгоф, Г. Гидродинамика / Г. Биркгоф. - М.:Изд-во иностр.лит., 1963. -400 с.

[55] Борисов, A.B. Современные методы теории интегрируемых систем / A.B. Борисов, И.С. Мамаев. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 296 с.

[56] Воронин, С.А. Устойчивость плоского течения Куэтта дисперсной среды с конечной объемной ДОЛ6И частиц / С.А. Воронин // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2011. - № 1. - С. 85-94.

[57] Бондаренко, A.J1. Крупномасштабные течения и долгопериодные волны Мирового океана / A.J1. Бондаренко. - М.: Институт водных проблем РАН, 2011.

163 с.

[58] Босых, Н.Ю. Об одном частично инвариантном решении уравнений гидродинамики атмосферы / Н.Ю. Босых, А.П. Чупахин // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2010. - Т. 10. - № 4. - С. 26-35.

[59] Броман, Г.И. Затопленная струя Ландау: Точные решения, их смысл и приложения / Г.И. Броман, О.В. Руденко // Успехи физических наук. - 2010. -Т. 180. - № 1. - С. 97-104.

[60] Бытев, В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса / В.О. Бытев // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск. - 1972. - Т. 3. - № 3. - С. 13-17.

[61] Верещагин, В.П. К построению единичных продольно вихревых векторных полей с помощью гладких отображений / В.П. Верещагин, Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2008. - Т. 14.

3. - С. 82-91.

[62] Верещагин, В.П. Продольно вихревые единичные векторные поля из класса аксиально симметричных полей / В.П. Верещагин, Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2008. - Т. 14. -№ 3. - С. 92-98.

[63] Верещагин, В.П. Преобразование, изменяющее геометрическое строение векторного поля / В.П. Верещагин, Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных Труды института математики и механики УрО РАН. - 2009. - Т. 15. - № 1. - С. 111-121.

[64] Верещагин, В.П. Один класс решений уравнения Эйлера в торе с соленои-дальным полем скоростей / В.П. Верещагин, Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2014. - Т. 20. - № 4.

- С. 60-70.

[65] Верещагин, В.П. Один класс решений уравнения Эйлера в торе с соленои-дальным полем скоростей II / В.П. Верещагин, Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2015. - Т. 21. - № 4.

- С. 102-108.

[66] Верещагин, В.П. Один класс решений уравнения Эйлера в торе с соленои-дальным полем скоростей III / В.П. Верещагин, Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22.

- № 2. - С. 91-100.

[67] Гавриленко, C.J1. Определение характеристик вязкопластического материала в условиях течения Куэтта / С.Л. Гавриленко, C.B. Шилько, P.A. Васин / / Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т. 43. - № 3 (253). -С. 117-124.

[68] Георгиевский, Д.В. Обобщенные оценки Джозефа устойчивости плоских сдвиговых течений со скалярной нелинейностью / Д.В. Георгиевский // Известия Российской академии наук. Серия физическая. - 2011. - Т. 75. - № 1.

- С. 149-152.

[69] Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гер-iiiyuii. Е.М. Жуховицкий. - Москва: Наука, 1972. - 392 с.

[70] Гетлинг, A.B. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара / A.B. Гетлинг // Успехи физических наук. - 1991. Т. 161. - № 9. -С. 1-80.

[71] Гилл, А. Динамика атмосферы и океана: в 2 т. / А. Гилл. - М.: Изд. Мир, 1986.

[72] Гледзер, Е.Б. Системы гидродинамического типа и их применение / Е.Б. Гледзер, Ф.В. Должанский, A.M. Обухов. - М.: Наука, 1981. - 368 с.

[73] Голицын, Г.С. Динамика природных процессов / Г.С. Голицын. М.: Физ-матлит, 2004.

[74] Голицын, Г.С. Природные процессы и явления: волны, планеты, конвекция, климат, статистика. Избранные труды / Г.С. Голицын. М.: Физматлит, 2004. - 344 с.

[75] Голицын, Г.С. Статистика и динамика природных процессов и явлений: Методы, инструментарии, результаты j Г.С. Голицын. 2-е . изд. - M.: URSS, 2013. - 400 с.

[76] Головин, C.B. Симметрии и точные решения уравнений динамической конвекции моря / C.B. Головин, М.Ю. Казакова // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4. - Вып. 4. - С. 79-90.

[77] Голубкин, В.Н. Интегральный инвариант уравнений движения вязкого газа / В.Н. Голубкин, В.В. Марков, Г.Б. Сизых // Прикладная математика и механика. - 2015. - Т. 79. - Вып. 6. - С. 808-816.

[78] Гольдштик, М.А. Вязкие течения с парадоксальными свойствами / М.А. Гольдштик, В.Н. Штерн, Н.И. Яворский. - Новосибирск: Наука, 1989. - 336 с.

[79] Гончарова, О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции / О.Н. Гончарова // Динамика сплошной среды » - Новосибирск, 1987. -Вып. 79. - С. 22-35.

[80] Гончарова, О.Н. Точные решения линеаризованных уравнений конвекции слабосжимаемой жидкости /О.Н. Гончарова // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - Т. 46. - № 2. - С. 52-63.

[81] Гончарова, О.Н. Гравитационно-термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое при спутном потоке газа / О.Н. Гончарова, О.А. Кабов // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 426. - № 2. - С. 183-188.

[82] Гончарова, О.Н. Пример точного решения стационарной задачи о двухслойных течениях с испарением на границе раздела / О.Н. Гончарова, Е.В. Резанова // Прикладная механика и техническая физика. - 2014. - № 2. -С. 68-79.

[83] Громека, И.С. Собрание сочинений II.С. Громека. - М.: Издательство АН СССР, 1952. 296 с.

[84] Должанский, Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике / Ф.В. Должан-ский. - М.: ИВМ РАН, 2006. - 378 с.

[85] Журавлев, В.М. О новом представлении двумерных уравнений динамики несжимаемой жидкости /В.М. Журавлев // Прикладная математика и механика. - 1994. - Т. 58. - Вып. 6. - С. 61-67.

[86] Зуйков, А.Л. Модель течения Громеки-Бельтрами / А.Л. Зуйков, Г.В. Орехов, В.В. Волшаник // Вестник МГУСИ. - 2013. - № 4. - С. 150-159.

[87] Иванов, В.А. Апвеллинг в Черном море / В.А. Иванов, Э.Н. Михайлова. -Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2008. - 91 с.

[88] Ингель, Л.Х. Класс точных решений нелинейных задач о термических цир-куляциях^ связанных с объемным тепловыделением в атмосфере / Л.Х. Ингель, С.Н. Аристов // Тр. Ин-та экспериментальной метеорологии. - 1996. -Вып. 27(162). - С. 142-157.

[89] Ингель, J1.X. Нетривиальные особенности гидротермодинамики морской воды и других стратифицированных растворов / J1.X. Ингель, М.В. Калашник // Успехи физических наук. - 2012. - Т. 182. - № 4. - С. 379-406.

[90] Калашник, М.В. Об устойчивости струйных течений во вращающемся слое мелкой воды /М.В. Калашник, О.Г. Чхетиани // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 5. - С. 29-42.

[91] Каменкович, В.М. Основы динамики океана / В.М. Каменкович. - J1.: Гид-рометеоиздат, 1973. - 240 с.

[92] Каменкович, В.М. Синоптические вихри в океане / В.М. Каменкович, М.Н. Кошляков, A.C. Монин. - J1.: Гидрометеоиздат, 1982. - 264 с.

[93] Катков, В.Л. Точные решения некоторых задач конвекции / В.Л. Катков // Прикладная математика и механика. - 1968. - № 3. - С. 11-18.

[94] Кирдяшкин, А.Г. Термокапиллярные периодические движения / А.Г. Кир-дяшкин. - Новосибирск, 1985. 36 с. (Препринт / Институт геологии и геофизики АН СССР, Сибирское № 8)

[95] Киряков, П.П. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений / П.П. Киряков, С.И. Сенатов, А.Н. Яхно. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. - 192 с.

[96] Князев, Д.В. Осесимметричные течения несжимаемой жидкости между подвижными вращающимися дисками / Д.В. Князев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2011. - № 4. - С. 59-66.

[97] Князев, Д.В. Плоские течения вязкой бинарной жидкости между подвижными твердыми границами / Д.В. Князев // Прикладная механика и техническая физика. - 2011. - Т. 52. - № 2(306). - С. 66-72.

[98] Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.А.Корн, Т.М. Корн. - М.:«Наука», 1974. - 177 с.

[99] Коробков, М.В. Задача протекания для уравнений Навье-Стокса / М.В. Коробков, К. Пилецкас, В.В. Пухначёв, Р. Руссо // УМН. - 2014. - Т. 69. -№ 6(420).-С. 115-176.

[100] Коротаев, Г.К. Теоретическое моделирование синоптической изменчивости океана / Г.К. Коротаев. - Киев: Наукова думка, 1988. - 160 с.

[101] Коротаев, Г.К. Введение в оперативную океанографию Черного моря / Г.К. Коротаев, В.Н. Еремеев. - Севастополь:НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2006.

- 382 с.

[102] Коротаев, Г.К. Теория экваториальных противотечений в Мировом океане / Г.К. Коротаев, Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро. - Киев: Наукова думка, 1986.

- 208 с.

[103] Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматгиз, 1963. - 727 с. - Ч. II.

[104] Краснов, Ю.К. Эволюция «смерчей» / Ю.К. Краснов // Нелинейные волны, структуры и бифуркации.- М.: Наука, 1987. - С. 174-189.

[105] Кудинов, В.А. Получение точных аналитических решений гиперболических уравнений движения при разгонном течении Куэтта / В.А. Кудинов, И.В. Кудинов // Известия Российской академии наук. Энергетика. - 2012. - № 1.

С. 119 133.

[106] Кузнецов, В.В. Новое семейство точных решений уравнений Навье-Стокса / В.В. Кузнецов, В.В. Пухначев // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 425.

- № 1. - С. 40-44.

[107] Куликовский, А.Г. Магнитная гидродинамика / А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов. М.: Физматгиз, 1962. - 246 с.

[108] Курганский, М.В. Введение в крупномасштабную динамику атмосферы / М.В. Курганский. - Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1993. - 168 с.

[109] Ландау, Л.Д. Новое точное решение уравнений Навье-Стокса / Л.Д. Ландау // Доклады Академии наук СССР. - 1944. - Т. 43. - С. 286-288.

[110] Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: В 10 т. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.

- 5-е изд. - М.: Физматлит, 2006. - 736 с. - Т.6. Гидродинамика.

[111] Ладыженская, O.A. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость / O.A. Ладыженская // УМН. - 2003.

- Т. 58. - № 2(350). - С. 45-78.

[112] Лагно, В.И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В.И. Лагно, C.B. Спичак, В.И. Стогний. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 392 с.

[113] Левич, В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г. Левич. - Москва: Физматлит, 1959. - 699 с.

[114] Ли, С. Симметрии дифференциальных уравнений. В 3 томах, j С. Ли. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011. - 686 с. - Том 1. Лекции о дифференциальных уравнениях с известными инфинитезимальными преобразованиями.

[115] Ли, С. Симметрии дифференциальных уравнений. В 3 томах, j С. Ли. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011. - 692 с. - Том 2. Лекции о непрерывных группах с геометрическими и другими приложениями.

[116] Ли, С. Симметрии дифференциальных уравнений. В 3 томах, j С. Ли. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011. - 704 с. - Том 3. Геометрия контактных преобразований.

[117] Либин, A.C. Крупномасштабные структуры как линии градиента: случай течения Тркаля / A.C. Либин // Теоретическая и математическая физика.

- 2010. - Т. 165. - № 2. - С. 350-369.

[118] Либин, A.C. Исправление к статье А. С. Либина (ТМФ. 2010. Т. 165, № 2. С. 350-369). / A.C. Либин // Теоретическая и математическая физика. - 2011.

- Т. 166. 1. - С. 160.

[119] Малышев, В.А. Стохастическая микромодель течения Куэтта / В.А. Малышев, А.Д. Манита // Теория вероятностей и ее применения. - 2008. - Т. 53.

- № 4. - С. 798-809.

[120] Маслов, В.П. Асимптотические решения уравнений Навье-Стокса и топологические инварианты векторных полей и лиувиллевых слоений / В.П. Маслов, А.И. Шафаревич // Теоретическая и математическая физика. - 2014. -Т. 180. - № 2. - С. 245-263.

[121] Мелешко, C.B. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса / C.B. Мелешко, В.В. Пухначев // Прикладная механика и техническая физика. - 1999. - Т. 40. - № 2. - С. 24-33.

[122] Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. - М.: Мир, 1981.- 344 с.

[123] Моисеенков, В.Б. Качественные методы исследования задач конвекции вязкой слабо сжимаемой жидкости / В.Б. Моиссенков. - Киев: Институт математики HAH Украины, 1998. - 280 с.

[124] Нелинейные системы гидродинамического типа / Ф.В. Должанский, В.И. Кляцкин, A.M. Обухов, М.А. Чусов. - Москва: Наука, 1974. - 163 с.

[125] Обухов, A.M. К вопросу о геостофическом ветре / A.M. Обухов // Изв. АН CCGP, сер. Геогр. и геофиз. - 1949. - Т. 13. - № 4. С. 281.

[126] Овсянников, J1.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений / J1.B. Овсянников. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 240 с.

[127] Овсянников, Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. - 132 с.

[128] Овсянников, Л.В. Уравнения динамической конвекции моря / Л.В. Овсянников. - Новосибирск: ИГиЛ, СО РАН, 1967. - 43 с. - (Препринт / Институт гидродинамики СО АН СССР)

[129] Овсянников, Л.В. Новое решение уравнений гидродинамики / Л.В. Овсянников // Доклады АН СССР. - 1970. - Т. 194. - № 4. - С. 782-785.

[130] Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 400 с.

[131] Олвер, П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям: [пер. с англ.] / П. Олвер. - М.: Мир, 1989. - 639 с.

[132] Остроумов, Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи / Г.А. Остроумов. - Москва: Гостехиздат, 1952. - 256 с.

[133] Педлоски, Дж. Геофизическая гидродинамика: в 2 т. / Дж. Педлоски. - М.: Мир, 1984.

[134] Петров, А.Г. Аналитическая гидродинамика / А.Г. Петров. - Москва: Физ-матлит, 2010. - 520 с.

[135] Пилецкас, К. О существовании нестационарного решения Пуазейля / К. Пи-лецкас, В. Кебликас // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т. 46. - № 3. - С. 649-662.

[136] Полежаев, В.И. Конвекция и процессы тепло-и массообмена в условиях космического полета / В.И. Полежаев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2006. - № 5. - С. 67-88.

[137] Полянин, А.Д. Системы уравнений гидродинамического типа: точные решения, преобразования, нелинейная устойчивость / А.Д. Полянин, С.Н. Аристов // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 428. - № 2. - С. 180-185.

[138] Полянин, А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с обобщенным разделением переменных / А.Д. Полянин // Доклады Российской Академии наук. - 2001. - Т. 380. - № 4. - С. 491-496.

[139] Полянин, А.Д. Уравнения нестационарного пограничного слоя: Общие преобразования и точные решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев // Теоретические основы химической технологии. - 2001. - Т. 35. - № 6. - С. 563-573.

[140] Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин. - 3-е изд., испр. -М.: Наука, 1973. - 519 с.

[141] Привалова, В.В. Стационарное конвективное течение Куэтта при линейном нагреве нижней границы слоя жидкости / В.В. Привалова, Е.Ю. Просвиря-ков // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2015. - Т. 71. - № 5. - С. 148-153.

[142] Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В.К. Андреев, О.В. Капцов, В.В. Пухначёв, A.A. Родионов. - М.: Наука, 1994. - 318 с.

[143] Просвиряков, Е.Ю. Точные решения TpexiviepHbix потенциальных и зав их ренных течений Куэтта вязкой несжимаемой жидкости /Е.Ю. Просвиряков // Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». - 2015. - Т. 4. - № 6. - С. 501-506.

[144] Проценко, В.И. Асимптотическая модель эволюции возмущений в плоском течении Куэтта-Пуазейля / В.И. Проценко, И.Г. Проценко // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 411. - № 1. - С. 20-25.

[145] Пухначёв, В.В. Групповые свойства уравнений Навье — Стокса в плоском случае /В.В. Пухначёв // Прикладная механика и техническая физика. -I960. - № 1. - С. 83-90.

[146] Пухначёв, В.В. Нестационарные аналоги решения Бириха /В.В. Пухначёв // Известия АлтГУ. - 2011. - № 1-2. - С. 62-69.

[147] Пухначёв, В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса /В.В. Пухначёв // Успехи механики. - 2006. - Т. 4. - № 1. - С. 6-76.

[148] Пухначёв, В.В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и его обобщения /В.В. Пухначёв // Симметрия и дифференциальные уравнения: Сб. тр. международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 180-183.

[149] Пухначёв, В.В. Трехмерная симметричная задача протекания для уравнений Навье-Стокса /В.В. Пухначёв // Вести. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 95-104.

[150] Пухначёв, В.В. Иерархия моделей в теории конвекции /В.В. Пухначёв // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций: Зап. научн. сем. ПОМИ. - СПб.: ПОМИ, 2002. - Т. 288. - С. 152-177.

[151] Пухначёв, В.В. Задача Куэтта для среды Кельвина-Фойхта /В.В. Пухначёв, Т.П. Пухначева // Вести. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2010. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 94-109.

[152] Рубина, Л.И. О некоторых особенностях системы уравнений Навье — Стокса / Л.И. Рубина, О.Н. Ульянов // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22. - № 1. - С. 245-256.

[153] Рудяк, В.Я. Неустойчивость плоского течения Куэтта двухфазных жидкостей / В.Я. Рудяк, Е.Б. Исаков, Е.Г. Борд // Письма в Журнал технической физики. - 1998. - Т. 24. - № 5. - С. 76-80.

[154] Рыжков, И.И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения / И.И. Рыжков // Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т. 47. - № 1. - С. 95-108.

[155] Рыжков, И.И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость: монография / И.И. Рыжков. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2013. 200 с.

[156] Рыжков, И.И. Групповые свойства и точные решения модели вибрационной конвекции бинарной смеси / И.И. Рыжков, И.В. Степанова // Прикладная механика и техническая физика. - 2011. - Т. 52. - № 4. - С. 72-82.

[157] Самарский, A.A. Вычислительная теплопередача / A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

[158] Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1967. - 440 с.

[159] Сидоров, А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн / А.Ф. Сидоров // Прикладная механика и техническая физика. - 1989. - Т. 30. - № 2. - С. 34-40.

[160] Сидоров, А.Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции. Численные и аналитические методы решения задач механики сплошной среды / А.Ф. Сидоров. // УНЦ АН СССР. - Свердловск, 1981. - С. 101-117.

[161] Сидоров, А.Ф. Избранные труды. Механика, математика / А.Ф. Сидоров. -М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

[162] Скульский, О.И. Механика аномально вязких жидкостей / О.И. Скульский, С.Н. Аристов. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. - 156 с.

[163] Слабый хаос и квазирегулярные структуры / P.M. Заславский, Р.З. Сагдеев, Д.А. Усиков, A.A. Черников. - 1991. - 235 с.

[164] Слёзкин, H.A. Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости / H.A. Слёзкин // Учёные записки МГУ. - 1934. - № 2. - С. 89-90.

[165] Стишков, Ю.К. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках / Ю.К. Стишков, A.A. Остапенко. - J1.: Издат. Ленинградского университета, 1989. - 174 с.

[166] Страхович, К.И. Механика вязкой жидкости / К.И. Страхович. - Л.: Издат. Ленинградского университета, 1940. - 200 с.

[167] Стюарт, Иэн Величайшие математические задачи / Иэн Стюарт. - М.: Аль-пина нон-фикшн, 2015. - 460 с.

[168] Сретинский, Л.Н. Теория волновых движений жидкости / Л.Н. Сретинский. - М.: Наука, 1977. - 816 с.

[169] Табачников, С.Л. Математический дивертисмент / С.Л. Табачников, Д.Б. Фукс. - МЦНМО, 2011. - 512 с.

[170] Трошкин, О.В. К нелинейной устойчивости течений Куэтта, Пуазейля и Колмогорова в плоском канале / О.В. Трошкин // Доклады Академии наук. -2012. - Т. 443. - № 1. - С. 29-32.

[171] Тыртышников, Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра / Е.Е. Тыртыш-НИКОВ. - М.: Физматлит, 2007. - 480 с.

[172] Федерман, А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка / А. Федерман // Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики. - 1911. - Т. 16. - Вып. 1. -С. 97-155.

[173] Фельзенбаум, А.И. Теоретические основы и методы расчета установившихся морских течений / А.И. Фельзенбаум. - Изд. АН СССР, I960. - 127 с.

[174] Фущич, В.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики / В.И. Фущич, В.М. Штелень, Н.И. Серов. -Киев: Наукова думка, 1989. - 336 с.

[175] Хромов, С.П. Метеорология и климатология: учебник / С.П. Хромов, М.А. Петросянц. - М.: Изд. МГУ, 2001. - 527 с.

[176] Чеботарев, Н.Г. Теория групп Ли / Н.Г. Чеботарев. - М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры, 1940. - 396 с.

[177] Черный, Г.Г. Плоские установившиеся автомодельные течения идеальной жидкости (кеплеровы движения) / Г.Г. Черный // Доклады Академии наук.

- 1997. - Т. 352. - № 3. - С. 335-338.

[178] Чхетиани, О.Г. Динамика и блокирование волн Россби в квазидвумерных сдвиговluijNt теченii.Я-jNt / О.Г. Чхетиани, М.В. Калашник, Г.Д. Чагелишвили // Письма в ЖЭТФ. - 2015. - Т. 101. - Вып. 2. - С. 84-89.

[179] Шалыбков, Д.А. Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта / Д.А. Шалыбков // Успехи физических наук. - 2009. - Т. 179.

- № 9. - С. 971-993.

[180] Шапиро, Н.Б. Формирование течений и термохалинной структуры вод в Керченском проливе /Н.Б. Шапиро // Моделирование динамики вод в Керчен-

ском проливе и предпроливных зонах. - Севастополь: Изд. МГИ НАНУ, 2010. С. 41 93.

[181] Шварц, К.Г. Влияние вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости при малом значении числа Прандтля / К.Г. Шварц // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа.

- 2005. - № 2. - С. 29-38.

[182] Шварц, К.Г. Моделирование крупномасштабных и мезомасштабных процессов в бароклинной атмосфере и океане / К.Г. Шварц // Географический вестник. - 2013. - № 1(24). - С. 72-77.

[183] Шварц, К.Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами / К.Г. Шварц // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2014. - № 4.

- С. 26-30.

[184] Шеретов, Ю.В. О свойствах решений квазигидродинамических уравнений в баротропном приближении /Ю.В. Шеретов // Вестн. Тверского гос. ун-та. Сер.: Прикладная математика. - 2009. - № 14. - С. 5-19.

[185] Шеретов, Ю.В. Единственность решения квазигидродинамических уравнений в приближении мелкой воды / Ю.В. Шеретов // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. - 2011. -№ 22. - С. 7-28.

[186] Шлиомис, М.И. Конвекция в двухслойной бинарной системе с испарением / М.И. Шлиомис, В.И. Якушин // Ученые записки Пермского госуниверситета, серия Гидродинамика: Сб. науч. тр. - 1972. - № 4. - С. 129-140.

[187] Эйзенхарт, Л.П. Непрерывные группы преобразований / Л.П. Эйзенхарт. -М.: Изд-во ИЛ, 1947. - 360 с.

[188] Юдович, В.И. О проблемах n перспективах современной математической гидродинамики / В.И. Юдович // Успехи механики. - 2002. - Т. 1. - № 1. С. 61-102.

[189] Akhmetov, R.G. Vortex Structure Around the Cylinder At a Flow of Viscous Fluid / R.G. Akhmetov, R.R. Kutluev // Applied Non-Linear Dynamical Systems, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics,93. -ed. Awrejcewicz J., Springer-Verlag Berlin, 2014. - P. 151-159.

[190] Allilueva, A.I. Asymptotic Solutionsof Linearized Navier-Stokes Equations Localized in Small Neighborhoods of Curves and Surfaces / A.I. Allilueva, A.I. Shafarevich // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 22. -№ 4. - P. 421-426.

[191] Andreev, V.K. Ostroumov - Birikh solution of convection equations with nonlinear buoyancy force / V.K. Andreev, I.V. Stepanova // Appl. Math. Comput. - 2014. - Vol. 228. P. 59-67.

[192] Arnold, V.I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits / V.I. Arnold // C. R. Acfd. Sci. Paris. - 1965. - Vol. 261. - № 1. - P. 17-20.

[193] Aristov, S.N. Viscous flow between two moving parallel disks: Exact solutions and stability analysis / S.N. Aristov, I.M. Gitman //J. Fluid Mech. - 2002. -Vol. 464. - P. 209-215.

[194] Aristov, S.N. Convective flow in baroclinic vortices / S.N. Aristov, J. Nycander // Journal Physical Oceanography. - 1994. - Vol. 24. - № 9. - P. 1841-1849.

[195] Aristov, S.N. New Classes of Exact Solutions and Some Transformations of the Navier - Stokes Equations /S.N. Aristov, A. D. Polyanin // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2010. - Vol. 17. - № 1. - P. 1-18.

[196] Aristov, S.N. Aboute rotation influence on the large - scale circulation of the horizontal liquid layer thermocapillary flows in zero gravity condition / S.N.

Aristov, K.G. Schwarz // Microgravity Science and Technology. - 1994. - Vol. 7.

1. - P. 31-36.

[197] Aristov, S.N. Rotating influence on thermocapillary flow in zero gravity state / S.N. Aristov, K.G. Schwarz // Microgravity Science and Technology. - 1995. -Vol. 8. - № 2. - P. 101-105.

[198] Bellamy Knights, P.G. An unsteady two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations / P.G. Bellamy Knights //J. Fluid Mech. - 1970. - Vol. 11. Pi 3. P. 673-687.

[199] Bellamy Knights, P.G. Unsteady convective atmospheric vortices / P.G. Bellamy Knights, R. Saci // Boundary-Layer Meteorology. - 1983. - Vol. 27. - № 4. -P. 371-386.

[200] Bénard, H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide propageant de la chaleur par convection, en régime permanent / H. Bénard. - Th'ese. Paris: Gauthier-Villars, 1901. - 88 pp.; Ann. de Chim. et Phys. - 1901. - Vol. 23. -P. 62-144.

[201] Bénard, H. Étude expérimentale des courants de convection dans une nappe liquide. Regime permanent: tourbillons cellulaires / H. Bénard // J. Phys. Theor. Appl. - 1900. - Vol. 9. - № 1. - P. 513-524.

[202] Bénard, H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide propageant de la chaleur par convection, en régime permanent / H. Bénard. - Thèse. Paris: Gauthier-Villars, 1901. - P. 88 pp.; Ann. de Chim. et Phys. - 1901. - Vol. 23. -P. 62-144.

[203] Ballabb, R. Self superposable motions of the type £ = Xu etc / R. Ballabb // Proc. Benares Math. Soc. (N.S.). - 1940. - Vol. 2. - P. 85-89.

[204] Ballabb, R. Superposable Motions in Heterogeneous fluids / R. Ballabb // Pros. Benares. Math. Soc. - 1941. - № 3. P. 1-9.

[205] Ballabb, R. On coincidence of vortex and stream lines in ideal liquids / R. Ballabb // Ganita. - 1950. - № 1. - P. 1-4.

[206] Beltrami, E. Considerazioni idrodinamiche / E. Beltrami // Rend. Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. - 1889. - Vol. 22. - P. 121-130.

[207] Benjamin, T.B. Self-propulsion of asymmetrically vibrating bubbles / T.B. Benjamin, A.T. Ellis //J. Fluid Mech. - 1990. - Vol. 212. - P. 65-80.

[208] Berker, R. Sur quelques cas d'intégration des équations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible / R. Berker. - Lille, Paris, 1936.

[209] Berker, R. A new solution of the Navier-Stokes equations for the motion of a fluid contained between parallel plates rotating about the same axis / R. Berker // Arch. Mech. Stosow. - 1979. - Vol. 31. - № 2. - P. 265-280.

[210] Berker, R. An exact solution of the Navier-Stokes equation: the vortex with curvilinear axis / R. Berker // Int. J. Engn. Sci. - 1981. - Vol. 20. - № 2. -P. 217-230.

[211] Bertozzi, A.L. Vorticity and Incompressible Flows / A.L. Bertozzi, A.J. Majda.

- Cambridge: Cambridge U. Press, 2002. - 545 p.

[212] Bluman, G.W. Symmetries and Differential Equations / G.W. Bluman, S. Kumei.

- Springer Verlag New York, Inc, 1989. - 412 p.

[213] Bluman, G.W. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations / G.W. Bluman, St.C. Anco. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 419 p. (Applied Mathematical Sciences. - Vol. 154)

[214] Bogoyavlenskij, O.I. Method of symmetry transforms for ideal MHD equilibrium equations. The legacy of the inverse scattering transform in applied mathematics / O.I. Bogoyavlenskij // Contemp. Math. Providence, RJ, Amer. Math. Soc. -2002. - Vol. 301. - P. 195-218.

[215] Bogoyavlenskij, O.I. Exact solutions to the Navier-Stokes equations / O.I. Bogoyavlenskij // Comptes Rendus Math. Acad. Sci. Soc. R. Canada. - 2002.

- Vol. 24. - № 4. - P. 138-143.

[216] Bogoyavlenskij, O.I. Exact solutions to the Navier-Stokes equations and viscous MHD equations / O.I. Bogoyavlenskij // Phys. Lett., Ser. A. - 2003. - Vol. 307.

- № 5-6. - P. 281-286.

[217] Bogoyavlenskij, O.I. Infinite families of exact periodic solutions to the Navier-Stokes equations / O.I. Bogoyavlenskij // Moscow Math. J. - 2003. - Vol. 3. -№ 2. - P. 263-272.

[218] Bogoyavlenskij, O.I. Exact NSE solutions with crystallographic symmetries and no transfer of energy through the spectrum / O.I. Bogoyavlenskij, B. Fuchssteiner // J. Geom. Phys. - 2005. - Vol. 54. - № 3. - P. 324-338.

[219] Boubnov, B.M. Convection in rotating fluids / B.M. Boubnov, G.S. Golitsyn. -Kluwer Academic Publishers, 1995.

[220] Bukreev, V.I. Experimental investigation of the range of applicability of the solution of Stokes's second problem / V.I. Bukreev // Fluid Dynamics. - 1988. -Vol. 23. - № 4. - P. 504-509.

[221] Burgers, J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence / J.M. Burgers // Adv. Appl. Mech. - 1948. - Vol. 1. P. 171-199.

[222] Boussinesq, J. Théorie Analytique de la Chaleur / J. Boussinesq. - Paris: Gautheir-Villars, 1903.

[223] Caill well. Br. J. Introduction to Symmetry Analysis / Br. J. Cantwell. -Cambridge: Cambridge University Press. - 2002. - 654 p.

[224] Chandna, O.P. Unsteady second grade aligned MHD fluid / O.P. Chandna, E.O. Oku-Ukpong // Acta Mechanica. - 1994. - 107. - P. 77-91.

[225] Chandna, O.P. Flows for Chosen Vorticity Functions-Exact Solutions of the Navier-Stokes Equations / O.P. Chandna, E.O. Oku-Ukpong // Int. J. Math. Math. Sci. - 1994. - Vol. 17. - P. 155-164.

[226] Cao, Chongsheng Regularity criteria for the three-dimensional Navier-Stokes equations / Chongsheng Cao, E.S. Titi // Indiana Univ. Math. J. - 2008. -Vol. 57. - № 6. - P. 2643-2661.

[227] Charney, T.G. On the soale of atmospheric motions / T.G. Charney // Geophys. Publ. - 1947. - Vol. 17. - № 2. - P. 17-33.

[228] Charney, T.G. Nonlinear theory of a wind-driven homogenous layer near the equator / T.G. Charney // Deep Sea Res. - 1960. - Vol. 6. - № 4. - P. 303-310.

[229] Cole, J.D. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics / J.D. Cole // Quart. Appl. Math. - 1951. - Vol. 9. - № 3. - P. 225-236.

[230] Couette, M. Études sur le frottement des liquides / M. Couette // Ann. Chim. Phys. - 1890. - T. 21. - P. 433-510.

[231] Cox, S.M. Nonaxisymmetric flow between an air table and a floating disk / S.M. Cox // Phys. Fluids. - 2003. - Vol. 14. P. 1540-1543.

[232] Craik, A. The stability of unbounded two- and three-dimensional flows subject to body forces: some exact solutions / A. Craik //J. Fluid Mech. - 1989. - Vol. 198. - P. 275-293.

[233] Dauenhauer, E.G. Exact self-similarity solution of the Navier-Stokes equation for a porous channel with orthogonally moving walls / E.G. Dauenhauer, J. Majdalani // Phys. Fluids.- 2003. - Vol. 15. - P. 1485-1495.

[234] Debler, W.R. Flow over an oscillating plate with suction or with an intermediate film: two exact solutions of the Navier-Stokes equations / W.R. Debler, R.D. Montgomery //J. Appl. Mech. - 1971. - Vol. 38. - P. 262-265.

[235] Drazin, P.G. The Navier-Stokes equations: A classification of fows and exact solutions / P.G. Drazin, N. Riley. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. -196 p.

[236] Dorrepaal, J.M. An exact solution of the Navier-Stokes equation which describes non-orthogonal stagnation point flow in two dimensions / J.M. Dorrepaal //J. Fluid Mech. - 1986. - Vol. 163. - P. 141-147.

[237] Ekman, V.W. On the influence of the earth's rotation on ocean currents / V.W. Ekman // Ark. Mat. Astron. Fys. - 1905. - Vol. 2. - P. 1-5.

[238] Erdogan, M.E. Effects of the side walls in generalized Couette flow / M.E. Erdogan //J. Appl. Mech. Eng. - 1998. - Vol. 3. - P. 271-286.

[239] Erdogan, M.E. Effects of the side walls on starting flows in ducts / M.E. Erdogan, C.E. Imrak // Int. J. Non-Linear Mech. - 2005. - Vol. 40. - P. 103-111.

[240] Euler, L. Principia motus íluidorum / L. Euler // Novi Commentarii Acad. Sci. Imp. Petrop. - 1761. - Vol. 6. - P. 271-371.

[241] Euler, N. Continuous Symmetries, Lie Algebras and Differential equations / N. Euler, W.-H. Steeb. - Leipzig: Wissenschaftsverlag, 1992. - 320 p.

[242] Falkovich, G. Fluid Mechanics, a short course for physicists / G. Falkovich. -Cambridge University Press, 2011. - 180 p.

[243] Fushchich, W. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations / W. Fushchich, R. Popowych // J. Nonlin. Math. Phys. - 1994. -Vol. 1. 1. - P. 75-98.

[244] Fushchich, W. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations / W. Fushchich, R. Popowych //II J.Nonlin. Math. Phys. - 1994. -Vol. 1. 2. - P. 158-188

[245] Hagen, G. Über die Bewegungdes Wasserin engenzylindrischenRohren / G. Hagen // Pogg. Ann. - 1839. - Vol. 46. - P. 423-442.

[246] Hagstrom, T. All-time existance of classical solutions for slightly compressible flows / T. Hagstrom // SIAM J. Math. Anal. - 1998. - Vol. 29(3). - P. 652-672.

[247] Hamdan, H.M. An alternative approach to exact solutions of a class of Navier-Stokes flows / H.M. Hamdan // Appl. Math. Computation. - 1998. - Vol. 93. -P. 83-90.

[248] Hayat, T. Stokes' second problem for a Johnson-Segalman fluid / T. Hayat, S. Asghar, A.M. Siddiqui // Applied Mathematics and Computation. - 2004. -№ 148. - P. 697-706.

[249] Hayat, T. Exact solutions for Couette and Poiseuille flows for fourth grade fluids / T. Hayat, R. Ellahi, F.M. Mahomed // Acta Mechannica. - 2007. - Vol. 188. -P. 69-78.

[250] Hewitt, R.E. Extensions to three-dimensional flow in a porous channel / R.E. Hewitt, P.W. Duck, M. Al-Azhari // Fluid Dynamics Research. - 2003. - Vol. 33.

- № 1-2. - P. 17-39.

[251] Hiemenz, K. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder / K. Hiemenz // Dinglers Politech. J. - 1911.

- Vol. 326. - P. 321-324.

[252] Holton, J.R. An introduction to dynamical meteorology / J.R. Holton, G.J. Hakim. - 5th Edition. - Oxford, UK: Elsevier Inc., 2012. - 52 p.

[253] Hopf, E. The partial differential equation ut + uux = ßuxx. / E. Hopf // Comm. Pure and Appl. Math. - 1950. - Vol. 3. - P. 201-230.

[254] Hydon, P.E. Symmetry Methods for Differential Equations. A Beginner's Guide / P.E. Hydon. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 213 p.

[255] Ilui. W.H. Exact solutions of the 2-dimension Navier Stokes equations / W.H. Hui // ZAMP. - 1987. - Vol. 38. - P. 689-702.

[256] Goncharova, 0. Gas flow and thermocapillary effects of fluid flow dynamics in a horizontal layer / 0. Goncharova, 0. Kabov // Microgravity Sci. Technol. -2009. - Vol. 21. - Suppl. 1. - P. 129-137.

[257] Goriely, A. Integrability and nonintegrability of dynamical systems / A. Goriely.

- World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2001. - 291 p.

[258] Grad, H. Hydromagnetic equilibria and force-free fields / H. Grad, H. Rubin // Proceedings of the 2nd United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy. - (Geneva, 1958), Columbia University Press, New York.

- 1959. - Vol. 31. - P. 190.

[259] Ibragimov, N. H. CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions, and conservation laws / N. H. Ibragimov. - Boca Raton: CRC Press, 1995. - 546 p.

[260] Ibragimov, N. H. CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, Vol.

2. Applications in engineering and physical sciences. / N. H. Ibragimov. - Boca Raton: CRC Press, 1995. - 546 p.

[261] Ibragimov, N. H. CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, Vol.

3. New trends in theoretical developments and computational methods. / N. H. Ibragimov. - Boca Raton: CRC Press, 1995. - 546 p.

[262] Islam, S. New exact solutions of nonNewtonian fluid in Porous Medium with Hall effects / S. Islam, M.R. Mohyuddin, C.Y. Zhou //J. Porous Media. - 2008. -Vol. 11. 7. - P. 669-680.

[263] Islam, S. Exact solutions for two dimensional flows of couple stress fluids / S. Islam, C.Y. Zhou // Z. Angew Math. Phys. - 2007. - Vol. 60. - P. 1178-1193.

[264] Islam, S. Certain inverse solutions of a second grade MHD aligned fluid flows in a porous medium / S. Islam, C.Y. Zhou //J. Porous Media. - 2007. - Vol. 10. -№ 4. - P. 401-408.

[265] Islam, S. Exact Solutions for Different Vorticity Functions of Couple Stress Fluids / S. Islam, C.Y. Zhou, X.J. Ran //J. Zhejiang. Univ. Sci. - 2008. - Vol. 9. -№ 5. - P. 672-680.

[266] Jordan, P.M. A note on start-up plane Couette flow involving second grade fluids / P.M. Jordan // Math. Prob. Eng. - 2005. - Vol. 5. - P. 539-545.

[267] Jordan, P.M. Exact solutions for the unsteady plane Couette flow of a dipolar fluid / P.M. Jordan, P. Puri // Proc. R. Soc. Lond. A. - 2002. - Vol. 458. -P. 1245-1272.

[268] Kaloni, P.N. Semi-Inverse solutions of nonNewtonian fluid / P.N. Kaloni, K. Hushchilt // Int. J. Non-Linear Mech. - 1984. - Vol. 19. - P. 373-381.

[269] Karman von, T. Uber laminare und turbulente Reibung / T. von Karman // ZAMM. - 1921. - Vol. 1. - P. 233-252.

[270] Kendall, W.N. Unsteady two-cell similarity solution to a convective atmospheric vortex model / W.N. Kendall // Tellus. - 1978. - Vol. 30. - № 4. - P. 376-382.

[271] Khaled, A.R.A. The effect of the slip condition on Stokes and Couette flows due to an oscillating wall: exact solutions / A.R.A. Khaled, K. Vafai // Int. J. Non-Linear Mech. - 2004. - Vol. 39. - P. 795-809.

[272] Kirdyashkin, A.G. Thermogravitational and thermocapillary flows in a horizontal liquid layer under the conditions of a horizontal temperature gradient / A.G. Kirdyashkin // Int. J. Heat Mass Tran. - 1984. - Vol. 27. - № 8. - P. 1205-1218.

[273] Klainerman, S. Singular limits of quasilinear hyperbolic systems with large parameters and the incompressible limit of compressible fuids / S. Klainerman

// Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1981. - Vol. XXXIV.

- P. 481-524.

[274] Kovasnay, L.I.G., Laminar flow behind a two dimensional grid / L.I.G Kovasnay // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1948. - Vol. 44. - P. 58-62.

[275] Kuo, H.L. On the dynamics of convective atmospheric vortices / H.L. Kuo //J. Atmos. Sci. - 1966. - Vol. 23. P. 25-42.

[276] Kuo, H.L. Note on the similarity solutions of the vortex equations in an unstable stratified atmosphere / H.L. Kuo //J. Atmos. Sci. - 1967. - Vol. 24. - № 1. -P. 95-97.

[277] Labropulu, F. Riabouchinsky flows in magneto hydrodynamics / F. Labropulu // M.Sc. Thesis. - Canada, University of Windsor. - 1987.

[278] Labropulu, F. Generalized Beltrami Flows and Other Closed-form Solutions of an Unsteady Viscoelastic Fluid / F. Labropulu // Int. J. Math. Math. Sci. - 2002.

- Vol. 30. - P. 271-282.

[279] Lai, C.-Y. Asymmetric flow between parallel rotating disks / C.-Y. Lai, K.R. Rajagopal, A.Z. Szeri //J. Fluid Mech. - 1984. - Vol. 146. - P. 203-227.

[280] Lin, S.P. Reversed flow above a plate with suction / S.P. Lin, M. Tobak // AIAAJ.

- 1986. - Vol. 24. - P. 334-335.

[281] Lamb, H. Hydrodynamics / H. Lamb. - Cambridge University Press, 1895. -636 p.

[282] Levich, E. Old and New Concepts Phys / E. Levich. - 2009. - Vol. 6. - Issue 3.

- P. 239-457.

[283] Levich, E. On the role of helical structures in three-dimensional turbulent flow / E. Levich, A. Tsinober // Phys. Lett. A. 1983. V.93. Issue 6. P. 293-297.

[284] Levich, E. Helical cyclogenesis / E. Levich, E. Tzvetkov// Pliys. Lett. A. - 1984.

- Vol. 100. - Issue 6. - P. 53-56.

[285] Leray, J. Etude de diverses equations integrales non lineaires problemes que pose l'hydrodynamique / J. Leray //J. Math. Pures Appl. - 1933. - Vol. 12. - № 9.

- P. 1-82.

[286] Lin, C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics / C.C. Lin // Arch. Rational Mech. Anal. - 1958. - Vol. 1. - P. 391-395.

[287] Lin, C.C. The Theory of Hydrodynamic Stability / C.C. Lin. - Cambridge: Cambridge University Press, 1955.

[288] Lin, C.P. Reversed flow above a plate with suction / C.C. Lin, M. Tobak // AIAA J. - 1986. - Vol. 24. - P. 334-335.

[289] Ludlow, D.K. Similarity reductions and exact solutions for the twodimensional incompressible Navier-Stokes equations / D.K. Ludlow, P.A. Clarkson, A.P. Bassom // Stud. Appl. Math. - 1999. - Vol. 103. - № 3. - P. 183-240.

[290] Ludlow, D.K. Nonclassical symmetry reductions of the threedimensional incompressible Navier-Stokes equations / D.K. Ludlow, P.A. Clarkson, A.P. Bassom // J. Phys. A. - 1998. - Vol. 31. - № 39. - P. 7965-7980.

[291] Marques, W.Jr. Couette flow with slip and jump boundary conditions / W.Jr. Marques, G.M. Kremer, F.M. Sharipov // Cont. Mech. Ther. - 2000. - Vol. 12.

- P. 379-386.

[292] Meleshko, S.V. A particular class of partially invariant solutions of the Navier-Stokes equations / S.V. Meleshko // Nonlinear Dynam. - 2004. - Vol. 36. - № 1. - P. 47-68.

[293] Molla 11. H.K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrarily complex topology. Part 1. Fundamentals /H.K. Moffatt //J. Fluid Mecli. - 1985. - Vol. 159. - P. 359-378.

[294] Moffatt, H.K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrarily complex topology. Part 2. Stability considerations / H.K. Moffatt // J. Fluid Mech. - 1986. - Vol. 166. - P. 359-378.

[295] Moffatt, H.K. The topology of scalar fields in 2D and 3D turbulence / H.K. Moffatt // IUTAM Symposium on Geometry and Statistics of Turbulence, Fluid Mech. Appl. 59, eds. T. Kambe, T. Nakano, T. Miyauchi, Kluwer, Dordrecht. -2001. - P. 13-22.

[296] Moshkin, N.P. Numerical implementation of Aristov-Pukhnachev's formulation for axisymmetric incompressible flows / N.P. Moshkin, K. Poochinapan, C.I. Christov // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2010. -Vol. 62. - P. 1063-1080.

[297] Moshkin, N.P. Novel finite difference scheme for the numerical solution of two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations / N.P. Moshkin, K. Poochinapan // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. -2010. - Vol. 7. № 2. - P. 321-329.

[298] Napolitano, L.G. Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immissible fluids / L.G. Napolitano // Acta Astronaut. - 1980. - № 7. - P. 461-478.

[299] Navier, L.M.H. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides / L.M.H. Navier // Mémoires de 1'Academic des sciences de PInstitut de France. - 1822. - Vol. 6.

P. 375 395.

[300] Neményi, P.F. Recent developments in inverse and semi-Inverse methods in the mechanics of Continua / P.F. Neményi // Advances in Appl. Mech. - 1951. -Vol. 11. - P. 123-151.

[301] Noether, F. Integrationsprobleme der Navier-Stokesschen Differentialgleichungen / F. Noether - Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik Bd. V. Leipzig, 1930. - P. 719-796.

[302] Oberbeck, A. Ueber die Wärmleitung der Flüssigkeiten bei Berücksichtigung der Ströomungen infolge von Temperaturdierenzen / A. Oberbeck // Ann. Phys. Chem. - 1879. - Vol. 7. - P. 271-292.

[303] Ortiz-Pérez A.S., Dâvalos-Orozco L.A. Convection in a horizontal fluid layer under an inclined temperature gradient // Phys. Fluids. 2011. № 28(3). P. 084107-084111.

[304] Perera, P.S. Nonsolenoidal flow in a liquid diffusion couple /P.S. Perera , R.F. Sekerka // Phys. Fluids. - 1997. - Vol. 9(2). - P. 376-391.

[305] Physics of Fluids in Microgravity / Edited by R. Monti. 1st ed. Florence, Routledge, 2002. - 624 p.

[306] Poiseuille, J. Recherches expérimenteles sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres / J.Poiseuille // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acadmemie des Sciences. - 1840. - Vol. 11. - P. 961-967. -P. 1041-1048.

Poiseuille, J. Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres (suite) / J.Poiseuille // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Acadmemie des Sciences. - 1841. - Vol. 12. -P. 112-115.

[307] Polyanin, A.D. Hydrodynamics, mass and heat transfer in chemical engineering. / A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, D.A. Kazenin - London: Taylor and Francis, 2002. - 406 p.

[308] Polyanin, A.D. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations / A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev - Boca Raton: Chapman and Hall/CRC Press, 2004. -840 p.

[309] Pritchard, D. The Stokes boundary layer for a power-law fluid / D. Pritchard, C.R. McArdle, S.K. Wilson // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. -2011. - № 166. - P. 745-753.

[310] Rajagopal, K.R. On the decay of vortices of a second grade fluid / K.R. Rajagopal // Mechanics. - 1980. - Vol. 9. - P. 185-188.

[311] Rajagopal, K.R. On a class of exact solutions to the equations of motion of second grade fluid / K.R. Rajagopal, A.S. Gupta // Int. J. Eng. Sci. - 1981. - Vol. 19. - P. 1009-1014.

[312] Rajagopal, K.R. Flow and stability of a second grade fluid between two parallel plates rotating about noncoincident axes / K.R. Rajagopal, A.S. Gupta // Int. J. Eng. Sci. - 1981. - Vol. 19. - P. 1401-1409.

[313] Rajagopal, K.R. The flow of a second order fluid between rotating parallel plates / K.R. Rajagopal // J. of Non-Newtonian Fluid Mech. - 1981. - Vol. 9. - P. 185190.

[314] Rajagopal, K.R. A note on unsteady unidirectional flows of a non-Newtonian fluid / K.R. Rajagopal // Int. J. Non-Linear. Mech. - 1982. - Vol. 17. - P. 369-373.

[315] Rajagopal, K.R. On the boundary conditions for fluids of the differential type. / K.R. Rajagopal In A. SEQUEIRA [Ed.] Navier-Stokes equations and related nonlinear problems. - Plenum Press, New York, 1995. - P. 273-278.

[316] Rosenblatt, A. Solutions exactes des équations du inouvement des liquides visqueux / A. Rosenblatt // Mém. Set. Math. - 1935. - Fascicule LXXII - P. 1-66.

[317] Rosenhead, L. Laminar Boundary Layers. / L. Rosenhead - Oxford University Press, London, 1963. - 685 p.

[318] Pukhnachev, V.V. Integrals of motion of an incompressible fluid occupying the entire space / V.V. Pukhnachev // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2004. - Vol. 45. - № 2. - P. 167-171.

[319] Poisson, S.-D. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides / S.-D. Poisson // Journal de l'Ecole Polytechnique. - 1831. - Vol. 13. - P. 139-186.

[320] Riabouchinsky, D. Quelques considerations sur les mouvements plans rotationnels d'un liquide / D. Riabouchinsky // C. R. Hebdomadaires Acad. Sci. - 1924. -Vol. 179. - P. 1133-1136.

[321] de Saint-Venant, B. Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 avril 1834 / B. de Saint-Venant // Comptes rendus. 1843. T. 17. № 22. P. 1240-1244.

[322] Sastry T.V.A.P., Krishna M.V., Sreenadh S., Ramanamurthy M.V., Couette flow of two immiscible fluids between two permeable beds // ARPN J. Eng. and Appl Sci. 2010. Vol. 5(2). P. 78-81.

[323] Shafranov, V.D. On equilibrium magnetohydrodynamic configurations. / V.D. Shafranov // Terzo Congresso Internazionale Sui Fenomeni Dionizzazione Nei Gas (Venezia, 11-15 giugno, 1957), Milano, 1957. - P. 990-997.

[324] Sharman, F.S. Viscous Flow / F.S. Sharman - McGraw-Hill, New York, 1990. -746 p.

[325] Siddiqui, A.M. Some inverse solutions of a non-Newtonian fluid / A.M. Siddiqui // Mech. Res. Comm. - 1986. - Vol. 17. - P. 157-163.

[326] Smith, M.K. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Pt. 1. Convective instabilities / M.K. Smith, S.H. Davis //J. Fluid Mech. - 1983.

- Vol. 132. - P. 119-144.

[327] Sozou, C. Similarity vortices in a stratified atmosphere / C. Sozou // Boundary-Layer Meteorology. - 1991. - Vol. 55. - № 3. - P. 207-226.

[328] Sozou, C. Unsteady atmospheric vortices in a stratified atmosphere / C. Sozou // Tellus. - 1988. - Vol. 40A. - № 9. - P. 398-406.

[329] Stokes, G.G. On the effect of the internal friction of fluid on the motion of pendulums / G.G. Stokes // Camb. Philo. Trans. - 1851. - Vol. 9. - P. 8-106.

[330] Stokes, G.G. On the theories of internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids / G.G. Stokes // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - Vol. 8. - P. 287-319.

[331] Stommel, H. Wind-drift near the equator. / H. Stommel // Deep-Sea Res. - 1960.

- Vol. 6. - № 4. - P. 298-302.

[332] Stuart, J.T. The viscous flow near a stagnation point when the external flow has uniform vorticity / J.T. Stuart //J. AerosP. Sci. - 1959. - Vol. 26. - P. 124-125.

[333] Taylor, G. I. On the decay of vortices in a viscous fluid / G. I. Taylor // Phil. Mag. - 1923. - Vol. 46. - № 6. - P. 671-674.

[334] Trkal, V. Poznamka k hydrodynamice vazkych tekutin / V. Trkal // Casopis pro pestovani matematiky a fysiky (Praha). - 1919. - Vol. 48. - P. 302-311. English translation: Trkal V. A note on the hydrodynamics of viscous fluids (translated by I. Gregora) // Czech. J. Phys. - 1994. - Vol. 44. - P. 97-106.

[335] Tsinober, A. On the helical nature of three-dimensional coherent structures in turbulent flows / A. Tsinober, E. Levich // Phys. Lett. Ser. A. - 1983. - Issue 67. - P. 321-324.

[336] Vallis, G.K. Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics. / G.K. Vallis -Cambridge, UK, Cambridge University Press, 2006. - 745 p.

[337] Wang, C.Y. Exact solutions of the unsteady Navier-Stokes equations / C.Y. Wang // Appl. Mech. Rew. - 1989. - Vol. 42. №. 11. - P. 269-282.

[338] Wang, C.Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations / C.Y. Wang // Annu. Rev. Fluid Mech. - 1991. - Vol. 23. - P. 159-177.

[339] Wang, C.Y. Exact solutions of the Navier-Stokes equations the generalized Beltrami flows, review extension / C.Y. Wang // Acta Mechanica. - 1990. -Vol. 81. - P. 69-74.

[340] Wang, C.Y. On a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations / C.Y. Wang //J. Appl. Mech. - 1996. - Vol. 33. - P. 696-698.

[341] Zaturska, M.B. Flow in a pipe driven by suction at an accelerating wall / M.B. Zaturska, W.H.H. Banks // Acta Mech. - 1995. - Vol. 110. - P. 111-121.

[342] Zaturska, M.B. New solution for flow in a channel with porous walls and or nonrigid walls / Zaturska M.B., Banks W.H.H. // Fluid Dyn. Res. - 2003. - Vol. 33. - P. 57-71.

[343] Zaturska, M.B. Suction-driven flow in a porous pipe / Zaturska M.B., Banks W.H.H. // ZAMM. - 1995. - Vol. 75. - P. 21-30.